全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题直线的倾斜角与斜率、直线的方程

考点46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A． 2 B． C． D． 4【答案】B2．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为A． (－4，0) B． (－3，-1) C． (－5，0) D． (－4，-2)【答案】A【解析】设C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心为，代入欧拉直线有：，整理得m－n＋4＝0 ①.AB的中点为(1，2)，k AB＝＝－2，AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，联立可得：，所以△ABC的外心为(－1，1)，外心与点B的距离：，外心与点B的距离与外心与点C的距离相等，则：(m＋1)2＋(n－1)2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8 ②，联立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，B，C两点重合，舍去，当m＝－4，n＝0时满足题意.所以点C的坐标为(－4，0)．本题选择A选项.3．已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（）A． 2 B． 1 C． D．【答案】C4．过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B由和可得且，∴直线的方程为．故选B．5．已知为实数,直线,,则“”是“”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A6．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设是圆的切线，7．已知直线与直线垂直，则的值为（）A． 0 B． 1 C． D．【答案】B【解析】因为两直线垂直所以：，解得：.故选B.8．已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C9．关于直线，下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量C．直线经过点 D．向量是直线的一个法向量【答案】B【解析】因为直线，所以斜率倾斜角为，一个方向向量为，因此也是直线的一个方向向量，选B.10．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A． 5 B． 6 C． 7 D． 8【答案】D【解析根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.11．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A． B． 3 C． D． 4【答案】B12．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值X 围是A． B． C． D．【答案】A13．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值X 围是A． B． C． D．【答案】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的X围为则故答案选A.14．已知变量，满足则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】B所以的取值X围是，故答案为：B.15．已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，(1)求椭圆的方程；(2)过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析16．已知椭圆的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，的面积是的面积的倍．（1）求椭圆的方程；（2）直线（）与椭圆交于，，连接，并延长交椭圆于，，连接，指出与之间的关系，并说明理由．【答案】(1);(2)见解析.【解析】（1）由的面积是的面积的倍，可得，即，又，所以，所以．17．选修:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中,曲线:(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为().(Ⅰ) 求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；(Ⅱ) 若直线与,在第一象限分别交于,两点,为上的动点,求面积的最大值.【答案】（1）（2）18．直线过点，且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点.①当最小时，求的方程；②若最小，求的方程.【答案】（1）；（2）19．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】(1) AM的方程为或.(2)证明见解析.【解析】20．设抛物线22C y x =：，点()20A ，， ()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ， N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明： ABM ABN ∠=∠． 【答案】(1) y =112x +或112y x =--．(2)见解析.21．已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】【解析】点关于轴的对称点为，22．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是______．【答案】2【解析】双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：故答案为：2．23．设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为_________________．【答案】10的距离的平方，这样只要确定点所在曲线，点所在曲线，则可由几何方法得出结论．本题考查了数形结合思想，等价转化思想，属于难题．24．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.【答案】25．已知点满足，的取值X围是__________．【答案】.【解析】分析：先画出不等式组表示的可行域，然后将看作点到两条直线的距离之和求解．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．。

高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角的余弦值为________．【答案】.【解析】由直线方程可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为知，，再由同角三角函数公式，联立这两个方程组得.【考点】直线的倾斜角．2.直线的倾斜角为．【答案】【解析】方程可化为斜截式，所以斜率，所以倾斜角【考点】直线方程、直线的倾斜角与斜率3.直线的斜率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线一般式化为斜截式得斜率.【考点】直线一般式与斜截式的转化.4.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0.【考点】直线的倾斜角与斜率.5.直线的倾斜角的大小是．【答案】【解析】由直线方程可知其斜率为，设其倾斜角为，则，因为，所以。

【考点】直线的斜率和倾斜角。

6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.7.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.8.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．9.（）直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..【考点】直线的倾斜角与斜率的关系.点评：除倾斜角为外，倾斜角与斜率是一一对应的关系，因而求直线的倾斜角可通过求直线的斜率再求倾斜角即可.10.直线的斜率为A．2B．1C．D．【答案】B【解析】解：因为直线的斜率为1，因此选B11.如果过点和的直线的斜率等于,那么的值为( )A．4B．C．或D．或【答案】B【解析】解：因为过点和的直线的斜率等于，即，选B。

考点46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．12．（山东省日照市2019届高三1月校际联考数学理）若直线102430x ay x y +-=-+=与垂直，则二项式521ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为( )A ．2-B ．52-C ．2D ．523．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为42，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．（宁夏银川一中2019届高三第一次模拟考试数学理）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>和直线153x y +=，若过C 的左焦点和点(0,)b -的直线与l 平行，则双曲线C 的离心率为 A ．54B ．53C ．43D ．55．（吉林省长春市2019届高三质量监测二）设直线2y x =的倾斜角为α，则cos2α的值为（ ） A ．5-B ．25-C ．35D ．45-6．（安徽省黄山市普通高中2019届高三11月“八校联考”数学理）已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．7．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)数学理）已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）A ．至少存在两个点使得B ．对于任意点都有C ．对于任意点都有D ．存在点使得8．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理）过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．（江西省新余市第四中学2018届高三适应性考试数学理）已知m 为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．（湖北省宜昌市一中2018届高三考前适应性训练2数学理）若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（ ） A ． B ．C ．D ．11．（河南安阳2018届高三第二次模拟考试理）已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）设不等式组22(1)x y y k x ⎧+≤⎨+≤+⎩所表示的平面区域为D ，其面积为S .①若4S =，则k 的值唯一；②若12S =，则k 的值有2个；③若D 为三角形，则203k <≤；④若D 为五边形，则4k >．以上命题中，真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．413．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 A ． B ．C ．或D ．或14．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）若曲线()xxf x ae e -=+在点(0,(0))f 处的切线与直线30x y +=垂直，则函数()f x 的最小值为__________． 15．（四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理）已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值是__________．16．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知等差数列{}n a ，若点()()*,n n a n N ∈在经过点()4,8的定直线l 上，则数列{}n a 的前7项和7S =______．17．（山东省烟台市2019届高三高考一模考试数学理）已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F的动直线交抛物线C 与,A B 两点，当直线与x 轴垂直时，|4AB|=. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标.18．（广东省百校联考2019届高三高考模拟数学理）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．（1）求的方程； （2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．19．（广东省珠海市2019届高三9月摸底考试）已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，。

