14吉林省东北师大附中2011届高三第三次摸底考试数学(理)

解三角形 题组一一、选择题 1．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）在△ABC 中，B=135︒，C=15︒，a =5，则此三角形的最大边长为A ． 35B ．34C ．D ．24答案 C. 2．（陕西省宝鸡市2011年高三教学质量检测一）设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（ ）A ．964B ．964π C ．916π D ．916答案 B.3. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）角α的终边过点(1,2)-，则cos α的值为(C ) (D)答案 D.4.（湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 在ABC ∆中,有命题:①AB AC BC -= ②0AB BC CA ++=③若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ABC ∆为等腰三角形④若0AC AB ⋅>,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( )A.①②B.①④C.②③D.②③④ 答案 C.5．（湖北省八校2011届高三第一次联考理）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若0120,C c b ==，则（ ）.A 045B > .B 045A > .C b a > .D b a <答案 C.6.（河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c（a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b ca b c t b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的A ）充分布不必要的条件B ）必要而不充分的条件C ）充要条件D ）既不充分也不必要的条件 答案 C.7. （广东六校2011届高三12月联考文）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则B sin =A.33 B. 33± C. D. 36± 8．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理） 在ABC ∆中，若CcB b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是 （ B ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B. 二、填空题9. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）在△ABC 中，若1a b ==，c C ∠= .答案9、23π； 10．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若222b c a bc +=+且4AC AB ⋅=uu u v uu u v，则ABC ∆的面积等于答案.11．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，1,120,2,2BD DC ADB AD =∠== 若△ADC 的面积为3-，则BAC ∠=_______ 答案3π12．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）如图所示，如果∠ACB=090,在平面α内，PC 与CA ，CB 所成的角∠PCA=∠PCB=060,那么PC 与平面α所成的角为（第12题）答案4513．（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C所对的边， 已知6,3,3π=∠==C b a ，则角A 等于__▲__.14．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC ，ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则BAC=___________。

2023-2024学年上学期东北师大附中（英语）科试卷高三年级第三次摸底考试考试时长：120分钟试卷分值：150分注意事项：1. 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 回答非选择题时，请使用0. 5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。

4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一部分听力（1-20小题）在笔试结束后进行。

第二部分阅读（共两节，满分50分）第一节（共15小题；每小题2. 5分，满分37. 5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。

ADear Tommy,I am Ole Orvér, Finnair’s chief commercial officer. It’s my pleasure to warmly welcome you back to the skies with Finnair. I’d like to reflect on some of the developments that we hope you find exciting and helpful:·This summer season you can fly with Finnair to over 70 European and five US destinations. In Asia, we serve eight cities, including Guangzhou and newly added Mumbai starting 6 August. We operate over 300 daily flights and I’m excited about the addition of Seattle and Dallas to our US network.·Travel is recovering everywhere, and airports around the world are working hard to manage increased traffic volumes. It is a good idea to reserve some extra time at the airport before your flight. We are doing our very best together with our partners both at Helsinki and in our outstations to offer you a smooth travel experience during this popular travel season.·You are again able to offset flight carbon emissions (碳补偿), this time with a service that combines sustainable aviation (航空) fuel and certified climate projects. We at Finnair have ambitious emissions targets and our customers wish for a simple and transparent way to contribute.·Finnair Plus turned 30 in May. We are committed to developing the programme further to serve you in the best possible way. To make your flight bookings smoother, we recently upgraded the experience of booking award flights in the Finnair app.Finally, I’d like to thank you for your patience when we haven’t got things quite right. Wherever you’re travelling in the next few months, I hope it’s memorable. Thank you for flying Finnair.Kind Regards,Ole Orvér21. Which city is a new addition to the Finnair’s Asian network?A. Guangzhou.B. Mumbai.C. Seattle.D. Dallas.22. What is Finnair doing to help the environment?A. Launching a climate project.B. Developing sustainable fuels.C. Donating to a green programme.D. Offering a carbon offset service.23. Why does Finnair write this letter to Tommy?A. To express sincere gratitude.B. To introduce new routes.C. To apologize for bad service.D. To keep a regular customer.BI’m a talker. I’m into debating, gossiping and teasing. I solve problems by talking them through. This works perfectly well when I have people to talk to. Under lockdown, however, I’ve only had my partner, Peter. We not only lived, worked and traveled together, but mostly socialized together, too. Under the first UK lockdown, our constant closeness began to feel uncomfortable.For the first time in our 10 years together, we needed to be alone. I tried to manufacture this by going on walks on my own, but a short walk in the local park wasn’t doing the job. I considered my options and hit upon an idea: the semi-solo hike. Could we do a circular hike but walk in different directions? This would give us the space and peace of a solo hike. It felt like a promising compromise, so I told him about it. He thought it was thoroughly silly but agreed to give it a try.We started with a four-mile loop(环形) from Reeth. At the start, we parted ways. At first, I was aware of how close we were, which lessened the appeal Walking alone offers freedom and alone time, but here I was with my boyfriend nearby. As I gained ground, however, I found myself very much alone. I set my own pace, and I decided to take my time.I sat on a rock and breathed out. That moment —with the weak sun through the clouds and the breeze blowing across makeshift pools —felt extraordinary to me. I was born and raised in London and had never imagined leaving until I met an outdoorsman. Now, my former life as a city girl felt crazy. Realizing what I had gained, I felt the tension leave me. There, in the chilly air, I no longer needed to talk. The semi-solo hike gave us a shared experience with added room to breathe. I didn’t see Peter on route but reunited back where we started, both of us sheepish (难为情的) but pleased. The semi-solo hike is admittedly silly in theory, but for me it has been a lifeline. It has given me the gift of time alone and, in a year of constant closeness, the joy of reuniting.24. Why did the author decide to do a semi-solo hike?A. To get rid of the lockdown.B. To find some individual space.C. To meet more people to socialize.D. To seek the pleasure of reuniting.25. How did the author feel at the beginning of the hike?A. Curious.B. Thrilled.C. Unsatisfied.D. Relaxed.26. What can be inferred from the last paragraph?A. Interest is the best teacher.B. Exercise helps increase confidence.C. Living in the city limits our imagination.D. An appropriate distance creates happiness.27. What is the best title for the text?A. Hiking TogetherB. Spending Time ApartC. Taking Exercise AloneD. Reuniting with My PartnerCWith an abundance of sun and wind, Spain is positioning itself as Europe’s future leader in green hydrogen production to clean up heavy industries. But some energy experts express caution because this process relies on massive availability of zero-carbon electivity.Green hydrogen is created when renewable energy sources power an electrical current that runs through water, separating its hydrogen and oxygen molecules (分子). The process doesn’t produce planet-warming carbon dioxide, but less than 0. 1% of global hydrogen production is currently created in this way.The separated hydrogen can be used in the production of steel, ammonia (氨) and chemical products, all of which require industrial processes that are harder to stop fossil fuels. Hydrogen also can be used as a transportation fuel, which could one day transform the highly polluting shipping and aviation sectors.Spain’s large, windswept and thinly populated territory receives more than 2, 500 hours of sunshine on average per year, providing ideal conditions for wind and solar energy, and therefore green hydrogen production.“If you look at where hydrogen is going to be produced in Europe in the next million years, it’s in two countries, Spain and Portugal,” said Thierry Lepercq, the founder and president of HyDeal Ambition, an industry platform bringing together 30 companies. “Hydrogen is the new oil.”Lepercq is working with companies like Spanish gas pipeline corporation Enagas and global steel giant ArcelorMittal to design an end-to-end model for hydrogen production, distribution and supply at a competitive price. Criticism has centered on green hydrogen’s higher cost compared with highly-polluting “gray hydrogen” drawn from natural gas. Lepercq argues that solar energy produced in Spain is priced low enough to compete.Globally, Lepercq said, “Electricity is 20% of energy consumption. What about the 80% that is not electrified? ... You need to replace those fossil fuels. Not in 50 years’ time. You need to replace them now.”28. Why are some experts cautious about green hydrogen production in Spain?A. It needs large amounts of sun and wind.B. It has an effect on heavy industries.C. It causes conflicts among countries.D. It uses lots of zero-carbon electricity.29. What is the advantage of green hydrogen production in Spain?A. Ideal geographical conditions.B. The support from government.C. Hydrogen production technology.D. Well-developed public transports.30. What can be inferred about green hydrogen in Spain according to Lepercq?A. It is highly priced.B. It is easy to store.C. It is competitive.D. It is highly-polluting.31. What is the passage mainly about?A. Spain manages to use zero-carbon electricity.B. Spain struggles to lead EU in heavy industry.C. Spain takes the lead in preventing air pollution.D. Spain replaces fossil fuel with green hydrogen.DSearch “toxic parents”, and you’ll find more than 38, 000 posts, largely urging young adults to cut ties with their families. The idea is to safeguard one’s mental health from abusive parents. However, as a psychoanalyst (精神分析学家), I’ve seen that trend in recent years becomes a way to manage conflicts in the family, and I have seen the severe impacts estrangement(疏远) has on both sides of the divide. This is a self-help trend that creates much harm.“Canceling” your parent can be seen as an extension of a cultural trend aimed at correcting imbalances in power and systemic inequality. Today’s social justice values respond to this reality, calling on us to criticize oppressive and harmful figures and to gain power for those who have been powerless. But when adult children use the most effective tool they have —themselves —to gain a sense of security and ban their parents from their lives, the roles are simply switched, and the pain only deepens.Often, what I see in my practice are cases of family conflict mismanaged, power dynamics turned upside down rather than negotiated. I see the terrible effect of that trend: situations with no winners, only isolated humans who long to be known and feel safe in the presence of the other.The catch is that after estrangement, adult children are not suddenly less dependent. In fact, they feel abandoned and betrayed, because in the unconscious, it doesn’t matter who is doing the leaving; the feeling that remains is “being left”. They carry the ghosts of their childhood, tackling the emotional reality that those who raised us can never truly be left behind, no matter how hard we try.What I have found is that most of these families need repair, not permanent break-up How can one learn how to negotiate needs, to create boundaries and to trust? How can we love others, and ourselves, if not through accepting the limitations that come with being human? Good relationships are the result not of a perfect level of harmony but rather of successful adjustments.To pursue dialogue instead of estrangement will be hard and painful work. It can’t be a single project of “self-help”, because at the end of the day, real intimacy (亲密关系) is achieved by working through the injuries of the past together. In most cases of family conflict, repair is possible and preferable to estrangement —and it’s worth the work.32. Why do young people cut ties with the family?A. To gain an independent life.B. To restore harmony in the family.C. To protect their psychological well-being.D. To follow a tendency towards social justice.33. What does the underlined word “catch” in Paragraph 4 mean?A. Response.B. Problem.C. Operation.D. Emphasis.34. To manage family conflict, the author agrees that young adults should ________.A. break down boundariesB. gain power within the familyC. live up to their parents’ expectationsD. accept imperfection of family members35. What’s the author’s purpose of writing the passage?A. To advocate a self-help trend.B. To justify a common social value.C. To argue against a current practice.D. To discuss a means of communication.第二节（共5小题；每小题2. 5分，满分12. 5分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

吉林省东北师大附中2011届上学期高三第三次摸底考试全解全析(语文)一方面更是由于文化商人为适应大众消费心理需求，借助传媒进行商业化运作。

艺术消费的大众文化趋向把艺术从高不可攀的神圣殿堂拉到普遍大众的面前，对艺术普及是有积极意义的，但是当艺术消费沦为大众文化消费的简单形式，就会由此带来艺术消费的世俗化、浅层化，会使得艺术的审美、认知、批判等功能淡化甚至消解。

（摘编自彭燕《消费时代大众文化语境下的艺术消费》）1．下列关于“大众文化”的表述，符合原文意思的一项是（）A．大众文化是产生于工业革命以后，兴盛于20世纪30年代后欧洲发达国家的一种文化形态。

B．20世纪60年代后，先后步入消费社会阶段的发达资本主义国家，导致大众文化相应地发展到成熟阶段。

C．自20世纪末以来，大众文化具有了标准化、商业化的特点，是由于经济全球化的深入、信息传媒技术的快速发展。

D．大众文化迅速蔓延到艺术消费中，并成为艺术消费的重要形式，所以现代电影、电视得到了普及。

【答案】C【解析】考查对文中重要概念的理解能力。

A．“欧洲发达国家”在文章第一段表述为“欧美发达国家”，内涵不一致。

B．曲解原意，原文为“随着发达资本主义国家先后步入消费社会阶段，大众文化相应地发展到成熟阶段”，大众文化不是发达资本主义国家导致的结果。

D．“现代电影、电视得到了普及”是“大众文化迅速蔓延到艺术消费中，并成为艺术消费的重要形式”的一种证明，而不是结果。

【考点】现代文阅读2．下列理解，符合原文意思的一项是（）A．画廊曾一度是贵族阶层赏玩绘画艺术的沙龙，为上层社会所独享，而贵族阶层的旨趣反映了评价绘画艺术性的标准。

