初中数学三角形综合练习

七年级下册数学三角形全等证明综合题北师版一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，试说明DF=CE，小明是这样做的，老师扣他了3分，大家帮他找一下，他到底那个地方扣分了？证明：∵AE=BF∴AE -EF= BF-EF，即AF=EB①又∵AD∥BC∴∠C=∠D②在△ADF和△BCE中③ ∴△ADF≌△BEC（SAS）④ ∴DF=CE 上面过程中出错的序号有（）A.①②③④B.②③④C.①②③D.③④答案：B试题难度：三颗星知识点：证明题的书写步骤及定理应用考察2.已知如下左图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，图中全等的三角形有（）对A.1B.2C.3D.4答案：C试题难度：三颗星知识点：全等三角形的个数3.如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．小红在做这道题目的时候部分分析思路如下：猜测AP和AQ的数量关系应该是相等的，证明线段AP=AQ，将这两条线段放到两个三角形中，即证明__≌__，题中已知BP=AC，CQ=AB，采取的判定方法是__，此时需要找的第三组条件=__.①△APD≌△QAE ②△APB≌△QAC ③SAS ④SSS ⑤AP=AQ⑥∠ABP=∠QCA ⑦∠PAB=∠AQC ⑧∠BPA=∠CAQA.①③⑧B.②③⑦C.②③⑥D.②④⑤答案：C试题难度：三颗星知识点：三角形全等解题思路4.已知，如图∠ACE=90°，AC=CE，B为AE上一点，ED⊥CB于D，AF⊥CB交CB的延长线于F．求证：DF=CF－AF.小强在做这道题目的时候部分分析思路如下：从图中知道DF=CF－CD，只需证明AF=CD，即证明△ACF≌△CED,题中已知AC=CE，ED⊥CB，AF⊥CB，采取的判定方法是AAS，此时需要找的第三组条件__=__.因为ED⊥CB，所以__+__=90°，而∠ACE=90°，即__+__=90°，根据等量代换即可得到第三组条件.①∠CAF=∠CED ②∠ACF=∠CED ③∠DBE+∠BED=90°④∠DCE+∠DEC=90° ⑤∠ACF+∠CAF=90° ⑥∠ACF+∠FCE=90°A.①③⑤B.①③⑥C.②④⑤D.②④⑥答案：D试题难度：三颗星知识点：三角形全等解题思路5.如图，在中，,AB=12，则中线AD的取值范围是（）A.7＜AD＜17B.C.5＜AD＜12D.答案：B试题难度：三颗星知识点：倍长中线法6.如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点.则下列式子正确的是（）A.AB-AC＜PB-PCB.AB-AC≧PB-PCC.AB-AC=PB-PCD.AB-AC＞PB-PC答案：D试题难度：三颗星知识点：截长补短法7.已知△ABC，∠BAD=∠CAD，AB=2AC，AD=BD，下列式子中正确的是（）A.AB=2ADB.AD=CDC.AD⊥BDD.DC⊥AC答案：D解题思路：利用翻折的思想来进行解决，在AB上截取AE=AC，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AB=2AC，∴AE=BE，又∵AD=BD，∴DE⊥AB，再证明△ADE≌ADC，∴∠ACD=∠AED=90°，即DC⊥AC．试题难度：三颗星知识点：折叠与全等8.如图，已知△ABC，BD=EC≠DE，则对于AB+AC与AD+AE的大小关系正确的是（）A.AB+AC=AD+AEB.AB+AC≧AD+AEC.AB+AC＞AD+AED.AB+AC≦AD+AE答案：C解题思路：利用平移的思想来进行解题，可以将△AEC平移至BD处，使EC与BD重合，假设为△BDF，DF与AB交于点G，则可先证△BDF≌△ECA，则在△BGF和△DGA中，BG+FG ＞BF，DG+AG＞AD，即AB+AC＞AD+AE．解：过点B和D作BF∥AE，DF∥AC，BF与DF交于点F，DF 与AB交于点G，则△BDF≌△ECA（ASA），∴BF=AE，DF=AC，在△BGF和△DGA中，BG+FG ＞BF，DG+AG＞AD，二式相加可得BG+FG+ DG+AG＞BF+ AD 即AB+AC＞AD+AE．试题难度：三颗星知识点：平移与全等9.如图，EF分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足，则下列说法中正确的是（）A.直接证明△ABE和△AHE全等可以证明AH=ABB.EF=BE+DFC.AE=AFD.∠AEB=∠AFE答案：B解题思路：利用旋转的思想来进行解题，延长EB使得BH=DF，易证△ABH≌△ADF（SAS）可得∠EAH=∠EAF=45°，进而求证△AEH≌△AEF可得EF=BE+DF解：延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，可得△ABH≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠EAH=∠EAF=45°∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF=EH=BE+DF试题难度：三颗星知识点：旋转与全等。

人教版八年级上册数学第11章三角形 11.1.1三角形的边综合练习1.三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x－1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是 .2. 已知三角形三边长分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是( )A. 4＜a＜10B. 5＜a＜11C.－5＜a＜－2D.－2＜a＜－53. 已知a，b，c为△ABC的边长，b，c满足(b－2)2＋c－3＝0，且a为方程|a－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.4. 已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，且三角形的周长是大于14的偶数.(1)求c的值；(2)判断△ABC的形状.5.在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB∶BC＝( )A.3∶4B. 2∶1C.1∶2D. 4∶36.如图，在△ABC中，PA，PB，PC是△ABC三个内角的平分线，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝度.7.如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，则点D到AB的距离是 .8. 一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠ABC＝ .9.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，且∠C＝76°，∠A＝60°，则∠BDE的度数为( )A.20°B.22°C.44°D.82°第9题图10. 一个三角形三个内角的度数比为3∶4∶5，则这个三角形一定是( )A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.等腰三角形11.在△ABC中，∠A＝60°＋∠B＋∠C，则∠A等于( )A. 60°B. 30°C.120°D.140°12. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为( )A.30°B.45°C.50°D.60°13.如图，BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，BE，CF相交于D，则∠CDE的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.50°14.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是AC边上一点，BE，CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为( )A.62°B. 90°C.78°D. 68°15. 已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，F是高BE，CD的交点，求∠BFC的度数.16. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠ACB＝ .17. 如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于 .18.如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点F.(1)若∠OCD＝50°(如图1)，试求∠F的度数；(2)当C，D在射线OA，OB上任意移动时(不与点O重合)(如图2)，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F的度数.19.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状，为什么？(3)如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A 与∠D有什么关系？为什么？【答案】1.3或42. C3.解：解：∵(b－2)2＋c－3＝0，∴b－2＝0，c－3＝0，∴b＝2，c＝3.∵|a－4|＝2，∴a＝6或2.当a＝6，b＝2，c＝3时，不能构成三角形；当a＝2，b＝2，c＝3时，周长为7，是等腰三角形.4, (1)∵6－4＜c＜6＋4，∴2＜c＜10.又∵三角形的周长是大于14的偶数，∴c＞4，且c为偶数，∴c＝6或8.(2)当c＝6时，b＝c＝6，a＝4，此时△ABC为等腰三角形；当c＝8时，b＝6，a＝4，此时△ABC为不等边三角形.5. C6.907. 103 8.75°9. B 10. A 11. C 12. A 13. B 14. A解析：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，∴∠ADC＝90°，∴∠BDF＝180°－∠ADC＝90°.在△BDF中，∠BFD＝180°－∠BDF－∠DBF＝180°－90°－28°＝62°，∴∠CFE＝∠BFD＝62°.15. 解：∵∠A＝55°，BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ABE＝∠ACD＝180°－∠A－90°＝35°，∴∠BCF＋∠CBF＝180°－∠A－∠ABE－∠ACD＝180°－55°－35°－35°＝55°，∵∠BFC＋∠BCF＋∠CBF＝180°，∴∠BFC＝125°.16. 72°17.解：70°18.. (1)∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，∴∠CDO＝40°，∠ACD＝130°.∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°.∵∠DCE＝180°－∠DCF，∠F＋∠CDF＝180°－∠DCF，∴∠ECD ＝∠F ＋∠CDF ， ∴∠F ＝45°. (2)不变化，∠F ＝45°.∵∠AOB ＝90°， ∴∠CDO ＝90°－∠OCD ，易知∠ACD ＝180°－∠OCD . ∵CE 是∠ACD 的平分线，DF 是∠CDO 的平分线， ∴∠ECD ＝90°－12∠OCD ，∠CDF ＝45°－12∠OCD .∵∠DCE ＝180°－∠DCF ，∠F ＋∠CDF ＝180°－∠DCF ， ∴∠ECD ＝∠F ＋∠CDF ， ∴∠F ＝45°. 19. 解：(1)∠ACD ＝∠B .理由如下： ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B . (2)△ADE 是直角三角形.∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别在AC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B ，∠A 为公共角，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，∴△ADE 是直角三角形.(3)∠A ＋∠D ＝90°.∵在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠C ＝90°，∠E ＝90°，AB ⊥BD ， ∴∠ABC ＋∠A ＝∠ABC ＋∠DBE ＝∠DBE ＋∠D ＝90°，∴∠A ＋∠D ＝90°.。

