《流体力学》课件 4.3 普朗特边界层方程
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第四章 边界层理论基础 边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出,用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理
y u0 u0
u0
x=0
u0 x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界 层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。
二、边界层的形成过程
层流边界层和湍流边界层
y 层流边界层 过 湍流边界层
在板前缘附近，边界层 内流速较低，为层流边界 层；而后逐渐过渡为湍流 u0
u0 u0
渡 区
u0
湍流 核心
在距壁面前缘 x 处，取 y
u0
一微元控制体
2
dV=δdx（1）
将动量守恒原理应用 δ
于微元控制体dV，得
ΣF d(mu) dθ
1
0
dx
x 方向：
ΣFx
d (mux ) dθ
（1）
3 δ dδ
4 x
一、边界层积分动量方程的推导
1-2截面：流入
δ
m1 ρuxdy(1)
0
δ
J1
ρu
2 x
dy(1)
边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有
p ρu02 常数
2
dp dx
ρu0
du0 dx
0
u0
dp 0
dx
边界层内：p y 0
y p1
p3 δ
0
dp 0 dx
p2
p4
x
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
ν 2ux y 2
流函数
O(1)
（4）y ：在边界层的范围内，y 由 0→δ，y O(δ)
（5）uy：由连续性方程
ux uy 0 x y
ux O(1) , x
普朗特边界层微分方程的详细推导资料讲解
普朗特边界层微分方程的推导学校：内蒙古工业大学 专业：力 学 姓名：宗宇显首先，我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维--斯托克斯方程在一定情况下的简化。
Ⅰ 二维定常纳维--斯托克斯方程连续性方程22221v ()u u p u u u X v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.1） 2222v v 1v v v ()p u Y v x y y x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅱ 普朗特边界层理论相关知识2.1概念：定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动，称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。
2.2普朗特理论的基本思想：在大Re 数（一般在5×510～3×610）绕流中存在两个流动区域，即层流和紊流。
2.3边界层：流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。
2.4边界层厚度：以u =0.99U e 位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。
故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小，所以由二维定常纳维--斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子：连续性方程 22221v ()u u p u u u v x y x x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.2） v 0u x y∂∂+=∂∂v 0u x y∂∂+=∂∂2222v v 1v v v ()p u v x y y x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅲ 边界层中个物理量的数量级的确定 3.1边界层的厚度δ（x ）量纲分析根据实验条件分析，边界层厚度δ（x ）可能与流体微团的所在位置x ，流体速度U ，粘性系数μ，密度ρ有关。
设δ=k ·x m U n μk ρl ,根据量纲分析法可求的：m=12，n=-12，k=12，l=-12；即：δ（x ）==···(1) 又因为Re x Ux Ux v ρμ== 则关于δ的关系式(1)写成无量纲的形式如下：~x δ=··(2) 取物体的长度L 取代上式中的x 值，则公式(2)变为~Lδ··(3) （符号“~”表示数量级相同）其中Re L 称为绕流场的雷诺数。
流体力学第六章 边界层理论 (附面层理论)
x
dx
(
4
)
u y
0.
AB上 摩 擦 力 dx
2021/8/5
流体力学第六章
卡门-波尔豪森动量积分关系式的物理意义： 在定常情形下，流出所论区域边界的动量流率等于 作用在区域内流体上一切力的合力。
2021/8/5
流体力学第六章
在方程（6-2-3）中，令k=1，得到列宾森积分方程：
k
U2 U
L
2
2021/8/5
流体力学第六章
比较
p x
U2 L
p y
U2 L2
得
p x
p y
把以上数量级的分析加以整理，得普朗特边界层微分方程式
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
p
y
0
u
x
v y
0
证明如下
(6 1 2)
2021/8/5
流体力学第六章
u
第二节 微分方程式的积分—卡门和列宾森方法 6.2.1哥路别夫积分方程
流体力学第六章
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
已知普朗特方程组
p y
0
u
x
v y
0
uk 1
udy
ukv
udy
p
uk dy
uk
2u dy
0
x 0
y
x 0
0 y2
积分一
积分二
积分三
其中 (x)
(6 2 1)
x
0
udy
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
流体力学流体力学基本方程PPT讲稿
a V u V v V w V t x y z
加速度的投影值：
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
ay
v t
u
v x
v
v y
w
v z
az
w t
u
w x
v
w y
w
w z
作业：P52-53，第19题、第21题。
§3-1 描述流体运动的方法
