2017高考数学压轴题+黄冈压轴100题

2017北京（19）（本小题13分）已知函数f (x )=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值.2017江苏20.（本小题满分16分）已知函数()321(0,)fx =x ax bx a b +++>∈R 有极值，且导函数()f x ，的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1） 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2） 证明：b ²>3a ;（3） 若()f x ，()fx ， 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a 的取值范围.2017全国Ⅰ卷（理）21.（12分）已知函数()f x =a e 2x +（a ﹣2）e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2017全国Ⅱ卷（理）21.（12分）已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230e()2f x --<<.2017全国Ⅲ卷（理）21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值．2017山东理科（20）（本小题满分13分） 已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.2017天津（20）（本小题满分14分）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],p x x q∈U 满足041||p x q Aq -≥.2017浙江理科20．（本题满分15分）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）. （Ⅰ）求f (x )的导函数；（Ⅱ）求f(x)在区间1[+)2，上的取值范围.。

历年高考数学导数压轴题
1. 2017年高考数学导数题：
①已知函数f(x)的导数是g(x)，若g(x)的导数等于函数f(x)的二阶导数，求f(x)的表达式。

解：令数列{y，y’，y”}表示函数f(x)的值与其一阶导数与二阶导数，
令数列{u，u’}表示函数g(x)的值与其一阶导数，那么依据题意有：
u’=y”，u=y’，由于积分的连续性，可得函数f(x)的表达式：f(x)=xu-
1/2∫udu+φ(x)，其中φ(x)是任意可导函数。

2. 2018年高考数学导数题：
①已知函数f(x)在(-1,1)上有关于x的二阶导数存在且满足f'(-1)=f'(1)，
求f(x)的一般形式。

解：由题意可知f'(-1)=f'(1)，即函数f(x)在(-1,1)处有极值，f”(x)存在于(-1,1)，根据可导多次函数的性质，在(-1,1)处函数f(x)可表示为：
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d均为常数，求出常数a、b、c
值可得f(x)的一般形式。

3. 2019年高考数学导数题：
①已知函数f(x)的导数为2x-1，求f(x)的一般形式；
解：令y=f(x)，则有y’=2x-1，由积分的连续性，可得y=x^2-2ln|x|+C，其中C为任意常数，即f(x)=x^2-2ln|x|+C。

1．已知函数()()2xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x ax e -+≥恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程()()f x m m R =∈有两个正实数根12,x x ，求证： 121mx x m e-<++. 【答案】(1) 0x y +=;(2) 0a e ≤≤;（3）见解析.（3）依第（2）问，取a e =，有()2x x x e ex e -≥-，因为()y f x =在0x =处的切线方程为y x =-.设()()2(0)x x x x e x x ϕ=-+>，则()()()()22'11,''3x x x x x e x x x e ϕϕ=+-+=+，令()''0x ϕ=得3x =-或0x =.容易知道()'y x ϕ=在()(),3,0,-∞-+∞单调递增，在()3,0-单调递减，而()'00ϕ=，所以当0x >时， ()()'0,x y x ϕϕ>=单调递增.而()00ϕ=，所以，当0x >时， ()0x ϕ>恒成立.所以()2x x x e x -≥-.设y m =分别与y x =-和()1y e x =-的两个交点的横坐标为34,x x ，则3124x x x x <<<，所以12431mx x x x m e-<-=++. 2．如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线与轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ， M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当2a 取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ ∆面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）MPQ ∆的面积最大值为125622⨯．此时:MP y =+（2）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b =，设椭圆的标准方程为2222143x y m m +=， ()()0011,,,P x y Q x y 由222221{434x y m m y mx+==-得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即23m P ⎛- ⎝⎭， 于是12112576,2,2333m m m PF PF a PF F F m ==-===，又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =．此时抛物线方程为212y x =-， ()(13,0,F P --，则直线PQ的方程为)3y x =+．联立)23{12y x y x=+=-，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝．所以252PQ ==，设(()2,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d，则2752d t ⎛=- ⎝⎭，当t =时，max 752d ==，所以MPQ ∆的面积最大值为12522⨯=:MP y =+ 3．已知函数()322112,,32f x x ax a x b a b R =-+++∈． （1）若曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线与曲线()y f x =的公共点的横坐标之和为3，求的值； （2）当102a <≤时，对任意[],1,2c d ∈-，使()()8f cb f d M a '-+≥+恒成立，求实数M 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）223M ≤-（2）()32211232f c b c ac a c -=-++，令()32211232g c c ac a c =-++，则()()()2222g c c ac a c a c a =-++=-+-'，令()0g c '=，则c a =-或2c a =， 因为102a <≤，所以(]1,0,20,12a a ⎡⎫-∈-∈⎪⎢⎣⎭， 所以当[]1,c a ∈--和(]2,2c a ∈时， ()0g c '<，函数()g c 单调递减， 当(),2c a a ∈-时， ()0g c '>，函数()g c 单调递增，所以函数()g c 的极小值为()33331172326g a a a a a -=+-=-，又()282243g a a =-++， 令()()()327824263h a g g a a a a =--=++-，易知，当102a <≤时，函数()h a 单调递增，故()max 1250248h a h ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，所以()()2g g a <-，即当[]1,2c ∈-时， ()()2min 82243g c g a a ==-++， 又()22229224a a f d d ad a d ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭'，其对应图像的对称轴为122a d =<，所以2d =时， ()()2min 2422f d f a a ==-++''， 所以()()220643f c b f d a a -+≥+-'，故有2206483a a M a +-≥+， 又22201226486333a a a a ⎛⎫+--=-- ⎪⎝⎭，因为102a <≤，所以2122226333a ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭，所以223M ≤-． 4．设已知双曲线2:2C y px =的焦点为1F ，过1F 的直线与曲线C 相交于M N 、两点. (1)若直线的倾斜角为60︒，且163MN =，求p ； (2)若2p =，椭圆2212x y +=上两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.【答案】（1）2p =（2）（2）当直MN 斜率不存在时，直线PQ 斜率为0，此时4,PMQN MN PQ S ===四边形当直线MN 斜率存在时，直线()10MN y k x k =-≠：（），联立24y x =得()2222240(0)k x k x k -++=∆>，则242M N x x k+=+ ∴244M N MN x x p k =++=+ 由PQ MN ⊥可设直线PQ : ()()11k 0y x k=--≠，联立椭圆消去y 得， ()22224220(0)k x x k +-+-=∆>∴222422,22P Q P Q k x x x x k k-+==++∴)2212kPQ k +==+)()22221122PMQN k S MN PQ k k +=⋅=+四边形,令21(1)k t t +=>则()()2222111111PMQNS t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭四边形 综上， ()minPMQNS =四边形5．