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一、第七章万有引力与宇宙航行易错题培优（难）
1．中国火星探测器于2020年发射，预计2021年到达火星（火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离），要一次性完成“环绕、着陆、巡视”三步走。现用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a1、a2、h0为已知，引力常量为G。下列判断正确的是（）
A．火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度
B．火星表面的重力加速度大小为a2
C10
21
a
a a
-
D．火星的质量为
2
2
120
21
2
a a h
G
a a
-
【答案】ABC
【解析】
【分析】
【详解】
A．根据
2
2
Mm v
G m
r r
=
知
GM
v
r
=
轨道半径越大线速度越小，火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离，所以火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度，故A正确；
B．分析图象可知，万有引力提供向心力知
2
Mm
G ma
r
=
r越小，加速度越大，当h=0时的加速度等于火星表面的重力加速度大小，大小为a2，故B 正确；
CD．当h=h0时，根据
2
0(
)R h +22
Mm
G
ma R = 得火星的半径
1021a R h a a =
-
火星的质量
2
12
2
021()a a h M G
a a =-
故C 正确，D 错误。 故选ABC 。
2．在地球上观测，太阳与地内行星（金星、水星）可视为质点，它们与眼睛连线的夹角有最大值时叫大距。地内行星在太阳东边时为东大距，在太阳西边时为西大距，如图所示。已知水星到太阳的平均距离约为0.4天文单位（1天文单位约为太阳与地球间的平均距离），金星到太阳的平均距离约为0.7天文单位，地内行星与地球可认为在同一平面内的圆轨道上运动，地球的自转方向与公转方向相同，取0.70.8≈，0.40.6≈，则下列说法中正确的是（ ）
A ．水星的公转周期为0.4年
B ．水星的线速度大约为金星线速度的1.3倍
C ．水星两次东大距的间隔时间大约
619
年 D ．金星两次东大距的间隔时间比水星短 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
A ．行星绕太阳公转时，由万有引力提供向心力，则得
22r T
可得行星公转周期为
2T = 式中M 是太阳的质量，r 是行星的公转轨道半径。 则水星与地球公转周期之比
T T ===水地所以水星的公转周期为
T =水
故A 错误
B ．由万有引力提供向心力得
2
2Mm v G m r r
= 得
v =
则水星的线速度与金星线速度之比
1.3v v =
=≈水金
则B 正确。
C ．设水星两次东大距的间隔时间为t 。则
222t t T T ππ
π=
-水地
得
6
19T T t T T =
=
≈-地水地水
年
则C 正确；
D ．因金星的周期长，则金星两次东大距的间隔时间比水星长，则D 错误。 故选BC 。
3．2020年5月24日，中国航天科技集团发文表示，我国正按计划推进火星探测工程，瞄准今年7月将火星探测器发射升空。假设探测器贴近火星地面做匀速圆周运动时，绕行周期为T ，已知火星半径为R ，万有引力常量为G ，由此可以估算（ ） A ．火星质量
B ．探测器质量
C ．火星第一宇宙速度
D ．火星平均密度
【答案】ACD 【解析】 【分析】
本题考查万有引力与航天，根据万有引力提供向心力进行分析。 【详解】
A ．由万有引力提供向心力
2
224Mm G m R R T
π= 可求出火星的质量
23
2
4R M GT
π= 故A 正确；
B ．只能求出中心天体的质量，不能求出探测器的质量，故B 错误；
C ．由万有引力提供向心力，贴着火星表面运行的环绕速度即火星的第一宇宙速度，即有
22Mm v G m R R
= 求得
2R
v T
π=
=
故C 正确；
D ．火星的平均密度为
23
2234343
R M GT V GT R ππρπ=== 故D 正确。 故选ACD 。
4．按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程。已在2013年以前完成。假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船沿距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是（ ）
A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率0g R v =
B ．飞船在A 点处点火变轨时，速度增大
C ．飞船从A 到B 运行的过程中加速度增大
D ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间0
2πR T g =【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】
A ．飞船在轨道Ⅰ上，月球的万有引力提供向心力
22(4)4Mm v G m R R
= 在月球表面的物体，万有引力等于重力，得
002
Mm G
m g R
= 解得
0g R v =
故A 正确；
B ．在圆轨道实施变轨成椭圆轨道远地点是做逐渐靠近圆心的运动，要实现这个运动必须万有引力大于飞船所需向心力，所以应给飞船减速，从而减小所需的向心力，则变轨时速度减小，故B 错误；
C ．飞船在轨道Ⅱ上做椭圆运动，根据牛顿第二定律可知
2Mm
G
ma r
= 因A 到B 的过程距离r 变小，则加速度逐渐增大，故C 正确； D ．对近月轨道的卫星有
2
024mg m R T
π=
解得
