【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第四章 三角函数、解三角形章末检测 理 新人教A版

第四章 三角函数与三角形一．基础题组1.（安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试、理、7）已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ）A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或0 【答案】D考点：倍角公式的应用。

2.(安徽省示范高中2016届高三第一次联考、理、5）若点()16,tan θ在函数2log y x =的图像上，则2sin 2cos θθ=（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知2tan log 164θ==，所以2sin 22sin 2tan 8cos cos θθθθθ===，故选D. 考点：倍角公式.3.(东北师大附中、吉林市第一中学校等2016届高三五校联考、理、6）若函数cos 2y x =与函数sin()y x ϕ=+在[0,]2π上的单调性相同，则ϕ的一个值为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】D 【解析】试题分析：易知x y 2cos =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，)sin(ϕ+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈+ππππϕk k x 223,22，Z k ∈，经验证，得2πϕ=符合题意,故选D.考点：三角函数的单调性.4.（广东省广州六中等六校2016届高三第一次联考、理、3）已知coscos tan sin sin ααααα+=+则的值为 （ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．12D ．2【答案】D 【解析】试题分析：∵sin cos αα+=，∴2(sin cos )2αα+=，∴1sin cos 2αα=， ∴cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos ααααααααα+=+==. 考点：平方关系、商数关系.5.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、理、3）在ABC ∆中，45,105,o o A C BC ∠=∠== 则边长AC 为1- B.1 C.2 D. 【答案】B考点：正弦定理.6.（广东省惠州市2016届高三调研、理、5）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,a b c A ===∠则＝（ ）． （A ）O 30 （B ）O 45 （C ）O 60 （D ）O 90 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理2229471cos 22322b c a A bc +-+-===⨯⨯，又由(0,)A π∈，得603A π==︒，故选C ．考点：余弦定理.7.(海南省嘉积中学2015届高三下学期测试、理、5）若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D 【解析】 试题分析：原式=6tan 2cos cos sin 22==αααα考点：三角函数的化简名师点睛：对于这类分式形式，上下是关于正弦和余弦的齐次形式，考虑上下同时除以x n cos ，转化为x tan 的形式求值.8.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、理、6）将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B.12C.12-D.【答案】D考点：函数图像的变换，函数在某个区间上的最值问题.9.（黑龙江省大庆铁人中学2016届高三第一阶段考试、理、4）角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于( )C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：∵角α的终边过点(1,2)P -，∴||r OP ==，∴sinα== 考点：任意角的三角函数的定义.10.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、理、13）已知(0,)απ∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ．【答案】35【解析】试题分析：根据同角三角函数关系式，结合角的取值范围，可求得3sin 5α=，根据诱导公式，可以求得3sin()sin 5παα-==. 考点：同角三角函数关系式，诱导公式.11.（广东省惠州市2016届高三调研、理、13）若3sin()25πα+=，则cos 2α= ． 【答案】725- 【解析】 试题分析：33sin()cos 255παα+=⇒=，则cos 2α=272cos 125α-=-． 考点：诱导公式、倍角公式与同角三角函数关系.12.（吉林省实验中学2016届高三上学期第一次模拟、理、17）四边形ABCD 的内角A 与内角C 互补，132AB ,BC ,CD AD ====.（Ⅰ）求角C 的大小及线段BD 长；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）060C =，BD =；（2）试题解析：（1）由题设及余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-∙∙=-，①，2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-∙∙=+，②，由①②得：1cos 2C =，故060C =，BD =（2）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =∙∙+∙，011(1232)sin 6022S =⨯⨯+⨯⨯=.考点：余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积. 13.（宁夏银川一中2015届高三模拟考试、理、17）如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 【答案】（1）302；（2）1339+ 【解析】试题分析：（1）（2）关键构造三角形，利用正余弦定理解决；(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，所以AB =3在Rt △P AC 中，∠APC =30°，所以AC =33，在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°，利用勾股定理即可求得BC 长度；(2)∠DAC =90°－60°=30°，sin ∠DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ∠ACB =101033303==BCABsin ∠CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ∠ACB ·cos30°－cos ∠ACB ·sin30°10103=.2010)133()10103(121232-=-⋅- 2010)133()10103(1212-=-⋅-，在△ACD 中，据正弦定理得CDA AC DCA AD sin sin =，所以=AD 1339+ 试题解析：(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米)在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =33(千米)…………3分 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°…….6分考点：三角函数实际应用二．能力题组1.（安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试、理、4）把函数sin()3y x π=+图象上所有点向右平移3π个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得图象的解析式是sin()(0,)y x ωϕωϕπ=+><，则( )1.,23A πωϕ==- .2,3B πωϕ== .2,0C ωϕ== 2.2,3D πωϕ==【答案】C 【解析】试题分析：sin()3y x π=+图象上所有点向右平移3π个单位得到x x y sin )3)3sin((=-+=ππ的图像,再将所得图象的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得图象的解析式是x y 2sin =.故0.2==ϕω，选C 。

