2011年广州市一模理科数学试题

2011年广东高考理科数学试题及答案(纯word版)D1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b •+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM ON =的最大值为 A ．42 B ．32 C ．4 D ．3 6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．23 D ．347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

12011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部记作()Im z b =，则1Im 2i ⎛⎫=⎪+⎝⎭A ．13B ．25C ．13-D ．15-2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U A B == ，(){}2,4,6U A B = ð，则集合B =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,3,5,7D ．{}1,2,3,4,5,6,7 3．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为A ．73B ．53C ．5D ．34．已知函数()()32120f x x ax xa a =++>，则()2f 的最小值为A． B ．16 C ．288a a++D ．1128a a++5．已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2011f x =A ．sin cos x x --B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x + 6．一条光线沿直线220x y -+=入射到直线50x y +-=后反射，则反射光线所在的直线方程为A ．260x y +-=B ．270x y -+=C ．30x y -+=D ．290x y +-= 7．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且1=a ，2=b ，3=c ，则a +b +c 等于AB ．6 C． 6D ．3或68．正方形A B C D 的边长为2，点E 、F 分别在边A B 、B C 上，且1A E =，12B F =，将此正方形沿D E 、D F 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P D EF -的体积是A ．13B．6C．9D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）29．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为3π，则ω的值为 ．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为 ．11．若1223211C 3C 3C 3C385n n n nn n n---+++++= ，则 n 的值为 ． 12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = 厘米．13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()*,p q p q p q ⨯≤∈N且是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q=，例如()3124f =.关于函数()f n 有下列叙述：①()177f =，②()3248f =，③()4287f =，④()914416f =.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）在梯形A B C D 中，AD BC ，2AD =，5B C =，点E 、F 分别在A B 、C D 上，且EF AD ，若34A E E B=，则E F 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，则直线l 的极坐标．．．方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图2，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．17．（本小题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆图160ABC东南西北 α3能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．力为中等或中等以上的概率为25．（1）试确定a 、b 的值；（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． 18．（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11AD D A 和三棱锥E A B C -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，A B A C =，2A E =．（1）求证：A C B D ⊥；（2）求二面角A B D C --的平面角的大小．19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和()12nn n a S +=，且11a =．（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．AODE正（主）视图 E A侧（左）视图A 1 D 1A D 1A 1E BCOD 图3420．（本小题满分14分） 已知双曲线C ：()222210x y a b ab-=>>和圆O ：222x y b +=（其中原点O 为圆心），过双曲线C 上一点()00,P x y 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若双曲线C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，求双曲线离心率e 的取值范围； （2）求直线A B 的方程；（3）求三角形O A B 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a 的值； （2）若k ∈Z ，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值；（3）当4n m >≥时，证明()()mnn m m n nm >．参考答案一、选择题：二、填空题： 9．3210．()32f x x x =-- 11．4 12．11 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20θρθ--=三、解答题：16．解：（1）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220A C =⨯=，B C A α∠=．在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠60ABC东南西北 α522122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=． 解得28B C =．所以渔船甲的速度为142B C =海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠= ，28B C =，B C A α∠=，由正弦定理，得sin sin 120A B B C α=．即12sin 1202sin 2814AB BCα⨯===． 答：sin α14方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28B C =，B C A α∠=，由余弦定理，得222cos 2AC BC ABAC BCα+-=⨯．即22220281213c o s 2202814α+-==⨯⨯．因为α为锐角，所以sin α===14． 答：sin α1417．解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102()405a P A +==，解得6a =．所以40(32)40382b a =-+=-=．答：a 的值为6，b 的值为2．（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以332340C 124123()1()11C247247P B P B =-=-=-=．答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以()122138328328340C C C C C 123C247P B ++==．答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．6（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416C C k k -，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340C C ()Ck kP k ξ-==，()0,1,2,3k =．ξ的可能取值为0，1，2，3，因为032416340C C 14(0)C247P ξ===， 122416340C C 72(1)C247P ξ===，212416340C C 552(2)C 1235P ξ===，32416340C C 253(3)C 1235P ξ===． 所以ξ的分布列为0E ξ=⨯142471+⨯722472+⨯55212353+⨯25312352223912355==．答：随机变量ξ的数学期望为95．18．方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以E A A C ⊥，即E D A C ⊥． 又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以A C ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以A C B D ⊥． （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4B C =，AB AC ==过点C 作C H BD ⊥于点H ，连接A H ，由（1）知，A C B D ⊥，AC CH C = ，所以B D ⊥平面A C H ．因为AH ⊂平面A C H ，所以BD AH ⊥．所以A H C ∠为二面角A B D C --的平面角．由（1）知，A C ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ，所以A C A H ⊥，即△C A H 为直角三角形．在R t △BAD 中，AB =2AD =，则BD ==AB AD BD AH ⨯=⨯，解得3AH =．因为tan A C AH C A H∠==A H C ∠60=．所以二面角A B D C --的平面角大小AD 1A 1EBCO D7为60 ．方法2：（1）证明：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径． 设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4B C =，AB AC ==以点D 为原点，1DD 、D E 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()2,2,0AC =- ，()2,2,2DB =．因为()()2,2,02,2,20A CD B =-=，所以A C D B⊥．所以A C B D ⊥．（2）解：设(),,x y z =n 是平面BC D 的法向量，因为()0,4,0BC =-，所以0,0.B C D B ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面B C D 的一个法向量．由（1）知，A C B D ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ，所以A C ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．