已知函数()2ln f x a x bx =+的图像在点()()1,1f 处的切线方程为 ()()10,2,x y g x af x t t R --==+∈且 2.t ≤（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求证： ()().x g x e f x t <++【答案】（Ⅰ）()ln .f x x =（Ⅱ）见解析.6．已知点C 是圆()22:116F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF '的垂直平分线与线段CF 交于点P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线:l y kx =+E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）⎛ ⎝⎦【解析】试题分析：（1）根据圆的的性质及对称的几何性质可得，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长（2）把直线:l y kx =+代入椭圆方程消去y 得： ()2234360k x +++=， 由0∆>得： 32k <-或32k >， 因为直线与椭圆相交于两点()11,A x y ， ()22,B x y ，则12x x +=1223634x x k =+，因为点(M ，直线与y 轴交于点(0,DABM ∆的面积12121•2ABM S MD x x x x ∆=-=-==243k ==+6122=≤=，=，即k=±时取等号，k=满足0∆>所心ΔABM面积的取值范围是⎛⎝⎦.7．已知函数()ln(,a xf x b a b Rx=+∈）的图像在点()()1,1f处的切线方程为1y x=-.（1）求实数,a b的值及函数()f x的单调区间；（2）当()()()1212f x f x x x=≠时，比较12x x+与2e（为自然对数的底数）的大小.【答案】（1）函数()f x的单调递增区间为()0,e，单调递减区间为(),e+∞;（2）122x x e+>.（2）当()()()1212f x f x x x =≠时， 12x x 2e +>.证明如下： 因为x e >时， ()f x 单调递减，且()lnxf x 0x=>， 又()f 10=，当1x e <<时， ()f x 单调递增，且()f x 0>.若()()()1212f x f x x x =≠，则12x x ，必都大于，且必有一个小于，一个大于. 不妨设121x e x <<<，当2x 2e ≥时，必有12x x 2e +>. 当2e x 2e <<时， ()()()()()22122222ln 2e x lnx f x f 2e x f x f 2e x x 2e x ---=--=--， 设()()ln 2e x lnx g x ,e x 2e x 2e x-=-<<-，则()()()()()()22222224e e x (1lnx)x ln x 2ex 2x1ln 2e x 1lnx g x x 2e x x 2e x ----++-'+--=-=-- ()()({}()222224e e x (1lnx)x 2ln x e e x 2e x ⎤--+---+⎦=- 因为e x 2e <<，所以()222e x e 0e --∈（，），故()(222ln x e e 0⎤---+>⎦.又()4e e x (1lnx)0-->，所以()g x 0'>，所以()f x 在区间()e,2e 内单调递增， 所以()()11g x g e 0e e>=-=，所以()()12f x f 2e x >-. 因为11x e <<， 2e x 2e <<，所以202e x e <-<， 又因为()f x 在区间()0,e 内单调递增， 所以12x 2e x >-，即12x x 2e +>. 综上，当()()()1212f x f x x x =≠时，.8．已知函数()2ln 2ln a x f x x a k x a=+-- （1）若0k =，证明()0f x >；（2）若()0f x ≥，求的取值范围；并证明此时()f x 的极值存在且与无关. 【答案】（1）见解析（2）见解析（1）若()2ln 2ln 0a a f x x a k x x =+--≥，变形得到2ln x a a k a x x+≥， 令=(0)x t t a >，得到22ln 1t t k t+≥ ()()()232ln 12ln 1,t t t t t g t g t t t='--+=，令()()l n 1,l n k t t t t k t t '=--=-，可得()k t 在(]0,1单增，在[)1,+∞单减，所以()()0,0k t g t '≤≤， ()g t 在()0,+∞单减，当(),0t g t →+∞→所以()0g t >，∴0k ≤（注：若令(0)a t t x=>），得到22ln t t t k -+≥ 令()()()22ln ,221ln g t t t t g t t t '=-+=-+，9．已知函数()()()221ln ,ln 1f x x x x g x x x ax =-+=--.（1）求证: 对()()1,,2x f x ∀∈+∞<；（2）若方程()0g x =有两个根，设两根分别为12,x x ,求证:1ln 12x > 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析 ：（1）即证对()()211,,ln 01x x x x -∀∈+∞->+，令()()21ln (1)1x h x x x x -=->+，求导证明最小值大于0即可；（2）根据条件有11221211ln ,ln x ax x ax x x -=-=，两式相加，相减得211212ln1x x a x x x x +=-，代入得()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，令21(1)x t t x => 由（1）可知()12121221ln 2,ln 21x x t t x x t x x ++>->-，整理即得. 试题解析 ：(1) ()()()1,,21ln 22x f x x x x ∀∈+∞⇔+-()()21211ln 2ln ln 0111x x x x x x x x x --+⇔>⇔>⇔->-++.下面证明：对()()211,,ln 01x x x x -∀∈+∞->+，令()()21ln (1)1x h x x x x -=->+，则()()()221'01x h x x x -=>+，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，即()21ln 01x x x -->+，即证得对()()1,,2x f x ∀∈+∞<.10．已知函数()22ln f x x a x x=++（0x >，为常数）. （1）讨论函数()()2g x f x x =-的单调性；（2）对任意两个不相等的正数1x 、2x ，求证：当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析;（2）见解析.()()()2222223122x x ax x x x x x x x ⎡⎤+=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∵()()22222310,0,022x x a x x x x x x +>>->++，∴()()2222231022x x ax x x x x x ++->++. 故当()20,x x ∈时， ()0t x '<， ()t x 为减函数； 当()2,x x ∈+∞时， ()0t x '>， ()t x 为增函数.故对一切()0,x ∈+∞， ()()20t x t x ≥=.当且仅当2x x =时取等号. 题中12x x ≠，故()10t x >恒成立.得证.11．在平面直角坐标系xOy 中， ,M N 是轴上的动点，且228OMON +=，过点,M N 分别作斜率为22-的两条直线交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）过点()1,1Q 的两条直线分别交曲线E 于点,A C 和,B D ，且//AB CD ，求证直线AB 的斜率为定值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）直线AB 的斜率为定值34-.12．动点P 在圆E ： ()22116x y ++=上运动，定点()1,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ． （Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线，分别交轨迹E 于A ， B 两点和C ， D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）4,07⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅱ）分别设直线AB 和CD 的中点为M 、N ，当直线AB 斜率不存在或为0时，分析可知直线MN 与轴重合，当直线AB 的斜率为1时，此时43,77M ⎛⎫⎪⎝⎭， 43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为47x =，联立解得直线MN 经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭． 下面证明一般性：当直线AB 的斜率存在且不为0,1时，设直线AB 的方程为()1y k x =-， 则直线CD 的方程为()11y x k=--，设()11,A x y ， ()22,B x y ， 联立()221,{431,x y y k x +==-消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则2122843k x x k -+=-+，所以122643ky y k +=-+，即22243,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理： 2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，于是直线MN 的斜率为()222222337344344413443MNk kk k k k k k k k +++==--++， 故直线MN 的方程为()222374343441k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪++-⎝⎭，显然47x =时， 0y =，故直线经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭． 