【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第四章 三角函数、解三角形阶段测试（六）理 新人教A 版(范围：§4.5～§4.8)一、选择题1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.34π B.54π C.74π D.54π或74π 答案 C解析 ∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0， 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β＝7π4. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30° B．60° C．120° D．150°答案 A 解析 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.3．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4答案 D解析 由题得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1且n ∈N *)，则由余弦定理得3(n ＋1)＝20(n ＋2)² n ＋1 2＋n 2－ n ＋2 22n n ＋1， 化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N ＋，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34答案 C解析 由2S ＝(a ＋b )2－c 2得2S ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2，即2³12ab sin C ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2， 所以ab sin C －2ab ＝a 2＋b 2－c 2， 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab sin C －2ab 2ab ＝sin C 2－1， 所以cos C ＋1＝sin C 2，即2cos 2C 2＝sin C 2cos C 2， 因为C ∈(0，π)，所以C 2∈(0，π2)，所以cos C 2≠0， 所以tan C 2＝2，即tan C ＝2tan C 21－tan 2C 2＝2³21－22＝－43. 5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里答案 C解析 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10.在Rt△ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)． 二、填空题6．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35， sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)²cos(α＋π6)＝2425， cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250. 7．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin π2－x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 答案 ± 3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4) ＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝± 3.8．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________.答案 π3解析 由题意得p ∥q ⇒4S ＝3(a 2＋b 2－c 2)，又S ＝12ab sin C ，所以2ab sin C ＝3(a 2＋b 2－c 2)⇒sin C ＝3(a 2＋b 2－c 22ab )⇒sin C ＝3cos C ⇒tan C ＝3，解得C ＝π3. 三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin x ²cos2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值． (1)求φ的值； (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解 (1)f (x )＝2sin x ²1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x ＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)．因为f (x )在x ＝π处取最小值，所以sin(π＋φ)＝－1，所以sin φ＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π2. (2)由(1)，知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x . 由f (A )＝32，得cos A ＝32. 因为角A 是△ABC 的内角，所以角A ＝π6. 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得1sin π6＝2sin B ，所以sin B ＝22. 因为b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4. 当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12； 当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12. 故C ＝7π12或C ＝π12. 10．设函数f (x )＝2sin 2(ωx ＋π4)＋2cos 2ωx (ω>0)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3. (1)求函数f (x )的最大值，并求出此时的x 值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再沿y 轴翻折后得到，求y ＝g (x )的单调递减区间．解 (1)f (x )＝2sin 2(ωx ＋π4)＋2cos 2ωx ＝1－cos(2ωx ＋π2)＋1＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2. 由题意知，函数f (x )的最小正周期为2π3，则2π2ω＝2π3， 故ω的值为32，所以函数f (x )＝2sin(3x ＋π4)＋2， 所以函数f (x )的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z )． (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度得h (x )＝2sin[3(x －π8)＋π4]＋2＝2sin(3x －π8)＋2的图象，再沿y 轴翻折后得到g (x )＝2sin(－3x －π8)＋2＝－2sin(3x ＋π8)＋2的图象，易知函数y ＝g (x )的单调递减区间，即为y ＝sin(3x ＋π8)的单调递增区间， 由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π3－5π24≤x ≤2k π3＋π8(k ∈Z )． 故y ＝g (x )的单调递减区间为[2k π3－5π24，2k π3＋π8](k ∈Z )．。

专题四 三角函数、解三角形考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C.1D.16251.A tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.2.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.42.C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·co s π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.]3.(2014·大纲全国，3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b3.C [∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a .又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.]4.（2017•北京,12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα= ，则cos （α﹣β）=________．4.﹣ 方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，∴cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos 2α+sin 2α=2sin 2α﹣1= ﹣1=﹣ 方法二：∵sinα= ，当α在第一象限时，cosα= ，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣：∵sinα= ，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣5.（2017•新课标Ⅱ,14）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是________．5. 1 f（x）=sin2x+ cosx﹣=1﹣cos2x+ cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+ + =﹣（t﹣）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1.考点2 三角函数的图象与性质1.（2017·天津,7）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A. ω= ，φ=B. ω= ，φ=﹣C. ω= ，φ=﹣D. ω= ，φ=1. A 由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）= ，得sin（φ+ ）=1．∴φ+ = ，k∈Z．取k=0，得φ= ＜π．∴，φ= ．故选A．2.（2017•新课标Ⅰ,9）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C22. D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，故选D．3.（2017•新课标Ⅲ,6）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（）A、f（x）的一个周期为﹣2πB、y=f（x）的图象关于直线x= 对称C 、f （x+π）的一个零点为x=D 、f （x ）在（ ，π）单调递减3. D A ．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A 正确， B ．当x=时，cos （x+ ）=cos （+ ）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x ）的图象关于直线x= 对称，故B 正确，C 当x= 时，f （ +π）=cos （ +π+ ）=cos =0，则f （x+π）的一个零点为x=，故C 正确， D ．当 ＜x ＜π时，＜x+ ＜，此时余弦函数不是单调函数，故D 错误，故选D.4.