中考数学第2轮小专题集训题型专攻小专题(八)解直角三角形的实际应用课件

2020年九年级数学中考二轮专项——解直角三角形的实际应用1. (2019都江堰区一诊)如图是云梯升降车示意图，其点A位置固定，AC可伸缩且可绕点A转动，已知点A距离地面BD的高度AH为3.4米．当AC长度为9米，张角∠HAC为119°时，求云梯升降车最高点C距离地面的高度．(结果保留一位小数，参考数据：sin29°≈0.49，cos29°≈0.88，tan29°≈0.55)第1题图2. (2019邛崃二诊)某市开展一项全民健身跑步运动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向上，在C地北偏西45°方向上，C地在A地北偏东75°方向上，且BC＝CD＝10 km，问：沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(结果保留1位小数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.4，3≈1.7)第2题图3. 如图，为求出河对岸两棵树A、B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12 m到达点D，测得∠CDB＝90°.取CD的中点E，测得∠AEC＝56°，∠BED＝67°，求河对岸两树间的距离．(结果取整数，参考数据：sin56°≈0.83，tan56°≈1.48，sin67°≈0.92，tan67°≈2.36)第3题图4. 如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像AB高度，已知山坡面与水平面的夹角为30°，山高BC为285米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米后到达E点，在点E处测得雕像顶端A 的仰角为60°，求雕像AB的高度．第4题图5. (2019锦江区二诊)成都市第十三次党代会提出实施“东进”战略，推动了城市发展格局“千年之变”，成都龙泉山城市森林公园借“东进”之风，聚全市之力，着力打造一个令世界向往的城市绿心．下图为成都市龙泉山城市森林公园三个景点A，B，C的平面示意图，景点C在B的正北方向5千米处，景点A在B的东北方向，在C的北偏东75°方向上．(1)求∠BAC的大小；(2)求景点A，C的距离．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，结果精确到0.1)第5题图6. (2019青羊区二诊)如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度大约是3 3 m，大门距主楼的距离是45 m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面大约是 3 m.求：(1)学校主楼的高度(结果保留根号)；(2)大门上方A与主楼顶部D的距离(结果保留根号)．第6题图7. (2019岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD(用含a的式子表示)；(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度A B.第7题图8. (2019衡阳)如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1∶3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)第8题图8. 2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力．如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)第8题图9.(2019眉山模拟)水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．第9题图10. 如图，山顶有一塔AB，塔高33 m，计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF，从与E点相距80 m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50 m的D处测得A的仰角为45 °，求隧道EF的长度．(结果保留整数，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51.)第10题图11. 在一次课外活动中，小明和小华测量小山AF的高度，如图，已知山底有一斜坡CE，通过测量，斜坡CE的坡角为30°，小明沿斜坡坡脚E处行走至斜坡的中点D处，在D处测得山顶A的仰角为53°.