经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。

9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。

②多边形的外角和等于360°。

三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

第三章 三角形【稳固根底训练】题型发散1，选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．(1)以下各条件中，不能作出惟一三角形的是( )(A)两角和夹边(B)两边和夹角(C)两边和其中一边的对角(D)三边(2)一个三角形的周长为15cm ，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为( )(A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm(3)如果角形的一个内角等于其余两个内角的和，那么这个三角形是(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)锐角三角形或钝角三角形(4)线段AB ，用规尺作AB 的垂直平分线CD ，垂足为E ，在CD 上取—点F ，使EF=21AB ，连结AF ，BF ，那么∠AFB 的度数是 ( ) (A)︒60 (B)︒75 (C)︒90 (D)︒120(5)在Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，CD ⊥AB ，E 为AB 的中点，AC=3cm ，AB=6cm ，那么∠DCE 的度数是 ( )(A)︒15 (B)︒30 (C)︒45 (D)︒602．填空题．(1)假设两个三角形全等，那么它们对应高、对应中线、对应的角平分线分别______________.(2)在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥AC ，交BC 于D ，假设AB=a ，那么CD=______________.(3)在△ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A+∠B 还大︒12，那么这个三角形是__________角三角形．(4)在△ABC 中，∠ACB=︒90，CD ⊥AB ，垂足是D ，E 是AB 的中点，如果AB=10，BC=5，那么CE=___________，∠A=___________，∠B=_______，∠DCE______，DE=___________(5)在△ABC 中，假设∠A=︒60，∠B<∠C ，那么三边的大小关系________ 解法发散1．如图5—61，在直角三角形ABC 中，∠C=︒90，AD=AC ，BE=BC ．求∠DCE 的度数．(用四种解法)2．如图5—62，D 、E 在BC 上，∠BAD=∠CAE ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．(用两种方法证明)3．如图5—63，AB=AC ，DE=DF ，求证：BE=CF ．(用两种方法证明) 变更命题发散1．在△ABC 中，AB>AC ，AM 是BC 边上的中线．求证：∠CAM>∠BAM ．2．如图5-64，AB>AC ，延长BC 到E ，使CE=CA ，延长CB 到D ，使BD=AB ．求证：AD>AE.3．如图5-65，在△ABC 中，AB>AC ，且∠BAC>︒90，AB 、AC 边上垂直平分线分别交BC 边于D 、E 两点，求证：AD>AE ．变换发散1．如图5—66，在△ABC 中，∠1=∠2，AB+BP=AC ．求证：∠B=2∠C.2．如图5-67，△ABC 为正三角形，P 是任意一点．求证：PA≤PB+PC ． 逆向发散1．如图5—68，AD ∥EC ，CE>CB ．求证：∠B>∠A ．2．如图5—69，在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 上一点．求证：∠ADB>∠ABD ． 构造发散1．如图5—70，在△ABC 中，AB=AC ．E 是AB 上任意一点，延长AC 到F ，使BE=CF ．连接EF 交BC 于M ，求证：EM=FM ．2．如图5—71，AE ∥BC ，AD 、BD 分别平分∠EAB 、∠CBA ，EC 过点D ．求证：AB=AE+BC ．纵横发散1．如图5—72，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且BD=EC ，AD 和BE 相交于F ，BG ⊥AD 于G ．求FGBF 的值．2．斜边和一锐角，作直角三角形．：线段c 及锐角α．求作Rt △ABC ，使斜边等于c ，其中—个锐角等于α． 综合发散1．如图5—73所示，△ABC 中，AB=AC ，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于E 、F ，分别以AE 、AF 为边在△ABC 的外部作等边△AEG 和△AFH ，连结BH 与CG 交于O ．求证：(1)BH=CG ；(2)AO 平分∠BAC ．2．设AD 是△ABC 中∠A 的平分线，过A 引直线MN ⊥AD ，过B 作BE ⊥MN 于E ．求证：△EBC 的周长大于△ABC 的周长．3．如图5—74，△ABC 是等边三角形．∠ABE=∠BCF=∠CAD ，求证：△DEF 是等边三角形．4．AD 是△ABC 中BC 边上的中线，F 是DC 上—点，DE=EC ，AC=21BC ，求证：AD 平分∠BAE ．5．在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线且AB=AC+CD ．求证：∠C=2∠B【提高能力测试】题型发散1．选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．(1)以下各条件中，不能作出惟一直角三角形的是 ( )(A)两直角边(B)两锐角(C)一直角边和一锐角(D)斜边和一直角边(2)AM 、AH 、AD 分别是△ABC 的BC 边上的中线、高线和∠A 的平分线，AB≠AC ，那么AM 、AH 、AD 的位置关系为 ( )(A)AD 在AM 和AH 之间(B)AM 在AD 和AH 之间(C)AH 在AD 和AM 之间(D)不能确定(3)三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是 ( )(A)14 (B)15 (C)16 (D)17(4)在△ABC 中，假设∠A=21∠B=31∠C ，那么这个三角形是 ( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)以上都不对(5)线段m ，n(m>n)，用直尺和圆规作等腰△ABC ，使AB=AC=m ，BC=n ，再分别以AB 、AC 为边向三角形外作等边△ABD 和等边△ACE ，连结BE 、CD ，那么 ( )(A)BE>CD (U)BE=CD (C)BE<CD (D)BE≤CD(6)在△ABC 中，AB>AC ，AD 为BC 边上的中线，那么∠DAB 与∠DAC 的大小关系是 ( )(A)∠DAB>∠DAC (B)∠DAB<∠DAC(C)∠DAB=∠DAC (D)不能确定2．填空题．(1)在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，那么∠C=______________(2)在锐角△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH=AC ，那么∠ABC=________度．(3)△ABC ，D 在AC 上，∠A=︒36，∠DBC=︒36，∠C=︒72，那么∠BDC=_________度，∠ABD=_________度，其中等腰三角形有__________(4)边长为2，x-4，5的三根木条首尾相接组成三角形，那么x 的取值范围是______________.(5)在△ABC 中，如果()242>-=n n a ，b=4n ，那么c=_______时，∠C=︒90．(6)在Rt △ABC 中，AB=2AC ，CD 、CE 分别是斜边上的中线和高，那么∠DCE=____________.解法发散1．如图5—75，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使 BD=AB ，E 为AB 的中点，求证：CD=2CE ．(按原图与如下四个图(见图5-76(a)～(d))所作辅助线用五种方法证明)2．如图5—77，在△ABC 中，∠A=︒90，∠C 的平分线交对边AB 于点E ，交斜边上的高AD 于O ，过点O 作OF ∥CB 交AB 于F ，求证：AE=BF ．(用两种方法证明)3．如图5—78，△ABC 中，∠B 是锐角，且∠B=2∠C ，AD 是BC 边上的高．求证：AB+BD=DC(用两种方法证明)变换发散1．如图5—79，在△ABC 中，AB=AC ，P 是三角形内一点且有∠APB>∠APC ．求证：PB<PC ．2. 如图5—80，△ABC 按逆时针旋转至△C B A ''的位置，使AC 平分B B '．求证：B A '也平分C C '．逆向发散发散题 如图5—81，在△ABC 中，AB=AC ，BD=DC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：DE=DF ．构造发散1．如图5—82，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，E 为BC 的中点，过E 作EF ∥AD 交AB 于G ，交CA 的延长线于F ，求证：BG=CF ．2．如图5—83，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠C 的平分线．求证：BC=AC+AD ．3．如图5—84，在等边三角形ABC 中，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连CE 、DE ．求证：CE=DE ．变更命题发散1．如图5—85，在△ABC 中，CF 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的高，假设AB>AC ．求证：BE>CF ．2．如图5—86，AB=AE ，∠B=∠E ．BC=ED ．F 是CD 的中点．求证：AF ⊥CD ．3．如图5—87，AB=AE ，BC=ED ，∠B=∠E ，求证：∠C=∠D.迁移发散1．△ABC 的周长是12cm ，假设c+a=2b,c-a=2cm ，求a 、b 、c 的长度．2．如图5—88，△ABC 中，AB=2CA ，且CA 为最小边．求证：61(AB+BC+CA)<CA<41(AB+BC+CA). 综合发散1．如图5—89，自Rt △ABC 的直角顶点A 作BC 上的高AD ．求证：AD+BC>AB+AC2．如图5—90，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为一边作等边三角形ACD 和CBE ，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ．求证：(1)△CMN 是等边三角形；(2)MN ∥AB ．3．D 是△ABC 中∠BAC 平分线AE 上一点，AB>AC ．求证：AB-AC>BD-DC ．4．在△ABC 中，∠C= 90，AC=BC ，过C 在△ABC 外作直线MN ，使AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ．(1)求证：MN=AM+BN ；(2)假设过C 在△ABC 内作直线MN ，当MN 位于何位置时，AM 、BN 和MN 之间满足关系式AM-BN=MN ．并证明之．5．如图5—91，：O 是△ABC 内一点．求证：(1)∠BOC>∠A ； (2)21(BC+CA+AB)<OA+OB+OC ． 6．如图5—92，在等腰直角三角形ABC 中，P 为斜边BC 的中点，D 为BC 上任一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：PE=PF ，PE ⊥PF ．参考答案【稳固根底知识】1．(1)(C) (2)(C) (3)(B) (4)(C) (5)(B)2．(1)相等． (2)2a ． (3)钝． (4)5，︒30，︒60，︒30，． (5)b<a<c ． 解法发散1．解法1∵AD=AC ，∴∠5=∠2+∠1．∴BE=BC ，∴∠4=∠2+∠3．∴∠A=︒180-(∠5+∠1+∠2)=︒180-2(∠1+∠2)①同理∠B=︒180-2(∠2+∠3)．②①+②得：2(∠1+∠2+∠3)+2∠2=︒360-(∠A+∠B)，即︒180+2∠2=︒360-(∠A+∠B)，故∠2=∠DCE=︒45．解法2∵∠4=︒90-21∠B ，∠5=︒90-21∠A ，∴∠4+∠5=︒180-()︒=︒-︒=∠+∠1354518021B A ．又∠2=︒180-(∠4+∠5)，∴∠2=︒45．解法3∵∠4=∠1+∠A ，∠4=︒90-∠1，∴∠1+∠A=︒90-∠1．2∠1=︒90-∠A 即∠1=21∠B ．同理∠3=21∠A ．∠2=︒90-(∠1+∠3)=︒=︒-︒454590．解法 4 ︒360-2∠4-2∠5=∠A+∠B ，︒360-2(∠4+∠5)=︒90，2(∠4+∠5)=︒270，∠4+∠5=︒135；∴∠2=︒45．2．证法1在△ABC 中，∵∠B=∠C ，∴AC=AB ．在△ABD 和△ACE 中，∵∠BAD=∠CAE ，AB=AC ，∠B=∠C ，∴△ABD ≌△ACE ．AD=AE ．证法2 在△ABD 和△ACE 中，∵∠B=∠C ，∠BAD=∠CAE ，∴∠ADB=∠AEC ，∴∠ADE=∠AED ．AD=AE ．3．证法1如图15'-，过E 、F 分别作BC 的垂线，交BC 和BC 的延长线于M 、N ．∵∠EMD=∠FND=︒90，∠1=∠2，DE=DF ，∴△MDE ≌△NDF ，EM=FN ．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=∠NCF ．又∠EMB=∠ENC=︒90，∴Rt △EMB ≌Rt △FNC ．BE=CF ．证法2如图25'-，在BC 上取点G ，使DG=DC ，连结EG ，那么△EDG ≌△FDC ．∴EG=CF ，∠DEG=∠DFC ．∴EG ∥AF ，∠3=∠4．又AB=AC ，∴∠B=∠4．∴∠B=∠3．∴BE=EG ．BE=CF ．变更命题发散1．分析：如图35'-，延长AM 至D ，使AM=MD ，通过证明△CMD ≌△AMB ，将∠BAM=∠CDM 和∠CAM 集中到同一个三角形ACD 中，进行证明．证明：延长AM 到D ，使MD=AM ，连结CD ，那么△AMB ≌△DMC ． ∴∠1=∠D ，AB=DC ，∵AB>AC ，∴CD>AC ．∠DAC>∠D ．故∠CAM>∠BAM ．2．∵AB>AC ，∴∠ACB>∠ABC.∴∠ABD>∠ACE ．又∵AB=BD ．∴∠D=∠DAB=21(︒180-∠ABD)， 同理得：∠E=21(︒180-∠ACE)， ∴∠E>∠D ．在△ADE 中，∵∠E>∠D ，∴AD>AE ．3．在△ABC 中，∵AB>AC ，∴∠C>∠B ，∴DF 垂直平分AB ， ∴AD=BD ．∴∠B=∠1．同理∠C=∠2．∵∠ADE=∠B+∠1=2∠B ，∠AED=∠C+∠2=2∠C ，∴∠AED>∠ADE ．AD>AE ．变换发散1．分析：用对称法．此题利用角平分线是角的对称轴，在AC 上截取AB B A ='，得到P B '，从而构造P B A '∆与△ABP 两个轴对称图形．证明：在AC 上截取AB B A ='连结P B '．∵AB=B A '，∠1=∠2，AP=AP ，∴△ABP ≌△P B A '(SAS)．∴∠B=∠3，BP=P B '．AB+BP=AC ，AC C B B A ='+'，∴AB+BP=C B B A '+'．又∵P B BP B A AB '='=,∴,C B P B '='∠4=∠C ．∠B=∠3=2∠C ．2．分析：考虑此题是等边三角形，如图45'-，以B 为旋转中心，将△PBC 旋转︒60，那么BC 和BA 重合，△BPC 落到A P B '∆的位置，连P P '．∵︒='∠='60,BP P BP P B ，∴P BP '∆为等边三角形．∴BP P B P P ='='，而P 、P P A ''与AP 构成一个三角形，∴AP<P A 'P P '+，即AP<BP+PC ．假设∠BCP=∠BAP ，那么P 为△ABC 的外接圆上的一点，P '落在AP 上． ∴BP+PC=AP ．证明：以B 为顶点、BA 为边作PBC P AB ∠='∠，以A 为顶点、AB 为边作P BA '∠=∠PCB ，P A '与P B '交于P '，那么CBP P AB ∆≅'∆．∴BP P B ='，PC P A ='．∵∠ABC=︒60，P AB '=∠PBC ，∴︒='∠60BP P ．∴P P B '∆为等边三角形．∴BP P B P P ='='．假设∠BAP≠∠BCP ，那么P '不落在AP 上， 那么在P P A '∆中，PA P P P A >'+'，∴BP+PC>PA ．假设BCP P BA ∠='∠，那么P '落在AP 上，这时PA P P P A ='+'，∴PA≤BP+PC ．逆向发散1．∵AD ∥EC ，∴∠A=∠CEB ．在△CEB 中，∵CE>CB ，∴∠B>∠CEB ．∴∠B>∠A ．2．在△CBD 中，∠ADB>∠C ．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ．∴∠ADB>∠BAC ，又∵∠ABC>∠ABD ，∴∠ADB>∠ABD.构造发散1．分析：此题通过作辅助线来构造全等三角形，过E 作ED ∥AC ，那么∠1=∠2=∠B ，BE=ED=CF ，不难证得△EDM ≌△FCM ，于是EM=FM ．证明：过E 作ED ∥AC 交BC 于D ．∵ED ∥AC(作法)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)，∠EDM=∠FCM(两直线平行，内错角相等)．∵AB=AC()，∴∠B=∠2(等边对等角)．∴∠B=∠1(等量代换)，EB=ED(等角对等边)．又∵EB=CF()．∴ED=CF ．在△EDM 与△FCM 中，∵ED=CF ，∠EDM=∠FCM ，∠EMD=∠EMC(对顶角相等)，∴△EDM ≌△FCM(AAS)．∴EM=FM ．2．分析：此题在BA 上截取BF=BC ，构造新△AFD ，通过证明△ADF ≌△ADE 到达将线段AE 的位置转移到AF ，使得AB=AF+FB 转化为AB=AE+BC ．证明在BA 上截取BF=BC ，连结DF ．在△BCD 和△BFD 中，∵BD=BD ，∠CBD=∠FBD ，CB=FB ， ∴△BCD ≌△BFD ．∴∠BCD=∠BFD ．∵BC ∥AE ，∠C+∠E=︒180．又∠BFD+∠AFD=︒180，∴∠AFD=∠E ．在△AFD 和△AED 中， ∵∠AFD=∠E ，∠FAD=∠EAD ，AD=AD ， ∴△AFD ≌△AED ．∴AF=AE ． ∵AB=AF+FB ．AB=AE+BC ． 纵横发散1．解△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠ABD=∠BCE=︒60． 又BD=CE ．∴△ABD ≌△BCE ，∴∠BAD=∠CBE ， 从而∠BFG=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=︒60， ∠FBG=︒30．∴BF=2FG ，即FGBF的值为2． 2．作法图55'-， (1)作∠DBE=α． (2)在BD 上截取BA=c ．(3)过A 作AC 上BE 交BE 于C ． 那么△ABC 为所求作的三角形．证明:由作法得，∠DBE=α，BA=c ，AC ⊥BE ，∠ACB=Rt ∠． ∴△ABC 即为所作的三角形． 综合发散1．(1)证△AGC ≌△AHB ； (2)证△AOB ≌△AOC ．2．延长BE 到B ',使E B '=BE ，连结B A '．3．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ABC=∠ACB=︒60① 又∵∠ABE=∠BCF=∠CAD ，② ①-②得：∠BAE=∠CBF=∠ACD ．∵∠EDF=∠CAD+∠DCA ，∠DEF=∠ABE+∠BAE ，∠DFE=∠FBC+∠BCF ． ∴∠EDF=∠DEF=∠DFE ． ∴△DEF 是等边三角形．4．如图65'-，延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF ，那么△DEF ≌△CEA(SAS)． ∴DF=AC ，∠1=∠C ，∵BD=DC ，AC=21BC ， ∴AC=CD=BD ．∴∠CAD=∠2，DF=BD=AC ． ∵∠ADB=∠C+∠CAD ， ∴∠ADB=∠1+∠2． ∴△ADB ≌△ADF(SAS)．∴∠BAD=∠FAD ，即AD 平分∠BAE ．5．如图75'-，在AB 上截取AE=AC ，连接DE ， ∵AD 平分∠A ， ∴△ACD ≌△AED ． ∴CD=DE ，∠ACD=∠AED ． ∵AB=AC+CD ，∴DE=BE ，∠EDB=∠EBD ． ∴∠AED=2∠B ，即∠ACB=2∠B ． 【提高能力测试】 题型发散1.(1)(B) (2)(A) (3)(C) (4)(B) (5)(B) (6)(B)2.(1)︒70 (2)︒45 (3)︒︒，3672,△ABC,△ABD,△BCD.(4)7<x<11.(5)42+n .(6)︒30.解法发散1．证法1如图5—75，取CD 的中点F ，连结BF ． ∵AB=BD ，∴BF ∥AC ，且BF=21AC ． ∴∠2=∠ACB.∵AB=AC ， ∴∠1=∠ACB ．∴∠1=∠2 ∵BE=21AB ，∴BE=BF ．又∵BC=BC ， ∴△BCE ≌△BCF ．∴CE=CF ．∴CD=2CE ． 以下四种证法省略．2．证法1如图5—77，过点E 作EK ⊥BC ，垂足为K ．∵E 是∠C 平分线，∠BAC=︒90，∴EK=EA ．又∠1和∠2同是21∠ACB 的余角，∴∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠3． ∴AE=AO=EK ，又FO ∥BC ，∴∠AFO=∠EBK,∠AOF=∠EKB=︒90， ∴Rt △AOF ≌△EKB ． ∴AF=EB ．故AE=BF ．证法2如图85'-过点O 作OG ∥AB 交BC 于G ，那么BGOF 是平行四边形． ∴BF=GO ．∵∠AOE=∠1+∠3，∠AEO=∠B+∠2， 又∠BAC=︒90，AD ⊥BC ，∴∠B=∠1．∵CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠2=∠3．∴∠AOE=∠AEO ． ∴AE=AO ．在△AOC 和△GOC 中，∵∠CGO=∠B=∠1，∠2=∠3，OC 为公共边， ∴△AOC ≌△GOC ，AO=GO=AE=BF ，故AE=BF ． 3．证法1在DC 上截取DE=DB ，连结AE ． ∵AD ⊥DE ，BD=DE ．AB=AE ．∴∠B=∠AEB ． ∵∠B=2∠C ．∴∠AEB=2∠C ． ∴∠C=∠EAC ．