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关 4.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]5.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度5.D[由题可知,y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D.6.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π36.A[点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]7.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.57.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]8.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 8.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.]9.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位9.B[∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.]10.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π610.D[易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.]11.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x11.A [A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.]12.(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.1012.C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]13.(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z13.D [由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确.]14.(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)14.A [由于f (x )的最小正周期为π,∴ω＝2,即f (x )＝A sin(2x ＋φ),又当x ＝2π3时,2x＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4，又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4－7π6.又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.]15.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位15.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.]16.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 16.B [将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B.]17.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π17.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]18.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .18.7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]19.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.19.2π3[y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]20.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.20.π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]21.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围；②证明：cos(α－β)＝2m25－1.21.解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第四章 三角函数、解三角形章末检测 理 新人教A 版(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．tan 300°＋sin 450°的值为( )3－1．B 3＋1．A 3＋1．－D 3－1．－C 对称的是π3＝x 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线)·市某某区一调(2010．2( )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin ＝y ．B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6sin ＝y ．A ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6sin ＝y ．D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3sin ＝y ．C )(的最小正周期和最小值为x 23cos ＋x cos x 2sin ＋x 2sin ＝y ．函数3 A ．π，0B ．2π，02－2π，2．D 2－2．π，C 个单位长度，再把所π10的图象上所有的点向右平行移动x sin ＝y 将函数)·某某(2010．4得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10sin ＝y ．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5sin ＝y ．B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10sin ＝y ．C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20sin ＝y ．D )(的值为θ2cos ，则2425＝)θπ－sin(为第二象限角，θ．已知5 45．±D 35．±C 45B.35A. 的图象关于直)φ＋x (f ＝y ，函数)R ∈x ( x cos 3＋x sin ＝)x (f 已知)·某某月考(2011．6线x ＝0对称，则φ的值可以是( )π6D.π4C.π3B.π2A.)(的值是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋αcos －⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π62sin ，则33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αcos ．已知7 2＋33．－B 2＋33A. －2＋33D.2－33C. 上⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是奇函数，且在)θ＋x cos(23＋)θ＋x sin(2＝)x (f 使函数)·某某模拟(2011．8是减函数的θ的一个值是( )5π3D.4π3C.2π3B.π3A. )(为增函数的区间是])，π[0∈x (⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 2sin ＝y ．函数9 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6C. 的图象)π2<φ>0,0<ω，>0A ) (φ＋t ωsin(A ＝I 变化的函数)秒(t 随时间)安(I 电流强度10.)(秒时，电流强度是1100＝t 如图所示，则当A ．－5安B ．5安 安10．D 安35．C 个单位后与原图4π3的图象向右平移2＋)π3＋x ωsin(＝y ，函数>0ω设)·某某(2010．11象重合，则ω的最小值是( )3．D 32C.43B.23A. 12．(2010·某某)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0] 题123456789101112号 答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为________．14．(2010·全国Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________.15．(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.16．(2010·某某高三质检一)给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，22；③若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2011·某某模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式．.14－x sin 212＝)x (g ，cos2x －sin2x 2＝)x (f 已知函数)·某某)(2010分(12．18 (1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样变化得出？(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．19．(12分)已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)在给出的直角坐标系中，画出f (x )在区间[0，π]上的图象．