高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)【答案】D【解析】∵l1∥l2，且l1的斜率为2，∴l2的斜率为2，又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3，令x＝0，即得P(0,3)．故选D．2.[2014·长春三校调研]一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1B．mn<0C．m>0，且n<0D．m<0，且n<0【答案】B【解析】因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.3. [2014·南宁模拟]直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．B．C．∪D．∪【答案】B【解析】将直线方程变形为y＝－x－，∴直线的斜率k＝－.∵a2＋1≥1，∴0<≤1.∴－1≤k<0，即－1≤tanα<0.∴π≤α<π.故选B.4. [2014·汕头质检]若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m＝________.【答案】【解析】kAB ＝＝－1，kAC＝，∵A，B，C三点共线，∴kAB ＝kAC，∴＝－1，解得m＝.5.已知为椭圆：的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切。

（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证为定值．【答案】（1）（2）=证明详见解析．【解析】（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b2=3，即可求得椭圆的方程为．（2）设过点的直线方程为：，设点，点，将直线方程代入椭圆中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出，的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线的斜率，整理即可求得=．（1）由题意得 3分所求椭圆C的方程为． 4分（2）设过点的直线方程为：，设点，点 5分将直线方程代入椭圆整理得： 6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且 7分直线的方程为：，直线的方程为：令，得点，，所以点的坐标 9分直线的斜率为11分将代入上式得：所以为定值【考点】 1．椭圆的方程和性质；2．直线的斜率公式；3．直线与曲线的位置关系．6.若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为直线的倾斜角为钝角，所以【考点】直线斜率7.在直角坐标系中，直线y＝－x＋1的倾斜角为____________．【答案】【解析】∵ tanα＝k＝－，又α∈[0，π)，∴ α＝.8.设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是______________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】由k＝tanα关系图(如下)知k∈∪[1，＋∞)．9.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】∪【解析】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.10.直线xtan＋y＝0的倾斜角是________．【答案】【解析】k＝－tan＝tan＝tan，且∈[0，π)．11.若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】由条件知直线的斜率存在，由公式得k＝，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a的取值范围是{a|a>1或a<－2}．12.过点M(-,),N(-,)的直线的倾斜角是()A．πB．C．D．【答案】B【解析】由斜率公式得k==1.又倾斜角范围为[0,π),∴倾斜角为.13.已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.（1）求实数的值；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到，进而证明点恒在定直线上.试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，故双曲线的方程为；（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，则，，，因此点的坐标为，故直线的斜率，直线的斜率为，因此直线与直线的斜率之积为，由于点在双曲线上，所以，所以，于是有（定值）；（3）证法一：设点且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，设，则，即，整理得，由①③，②④得，，将，，代入⑥得，⑦，将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，由，消去得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，则有，设点，由，得，整理得，将②③代入上式得，整理得，④因为点在直线上，所以，⑤联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.【考点】1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理14.直线的倾斜角为，则的值为_________。

高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.已知圆心在第二象限内，半径为的圆与轴交于和两点．（1）求圆的方程；（2）求圆的过点A（1,6）的切线方程；（3）已知点N（9,2）在（2）中的切线上，过点A作N的垂线，垂足为M，点H为线段AM上异于两个端点的动点，以点H为中点的弦与圆交于点B，C，过B，C两点分别作圆的切线，两切线交于点P，求直线的斜率与直线PN的斜率之积．【答案】（1）；（2）；（3）-1 .【解析】(1)根据圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程.(2)直线和圆相交，根据半径，弦长的一半，圆心距求弦长.(3)圆的弦长的常用求法：几何法求圆的半径，弦心距，弦长，则；(4)在求切线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式和点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线；试题解析：（1）由题知圆与轴交于和，所以，圆心可设为，又半径为，则，得，所以，圆的方程为．（2）由题知，点A（1,6）在圆上，所以，所以圆的过A点的切线方程为：．（3）由题知，， B，，C四点共圆，设点坐标为，则， B，，C四点所在圆的方程为，与圆联立，得直线的方程为，又直线AM的方程为，联立两直线方程， H点，所以，又，所以．【考点】圆的方程、切线方程以及圆的综合问题.2.直线的倾斜角是 .【答案】【解析】直线的斜率，因此倾斜角.【考点】直线的斜率和倾斜角.3.直线xtan-y=0的倾斜角是（）A．B．－C．D．【答案】A【解析】将直线化为，设其倾斜角为，则，而，∴.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A．B．C．D．与有关【答案】B【解析】由条件知直线的斜率，所以直线倾斜角为，故选B．【考点】直线的倾斜角．5.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可知斜率，根据直线方程的点斜式可写出直线方程：即，故选A.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.直线的方程.6.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在的直线斜率之和为（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】如图可得，直线BC的斜率为0，AC的倾斜角为600，所以斜率为，AB的倾斜角为1200，所以斜率为，所以AC,AB所在直线斜率之和为0.故选B.【考点】1.倾斜角与斜率这两个概念.2.特殊角的正切值的计算.7.直线x－y+1=0的倾斜角为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】直线变形为，斜率为【考点】直线的斜率倾斜角点评：直线中斜率为，倾斜角为则8.直线5x-2y-10=0在y轴上的截距为。