二.恒定流与非恒定流：
1.恒定流（定常流动）：
流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。
2. 欧拉法：
研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参 数的分布。
• u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)，
w= (x, y, z, t)
§3-1 描述流体运动的方法
2. 欧拉法：
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
而：
V1
V0
V t
t
V x
x
V y
y
V z
z
注意到： lim x u, t0 t
lim y ,
t0 t
z lim w t0 t
因此： a V u V v V w V t x y z
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
§3-1 描述流体运动的方法
2. 欧拉法：
• u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)，
w= (x, y, z, t)
由速度分布求加速度：
流体力学完整版课件全套ppt教程
阻力系数 0.4 阻力系数 0.2 阻力系数 0.137
前言
火车站台安全线
本章小结
【学习目标】 1. 理解流体力学的学科定义； 2. 了解流体力学的发展简史； 3. 熟悉流体力学的研究方法 。
工程流体力学
中国矿业大学电力学院
§1.1 流体的定义 §1.2 连续介质假说 §1.3 流体的物理性质
流体在受到外部剪切力作用时会发生变形，其内部相应会 产生对变形的抵抗，并以内摩擦力的形式表现出来。
➢ 粘性的定义
流体的粘性就是阻止发生剪切变形的一种特性，内摩擦力则 是粘性的动力表现。
§1.3 流体的物理性质
➢ 牛顿的平板实验
实验装置：2块平板，平板间充满流体。
实验过程：用力拉动液面上的平板，直 到平板匀速前进。
前言
曹冲（公元196-208年）称象
孙权 曾 致 巨 象 ， 太祖欲知其斤重， 访之群下，咸莫能 出其理。冲曰： “置象大船之上， 而刻其水痕所至， 称物以载之，则校 可知矣。”太祖悦， 即施行焉。
前言
都江堰（公元前256年，李冰父子修都江堰）
战国时期，秦国蜀郡太 守李冰和他的儿子，修建 了著名的都江堰水利工程。 都江堰的整体规划是将岷 江水流分成两条，其中一 条引入成都平原，这样既 可以分洪减灾，又可以引 水灌田、变害为利。
前言
二、流体力学的研究方法
2. 实验室模拟
➢ 作用：实验模拟能显示运动特点及其主要趋势，实验结果可 检验理论的正确性。
➢ 优点：能直接解决生产中的复杂问题，能发现流动中的新现 象和新原理，它的结果可以作为检验其他方法是否正确的依 据。
➢ 缺点：对不同情况，需作不同的实验，所得结果的普适性较 差。
前言
第四章 边界层
ux ux 1 p μ 2ux ux uy x y ρ x ρ y 2
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体 的势流。
分为两个截然不同的区域 外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。 边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体 的势流。
分为两个截然不同的区域 外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。 边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0
第5章-边界层理论基础PPT课件
第五章 边界层理论
虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略， 但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略， 否则会带来很大的误差，这是何故？
如水和空气，其粘度都很小，在处理其高
速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会
导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在
普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获
得令人满意的解答。 -
-
20
卡门边界层方程即适用于层流，也适用 于湍流。
例：流体沿平板壁面流动时层流边界层 的计算，主要目标是边界层厚度和曳力 子数的计算
大量观察和测量得知ux与y的关系与抛 物线近似，因此可假设：
uxabycy2dy3 a,b,c,d 待定
边界条件：
-
21
y 0处ux 0 a 0
dux dy
-
5
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内
部也会发生变化，在边界层厚度较小处，
其内部流动为层流，该区域称为层流边
界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临
界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过
渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍
流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄
的一层流体内，仍然维持层流，称为层
流内层。
-
6
临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗 糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈 粗糙xc愈短。
-
10
但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便 可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：
(1)
取ux达到u0的99％时的y值，即
ux u0
0 .9 9
处，y的值即为边界层厚度。
(2)可假设一个表示边界层内速度分布的
公式，如抛物线方程，计算当ux达到
u0时的y值，即为边界层厚度。
虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略， 但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略， 否则会带来很大的误差，这是何故？