的两个实根，求0＝2－x 4－2x 是方程βtan 、αtan 已知)·某某模拟)(2011分(12．20的值．)β＋α(23sin －)β＋α)cos(β＋α2sin(＋)β＋α(2cos21．(12分)(2011·某某模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；的值．⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π3sin ，求13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3f ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π2∈α若(2)φ(0<⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φsin 12－φcos x 2cos ＋φsin x sin 212＝)x (f 已知函数)·某某)(2010分(12．22.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，其图象过点)π< (1)求φ的值；)x (g ＝y ，纵坐标不变，得到函数12的图象上各点的横坐标缩短到原来的)x (f ＝y 将函数(2)上的最大值和最小值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4在)x (g 的图象，求函数.]3－1°＝sin 90°＋tan 60°＝－sin 450°＋[tan 300 B ．1答案 是三角函数的最值点，代入检π3＝x ，即π3＝x ，又因对称轴为2＝2πT ＝ω由题意[ D ．2验只有选项D 的函数值为最大值1.]x23cos ＋x cos x 2sin ＋x 2sin ＝)x (f [ C ．3 ＝1＋sin 2x ＋(1＋cos 2x )，最小正周期为π，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＋2＝ .]2－2时，取得最小值为1＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 当 4．C为第一、三象限角．θ2为第二象限角，∴θ∵[ C ．5 的值有两个．θ2cos ∴ ，2425＝θsin ，可知2425＝)θπ－sin(由 .1825＝θcos ＋1＝θ222cos ∴.725＝－θcos ∴ .]35＝±θ2cos ∴ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π32sin ＝)x (f [ D ．6 φπ，k ＋π2＝φ＋π3对称，即为偶函数，∴0＝x 的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ2sin ＝)φ＋x (f ＝y .]π6＝φ时，0＝k ，当Z ∈k ，π6π＋k ＝ 7．A 8.B⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 2sin ＝y ∵[ C ．9 ，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π62sin ＝－ 的递增区间实际上是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 2sin ＝y ∴ 的递减区间，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π62sin ＝u，)Z ∈k ( 3π2π＋k 2≤π6－x 2≤π2π＋k 2即 ．)Z ∈k ( 5π6π＋k ≤x ≤π3π＋k 解上式得 .5π6≤x ≤π3，得0＝k 令 .5π6≤x ≤π3，∴]，π[0∈x 又∵ .]⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6的增区间为])，π[0∈x ( ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 2sin ＝y 即函数 10．A [由题图知，1100＝1300－4300＝T 2，10＝A .π100＝2πT＝ω∴ ∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．为五点中的第二个点，⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10∵ .π2＝φ＋1300π×100∴ ，⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π610sin ＝I ∴.π6＝φ∴ ]安．5＝－I 秒时，1100＝t 当 是此函数周期的整数倍．又4π3个单位后与原图象重合，得4π3将函数向右平移[ C ．11.]32＝min ω，∴)Z ∈k (k 32＝ω，∴4π3＝k ·2πω，∴>0ω 12．A [由数形结合的思想，画出函数y ＝4sin(2x ＋1)与y ＝x 的图象，观察可知答案选A.]3413..2π3≥T 4，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－T 4，T 4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上递增，如图，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－T 4，T 4在)x (f ∵ 解析 .34＝max ω∴.34≤ω∴17．－14 ，3π2π＋k <2α<π＋πk 2为第三象限的角，α∵ 解析 .35＝－αcos 2，又)Z ∈k ( π3π＋k <4α<2π2π＋k 4∴ ，43＝－αtan 2，45＝αsin 2∴ .17＝－1＋tan 2α1－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2αtan ∴ 12．－15 ，43＝－αtan 2，得43＝－)α2π＋tan(由 解析 ，43＝－2tan α1－tan2α＝αtan 2又 是第二象限的角，α，又2＝αtan 或12＝－αtan 解得 .12＝－αtan 所以 16．①②，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π34cos ＝)x (f 代入5π12＝－x 将 解析 ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π24cos ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π34cos ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12f 得 故①为真命题；在同一坐标系内画出y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象，f (x )＝min{sin x ，cosx }的图象为y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象中选取函数值小的各部分组成的图象，由f (x )的图象知②是真命题；.知③是假命题．故答案为①②π3<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6sin ，但π3>π6π＋2由 )分(2，……………………………………………………2＝A 由图象可知振幅 ．解17 ＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π32＝T 又∵周期 )分(6，………………………………………………………………………2＝2ππ＝2πT ＝ω∴ ．)φ＋x sin(22＝y 此时函数解析式为 ，由”五点法“作图的第一个点知，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0又图象过点 )分(9……………………………………………………………….2π3＝－φ，∴0＝φ＋π3×2 ∴所求函数的解析式为)分(10…………………………………………………………………….⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3sin 2＝y ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin 12＝x cos 212＝)x (f (1) ．解18 )分(3………，…………………………………………………………………⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin 212＝ 个单位长度，再将所得的图象向π4的图象向左平移)x (g 的图象只需要把)x (f 所以要得到)分(6个单位长度即可． (1)4上平移 (2)h (x )＝f (x )－g (x ) 14＋x sin 212－x cos 212＝ )分(10…………………………………………………………………….14＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4cos 22＝ 时，)Z ∈k ( π＋πk 2＝π4＋x 2当 .1－224＝14＋22取得最小值－)x (h )分(12……………………………………….⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋3π8，k ∈Z 的集合为x 此时，对应的 2π2＝T ，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4sin 2＝x cos 2－x sin 2＝1－x cos x 2sin ＋x 22sin ＝)x (f (1) ．解19＝π，……………………………………………………………………………………………(3分)(6……………….2取得最大值)x(f时，函数)Z∈k(3π8π＋k＝x，即π2π＋k2＝π4－x2当分)(2)列表：π4－x2π4－0π2π3π27π4x0π83π85π87π8πy－10202－－1…………………………………………………………………………………………(9分)描点连线，得函数图象如图所示：…………………………………………………………………………………………(12分) 20．