B．随着平民阶层地位的提高以及画家对于现实性的关怀，赏玩绘画的形式滞后于市民阶层的文化需求，于是各种类型的画廊便产生了。

C．人们可以到画廊参观展览，在互联网上购买自己满意的作品，这说明古老的艺术消费形式渐渐受到大众文化标准化、商业化的影响。

D．20世纪90年代后，中国的艺术消费随着大众文化的迅速蔓延，逐渐在商业化、世俗化浪潮中兴起。

吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次摸底考试全解全析地理试题考试时间：100分钟试卷满分：100分一、单项选择题（共25小题，每小题2分，共计50分）下图为北半球某平原8500米高空水平气压分布示意图，读图完成1～2题。

1．P点的空气运动方向是（） A．东南风B．西北风 C．南风D．北风2．下列说法正确的是（）A．M′与N′两地皆为阴雨天气B．M′为阴雨天气，N′为晴朗天气C．空气垂直运动方向由M M′, N′ND．空气水平运动方向由N′M′,M N【答案】Ｃ C【解析】主要考查大气运动及天气系统的有关知识。

1.由等压线知M为低压，N为高压，故P 点所受的水平气压梯度力指向M点，即自东向西；又P点位于北半球高空，高空不受摩擦力影响，所以其风向再右偏90°，即由南向北，为南风，选C。

2.高空与近地面的气压场相反，所以M′为高压，N′为低压；高压控制下的天气是晴朗的，低压控制下的天气为阴雨天气，故A、B、选项都错。

在近地面，高压控制下的气流下沉，低压控制下的气流上升，故C正确。

在水平方向上，在水平气压梯度力牵引下，空气总是由高压流向低压区，故D错，选C。

【考点】自然环境中的物质运动和能量交换下图为某区域图，图中右侧分别表示乙河流局部河谷剖面示意图和Q湖不同季节的蓄水面积分布图，读图回答3～4题。

3．下列关于该图的判断，正确的是（）A．图中所示地区位于南半球B．图中河谷横剖面从中心向两侧岩石年龄不断变老C．该地区地带性土壤为红壤D．该地区冬季盛行西南风4．下列对图中Q湖的描述，不正确的是（）A．Q湖对甲河流的源头起到补给作用B．Q湖湖水盐度最高的季节出现在一月C．Q湖最大湖面b出现于七月D．Q湖北侧深度变化大于南部【答案】A A【解析】主要考查通过读图提取有效信息并结合所学知识来分析和解决问题的能力。

3.由该区域图得出河流的流向为自乙地流向P湖。

从右侧的乙河流局部河谷剖面示意图上可以看出其东岸受侵蚀，西岸堆积，结合河流流向与指向标知，其东岸为左岸，左岸受蚀表明地转偏向力向左，为南半球，A正确；由岩层的弯曲方向知该河流发育于背斜，图中河谷横剖面从中心向两侧岩石年龄不断变新，B错；前面已判断出该区域为南半球，根据指向标与纬度分布规律，知该河流位于40°S以北，又位于大陆西岸，所以该地区地处地中海气候区，其地带性土壤为褐土，冬季盛行西北风，C、D选项都错，选A。

吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8 B．7 C．6 D．54．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．36．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．+ln2 D．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．210．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，e﹣2] C．[e﹣2，1] D．[1﹣，1]12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=5，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有a k（k∈M）的和．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：＜．吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集运算进行求解．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}，故选C．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．点评：本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8 B．7 C．6 D．5考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列性质计算可得，也可由S5=15直接求公差．解答：解：，公差d=1，所以a6=6，故选：C．点评：本题考查数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用．分析：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n＞0，推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，不能推出“λ＜1”，由此得出结论．解答：解：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故可推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n ﹣2λ+1＞0，故λ＜，故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．故“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，数列的单调性的判断方法，属于基础题．5．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：注意到角的变换β=α﹣（α﹣β），再利用两角差的余弦公式计算可得结果．解答：解：∵α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，∴sinα==；同理可得，∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=•+•=，故选：A．点评：本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：先化简即可求周期与对称轴方程．解答：解：=，∴T=π，对称轴：，∴，当k=0时，．故选D．点评：本题考查三角函数图象与性质，两角和与差的三角函数，基本知识的考查．8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．+ln2 D．考点：定积分在求面积中的应用；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由题可得f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为：，代入计算可得结果．解答：解：令f'（x）=0，得：或1，所以f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为：=；故选B．点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．故选C．点评：熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．10．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：利用条件，构造函数，利用函数的单调性和函数的取值进行求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣2x﹣4，则F'（x）=f'（x）﹣2，因为f′（x）＞2恒成立，所以F'（x）=f'（x）﹣2＞0，即函数F（x）在R上单调递增．因为f（﹣1）=2，所以F（﹣1）=f（﹣1）﹣2（﹣1）﹣4=2+2﹣4=0．所以所以由F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞0，即F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞F（﹣1）．所以x＞﹣1，即不等式f（x）＞2x+4解集为（﹣1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，利用条件构造函数是解决本题的关键．11．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，e﹣2] C．[e﹣2，1] D．[1﹣，1]考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用导数可得f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，要使对任意的x1，x2∈[1，e]，有f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x）min≥g（x）max．解答：解：由于，，∵x∈[1，e]，0＜a≤1，∴f'（x）＞0，g'（x）＞0，即f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，由任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以f（x）min≥g（x）max，即f（1）≥g（e），∴1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2，又0＜a≤1，得e﹣2≤a≤1，故选C．点评：本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x ＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．解答：解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D点评：本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：思路点拨令t=2x+1（t＞1），原式==，利用基本不等式即可得出．解答：解：令t=2x+1（t＞1），原式==，∵，当且仅当t=时取等号．∴原式，故最大值为．点评：本题考查了换元法、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为a2=b2+bc代入，约分后再将b+c=代入，利用正弦定理化简得到sinA=2sinBcosB=sin2B，进而得到A=2B，即可求出所求式子的值．解答：解：∵a2=b（b+c），即a2=b2+bc，b+c=，∴由正弦、余弦定理化简得：cosB======，则sinA=sin2B，即A=2B或A+2B=π，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，且a2=b（b+c）=b2+bc，∴cos A===＞0，即c＞b，∴C＞B，∵A+B+C=π，∴A+2B＜π，故A+2B=π不成立，舍去，∴A=2B，则=．故答案为：点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求单调区间先求定义域，再根据f'（x）＞0解出x的范围即可．解答：解：∵a＜0，∴定义域为（﹣∞，0），f'（x）=ln（ax）+1，当f'（x）＞0时，函数f（x）递增，此时，故递增区间为．故答案为：点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=5，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：把给出的数列递推式变形，得到等比数列{a n﹣3a n﹣1}，求出其通项公式即可．解答：解：由a n=2a n﹣1+3a n﹣2，得a n﹣3a n﹣1=﹣（a n﹣1﹣3a n﹣2）（n≥3），∵a1=2，a2=5，∴a2﹣3a1=5﹣3×2=﹣1≠0，∴数列{a n﹣3a n﹣1}是以﹣1为首项，以﹣1为公比的等比数列，∵a20﹣3a19是这个数列的第19项，∴，故答案为：﹣1．点评：本题考查了递推式的变形、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（I）根据正弦定理算出csinA=asinC，与题中等式比较可得，结合C为三角形内角，可得C的大小；（II）余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，列式解出a=5，b=1，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．解答：解：（I）根据正弦定理，可得csinA=asinC，∵，∴，可得，得，∵C∈（0，π），∴；（II）∵∴sinC=sin（A+B）∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵A、B、C为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a (1)由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴ (2)由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有a k（k∈M）的和．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公比为q，由a52=a10，可得，解得a1=q．再利用2（a n+a n+2）=5a n+1，可得q，即可得出a n．（II）由（I）可得：．当n为偶数，不成立．当n为奇数，，可得n=2m+1，得到m的取值范围．可知{a k}（k∈M）组成首项为211，公比为4的等比数列．求出即可．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公比为q，∴，解得a1=q，又∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴则2（1+q2）=5q，2q2﹣5q+2=0，解得（舍）或q=2．∴．（Ⅱ）由（I）可得：，当n为偶数，，即2n≤﹣2013，不成立．当n为奇数，，即2n≥2013，∵210=1024，211=2048，∴n=2m+1，5≤m≤49，∴{a k}（k∈M）组成首项为211，公比为4的等比数列．则所有a k（k∈M）的和．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．（II）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P∵，∴．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面BFC1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC1的一个法向量，利用向量法能求出当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．解答：解：（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），∵F为AA1r 中点，∴，设是平面BFC1的一个法向量，则，得x=﹣y=z取x=1，得，设直线BC与平面BFC1的法向量的夹角为θ，则，∴直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为．（2）设，设是平面BFC1的一个法向量，则，取z=2，得是平面FC1C的一个法向量，，得，即，∴当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角为45°时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：＜．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，对a分情况讨论，（1）当0≤a≤2时，（2）当a＜0或a＞2时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；（Ⅱ）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证，根据题意得到g（x）在x≥1时单调递增，且，利用函数的单调性可得证．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（1，+∞），，令h（x）=x2﹣2ax+2a，由题意得x2（x﹣1）＞0，则△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），对称轴为x=a，（1）当0≤a≤2时，h（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上递增；（2）当a＜0或a＞2时，h（x）=0的两根为，，由h（1）=1﹣2a+2a=1＞0，a＞2，得1＜x1＜x2，当x∈（x1，x2）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（1，x1）∪（x2，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，所以f（x）的递增区间为，减区间为．a＜0时，对称轴在y轴左边，那么一根必然为负值，虽然有一根大于零，但由于此时h（1）=1﹣2a+2a=1＞0，也就是在对称轴与1之间产生了一个零点，而函数定义域为（1，+∞），所以此时原函数在（1，+∞）恒为增函数．（Ⅱ）要证，只需证，即，即，设，由题知g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又，所以，即成立，得到．点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明，正确利用函数的单调性是关键．。

适用精选文件资料分享东北师大附中2010―2011 学年度上学期高三数学第三次摸底考试一试题及答案（理科） 3东北师大附中 2010―2011 学年度上学期高三数学第三次摸底考试一试题（理科）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分 150 分，考试时间 120 分钟．注意事项： 1 ．答第Ⅰ卷前，考生务势必自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2 ．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3 ．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定地点． 4 ．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．参照公式：圆锥表面积公式：（是圆锥底面半径，是母线）圆锥体积公式：（是圆锥底面半径，是高）球体积公式：（R是球的半径）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的）． 1 ．已知会集，，则（）A．B．C．D．2．命题“存在 R， 0”的否定是（） A ．不存在 R， >0 B．存在R，0 C ．对任意的 R， 0 D ．对任意的 R， >0 3 ．已知：，则的大小关系为（） A． B ． C． D． 4 ．有一个几何体的三视图及其尺寸以下（单位），则该几何体的表面积及体积为：（） A ．， B．，C．， D．以上都不正确 5 ．已知函数的最小正周期为，为了获得函数的图象，只要将的图象（） A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6 ．关于两条不一样的直线、与两个不一样的平面、，以下命题正确的选项是：（）A ．且，则；B ．且，则；C．且，则；D．且，则．7．若实数满足恒成立，则函数的单调减区间为（）A ．B． C．D．8 ．正四周体中，、分别是棱、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B ．C．D．9 ．已知向量的值是（）A ．B．C．D．1 10．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则必定有（）A． B ． C ． D． 11 ．定义两种运算：，，则是（）函数．（）A．奇函数 B ．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 12 ．已知定义在上的函数满足，且，，如有穷数列（）的前项和等于，则 n 等于（） A ．4 B．5 C．6 D． 7第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应地点上．） 13 ．函数与、及轴围成的图形的面积是． 14 ．函数的定义域为，则函数的定义域为_____________．15 ．（此中为正数），若，则的最小值是．16．已知三棱锥，两两垂直且长度均为 6，长为 2 的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含界限），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为．三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 ．本（题满分 10 分）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和为，求数列的通项公式．18．（本题满分 12 分）以以下图，在正方体中，．（Ⅰ）若，求证 :∥面；（Ⅱ）求二面角的正切值．19．（本题满分 12 分）的三个内角挨次成等差数列．（Ⅰ）若，试判断的形状；（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求代数式的取值范围．20．（本题满分 12 分）已知（1）若在上是增函数，务实数 a 的取值范围；（2）若是的极值点，求在上的最小值和最大值．21．（本题满分 12 分）函数对任意都有（1）求的值；（2）数列满足：，求；（3）令，试比较与的大小．22．（本题满分 12 分）设函数，，是的一个极大值点．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）当是给定的实常数，设是的 3 个极值点，问能否存在实数，可找到，使得的某种摆列（此中 = ）挨次成等差数列 ?若存在，求全部的及相应的；若不存在，说明理由．参照答案一、选择题 DDCAA CDBDB AB二、填空题 13 ．7 14． 15 ． 16 ．或三、解答题 17 ．解：（Ⅰ），当时，，∴时，，∴时，∴数列是首项为，公比为的等比数列，，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴∴ ∴ ∴18．解法1(Ⅰ)法1：连，∵. ∴, ∴ ∥，又∥ ∴∥面法 2：利用平面 // 平面，直接得证 . (Ⅱ)过点作 , 连接 . 由平面得 , 又，, 平面 , 就是二面角的平面角 . 设正方体的棱长为4，则 . , 中，由等面积法， . ∴中，解法 2：向量法（略） 19 ．解：（Ⅰ）∵ ，∴ . ∵挨次成等差数列，∴ , . 由余弦定理，，∴ .∴为正三角形.（Ⅱ）=====∵,∴，∴， .∴代数式的取值范围是 . 20 ．【分析】（1）由题知，，令，得记，当时，是增函数，，，又时， =3 在上恒大于等于 0，也吻合题意，（2）由题意，得，即，令得，又舍，故，当在上为减函数；当在上为增函数，时有极小值 . 于是，当时，，而， 21 ．【分析】（1）令，则有（2）令，得即由于，因此两式相加得：，（3），时，；时， =4 =4 22．分析：本题主要观察函数极值的看法、导数运算法规、导数应用及等差数列等基础知识，同时观察推理论证能力、分类谈论等综合解题能力和创新意识．。