13．已知动圆P过定点()M且与圆(22:16N x y +=相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()3,0D 且斜率不为零的直线交曲线C 于A ， B 两点，在轴上是否存在定点Q ，使得直线,AQ BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）当定点为()12,0Q 时，常数为54；当定点为()22,0Q -时，常数为120．（Ⅱ）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ，由221,{43,x y x my +==+得()224650m y my +++=，所以()62122122(4540,6{,45,4m my y m y y m∆=-⨯+>+=-+=+则()121222464x x m y y m +=++=+，()221212122364394m x x m y y m y y m-=+++=+， 假设存在定点(),0Q t ，使得直线AQ ， BQ 的斜率之积为非零常数，则()()()2121212x t x t x x t x x t--=-++22223642444m t t m m-=-⋅+++ ()22224362444t m t t m -+-+=+，所以121200AQ BQ y y k k x t x t--⋅=⋅--()22222544362444m t m t tm +=-+-++ ()2225436244t m t t=-+-+， 要使AQ BQ k k ⋅为非零常数，当且仅当2240,{362440,t t t -=-+≠解得2t =±，当2t =时，常数为553648164=-+，当2t =-时，常数为55136481610020==++，所以存在两个定点()12,0Q 和()22,0Q -，使直线AQ ， BQ 的斜率之积为常数，当定点为()12,0Q 时，常数为54；当定点为()22,0Q -时，常数为120． 14．已知函数()ln f x x x =，为自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在3x e -=处的切线方程；（Ⅱ）关于的不等式()()1f x x λ≥-在()0,+∞恒成立，求实数λ的取值范围； （Ⅲ）关于的方程()f x a =有两个实根1x ， 2x ，求证： 12331122x x a e-<++. 【答案】（1）32y x e -=--（2）1λ=（3）见解析（2）记()()()1g x f x x λ=-- ()1xlnx x λ=--，其中0x >， 由题意知()0g x ≥在()0,∞+上恒成立，下求函数()g x 的最小值， 对()g x 求导得()1g x lnx λ'=+-，令()0g x '=，得1x e λ-=，当变化时， ()g x '， ()g x 变化情况列表如下：()()min g x g x ∴==极小 ()()111g e e λλλ--=- ()111e e λλλλ----=-， 1e λλ-∴-，记()1G eλλλ-=-，则()11G eλλ-=-'，令()0G λ'=，得1λ=．当变化时， ()G λ'， ()G λ变化情况列表如下：()()()=10max G G G λλ∴==极大，故10e λλ--≤当且仅当1λ=时取等号， 又10eλλ--≥，从而得到1λ=；从而'11x x ≤，当且仅当33e a -=-时取等号，由（2）知， ()1f x x ≥-，则()'221a x f x =-= 21x ≥-，从而'22x x ≤，当且仅当0a =时取等号， 故''122121x x x x x x -=-≤-= ()3a1a 122e ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭33a 1122e ++，因等号成立的条件不能同时满足，故1233a 1x x 122e-<++． 15．已知()()2212ln 22f x x ax x ax x =-+-，其中a R ∈. （Ⅰ）若0a =，且曲线()f x 在x t =处的切线过原点，求直线的方程； （Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x ， 212()x x x <，证明()()212132f x f x a a +<+.【答案】（Ⅰ）0x =;（Ⅱ）当0a ≤时， ()f x 在1x =时取到极小值122a -， ()f x 没有极大值； 当01a <<时， ()f x 在x a =时取到极大值223ln 2a a a -+，在1x =时取到极小值122a -；当1a =时， ()f x 没有极大值也没有极小值；当1a >时， ()f x 在x a =时取到极小值223ln 2a a a -+. 在1x =时取到极大值122a -. （Ⅲ）见解析.（Ⅱ）由()()22ln f x x ax x =- 2122ax x +-，可得()()22ln f x x a x =-'， ①当0a ≤时()0f x '>⇔ 1x >， ()0f x '<⇔ 01x <<， ()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，()f x 在1x =时取到极小值，且()1122f a =-， ()f x 没有极大值；②当01a <<时()0f x '>⇔ 1x >或0x a <<， ()0f x '< 1a x ⇔<<. ()f x 在()0,a ， ()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减， ()f x 在x a =时取到极大值， 且()223ln 2f a a a a =-+， ()f x 在1x =时取到极小值，且()1122f a =-； ③当1a =时()0f x '≥恒成立， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增， ()f x 没有极大值也没有极小值；④当1a >时()0f x '>⇔ x a >或01x <<， ()0f x '<⇔ 1x a <<， ()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减， ()f x 在x a =时取到极小值，且()223ln 2f a a a a =-+. ()f x 在1x =时取到极大值，且()1122f a =-. 综上可得，当0a ≤时， ()f x 在1x =时取到极小值122a -， ()f x 没有极大值； 当01a <<时， ()f x 在x a =时取到极大值223ln 2a a a -+，在1x =时取到极小值122a -；当1a =时， ()f x 没有极大值也没有极小值；当1a >时， ()f x 在x a =时取到极小值223ln 2a a a -+. 在1x =时取到极大值122a -. （Ⅲ）由（Ⅱ）知当0a >且1a ≠时， ()f x 有两个极值()f x 点1x ， 2x ， 且()()12f x f x += ()()1f a f + 2231ln 222a a a a =-++-. 所以()()12f x f x +- 2132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 21ln 2a a a ---< 21ln 1a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，设()1ln 1g a a a =-+，则()22111a g a a a a='-=-，所以()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，由0a >且1a ≠可得()()10g a g >=，所以()()12f x f x +- 2132a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭21ln 10a a a ⎛⎫--+< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x +< 2132a a +.16．已知点P 为22142x y E +=：上的动点，点Q 满足13OQ OP =. （1）求点Q 的轨迹M 的方程；（2）直线:l y kx n =+与M 相切，且与圆2249x y +=相交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值（其中O 为坐标原点）.【答案】（Ⅰ）2214299x y +=；（Ⅱ） 29.17．设函数()ln xf x ae x x =-，其中R a ∈，是自然对数的底数.（Ⅰ）若()f x 是()0,+∞上的增函数，求的取值范围； （Ⅱ）若22ea ≥，证明： ()0f x >. 【答案】（Ⅰ）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（I ）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II ）将原不等式()0f x >，转化为e ln 0xa x x ->，令()e ln xa F x x x=-，求出()F x 的导数，对分成01,1x x ≤两类，讨论函数的最小值，由此证得()0F x >，由此证得()0f x >. 试题解析：（Ⅰ）()()e 1ln xf x a x '=-+， ()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln exxg x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e 1ln x g x x x -⎛⎫=-'- ⎪⎝⎭， 令()11ln h x x x =--， ()2110h x x x'=--<， ()h x 是()0,+∞上的减函数， 又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈， ()0h x >， ()0g x '>， ()g x 递增；当()1,x ∈+∞， ()0h x <， ()0g x '<，()g x 递减；故当1x =时， ()g x 取得极大值且为最大值()11eg =， 所以1e a ≥，即的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18．