如水和空气，其粘度都很小，在处理其高
速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会
导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在
普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获
得令人满意的解答。 -
-
20
卡门边界层方程即适用于层流，也适用 于湍流。
例：流体沿平板壁面流动时层流边界层 的计算，主要目标是边界层厚度和曳力 子数的计算
大量观察和测量得知ux与y的关系与抛 物线近似，因此可假设：
uxabycy2dy3 a,b,c,d 待定
边界条件：
-
21
y 0处ux 0 a 0
dux dy
-
5
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内
部也会发生变化，在边界层厚度较小处，
其内部流动为层流，该区域称为层流边
界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临
界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过
渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍
流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄
的一层流体内，仍然维持层流，称为层
流内层。
-
6
临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗 糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈 粗糙xc愈短。
-
10
但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便 可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：
(1)
取ux达到u0的99％时的y值，即
ux u0
0 .9 9
处，y的值即为边界层厚度。
(2)可假设一个表示边界层内速度分布的
公式，如抛物线方程，计算当ux达到
u0时的y值，即为边界层厚度。
流体力学-第六讲,边界层理论
ux y
1
p x
(
2ux x2
2ux y 2
)
可得
u x0u
u
u
0 x
Lx0
u0yu
uu
0 x
Ly 0
1
u 2p 0
Lx0
(
u
2u
0 x
L2 x 0 2
u
2u
0 x
L2 y 0 2
)
ux
ux x
uy
ux y
1
p x
(
2u x x 2
2u x y 2
)
ux
u y x
uy
u y y
1
析计算，为此，由三种较严格的规定附面层厚度的方法。
1、 边界层的排挤厚度（流量损失厚度）1 2、 边界层动量损失厚度2 3、 边界层动损失厚度2
A、边界层的排挤厚度（流量损失厚度）
在边界中，由于存在粘性必将引起速度的下降，于是在边界层 中通过的流量必将减小，因而势必有一部分流量被排挤到主流区 (即理想流区)中去，如图所示。
边界条件为
y 0；ux 0，u y 0
y ；ux u
B: 边界层也有由层流转入紊流的现象
（1）平板前缘的一段范围内边界层的流动是层流状态， 故称为层流边界层。层流边界层的速度剖面如图所示。
在层流流动达到某种状况时，流动开始不稳定，边界或来 流的扰动可能使流动由层流状态向湍流状态过渡。我们称这 个过渡的位置为转捩点。我们称这个过渡区域为转捩区。
（2）在转捩区之后流体流动已发展为完全的湍流状态，我们 称这个区域为湍流边界层，在湍流边界层中。
u x x
粘性力与惯性力成正比
d2ux dy2
粘性流体力学-边界层理论PPT-汪志明教授
'''''
0(0)0 ff ' 1f '
U
0
f ' f ' f '' 2x
U U f '' 2 x 2x
u 2 ( ) U 2 y y y y
量阶分析方法
x
U
* y
y
V
x*
x L
y*
y
无量纲连续性方程
x U y 0 x V L y
边界层外 理想流动 边界层内 粘性流动
y 0 x L
§3 层流边界层微分方程
vx v x / x , p / x
量阶分析方法
f
2U x
U f f ' 2x
u 2 x xy y x x y
fff
0: :
dU 1 dp 试验测定 U dx dx
x x 2 x dU x y U x y dx y 2
x
y x
y
y
2 y 2 y 1 p gy 2 x 2 y y y
0.423368
0.410565 0.395984 0.379692 0.361804 0.342487 0.321950
1.8
1.9
0.7288718
0.8064429
0.761057
0.789996
0.300445
0.278251
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯解
流体力学课件 ppt
流体阻力计算
利用流体动力学方程，可以计算 流体在管道中流动时的阻力，为 管道设计提供依据。
管道优化设计
通过分析流体动力学方程，可以 对管道设计进行优化，提高流体 输送效率，减少能量损失。
流体动力学方程在流体机械中的应用
泵和压缩机性能分析
流体动力学方程用于分析泵和压缩机的性能 ，预测其流量、扬程、功率等参数，为机械 设计和优化提供依据。
适用于不可压缩的流体。
方程意义
描述了流体压强与密度、重力加速度和深度之间的 关系。
Part
03
流体动力学基础
流体运动的基本概念
01
02
03
流体
流体是气体和液体的总称 ，具有流动性和不可压缩 性。
流场
流场是指流体在其中运动 的区域，可以用空间坐标 和时间描述。
流线
流线是表示流体运动方向 的曲线，在同一时间内， 流线上各点的速度矢量相 等。
能量损失的形式
流体流动的能量损失可以分为沿程损失和局部损失两种形式。沿程损失是指流体在流动过程中克服摩擦阻力而损 失的能量，局部损失是指流体在通过管道或槽道的局部障碍物时损失的能量。
Part
05
流体动力学方程的应用
流体动力学方程在管道流动中的应用
稳态流动和非稳态
流动
流体动力学方程在管道流动中可 用于描述稳态流动和非稳态流动 ，包括流速、压力、密度等参数 的变化规律。
变化的流动。
流体动力学基本方程
1 2
质量守恒方程
表示流体质量随时间变化的规律，即质量守恒原 理。
动量守恒方程
表示流体动量随时间变化的规律，即牛顿第二定 律。
3
能量守恒方程
表示流体能量随时间变化的规律，即热力学第一 定律。
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2u 0
y 02
?