∴AE=EC=AB ． ∵DC=DE+EC ，∴AB+BD=DC ．证法2如图95'-，延长CB 到F ，使BF=AB ，连AF ． 在△AFB 中，∵AB=BF.∴∠F=∠BAF ．∵∠ABC=∠F+∠BAF ，即∠ABC=2∠F ， 又∠ABC=2∠C ，∠F=∠C ． ∴AC=AF ．又AD ⊥FC ，FD=DC ．∵FD=FB+BD ，FD=AB+BD ，即AB+BD=DC ．变换发散1．分析：∵AB=AC ，此题以等腰三角形ABC 的顶点A 为旋转中心，顶角(∠BAC)为旋转角，旋转到P AC '，的位置．欲证P C PC '>，连P P '，只须证PC P C P P '∠>'∠． ∵C P A APC '∠<∠，又P P A P AP '∠='∠ ∴PC P C P P '∠>'∠．∴C P PC '>. 问题得证．证明：以A 为顶点，以AC 为边，在△ABC 外作PAB AC P ∠='∠，在P A '上取AP P A ='，连C P '．∵AB=AC ．∴P AC ABP '∆≅∆． ∴APB C P A ∠='∠，连P P ' ∵P A AP '=，∴P P A P AP '∠='∠ ∴PC P C P P '∠>'∠．∴C P PC '> ∵PB C P ='．∴PC>PB. 2．证法1在△B AB '中，∵B A AB '=，AC 平分B B '，∴AC 是等腰B AB '∆的顶角平分线， 即C A B BAC AC B BAC ''∠=∠'∠=∠.，C MA MAC '∠=∠. 又在△AMC 和C AM '∆中，∵C A AC '=，C MA MAC '∠=∠，AM=AM ， ∴C AM AMC '∆≅∆．∴C M MC '=．故B A '平分C C '.证法2可通过证明C A B BAC AC B BAC ''∠=∠'∠=∠,，从而得C A B AC B ''∠='∠，可证得B A '，平分C C '．逆向发散提示连结AD ，AD 是等腰三角形的顶角平分线，此题应用角平分线的两个互逆定理证明.构造发散1．分析：因有∠BGE=∠F ，欲证BG=CF 可考虑证明其所在的三角形全等，而△GBE 和△CFE 明显不全等，故须构造含角和欲证线段为边的直角三角形，或使夹角的另一对边相等，又注意到条件中有BE=CE ，假设作BP ⊥EF ，CQ ⊥EF ，须证BP=CQ ，然此易由Rt △BPE ≌Rt △CQE 得到．证明：过B 、C 分别作BP ⊥EF ，CO ⊥FE. 垂足分别为P 、Q ，那么BP ∥CQ 阅． ∴∠PBE=∠QCE ，而BE=CE ， ∴Rt △QPE ≌Rt △CAE ．BP=CQ ． 又EF ∥DA ，AD 平分∠A ，∠BGE=∠F ． ∴Rt △BPG ≌Rt △CQF ．故BC=CF ．2．证明：在CB 上截取CE=CA ，连DE ，构造新三角形△CDE ． 在△ACD 和△ECD 中， ∵AC=EC ，∠1=∠2，CD=CD ，∴△ACD ≌△ECD ．∴AD=DE ，∠CED=∠A ． ∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B ． ∴∠B=∠EDB.∴DE=EB=AD ． ∵BC=CE+EB ，∴BC=AC+AD ．3．分析：延长BD 到F ，使DF=BC 连结EF ，那么BE=BF ，构造△DEF ，欲证△BCE ≌△FDE ．证明：∵∠B=︒60，BE=BF ，∴△EFB 是等边三角形． ∴∠B=∠F ．∵BC=DF ，BE=FE ， ∴△BCE ≌△FDE ．∴CE=DE ． 变更命题发散 1．∵CF AB S BE AC S ABC ABC ⋅=⋅=∆∆21,21， ∴CF AB BE AC ⋅=⋅． ∵AB>AC ，∴BE>CF ．2．连结AC 、AD ．在△ABC 和△AED 中，∵AB=AE ，∠B=∠E ，BC=ED ，∴△ABC ≌△AED ． ∴AC=AD ．在△ACF 和△ADF 中，∵AC=AD ，AF=AF ，CF=DF ，∴△ACF ≌△ADF ． ∴∠AFC=∠AFD ．∵∠CFD=︒180，∴∠AFC=︒=︒⋅9018021．∴AF ⊥CD ．3．连结AC 、AD ．∵AB=AE ，∠B=∠E ，BC=ED ，∴△ABC ≌△AED(SAS)． ∴∠1=∠2，AC=AD(全等三角形的对应角、对应边相等)． ∴在△ACD 中，∠3=∠4．∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BCD=∠EDC ． 迁移发散1．解：依题意，得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++2212a c ba c cb a 解方程组，得：a=3(cm),b=4(cm)，c=5(cm)． 2．设AC=a ，AB=2a ，周长AB+BC+CA=l ，那么： AB+BC+CA=2a+a+BC ．∵BC>a ，∴AB+BC+CA>2a+a+a=4a ．∴4l a < 又BC<AB+CA=2a+a=3a ， 那么l=AB+BC+CA<2a+3a+a=6a ． ∴6l a >.综上46l a l <<． ∴即61(AB+BC+CA)<CA<41(AB+BC+CA)． 综合发散1．分析：在BC 上截取BE=AB ，作EF ⊥AC 于F ，连结AE ，构造Rt △AEF 和Rt △ADE ，证明这两个直角三角形全等．证明：如图015'-，在BC 上截取BE=AB ，作EF ⊥AC 于F ，连结AE ． ∵BA ⊥AC ，EF ⊥AC ， ∴AB ∥EF ．∴∠BAE=∠2． 又∠BAE=∠1，∴∠1=∠2． 在Rt △ADE 和Rt △AEF 中， ∵AE=AE ，∠1=∠2， ∴Rt △ADE ≌Rt △AEF ．∴AD=AF．∵BE=AB，EC>FC，∴AD+BE+FC>AF+AB+FC,即AD+BC>AB+AC．2．(1)∵△ACD和△CBE是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB．∵∠ACD=∠ECB=︒60．60，∴∠BCE=︒∴∠ACE=∠DCB．∴△ACE≌△DCB．(SAS).∴∠AEC=∠DBC．在△MCE和△NCB中，∵∠AEC=∠DBC，CE=CB，∠MCE=∠NCB=︒60，∴△MCE≌△NCB．∴MC=NC．又∠MCN=︒60,∴△CMN是等边三角形．(2)∵∠NMC=∠ACM=︒60，∴MN∥AB．3．∵AB>AC，在AB上截取AF=AC，连结DF，那么△ADF≌△ADC，∴DF=DC．在△DBF中，BF>DB-DF，∴BF>DB-DC．∵BF=AB-AC．即有AB-AC>DB-DC．4．(1)如图11-，5'∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠BNC=︒90．∵∠ACB=︒90.∴∠MCA+∠NCB=︒90．∴∠ACM=∠CBN．又AC=CB，∴△ACM≌△CBN，MC=BN，AM=CN．∴MN=AM+BN．(2)假设过C在△ABC内作直线MN，当MN经过等腰直角△ABC的底边AB 的中点时，MN 、AM 、BN 之间满足关系式MN=AM-BN ．证明略．5.(1)如图215'-延长BO 交AC 于点D ． ∵∠BOC 是△OCD 的外角， ∴∠BOC>∠1． 同理可证∠1>∠A ， ∴∠BOC>∠A ．(2)连结OA ．在△ABO 中， ∵AB<OA+OB ，同理BC<OB+OC ，AC<OA+OC ． ∴BC+CA+AB<2(OA+OB+OC) 即21(BC+CA+AB)<OA+OB+OC ． 6．连结AP ．∵AP=BP=PC ，AF=ED=BE ，∠PAF=∠PBE=︒45, ∴△PAF ≌△PBE.∴∠APF=∠BPE ．∴PE=PF ． ∠APF+∠APE=∠BPE+∠APE.又∠APF+∠APE+∠BPE+∠APE=︒180， ∴∠EPA+∠APF=︒90．即PE ⊥PF ．附 图形的平移一、选择题：〔3×6=18〕1、以下运动过程属于平移的是〔 〕A 、荡秋千勒B 、摇动水井上的轱辘C 、小火车在笔直的铁轨上行进D 、宇宙中的行星运轨2、将字母 “E〞 沿垂直方向向下平移3㎝的作图中，第一步应在字母“E〞上找出的关键点的个数为〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个3、将长度为3㎝的线段向下平移2㎝，那么平移后的线段长度是〔 〕A 、3㎝B 、2㎝C 、5㎝D 、1㎝4、有以下说法：①△ABC 在平移的过程中，对应线段一定相等.②△ABC 在平移的过程中，对应线段一定平行.③△ABC 在平移的过程中，周长不变.④△ABC 在平移的过程中，面积不变.其中正确的有〔 〕A 、①②③B 、①②④C 、①③④D 、②③④5、以下各组图形，可经平移变换，由一个图形得到另一个图形的是〔 〕A 、B 、C 、D 、6、如图：O 是正六边形ABCDEF 的中心，以以以下图形中可由△O BC 平移得到的是〔 〕A 、△OCD B、△OAB C、△OAF D 、以上都不对 二、填空题：〔3×6=18〕7、决定平移的根本要素是＿＿＿＿和 ＿＿＿＿.8、如上图：△DEF 是由△ABC 沿BC 方向平移3 个单位得到的,那么点A 与点D 的距离等于＿＿＿＿个单位.9、如图：把∠AOB 沿着MN 的方向平移一定距离后得到∠CPO，∠AOM=30°，∠DPN=45°，那么∠AOB=＿＿＿第10题第11题10、如图：可由△ABC 平移得到的三角形有＿＿＿个.〔△ABC 本身除外〕11、如图：正方形ABCD 的边长为2，以对角线AC 上任一这对角线作正方形，那么所有小正方形的周长之和为＿＿＿12、在汉字中，有很多字可由一个汉字平移后组成新的汉字，如将“月〞向右平移一个单位后，可组成汉字“朋〞，你能再举三个类似的汉字吗？＿＿＿ 三、简答题〔64分〕AB CDEFODAB E F CMOPN DBCAA B C CAD13、如图：把△ABC 平移得到△DEF，使点A 移动到点D ，画出平移后的△DEF .〔6分〕 14、如图：将△ABC 沿着从B 到D 的方向平移后得到△EDF，假设AB=4㎝，AE=3㎝，E=1㎝〔14分〕 〔1〕指出平移的距离是多少〔2〕求线段BD ，DE 的长.15、△ABC 沿着BC 方向平移，如图：B 与C 重合，C 与D 重合，A 与E 重合，△AB 的面积为3.求△ABC 平移过程中扫过的面积？〔12分〕16、如图：是一块从一个边长为50㎝的正方形材料中裁出的垫片，〔BC ，DC 为正方形的边〕现测量FG=8㎝，求这个垫片的周长.〔12分〕17、如图：把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，HG=24㎝，WG=8㎝，WC=6㎝，求阴影局部的面积.〔10分〕 18、一宾馆准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，地毯40元/米2，主楼梯的宽为2米，其侧面如以以下图，那么地毯至少需要多少元？〔10分〕HFE A B GCDBCDB ACEFDABCDEB CDEGWFAH参考答案一、选择题1、C2、C3、A4、C5、A6、C二、填空题7、平移方向，平移距离 8、3 个 9、105° 10、2 个 11、812、答案不惟一，如：双、林、从 13、略 14、3㎝，BD=3㎝ DE=4㎝三、解答题15、∵AE∥CD AC∥DE ∴四边形ACDE为平行四边形∴S△ACE= S△ECD= S△ABC=3∴△ABC扫过的面积为S△ACE=316、将线段AB、GH、EF 平移到正方形的边CD上，那么AB+GH+EF=CD=50㎝将线段AH、FG、ED平移到边BC上，那么AH+FG+ED =BC+2FG=50+2×8=66㎝因此垫片的周长为：AB+GH+EF+ AH+FG+ED+BC+CD=50+66+50+50=216㎝17、168米 218、672元。