已知椭圆1C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为4，左、右焦点分别为1F 、2F ，且1C 与抛物线2C ： 2y x =的交点所在的直线经过2F . （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）分别过1F 、2F 作平行直线m 、，若直线m 与1C 交于A ， B 两点，与抛物线2C 无公共点，直线与1C 交于C ， D 两点，其中点A ， D 在轴上方，求四边形12AF F D 的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）22184x y +=;（Ⅱ）5⎛ ⎝.【解析】试题分析：（I ）由焦距可得2c =，故椭圆与抛物线交点坐标为(，利用椭圆的定义求得a =222a b c =+解得2b =，由此求得椭圆的方程；（II ）设出直线m 的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用判别式小于零求得的取值范围.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，写出AB 的弦长，求得,m n 两条直线的距离，代入面积公式，化简后利用基本不等式求取值范围. 试题解析：（Ⅰ）依题意得24c =，则1F ， 2F .所以椭圆1C 与抛物线2C 的一个交点为(P ，于是12a PF = 2PF +=a =又222a b c =+，解得2b =所以椭圆1C 的方程为22184x y +=.19．已知动圆过定点()0,2，且在轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积；（Ⅱ）点P 在直线:20l x y --=上，点()0,1Q ，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，证明：存在常数λ，使得2||=PQ QA QB λ⋅，并求λ的值．【答案】(Ⅰ)98(Ⅱ)1（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，则由题意可得，切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，切线PB 的方程为()2222x y y x x -=-，再设点()00,P x y ，从而有()()1010*******{2x y y x x x y y x x -=--=-，所以可得出直线AB 的方程为()20000011422222x x x y y x x y y x x x y -=-⇒-=⨯-=-⨯，即002x y x y =-． 联立方程组002{24x y x yx y=-=，得200240x x x y -+=，又002y x =-，所以有()2002420x x x x -+-=， 可得1201202{48x x x x x x +==-，()()222222000000||13269PQ x y x x x x =+-=+-=-+，()()2222121212121211114444x x x x QA QB y y y y y y ⋅=++=+++=⋅+++=()()2212121221164x x x x x x +-++()()()220002004822481269164x x x x x ---++=-+，所以常数2||=1PQ QA QBλ=⋅． 20．已知函数()ln x f x x=， ()()1g x k x =-. （1）证明： k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f xg x ≤+成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， 则2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min 12x ϕ⇔≤， ()()222ln 111111ln ln ln 24ln x x k k k x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'.。

2017备战 高考数 学压轴题 集合1．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛 物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨 迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方 法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在 抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠ 同理有41)1)(1(cos 102110110x x x x x x x x BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到 直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线 AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0， 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 3．（本小题满分14分）已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++Λ为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足Λ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明Λ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.51<n a 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥--Λ 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥-Λ 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba bn b n b a b a n n +<+=+>∴=证法2：设nn f 13121)(+++=Λ，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1Λ=+≤n bn f ba n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k +≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bb k k f bbb k f k k bk ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1Λ=+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][log 22][log 21122Λ=+=+<n n b bb n b a n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y yPF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠Q 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。

绝密★启封前2017全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分.考试时间为120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.若集合2{|0},{|(0,1)},xM x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集，则下列选项错误的是 A ．M N M =I B ．M N R =U C ．R M C N ϕ=I D ．R C M N R =U 2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（） A ．1251313i + B ．1251313i -+ C ．1251313i -- D ．1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P （A|B ）是（ ） A. B.C.D.4.曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎜⎛0π2 (sin x －cos x )d x B ．2⎠⎜⎛0π4 (sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x)d x D ．2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x)d x 5.按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为A ．10000立方尺B ．1 1000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于 A.91B.103 C.31 D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且02=++OC OB OA ，那么（A ） AO OD =u u u r u u u r （B ） 2AO OD =u u u r u u u r （C ） 3AO OD =u u u r u u u r D 2AO OD =u u u r u u u r9.已知点P （x,y)满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A ．2B ．26C ．25D ．410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30o ，则双曲线C 的离心率是把a 的右数第i 位数字赋给t是 否输入6?i >1i i =+输出b0b =1i =12i b b t -=+⋅A.2B.2C.3D. 311数列{a n }的通项公式为an=11(1)n n++，关于{a n }有如下命题：P1：{a n }为先减后增数列；P2：{a n }为递减数列；P3：*,n n N a e ∀∈>P4：*,n n N a e ∃∈<其中正确的是A. P1,P3B. P1,P4C. P2,P3D. P2,P412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是（）AB.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. (4y x的展开式中33x y 的系数为。