吉林省东北师大附中2015届高三上学期第三次摸底考试数学（理科）试卷【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）【题文】一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】（1）设集合{||1|2}A x x =-<，1{|24}x B x +=≥，则AB = （ ）（A ） [0,2] （B ）(1,3) （C ）[1,3) （D ）(1,4) 【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】C 解析：{|13}A x x =-<<，{|1}B x x =≥，{|13}A B x x ∴=≤< 故选C.【思路点拨】化简集合A ，B ，直接计算即可.【题文】（2）若命题:p 2000,13x R x x ∃∈+>，则p ⌝是 ( )（A ）2000,13x R x x ∃∈+≤ （B ）2,13x R x x ∀∈+≤（C ）2,13x R x x ∀∈+< （D ）2,13x R x x ∀∈+> 【知识点】特称命题的否定A3【答案】【解析】B 解析：由定义可得p ⌝为2,13x R x x ∀∈+≤，故选B. 【思路点拨】特称命题的否定是全称命题.【题文】（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ）（A ） 8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【知识点】等差数列D2 【答案】【解析】C 解析：155551552a a S a +=⨯=∴=，公差1d =，所以66a =， 故选C.【思路点拨】由等差数列性质计算可得，也可由515S =直接求公差.【题文】（4）“1<λ”是数列“)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【知识点】充分必要条件A2 【答案】【解析】A 解析：由“1<λ”可得][221[] 12122210n n a a n n n n n λλλ+-=+-+--=-+（）（）＞，故可推出“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”，故充分性成立．由“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”可得][221[]12122210n n a a n n n n n λλλ+-=+-+--=-+（）（）＞，故212n λ+＜， 即32λ＜，不能推出“1<λ”，故必要性不成立．因此“1<λ”是“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 【思路点拨】由“1<λ”可得1 0n n a a +-＞，推出“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”．由“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”，不能推出“1<λ”，由此得出结论．【题文】（5）在等比数列{}n a 中，若452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） （A ） 6 （B ）5 （C ）4 （D ）3【知识点】等比数列 D3【答案】【解析】C 解析：因为452,5a a ==，4510a a ∴⋅=，4412781281845lg lg lg lg lg()lg()lg()4lg104a a a a a a a a a a a +++++=====，故选C.【思路点拨】4518a a a a ⋅=⋅，结合对数运算性质得4412781845lg lg lg lg lg()lg()a a a a a a a a +++++==即可求解.【题文】（6）设α，β都是锐角，且55cos =α，10sin()10αβ-=，则=βcos （ ） （A ）22 （B ）210- （C ）22或210- （D ）22或210【知识点】两角和与差的余弦公式C5【答案】【解析】A 解析：cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-，由题意可得25310sin ,cos()510ααβ=-=，代入得2cos 2β=，故选A. 【思路点拨】注意到角的变换()βααβ=--，再利用两角差的余弦公式计算可得结果. 【题文】（7）已知函数2()2sin 222cos f x x x =-，则()f x 的最小正周期T 和其图像的一条对称轴方程是 ( ) （A ）2,8x ππ=（B ）32,8x ππ=（C ）,8x ππ= （D ）3,8x ππ= 【知识点】三角函数图像与性质C3 【答案】【解析】D 解析：2()2sin 222cos 2sin 22(1cos 2)f x x x x x =-=-+2sin(2)24x π=--，T π∴=，对称轴32,4228k x k x πππππ-=+∴=+，当0k =时，38x π=，故选D.【思路点拨】先化简()2sin(2)24f x x π=--即可求周期与对称轴方程.【题文】（8）已知函数2()ln 3,f x x x x =+-则其导函数'()f x 的图像与x 轴所围成的封闭 图形的面积为 （ ）（A ）ln 2 （B ）3ln 24- （C ）3ln 24+ （D ）32 【知识点】定积分的应用B13【答案】【解析】B 解析：()1'23f x x x =+-令()'0f x =,得：12x =或1, 所以'()f x 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为：1'111221()()|()(1)2f x dx f x f f -=-=-⎰1133(ln )(ln113)ln 22424=+--+-=-,故选B.【思路点拨】由题可得'()f x 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为：1'111221()()|()(1)2f x dx f x f f -=-=-⎰，代入计算可得结果.【题文】（9）已知0,0,lg 2lg8lg 2x yx y >>+=，则113x y+的最小值是 ( ) （A ）4 （B ）3 (C) 2 (D) 1 【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】A 解析：由题得333y lg2lg2lg(22)lg2lg2x y x y x ++=⨯==，所以31x y +=，11113(3y)()(2)333y x x x y x y x y+=++=++224≥+=，当且仅当33y xx y=，即22(3)x y =，11,26x y ==时等号成立，故选A. 【思路点拨】】由题得31x y +=，做变换11113(3y)()(2)333y x x x y x y x y+=++=++即可利用基本不等式求解.【题文】（10）若函数)(x f 的定义域为R ，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（ ）（A ）(,1)-∞- （B ）(,1)-∞ （C ）(1,1)- （D ）(1)-+∞， 【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】D 解析：令()()(24)g x f x x =-+，要求42)(+>x x f ，就是求()0g x >，g'()()20x f x '=->，所以函数()g x 在R 上单调递增，而(1)(1)20g f -=--=，()0(1)g x g >=-，即1x >-，故选D.【思路点拨】构造函数()()(24)g x f x x =-+，得g'()()20x f x '=->，得函数()g x 在R 上单调递增，又(1)0g -=，所以()0(1)g x g >=-，可求其解集. 【题文】（11）设01a <≤，函数x x x g xax x f ln )(,)(-=+=，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围为 （ ）（A ）(0,1] （B ）(0,2]e - （C ）[2,1]e - （D ）1[1,1]e- 【知识点】函数综合B14【答案】【解析】C 解析：令222'()1a x af x x x-=-=，11'()1x g x x x -=-=， [1,e]x ∈，01a <≤，'()0,'()0f x g x ∴>>，即(),()f x g x 在[1,e]x ∈时单调递增，由对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，所以min max ()()f x g x ≥，即(1)()f g e ≥，112a e a e ∴+≥-∴≥-，又01a <≤，得21e a -≤≤，故选C.【思路点拨】由题意可得(),()f x g x 在[1,e]x ∈时单调递增，要使对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，只需min max ()()f x g x ≥.【题文】（12）定义函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤≤，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2](n n *)∈N 内的所有零点的和为 ( )（A ）31(1)42n - （B ）31(1)22n - （C ）3(21)4n - （D ）3(21)2n -【知识点】根的存在性及根的个数判断 B5【答案】【解析】D 解析：当312x ≤≤时，88f x x =-（）， 所以()2(82)18g x x =--，此时当32x =时，0max g x =（）；当322x ≤＜时，168f x x =-（），所以28120g x x =--+（）（）＜；由此可得12x ≤≤时，0max g x =（）． 下面考虑122n n x -≤≤且2n ≥时，g x （）的最大值的情况．当12232n n x --≤≤⋅时，由函数f x （）的定义知()11112()2)(22n n xf x f f x --==⋯=, 因为13122n x -≤≤，所以()2225(1282)n n g x x --=--， 此时当232n x -=⋅时，0max g x =（）；当2322n n x -⋅≤≤时，同理可知()1225(182)20n n g x x --=--+，＜．由此可得122n n x -≤≤且2n ≥时，0max g x =（）．综上可得：对于一切的*n N ∈，函数g x （）在区间12]2[n n-，上有1个零点，从而g （x ）在区间[1]2n ，上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为3(221)n-．故选D. 【思路点拨】函数f x （）是分段函数，要分区间进行讨论，当12x f x ≤≤，（）是二次函数，当2x ＞时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分） 【题文】（13）函数221()(0)41x f x x x +=>+的最大值为 ；【知识点】函数的最值B3 【答案】【解析】212+解析：令21t x =+（1t >），原式222t t t =-+122t t=+-，（1） 222t t +≥，（1）式1212222+≤=-，故最大值为212+. 【思路点拨】令21t x =+（1t >），原式222tt t =-+122t t=+-，利用基本不等式即可 求解.【题文】（14）在ABC △中，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、，且2()a b b c =+，则BA= ； 【知识点】余弦定理C8【答案】【解析】12解析：2a b b c =+（），即222a a b bc b c b=++=，，∴由正弦、余弦定理化简得：2222222a c b c bc b c cosB ac ac a +-++===2222a a sinAab b sinB===，则2sinA sin B =，即2A B =或2A B π+=，2222a b c bccosA =+-，且22a b b c b bc =+=+（），22222222b c a b c b bccosA bc bc +-+--∴== ()02c c b bc -=＞ ，即2c b C B A B C A B ππ∴++=∴+＞，＞，，＜，故2A B π+=不成立，舍去，2A B ∴=，则12B A =．故答案为12. 【思路点拨】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为22a b bc =+代入，约分后再将2a b c b+=代入，利用正弦定理化简得到22sinA sinBcosB sin B ==，进而得到2A B =，即可求出所求式子的值．【题文】（15）函数()ln()(0)f x x ax a =<的递增区间是 ； 【知识点】函数的单调性B3【答案】【解析】1(,)ae-∞解析：0a <，∴ 定义域为(,0)-∞，'()ln()1f x ax =+，当'()0f x >时，函数()f x 递增，此时110ax x e ae >∴<<，故递增区间为1(,)ae -∞.【思路点拨】求单调区间先求定义域，再根据'()0f x >解出x 的范围即可.【题文】（16）已知数列}{n a 中，12122,5,23(3)n n n a a a a a n --===+≥，则20193a a -= .【知识点】递推公式D5【答案】【解析】1- 解析：由1223n n n a a a --=+，得112333n n n n a a a a n ----=--≥（）（）， 122125353210a a a a ==∴-=-⨯=-≠，，，∴数列{}13n n a a --是以1-为首项，以1-为公比的等比数列，20193a a -是这个数列的第19项，18201931(1)1a a -=-⨯-=-， 故答案为1-.【思路点拨】把给出的数列递推式变形，得到等比数列{}13n n a a --，求出其通项公式即可. 【题文】三、解答题（本题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【题文】（17）（本小题满分10分） 已知ABC ∆是斜三角形，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、．己知C a A c cos 3sin =．（I ）求角C ；（II ）若c =21，且sin sin()5sin 2,C B A A +-= 求ABC ∆的面积. 【知识点】余弦定理 正弦定理C8 【答案】【解析】（I ）3C π=（II ）534解析：（I ）根据正弦定理a csinA sinC= ，可得csin A asinC =， sinA 3cos ,sin 3cos c a C a C a C =∴=，可得sin 3cos C C =，得3sinC tanC cosC ==,03C C ππ∈∴=（，），； （II ）sin sin(B A)5sin 2A,C 3C π+-==sin sin()C A B ∴=+sin(A B)sin(B A)5sin 2A ∴++-=，2sin cosA 25sin cos B A A ∴=⨯ A B C 、、为斜三角形，cos 0A ∴≠，sinB 5sinA ∴=，由正弦定理可知5b a = (1)由余弦定理2222cos c a b ab C =+-2212122a b ab ∴=+-⨯ (2)由（1）（2）解得5,1a b ==11353sin 152224ABCSab C ∴==⨯⨯⨯=. 【思路点拨】（I ）根据正弦定理算出csin A asinC =，与题中等式比较可得3tanC =，结合C 为三角形内角，可得C 的大小；（II ）余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，列式解出5,1a b ==，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到ABC 的面积．【题文】（18）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)n n n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k a k M ∈的和.【知识点】数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和D5 D3 D4【答案】【解析】（I ）2nn a =（II ）11451012142204814()3--=-解析：. （Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，42911()a q a q ∴=，解得1a q =， 又221(2525)n n n n n n a a a a a q a q +++=∴+=（），,则2215q q +=（），22520q q -+=解得12q =（舍）或2q =．1222n n n a -∴=⨯=． （Ⅱ）由（I ）可得：()()1112nnn n c a =--=--，当n 为偶数，122014n n c =-≥，即22013n≤-，不成立． 当n 为奇数122014n n c =+≥，即22013n≥，1011210242204821549n m m ==∴=+≤≤，，，，{}k a k M ∴∈（）组成首项为112，公比为4的等比数列． 则所有k a k M ∈（）的和11451012142204814()3--=-． 【思路点拨】（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由2510a a =，可得42911()a q a q =，解得1a q =．再利用2125n n n a a a +++=（），可得q ，即可得出n a ．（II ）由（I ）可得()()1112n nn n c a =--=--．当n 为偶数，不成立．当n 为奇数，122014n n c =+≥，可得21n m =+，得到m 的取值范围．可知k a k M ∈（）组成首项为211，公比为4的等比数列,求出即可． 【题文】(19)（本小题满分12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立. 课 程来初等代数 平面几何 初等数论 微积分初步合格的概率3243 32 21 （Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望ξE ． 【知识点】二项分布与n 次独立重复试验的模型；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差K6 K2 K8 【答案】【解析】（I ）512（II ）54解析：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：P ABCD P ABCD P ABCD ++=（）（）（）322132213211543324332433212⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ． （2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5312B ξ～（，），03373430121728()PC ξ===（），213577351()()12121728P C ξ===（），223575252()()12121728P C ξ===（）， 33351253()121728P C ξ===（） ，ξ∴的分布列为：5312B ξ～（，）,512534E ξ∴=⨯=． 【思路点拨】（I ）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P ABCD P ABCD P ABCD ++（）（）（），由事件A ，B ，C ，D 相互独立能求出结果．（II ）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5312B ξ～（，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．【题文】(20) （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，90BAC ︒∠=，F 为棱1AA 上的动点，14,2A A AB AC ===．（Ⅰ）当F 为1A A 的中点，求直线BC 与平面1BFC 所成角的正弦值； （Ⅱ）当1AFFA 的值为多少时，二面角1B FC C --的大小是45︒．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角G12 G10 【答案】【解析】（I ）63（II ）153AF FA = 解析：（1）如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得11000200020004024A B C A C （，，），（，，），（，，），（，，），（，，），F 为1AA 中点，02(0)F ∴，，，1()()(202224220)BF BC BC =-=-=-，，，，，，，，，设()n x y z =，，是平面1BFC 的一个法向量，则12202240n BF x z BC x y z n ⎧⎪⎨⎪⎩=-+==-++= ，得x y z =-=, 取1x =，得1)1(1n =-，，， 设直线BC 与平面1BFC 的法向量1)1(1n =-，，的夹角为θ， 则463||||223BC n cos BC n θ-===-⋅⋅， ∴直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为63．…（5分） （2）设()0,0(,04)F t t ≤≤，1()2,0,4()22BF t BC =-=-，，，， 设()n x y z =，，是平面1BFC 的一个法向量，则1•20•2240n BF x tz n BC x y z ⎧⎪=-+==-+⎨⎩=⎪+， 取2z =，得4)2(n t t =-，，,(2)00AB =，，是平面1BFC 的一个法向量，||||n ABcos n AB n AB =＜，＞()22222244t t t =+-+=，得52t =， 即15322AF FA ==，， ∴当153AF FA =时，二面角1B FC C --的大小是45︒．…（10分） 【思路点拨】（I ）以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面1BFC 所成角的正弦值．（II ）求出平面1BFC 的一个法向量，利用向量法能求出当153AF FA =时，二面角1B FC C --的大小是45︒.【题文】(21) （本小题满分12分）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率5,2e =虚轴长为2. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于A ，B 两点（A B ，均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【知识点】直线与双曲线H8【答案】【解析】（Ⅰ）2214x y -=（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为1003⎛⎫- ⎪⎝⎭， 解析：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为22221(0,b 0)x y a a b -=>>，由已知得：52c a =，22b =，又222a b c +=，解得2,1a b ==，∴双曲线的标准方程为2214x y -=.（Ⅱ）设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，得 222(14k )84(m 1)0x mkx ---+=，有2222212221221406416(14k )(m 1)08014k 4(m 1)014kk m k mk x x x x ⎧->⎪∆=+-+>⎪⎪⎨+=<-⎪⎪-+⎪=>⎩- ， 22221212121224(k )(k )k ()14m k y y x m x m x x mk x x m k-=++=+++=- ，以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点(2,0)D -，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x ⋅=-++， 1212122()40y y x x x x ∴++++=22222244(1)1640141414m k m mk k k k--+∴+++=---，22316200m mk k ∴-+=．解得：12m k =，2103km =. 当12m k =时，l 的方程为(2)y k x =+，直线过定点(20)-，，与已知矛盾； 当2103k m =时，l 的方程为103y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线过定点1003⎛⎫- ⎪⎝⎭，，经检验符合已知条件． 所以，直线l 过定点，定点坐标为1003⎛⎫-⎪⎝⎭，．【思路点拨】（Ⅰ）由已知得：52c a =，22b =，易得双曲线标准方程； （Ⅱ））设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，得 222(14k )84(m 1)0x mkx ---+=，以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点(2,0)D -，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x ⋅=-++，代入即可求解. 【题文】 (22)（本小题满分12分） 已知函数()()2ln(1)af x x a R x=-+∈ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设,m n 是正数，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-. 【知识点】利用导数研究函数的单调性B12【答案】【解析】（I ）当02a ≤≤时，()f x 的递增区间为(1,)+∞；当0a <或2a >时，()f x 的递增区间为22(1,2),(2,)a a a a a a --+-+∞，减区间为22(2,2)a a a a a a --+-.（II ）略解析：（I ）函数)(x f 的定义域为(1,)+∞，22212221(1)a x ax af x x x x x -+'=-=--（）， 令2()22h x x ax a =-+，由题意得2(1)0x x ->，则2484(2)a a a a ∆=-=-，对称轴为x a =，（1）当02a ≤≤时，()0h x ≥，即0f x '≥（），()f x 在(1,)+∞上递增； （2）当0a <或2a >时，()0h x =的两根为212x a a a =--，222x a a a =+-，由(1)12210h a a =-+=>，2a >，得121x x <<，当12(,)x x x ∈时，()0h x <，0f x '<（），()f x 递减；当12(1,)(,)x x x ∈+∞时，()0h x >，0f x '>（），()f x 递增，所以()f x 的递增区间为22(1,2),(2,)a a a a a a --+-+∞，减区间为22(2,2)a a a a a a --+-.（II ）要证2m n m nlnm lnn -+-＜，只需证112m m n nm nln -+＜， 即21()1m m n l n n m n -+＞ ，即()2101m n n l mn m n--+＞，设()211x g x lnx x -=-+（）， 由题知g x （）在1+∞（，）上是单调增函数，又1m n ＞， 所以10mg g n=（）＞（）， 即()2101m n n l mn m n--+＞ 成立，得到2m n m n lnm lnn -+-＜． 【思路点拨】（I ）求出函数的导数，对a 分情况讨论，（1）当02a ≤≤时，（2）当0a <或2a >时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；（II ）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证()2101m n n l m n m n--+＞，根据题意得到g x （）在1x ≥时单调递增，且1m n ＞，利用函数的单调性可得证．。