解由已知有tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝－2，………………………………(2分))分(5，………………………………………………………43＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝)β＋αtan(∴)β＋α(2n3si－)β＋α)cos(β＋α2sin(＋)β＋α(2coscos2α＋β＋2sinα＋βcosα＋β－3sin2α＋βcos2α＋β＋sin2α＋β＝(10…………………………………………………………1＋2tanα＋β－3tan2α＋β1＋tan2α＋β＝分))分(12……………………………………………………………….35＝－1＋2×43－3×1691＋169＝21．解(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，)分(2…………………………………………………………………1.＝2πT＝ωπ，则2＝T∴∴f(x)＝sin(x＋φ)．)分(5，…………………………………………………)Z ∈k ( π2π＋k ＝φ是偶函数，∴)x (f ∵ )分(6．……………………………………………………x cos ＝)x (f ∴.π2＝φ≤π，∴φ≤0又 ，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos 由已知得(2) ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π2∈α∵ ，⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6∈π3＋α∴ )分(8 (22)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin 则 ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3sin ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π3sin ∴ )分(12 (42)9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π32sin ＝－ φcos 12－φcos cos 2x ＋12＋φsin x sin 212＝)x (f (1) ．解22 )φcos x cos 2＋φsin x (sin 212＝ )分(3．…………………………………………………………………………)φ－x cos(212＝ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12过点)x (f 又∵ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φcos 12＝12∴ 1.＝)φ－π3cos(即 )分(6……………………………………………………………………….π3＝φπ知<φ0<由 .⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3cos 12＝)x (f 知(1)由(2) ．)π3－x s(4co 12＝)x (g ，纵坐标不变，变为12图象上所有点的横坐标缩短到原来的)x (f 将 ……………………………………………………………………………………………(8分).2π3≤π3－x 4≤π3，∴－π4≤x ≤0∵高考；12有最大值)x (g 时，π12＝x ，即0＝π3－x 4∴当 )分(12………………………………………….14有最小值－)x (g 时，π4＝x ，即2π3＝π3－x 4当。

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、填空题.(·徐州检测)函数()＝的单调递增区间是.解析当π－＜－＜π＋(∈)时，函数＝单调递增，解得－＜＜＋(∈)，所以函数＝的单调递增区间是(∈).答案(∈).已知函数()＝(ω>)和()＝(＋φ)的图象的对称中心完全相同，若∈，则()的取值范围是.解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝，所以()＝，那么当∈时，－≤－≤，所以－≤≤，故()∈.答案.(·云南统一检测)已知函数()＝－，则()的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.解析因为()＝)－＝，所以最小正周期＝＝，相邻两条对称轴之间的距离为＝.答案.如果函数＝(＋φ)的图象关于点中心对称，那么φ的最小值为.解析由题意得＝＝＝，∴＋φ＝π＋，∈，∴φ＝π－，∈，取＝，得φ的最小值为.答案.(·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数()＝(ω＋φ)(ω≠)对任意都有＝，则等于.解析由＝可知函数图象关于直线＝对称，则在＝处取得最值，∴＝±.答案±.(·南通调研)函数＝＋的单调递增区间是.解析∵＝＋＝，由π－≤＋≤π＋(∈)，解得π－≤≤π＋(∈).∴函数的增区间为(∈)，又∈，∴单调增区间为.答案.函数＝( )＋－())的定义域为.解析要使函数有意义必须有＞，－()≥，))即＞，≥()，))解得∴π＜≤＋π(∈)，∴函数的定义域为.答案(∈).函数＝＋－的值域为.解析＝＋－，令＝，∈[－，]，则有＝＋－＝－，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当＝－及＝时，函数取最值，代入＝＋－，可得∈.答案二、解答题.已知函数()＝))＋.()若＝－，求函数()的单调增区间；()若∈[，π]时，函数()的值域是[，]，求，的值.解()＝(＋＋ )＋＝＋＋.()当＝－时，()＝－＋－.由π＋≤＋≤π＋(∈)，得π＋≤≤π＋(∈)，∴()的单调增区间为(∈).()∵≤≤π，∴≤＋≤，。

第二节 三角函数的图象与性质考点一 三角函数的图象及其变换1．(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B2．(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.答案 D3．(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.答案 C4．(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析 将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B. 答案 B5．(2013·四川，5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析 因为3T 4＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，所以T ＝π.由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2，由图象知当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )．又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.答案 A6．(2012·浙江，4)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析 y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应的图象为A 项． 答案 A7．(2011·辽宁，16)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________．解析 由题意，结合图象知函数周期T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×2＝π2，∴ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π(k ∈Z )及|φ|＜π2，得φ＝π4.∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.将点(0，1)代入上式，得1＝A tan π4，∴A ＝1，即f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24×2＋π4＝tan π3＝ 3.答案38．(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0，2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围；②证明：cos(α－β)＝2m25－1.解 法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝kπ＋π2(k ∈Z )．(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m的取值范围是(－5，5)．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解． 所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52－1＝2m 25－1.法二 (1)解 同法一． (2)①解 同法一．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，即α＋φ＝π－(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)． 于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)] ＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ) ＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＝2m 25－1.考点二 三角函数的性质及其应用1．(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A2．(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确．答案 B3．(2013·大纲全国，12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 [对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确； 对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确． 综上知，错误的结论只有C ，故选C. 答案 C4．