高考数学复习 课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x ＝π4的倾斜角等于( C )A ．0 B.π4C.π2D ．π解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π2.2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝92D ．x ＝1解析：三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线⇒PA →∥PB →，PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B.4．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( B )解析：因为l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ，由图B 可知，对于直线l 1，a >0且b <0，对于直线l 2，－b >0且a >0，即b <0且a >0，满足题意．故选B.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.7．(2019·郑州一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.二、填空题8．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.解析：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.10．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是[－2,2]．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．11．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.12．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为( A )A ．3B ．2C ．2 3D ．9解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3.故选A.13．已知过点P (4,1)的直线分别交x ，y 坐标轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△ABO 的面积为8，则这样的直线有( B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：由题意可设直线的方程为x a ＋y b＝1，因为直线过点P (4,1)， 所以4a ＋1b＝1，①所以△ABO 的面积S ＝12|a ||b |＝8，②联立①②消去b 可得a 2＝±16(a －4)，整理可得a 2－16a ＋64＝0或a 2＋16a －64＝0. 可判上面的方程分别有1解和2解， 故这样的直线有3条．故选B.14．直线l 1与直线l 2交于一点P ，且l 1的斜率为1k，l 2的斜率为2k ，直线l 1，l 2与x 轴围成一个等腰三角形，则正实数k 的所有可能的取值为24或 2. 解析：设直线l 1与直线l 2的倾斜角分别为α，β，因为k >0，所以α，β均为锐角．由于直线l 1，l 2与x 轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：(1)当α＝2β时，tan α＝tan2β，有1k ＝4k 1－4k 2，因为k >0，所以k ＝24；(2)当β＝2α时，tan β＝tan2α，有2k＝2k1－1k 2，因为k >0，所以k ＝ 2.故k 的所有可能的取值为24或 2. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．直线y ＝m (m >0)与y ＝|log a x |(a >0且a ≠1)的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作垂直于x 轴的直线交y ＝k x(k >0)的图象于C ，D 两点，则直线CD 的斜率( C )A ．与m 有关B ．与a 有关C ．与k 有关D ．等于－1解析：由|log a x |＝m ，得x A ＝a m，x B ＝a －m，所以y C ＝ka －m，y D ＝ka m，则直线CD 的斜率为y D －y C x D －x C ＝ka m －ka －ma －m －a m＝－k ，所以直线CD 的斜率与m 无关，与k 有关，故选C. 16．(2019·襄阳五中一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3y 1－2＝0，x 2＋3y 2＋6＝0，x 1＋x22＝x 0，y 1＋y 22＝y 0，得x 0＋3y 0＋2＝0，即M (x 0，y 0)在直线x ＋3y ＋2＝0上．又因为y 0<x 0＋2，所以M (x 0，y 0)位于直线x ＋3y ＋2＝0与直线x －y ＋2＝0交点的右下部分的直线上．设两直线的交点为F ，易得F (－2,0)，而y 0x 0可看作点M 与原点O 连线的斜率，数形结合可得y 0x 0的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．故选D.。

高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点()A．(－，3)B．(，3)C．(，－3)D．(－，－3)【答案】D【解析】原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令，解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点(－，－3)．2.设M＝，N＝，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法判断【答案】C【解析】设A(－2011,2012)，B(π2012，π2011)，C(π2014，π2013)，则有M＝＝kAB，N＝＝kAC，如图所示．则直线AB的倾斜角∠BDO和直线AC的倾斜角∠CEO均为锐角，且∠BDO<∠CEO，所以k AB <kAC，即M<N.3.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析．【解析】（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．（1）椭圆的右焦点为， 1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，得点的坐标为. 3分所以直线（即）的方程为或. 5分（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线. 7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则.由得， 9分所以，，. 10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为， 11分设直线，的斜率分别为，，则， 12分因为， 13分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称. 14分【考点】直线与椭圆综合问题．4.（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【解析】以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，．（1）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知xC =﹣xB，xD=﹣xA，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．5.若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是________．【答案】[2－，2＋]【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可转化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线l 的距离应小于等于，∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋，又直线l的斜率k＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l的斜率的取值范围是[2－，2＋]．6.设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣2【答案】D【解析】∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．7.直线的倾斜角的大小是____________．【答案】【解析】由题意，即，∴。

高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.过点、的直线的斜率为______________．【答案】2.【解析】由斜率公式得：.【考点】直线的斜率公式.2.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A．[0，π)B．∪C．D．∪【答案】B【解析】xsinα＋y+2=0的斜率为-sina，-sina取值范围为[-1,1]，故斜率范围为[-1,1]，即倾斜角的范围就是∪.【考点】倾斜角与斜率.3.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率，倾斜角为，即，因为，所以【考点】直线的斜率公式和倾斜角的取值范围。

5.直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线的倾斜角满足=，所以，=。

【考点】直线方程，直线的倾斜角、直线的斜率。

点评：简单题，当直线的倾斜角不为直角时，。

6.如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为( )．A．2B．C．－2D．－【答案】D【解析】直线x＋2y－1＝0的斜率为，直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，所以两直线斜率相等，【考点】两直线平行的判定点评：若两直线平行则两直线斜率相等截距不等或斜率都不存在7.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是____ _______【答案】0【解析】∵直线平行x轴，∴直线的倾斜角的大小是0【考点】本题考查了倾斜角的概念点评：掌握倾斜角的概念及范围是解决此类问题的关键，应用时还可根据图象判断。