2017-2019年高考真题导数压轴题全集（含详细解析）1．（2019•全国）已知函数2())f x x ax -． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为23-，求a ．2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当03a <<时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．4．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =0x >． （Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e ∈，)+∞均有()f x …，求a 的取值范围． 注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．5．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．6．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <…，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M …． 7．（2019•天津）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<，()i 证明()f x 恰有两个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．8．（2019•天津）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．9．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0x ∈，]π时，()f x ax …，求a 的取值范围． 10．（2019•新课标Ⅱ）已知函数1()1x f x lnx x +=--． （1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线．11．（2019•北京）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．12．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()sin (1)f x x ln x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．13．（2018•北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 14．（2018•北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．15．（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．16．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()1x f x ae lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e…时，()0f x …．17．（2018•新课标Ⅲ）已知函数21()xax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （2）证明：当1a …时，()0f x e +…．18．（2018•新课标Ⅱ）已知函数2()x f x e ax =-． （1）若1a =，证明：当0x …时，()1f x …； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．19．（2018•浙江）已知函数()f x lnx ．（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()882f x f x ln +>-；（Ⅱ）若342a ln -…，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 20．（2018•天津）已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >． （Ⅰ）求函数()()h x f x xlna =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点1(x ，1())f x 处的切线与曲线()y g x =在点2(x ，2())g x 处的切线平行，证明122()lnlnax g x lna+=-； （Ⅲ）证明当1ea e …时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线． 21．（2018•江苏）记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()g x lnx =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，()xbe g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 22．（2018•新课标Ⅱ）已知函数321()(1)3f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点． 23．（2018•新课标Ⅰ）已知函数1()f x x alnx x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．24．（2017•全国）已知函数32()3(1)12f x ax a x x =-++． （1）当0a >时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）当0a …时，讨论方程()0f x =实根的个数． 25．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()()x x f x e e a a x =--． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x …，求a 的取值范围．26．（2017•天津）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设[1m ∈，00)(x x ⋃，2]，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且[1pq∈，00)(x x ⋃，2]，满足041||p x q Aq-…． 27．（2017•新课标Ⅱ）设函数2()(1)x f x x e =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x ax +…，求a 的取值范围． 28．（2017•山东）已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中2.71828e ≈⋯是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程；（Ⅱ）令()h x g =()x a -()()f x a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．29．（2017•天津）设a ，b R ∈，||1a …．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点0(x ，0)y 处有相同的切线， ()i 求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；()ii 若关于x 的不等式()x g x e …在区间0[1x -，01]x +上恒成立，求b 的取值范围．30．（2017•江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：23b a >；（Ⅲ）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求实数a 的取值范围．31．（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．32．（2017•新课标Ⅱ）已知函数2()f x ax ax xlnx =--，且()0f x …． （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．33．（2017•浙江）已知函数1()(()2x f x x e x -=…．（1）求()f x 的导函数；（2）求()f x 在区间1[2，)+∞上的取值范围．34．（2017•新课标Ⅲ）已知函数2()(21)f x lnx ax a x =+++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3()24f x a--…． 35．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--．。