2023-2024学年上学期东北师大附中 数学学科试卷高三年级 第三次摸底考试第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<∣，则集合A 子集个数为（）A. 3B. 4C. 8D. 162. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 23. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771==）（ ）A. 6B. 8C. 10D. 124. 命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是（ ）A. 2R,230x x x ∃∈-+> B. 2R,230x x x ∀∈-+>C. 2R,230x x x ∃∈-+≥ D. 2R,230x x x ∀∈-+≥5. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）A. 26B. 28C. 30D. 32的6. 已知π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 79-B. 29-C.29D.797. 已知函数()f x 及其导数()f x '定义域均为R ，()f x '在R 上单调递增，()1f x '+为奇函数，若23a =，45b =，34c =，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f a f c <<C. ()()()f b f c f a << D. ()()()f c f b f a <<8. 若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A.B.1-C.1+D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知k ∈Z ，则函数()()22kxxf x x -=⋅+的图象可能是（）A. B.C. D.10. 已知函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为4πB. 21099f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为偶函数的D. 函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱11,B C CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC⊥B. 当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，过1,,A M N 三点作正方体的截面，则截面为五边形D. 三棱锥11D A MN -的体积为定值12. 已知曲线()e xf x =在点()()11,P x f x 处切线和曲线()lng x x =在点()()22,Q x g x 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（ ）A. 12x x +有最大值1B. ()()12f x g x +有最小值是1C. 12x x 有最小值是1eD. 若10x <，则221212x x x x +有最大值为1e e--第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知()2,1P -是θ终边上的一点，则sin 2θ=_____________.14. 在ABC 中，2,4AB AC ==，P 是ABC 的外心，则AP BC ⋅等于___________.15. 已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.16. 正三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为α，二面角P AB C --的平面角为β.当该球的表面积最小时，()tan αβ+=____________.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的是17. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na n ⋅的前n 项和nT .18. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知()2cos cos cos B C B Cbc ab ac+=+.（1）求A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且3BD DC =，求cos C .19. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B都是矩形，11D D D C ==，22AB BC ==.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若点P 的在线段1BD 上，且二面角P CD B --的大小为4π，求1D PPB的值.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1(2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为())12,F F ，渐近线方程为12y x =±.（1）求E 的方程；（2）直线l 与E 的左、右两支分别交于,M N 两点（,M N 在x 轴的同侧），当12//F MF N 时，求四边形的12F F NM 面积的最小值.22. 已知函数()()sin sin 0f x a x ax a =+>.（1）当1,0a x =>时，证明()2f x x <；（2）当2a =时，讨论()f x 的单调性；（3）设0x >，证明()()e 2e axax f x +->.2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】BD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】45-##0.8-【14题答案】【答案】6【15题答案】【答案】1872【16题答案】【答案】3-四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）*21,N n a n n =-∈ （2）211122339n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭【18题答案】【答案】（1）2π3（2【19题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）2【20题答案】【答案】（1）23p =．（2）ξ246P5920811681 26681Eξ=．【21题答案】【答案】（1）221 4xy-=（2【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）证明见解析。

吉林省东北师大附中2011届上学期高三第三次摸底考试英语试题考试时间：145分钟试卷满分：150分笔试部分120分钟第I卷（共85分）第一部分英语知识运用（共两节，满分45分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

21．It rains very heavily in this area, which has _______ annual rainfall of 7,000 mm, _______ ideal environment for forests．A．the; an B．an; 不填C．an; an D．不填; the【答案】C【解析】主要测试冠词。

根据语境可知句子译文如下：这个地区雨下的非常大，年降水量（an annual rainfall）达7,000毫米，适于森林的一种理想环境（an ideal environment）。

再结合所学知识：rainfall此处作为可数名词，属于泛指；第二空也属于泛指：一种环境。

22．I think he’s determined that he won’t give in —see if you can _______the stubborn man．A．get round B．wipe out C．take over D．see through【答案】A【解析】主要测试短语动词。

考生应该弄懂所给选项的意思：Get round：避开、说服；He got round the difficulty. 他避开了这一难题。

I got round my father to lend me his car. 我说服了父亲借车给我。

Wipe out：消灭;彻底摧毁They have wiped out the enemy's major military targets. 他们已彻底摧毁了敌人的主要军事目标。

数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只是一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|0},{||1|1},2x A x B x x A B x -=≤=->+ 则等于（ ）A ．{|20}x x -≤<B ．{|02}x x <≤C ．{|20}x x -<<D ．{|20}x x -≤≤2．4cos ,(,0),sin cos 54παααα=∈-+则=（ ） A ．15 B ．15- C ．75-D ．75 3．函数ln()ln y x x y x x =-=与的图象关于（ ） A ．直线y x =对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．原点对称4．设随机变量~(0,1),(1),(10)N P p P ξξξ>=-<<若则=哈 师 大 附 中东 北 师 大 附中 辽宁省实验中学 2011年高三第二次联合模拟考试（ ） A ．12p + B ．1p - C ．12p - D ．12p - 5．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 （ ）A ．2x y +=B ．2x y +>C ．222x y +>D ．1xy >6．右面程序运行的结果为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 （ ）A ．148B ．124C ．112D ．168．已知a 、b 、c 、d 是空间四条直线，如果,,,a c b c a d b d ⊥⊥⊥⊥，那么 （ ）A ．a//b 且c//dB ．a 、b 、c 、d 中任意两条可能都不平行C ．a//b 或c//dD ．a 、b 、c 、d 中至多有一对直线互相平行9．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35y x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程ˆˆˆy bx a =+必过（,x y ）； ④在一个2×2列联中，由计算得213.079,K =则有99%的把握确认这两个变量间有关系；` 其中错误．．的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知实数a ，b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则函数3253y x ax bx =-++有极值的概率（ ）A ．14B ．12C ．23D ．3411．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若214000,S S =O 为坐标原点，点P （1，n a ），点Q（2011，2011a ），则OP OQ ⋅（ ）A ．2011B ．-2011C ．0D ．112．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，且⊙I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则（ ）A ．|OB|=e|OA|B ．|OA|=e|OB|C ．|OB|=|OA|D ．|OA|与|OB|关系不确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2011—2012学年（上）高三年级第四次摸底考试数学（理）学科试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）若命题，则（A）（B）（C）（D）（2）集合，集合，则（A）（B）（C）（D）（3）等差数列的前项和为，，，则公差（A）（B）（C）（D）（4）在中，角、、的对边分别为、、，则是的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）的值是（A）（B）（C）（D）学（6）变量满足约束条件，则的最大值为（A）（B）（C）（D）（7）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位（8）是周期为的奇函数，当时，，则（A）（B）（C）（D）（9）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（A）（B）（C）（D）（10）函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（11）函数，给出如下结论：①函数为奇函数；②函数的值域为；③若且，则；④方程无解，则实数的取值范围是.其中，正确结论的个数是（A）1 （B）2 （C） 3 （D） 4（12）在表面积为的球的内接三棱锥中，、分别是、的中点，、都是正三角形，．则的边长为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（13）网格纸的小正方形边长为1，一个三角形的三视图如右图所示，则此三角形的面积为.（14）中，，，的平分线方程分别为，则直线的方程为.（15）在直线与曲线的交点中，自左向右取三个连续的点，且，则.（16）在中，给出如下结论：①若点是的外心，则.②若点是的重心，则.③若点是的内心，则存在实数，使.④若点、分别是的外心、垂心，则.其中所有正确结论的序号是________________ .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）(本题满分10分)已知集合，集合.（Ⅰ）时，求集合；（Ⅱ）若，求的取值范围.(18）（本题满分12分）已知坐标原点到过点的直线的距离为，的倾斜角为钝角。