1．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（）A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0【答案】D【解析】试题解析：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，∴原式=a+b-c+（c-a-b）=0．2．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=12AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．【解析】∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D为AB中点，∴DF=12AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE ADBC AB=，即51610DE=，解得：D E=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选B．考点：相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．3．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A ．2B ．C ．D ． 【答案】D ．【解析】试题解析：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC=4，AB=3，∴=5，∵CD=DB ，∴AD=DC=DB=， ∵•BC•AH=•AB•AC ， ∴AH=， ∵AE=AB ，DE=DB=DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵•AD•BO=•BD•AH ，∴OB=， ∴BE=2OB=， 在Rt △BCE 中， . 故选D ． 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．545375521212125121212524575==4．如图，AB⊥数轴于A，OA＝AB＝BC＝1，BC⊥OB，以O为圆心，以OC长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（）A．B．2 C．D．2【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理分别求出OB、OC的长，再由作图可得答案．【详解】解：∵OA＝AB，AB⊥数轴于A，∴OB2＝OA2+AB2＝12+12＝2，∵BC＝1且BC⊥OB，∴OC＝＝＝，由作图知OP＝OC＝，所以点P表示的数为，故选：C．5．如图，AB⊥数轴于A，OA＝AB＝BC＝1，BC⊥OB，以O为圆心，以OC长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（）A．B．2 C．D．2【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理分别求出OB、OC的长，再由作图可得答案．【详解】解：∵OA＝AB，AB⊥数轴于A，∴OB2＝OA2+AB2＝12+12＝2，∵BC＝1且BC⊥OB，∴OC＝＝＝，由作图知OP＝OC＝，所以点P表示的数为，故选：C．6．如图，把三角形纸片ABC折叠，使C的对应点E在AB上，点B的对应点D在BC上，折痕分别为AD，FG，若∠CAB＝30°，∠C＝135°，DF＝4，则AC的长为_____．【答案】2+6.【解析】【分析】如图，作DH⊥AB于H，在AH上取一点M，使得AM=DM，连接DM．想办法求出AH，EH即可解决问题．【详解】解：如图，作DH⊥AB于H，在AH上取一点M，使得AM＝DM，连接DM．∵∠CAB＝30°，∠C＝135°，∴∠B＝180°﹣30°﹣135°＝15°，∵FB＝FD，∴∠FDB＝∠B＝15°，∴∠DFH＝15°+15°＝30°，∵∠DHF＝90°，DF＝4，∴DH＝DF＝2，∵∠ACD＝∠AED＝135°，∴∠DEH＝45°，∴DH＝EH＝2，∵∠DAM＝∠DAC＝15°，MA＝MD，∴∠MAD＝∠MDA＝15°，∴∠DMH＝30°，∴DM＝AM＝2DH＝4，MH＝DH＝6，∴AH＝4+6，∴AC＝AE＝AH﹣EH＝4+6﹣2＝2+6，故答案为2 +6．7．将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1（1）当点A1落在AC上时①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；（2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）①首先证明△A1B是等边三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解决问题．②首先证明△OCD1≌△OBA（AAS），推出OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题．（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题．【详解】（1）证明：①如图1中，∵∠BAC＝60°，BA＝BA1，∴△ABA1是等边三角形，∴∠AA1B＝60°，∵∠A1BD1＝60°，∴∠AA1B＝∠A1BD1，∴AC∥BD1，∵AC＝BD1，∴四边形ABD1C是平行四边形．②如图2中，连接BD1．∵四边形ABD1C是平行四边形，∴CD1∥AB，CD1＝AB，∠OCD1＝∠ABO，∵∠COD1＝∠AOB，∴△OCD1≌△OBA（AAS），∴OC＝OB，∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，∴△DCO≌△ABO（SAS），∴DO＝OA．（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝5．AB＝3，∴CA1＝＝4，∵•A1C•A1B＝•BC•A1F，∴A1F＝，∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，∴四边形A1EBF是矩形，∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝，∴AE＝3﹣＝，在Rt△AA1E中，AA1＝＝．8. 如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：A D=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：A E=23+233BN．【答案】（1）①证明见解析；②80°；（2）证明见解析．【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD =∠BCE ，再结合△ACB 和△DCE 均为等腰三角形可得出“AC =BC ，DC =EC ”，利用全等三角形的判定（SAS ）即可证出△ACD ≌△BCE ，由此即可得出结论AD =BE ；②结合①中的△ACD ≌△BCE 可得出∠ADC =∠BEC ，再通过角的计算即可算出∠AEB 的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD 、DE 的长度，二者相加即可证出结论．【解析】（1）①证明：∵∠CAB =∠CBA =∠CDE =∠CED =50°，∴∠ACB =∠DCE =180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB =∠ACD +∠DCB ，∠DCE =∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD =∠BCE ．∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∴AC =BC ，DC =EC ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC =BC ，∠ACD =∠BCE ，DC =EC ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD =BE ．②解：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC =∠BEC ．∵点A ，D ，E 在同一直线上，且∠CDE =50°，∴∠ADC =180°﹣∠CDE =130°，∴∠BEC =130°．∵∠BEC =∠CED +∠AEB ，且∠CED =50°，∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB =∠DCE =120°，∴∠CDM =∠CEM =12×（180°﹣120°）=30°． ∵CM ⊥DE ，∴∠CMD =90°，DM =EM ．在Rt △CMD 中，∠CMD =90°，∠CDM =30°，∴DE =2DM =2×tan CM CDM ∠=． ∵∠BEC =∠ADC =180°﹣30°=150°，∠BEC =∠CEM +∠AEB ，∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CEM =150°﹣30°=120°，∴∠BEN =180°﹣120°=60°．在Rt △BNE 中，∠BNE =90°，∠BEN =60°，∴BE =sin BN BEN∠BN ．∵AD =BE ，AE =AD +DE ，∴AE =BE +DE =BN ． 考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．9．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，点D 在边AC 上，连接BD ，过A作BD的垂线交BD的延长线于点E．（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE＝2BF；（3）如图3，以AE为一边作一个角等于∠BAC，这个角的另一边与BE的延长线交于P 点，O为BP的中点，连接OC，求证：OC＝（BE﹣PE）．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）连接EM、CM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM＝CM；再由等腰三角形三线合一的性质得出结论；（2）证明△AEC∽△BFC，得由AC＝2BC得AE＝2BF；（3）证明△ACB∽△AEP，得从而知道AE＝2PE，由AE＝2BF得PE＝BF；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC＝EF，代入得结论．【详解】证明：（1）如图1，连接EM、CM，∵AE⊥BE，M是AB的中点，∴EM＝AB，CM＝AB，∴EM＝CM，∵N是EC的中点，∴MN⊥EC；（2）如图2，∵∠ECF＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACF＝90°，∠ACF+∠FCB＝90°，∴∠ECA＝∠FCB，∵∠CFB＝∠ECF+∠CEF＝90°+∠CEF，∠AEC＝∠AEB+∠CEF＝90°+∠CEF，∴∠CFB＝∠AEC，∴△AEC∽△BFC，∴∵AC＝2BC，∴AE＝2BF；（3）如图3，过点C作CF⊥EC交BD于点F，∵∠AEP＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠P AE，∴△ACB∽△AEP，∴∵AC＝2BC，∴AE＝2PE，∵AE＝2BF，∴PE＝BF，∵O为BP的中点，∴PO＝BO，∴EO＝FO，∴CO＝EF＝（BE﹣BF）＝（BE﹣PE）．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的对应边相等得出两边的倍数关系；同时，在直角三角形中，如果有斜边上的中线，可以运用斜边上的中线性质得出两边之间的倍数关系；对于证明垂直的关系除了利用角的大小来证明外，也可以利用等腰三角形的三线合一来证明．10．（1）如图1，在△ABC中，点M为BC边的中点，且MA＝BC，求证：∠BAC＝90°．（2）如图2，直线a、b相交于点A，点C、E分别是直线b、a上两点，ED⊥b，垂足为点D，点M是EC的中点，MD＝MB，DE＝2，BC＝3，求△ADE和△ABC的面积之比．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据点M为BC的中点，得到BM＝CM＝BC．又MA＝BC，根据等量代换得到BM＝CM＝MA，根据等边对等角有∠BAM＝∠B，∠CAM＝∠C，又∠BAM+∠B+∠CAM+∠C＝180°，即可得到∠BAM+∠CAM＝90°，即可证明.（2）根据（1）的结论，可得∠EBC＝90°，即可证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可解答.【详解】（1）证明：∵点M为BC的中点，∴BM＝CM＝BC．∵MA＝BC，∴BM＝CM＝MA，∴∠BAM＝∠B，∠CAM＝∠C，∴∠BAM+∠B+∠CAM+∠C＝180°，∴2∠BAM+2∠CAM＝180°，∴∠BAM+∠CAM＝90°，即∠BAC＝90°．（2）解：∵点M为EC的中点，ED⊥AC于点D，∴DM＝EC．∵BM＝DM，∴BM＝EC，∴∠EBC＝90°．∴∠ADE＝∠ABC＝90°．又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴11．(1)问题:如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为_______；(2)探索：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；(3)应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．【答案】（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6.【解析】【分析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC（2）连接CE，易证△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其关系；（3）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的长即可.【详解】解：(1)BC＝DC＋EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．(2)BD2＋CD2＝2AD2.证明如下：连接CE，如解图1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2.(3)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△EAD是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，∴2AD2＝BD2－CD2.∵BD＝9，CD＝3，∴2AD2＝92－32＝72，∴AD＝6(负值已舍去)．12．已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．【答案】（1）①MN=BM+DN；②成立；（2）直角三角形．（2）如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得到DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．先证明△AMN≌△AEN．得到MN=EN．由DN，DE，NE为直角三角形的三边，得到以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADP，BM=DP，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM 与△ANP中，∵AM=AP，∠MAN=∠PAN，AN=AN，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；（2）以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得：D E =BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．∵∠MAN=135°，∴∠EAN=360°-∠MAN-∠EAM =135°，∴∠EAN=∠MAN．在△AMN与△AEN中，∵AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，∴△AMN≌△AEN．∴MN=EN．∵DN，DE，NE为直角三角形的三边，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．考点：1．几何变换综合题；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理的逆定理；4．和差倍分；5．探究型；6．综合题；7．压轴题．。