8.（）直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..【考点】直线的倾斜角与斜率的关系.点评：除倾斜角为外，倾斜角与斜率是一一对应的关系，因而求直线的倾斜角可通过求直线的斜率再求倾斜角即可.9.若直线过点，则此直线的倾斜角是【答案】【解析】由两点间的斜率公式知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为【考点】本小题主要考查两点间斜率公式的应用和特殊角的三角函数值的应用.点评：直线倾斜角的正切值是该直线的斜率，还要注意到直线的倾斜角的取值范围为. 10.(本小题12分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3, 且过定点A(-3,4). 求直线l的方程.【答案】2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.【解析】先分析已知中给出一个点，然后设斜率为k，那么点斜式得到直线的方程，结合面积公式得到结论。

高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)【答案】D【解析】∵l1∥l2，且l1的斜率为2，∴l2的斜率为2，又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3，令x＝0，即得P(0,3)．故选D．2.直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab>0，bc<0B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0【答案】A【解析】由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，∴直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.3. [2014·湖南郴州]若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)【答案】①⑤【解析】很明显直线l1∥l2，直线l1，l2间的距离为d＝＝，设直线m与直线l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|＝2，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|＝d＝，则在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.4. [2014·南宁模拟]直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．B．C．∪D．∪【答案】B【解析】将直线方程变形为y＝－x－，∴直线的斜率k＝－.∵a2＋1≥1，∴0<≤1.∴－1≤k<0，即－1≤tanα<0.∴π≤α<π.故选B.5.[2014·苏州调研]经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.【答案】[－1,1] ∪【解析】如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA ≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又kPA＝＝－1，kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k<0时，≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈∪.6.在直角坐标系中，直线y＝－x＋1的倾斜角为____________．【答案】【解析】∵ tanα＝k＝－，又α∈[0，π)，∴ α＝.7.在△ABC中，A(1，－1)，B(1，1)，C(3，－1)，求三边所在直线的倾斜角和斜率．【答案】－1【解析】因为A、B两点的横坐标相同，所以边AB垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在；因为A、C两点纵坐标相同，所以边AC平行于x轴，即垂直于y轴，倾斜角和斜率均为0；B、C 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，由tanα＝＝－1，所以BC边所在直线的倾斜角为，斜率为－1.8.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】∪【解析】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.9.直线xtan＋y＝0的倾斜角是________．【答案】【解析】k＝－tan＝tan＝tan，且∈[0，π)．10.直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是()A．40°B．50°C．130°D．140°【答案】B【解析】选∵直线xcos 140°+ysin 140°=0的斜率k=-=-=-==="tan" 50°,∴直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角为50°.11.已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于.【答案】-2【解析】由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,l1的斜率为.∵直线l与l1垂直,∴=1,得a=0.又∵直线l2的斜率为-,l1∥l2,∴-=1,b=-2.因此a+b=-2.12.已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan 2α的值为()．A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意知tan α＝，∴tan 2α＝13.直线的法向量是. 若，则直线的倾斜角为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的法向量为，方向向量为或，而其斜率为，因此本题中直线斜率为，(为直线的倾斜角)，由于，，所以，选B．【考点】直线方程与法向量，直线的倾斜角与斜率．14.直线的倾斜角为，则的值为_________。

高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案一、选择题1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k 为( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C解析：k ＝0－23－0 ＝－23 .2．直线x ＋ 3 y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．23 πD ．56 π答案：D解析：由x ＋ 3 y ＋1＝0，得y ＝－33 x －33 ，∴直线的斜率k ＝－33 ，其倾斜角为56 π.3．已知直线l 过点P(－2，5)，且斜率为－34 ，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案：A解析：由点斜式得y －5＝－34 (x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0．4．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3 ”是“k> 3 ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵当π2 <α<π时，k<0，∴α>π3 D ⇒/k> 3 ； 当k> 3 时，π3 <α<π2 ，∴k> 3 ⇒π3 <α<π2 ，∴α>π3是k> 3 的必要不充分条件． 5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ． 3 x －y ＋1＝0B ． 3 x －y － 3 ＝0C ． 3 x ＋y － 3 ＝0D ． 3 x ＋y ＋ 3 ＝0答案：D解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3 .又直线过点(－1，0)，由点斜式可知y ＝－ 3 (x ＋1)，即： 3 x ＋y ＋ 3 ＝0.6．经过点P(1，2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝0答案：D解析：若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P(1，2)在直线上，∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab>0，bc<0B ．ab>0，bc>0C ．ab<0，bc>0D ．ab<0，bc<0答案：A解析：ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b ，又直线过一、二、四象限，∴－a b<0且－c b>0，即ab>0，bc<0. 8．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎝⎛⎭⎫π2，π 答案：B解析：设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1，1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π .9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤34，2B ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1，2]答案：B解析：直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P(1，1)，k PA ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞).二、填空题10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a 的值为________．答案：4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4 ＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．答案：45°解析：y′＝3x 2－2，当x ＝1时，该曲线的导函数值为1，∴k ＝1，其倾斜角为45°.12．过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率为1，则m ＝________.答案：1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。