适用精选文件资料分享东北师大附中2010―2011 学年上学期高三年级第三次摸底考试（化学）科试卷及答案4东北师大附中 2010―2011 学年上学期高三年级第三次摸底考试（化学）科试卷考试时间：100分钟试卷满分：100分注意事项：本试卷分第 I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，此中第II 卷第 30、31 为选考题，其余题为必考题。

考生作答时，将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

可能用到的相对原子质量： H-1 C-12 N-14 O-16 Al-27 Fe-56 Ca-40 S-32 Na-23 Mg-24 K-39 Cu-64第 I 卷(选择题共50分)一、单项选择题（每题 2 分，共 50 分）1 ．以下说法正确的选项是A ．H、D、T 属于同位素， H2、D2、T2 属于同素异形体B ．氯水、氨水、王水是混杂物，水银、水玻璃是纯净物 C．HCl、NH3、BaSO4是电解质，CO2、Cl2 、CH3CH2OH是非电解质 D．水能、风能、生物质能是可再生能源，煤、石油、天然气是不行再生能源 2 ．某实验报告记录了如下数据，此中数据合理的是 A ．用广泛试纸测得氯水的 pH 为 2.1 B．用50mL量筒量取 23.00 mL 浓盐酸 C ．用温度计丈量出酒精的沸点为78.5 ℃ D．用托盘天平称量氧化铜粉末为 11.70g 3 ．只用试管和胶头滴管就可以鉴其余以下各组溶液是①AlCl3 溶液和 NaOH溶液②Ca(HCO3)2溶液和 NaOH溶液③NaAlO2溶液和盐酸④Al2(SO4)3 溶液和氨水⑤AgNO3溶液和氨水A．①③⑤B．①②③C．②③④D．③④⑤ 4 ．高升温度，以下数据不必定增大的是 A ．化学反应速率 v B．水的离子积常数 Kw C．化学均衡常数 K D．弱酸的电离均衡常数 Ka 5．设 NA表示阿伏加德罗常数，以下说法正确的选项是A ．在含有NA个CH3COO－的醋酸溶液中， H+ 数量略大于 NA B．N60结构如右图， 28ｇN60单质中含有的N－N键个数为NA C．2.9g 熟石膏(2 CaSO4?H2O)含有的结晶水分子数为 0.02NA D．在标准情况下， 2.24L 的 CCl4 中含有 C―Cl 键的数量约为 0.4NA 6 ．向三份 0.1 mol/L CH3COONa溶液中分别加入少许NH4NO3、Na2SO3、FeCl3 固体 ( 忽视溶液体积变化 ) ，则 CH3COO－浓度的变化挨次为 A ．减小、增大、减小 B ．增大、减小、减小 C．减小、增大、增大 D．增大、减小、增大 7 ．以下反应的离子方程式正确的选项是：A ．AgNO3溶液中滴入少许的 NaHS溶液 2Ag＋＋ S2-＝Ag2S↓ B．KI溶液与 H2SO4酸化的 H2O2溶液混杂： 2 I － + H2O2 + 2 H+ =2 H2O+I2 C ．用铜做阳极电解氯化铜溶液： Cu2＋＋ 2Cl －＝ Cu＋Cl2↑D．硫酸铝溶液与纯碱溶液混杂：2Al3 ＋＋ 3CO32－＝ 2Al(OH) 3↓＋3CO2↑ 8．除去以下物质中所含少许杂质的方法正确的选项是物质杂质试剂提纯方法 A BaSO4 BaCO3水溶解、过滤、清洗 B CO2 SO2饱和 Na2CO3溶液洗气 C 乙酸乙酯乙酸稀 NaOH溶液混杂振荡、静置分液 D 蛋白质葡萄糖浓(NH4)2SO4溶液盐析、过滤、清洗 9 ．用标准盐酸滴定未知浓度的 NaOH溶液时，若测定结果偏高，则产生偏差的原由可能是 A ．滴准时，装 NaOH溶液的锥形瓶未用 NaOH溶液润洗 B ．酸式滴定管用蒸馏水洗后，用标准盐酸润洗 C．滴定前，酸式滴定管尖嘴处有气泡，而在滴定后气泡消逝 D ．配置 NaOH溶液时，NaOH固体中混有少许 KOH固体 10 ．在 80 g 密度为 d g/cm3 的硫酸铁溶液中，含有 2.8 g Fe3+离子，则此溶液中 SO42-的物质的量浓度为( 单位为 mol?L-1) A ． B ． C． D． 11 ．以下各组离子在指定溶液中能大批共存的是①无色溶液中： K+、Na+、MnO4－、 SO42－②pH=11的溶液中： CO32－、 Na+、AlO2－、NO3－③加入 Al 能放出H2的溶液中： Cl －、 HCO3－、 SO42－、 NH4+ ④由水电离出的c(OH －)=10 －13mol?L－1 的溶液中： Na+、Ba2+、Cl －、 Br－⑤有许多Fe3+的溶液中： Na+、NH4+、SCN－、 HCO3－⑥酸性溶液中： Fe2+、Al3+ 、NO3－、 I －、 Cl － A ．①② B ．③⑥C．②④D．⑤⑥ 12 ．常温时，以下溶液的 pH或微粒的物质的量浓度关系不正确的选项是 A ．某物质的溶液中由水电离出的 c(H+)=1 ×10－ amol／L，若a>7 时，则该溶液的 pH必定为 14-a B．某溶液中存在的离子有 Cl －、OH －、NH 、H+，则离子浓度不必定是 c(Cl －)>c(NH )>c(H+)>c(OH－)C ．pH=3的二元弱酸H2R溶液与pH=11的NaOH溶液混杂后，混杂液的pH等于7，则反应后的混杂液：2c(R2－)+c(HR 一)=c(Na+) D．将 0.2 mol／L 的某一元酸 HA溶液和 0.1mol ／L NaOH溶液等体积混杂后溶液 pH大于 7，则反应后的混杂液：2c(OH一)+c(A一)=2c(H+)+c(HA) 13．以以下图：，每个编号代表以下物质中的一种物质，凡是用直线相连的两种物质均能发生化学反应。

吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次摸底考试全解全析物理 试 题253800河北省郑口中学特级教师 陈宝友考试时间：100分钟 试卷满分：100分注意事项： 1．答题前，考生须将自己的班级、姓名、学号填写在答题纸指定的位置上； 2．选择题的每小题选出答案后，涂在答题卡指定的位置上； 3．非选择题必须按照题号顺序在答题纸上各题目的答题区域内作答。

在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

一、选择题：（本题共13小题，每小题4分，共52分。

在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

） 1．万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统——“地上物理学”和“天上物理学”的统一。

它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律。

牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道假想成圆轨道；另外，还应用到了其他的规律和结论。

下面的规律和结论没有被用到的是 （ ） A ．牛顿第二定律 B ．牛顿第三定律 C ．开普勒的研究成果 D ．卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常数 【答案】D ；【解析】这是有关物理学史的问题，只要了解基本常识，答案容易得到. 【考点】万有引力.2．有一根绳子下端串联着两个质量不同的小球，上面小球比下面小球质量大。

当手提着绳端沿水平方向一起做匀加速直线运动时（空气阻力不计），图中所描绘的四种情况中正确的是 （ ） 【答案】C ；【解析】手提着绳端沿水平方向一起做匀加速直线运动，则整体的加速度应该由绳子的张力提供，据此立即可排除D ；对下面小球m ，利用牛顿第二定律，则在水平方向有ma T =αcos ①，而在竖直方向则有mg T =αsin ②； 对上面小球M ，同理有Ma T F =-αβcos cos ③，MgT F +=αβsin sin ④，由①③容易得到，a m M F )(cos +=β,而②④则得g m M F )sin +=（β,故有a g /tan =β.ma T =αcos ，而由①②得到a g /tan =α，因此βα=.C A D【考点】牛顿定律.3．据中新社3月10日消息，我国将于2011年上半年发射“天宫一号”目标飞行器，2011年下半年发射“神舟八号”飞船并与“天宫一号”实现对接。