因为1cos ,2ACAC AC⋅===⋅ n n n ，所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A B D C --的平面角，所以二面角A B D C --的平面角大小为60 ．方法3：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以E A A C ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以A C ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以A C B D ⊥． （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径． 设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩ 所以4B C =，AB AC ==AD 1A 1E BCODAD 1A 1EBC O D8以点D 为原点，1DD 、D E 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()0,4,0BC =- ，()2,2,2DB =设(),,x y z =n 是平面BC D 的法向量，则0,0.B C D B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BC D 的一个法向量．由（1）知，A C B D ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ，所以A C ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．因为1cos ,2ACAC AC⋅===⋅n n n ，所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A B D C --的平面角，所以二面角A B D C --的平面角大小为60 ．19．解：（1）解法1：当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-，即11n n a a nn -=-()2n ≥． 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =的常数列．所以1n a n =，即n a n =()n ∈*N ．所以数列{}na 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．解法2：当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-， 即11n n a n a n -=-()2n ≥．所以1321122113211221n n n n n a a a a nn a a n a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ．因为11a =，符合n a 的表达式．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．（2）假设存在k ()2,,k m k ≥∈*N ，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列，则2k k b b +=21k b +．因为ln ln n n b a n ==（n≥2），所以()()2222ln 2ln ln 2ln ln(2)22k k k k k k b b k k +⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥=⋅+<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦9()()22221ln 1ln 12k k k b +⎡⎤+<=+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦．这与2k k b b +=21k b +矛盾． 故不存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．20．解：（1）因为0a b >>，所以1b a<，所以c e aa===<．由90APB ∠= 及圆的性质，可知四边形P A O B是正方形，所以OP =．因为OP a =≥，所以2b a≥，所以c e aa===2≥．故双曲线离心率e的取值范围为2⎡⎢⎣⎭． （2）方法1：因为22222200PA O P O A x y b =-=+-，所以以点P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．因为圆O 与圆P 两圆的公共弦所在的直线即为直线A B ， 所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩消去2x ，2y ，即得直线A B 的方程为200x x y y b +=． 方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ，则P A k =0101y y x x --，11O A y k x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A O A ⊥，所以1PA O A k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--． 整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．因为O A O B =，PA PB =，根据平面几何知识可知，A B O P ⊥．因为00O P y k x =，所以00AB x k y =-．所以直线A B 方程为()0110x y y x x y -=--．即0010x x y y x xy y +=+．所以直线A B 的方程为200x x y y b +=．方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则P A k =0101y y x x --，11O A y k x =()101,0x x x ≠≠其中．10因为P A O A ⊥，所以1PA O A k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．这说明点A 在直线200x x y y b +=上． 同理点B 也在直线200x x y y b +=上．所以200x x y y b +=就是直线A B 的方程．（3）由（2）知，直线A B 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线A B的距离为2bd =．因为A B ===，所以三角形O A B 的面积20012S AB d x y =⨯⨯=+以下给出求三角形O A B 的面积S 的三种方法： 方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，所以2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．设t ==≥322b t S t b=+．因为()()()3222bt b t b S tb-+-'=+，所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．所以322b t S t b=+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．当b ≤，即b a <≤时，322212b b S b b b⨯==+最大值，当b >，即a >时，2S ab==+最大值综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S a=最大值．11方法2：设t =33222b t b S b t bt t==++．因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，即2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．所以t ==≥令()2b g t t t=+，则()()()2221t b t b b g t tt+-'=-=．所以当0t b <<时，()0g t '<，当t b >时，()0g t '>．所以()2b g t t t=+在()0,b 上单调递减，在(),b +∞上单调递增．当b ≤，即b a <≤时，32212b S b bb b==+最大值，当b >，即a >时，322bbS a==最大值．综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S a=最大值．方法3：设2200t x y =+，则S bt==．因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，即2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．所以22222200021b t x y x b a a ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭．令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 当22112b a≤，即b a <≤时，()22max1124g u g b b ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值．当22112ba>，即a >时，()2224m ax1a bg u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时S a=最大值．12综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，2bS a=最大值．21．（1）解：因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3，所以()e 3f '=，即l n e 13a ++=．所以1a =．（2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x xx-'=-=>，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln 30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，所以函数()ln 1x x x g x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000m in001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3． （3）证明1：由（2）知，()ln 1x x x g x x +=-是[)4,+∞上的增函数，所以当4n m >≥时，l n l n 11n n n m m m n m ++>--．即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+．整理得 ()l n l n l n l n m n n m mm n mn nn m+>++-． 因为n m >， 所以ln ln ln ln m n n m m m n m n n +>+． 即ln ln ln ln mn m mn nn m m n +>+．即()()ln ln mnmmnnn mmn>． 所以()()mnn mm n nm>．证明2：构造函数()ln ln ln ln f x mx x m m mx m x x =+--，则()()1l n 1l n f x m x mm m '=-+--．因为4x m >≥，所以()()1ln 1ln 1ln 0f x m m m m m m m '>-+--=-->．所以函数()f x 在[),m +∞13上单调递增．因为n m >， 所以()()f n f m >．所以ln ln ln ln m n n m m m n m n n +-->22ln ln ln ln 0m m m m m m m m +--=． 即ln ln ln ln m n n m m m n m n n +>+． 即ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+． 即()()ln ln mn m mn n n m m n >．所以()()mnn m m n nm >．。