高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)【答案】D【解析】∵l1∥l2，且l1的斜率为2，∴l2的斜率为2，又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3，令x＝0，即得P(0,3)．故选D．2.已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．【答案】【解析】由kPQ＝－得直线PQ的倾斜角为120°，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k＝tan60°＝.3.已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的取值范围．【答案】[－，]【解析】解法一：直线x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，k AP ＝＝－2，kAQ＝＝，则－≥或－≤－2.∴－≤m≤且m≠0.又m＝0时，直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，∴所求m的取值范围是[－，]．解法二：过P、Q两点的直线方程为y－1＝ (x＋1)，即y＝x＋，代入x＋my＋m＝0，整理得x＝－，由已知－1≤－≤2，解得－≤m≤.即m的取值范围是[－，]．4.设M＝，N＝，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法判断【答案】C【解析】设A(－2011,2012)，B(π2012，π2011)，C(π2014，π2013)，则有M＝＝kAB，N＝＝kAC，如图所示．则直线AB的倾斜角∠BDO和直线AC的倾斜角∠CEO均为锐角，且∠BDO<∠CEO，所以k AB <kAC，即M<N.5.已知椭圆的一个顶点为B(0，4)，离心率，直线交椭圆于M,N两点．（1）若直线的方程为y=x-4，求弦MN的长：（2）如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆顶点知，又离心率，且，所以，从而求得椭圆方程为，联立椭圆方程与直线消去得，，再根据弦长公式，可求得弦的长；（2）由题意可设线段的中点为，则根据三角形重心的性质知，可求得的坐标为，又设直线的方程为，根据中点公式得，又由点是椭圆上的点所以，两式相减整理得，从而可求出直线的方程.（1）由已知，且，.所以椭圆方程为. 4分由与联立，消去得，. 6分. 7分（2）椭圆右焦点的坐标为，设线段的中点为，由三角形重心的性质知，又，，故得.所以得的坐标为. 9分设直线的方程为，则，且，两式相减得. 11分，故直线的方程为. 13分【考点】1.椭圆方程；2.直线方程.6. 若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为2，则直线l 的斜率的取值范围是________． 【答案】[2－，2＋]【解析】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可转化为(x －2)2＋(y －2)2＝(3)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为2，则圆心到直线l 的距离应小于等于， ∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋，又直线l 的斜率k ＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l 的斜率的取值范围是[2－，2＋]．7. 已知椭圆C ：＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 【答案】（1）;（2）2;（3）或． 【解析】（1）根据题意可得，且，加之的关系，可求得; （2）由于直线的斜率已确定，则可由其与椭圆方程联立方程组，求出点M 的坐标，因两直线垂直，故当时，用代替，进而求出点N 的坐标，得，再由两点间的距离公式求出：，即可求出的面积;（3）观察本题条件可用设而不求的方法处理此题，即设出点，两点均在椭圆上得：，观察此两式的结构特征是一致的，则将两式相减得， 由题中条件线段的中点在x 轴上，所以，从而可得，此式表明两点横坐标的关系：可能相等;可能互为相反数，分两种情况分类讨论：当时，再利用，可转化为，进一步确定出两点的坐标或，即可求出直线的方程为;同理当，求出直线的方程为． 试题解析：（1）由条件得，且，所以，解得．所以椭圆方程为：． 3分 （2）设方程为，联立,消去得．因为，解得．5分当时，用代替，得． 7分将代入，得． 因为，所以，所以的面积为． 9分（3）设，则两式相减得，因为线段的中点在x轴上，所以，从而可得．12分若，则．因为，所以，得．又因为，所以解得，所以或．所以直线的方程为． 14分若，则，因为，所以，得．又因为，所以解得，经检验：满足条件，不满足条件．综上，直线的方程为或． 16分【考点】1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系8.在直角坐标系中，直线y＝－x＋1的倾斜角为____________．【答案】【解析】∵ tanα＝k＝－，又α∈[0，π)，∴ α＝.9.已知点A(－，1)，点B在y轴上，直线AB的倾斜角为，求点B的坐标．【答案】(0，－2)【解析】B点的坐标设为(0，y)，再利用k＝tanθ以及两点求斜率公式tan120°＝，得y＝－2，所以B的坐标为(0，－2)．10.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】∪【解析】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.11.若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】由条件知直线的斜率存在，由公式得k＝，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a的取值范围是{a|a>1或a<－2}．12.过点M(-,),N(-,)的直线的倾斜角是()A．πB．C．D．【答案】B【解析】由斜率公式得k==1.又倾斜角范围为[0,π),∴倾斜角为.13.直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是()A．40°B．50°C．130°D．140°【答案】B【解析】选∵直线xcos 140°+ysin 140°=0的斜率k=-=-=-==="tan" 50°,∴直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角为50°.14.已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于.【答案】-2【解析】由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,l1的斜率为.∵直线l与l1垂直,∴=1,得a=0.又∵直线l2的斜率为-,l1∥l2,∴-=1,b=-2.因此a+b=-2.15.直线的法向量是. 若，则直线的倾斜角为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的法向量为，方向向量为或，而其斜率为，因此本题中直线斜率为，(为直线的倾斜角)，由于，，所以，选B．【考点】直线方程与法向量，直线的倾斜角与斜率．16.与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜角为________．【答案】【解析】所求直线的斜率，∴．【考点】１、平面内两条直线的位置关系；2、斜率的定义.17.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角 .【答案】或.【解析】由于直线的斜率为，由于两条直线相互垂直，两条直线的斜率的乘积为，故所求直线的斜率为，所以.【考点】1.直线垂直；2.直线的倾斜角与斜率18.定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式.则当时，的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因函数的图象关于成中心对称，故函数的图像关于原点对称，即为奇函数且单调递减，故等价于，画出可行域，根据的几何含义为原点与点的斜率可知其范围为.【考点】1.函数的性质； 2.斜率.19.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且。