(2012·湖南，6)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝32sin x －32cos x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6∈[－3，3]．故选B 项．答案 B5．(2012·新课标全国，9)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2]解析 由π2＜x ＜π得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin α在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤32π，解得12≤ω≤54，故选A.答案 A6．(2011·新课标全国，11)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数， ∴φ＋π4＝k π＋π2，φ＝k π＋π4，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，易得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，故选A.答案 A7．(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z )f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .答案 π8．(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________． 解析 y ＝1－2cos 2(2x )＝1－2×1＋cos 4x 2＝－cos 4x ，则最小正周期为π2.答案π29．(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 10．(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知点P (－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于()A.35B.45C ．－35D ．－45答案A解析∵点P (－4,3)是角α终边上的一点，∴sin α＝35，∴sin(π－α)＝sin α＝35.故选A.2．函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为()A.3B ．2C ．23D ．4答案C解析由题意可知f (x )＝3sin x ＋3cos x＝x ＋12cos 23sin∵－1≤1，∴－23≤23sin23，故函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为2 3.故选C.3．cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°等于()A.12B ．－22C ．－12D.22答案B解析根据相应公式可得cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°＝－cos 30°cos 75°－sin 30°cos15°＝－(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°)＝－sin 45°＝－22，故选B.4．若角α满足＝35，则sin 2α等于()A.725B.1625C ．－725D ．－1625答案A解析α2cos 1＝2－1＝－725，又αsin 2α，所以sin2α＝725.5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin 2α＋cos 2α等于()A.35B ．－35C ．－35或1D ．1答案D解析sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1，又∵tan α＝2，∴sin 2α＋cos 2α＝2×2＋122＋1＝1.故选D.6．(2019·惠州调研)为了得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin x ()A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案B解析y ＝sin 2x ＝sin2＋π6，故应向右平移π12个单位长度．故选B.7．(2019·成都七中诊断)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，则A 的大小为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案C解析∵(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，∴由正弦定理可得(b ＋c )b ＝(a ＋c )(a －c )，整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，∴由A ∈(0，π)，可得A ＝120°.故选C.8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点()A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案A解析观察图象知，A ＝1，T ＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)得×π3＋0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝x 故选A.9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为()π－14，k πk ∈Zk π－14，2k πk ∈Z－14，k k ∈Zk －14，2k k ∈Z 答案D解析由题意可得函数的周期为2，∴2πω＝2，解得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，f (x )＝x 令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，可解得2k －14≤x ≤2k ＋34，∴f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f (x )＝(ω>0)在[0，π]内的值域为－1，12，则ω的取值范围为()A.23，43 B.0，43C.0，23D ．[0,1]答案A解析函数f (x )＝ω>0)，当x ∈[0，π]时，cos x ＋π3∈0，ωπ＋π3，由题意－1≤≤12，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为23，43.故选A.11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,1≤y ≤2，动点P 的轨迹所覆盖的面积为()A.1036 B.536 C.103D.203答案A解析如图以OA,2OB 为邻边作平行四边形OAED ，F 为AE 中点，根据题意知，P 点在以BF ，BD 为邻边的平行四边形上及其内部，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB .在△ABC 中，cos ∠BAC ＝15，AC ＝6，BC ＝7，∴由余弦定理得，15＝AB 2＋36－492AB ·6，解得AB ＝5或AB ＝－135(舍去)，又O 为△ABC 的内心，∴内切圆半径r ＝2S △ABCa ＋b ＋c ，∴S △AOB ＝12·r ·|AB |，∴S △AOB ＝55＋6＋7·S △ABC ＝518×12×5×6×sin ∠BAC ＝256·1－125＝563，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为1063.故选A.12．(2019·荆州质检)函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m x ＝π3对称，在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则实数m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)答案D解析函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋mx ＝π3对称，即f (x )＝2cos x (sin x cos φ＋cos x sin φ)＋m＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＋sin φ＋m ＝sin(2x ＋φ)＋sin φ＋m ，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，即f (x )＝x －12＋m ，由三角函数的单调性可知在区间0，π2上，f (x )min ＝－1＋m ，f (x )max ＝12＋m ，若在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则2f (x )min ＞f (x )max ＞0，－1＋m )>12＋m ，m >0，∴m >52D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝13，则cos 2θ＝________.答案79解析cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2＝79.14．已知＝－17，αsin ________．答案33＋410解析∵＝－17，α∴tan α＝＋π4＝－17＋11＋17＝34，∴sin α＝35，cos α＝45，∴＝32sin α＋12cos α＝33＋410.15．(2019·山师大附中模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝14，c ＝3，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的面积等于________．答案3154解析∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B，化简得sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A ＝B ，∴a ＝b .