河北衡水中学2017年高考数学（理科）押题卷必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()()13lg 21|,|132x M x f x N x x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，则集合M N 等于（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（ ） A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于 （ ） A ．1213B ．41C ．1193D ．24194. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（ ） A ．23 B ．22 C. 6 D ．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（ ）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是233，则其底面周长为（ ）A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（ ）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（ ）A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111nn n aa a a a a n aa +++++= 对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++的值为（ ） A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ）A ．32 B ．2 C. 52 D ．15212.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示： 价格x8.5 9 9.5 10 10.5销售量y 12 11976由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，则ˆa= ． 14.将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ．15.已知两平行平面αβ、间的距离为23，点A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足23,3OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知ABC ∆关于AC 边的对称图形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.（1）求BC 边的长； （2）求cos ACB ∠的值.18.如图，已知圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.（1）求证：平面ABD ⊥平面ODE ； （2）求二面角B AD O --的正弦值．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．20.如图，已知6,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率； （2）若23AB =，求PQ ．21. 已知函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．（参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， ）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． （1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； （2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=． （1）求a b -的取值范围； （2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：（1）因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=．因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-= ， 所以42BE =，又75BC AB CE AE ==，所以723BC =． （2）由（1）知42BE =，所以2224932252cos 222742AB BE AE B AB BE +-+-===⨯⨯ ， 所以2sin 2B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以525sin ,cos 55BAC BAC ∠=∠=， 所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+2522510sin sin cos cos 252510B BAC B BAC =∠-∠=⨯-⨯=-． 18.解：（1）依题易知，圆锥的高为()225255h =-=，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()()22222222222 6.455526.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B = ，所以DE ⊥平面ABD ． 又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．（2）如图，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．则()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===，设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，则()12,41,15u =- ．可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =，所以4182cos ,10582u v u v u v ===， 所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． （2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：X 2 3 4 5P29 1327 2281 281所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）依题知2222611,5,04a b a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E 的离心率22232233a b e a --===； （2）依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,23r AB ==，所以原点到直线AB 的距离为2222232122AB d r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为点P 坐标为6,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ．所以直线AB 的方程为612y k x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，即6102kx y k --+=， 所以261211k d k-==+，解得0k =或26k =．①当0k =时，此时直线PQ 的方程为62x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当26k =时，直线PQ 的方程为161226y x ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234106210x x --=， 设Q 点坐标为()11,x y ，所以16106234x +=，解得17634x =-， 所以211630121726PQ x ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭．21.解：（1）因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <， 所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增． （2）因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e--++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++． 令12x x t e e -=+，则有10t e b t-++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，则121t t = ， 所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x xt e t e e e --=+=+ 的根． 由（1）知12x xt e e -=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如图，依据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -， 当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-，即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=． （2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。