直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础练一、选择题1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B. 3 C ．－3D ．－332．[2021·秦皇岛模拟]倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝03．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2 4．[2021·河南安阳模拟]若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( )A ．1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或05．[2021·湖南衡阳八中月考]已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝12，则直线l 的方程为( )A.3x －y －2＝0B.3x ＋y －4＝0 C ．x －3y ＝0D.3x ＋3y －6＝0 6．[2021·安徽四校联考]直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝07．一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <08．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝19．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π310．经过点(0，－1)且与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线方程为( ) A ．2x ＋3y ＋3＝0B ．2x ＋3y －3＝0 C ．2x ＋3y ＋2＝0D ．3x －2y －2＝0二、填空题11．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 共线，则实数m ＝________. 12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．13．[2021·贵州遵义四中月考]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．14．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________． 能力练15．[2021·湖北孝感调研]已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 的方程为－kx ＋y ＋k －1＝0，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为( )A ．k ≥34或k ≤－4 B.k ≥34或k ≤－14C ．－4≤k ≤34D.34≤k ≤416．[2021·山西大同重点中学模拟]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (4,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线方程为( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y －3＝0D ．2x －y －3＝0 17．[2021·百所名校单元示范卷]直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)，m ∈R 两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围为________．参考答案：1．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin30°cos150°＝33.故选A.答案：A2．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故选D.答案：D3．解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.故选B. 答案：B4．解析：∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线， ∴k AB ＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0， 解得a ＝0或a ＝1±2.故选A. 答案：A5．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B.答案：B6．解析：解法一 设直线l 的斜率为k (k <0)，则直线l 的方程为y －3＝k (x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k )⎝⎛⎭⎫1－3k ＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A.解法二 依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A.答案：A7．解析：因为y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.故选B.答案：B8．解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A ，D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B. 答案：B9．解析：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，tan θ∈[1，3]．所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.故选B. 答案：B10．解析：∵直线2x ＋3y －4＝0的斜率为－23，与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线的斜率也为－23，∴经过点(0，－1)且斜率为－23的直线，其斜截式方程为y ＝－23x －1，整理得2x ＋3y ＋3＝0，故选A.答案：A11．解析：由题意得k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2.∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， ∴m －312－2＝－1，解得m ＝92. 答案：9212．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．解析：当直线过原点时，直线斜率为3－02－0＝32，故直线方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，把(2,3)代入可得a ＝－1，故直线的方程为x －y＋1＝0.综上，所求直线方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.答案：3x －2y ＝0或x －y ＋1＝014．解析：设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1 ①又因为直线与坐标轴围成的面积为1， ∴12|a |·|b |＝1 ② 由①②得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1ab ＝－2由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2，方程组(2)无解，故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 15．解析：直线l 的方程－kx ＋y ＋k －1＝0可化为k (1－x )＋y －1＝0，∴直线l 过定点P (1,1)，且与线段AB 相交，如图所示．直线P A 的斜率k P A ＝－3－12－1＝－4，直线PB 的斜率k PB ＝－2－1－3－1＝34，则k ≤－4或k ≥34.故选A.答案：A16．解析：∵线段AB 的中点为M (2,1)，k AB ＝－12，∴线段AB 的垂直平分线方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0，∵AC ＝BC ，∴△ABC 的外心，重心，垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x －y －3＝0，故选D.答案：D17．解析：直线l 的斜率存在且k l ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，根据正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象，可得π2<α<π或0≤α≤π4，即倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π。

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3.掌握确定直线位置的几何要素.4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点1直线的倾斜角1．定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．规定当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.3．范围直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．知识点2直线的斜率1．定义若直线的倾斜角α不是90°，则其斜率k＝tan_α.2．计算公式若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直x轴，则k＝y2－y1 x2－x1.知识点3两直线的平行、垂直与其斜率的关系1．必会结论(1)直线系方程①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(2)两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是：A1B2－A2B1＝0.(3)两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是：A1A2＋B1B2＝0.2．必清误区(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(3)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()【解析】(1)错误．当直线垂直于x轴时，没有斜率．(2)错误．l1与l2可能重合．(3)错误．可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．(4)正确．把两点式方程转化为整式方程，故(4)正确．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为()A．2 B．3C．4 D．5【解析】由题意知m－41－m＝12，解得m＝3.【答案】 B3．(优质试题·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0【解析】圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.【答案】 D4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 【解析】 令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2. 【答案】 1或－2考向1直线的倾斜角与斜率1．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 【解析】 直线的斜率k ＝－33cos α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 所以0≤θ≤π6或5π6≤θ<π，故选B. 【答案】 B2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32D.23【解析】 设P (x,1)，Q (7，y )， 则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q (7，－3)， 故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.故选B.【答案】 B3．(优质试题·开封模拟)若直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．【解析】 如图所示，为使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足k ≥k P A 或k ≤k PB ，又k P A ＝－3－2－2－(－1)＝5.k PB ＝0－23－(－1)＝－12，则k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)1．已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤(1)求出斜率k 的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)．(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围． 2．直线的斜率与倾斜角的关系(1)当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大到＋∞.(2)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由－∞趋近于0(k ≠0)．考向2直线的方程 ●命题角度1 求直线方程1．(优质试题·沧州模拟)直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．【解析】由题意知，截距不为0，设直线l的方程为xa＋y12－a＝1.又直线l过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9，故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.【答案】4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝02．(优质试题·大连模拟)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________．【解析】由题意知M(3,2)，若直线l在两坐标轴上的截距为0，即直线l过(0,0)及(3,2)，所以直线l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若直线l在两坐标轴上的截距不为0，则设直线l的方程为xa＋ya＝1，又点(3,2)在直线l上，所以3a＋2a＝1，解得a＝5，因此直线l的方程为x＋y－5＝0.综上知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【答案】2x－3y＝0或x＋y－5＝0●命题角度2与直线方程有关的最值问题图8-1-13．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图8-1-1所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【解】法一设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，则A(a,0)，B(0，b)，△ABO的面积S＝12ab，∵直线l过点P(3,2)，∴3a ＋2b ＝1≥2 6ab ，即ab ≥24.当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．∴S ＝12ab ≥12，当且仅当a ＝6，b ＝4时有最小值12. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0. 法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝2－3k ，令y ＝0，得x ＝3－2k ， 即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )．∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k时，即k ＝－23时，等号成立． 即△ABO 面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.1．求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．解决直线方程问题的注意点(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (2)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. 考向3两条直线平行、垂直的关系(1)若直线l 1：ax ＋2y －6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________.(2)若直线l3：(a＋2)x＋(2－a)y＝1与直线l4：(a－2)x＋(3a－4)y＝2互相垂直，则a的值为________．【解析】(1)由l1∥l2得a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1，经验证当a＝2或a＝－1时l1∥l2.(2)由l3⊥l4得(a＋2)(a－2)＋(2－a)(3a－4)＝0，解得a＝2或3.【答案】(1)2或－1(2)2或3根据两条直线平行或垂直的关系求参数的方法1．直接使用两条直线平行或重合的充要条件和两条直线垂直的充要条件求解．在使用两条直线平行或重合的充要条件时，应验证两条直线重合的情况．2．先求出直线的斜率，然后利用斜率之间的关系求解．使用此方法应注意直线斜率不存在的情况．[变式训练]1．(优质试题·大连模拟)已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝()A．－7或－1 B．－7C．7或1 D．－1【解析】由l1∥l2，得(3＋a)(5＋a)－8＝0，解得a＝－7或a＝－1.经检验，当a＝－1时，l1与l2重合，故a＝－7.【答案】 B2．(优质试题·深圳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线x sin A＋ay＋c＝0与直线bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是() A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直【解析】在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，∴bsin B·sin Aa＝1.又x sin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－sin A a，。