第十二章全等三角形综合练习（一）一．选择题1．下列条件中，一定能确定两个等腰三角形全等的是（）A．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形B．有一腰和一角相等的两个等腰三角形C．有一角和底边相等的两个等腰三角形D．顶角对应相等的两个等腰三角形2．如图，添加条件不能判断△ACD≌△ABE的是（）A．∠AEB＝∠ADC，CD＝BE B．AC＝AB，AD＝AEC．AC＝AB，∠C＝∠B D．∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠B3．如图，将两根钢条AB、CD的中点O连在一起，使AB、CD可以绕点O自由转动，就做成一个测量工件，则AC的长等于内槽宽BD，则判定△OBD≌△OAC的理由是（）A．边边边B．角边角C．边角边D．角角边4．如图，△ABC外角∠CBD，∠BCE的平分线BF、CF相交于点F，则下列结论成立的是（）A．AF平分BC B．AF⊥BC C．AF平分∠BAC D．AF平分∠BFC 5．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能唯一确定6．如图，已知△ABC的三条边和三个角六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（）A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙7．如图，已知△ABE≌△ACD，下列不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE8．如图，AB⊥BD，ED⊥BD于D，AB＝CD，AC＝CE，下列结论：（1）BC＝DE；（2）AC⊥CE；（3）∠CAE＝45°，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，已知△ABC≌△DEF，且AB＝5，BC＝6，AC＝7，则DF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．不能确定10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二．填空题11．如图，△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠ABC＝60°，则∠F＝度．12．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，若线段AE＝5，＝．则S四边形ABCD13．已知：如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD，若∠D＝25°，则∠B的度数为．14．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有个．15．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是．三．解答题16．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的四个条件（请从其中选择一个）：①AB＝ED；②∠A＝∠D＝90°；③∠ACB＝∠DFE；④∠A＝∠D．17．已知：在△ABD和△ACE中，AD＝AB，AC＝AE．（1）如图1，若∠DAB＝∠CAE＝60°，求证：BE＝DC；（2）如图2，若∠DAB＝∠CAE＝n°，求∠DOB的度数．18．如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．19．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC＝AD，BC＝BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由．（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE＝DE，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并写出结论，不要求说明理由．（如图3）20．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F（1）如图1，若∠ACD＝60゜，则∠AFB＝；（2）如图2，若∠ACD＝α，则∠AFB＝（用含α的式子表示）；（3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．参考答案一．选择题1．解：A、有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形，即三边对应相等，也可以判断其全等，正确；B、角与一腰，对应相等，另一腰也相等，两边与一角，不一定证全等，错误；C、底边固定，角为顶角不可证明其全等，错误；D、顶角对应相等，不可证全等，错误；故选：A．2．解：A、根据AAS可判定△ACD≌△ABE，故本选项错误；B、根据SAS可判定△ACD≌△ABE，故本选项错误；C、根据ASA可判定△ACD≌△ABE，故本选项错误；D、判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以添加条件∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠B后，仍然不能判断△ACD≌△ABE，故本选项正确；故选：D．3．解：∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，∴OA′＝OB，OD＝OC，∵∠AOC＝∠DOB，∴△OBD≌△OAC′．所以BD的长等于内槽宽AC，用的是SAS的判定定理．故选：C．4．解：作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，∵CF是∠BCE的平分线，∴FP＝FG，∵BF是∠CBD的平分线，∴FH＝FG，∴FP＝FH，又FP⊥AE，FH⊥AD，∴AF平分∠BAC，故选：C．5．解：设△ABC中，∠A＝30°，①若a＝2b，则∠B＜∠A（大边对大角），∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＞180°﹣2∠A＝120°，即∠C为钝角，∴△ABC是钝角三角形．②若b＝2c，a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝5c2﹣2c2，＝5﹣2＞1，可得a＞c，∴∠C＜∠A（大边对大角），∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＞180°﹣2∠A＝120°，即∠B为钝角，∴△ABC是钝角三角形；③c＝2a，在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，可得∠C＝90°，即△ABC是直角三角形．综上可得△ABC可为直角三角形、钝角三角形，不能为锐角三角形．故选：D．6．解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与△ABC全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等；则与△ABC全等的有乙和丙，故选：D．7．解：∵△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，A不合题意；∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，B不合题意；∴BD＝EC，∴BE＝CD，C不合题意；∴AD＝AE，∴AD＝DE不正确，D符合题意；故选：D．8．证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，在RT△ABC和RT△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE故（1）正确，∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∵∠CED+∠ECD＝90°∴∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°即AC⊥CE故（2）正确，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA＝45°故（3）正确，故选：D．9．解：∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝7，故选：C．10．解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB＝∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，AO ＝OC ，∴AC ⊥DB ，故①②正确．故选：D ．二．填空题（共5小题）11．解：∵△ABC ≌△DEF ，∠A ＝80°，∠ABC ＝60°， ∴∠D ＝∠A ＝80°，∠DEF ＝∠ABC ＝60°，∵∠F +∠D +∠DEF ＝180°，∴∠F ＝40°，故答案为：40．12．解：过A 点作AF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点，如图， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CF ，∴∠AEC ＝∠CFA ＝90°，而∠C ＝90°，∴四边形AECF 为矩形，∴∠2+∠3＝90°，又∵∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABE 和△ADF 中∴△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ＝5，S △ABE ＝S △ADF ，∴四边形AECF 是边长为5的正方形，∴S 四边形ABCD ＝S 正方形AECF ＝52＝25．故答案为25．13．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，又∵AC＝AE，AB＝AD，∴△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝25°．故答案为25°．14．解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．故答案为：4．15．解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有个全等三角形．故答案为：．三．解答题（共5小题）16．解：不能；选择条件①AE＝BE．∵FB＝CE，∴FB+FC＝CE+FC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E，∴AB∥ED．17．证明：（1）∵∠DAB＝∠CAE∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE，∴DC＝BE，（2）同理得：△ADC≌△ABE，∴∠ADC＝∠ABE，又∵∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠OBD，＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD﹣∠ADC，＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD，∴∠DOB＝∠DAB＝n°．18．（1）证明：由BD＝CD，再延长AD至E，使DE＝AD，∵D为BC的中点，∴DB＝CD，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，∵AB+BE＞AE，∴AB+AC＞2AD；（2）∵AB＝5，AC＝3，∴5﹣3＜2AD＜5+3，∴1＜AD＜4．19．解：（1）△ACB≌△ADB，理由如下：如图1，∵在△ACB与△ADB中，，∴△ACB≌△ADB（SSS）；（2）如图2，∵由（1）知，△ACB≌△ADB，则∠CAE＝∠DAE．∴在△CAE与△DAE中，，∴△CAE≌△DAE（SAS），∴CE＝DE；（3）如图3，PC＝PD．理由同（2），△APC≌△APD（SAS），则PC＝PD．20．解：（1）∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∴∠AFB＝∠CDB+∠CDA+∠DAE ＝∠CDA+∠DAE+∠BAE＝∠CDA+∠DAC＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°．（2）解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∴∠AFB＝∠CDB+∠CDA+∠DAE ＝∠CDA+∠DAE+∠BAE＝∠CDA+∠DAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α，故答案为：180°﹣α（3）∠AFB＝180﹣α，证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中∴△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∴∠AFB＝∠AEC+∠CEB+∠EBD＝∠DBC+∠CEB+∠EBC＝∠CEB+∠EBC＝180°﹣∠ECB＝180°﹣α，即∠AFB＝180°﹣α第十二章全等三角形综合练习（二）一．选择题1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 2．如图，在△ABC和△DEC中，AB＝DE．若添加条件后使得△ABC≌△DEC，则在下列条件中，不能添加的是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝EC，∠A＝∠D3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确5．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（）A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB6．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件①∠ADB＝∠ADC，②∠B ＝∠C，③DB＝DC，④AB＝AC中选一个，则正确的选法个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE8．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则这四个结论中正确的有（）①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4个B．3个C．2个D．1个9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于点F，若BF＝AC，则∠ABC 等于（）A．45°B．48°C．50°D．60°二．填空题11．已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F＝．12．如图所示，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动；将△MNK 的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a．猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为；简述证明主要思路．13．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝°．14．在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，（1）当点A到两条坐标轴的距离相等时，点A的坐标为．（2）当点A在x轴上方时，点A的横坐标x满足条件．15．如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的平分线上面﹣点．连接BD，CD；全等三角形的对数是．如图2．已知AB＝AC，D，E为∠BAC的平分线上面两点．连接BD，CD，BE，CE；全等三角形的对数是．如图3．已知AB＝AC，D，E，F为∠BAC的平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；全等三角形的对数是．…依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是．三．解答题16．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD＝CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．17．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD．（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？（2）求证：EG＝FG．18．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形记这些三角形的三边分别为a，b，c，用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，4，4）表示边长分别为2，4，4个单位长度的一个三角形（1）若这些三角形三边的长度为大于0且小于3的整数个单位长度，请用记号写出所有满足条件的三角形；（2）如图，AD是△ABC的中线，线段AB，AC的长度分别为2个，6个单位长度，且线段AD的长度为整数个单位长度，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E①求AD的长度；②请直接用记号表示△ACE．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD．（1）求证：△ABD≌△CED；（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝，∠AED＝；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；B、∵在△AOB和△DOC中，∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；故选：B．2．解：A、添加BC＝EC，∠B＝∠E可用SAS判定两个三角形全等，故A选项正确；B、添加BC＝EC，AC＝DC可用SSS判定两个三角形全等，故B选项正确；C、添加∠B＝∠E，∠A＝∠D可用ASA判定两个三角形全等，故C选项正确；D、添加BC＝EC，∠A＝∠D后是SSA，无法证明三角形全等，故D选项错误．故选：D．3．解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．4．解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．5．解：A、添加BC＝BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；B、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；C、添加∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；D、添加∠ACB＝∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．故选：B．6．解：∵∠1＝∠2，AD公共，①如添加∠ADB＝∠ADC，利用ASA即可证明△ABD≌△ACD；②如添加∠B＝∠C，利用AAS即可证明△ABD≌△ACD；③如添加DB＝DC，因为SSA，不能证明△ABD≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；④如添加AB＝AC，利用SAS即可证明△ABD≌△ACD；故选：C．7．解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．8．