1．已知函数()()()()24ln R ,g x a x a f x x g x x=-∈=+. （1）当2a =-时，试求函数()g x 的单调区间；（2）若()f x 在区间()0,1内有极值，求的取值范围.【答案】(1) ()0,2为单调递减区间， ()2,+∞为单调递增区间;(2) (),2-∞-.2．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为1F ，离心率为2，过点1F 且与轴垂直的直线被椭圆截(1)求椭圆C 的方程；(2)若24y x =上存在两点M N 、，椭圆C 上存在两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线， 1M N F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 斜率为0，此时4,PMQN MN PQ S ===四边形当直线MN 斜率存在时，直线()10MN y k x k =-≠：（），联立24y x =得()2222240(0)k x k x k -++=∆>，则242M N x x k +=+ ∴244M N MN x x p k=++=+ 由PQ MN ⊥可设直线PQ : ()()11k 0y x k =--≠， 联立椭圆消去y 得， ()22224220(0)k x x k +-+-=∆> ∴222422,22P Q P Q k x x x x k k -+==++∴)2212k PQ k +==+)()22221122PMQN k S MN PQ k k +=⋅=+四边形,令21(1)k t t +=>则2111PMQN S t ⎫===+>⎪-⎭四边形 综上， ()min PMQN S =四边形3．已知函数()ln f x x a =-（a R ∈）与函数()2F x x x =+有公共切线． （Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若不等式()2xf x e a +>-对于0x >的一切值恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）[)ln23,-+∞（Ⅱ）(]0,2（Ⅱ）等价于ln 20x x a e ax ++--≥在()0,x ∈+∞上恒成立，令()ln 2g x x x a e ax =++--，因为()'ln 1g x x a =+-，令()'0g x =，得ae x e=，所以()g x 的最小值为()122a a a ae e e e g a a e a a e e e e e ⎛⎫=-++--⋅=+-- ⎪⎝⎭，令()2xe t x x e e =+--，因为()'1xe t x e =-，令()'0t x =，得1x =，且4．已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点()2,0B 为直径的圆C 交直线1x =于M ，N 两点，直线与AB 平行，且直线交抛物线于P ， Q 两点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）1x =或3x =．又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =， 此时， 200240y m y -==，直线的方程为3x =， 综上，直线的方程为1x =或3x =．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点1,⎛ ⎝⎭是椭圆C 上的点，离心率e 2=. （1）求椭圆C 的方程；（2）点()()000,0A x y y ≠在椭圆C 上，若点N 与点A 关于原点对称，连接2AF 并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求AMN ∆面积的最大值.【答案】（1）（2）联立方程化简得，设，则，，点到直线的距离，因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，∴.综上，面积的最大值为.6．已知函数()xe f x x=． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点22,2e P ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程；（Ⅱ）证明： ()()2ln f x x x >-．【答案】（Ⅰ）240e x y -=; （Ⅱ）见解析.7．已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的左右焦点分别为1F，2F，离心率为12，点A在椭圆C上，12AF=，1260F AF∠=︒，过2F与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点，N为P，Q的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点10,8M⎛⎫⎪⎝⎭，且MN PQ⊥，求直线MN所在的直线方程．【答案】（Ⅰ）22143x y+=; （Ⅱ）MN的直线方程为16810x y+-=或162430x y+-=.【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得a,c的值，然后利用a,b,c的关系求得b的值即可得到椭圆的标准方程；(2)直线的斜率存在，利用点斜式设出直线方程，将其与椭圆方程联立，利用题意结合根与系数的关系得到关于实数k的方程，求解方程即可得到直线的斜率，然后求解直线方程即可.试题解析：（Ⅰ）由12e=，得2a c=，因为12AF =， 222AF a =-， 由余弦定理得22121212|2cos |AF AF AF AF A F F +-⋅=，解得1c =， 2a =，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=．8．已知的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，上顶点()0,A b ， 12AF F ∆是正三角形且周长为6.(1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2) O 为坐标原点， P 是直线1F A 上的一个动点，求2PF PO +的最小值，并求出此时点P 的坐标.【答案】(1) 22143x y +=， 12e =;(2) 23P ⎛- ⎝⎭.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义和12AF F ∆周长为，建立关于,,a b c 的方程组，解之得2,a b =且1c =，即可得到椭圆C 的标准方程，用离心率的公式即可得到该椭圆的离心率；（2）设直线1AF 的方程为)1y x =+，求出原点O 关于直线1AF 的对称点M的坐标为32⎛ ⎝⎭，从而得到2PF PM +的最小值为2PF =2PF的方程)1y x =-与1AF 方程联解，即可得到此时点P 的坐标. 试题解析：(1)由题意， 2222,{26,,a c a a c abc =++==+解得2,1a b c ==.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，离心率12e =.由))1{1,y x y x =-=+，解得2,3{x y =-=， 所以此时点P的坐标为23⎛- ⎝⎭. 综上所述，可求的2PF PO +P的坐标为2,33⎛-⎝⎭. 9．已知函数()()2ln 121f x x mx m x =-+-+. （1）当1m =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若m Z ∈，关于的不等式()0f x ≤恒成立，求m 的最小值.【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， ()f x 的极大值11ln224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极小值;(2) m 的最小值为1.无极小值.10．已知圆()2221:1F x y t ++=，圆()()2222:1F x y t -+=， 0t <<点时，所有可能的公共点组成的曲线记为C .（1）求出曲线C 的方程；（2）已知向量()1,3a =， M ， N ， P 为曲线C 上不同三点， 22F M F N a λμ==，求P M N 面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】试题分析：（1）看到12,F F 具有对称性所以要联想到椭圆或双曲线的定义，曲线C 上的点满足1212|2PF PF F F +==,∴曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆（2）∵22F M F N a λμ==，∴2,,M N F 三点共线，且直线MN l∴直线MN l 的方程为)1y x =-，与椭圆方程联立得271240x x -+=，借助弦长公式求得三角形的底边长，利用椭圆得参数方程设出动点设),sin Pθθ，利用点到直线距离公式求得高的最大值，从而得三角形面积最大值试题解析：（1）曲线C 上的点满足1212|2PF PF F F +==,∴曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆∴1,1a c b ==∴曲线C 的方程是2212x y +=11．已知函数()()1ln m f x x m x m R x -=--∈， ()212x x g x x e xe =+-， （1）当[]1,x e ∈，求()f x 的最小值，（2）当2m ≤时，若存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得对任意[]22,0x ∈-， ()()12f x g x ≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）21,21e e e ⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦.【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，借助导数与函数的单调性之间的关系判定函数的图像单调性，进12．