斜坡CE的长度为60 m，坡顶C与小山的距离为100 m，求小山AF的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：cos53°≈0.6，sin53°≈0.8，tan53°≈1.33，3≈1.73)第11题图12、(2019甘肃省卷)如图①是放置在水平桌面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40 cm，灯罩CD＝30 cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°，CD可以绕点C上下调节一定的角度，使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：3取1.73)题图参考答案1. 解：如解图，作CE ⊥BD 于点E ，AF ⊥CE 于点F ， 易得四边形AHEF 为矩形， ∴EF ＝AH ＝3.4，∠HAF ＝90°，∴∠CAF ＝∠CAH －∠HAF ＝119°－90°＝29°， 在Rt △ACF 中，∵sin ∠CAF ＝CF AC ，∴CF ＝9sin 29°≈9×0.49＝4.41， ∴CE ＝CF ＋EF ＝4.41＋3.4≈7.8.答：云梯升降车最高点C 距离地面的高度为7.8 m .第1题解图2. 解：如解图，过点D 作DM ⊥AC 于点M ，则∠DAM ＝75°－30°＝45°，∠DCM ＝180°－75°－45°＝60°，∵BC ＝CD ，∴△BCD 是等边三角形．∴BC ＝CD ＝BD ＝10，CM ＝12BC ＝5.∴DM ＝DC ·sin60°＝10×32≈8.5.∵∠DAM ＝45°， ∴DM ＝AM ＝8.5.∴AM ＋MC ＋CD ＝8.5＋5＋10＝23.5. 答：从A 地到D 地的路程大约是23.5 km .第2题解图3. 解：如解图，过点A 作AF ⊥BD 于点F ， ∵∠C ＝90°，∠CDB ＝90°， ∴四边形ACDF 是矩形． ∴AF ＝CD ＝12，DF ＝AC . ∵E 为CD 的中点， ∴CE ＝DE ＝6，∵在Rt △ACE 中，∠AEC ＝56°， tan ∠AEC ＝AC CE，∴AC ＝CE ·tan56°＝6tan56°， ∵在Rt △BDE 中，∠BED ＝67°， tan ∠BED ＝BD DE，∴BD ＝DE ·tan67°＝6tan67°，∴BF ＝BD －DF ＝BD －AC ＝6tan67°－6tan 56°≈5.28， ∴在Rt △AFB 中，AB ＝AF 2＋BF 2≈13. 答：河对岸两树间的距离约为13 m .第3题解图4. 解：如解图，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥CD 于点G ， 在Rt △DEG 中，∵DE ＝540，∠D ＝30°， ∴EG ＝DE ·sin D ＝540×12＝270.∵BC ＝285，CF ＝EG ， ∴BF ＝BC －CF ＝BC －EG ＝15.在Rt △BEF 中，∵tan ∠BEF ＝BFEF ，∠BEF ＝30°，∴EF ＝3BF ＝15 3.在Rt △AEF 中，∠AEF ＝60°， ∵tan ∠AEF ＝AF EF，∴AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝EF ·tan60°＝3EF ， ∴AF ＝45，∴AB ＝AF －BF ＝45－15＝30. 答：雕像AB 的高度为30米．第4题解图5. 解：(1)依题意得，∠BAC ＝75°－45°＝30°； (2)如解图，过点A 作AD ⊥BD ，垂足为D . 设AC 的长度为x 千米，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝75°，AC ＝x ，∴AD ＝AC ·sin 75°≈0.966x ，CD ＝AC ·cos 75°≈0.259x . 在Rt △ABD 中，∠B ＝45°，∠D ＝90°， ∴AD ＝BD ，∵BC ＝BD －CD ＝AD －CD ＝0.966x －0.259x ，BC ＝5， ∴0.966x －0.259x ≈5， 解得x ≈7.1.答：景点A 、C 的距离约为7.1千米．第5题解图6. 解：(1)如解图，作EF ∥BC 交DC 于点F ， ∵BC ＝45， ∴EF ＝45，∵∠DEF ＝30°，∠DFE ＝90°， ∴tan30°＝DF EF ＝DF 45，∴33＝DF 45， 解得DF ＝153， ∵EB ＝ 3 ，∴DC ＝DF ＋FC ＝153＋3＝16 3. 答：学校主楼的高度是16 3 m ； (2)如解图，作AG ∥BC 交DC 于点G ， ∵BC ＝AG ＝45，DC ＝163，GC ＝AB ＝33， ∴DG ＝DC －GC ＝163－33＝133， ∵∠AGD ＝90°，∴AD ＝AG 2＋DG 2＝2633.