解：（1）PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，AP＝AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR＝∠PAS，∴PA平分∠BAC；（2）由（1）中的全等也可得AS＝AR；（3）∵AQ＝PR，∴∠1＝∠APQ，∴∠PQS＝∠1+∠APQ＝2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠1，∴∠PQS＝∠BAC，∴PQ∥AR；（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP＝∠CSP，∵PR＝PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．故选：B．9．解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．∵图中的两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故选：D．10．解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠FBD＝∠CAD，在△FDB和△CAD中，，∴△FDB≌△CDA，∴DA＝DB，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，又∵∠A+∠B+C＝180°，∴∠C＝70°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠C，即：∠F＝70°．故答案为：70°．12．解：重叠部分四边形CEMF的面积为a2．证明如下：连CM，如图，∵点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，∴CM＝MB＝MA，∴∠A＝∠ACM＝∠MCB＝45°，∠CMA＝90°，又∵△MNK为直角三角形，∴∠EMF＝90°，∴∠AMF＝∠EMC＝90°﹣∠CMF，在△AFM和△CEM中，∴△AFM≌△CEM，∴S△AFM＝S△CEM，∴重叠部分四边形CEMF的面积＝S△ACM＝S△ACB＝××a×a＝a2．故答案为：a2．13．解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案为：135．14．解：（1）∵点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，点A到两条坐标轴的距离相等，∴x＝±y，∴3y﹣y＝4或﹣3y﹣y＝4，解得：y＝2或y＝﹣1，∴点A的坐标为（2，2）或（1，﹣1），故答案为：（2，2）或（1，﹣1）；（2）∵3x﹣y＝4，∴y＝3x﹣4，∵点A在x轴上方，∴y＞0，即3x﹣4＞0，∴x＞，故答案为：x＞．15．解：如图1中，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，在△BDE和△CDE中，∴△BDE≌△CDE（SSS），∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．故答案为：1，3，6，．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，∵在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE＝∠ABD，而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF又∵∠CDF＝∠BDA∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA＝∠DAB＝90°；（3）BD＝CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC＝90°．理由如下：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD∴∠BAD＝∠CAE，∵在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，∴∠BFC＝∠CAB＝90°．17．（1）解：△ABF与△CDE全等，理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴EG＝FG．18．解：（1）由三角形的三边关系得：所有满足条件的三角形为（1，1，1），（1，2，2），（2，2，2）；（2）①∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AD＝ED，AB＝CE＝2，∴AE＝2AD，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，∴6﹣2＜2AD＜6+2，∴2＜AD＜4，∵线段AD的长度为整数个单位长度，∴AD＝3；②AE＝2AD＝6，用记号表示△ACE为（2，6，6）．19．（1）证明：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，在△ABD与△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS）；（2）解：∵CE为∠ACD的角平分线，∴∠ECD＝∠ACD＝22.5°，由（1）得：△ABD≌△CED，∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．20．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°，故答案为：16°；52°；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵AB＝2，DC＝2，∴AB＝DC，∵∠C＝36°，∴∠DEC+∠EDC＝144°，∵∠ADE＝36°，∴∠ADB+∠EDC＝144°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形，①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝72°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝72°+36°＝108°；②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝36°，∴∠DAE＝108°，此时，点D与点B重合，不合题意；③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝36°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝36°+36°＝72°；综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．第十二章全等三角形综合练习（三）一．选择题1．OP是∠AOB的平分线，则下列说法正确的是（）A．射线OP上的点与OA，OB上任意一点的距离相等B．射线OP上的点与边OA，OB的距离相等C．射线OP上的点与OA各点的距离相等D．射线OP上的点与OB上各的距离相等2．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，ED＝AB，∠A＝∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．ED∥AB B．EB＝FC C．DF＝AC D．∠DFE＝∠C 3．有两个三角形，下列条件能判定两个三角形全等的是（）A．有两条边对应相等B．有两边及一角对应相等C．有三角对应相等D．有两边及其夹角对应相等4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去，这样做根据的三角形全等判定方法为（）A．S．A．S．B．A．S．A．C．A．A．S．D．S．S．S．5．如图给出了四组三角形，其中全等的三角形有（）组．A．1 B．2 C．3 D．46．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S＝28，DE＝4，AC＝△ABC6，则AB的长是（）A．8 B．10 C．12 D．不能确定7．两个等腰三角形，若顶角和底边对应相等，则两个等腰三角形全等，其理由是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．ASA或AAS 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，已知CD＝3，BD＝5，则下列结论中错误的是（）A．AC＝6 B．AD＝7 C．BC＝8 D．AB＝109．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（）处．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，已知EC＝BF，∠A＝∠D，现从下列6个条件：①AC＝DF；②∠B＝∠E；③∠ACB＝∠DFE；④AB∥ED；⑤AB＝ED；⑥DF∥AC；从中选取一个条件，以保证△ABC≌△DEF，则可选择的是（）A．②③④⑥B．③④⑤⑥C．①③④⑥D．①②③④二．填空题11．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，如果要使△ABC≌△AED，请你添加一个条件．（只添加一个条件）12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝70°，BE＝DC，BD＝CF，则∠EDF的度数为．13．一个加油站点M恰好在两条公路m、n的夹角平分线上，若MN⊥m于N，MN＝50m，则点M到公路n的距离是．14．如图，如果要测量池塘两端A、B间的距离，可先在地上取一个可以直接到达A、B两点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE，可得△ABC≌△DEC，依据的基本事实是，那么AB＝．15．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD垂直BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则OF＝．三．解答题16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AC＝BC，AB＝2AD．（1）求∠ADC的度数；（2）若AB＝10cm，CD＝12cm，求四边形ABCD的面积．17．如图，AB⊥AD，AE⊥AC，∠E＝∠C，DE＝BC．求证：AD＝AB．18．在数学实践课上，老师在黑板上画出如图的图形，（其中点B，F，C，E在同一条直线上）．并写出四个条件：①AB＝DE，②∠1＝∠2．③BF＝EC，④∠B＝∠E，交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．①请你写出所有的真命题；②选一个给予证明．你选择的题设：；结论：．（均填写序号）19．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD ＝∠BAC＝∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．20．如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A （n，m），且（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．（1）求A点的坐标；（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE；（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：OF+AE﹣EF的值不变；OF+AE+EF 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．参考答案一．选择题1．解：OP是∠AOB的平分线，射线OP上的点与OA，OB上任意一点的距离不一定相等，A错误；射线OP上的点与边OA，OB的距离相等，B正确；射线OP上的点与OA各点的距离不一定相等，C错误；射线OP上的点与OA上各点的距离不一定相等，D错误，故选：B．2．解：A、添加ED∥AB可得∠E＝∠ABC，可利用ASA判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、由EB＝FC可得EF＝BC，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、添加DF＝AC可利用SAS判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加∠DFE＝∠C可利用AAS判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．3．解：∵三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS；A、B、C不能满足某一个判定方法，∴A、B、C不能判定两个三角形全等；D能判定两个三角形全等；∵D满足三角形全等的判定方法SAS，∴D能判定．故选：D．4．解：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：B．5．解：图1可以利用AAS证明全等，图2可以利用SAS证明全等，图3可以利用SAS证明全等，图4可以利用ASA证明全等．故选：D．6．解：如图：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DE＝4，∴DF＝DE＝4，＝28，∵S△ABC∴AB×DE+AC×DF＝28，∴×AB×4+6×4＝28，∴AB＝8，故选：A．7．解：一个等腰三角形，若顶角对应相等，则它们的两个底角也相等，所以根据AAS或者ASA都可以判定这两个三角形全等．故选：D．8．解：∵CD＝3，BD＝5，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8，故C正确；过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE＝3．在Rt△BDE中，∵BD＝5，DE＝3，∴BE＝＝＝4．∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C，∴△BED∽△BCA，∴＝＝，即＝＝，解得AB＝10，AC＝6，故A，D正确；在Rt△ACD中，∵AC＝6，CD＝3，∴AD＝＝＝3，故B错误．故选：B．9．解：∵有三条公路相交如图，现计划修建一个油库，要求到三条公路的距离相等，∴在角平分线的交点处．如图．故选：D．10．解：∵EC＝BF，∴BC＝EF；∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF（AAS），故②可以；∵∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF，故③可以；∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF，故④可以；∵DF∥AC，∴∠BCA＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF，故⑥可以；而①⑤是利用AAS，则不可以．故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE，而AC＝AD，∴当AB＝AE时，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS）．故答案为：AB＝AE．（答案不唯一）12．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS）；∴∠BED＝∠CDF，∴∠BDE+∠CDF＝∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝110°，∴∠EDF＝180°﹣110°＝70°．故答案为70°13．解：因为加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，所以加油站到公路m和公路n的距离是相等的，即为50m，故答案为：50m14．解：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB＝DE，故答案为SAS，DE．15．解：连接OA、OB、OC，如图，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD垂直BC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴OD＝OE＝OF，设OF ＝x ，则OD ＝OE ＝x ，∵S △AOC +S △BOC +S △AOB ＝S △ACB ， ∴•x •6+•x •8+•x •10＝•6•8，解得x ＝2， 即OF 的长为2cm ．故答案为2cm ．三．解答题（共5小题）16．解：（1）作CE ⊥AB 交AB 于点E ，则∠AEC ＝90°， ∵AC ＝BC ，∴CE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝AB ，∵AB ＝2AD ，∴AE ＝AD ＝AB ，∵∠AC 平分∠BAD ，∴∠EAC ＝∠DAC ，在△ADC 和△AEC 中，，∴△ADC ≌△AEC ，∴∠ADC ＝∠AEC ＝90°；（2）∵CE 是AB 的垂直平分线，∴S △ACD ＝S △AEC ，∵AB ＝2AD ，CD ＝CE ，∴S △ACB ＝2S △ADC ，∴四边形ABCD 的面积＝3S △ADC ＝3××5×12＝90cm 2．17．证明：∵AB⊥AD，AE⊥AC，∴∠EAC＝∠DAB＝90°，即∠EAD+∠DAC＝∠CAB+∠DAC．∴∠EAD＝∠CAB，在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（AAS），∴AD＝AB．18．解：①情况一：题设：①②④；结论：③；情况二：题设①③④；结论：②；情况三：题设②③④；结论：①．②选择的题设：①③④；结论：②；理由：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1＝∠2；故答案为：①③④；②．19．解：（1）∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB＝∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠ADB＝∠BCA＝90°，在△ABE中，∵∠EAB＝∠EBA＝＝90°﹣∠AEB，∴∠ABD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（90°﹣∠AEB）＝∠AEB，同理：∠BAC＝∠AEB，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，∠ADB+∠BCA＝180°，又∠ADB+ADG＝180°，∴∠BCA＝∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG＝BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD＝∠BAC，∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠EDB+∠ECA＝180°，∴∠AEB+∠DHC＝180°，∵∠DHC+∠BHC＝180°，∴∠AEB＝∠BHC．∵∠BHC＝∠BAC+∠ABD，∠ABD＝∠BAC，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．20．解：（1）（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，即（m﹣4）2+（n﹣4）2＝0，则m﹣4＝0，n﹣4＝0，解得：m＝4，n＝4．则A的坐标是（4，4）；（2）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），∴AB＝AC＝OC＝OB，∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，又∵四边形的内角和是360°，∴∠A＝90°，∵OF+BE＝AB＝BE+AE，∴AE＝OF，∴在△COF和△CAE中，，∴△COF≌△CAE，得∴CF＝CE；（3）结论正确，值为0．证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE，∵在△ACE和△OCH中，，∴△ACE≌△OCH，∴∠1＝∠2，CH＝CE，又∵∠EOF＝45°，∴∠HCF＝45°，∴在△HCF和△ECF中，，∴△HCF≌△ECF，∴HF＝EF，∴OF+AE﹣EF＝0．。