2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1,⎛ ⎝⎭，点12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于,A B 两点，且2ABF S ∆=. （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：以AB 为直径的圆过坐标原点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：(1)利用离心率结合椭圆所过的点得到关系,a b 的方程组，求解方程组即可求得椭圆的标准方程；(2)分类讨论，当斜率不存在的时候单独考查，当斜率存在的时候设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和平面向量的结论证得0OA OB ⊥= 即可.试题解析：所以，由2125ABF S AB d ∆=⨯⨯=得： 22k =； 2121222012k OA OB x x y y k -⋅=+==+ OA OB ∴⊥所以，以AB 为直径的圆过坐标原点13．设函数()1ln a f x x x-=+， ()3g x ax =-（0a >）. （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（2）当1a =时，记()()()•h x f x g x =，是否存在整数λ，使得关于的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当01a <≤时， ()x ϕ的单调增区间为()0,+∞; 1a >时， ()x ϕ的单调增区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;（2）0.14．已知抛物线2:2(0)T x py p =>，焦点为F ，点P 在抛物线T 上，且P 到F 的距离比P 到直线2y =-的距离小1.（1）求抛物线T 的方程；（2）若点N 为直线:5l y =-上的任意一点，过点N 作抛物线T 的切线NA 与NB ，切点分别为,A B ，求证:直线AB 恒过某一定点.【答案】（1）24x y =（2）()0,5 【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义可得直线1y =-为抛物线的准线，即得12p =，（2）关键求出直线AB 方程，先设切点,A B 的坐标，利用导数几何意义可得切线斜率，进而根据点斜式可得切线方程，求两切线方程交点可得点N 坐标，由于点N 在直线:5l y =-上，所以可得1220x x =-.最后联立AB 方程y kx m =+与抛物线方程，利用韦达定理得5m =，即得直线AB 恒过定点()0,5. 试题解析：（1）因为P 到F 的距离与P 到直线1y =-的距离相等，由拋物线定义知，直线1y =-为抛物线的准线，所以12p =，得2p =,所以抛物线T 的方程为24x y =.15．已知函数()2ln ln 1x x f x x ++=， ()2x x g x e=． （1）分别求函数()f x 与()g x 在区间()0,e 上的极值；（2）求证：对任意0x >， ()()f x g x >．【答案】（Ⅰ）()f x 在()0,e 上有极小值()11f =，无极大值； ()g x 在()0,e 上有极大值()242g e =，无极小值；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由题意，利用导数进行求解，首先求出函数极值点，再判断极值点两侧的单调性，从而得出是否为极大值点，还是极小值点，问题即可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可将0x >分为()0e ，和[),e +∞两段进行证明，在区间()0e ，上可比较两个函数的极小值与极大值即，在区间[),e +∞上16．已知函数()(),x a f x e g x x==，为实常数． (Ⅰ)设()()()F x f x g x =-，当0a >时，求函数()F x 的单调区间；(Ⅱ)当a e =-时，直线x m =、(0,0)x n m n =>>与函数()f x 、()g x 的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证： ()()110m n --<．【答案】(1)单调递增区间为()(),0,0,-∞+∞，无单调递减区间；(2)证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的导数()2x a F x e x ='+ ，因为0a > ，所以显然()0F x '> 得到函数的单调区间；（Ⅱ）一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即()()()()f m g m f n g n -=- ，所以分析函数()()()F x f x g x =- ，根据函数的二阶导数可判断函数在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，若()()F m F n = ，即一个根小于1，一个根大于1，即得结果.试题解析：(Ⅰ) ()x a F x e x =-，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 而()2x a F x e x='+， 当0a >时， ()0F x '>，故F(x)的单调递增区间为()(),0,0,-∞+∞，无单调递减区间．(Ⅱ)因为直线x m =与x n =平行，故该四边形为平行四边形等价于()()()()f m g m f n g n -=-且0,0m n >> ．当a e =-时， ()()()(0)x e F x f x g x e x x=-=+>， 则()2x e F x e x ='-．令()()2x e g x F x e x==-' 则 ()320x e g x e x=+>'， 故()2x e F x e x='-在()0.+∞上单调递增； 而()2101e F e =-='， 故()0,1x ∈时()()0,F x F x '<单调递减； ()1,x ∈+∞时()()0,F x F x '>单调递增；而()()F m F n =，故01m n <<<或0 < n <1< m ，所以()()110m n --<．17．已知函数()ln 1m f x n x x =++（,m n 为常数）的图象在1x =处的切线方程为20x y +-=. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）已知()0,1p ∈，且()2f p =，若对任意(),1x p ∈，任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()3222f x t t at ≥--+与()3222f x t t at ≤--+中恰有一个恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减.（2）][15,84⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，()11f =，最大值为()2f p =，故原不等式等价于32221t at --+≤或32222t t at -++≥，分离常数得212a t t t ≥-+，或22a t t ≤-对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用导数求得21t t t -+的最大值，利用二次函数求最值的方法求得2t t -的最小值，由此可求得的取值范围.试题解析：（1）∵函数()ln 1m f x n x x =++的定义域为()0+∞，， ∴()()2'1mn f x xx =-++，由条件得()'114m f n =-+=-， 把1x =代入20x y +-=得1y =，∴()112m f ==，即2m =， 12n =-. ∴()21ln 12f x x x =-+， ()()221'21f x x x =--+. ∵0x >，∴()'0f x <，∴()f x 在()0+∞，上单调递减.∴实数的取值范围是][15,84⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，. 18．已知ABC ∆的顶点()1,0A ，点B 在轴上移动， AB AC =，且BC 的中点在y 轴上． （Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过()0,2P -的直线交轨迹Γ于不同两点M ， N ，求证： ()1,2Q 与M ， N 两点连线QM ， QN 的斜率之积为定值．【答案】（Ⅰ）24y x =（0y ≠）;（Ⅱ）见解析.19．如图所示，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F C 上的一点()4,M m 满足4MF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()1,0E -作不经过原点的两条直线,EA EB 分别与抛物线C 和圆()22:24F x y +-=相切于点,A B ，试判断直线AB 是否过焦点F .【答案】（1）28x y =；（2）AB 的方程为324y x =+，经过焦点()0,2F. （2）设:1EA x ky -=，联立21{8x ky x y=-=，消去得： ()222810k y k y -++=， 因为EA 与圆C 相切，所以()222840k k ∆=+-=，即2k =- 所以1,22A A y x ==-，得12,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设:1EB x ty =-，联立()221{24x ky x y =-+-=，消去得： ()()2212410t y t y +-++=， 因为EB 与圆F 相切，所以()()2224410t t ∆=+-+=，即34t =-， 所以48,55B B y x ==-，得84,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以直线AB 的斜率34AB k =， 可得直线AB 的方程为324y x =+，显然经过焦点()0,2F 20．过椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向轴作垂线，垂足为右焦点F ， A 、B 分别为椭圆C 的左顶点和上顶点，且AB OP ，AF =（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆恒过坐标原点O .问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22163x y+=（2）存在。