第九章 平面解析几何第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、单项选择题1．直线x sin ＋y cos ＝1的倾斜角α是（ ）π7π7A ． B ． C ． D ． 1π76π75π149π142．若直线l 沿x 轴的负方向平移2个单位，再沿y 轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l 的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ． 322332-23-3．下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示；C ．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示； x a y bD ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．4．过两点(－1，1)和(0，3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－ B ． C ．3 D ．－332325．直线l 经过点A (1，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程为（） A ．或B ．或 30x y +-=10x y -+=10x y -+=20x y -=C ．或D ．或或30x y +-=20x y -=30x y +-=10x y -+=20x y -=6． 直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，则直线有（ ）条．l (41)--，8l A ．1B ．2C ．3D ．4 二、多项选择题7．根据以下各组中所给的直线的基本量，能确定直线的位置的有（） A ．一个定点和斜率 B ．两个定点 C ．一个定点和倾斜角 D ．纵截距和横截距8．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝－bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图中，可能正确的有( )三、填空题9． 设m 为常数，则过两点A (2，－1)，B (2，m )的直线的倾斜角是________．10． 若A (－2，3)，B (3，－2)，C 三点共线，则m 的值为________． 1()2m ，11． 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈，则k 的取值范围是____________． 2[)[)643ππππ ，12．过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为__________．能力提升题组（建议用时：20分钟）13．若直线过点，则的最小值为 ． 1(00)x y a b a b+=＞，＞(1,2)2a b +14．直线l 1：4x －3y ＋1＝0，直线l 2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l 1的倾斜角的一半，则直线l 2的方程为__________．15． 已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6，6)，C (－2，0)．求：（1）△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；（2）BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．16．已知直线l 过点P (5，2)，分别求满足下列条件的直线方程．（1）直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；（2）直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为． 52第九章 平面解析几何第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．　B2． C3．　D4．　A5．　D6．　C7． ABC当直线的纵截距和横截距都为0时直线的位置不能确定，其它都能确定，所以选ABC ．8． AB　对于A ，由直线l 1可得到a >0，b >0，由直线l 2可得到a >0，b >0，A 适合；对于B ，由直线l 1可得到a >0，b <0，由直线l 2可得到a >0，b <0，B 适合；对于C ，由直线l 1可得到a <0，b >0，由直线l 2可得到a >0，b >0，矛盾，排除C ；对于D ，由直线l 1可得到a <0，b >0，由直线l 2可得到a >0，b <0，矛盾，排除D ，故选AB ．9． π2因为过点A (2，－1)，B (2，m )的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为． π210． 12　k AB ＝k BC ，＝，m ＝． －2－33＋2m ＋212－31211． [－，0)∪31)　当α∈时，k ＝tan α∈；当α∈ 时，k ＝tan α∈[－，0)．综上k ∈[－，0)∪[)64ππ，1)2[)3ππ，33． 1)12． x +y +2=0　设A (a ，0)，B (0，b )，则所以 即A (－2，0)，B (0，－2)，所以直线l 的方{a ＋02＝－1，0＋b 2＝－1，){a ＝－2，b ＝－2.)程为x +y +2=0．13． 8　由题意有，所以． 121a b +=1242(2)(448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥当且仅当，即，时等号成立． 4b a a b=4b =2a =14． x －2y －1=0　由tan2α＝可求出直线l 2的斜率k ＝tan α，则＝，解得tan α=或tan α=－2（舍去），再由432tan α1－tan 2α4312l 2过点(1，0)即可求得直线方程为y ＝(x －1)． 1215． （1）＋＝1；(2) ＋＝1． x 136y －138x 117y －11解　（1）平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为，，所以这条直线的方程为＝， 7(1)21(2)2--y ＋21＋2x ＋1272＋12整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为＋＝1． x 136y －138(2) 因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为＝， y ＋43＋4x －12－1即7x －y －11＝0，化为截距式方程为＋＝1． x 117y －1116． （1）2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0；（2）x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0．解　（1）当直线l 过原点时，l 的斜率为，所以 直线方程为y ＝x ，即2x －5y ＝0； 2525当直线l 不过原点时，设方程为＋＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝， x 2a y a 92所以 直线方程为x ＋2y －9＝0．综上：l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0．（2）显然两直线与x 轴不垂直．因为直线l 经过点P (5，2)，所以可设直线l 的方程为y －2＝k (x －5)(k ≠0)，则直线在x 轴上的截距为5－，在y 轴上的截距为2－5k ， 2k 由题意，得·|2－5k |＝，即(5k －2)2＝5|k |． 1225k-52当k >0时，原方程可化为(5k －2)2＝5k ，解得k ＝或k ＝； 1545当k <0时，原方程可化为(5k －2)2＝－5k ，此方程无实数解；1 54 5故直线l的方程为y－2＝(x－5)或y－2＝(x－5)，即x－5y＋5＝0或4x－5y－10＝0．。