八年级三角形综合题难题附答案第1节与三角形有关的线段一、三角形的边1、如图，点P是△ABC内部的一点．（1）度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小；（2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？（3）你能说明上述结论为什么正确吗？【答案】（1）如图有：AB+AC＞PB+PC；（2）改变点P的位置，上述结论还成立；（3）如图，连接AP，BP，CP，延长BP交于AC于点E，在△ABE中有，AB+AE＞BE＝BP+PE △在△CEP中有，PE+CE＞PC △△+△得，AB+AE+PE+CE＞BP+PE+PC，AB+AC+PE＞BP+PE+PC，△AB+AC＞BP+PC．二、三角形的高、中线与角平分线1、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是腰AC上的中线。

（1）若AB>BC，填空：△AD＝_____________；△△ABD的周长与△BEC的周长之差为_________。

（2）若△ABC的周长为20cm，BD将△ABC的周长分成差为4cm的两部分，求△ABC的边长。

【答案】（1）△EC；△AB-BC（2）8cm，8cm，4cm；或16/3cm，16/3cm，28/3cm2、如图，△ABC中，△C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．（1）当t＝6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为12cm2？【答案】（1）6；（2）6.5；（3）2或6.53、如图，已知在Rt△ABC中，△ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE△AD 于E，CF△AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【答案】C第2节与三角形有关的角一、三角形的内角和1、△ABC中，∠A＝50°，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内）使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和C（如图）（1）填空：∠ABC+∠ACB＝______°，∠PBC+∠PCB ＝______°；（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，写出你的结论．【答案】（1）130；90；（2）∠ABP+∠ACP＝40°2、如图①，在△ABC中，∠A＝50°，有一块直角三角尺PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．（1）填空：∠ABC+∠ACB＝___，∠PBC+∠PCB＝___；（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，请写出你的结论；（3）如图②，改变直角三角尺PMN的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）130；90；（2）∠ABP+∠ACP＝40°；（3）发生变化；∠ACP -∠ABP＝40°．3、问题情景：如图①，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC+∠ACB＝___，∠PBC+∠PCB＝_____，∠ABP+∠ACP＝_____；（2）类比探究：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系．（3）类比延伸：如图②如图②，改变直角三角尺PMN 的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）130°；90°；40°（2）∠ABP+∠ACP＝90°-∠A；（3）不成立；∠ACP -∠ABP＝90°-∠A．4、动手操作：（1）如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC△EF，已知△A＝30°，则△ABD +△ACD＝______°；（2）如图2，△BDC与△A、△B、△C之间存在着什么关系，并说明理由；（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：如图3，BE平分△ABD，CE平分△ACD，若△BAC ＝40°，△BDC＝120°，求△BEC的度数。

初中数学全等三角形判定综合练习一、单选题1.如图,已知AB AD =,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC △≌△的是( )A. CB CD =B. BAC DAC ∠=∠C. BCA DCA ∠=∠D. 90B D ∠=∠=︒2.如图,已知ABC DCB ∠=∠,添加下列所给的条件不能证明ABC DCB △≌△的是( )A. A D ∠=∠B. AB DC =C. ACB DBC ∠=∠D. AC BD =3.如图，点,D E 分别在线段,AB AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB AC =，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE ACD ≅△△( )A.B C ∠=∠B.AD AE =C. BD CE =D.BE CD =4.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块（如图所示），现在要到玻璃店去配一块与原来完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②③去5.如图,BF EC B E =∠=∠请问添加下面哪个条件不能判断ABC DEF ≅△△( )A.A D ∠=∠B.AB ED =C.//DF ACD.AC DF =6.如图，点B E C F 、、、在同一条直线上，//AB DE ，AB DE =，要用SAS 证明ABC DEF ≅△△，可以添加的条件是( )A ．A D ∠=∠B ．//AC DF C ．BE CF =D ．AC DF =7.下列各图中a b c ,,为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC △全等的是( )A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙8.如图，点D E ,分别在线段AB AC ,上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB AC =，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE ACD ≅△△？( )A.B C ∠=∠B.AD AE =C. BD CE =D.BE CD =9.如图所示的是用直尺和圆规作一个角等于已知角 的示意图，则说明'''A O B AOB ∠=∠的依据 是（ ）A.S.A.SB.S.S.S.C.A.A.S.D.A.S.A.10.如图，AOB ∠是一个任意角，在边OA OB ,上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M N ,重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线这种方法所用的三角形全等的判定方法是( )A.S.A.S.B.S.S.S.C.A.S.A.D.A.A.S.11.如图，AB AD =，BC CD =，点E 在AC 上，则全等三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对12.如图，在ABC △和DEF △中，,B E C F ,,在同一直线上，AB DE =，AC DF =，要使ABC DEF ≅△△，还需要添加的一个条件是( )A.EC CF =B.BE CF =C.B DEF ∠=∠D.//AC DF13.如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“S.S.S.”可以判定( )A.ABD ACD ≅△△B.ABE ACE ≅△△C.BDE CDE ≅△△D.以上答案都不对14.如图，点E 在ABC △的外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于点F .若12∠=∠，E C ∠=∠，AE AC =，则( )A.ABC AFE ≅△△B.AFE ADC ≅△△C.AFE DFC ≅△△D.ABC ADE ≅△△15.下列条件能判 断两个三角形全等的是（ ）A.有两边对应相等B.有两角对应相等C.有一边一角对应相等D.能够完全重合16.如图，全等的两个三角形是( )A.③④B.②③C.①②D.①④17.如图,点,,,B E C F 在同一条直线上,//,AB DE AB DE = ,要用“边角边”证明ABC DEF ≅△△,可以添加的条件是( ).A.A D ∠=∠B.//AC DFC.BE CF =D.AC DF =18.如图，点P 是AB 上任一点，ABC ABD ∠=∠,从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出APC APD ≅△△.的是( )A.BC BD =B.ACB ADB ∠=∠C.AC AD =D. CAB DAB ∠=∠二、证明题19.如图：点C D 、在AB 上，且//AC BD AE FB AE BF ==，，．求证：//DE CF ．20.如图，已知CA CB =，AD BD =，M N ,分别是CB CA ,的中点，求证：DN DM =.21.如图，已知AB AE =，12∠=∠，B E ∠=∠.求证：BC ED =.22.如图，90A D ∠=∠=︒，AC DB =，AC DB ,相交于点O .求证:OB OC =.23.如图（1）在ABC △中，90ACB AC BC ∠=︒=，,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于点D ,BE MN ⊥于点E 。

人教版初中数学八年级上册第12章《全等三角形》综合测试题一、选择题（每小题3分，共36分）1．如图1所示，△ABC ≌△AEF ，AC 与AF 是对应边，那么∠EAF 等于（ ）．D A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 图1 图2 图32．如图2所示，已知AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠B ＝23°，则∠D 为（ ）．B A ．67° B ．46° C ．23° D ．无法确定 3．下列说法正确的是（ ）．CA ．两边及一角对应相等的两个三角形全等B ．两角及一边对应相等的两个三角形全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．对应角相等的两个三角形全等4．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还要补充一个条件，错误的补充方法是（ ）．CA ．∠B ＝∠E B ．∠C ＝∠F C ．BC ＝EFD ．AC ＝DF 5．如图3所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DC ＝DE ，DE 恰好平分∠ADB ，则∠B 的度数为（ ）．AA ．30°B ．60°C ．45°D ．20°6．数学课上，老师要求同学们只选择一种工具来判断已经给出的两个三角形是否全等，同学们有以下几种方案：甲：直尺（带刻度）；乙：圆规；丙：量角器．你认为以上方案中不可行的是（ ）．CA ．甲B ．乙C ．丙D ．均不可以7．如图4所示，有三条道路围成Rt △ABC ，其中BC ＝1000m ，一个人从B 处出发沿BC行走了800m ，到达D 处，AD 恰为∠CAB 的平分线，则此时这个人到AB 的最短距离为（ ）．C图4 图5A ．1000mB ．800mC ．200mD ．1800m8．如图5所示是跷跷板的示意图，支柱OC 与地面垂直，点O 是横板AB 的中点，AB 可以绕着点O 上下转动，当A 端落地时，∠OAC ＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠A ′OA ）是（ ）．BA ．80°B ．60°C ．40°D ．20°9．如图6，已知两个全等直角三角形（△ACB 和△ACD ）的直角顶点及一条直角边重合，将△ACB 绕点C 顺时针方向旋转到△A ′CB ′的位置，A ′C 交直线AD 于点E ，A ′B ′分别交直线AD ，AC 于点F ，G ．则旋转后的图中，全等三角形共有（ ）．C A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对图6 图710．在如图7所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是角平分线，DE 、DF 分别是高，点G 是AD 上任意一点．下列4个结论中：①BD ＝CD ；②DE ＝DF ；③∠BDE ＝∠CDF ；④BG ＝CG ．其中正确的有（ ）DA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．AD 、BE 是锐角△ABC 的高，AD 、BE 相交于F ，若BF=AC ，BC=7，CD=2，则AF 是的长度是（ ）BA ．2B ．3C ．4D ．5ACBB 'O A '12、如图5，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF 平分∠ABC ，过点C 作CF ⊥BF 于F 点，过A 作AD ⊥BF 于D 点．AC 与BF 交于E 点，下列四个结论：①BE ＝2CF ；②AD ＝DF ；③AD ＋DE =12BE ；④AB ＋BC ＝2AE ．其中正确结论的序号是（ ） A A ．只有①②③ B ．只有②③④ C ．只有①②④ D ．只有①④二、填空题（每小题3分，共12分）13、如图8所示，△ABC ≌△AED ，若AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2____．27°图8 图914、如图9所示，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α＝_____．60° 15、如图14所示，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，CA ＝CB ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，若AB ＝10cm ，则△BDE 的周长为___________cm ．1016、如图15所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为（0，6），点B 的坐标为（8，0），过点B 作BF 垂直于x 轴，如果点C ，D 分别在OB ，BF 上运动，并且始终保持CD ＝AB ，且点D 在第一象限，那么，当点D 的坐标为_______时，△ABC 与△DCE 全等．（8，6），（8，8），（8，-6）三、解答题（共9题，共72分）17（6分）如图17所示，已知AD ＝AE ，AB ＝AC ．求证：∠B ＝∠C ．17．证明：在△AEB 与△ADC 中，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△AEB ≌△ADC ，∴∠B ＝∠C ．18．（7分）如图，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，AF ＝BE ，AC ＝BD ，求证：AC ∥BD ．18、Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ），∠A=∠B ，∴AC ∥BD 。