又∵cos C ＝14，c ＝3，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14，解得a ＝b ＝6，且sin C ＝154，S △ABC ＝12ab sin C ＝3154.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m2cosn若m ·n ＝12，△ABC 的周长为a ＋4，△ABC 的面积为3，则a 的值是____．答案23解析根据题意，有sin 2A 1＋cos 2A2cos A2·1＋cos A 2＝12，整理得2sin A cos A 2cos 2A ·cos A sin A－2cos 2A 2＝12，从而求得cosA 2＝12A ∈(0，π)，所以A 2∈，所以A 2＝π3，所以A ＝2π3，根据题意有b ＋c ＝4，12bc sin 2π3＝3，即bc ＝4，根据余弦定理，可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝16－4＝2 3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝2sin ＋3cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解f (x )＝1－2＋3cos 2x －1＝sin 2x ＋3cos 2x ＝x (1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )与函数y ＝m ＋2有两个交点，画出两函数在区间0，π2内的图象如图所示：由图象知3≤m ＋2<2，∴3－2≤m <0.18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间0，2π3上的取值范围．解(1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝ωx ＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝x ＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤x1，因此0≤x ＋12≤32，即f (x )的取值范围为0，3219．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求角B ；(2)若cos A ＝35，试求cos C 的值．解(1)已知a ＝b cos C ＋c sin B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B,sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，cos B sin C ＝sin C sin B ，因为在△ABC 中sin C >0，所以cos B ＝sin B ，因为sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝sin Bcos B＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为cos A ＝35，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，由(1)可知A ＋C ＝3π4，所以C ＝3π4－A,cosC ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ，cos C ＝22(sin A －cos A )＝210.20．(12分)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)>0，|φf (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A，求f (A )的取值范围．解(1)∵f (x )，∴f (x ＋π)＝－f (x )，∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝x ＋π3＋g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝x (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，∴0<C ＝2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3，∴A (0,1]，即f (A )＝sinA (0,1]．21．(12分)已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝ωx ＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝x ＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝x ＋32＋b ，∵x ∈0，7π12，∴2x ＋π6∈π6，4π3，∴当2x ＋π6∈π6，π2，即x ∈0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈π2，4π3，即x ∈π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝∴当0<f 0时，函数f (x )有且只有一个零点．即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴满足条件的b 2，3－32∪22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC ＝60°，AB ＝23，AP ＋PB ＝4.(1)求BP 的长；(2)若AC ＝534，求cos ∠ACP 的值．解(1)由已知，得∠APB ＝120°，又AB ＝23，AP ＋BP ＝4，在△ABP 中，由余弦定理，得(23)2＝BP 2＋(4－BP )2－2×BP ×(4－BP )cos 120°，整理，得BP 2－4BP ＋4＝0.解得BP ＝2.(2)由(1)知，AP ＝2，所以在△ACP 中，由正弦定理得AC sin 60°＝AP sin ∠ACP，解得sin ∠ACP ＝2×32534＝45.因为2<534，所以AP <AC ，从而∠ACP <∠APC ，即∠ACP 是锐角，所以cos ∠ACP ＝＝35.。

第四章 三角函数与三角形一．基础题组1. 【辽宁省大连市2015年高三第一次模拟考试数学理4】已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）12（B ）1 （C （D ）2 【答案】C考点：余弦定理、三角形面积公式.2.【双鸭山市第一中学2015届高三第四次模拟理4】已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1（ ）A ．-3 B. 52 C ．3 D. 25- 【答案】D考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系；3.二倍角公式.3.【云南省2015届高三第一次复习统测数学理4】下列函数，有最小正周期的是（ ） A.sin ||y x = B.cos ||y x = C.tan ||y x = D.2(1)y x =+ 【答案】B. 【解析】试题分析：A ：sin 0sin ||sin 0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，不是周期函数；B ：cos ||cos y x x ==，最小正周期2T π=；C ：tan 0tan ||tan 0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，不是周期函数；D ：20(1)1y x =+=，无最小正周期．考点：1.三角函数的周期性；2.周期函数的判定.4.【黑龙江哈尔滨第九中学2015届高三第三次高考模拟理3】=-︒︒170sin 110cos 3A. 2- B ． 2 C ．4 D ． 4- 【答案】D考点：三角函数求值.5.【长春市普通高中2015届高三质量监测（三）数学理4】已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ）A.12B. 1C.D. 2【答案】C. 【解析】试题分析：∵222a b c bc =+-，∴1cos 2A =，∴3A π=，又4bc =，∴ABC ∆的面积为1sin 2bc A =，故选C ． 考点：正余弦定理解三角形.6.【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟考试数学理3】 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，且ABC ∆的面积为23，则=∠C ( ) A ． 30 B ． 45 C ． 60D ． 75【答案】C考点：三角形的面积公式.7.【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟考试数学理6】 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．43π B ．4πC ．0D ．4π- 【答案】B 【解析】试题分析：由题设知18f π⎛⎫=±⎪⎝⎭ ，即sin 14πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭当34πϕ=时， 3sin sin sin 0444πππϕπ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4πϕ=时，sin sin sin 14442ππππϕ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0ϕ= 时，sin sin 44ππϕ⎛⎫+==⎪⎝⎭当4πϕ=- 时，sin sin sin 00444πππϕ⎛⎫⎛⎫+=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.考点：三角函数的图象.8.【吉林市第一中学校2015届高三3月“教与学”质量检测（一）理4】两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 A ．akmB.akm 2C ．akm 2D.akm 3【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，0120=∠ACB ，由余弦定理得，BCAC AB BC AC ACB ⋅-+=∠2cos 2222122222-=-+=aAB a a ，解之得：akm AB 3=，故应选D .考点：1.