直线的倾斜角与斜率（20131125）讲义类型一：倾斜角与斜率的关系1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；【变式】直线的倾斜角的范围是( )A．B．C．D．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A．B．C．D．类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．类型四：两直线平行与垂直5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状．【变式1】已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形为矩形．【变式2】已知，，三点，求点，使直线，且．【变式3】若直线与直线互相垂直，则实数=__________．直线的倾斜角与斜率(20131125)作业姓名成绩题组一直线的倾斜角1.已知直线l过点(m,1)，(m＋1，tanα＋1)，则()A．α一定是直线l的倾斜角B．α一定不是直线l的倾斜角C．α不一定是直线l的倾斜角D．180°－α一定是直线l的倾斜角2．如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则()A．k sinα>0B．k cosα>0 C．k sinα≤0D．k cosα≤0题组二直线的斜率及应用3.12312<k3，则下列说法中一定正确的是()A．k1k2＝－1 B．k2k3＝－1 C．k1<0 D．k2≥04．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.5．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是________．题组三两条直线的平行与垂直6已知两条直线l1：ax＋by2bm是直线l1∥l2的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为()A．5 B．4 C．2 D．18．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为 ( ) A.23 B ．－23 C.13 D ．－139．设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．10.若关于x 的方程|x －________．11．已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角．直线的倾斜角与斜率（20131125）讲义答案类型一：倾斜角与斜率的关系1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：∵，∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.举一反三：【变式】（2010山东潍坊，模拟）直线的倾斜角的范围是A．B．C．D．【答案】B解析：由直线，所以直线的斜率为．设直线的倾斜角为，则．又因为，即，所以．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.思路点拨：本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，∴k AB=tan150°=k AC=tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.举一反三：【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A．B．C．D．【答案】由题意，，则本题选题意图：对倾斜角变化时，如何变化的定性分析理解.∴选B.类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨：解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．总结升华：本题求出，但的符号不能确定，我们通过确定的符号来确定的符号.当时，，为锐角；当时，，为钝角.举一反三：【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或．经检验不适合，舍去.故．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．【答案】，．即当时，，两点的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．思路点拨：如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线.解析：∵A、B、C三点在一条直线上，∴k AB=k AC．总结升华：斜率公式可以证明三点共线，前提是他们有一个公共点且斜率相等.举一反三：【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【答案】经过，两点直线的斜率．经过，两点的直线的斜率．所以，，三点在同一条直线上．【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．【答案】由已知，得；．因为，，三点都在斜率为2的直线上，所以，．解得，．类型四：两直线平行与垂直5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状．思路点拨：证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.解析：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．，，，，即四边形为平行四边形．又，，即四边形为矩形．总结升华：证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.举一反三：【变式1】已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形为矩形．【答案】由题意得边所在直线的斜率．边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，则；．所以四边形为平行四边形，又因为，，即平行四边形为矩形．已知，，三点，求点，使直线，且．【答案】设点的坐标为，由已知得直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率．由，且得解得，．所以，点的坐标是．【变式3】（2011浙江12）若直线与直线互相垂直，则实数=__________．【答案】因为直线与直线互相垂直，所以，所以．直线的倾斜角与斜率(20131125)作业答案姓名 成绩题组一 直线的倾斜角1.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1， ( )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角解析：设θ为直线l 的倾斜角，则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m＝tan α， ∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α.答案：C2．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则 ( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0解析：显然k <0，π2<α<π， ∴cos α<0，∴k cos α>0.答案：B题组二 直线的斜率及应用3.12312<k 3，则下列说法中一定正确的是 ( )A ．k 1k 2＝－1B ．k 2k 3＝－1C ．k 1<0D ．k 2≥0解析：结合图形知，k 1<0.答案：C4．(2008·浙江高考)已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，又a >0，∴a ＝1＋ 2. 答案：1＋ 25．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________． 解析：设直线AB 的倾斜角为2α，则直线l 的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tan α＝13，即直线l 的斜率为13. 答案：136.(2009·陕西八校模拟)12＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵l 1∥l 2⇒an －bm ＝0，且an －bm ＝0⇒/ l 1∥l 2，故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．答案：B7．(2009·福建质检)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1解析：由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a， ∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)． 答案：C8．(2010·合肥模拟)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为 ( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析：曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率为3，所以a b ＝－13. 答案：D9．(2009·泰兴模拟)设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．解析：∵l 1⊥l 2，k 1＝－12，∴k 2＝2，又点(0,1)在直线l 1上，故点(－1,0)在直线l 2上，∴直线l 2的方程为y ＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＝0.答案：2x －y ＋2＝0题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题10.若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y ＝kx ，y ＝|x －1|的图象如图所示，显然k ≥1或k ＝0时满足题意.答案：k ≥1或k ＝011．(2009·青岛模拟)已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．解析：如图所示，k P A ＝6－3－1－2＝－1， ∴直线P A 的倾斜角为3π4， k PB ＝6－2－1－(－5)＝1， ∴直线PB 的倾斜角为π4， 从而直线l 的倾斜角的范围是[π4，3π4]． 答案：[π4，3π4] 12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角．解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)， ∴1＝2x －5，∴x ＝7， 即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1.又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．。