东北师范大学附属中学2019学年高三年级第三次摸底考试数 学 试 题（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间120分钟. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合=A }{32<≤-x x ，)}1lg({-==x y x B ，那么集合B A ⋂等于 （ ） A ．{}31<<-x x B ．{}31>-≤x x x 或 C ．{}12-<≤-x xD ．}31{<<x x2．已知命题R x p ∈∀:，210x x -+≤，则（ ）A ．R x p ∈∃⌝:，210x x -+≥B ．R x p ∈∀⌝:，210x x -+≥C ．R x p ∈∃⌝:，210x x -+>D ．R x p ∈∀⌝:，210x x -+> 3．已知等差数列{}n a 的前5项和525S =，且137=a ，则=2a ( )A ．2B ．3C ．4D ．54．经过点)2,1(-P 且与直线0:=+y x l 垂直的直线方程为 （ ） A ．30x y -+=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．30x y ++=5．已知直线m 、n 、l ，平面α、β,下列命题正确的是 （ ）A ．若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα//；B ．若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥l ；C ．若n m m //,α⊥，则α⊥n ；D ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥． 6．已知))4sin(),4(cos(ππ--=x x a ))4sin(),4(cos(ππ---=x x b ，则函数b a x f ⋅=)(是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数7．已知函数()[0,3]f x x =∈，则函数()f x 的最小值为 （ ）A ．4B ．3-C ．0D ．4- 8．在底面为正方形的四棱锥V ABCD -中，侧棱VA 垂直于底面，且VA AB =.点M 为VA 的中点，则直线VC 与平面MBC 所成角的正弦值是 ( )A.6B．5C ．23D．159)1<x的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知圆C 与直线340x y ++=及360x y +-=都相切，且圆心在直线290x y --=上，则圆C 的方程为（ ）A ．225(4)(1)2x y -++=B ．225(4)(1)2x y ++-=C ．10)4()1(22=++-y x D ．10)4()1(22=-++y x 11．一个几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 （ ） A．3 B ．12π C．3 D．6 12．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0<x 时，()1f x >，且对任意的,x y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()(2)n n f a f a +=--)(*∈N n ，则2009a 的值为（ ）A ．4016B ．4017C ．4018D ．4019第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，当1x >，2()log (1)f x x =+，则(1)f -= .14．若实数x 、y 满足约束条件10310110x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)(1)z x y =-++的最小值为 .15．已知方程()()22220x mx x nx -+-+=的四个根组成一个首项为12的等比数列，则||m n -= .16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题,① 点H 是1A BD △的垂心; ② AH 垂直平面11CB D ;③ 二面角111C B D C --④ 点H 到平面1111A B C D 的距离为34.其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代号） 三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）111B17．（本题满分10分）AB 是底部B 不能到达的烟囱，A 是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上，在相距为d 的G 、H 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α、β，已知测角仪器高m h 5.1=，试完成如下《实验报告》（要求：1．计算两次测量值的平均值,填入表格；2．利用α、β、d 的平均值，求AB 的值，写出详细计算过程；3．把计算结果填入表格） 相关数据：.7.13,4.12≈≈18．（本题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，E 是C A 1的中点，ED A C ⊥1且交AC 于D ，A A AB BC 122==． （Ⅰ）证明：B C 11//平面A BC 1； （Ⅱ）证明：A C 1⊥平面EDB ．DEA 1CBAC 1B 119．（本题满分12分）已知圆C :222610x y x y ++-+=内一定点(1,2)A , P 、Q 为圆上的动点.（Ⅰ）若P 、Q 两点关于过定点A 的直线l 对称,求直线l 的方程； （Ⅱ）若0AP AQ ⋅=,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.20．（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，︒=∠=∠90CAD ABC ，且PA AB BC ==，点E 是棱PB 上的动点. （Ⅰ）当PD ∥平面EAC 时，确定点E 在棱PB 上的位置； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A CE P --余弦值.21．（本题满分12分）已知函数)1(222)(),0(1)(x b x g x x b ax x f +=≥++=，且2)0(=g ,32)3(-=f .（Ⅰ）求)(x g 的值域；（Ⅱ）指出函数)(x f 的单调性（不需证明），并求解关于实数m 的不等式)43()(2-<-m f m m f ；（Ⅲ）定义在R 上的函数)(x h 满足)()(),()2(x h x h x h x h -=--=+，且当10≤≤x 时)],([log 21)()(2x f x h x g -=求方程21)(-=x h 在区间]2009,0[上的解的个数.22．（本题满分12分）已知),1(10)(,1)(2+=-=x x g x x f 各项均为正数的数列}{n a 满足21=a ，0)()()(1=+⋅-+n n n n a f a g a a ， )1)(2(109-+=n n a n b . （Ⅰ）求证：数列}1{-n a 是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若11++<m m m m b t b t 对任意*N m ∈恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）1． D 2．C 3．B 4． A 5．C 6． B 7． B 8． D 9．D 10． A 11． D 12．B 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分） 13． 2- 14．9 15．2316．①②③ 三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17mAB m AE 425.15.40.5.40)31(15,462)4530sin(75sin ≈+=∴≈+=∴+=+=︒︒︒而18．证明：（Ⅰ）证： 三棱柱ABC A B C -111中B C BC 11//，又BC ⊂平面A BC 1，且B C 11⊂/平面A BC 1，∴B C 11//平面A BC 1 （Ⅱ）证： 三棱柱ABC A B C -111中A A AB 1⊥，∴Rt A AB ∆1中，AB A B =221，∴=∴BC A B A BC 11，∆是等腰三角形． E 是等腰∆A BC 1底边A C 1的中点，BEC A ⊥∴1 ①又依条件知 EDC A ⊥1 ②且EBE ED = ③由①，②，③得A C 1⊥平面EDB ．19．解：（Ⅰ）圆C 方程可化为22(1)(3)9x y ++-=，∴圆心C （-1，3），半径为3R =.∵点P 、Q 在圆上且关于直线l 对称， ∴圆心C （-1，3）在直线l 上. 又直线l 过点(1,2)A ，由两点式得2132(1)1y x --=--- 即直线l 的方程为250x y +-=18题图DEA 1C BAC 1B 1（Ⅱ）设PQ 的中点为(,)M x y ,∵0AP AQ ⋅=，∴AP AQ ⊥∴在Rt PAQ ∆中,||||PM AM =, 连结CM ,则CM PQ ⊥, 所以222222||||||||||CM PM CM AM CP R +=+==， 所以2222(1)(3)(1)(2)9x y x y ++-+-+-= 故线段PQ 中点M 的轨迹方程为22530x y y +-+=.20．解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，由A B B C ⊥，AB BC =，得4BAC π∠=，∴4DCA BACπ∠=∠=．又ACAD ⊥，故DAC ∆为等腰直角三角形．∴)2DC AB ===．连接BD ，交AC 于点M ，则2.DM DCMB AB== PD ∥平面EAC ,又平面 EACPDB =平面∴//PD EM 在BPD ∆中，2PE DM EB MB==，即2PE EB =时，PD ∥平面EAC（Ⅱ）方法一：在等腰直角PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥．∵平面PAB ⊥平面PCB ，且平面PAB 平面PCB =PB ， ∴AN ⊥平面PBC ．在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由AN CE ⊥、NH CE ⊥，得CE ⊥平面ANH ，故AH CE ⊥．∴AHN ∠就是二面角A CE P --的平面角．在Rt PBC ∆中，设CB a =，则PB ==，13BE PB ==，16NE PB ==，CE==，由NH CE⊥，EB CB⊥可知：NEH∆∽CEB∆，∴NH CBNE CE=，代入解得：NH=．在Rt AHN∆中，AN=，∴tanANAHNNH∠==，cos6AHN∠==．∴二面角A CE P--的余弦值为6．方法二：以A为原点，,AB AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．设PA AB BC a===，则()0,0,0A，()0,,0B a，(),,0C a a，()0,0,P a，20,,33a aE⎛⎫⎪⎝⎭．设)1,,(1yxn=，为平面EAC的一个法向量，则⊥1n AC，⊥1n AE，∴0,20.33ax ayay a+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,22x y==-，∴)1,21,21(1-=n．设)1,,(''2yxn=为平面PBC的一个法向量，则⊥2n BC，⊥2n BP，又(),0,0BC a=，(0,,)BP a a=-，∴''0,0,axay a=⎧⎨-+=⎩，解得'0,'1x y==，∴)1,1,0(2=n．.63||||,cos212121=⋅>=<∴nnnn∴二面角A CE P --21．解：（Ⅰ）由2)0(,32)3(=-=g f 得22,3223=-=+b b a ， 解得，1,1=-=b a ．x x x f -+=∴21)(，212)(x x g +=22,11,112122≥∴≥+∴≥++x x x)(x g ∴的值域为),2[+∞； （Ⅱ）函数)(x f 在[)0,+∞是减函数，所以，0432≥->-m m m ， 解得，2,34≠≥m m ， 所以，不等式的解集为),2()2,34[+∞⋃；（Ⅲ）当10≤≤x 时，x x h 21)(=，∴当01≤≤-x 时， x x h x h 21)()(=--=， 11,21)(≤≤-=∴x x x h 当31<<x 时，121<-<-x ，)2(21)2()(--=--=∴x x h x h 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-=.31),2(21,11,21)(x x x x x h 由,21)(-=x h 得1-=x∵),()2(x h x h -=+)()]([)2()4(x h x h x h x h =--=+-=+∴,∴)(x h 是以4为周期的周期函数,故21)(-=x h 的所有解是41()x n n Z =-∈, 令0412009n ≤-≤,则1100542n ≤≤ 而,n Z ∈∴1502()n n Z ≤≤∈,∴21)(-=x h 在[]0,2009上共有502个解.22．解：（I ）∵1()()()0n n n n a a g a f a +-+=，2()1n n f a a =-，()10(1)n n g a a =+，∴21()10(1)(1)0n n n n a a a a +-++-=． 即1(1)(1091)0n n n a a a ++--=．又*,01N n a n ∈>+，所以1911010n n a a +=+． ∵19111910101110n n n n a a a a ++--==--， ∴{1}n a -是以111a -=为首项，公比为109的等比数列． （II ）由（I ）可知191()10n n a --= （*N n ∈）． ∴n n n 99(2)(1)(2)()1010b n a n =+-=+． n 1n 1n n 9(3)()9110(1)9102(2)()10n b b n n +++==+++． 当n =7时，871b b =，87b b =； 当n <7时，n 1n1b b +>，n 1n b b +>； 当n >7时，n 1n 1b b +<，n 1n b b +<． ∴ >>>=<<<1098721b b b b b b∴当n =7或n =8时，n b 取最大值，最大值为8787910b b ==． （III ）由m m 1m m 1t t b b ++<，得m 110[]029(3)t t m m -<++ （*） 依题意（*）式对任意*N m ∈恒成立，当t =0时，（*）式显然不成立，因此t =0不合题意．②当t <0时，由110029(3)t m m ->++，可知m 0t <（*N m ∈）． 而当m 是偶数时m 0t >，因此t <0不合题意．③当t >0时，由m 0t >（*N m ∈）, ∴110<029(3)t m m -++ ∴9(3)10(2)m t m +>+． （*N m ∈） 设9(3)()10(2)m h m m +=+ （*N m ∈） ∵9(4)9(3)(1)()10(3)10(2)m m h m h m m m +++-=-++ =91010(2)(3)m m -⋅<++, ∴(1)(2)(1)()h h h m h m >>>->>．∴()h m 的最大值为6(1)5h =． 所以实数t 的取值范围是65t >．。

平面向量 题组一一、选择题1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）),(,,2121R ，∈+=+=λλλλ若是不共线的向量，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ） A ．121-==λλ B ．121==λλ C ．0121=+⋅λλ D ．0121=-λλ【答案】D【分析】由于向量,AC AB 由公共起点，因此三点,,A B C 共线只要,AC AB共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC AB λ=，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消掉λ即得结论。

【解析】只要要,AC AB共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC AB λ= ，即21()a b a b λλλ+=+ ，由于,a b不共线，根据平面向量基本定理得11λλ=且2λλ=，消掉λ得121λλ=。

【考点】平面向量。

【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理，平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一地线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果,a b不共线，那么1212a b a b λλμμ+=+ 的充要条件是11λμ=且22λμ=。

2．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）平面向量b a 与的夹角为120,a (2,0),|b |1,||a b ︒=-=+ 则（ ）A ．3B C ．7D 答案 B.3. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）设平面向量(1,2),(1,)a b m ==-，若//a b ，则实数m 的值为(A)1- (B)2- (C)1 (D)2 答案 B.4.（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知)5,6(),6,5(=-=b a ，则a 与（ ）A 、垂直B 、不垂直也不平行C 、平行且同向D 、平行且反向 答案 A. 5．（吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理）已知向量()()75751515a cos sin b cos sin |a b |==-，，，，那么的值是 （ ）A ．21B ．22 C ．23 D ．1答案 D. 6．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b =，则AF =（ ）A ．1142a b +B ．2133a b +C ．1124a b +D ．1233a b +答案 B. 7．（湖北省涟源一中、双峰一中2011届高三第五次月考理）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实m 使得 AB AC mAM +=成立，则m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B.8．（湖北省八校2011届高三第一次联考理）如图，在ABC ∆中，13A N N C =，P 是BN 上的一点，若2 11AP m AB AC =+，则实数m 的值为（ ）.A 911 .B 511.C 311 .D 211答案 C.9．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）已知向量a=(－2,1)，b =(－3，0)，则a 在b方向上的投影为 ( )A ．－2B ．5C ．2 D答案 C. 10．（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）已知(2,0),(2,2),cos sin )OB OC CA αα===，则OA 与OB 夹角的取值范围是（ ）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案 C.11．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）若两个非零向量a ，b满足2a b a b a +=-=，则向量a b + 与a b - 的夹角是（ ）CABN PA ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案 C.12. （河南省焦作市部分学校2011届高三上学期期终调研测试理）如图，向量等于A ．B ．C ．D ．答案 D.13．（广东省高州市南塘中学2011届高三上学期16周抽考理）已知向量(2,3),(5,1)a b ==-- ，若ma nb + (0)m ≠与a 垂直，则nm等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2答案 C.14.（广东六校2011届高三12月联考文） 已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥ ，则x =A ．3- B.1- C.1D. 3答案 C.15．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案 B.16.（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理） 设非零向量,满足+==，则与+的夹角为（ ）)(A 30° )(B 60° )(C 90° )(D 120°答案 D. 17．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）已知向量a b a 且)1,(sin ),2,(cos αα=-=∥b，则2sin cos αα等于（ ）A ．3B ．－3C ．45 D ．－45答案 D.18.（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）已知),(,,2121R ，∈+=+=λλλλ若是不共线的向量，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( ) A ．121-==λλ B 121==λλC ．0121=-λλD ．1210λλ⋅+=答案 B.19.（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理） 已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°答案 C. 20．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理） 设向量"//""2"),3,1(),1,1(x x x 是则=+=-=的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A.21.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知),(,,2121R b a AC b a AB ，b a ∈+=+=λλλλ若是不共线的向量，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 A ．121-==λλ B 121==λλC ．0121=-λλD ．1121=+⋅λλ答案 C. 二、填空题22．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）已知和b的夹角为120︒，||1,||3a b ===- ．【分析】根据向量模的含义222()()2a b a b a b a b a b -=--=+-，讲已知代入即可。

