广东省广州市第三中学初高中数学教材衔接导学案：第十一课二次函数的最值

“二次函数的最值”说课一、数学分析1. 所选的内容在初中数学中的作用和地位：二次函数的最值是二次函数性质的重要组成部分，是二次函数性质的综合概括和归宿，有着广泛的应用。

2. 所选的内容在计算能力方面的作用和地位：用配方法求二次函数的最值离不开代数式的加、减、乘、处、乘方等运算，对计算能力有着较高的要求，是初中函数部分教学的重点之一。

3. 所选的内容与数学其他内容的联系：二次函数的最值问题与一元二次方程的解法、代数式的恒等变形、一元二次不等式等知识之间有着紧密的联系，属于初高中衔接内容之一。

二、标准分析《数学课程标准（ 2011 版）》对二次函数的最值问题的要求是：“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向、画出函数的对称轴，并能解决简单实际问题。

”这里的“配方法”在初中阶段涉及程度很高，“解决简单实际问题”往往引申到最值问题，在中考函数综合题中经常出现。

三、重点分析二次函数的最值问题的重点是由一般式的二次函数解析式怎样得道二次函数的最值。

我将以不同方式引导学生解决这个问题，重点放在用运算的方法即“用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式”这种方法上。

教学中我将对关于一个字母（ x）的二次三项式的“配方”方法进行指导和变式训练，进而达到运算的熟练程度，初步形成运算技能。

难点是字母系数二次函数最值的确定。

（对于限定自变量取值范围的二次函数，怎样求函数的最值？可借助二次函数图象直观感受、数形结合加以突破。

）但其中的主线仍是“数学运算”！四、学情分析我现在教的九年级学生已经学过二次函数的图象和基本性质，并且在前面的学习中已理解并掌握了用配方法解一元二次方程的知识，这为探究“用配方法求二次函数的最值问题”打下了坚实的基础。

另外本班的学生，能够主动地思考，并乐于和同伴合作、交流，乐于展示自己的想法，有较强的自我发展意识。

因此，遵循学生的认知规律，针对学生的实际情况，结合课标提出的:“学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者”，在教学活动中，我采用启发式教学法，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。

第2讲 二次函数的最值二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量x 在某个范围内取值时，求函数y 的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用． 【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. 2.二次函数的图象和性质3.二次函数的最值（1）.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba -时，函数取最大值y ＝244acb a-．【高效演练】1.二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是y ＝________. 【解析】设y ＝a (x －2)2－1(a ＞0)， 当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，所以y ＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.【答案】12x 2－2x ＋1.2.已知函数y=x 2＋2ax ＋1－a (x ∈[0，1])有最大值2，则a ＝________.【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a . 当a<0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a>1时，f(x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 【答案】－1或2.3.已知函数y=x 2﹣2x+3，求下列情况下二次函数的最值 （1）2≤x≤3； （2）-2≤x≤2．【分析】（1）根据二次函数y=x 2﹣2x+3的图象和性质，分析当2≤x≤3时，y 递增，进而可得y 的最大值、最小值；（2）根据二次函数y=x 2﹣2x+3的图象和性质，分析当-2≤x≤2．时，函数的单调性，进而可得y 的最大值、最小值．【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。

二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在 内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在 内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和 的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在 内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面 有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？ 师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在 内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究 时含参二次函数在 内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在 内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在 内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。

二次函数的区间最值问题导学案【学习目标】(1) 知识与技能：掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。

培养敏锐的观察力、运算的准确性、思维的灵活性、发散性、独立性、合作性。

(2) 思想与方法：数形结合的思想, 分类讨论的思想。

(3) 情感、态度与价值观：培养运用辨证唯物主义观点分析解决数学问题的能力。

培养学生严谨的科学态度、欣赏数学的美学价值，以及探索问题的积极性、主动性和同学互相合作的团队精神。

【自主学习】2f (x)ax bx c(a0) 的顶点式1. 二次函数顶点：对称轴：2f ( x)ax bx c(ax00) 的图像及性质Ra2. 已知二次函数定义域判别式a图像对称性单调性最值【复习巩固】x 2 1. 函数 2x 2 的单调区间是 （ ）y A.( ,1] B.[1, ) C.( ,2] D.[ 2, )2 x 2. 已知函数 ( x ) 2 x 2f （1）判断函数 f ( x) 的单调性；（ 2）求函数 f ( x) 的最值。

x 2 3. 函数 f ( x ) 2mx 3 在区间 [1,2] 上单调，求 m 的取值范围。

【典型题探索】一、抛物线开口方向定、对称轴定、区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

2 x 例 1 求函数 f (x ) 2 x3 的最值x 2, 0 （ 2） x 0,3 （ 3） x 2, 4（ 1） x 2 变式 . 已知函数 y 4 x ，求满足下列条件的函数的最值：① x 4,0 ② x 1, 4▲总结：求一元二次函数在闭区间上的最值的思路：1 、对称轴不在区间内时，函数在区间上具有2 、对称轴在区间内时，其中一个最值一定在 性，可由此求得；取到，另一个最值要分成对称轴在区间中点的左侧时， 时，最值在 取到。

最值在 取到，对称轴在区间中点右侧二、抛物线开口方向定、对称轴动、区间定二次函数随着参数的变化而变化， 即其图象是运动的， 但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