在实际问题中建立三角函数模型；2.余弦定理；9.【宜昌一中2015年高考适应性考试（一）理4】函数2cos ()2y x π=+的单调递增区间( )A ．(,)2k k k Z πππ+∈ B. (,)2k k k Z ππππ++∈C. (2,2)k k k Z πππ+∈D. (2,22)k k k Z πππ+∈ 【答案】A考点：三角函数的图像和性质10.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（二）理4】函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度 （C ）向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度【答案】C考点：三角函数的图象平移.11.（东北育才学校高中部2014-2015学年度高三第八次模拟考试理9）下列对于函数()3cos 2,(0,3)f x x x π=+∈ 的判断正确的是 （ ）A.函数()f x 的周期为πB.对于,a R ∀∈ 函数()f x a + 都不可能为偶函数C.0(0,3)x π∃∈ ,使0()4f x =D.函数()f x 在区间5[,]24ππ内单调递增【答案】C 【解析】试题分析：因为()3cos 2f x x =+在R 上的周期为π，但在(0,3)π上无周期；当32a π=时，函数33()3cos 2,(,)22y f x a x x ππ=+=-∈-为偶函数；当0,2x ππ=时， 0()4f x =；当[,],2[,2]2x x ππππ∈∈，函数()f x 单调递增，而当55[,],2[2,]42x x ππππ∈∈，函数()f x 单调递减；因此选C.考点：三角函数性质12. 【黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第四次模拟理8】将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是 （ ）.A sin 4y x = .B sin y x = .C sin(4)6y x π=- .D sin()6y x π=-【答案】D考点：三角函数的图象变换.13.【甘肃省天水市第一中学2015届高三5月中旬仿真考试数学理6】一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点0p 离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从P o 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（ ） A ．106sin 8)(+-=t t h πB ．106cos 8)(+-=t t h πC ．86sin8)(+-=t t h πD ．86cos8)(+-=t t h π【答案】B 【解析】试题分析：如下图所示，10h OD =-，而28sin8sin 126OD t t ππ==，所以108sin 6h t π=-，故选A.考点：三角函数的应用.14.【辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学理9】△ABC 各角的对应边分别为a ， b ，c ， 满足1b ca c a b+≥++， 则角A 的范围是 （A ）(0,]6π（B ）(0,]3π（C ）[,)3ππ （D ）[,)6ππ【答案】B考点：余弦定理15.【2015年辽师大附中高三年级模拟考试理8】ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，b A B c C B a 21cos sin cos sin =+，且b a > ，则B ∠= （ ） A. 6π B. 3π C.32π D.65π【答案】 A考点：正弦定理的应用。

考点规范练24解三角形基础巩固1.(2016东北三省四市二模)在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为()A. B.π C.2π D.4π2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B=()A. B.C. D.3.(2016全国丙卷,理8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B.C.-D.-4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°5.(2016山西朔州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为()A.4B.2C.2D.6.在△ABC中,若三边长a,b,c满足a3+b3=c3,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能7.(2016山东临沂一模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则角C=.8.(2016山东师大附中模拟)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.9.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?能力提升11.(2016山西阳泉高三模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c212.(2016内蒙古包头一模)如图,已知AB是圆O的直径,AB=2,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是圆O上半圆上的动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧,记∠POB=x,将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f(x),则y=f(x)取最大值时x的值为()A. B. C. D.π〚导学号37270444〛13.(2016河北衡水武邑中学冲刺)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=.〚导学号37270445〛14.(2016河南商丘三模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc,(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=sin x+2cos2,a=2,f(B)=+1时,求边长b.〚导学号37270447〛高考预测15.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a sin A sin B+b cos2A=a.(1)求;(2)若c2=a2+b2,求角C.〚导学号37270448〛参考答案考点规范练24解三角形1.B解析在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,故C=180°-A-B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.2.B解析在△ABC中,a,b,c成等比数列,且c=2a,则b=a,cos B=故选B.3.解(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A===-,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=设∠DAC=α,则∠BAC=α+∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sin α=,cos α=∴cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin=(cos α-sin α)==-,故选C.4.B解析依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5.A解析∵在△ABC中,,∴(2a-c)cos B=b cos C.∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C)=sin A.∴cos B=,即B=由余弦定理可得16=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=ac sin B=ac≤4,故选A.6.A解析由题意可知c>a,c>b,即角C最大,所以a3+b3=a·a2+b·b2<ca2+cb2,即c3<ca2+cb2,所以c2<a2+b2.根据余弦定理,得cos C=>0,则0<C<,即三角形为锐角三角形.7解析在△ABC中,=sin A-sin B,=a-b.∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=∴C=8解析由题意及正弦定理,可知,即,故∠ADB=45°.所以A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2sin 60°=9解析在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.11.B解析∵b2+c2-a2=bc,∴cos A=,∴A=30°.∵b=a,∴sin B=sin A=,∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a=c;故选B.12.A解析∵S△OPC=OP·OC·sin x=sin x,PC2=12+22-2·1·2·cos x=5-4cos x,S△PCD=PC2·sin(5-4cos x),∴f(x)=sin x+(5-4cos x)=2sin故当x-,即x=时,f(x)有最大值,故选A.13解析在△ABC中,∵tan B=-,∴sin B=,cos B=-又S△ABC=ac sin B=2c=8,∴c=4,∴b=14.解(1)在△ABC中,∵b2+c2-a2=bc,∴cos A=∵0<A<π,∴A=(2)∵f(x)=sin x+2cos2=sin x+cos x+1=sin+1,∴f(B)=sin+1=+1,∴B=,即,∴b=15.解(1)∵a sin A sin B+b cos2A=a,∴sin2A sin B+sin B cos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A,∴sin B=sin A,(2)设b=5t(t>0),则a=3t,于是c2=a2+b2=9t2+25t2=49t2,即c=7t.由余弦定理得cos C==-故C=。