集合 题组一一、选择题 1．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）已知集合{1,0,1},{|,,}M N x x ab a b M a b =-==∈≠且，则集合M 与集合N 的关系是（ ） A ．M=NB ．M N ØC ．M N ÙD ．M N =∅答案 C. 2．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试文） 已知集合{1,1},{|124},x A B x A B =-=≤< 则等于（ ）A ．{1,0,1}-B ．{1}C ．{—1，1}D ．{0，1}答案 B. 3．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）集合}|),{(a y y x A ==，集合|}1,0,1|),{(≠>+==b b b y y x B x ，若集合B A ⋂只 有一个子集．．，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)1,(-∞B ．(]1,∞-C ．),1(+∞D ．R答案 B. 3．（安徽省合肥八中2011届高三第一轮复习四考试理）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)A B =+∞ B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =-D ．(){1,2}U C A B =答案 C.4.（安徽省野寨中学、岳西中学2011届高三上学期联考文）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则AB ⊂≠是()U C A B U ⋃=的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A.5.（北京市房山区2011年高三上学期期末统练试卷文） 已知全集U =R ，集合{}2|230A x x x =-->，{}|24B x x =<<，那么集合()U A B = ð ( )A ．{}|14x x -≤≤B ． {}|23x x <≤C ． {}|23x x ≤<D ．{}|14x x -<<答案 B.6. (河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理) 已知集合A={直线} B={椭圆}，则集合A ∩B 中元素的个数为A. 0个B. 1个C. 2 个D. 0个1个或2个 答案 A.7.（北京市西城区2011届高三第一学期期末考试理） 已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >答案 A.8．（河南省焦作市部分学校2011届高三上学期期终调研测试文）设集合，则等于A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，4，5}C ． {1，2，5}D ．{3} 答案 B.9．（福建省莆田一中2011届高三上学期期中试题文）集合A ＝{t |t ＝qp ，其中p ＋q ＝5，且p 、q ∈N *}所有真子集个数（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31 答案 C.10．(河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考文)已知集合{}{}/2,/4,,A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．｛0, 2｝D ．｛0，1, 2｝答案 D.11．（广东省高州市南塘中学2011届高三上学期16周抽考理） 设全集{}{})1(1,12,)2(x n y x B x A R U x x -==<==-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1≥x x B ．{}10≤<x xC ．{}21<≤x xD ．{}1≤x x答案 C.12．（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）已知集合{}0>=x x M ，{}21≤≤-=x x N ，则=N MA ．{}1-≥x xB ．{}2≤x xC ．{}20≤<x x D ．{}21|≤≤-x x 答案 A.13. （北京市房山区2011年高三上学期期末统练试卷文） 已知集合{1,2,3}M = ，{1,2,3,4}N =，定义函数:f M N →． 若点 (1,(1))A f ， (2,(2))B f ， (3,(3))C f ，ABC ∆的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈，则满足条件的函数()f x 有（ ） A ．6个 B ．10个 C ．12个 D ．16个答案 C.14．（河南省焦作市部分学校2011届高三上学期期终调研测试理）已知，则A . { (1,1),(-1,1)}B . {1}C . [0,1]D .答案 D. 15、（福建省莆田一中2011届高三上学期第三次月考试题文）已知集合A ={x |y=ln x },集合B ={－2,－1,1,2}，则A B = ( ) A ．{1,2} B ．{}1,2-- C ．()1,2 D ．(0,)+∞ 答案 A.16．(河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理){}{}2,1,0,1,2,/,u U Z A B x x x A C B ==-== 已知全集则为（ ）A ．｛-1, 2｝B ．｛-1, 0｝C ．｛0, 1｝D ．｛1, 2｝答案 A.17．（广东六校2011届高三12月联考文）若A=04|{2<-x x x }，B={0，1，2，3}，则A B =AA ． {0，1，2，3} B.{1，2，3} C.{1，2，3，4} D. {0，1，2，3，4} 答案 B.18．（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U=，{}3,4,5M =，{}1,3,6N =，则集合{}2,7等于（ ）A ．MNB ．()()U UC M C NC ．()()U U C M C ND ．MN答案 B. 19．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）若集合M ={4,5,7,9},N ={3,4,7,8,9}，全集U=M ∪N ,则集合C U (M ∩N) 中的元素共有 ( )A. 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个答案 A. 20．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试文）设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U C A B（ ）A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2，3，4}答案 D.21.（湖北省八校2011届高三第一次联考理） 已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2,}B x x a a A ==∈，则（ ）.A A B A = .B A B A .C A B B = .D A B A答案 D. 22．（湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考试卷）设集合{1,2},{1,2,3},{2,3,4},()A B C A B C === 则=（ ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4} 答案 D.23．(吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理)已知集合{}x x y x M 32+-==，{}|||2N x x =>，则M N = （ ）A ．{}|13x x <<B ．{}|03x x <<C ．{}|23x x <<D ．{}32≤<x x答案 D. 24．（吉林省延边二中2011届高三第一次阶段性考试试题）已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x 则集合 （ ）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞答案 B. 二、填空题25. （北京市西城区2011届高三第一学期期末考试理）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号） 答案 25. ①③④26. （福建省莆田一中2011届高三上学期期中试题文）已知,a b 均为实数，设数集41,53A x a x a B x b x b ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且数集A 、B 都是数集{}10≤≤x x 的子集.如果把n m -叫做集合{}x m x n ≤≤的“长度”，那么集合A B ⋂的“长度”的最小值是 . 答案26.21527. （湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理）若集合2{|2cos22,},{|1,},xA x x x RB y y y R π==∈==∈则A B = 答案 27. {}128．（江苏连云港市2011届高三一轮复习模拟考试试题）已知集合}{12A x x =-<<，集合}{31B x x =-<≤，则B A = ★ .答案28. {|11}x x -<≤ 三、解答题29．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）已知函数)lg()(2b ax x x f ++=的定义域为集合A ,函数34)(2+++=k x kx x g 的定义域为集合B ,若}32|{)(,)(≤≤-==x x B A C B B A C R R ,求实数b a ,的值及实数k 的取值范围.答案 29. ⎩⎨⎧-=-=61b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,4k30．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试文）（本小题满分12分）已知集合2{|230,}A x x x x R =--≤∈，22{|240,}B x x mx m x R =-+-≤∈（1）若[1,3]A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围。

数学（理科）参考答案及评分标准二、填空题（13）2 （14）9[,0)2- （15）384 （16）③④ 三、解答题（17）解：（Ⅰ）x x x x x x f cos 1cos 21sin 232sin 2)6sin()(2-++=++=π1)6sin(1cos 21sin 23+-=+-=πx x x ………………………………3分 ]65,6[6],,0[ππππ-∈-∴∈x x ]2,21[)(∈∴xf ………………………………6分 （Ⅱ）由()1f B =，得sin()06B π-=，故6B π=………………………………7分解法一：由余弦定理2222cos ,b a c ac B =+-得2320a a -+=，解得1a =或2a = ………………………………12分解法二：由正弦定理sin sin b c B C =，得sin C =，∴3C π=或23π。

当,32C A ππ==，从而2a == ………………………………9分当23C π=时，6A π=又6B π=，从而1a b == ………………………………11分故a 的值为1或2 ………………………………12分（18）解： (Ⅰ)专业知识成绩平均分：828892959698100937x ++++++==分； ………………………………2分综合素质成绩平均分：77788384869196857y ++++++==分………………………………4分（Ⅱ）专业知识成绩在95分以上的有4个，综合素质成绩在85分以上的有3个，所以两项成绩均达到标准的最多有3个，所以ξ=0，1，2，3， ………………………6分 将综合素质由小到大排列，再将专业成绩7个成绩进行排列，ξ=0时，后3个位置只能排专业成绩低于95分的，351)0(3733===A A P ξ ………………………7分 ξ=1时，后3个位置只有1个排95分以上的，其余排专业成绩低于90分，3512)1(37332314===A A C C P ξ ………………………8分 ξ=2时，后3个位置只有2个排95分以上，其余排专业成绩低于95分的，3518)2(37331324===A A C C P ξ………………………9分 ξ=3时，后3个位置只能排专业成绩在95分以上的，354)3(3734===A A P ξ ………………………10分 712354335182351213510)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 2≈ ……………………12分 （19）（Ⅰ）证法一:连结AC ，与BD 交于点F ，连结EF ，在矩形ABCD 中，F 为AC 中点，又E 为C A 1中点，EF //A A 1∴,又在四棱柱1111ABCD A BC D -中，C C 1∥A A 1, ∴C C 1∥EF ,又⊂EF 平面BDE ，⊄C C 1平面BDE ，//C C 1∴平面BDE ………4分证法二：连结1BD ， 四棱柱1111ABCD A BC D -中，11D A 与BC 平行且相等， ∴四边形11BCD A 是平行四边形，则C A 1与1BD 互相平分，∴1BD 经过C A 1的中点E ， ∴平面BDE 即为平面1BDD又在四棱柱1111ABCD A BC D -中，C C //D D 11，且⊂D D 1平面1BDD ，⊄C C 1平面1BDD ，∴直线//C C 1平面1BDD ，即直线//C C 1平面BDE ……………………4分（Ⅱ）解法一：连结11BD B A ，， 四棱柱1111ABCD A BC D -中，11D A 与BC 平行且相等，∴四边形11BCD A 是平行四边形，则C A 1与1BD 互相平分，∴C A 1的中点E 也是1BD 的中点，取BC 的中点H ，连结EH ，则C D //EH 1，且1211==C D EH ，又⊥C D 1平面A B C D ，∴ABCD EH 平面⊥，过点H 作HG 垂直BD 于点G ，连结EG .根据三垂线定理有BD EG ⊥，故E G H ∠是二面角C BD E --的平面角 ……………………8分在BCD Rt ∆中，51211sin 22=+==∠BC CD DBC ， ∴在HGB Rt ∆中，51=∠⋅=DBC sin HB HG ，∴在EHG Rt ∆中，5511===∠HG EH EGH tan .……………………12分解法二： 四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是矩形，⊥C D 1平面ABCD ， ∴1CD CD CB 、、两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，∵1=AB ，21==C D BC ，()()()20001-00021，，，，，，，，D D B ∴， 又由已知可得()E A ，，，2021为C A 1的中点，()()1-01101，，，，，=∴EB E ，()012，，--=BD ， ………8分设平面BDE 的法向量为()z y x ，，=， 则有⎩⎨⎧=⋅+--=⋅-⋅+002010z y x z y x ，可取()121m =，-，，又由⊥C D 1平面ABCD平面BCD 的法向量可取()100，，=，210cos 1m n m n m n⋅⋅∴===， ∴二面角C BD E --的正切值为.56666-12=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ……………………12分（20）解：（Ⅰ）由题意可知曲线1C 为以B A 、为焦点的椭圆，且1=c ，90,BAC ∠=︒52BC ∴==，42=+=∴CB CA a ，2=∴a ，3=∴b ． 曲线1C 的方程为13422=+y x ． ……………………3分 由题意可知曲线2C 为以B 为焦点，1-=x 为准线的抛物线，且2p =．曲线2C 的方程为x y 42=．……………………5分A BCD C 1B 1A 1D 1EHGF 1（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意．由⎩⎨⎧=-++=0124322y x mkx y ， 得01248)34(222=-+++m kmx x k ． 由0)124)(34(4642222>-+-=∆m k m k ，3422+<k m ① ……………………7分设),,(),,(2211y x N y x M MN 中点),(00y x D ． 则,34422210+-=+=k kmx x x 343200+=+=k m m kx y ． ……………………8分 又 点),(00y x D 在x y 42=上，3416)343(222+-=+∴k kmk m ．2160,(43),9km m k -≠∴=+且0≠k ． ② ②代入①得3481)34(2562222+<+k k k ．即0)332)(2732(22<-+k k ．……………………10分2360,((0,)32k k ∴<<∴∈．此时，直线与抛物线在椭圆内有唯一交点，符合题意． ……………………12分 （21）解：（Ⅰ）1()3(0)f x x a x x'=+-+> ……………………1分 若函数()f x 在(0,)+∞上递增，则()0f x '≥对0x >恒成立，即1()3a x x≥-++对0x >恒成立，而当0x >时，1()323 1.x x-++≤-+= 1.a ∴≥ ………………………3分若函数()f x 在(0,)+∞上递减，则()0f x '≤对0x >恒成立，即1()3a x x≤-++对0x >恒成立，这是不可能的．综上，1a ≥． 所求a 的最小值为1． ………………………6分（Ⅱ）∵2211122212121211(3)ln (3)ln ()()22x a x x x a x x f x f x k x x x x +-+-----==-- 12012ln(3)x x x a x x =+-+-0001()3f x x a x '=+-+………………………8分 ∴11122120112012121222lnln 2(1)121()[ln ]1x x xx x x x k f x x x x x x x x x x x x x -'-=-=-=---+-+ 令122(1),()ln (01)1x t t t t t x t ϕ-==-<<+， 则22(1)()0(1)t t t t ϕ-'=>+， ∴()t ϕ在(0,1)上增函数， ∴()(1)0t ϕϕ<= …………11分∵12x x <， ∴1210x x <- ，0()0k f x '-> ，即0()k f x '> ……………12分（22）(Ⅰ) CA 切圆O 于A 点又,DBC CAF ∠=∠∴CD 为ACB ∠的平分线AFC ∆∴∽∆BDC AC CFBC CD∴= ∴CF BC CD AC ⋅=⋅ ………………………5分 (Ⅱ)AFD FCA FAC DCB ABC ADF ∠=∠+∠=∠+∠=∠AD AF =∴ 又AFC ∆∽∆BDCCDFCBD AF =∴又EFC ∆∽∆ADC2====∴ADBDAF BD CF DC EF AD . ………………………10分 （23）解：（Ⅰ）1C：122=+y x 为圆；2C ：20x y --= 为一条直线； ………………………5分（Ⅱ） ⎩⎨⎧='='yy x x 2 ∴曲线()()14:223='+'y x C 设点()2cos ,sin ([0,2))Q θθθπ∈ 则Q到直线20x y --=的距离为5d ==≥当sin()14πθ-=-，即74πθ=时，等号成立．此时2Q - 点P 、Q…………………………10分 （24）解：（Ⅰ）∵3,2()21,213, 1.x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩，∴()[3,3]f x ∈- …………………………5分 （Ⅱ）若0x >，则2333()33ax x g x ax x x-+==+-≥ 当且仅当23ax =时，min ()3g x =由（Ⅰ）知max ()3f x = ……………………………8分 若对(0,),(,)s t ∀∈+∞∀∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，即min max ()()g x f x ≥，∴33≥解得3a ≥，即a 的取值范围为[3,)+∞． …………………………10分。