高一数学《二次函数的最值》教案
高一数学《二次函数的最值》教案分课题二次函数的最值课型新授课
教学目标熟练地掌握二次函数的最值及其求法。

重点二次函数的的最值及其求法。

难点二次函数的最值及其求法。

一、复习引入
二次函数的最值：
二、例题分析：
例1：求二次函数的最大值以及取得最大值时的值。

变题1：⑴、⑵、⑶、
变题2：求函数（）的最大值。

变题3：求函数（）的最大值。

例2：已知（）的最大值为3，最小值为2，求的取值范围。

例3：若，是二次方程的两个实数根，求的最小值。

三、随堂练习：
1、若函数在上有最小值，最大值2，若，
则 =________， =________。

2、已知 , 是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（）
A、0
B、1
C、－1
D、2
3、求函数在区间上的最大值。

二次函数的运用（1）教学设计何时获得最大利润教学目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．教学方法:在教师的引导下自主教学。

教学过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y（1①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b 2）2＋ab ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、小结：本节课我们学习了什么？六、作业1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）（1）求y与x（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？教学反思何时获得最大利润1、本节课之前的学习内容中，学生已初步了解求特殊的二次函数最大（小）值的方法，但教材上没有求一般二次函数最大（小）值的方法．在学生探索“何时获得最大利润”的过程中，对求一般二次函数最大（小）值的方法，在这节课中我引导学生从多个角度体会了函数的最值的求法。

二次函数的最值和像知识点总结二次函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

其中，最值和像是二次函数的重要知识点之一。

通过对二次函数的最值和像的深入了解，我们可以更好地理解和使用二次函数。

本文将对二次函数的最值和像进行总结，帮助读者掌握相关知识。

1. 最值知识点总结二次函数的最值是指函数在定义域内的最大值和最小值。

要求最值时，需要先找到函数的导数，然后求导得到的一次函数的解，再将解带入原函数中求得最值点及最值。

首先，我们来看一下二次函数的标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。

在这个函数中，a、b、c是常数，a≠0。

（1）最大值二次函数的最大值只可能出现在开口向下的抛物线上。

当a>0时，对应的二次函数开口向上，没有最大值；当a<0时，对应的二次函数开口向下，存在最大值。

要求最大值时，我们可以通过求导的方式来找到最值点。

对函数f(x)求导，得到的一次函数f'(x) = 2ax + b。

令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。

将x = -b/2a代入原函数f(x)中，得到函数的最大值点为(-b/2a, f(-b/2a))。

（2）最小值二次函数的最小值只可能出现在开口向上的抛物线上。

当a>0时，对应的二次函数开口向上，存在最小值；当a<0时，对应的二次函数开口向下，没有最小值。

求最小值的方法与求最大值类似。

我们同样对函数f(x)求导，得到一次函数f'(x) = 2ax + b。

令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。

将x = -b/2a代入原函数f(x)中，得到函数的最小值点为(-b/2a, f(-b/2a))。

总结：二次函数存在最值的条件是开口朝下时存在最大值，开口朝上时存在最小值。

求最值的方法是通过求导得到一次函数，然后求解一次函数的解，最后代入原函数得到最值点。

2. 像知识点总结二次函数的像是指定义域内的所有函数值。

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【关键字】数学
第十一课二次函数的最值
一、知识点：
二次函数的最值
2、例题
例1求二次函数的最大值以及取得最大值时的值．
变式1：⑴⑵⑶
变题2：求函数（）的最大值．
变题3：求函数（）的最大值．
例2 已知（）的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．
例3 若，是二次方程的两个实数根，求的最小值．
三、练习：
1．函数的最小值是4，且当=2时，=5，则=______，=_______．
2．试求关于的函数在上的最大值．
3．已知函数当时，取最大值为2，求实数的值．
、
4．已知是方程的两实根，求的最大值和最小值．
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二次函数的最值问题教案
教学目标：
1. 理解二次函数的最值概念，掌握求解二次函数最值的方法。

2. 学会分析和解决实际问题，培养创新思维和数学应用能力。

3. 培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。

教学内容：
1. 二次函数最值的概念。

2. 求解二次函数最值的方法。

3. 应用实例。

教学重点：
1. 掌握二次函数最值的概念和求解方法。

2. 运用二次函数解决实际问题。

教学难点：
1. 分析实际问题中的数学模型。

2. 灵活运用二次函数解决实际问题。

教学方法：
1. 讲解法：通过讲解二次函数的最值概念和求解方法，帮助学生理解掌握。

2. 练习法：通过练习，让学生熟练掌握求解二次函数最值的方法。

3. 案例分析法：通过案例分析，培养学生分析和解决实际问题的能力。

教具准备：
1. 黑板和粉笔。

2. 多媒体课件：用于展示二次函数的图像和求解过程。

3. 教学范例：用于学生分析和解决问题。

教学过程：
1. 导入新课：通过复习已学知识，引出二次函数的最值概念。

2. 新课学习：讲解二次函数最值的概念和求解方法，结合实例进行讲解。

3. 练习巩固：让学生练习求解二次函数最值的题目，检验学生的掌握情况。

4. 案例分析：通过分析实际问题的数学模型，让学生了解如何运用二次函数解决实际问题。

5. 小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。