?
1
St
0
t 0
1
u0
0
x 0
0
0
y 0
假设：1. 设在我们所研究的问题中，
Eu
?
p y
0 0
1 Re
2
x 0
0 2
1
2 0
y 02
当地导数与局部导数相当（或更小）；
2. 压力梯度力作为被动力，与方程中的
惯性力或粘性力中的大者相当；
u 0 x0
0
u 0 y 0
Eu
p0 x0
1 2u0 Re x02
2u 0 y 0 2
St
0
t 0
u0
0
x0
0
0
y 0
Eu
p0 y 0
1 2 0
Re x02
2 0
y 0 2
2. 量阶的概念及一般运算法则
指某个物理量在整个区域内相对于标准小参数而言的平均水平。
取 为估阶的标准。
**U 2 uU ud y
0
uU ud y
0
U
2
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 2
d
y
* , 1 u d y
0 U
动量通量损失：U 2 * u2 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动量通量为— U 2 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动量通量为—
u 2
3. 在边界层内惯性力与粘性力同阶。
1
1
u 0
x
0
0
y 0
＝0
1
St
1
u 0 t 0
1
u0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
Eu
1
p0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
1
St
0
t 0
1
u0
0
0
x 0
1
0
y 0
Eu
p 0 y 0
1 Re
2 0
y 02
横向动量方程 中各项比流向 动量方程各项
x
～
1
O 1
O 1
y
～
1
O
O
1
二阶偏导数运算的数量级估计为：
2 x2
x
x
～
1
O 1
O11＝ O 1
2 y 2
y
y
～
1
O
O
1
＝
O
1
2
2 y x
y
x
～
O
1
O11＝
O
1
u ～ 1， u ～ 1 ， 2u ～ 1 ， u ～ 1， 2u ～ 1
y y2 2 x
u ＝0
x y
u t
u
u x
u y
1
p x
2u x 2
2u y 2
t
u
x
y
1
p y
2
x 2
2
y 2
t Tt 0
x Lx0 y Ly0 u Vu0
St
L VT
，Eu
P
V
2
V 0 p V 2 p0
Re
VL
u
0
x0
0
y 0
＝0
St
u 0 t 0
u0
L
x 0～L ， x x 0～1， 故 x 的 数 量 级 为 1， 记 为 O1；
L
y 0 ～ ， y y 0 ～ ， 故 y 的 数 量 级 记 为 O ；
L
物理量相乘、相除时物理量的量阶估计为：
O m O n O mn
O O
m n
ห้องสมุดไป่ตู้
O
mn
O 0 O1
偏导数的数量级估计为：
0
w
w
U x
y
u t
u
u x
u y
U t
U
U x
2u y 2
p 0 y 0
0
U t
U
U x
1
p
x
x2
y
u x
～1
y
d
y
y
u
d
y～
0 y
0 x
～ ， 2 ～ ， ～ 1， 2 ～ 1
x
x2
y
y2
3. 普朗特边界层方程
1
1
u 0 x 0
0
y 0
＝0
?
?
1
1
?
1
1 2
St
u 0 t 0
1
u0
u
0
0
x 0
u 0 y 0
Eu
p0 x 0
1 Re
2u 0 x 0 2
d
y
0
（4）能量损失厚度 ***
***
u
1
u
2
d
y
0 U U
***U 3 u U 2 u2 d y
0
u U 2 u2 d y
0
U
3
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 3
d
y
* , 1 u d y
0 U
动能通量损失：U 3 * u3 d y
普朗特边界层方程
一、边界层的概念
1. 边界层 2. 势流区 3. 边界层厚度
（1）名义厚度
x y u 99% U
（2）位移厚度 *
,
,
*U U d y u d y
0
0
* , 1 u d y 0 U
（3）动量损失厚度
**
**
,
u
1
u
d
y
0 U U
,
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动能通量为 — U 3 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动能通量为
—
u 3
d
y
0
4. 边界层的特点 （1）边界层厚度较物体的特征长度为小量；
～ t txU
～
x
x
U
x
～
L
L
U
xL ～ 1
L
U L Re
（2）边界层内粘性力和惯性力为同阶。
二、平板二维普朗特边界层方程
1. 无量纲控制方程
小一阶
1
1
u x
0 0
0
y 0
0
1
St
1
u
0
1
u0
t 0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
1
Eu p 0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
Eu
p 0 y 0
0
u
x u t
＝0
y
u u
x
u y
1
p x
2u y 2
u ux, y,0
p
t0 t0 t 0
pxx,,yy,,00，uu