东北师范大学附属中学2010—2011学年度上学期高三年级第二次摸底考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分:150分说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置． 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2log (1)A x y x ==-，{}22xB y y ==+，则=B A（ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．[)2,+∞D ． R 2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值为 （ ）A ．31B ．31-C ．97D ．97-4．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足273110a a a --=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．已知()cos ()f x x x x R =+∈，若函数()y f x ϕ=+的图象关于直线0x =对称，则ϕ的值可以是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π6．若函数3211()32f x x bx cx d =+++的图象如图所示，则函数2y x bx c =++的单调递增区间为（ ）A ． ),21[+∞ B ． ),3[+∞ C ． ]3,2[-D ． ]2,(--∞7．函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若1)(=a f ，则a 的所有可能值组成的集合为（ ）A ．{}1B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22,1 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22 D．1,⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭8．设函数(),()f x g x 的定义域分别为,A B ，且A 是B 的真子集．若对任意的x A ∈，都有()()g x f x =，则称()g x 为()f x 在B 上的一个“延拓函数”．已知函数1()(0)2xf x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，若()x g 为()x f 在R 上的一个“延拓函数”，且()x g 是偶函数，则函数()x g 的解析式是（ ）A ．||12x ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2log ||xC ． ||2xD ．12log ||x9．已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且三内角A B C 、、成等差数列 ，三边长a b c 、、成等比数列，则ABC ∆的形状为 （ ） A ．等边三角形 B ．非等边的等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形10．在数列{}n a 中，1112,lg(1)n n a a a n+==++，则n a =（ ）A ．2lg n +B ． 2(1)lg n n +-C ． 2lg n n +D ．1lg n n ++11．函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，已知其导函数 )(x f ' 的部分图象如图所示，则 )(x f 的函数解析式为（ ）A ．1()3sin ()24f x x π=+B ．1()6sin ()24f x x π=-C ．1()3sin ()24f x x π=-D ．1()6sin ()24f x x π=+12．设函数()()21xf x x x =∈+R ，区间[](),M a b a b =<其中，集合(){},N y y f x x M ==∈,则使M N =成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0对B ． 1对C ．2对D ．3对第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题纸中的横线上） 13．直线y x =与抛物线23y x x =-所围成图形的面积是 ．14．已知一个等差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为13，则此等差数列的公差为 ． 15．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数，则m 的取值范围是 ． 16．给出下列命题： ① 函数)23sin(x y +=π是偶函数；② 若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >； ③ 函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为8x π=；④ 在三角形ABC 中，A B >的充要条件是sin sin A B >；⑤ 函数tan()4y x π=+的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭． 其中正确命题的序号是_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知函数()sin cos f x x x =+,'()f x 是()f x 的导函数．（Ⅰ） 求函数2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值和相应的x 值；（Ⅱ）若()2'()f x f x =，求221sin cos sin cos xx x x+-的值．18．（本题满分12分）已知数列}{n a 满足：).0(,121>==a a a a 数列}{n b 满足*)(1N n a a b n n n ∈=+． （Ⅰ） 若}{n a 是等差数列，且,123=b 求a 的值及}{n a 的通项公式； （Ⅱ） 若}{n a 是等比数列，求}{n b 的前项和n S ．19．（本题满分12分） 青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =．下表是某日各时刻记录的浪高数据：经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+的图象．（Ⅰ） 根据以上数据，求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （Ⅱ）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内从上午8∶00至晚上20∶00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？20．（本题满分12分）已知函数()(0)af x x b x x=++≠，其中R b a ∈,．（Ⅰ） 若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为310x y -+=，求函数)(x f 的解析；（Ⅱ） 对任意的,a b R ∈，求函数)(x f 的单调区间．21．（本题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列．（Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ） 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n b a =，求证:对任意正整数n ，总有n T < 2； （Ⅲ） 正数数列{}n c 中，())(,*11N n c a n n n ∈=++，求数列{}n c 中的最大项．22．（本题满分12分）已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． （Ⅰ） 求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ） 若存在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是常数，e ＝2．71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ） 证明对一切(0,),x ∈+∞都有12ln x x e ex>-成立．参考答案一、选择题 BADBCA BCAADD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题纸中的横线上） （13）43（14） 6 （15）13m ≤≤ （16） ① ④ ⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）解：（Ⅰ） ()sin cos f x x x =+ ∴()'cos sin f x x x =-， ……………2分故()()()()2sin cos cos sin sin cos F x x x x x x x =+-++cos 2sin 21214x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ……………4分其最大值为21+，此时,8x k k Z ππ=+∈． ………………6分（Ⅱ） 若()()x f x f '2=，则()x x x x sin cos 2sin cos -=+， 得31tan =x ，……8分2222221sin cos 2sin 12tan 11cos sin cos cos sin cos 1tan 6x x x x x x x x x x x +++===---．……10分（18）解：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，121,(0),1(1)(1)n a a a a a n a ==>∴=+--．--- 1分 又33412,12,(21)(32)12b a a a a =∴=--=即, ……………４分 解得526a a ==-或， ……………５分0, 2.n a a a n >∴==从而． ……………６分（Ⅱ）{}n a 是等比数列，1121,(0),n n a a a a a a -==>∴=， 则211n n n n b a a a -+==．…7分21.n nb a b +=∴数列{}n b 是首项为a ，公比为2a 的等比数列， ……………８分当1n a S n ==时，； ……………10分当1a ≠时，22122(1)11n n n a a a aS a a +--==--．（19）解: （Ⅰ） 由表中数据，知周期12T =，26T ππω== 由0,15t y ==⋅，得15A b +=⋅； 由3,10t y ==⋅，得10b =⋅，∴05,1A b =⋅=，∴振幅为12,1cos 126y t π∴=+ …………６分 （Ⅱ）由题知，当1y >时才可对冲浪者开放， 1cos 11,cos 0266t t ππ∴+>>, 22,262k t k k Z πππππ∴-<<+∈,即123123k t k -<<+,k Z ∈ ．∵024t ≤≤,故可令①中的k 分别为0,1,2．得03,915,2124t t t ≤<<<<≤．∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00． …………12分（20）解:（Ⅰ）21)('x ax f -=,由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-，由切点(2,(2))P f 在直线310x y -+=上可得27b -+=，解得9b =,所以函数()f x 的解析式为98)(+-=xx x f ． …………６分 （Ⅱ）21)('xa x f -=，当0a ≤时，显然)('x f >0（x≠0）,这时()f x 单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）；当0a >时，令)('x f =0，解得x = 当变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：所以)(x f 的递增区间为（-∞,-a ）和（a ,+∞），递减区间为（-a ,0）和（0, a ）．…………12分（21）（Ⅰ）解：由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1∴n a n =．（*N n ∈） …………4分 （Ⅱ）证明：112T =<，当2n ≥时，()22211111111212231n T n n n=+++<++++⋅⋅-21211131212111<-=--++-+-+=n n n…………8分 （Ⅲ）解：由已知 221212=⇒==c c a ，54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>>猜想 2n ≥ 时，{}n c 是递减数列．令()()22ln 1ln 1,ln xx x xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数．． 由()11ln ln 11++==++n n c c a n n nn 知．．∴2n ≥ 时, {}n c ln 是递减数列．即{}n c 是递减数列，又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c ． 。

2011年理科数学试题参考答案一．选择题1．D ；2．A ；3．A ；4．D ；5．C ；6．A ；7．B ；8．B ；9．D ；10. D ；11. C ；12. A ． 二．填空题13.x y 2±= 14.0=⋅+⋅+⋅+⋅----OD V OC V OB V OA V ABC O ABD O ACD O BCD O ； 15．1(,)2+∞ 16. π34 . 三.解答题17．解：（Ⅰ）因为332=∠ABC sin，所以313121=⨯-=B cos . ·························· 2分在ABC ∆中，设b AC a BC 3==,， 则由余弦定理可得a a b 344922-+= ① ···························································· 4分 在ABD ∆和DBC ∆中，由余弦定理可得b b ADB 3316431642-+=∠cos ， b a b BDC 33831622-+=∠cos ． ·················································································· 6分 因为BDC ADB ∠-=∠cos cos ，所以有b a b b b 338316331643164222-+-=-+，所以6322-=-a b ②由①②可得13==b a ,，即3=BC ． ······································································ 9分（Ⅱ）由（Ⅰ）得ABC ∆的面积为223223221=⨯⨯⨯， 所以DBC ∆的面积为322． ················································································ 12分 （注：也可以设b a ==,，所以b a BD3231+=，用向量法解决；或者以B 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过A 作BC 平行线交BD 延长线于E ，用正余弦定理解答．具体过程略）18．解（Ⅰ）E 为1BC 中点． ···························································································· 1分证法一：取BC 中点F ，连接EF OF ,．所以可得AB A AB AB A OF AB OF 11,,//面面⊂⊄，所以AB A OF 1//面 ····································································································· 3分 同理AB A EF 1//面,又F EF OF =⋂所以面//OEF 面1A AB ． ··························································································· 5分 所以//OE 平面1A AB ． ····························································································· 6分 证法二：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥．又由题意可知， 平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ， 且1AO ⊂平面11AA C C ，所以1AO ⊥平面ABC ． 以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ········································································· 1分 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴== 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -则有：11(0,1,(0,1(1,1,0)AC AA AB ===． ·················································· 2分 设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有10000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-=所以(1,1,=-n ． ······························································································· 4分 设0001(,,),,E x y z BE BC λ==即000(1,,)(1x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-令//OE 平面1A AB ，1得=0OE ⋅ n ， 即120,λλλ-++-=得12λ=．即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点． ······································································ 6分 （Ⅱ）由法二，已知)0,2,0(),3,0,1(111=-=C A B A ，设面11BC A 的法向量为(,,)a b c =m，则00200a b ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩111m A B m A C， 令3=c，所以=m ． ··········································································· 8分所以cos ,<>===m n m n |m ||m | ． ············································ 10分 由图可得二面角11A A B C --为钝角，所以所求余弦值大小为772-． ················ 12分 19．解：（Ⅰ）>． ··············································································································· 2分 （Ⅱ）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作A ， 事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，则72100110020)()()|(=-==A P AB P A B P ． ···································································· 6分 （Ⅲ）X 取值为0,1,2,315202102511016=⋅==C C C C X P )(；451912102511014210151511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P )(； 451622101515110142102511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P )(；45432102511014=⋅==C C C C X P )(． ···· 10分 所以X 的分布列为所以545==EX ． ············································································· 12分20.解：（Ⅰ）由题意知c e a ==， 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． ·············································································································· 2分又因为1b ==，所以22a =，21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． ··········································································· 4分 （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <. ·························································· 6分 2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+ . ∵t +=OA OB OP ，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，∴22216(12)k t k =+. ·································································································· 8分∵-PA PB12x -<，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++ ， ∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >. ·································································· 10分 ∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++，∴23t -<<-或23t <<，∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. ······················································· 12分 (注意：可设直线方程为2-=x my ，但需要讨论0m =或0m ≠两种情况) 21．解：（Ⅰ）1)(+-='x x x f ················································································· 1分 21-=k ········································································································ 2分 2ln 1)1(+-=f ·························································································· 3分 所以所求切线方程212ln 21-+-=x y ····················································· 4分 （Ⅱ）证明：假设存在，使得，且0000),(,x x b a x x ≠'∈' )()()(0x f a b a f b f '=-- ，)'()()(0x f ab a f b f '=-- ，即)()(00x f x f ''=' . ····· 5分∵)()(11)(x f x g m x x f '=-+='，记，∴],[)(,0)1(1)(2b a x f x x g 是'+-=' 上的单调减函数 ················································································································ 7分∴0000x x x x ≠''=，这与矛盾，即0x 是唯一的. ··················································· 8分（Ⅲ）证明：设321332211),(),,(),,(x x x y x C y x B y x A <<，且，因为0,1≥≥x m ∵)(011)(x f m xx f ∴≤-+='，在定义域上是单调减函数． ································ 9分 ∴123()()()f x f x f x >>．∵)),()(,()),()(,(23232121x f x f x x x f x f x x --=--= ∴))()())(()(())((23212321x f x f x f x f x x x x --+--=⋅． ··············· 10分 ∵,0)()(,0)()(,0,023212321<->->-<-x f x f x f x f x x x x∴B B ∠<∴<⋅,0cos ,0为钝角. 故△ABC 为钝角三角形． ···················· 12分 22．证明：（Ⅰ）连结BC ， AB 是直径，∴ 90=∠ACB ，∴90ACB AGC ∠=∠=． ························································ 2分 GC 切圆O 于C ，∴GCA ABC ∠=∠． ·························································· 2分 ∴BAC CAG ∠=∠． ······························································································ 5分 （Ⅱ）连结CF ， EC 切圆O 于C ， ∴AFC ACE ∠=∠． ························· 6分又,CAG BAC ∠=∠∴ACF ∆∽AEC ∆． ························································· 8分∴AF AE AC ACAF AE AC ∙=∴=2,． ····································································· 10分23．解：曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x ， ································································ 1分然后整个图象向右平移1个单位得到⎩⎨⎧=+=ααsin 1cos 2y x ， ············································ 2分最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到⎩⎨⎧=+=ααsin 21cos 2y x ， ···························· 3分所以1C 为4)1(22=+-y x ， ······················································································ 4分 又2C 为θρsin 4=，即y y x 422=+， ··································································· 5分 所以1C 和2C 公共弦所在直线为0342=+-y x ， ····················································· 7分 所以)0,1(到0342=+-y x 距离为25， 所以公共弦长为114542=-． ············································································ 10分 24解：（Ⅰ） ······································································································································· 2分因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+-≥=-++1,3211,221,3|21||1|x x x x x x x x ， ························································· 2分最小值为21=x 时取到为23． ······················································································· 5分 （Ⅱ）原式等价于||||||||||212-+-≥-++x x a b a b a ，设t a b =，则原式变为||||||||21121-+-≥-++x x t t 对任意t 恒成立． ·························· 7分所以有⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<≥-=-+-≥1232112322123x x x x x x x ,,,||||，解得],[4943∈x ． ························· 10分。