答：大门上方A 与主楼顶部D 的距离是2633 m .第6题解图7. 解：(1)根据题意得BD ＝CG ，BF ＝HE ＝a ，BH ＝EF ＝1.5，BG ＝CD ＝1.7， 在Rt △AEH 中，∵HE ＝a ，∠AEH ＝62.3°， ∴tan ∠AEH ＝AHHE ，即AH ＝a ·tan 62.3°≈1.9a .∴AB ＝AH ＋BH ＝1.9a ＋1.5. 在Rt △ACG 中，∵∠ACG ＝45°， ∴∠CAG ＝45°. ∴CG ＝AG .∵AG ＝AB －BG ＝1.9a ＋1.5－1.7＝1.9a －0.2， ∴CG ＝1.9a －0.2. ∴BD ＝CG ＝1.9a －0.2.答：小亮与塔底中心的距离BD 为(1.9a －0.2)米； (2)根据题意，得BD ＋BF ＝52， ∴(1.9a －0.2)＋a ＝52， 解得a ＝18.∴AB ＝1.9a ＋1.5＝1.9×18＋1.5＝35.7. 答：慈氏塔的高度AB 为35.7米．8. 解：如解图，过点D 作BC 的垂线，交直线BC 于点F ，过点D 作AB 的垂线，交AB 于点G ，则四边形DGBF 为矩形，DF ＝GB ，DG ＝FB .∵山坡的坡度i ＝1 ∶3， ∴DF ∶FC ＝1 ∶ 3.∴DF ∶FC ∶CD ＝1 ∶ 3 ∶2. ∵CD ＝10， ∴DF ＝5，FC ＝5 3. ∵CE ＝10，∴BE ＝DG －FC －CE ＝DG －53－10. ∵∠ADG ＝30°， ∴DG ＝AG tan30°＝3AG .∵∠AEB ＝60°， ∴tan ∠AEB ＝tan60°＝ABEB. ∵AB ＝AG ＋GB ＝AG ＋DF ＝AG ＋5， ∴3＝AG ＋5EB ＝AG ＋5DG －53－10.即3＝AG ＋53AG －53－10，解得AG ＝53＋10.∴AB ＝AG ＋GB ＝53＋10＋5≈23.7. 答：楼房AB 的高度约为23.7米．第8题解图9. 解：(1)如解图，分别过A 、D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂足分别为F 、G ， ∵在Rt △ABF 中，AB ＝16米，∠B ＝60°，sin B ＝AFAB ，∴在矩形AFGD 中，DG ＝AF ＝16×32＝83米， ∴S △DCE ＝12×CE ×DG ＝12×8×83＝323平方米，∴需要填土石方150×323＝48003立方米； (2)在Rt △DGC 中，DC ＝16 3 米， ∴GC ＝DC 2－DG 2＝24米， ∴GE ＝GC ＋CE ＝32米，坡度i ＝DG ∶GE ＝83∶32＝3∶4＝1∶433.第9题解图10. 解：如解图，延长AB 交CD 于点H ，则AH ⊥CD .第10题解图在Rt △ACH 中，∠ACH ＝27°，∵tan27°＝AH CH， ∴AH ＝CH ·tan27°.在Rt △BCH 中，∠BCH ＝22°，∵tan22°＝BH CH， ∴BH ＝CH ·tan22°.∵AB ＝AH －BH ，∴CH ·tan27°－CH ·tan22°＝33 m.∴CH ≈300. ∴AH ＝CH ·tan27°≈153 m.在Rt △ADH 中，∠D ＝45°，∵tan45°＝AH HD， ∴HD ＝AH ＝153.∴EF ＝CD －CE －FD＝CH ＋HD －CE －FD＝300＋153－80－50＝323 m.答：隧道EF 的长度约为323 m.11. 解：如解图，过点D 作DH ⊥EF ，垂足为点H ，过点D 作DI ⊥AF ，垂足为点I ，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，交DI 于点G ，第11题解图在Rt △CME 中，CE ＝60，∠CEM ＝30°，∴CM ＝30，ME ＝303， 又∵点D 是CE 的中点， ∴DH ＝CG ＝GM ＝IF ＝15，DG ＝MH ＝HE ＝153，∴DI ＝DG ＋GI ＝153＋100，∵在Rt △AID 中，tan53°＝AI DI， ∴AI ＝DI ·tan53°≈(153＋100)×1.33≈167.5，∴AF ＝AI ＋FI ≈167.5＋15＝182.5 m ，答：小山AF 的高度约为182.5 m.12、解：如解图，分别过点C 、D 作CE ⊥AB 交AB 交AB 于点E 、DF ⊥AB 交AB 于点F ，CM ⊥DF 于点M ，则MF ＝CE ，CM ＝EF .在Rt △AEC 中，∵∠AEC ＝90°，∠CAE ＝60°，CA ＝40，∴CE ＝CA ·sin60°＝40×32＝20 3. ∴DM ＝DF －MF ＝49.6－20 3.在Rt △CDM 中，∵∠CMD ＝90°，CD ＝30，∴sin ∠DCM ＝DM CD ＝49.6－20330≈49.6－20×1.7330＝12. ∴∠DCM 的度数约为30°.∴此时台灯光线最佳．解图。