数学试题（理科）本试卷共21小题，满分为150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20},{|11},A x x x B x x A B =-≤=-<<⋂=则 （ ）A ．{|01}x x ≤<B ．{|10}x x -<≤C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x -<≤2．若复数(1)()i a i -+是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 （ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 3．已知向量(2,3),(,6),//,p q x p q =-=且则|p+q|的值为 （ ）A B C ．5 D ．134．函数ln xy x=在区间（1，+∞）上 （ ）A ．是减函数B ．是增函数C ．有极小值D ．有极大值5．阅读图1的程序框图，若输入5n =，则输出k 的值为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．“a b >”是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额 且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为 （ ） A ．96 B ．114 C ．128 D ．1368．如图2所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 的中点的轨迹的面积为 （ ）A ．4πB ．2 πC ．πD ．2π二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11-13题）9．为了了解某地居民每户月均用电的基本情况，抽取出该地区若干户居民的用电数据，得到频率分布直方国科如图3所示，若用均用电量在区间[110,120)上共有150户，则月均用电量在区间[120,150)上的居民共有 户。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：柱体的体积公式V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高线性回归方程中系数计算公式其中表示样本均值。

N是正整数，则…）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数满足，其中为虚数单位，则=A． B. C. Ｄ．2．已知集合∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．33. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMATＡ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数和分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．是偶函数Ｂ．是奇函数Ｃ．是偶函数Ｄ．是奇函数5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。

若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A． B．C．4 D．36. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A． B．C． D．7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A. EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMATB. EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMATC. EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMATD. EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT8.设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z的两个不相交的非空子集，且有 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 有，则下列结论恒成立的是A. 中至少有一个关于乘法是封闭的B. 中至多有一个关于乘法是封闭的C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. 中每一个关于乘法都是封闭的16.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

试卷类型：A20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程y bx a =+中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b •+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2011届华附、省实、广雅三校 广州一模后联合适应性考试理科数学 2011.3.21一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4},()U U A B C A B ===⋃=则 （ ）A ．}2{B ．}3{DC ．}4,2,1{D.}4,1{2．已知函数()12f x x =-，若3(log 0.8)a f =，131[()]2b f =，12(2)c f -=，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<3.下列命题不正确．．．的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直； B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行； C ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；D ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行4.函数xy x=(01)<<的图象的大致形状是 （ ）5. 设A 1、A 2为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点P ，使得02=⋅PA PO ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A 、)21,0( B 、 )22,0( C 、)1,21( D 、)1,22(xxy 1 －1 xy 1 －1 A.xy 1 －1 y 1 －1 D.OO O O开始 1 , 0==k s1+=k k否 输出s结束图1)1(1++=k k s s是6在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为A. 1, 15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. )1, 2⎡⎣ D. 1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为A. 0.0324B.0.0434C.0.0528D.0.05628.任意a 、R b ∈，定义运算⎪⎩⎪⎨⎧>-≤⋅=*.0 , ,0, ab b a ab b a b a ，则x e x x f *=)(的A.最小值为e -B.最小值为e 1-C.最大值为e1- D.最大值为e二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科） 试卷类型：A 成本文参考公式：柱体的体积公式V =Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高； 线性回归方程y bx a =+中系数计算公式为1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x yxy b xx xnxη====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，其中,x y 表示样本均值；若n 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i -C. 22i +Ｄ．22i -２．已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３３．若向量a, b, c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则(2)⋅+=c a b Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２Ｄ．０４．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则=⋅z OM OA 的最大值为 A ．42 B ．32 C ．４ D ．３６．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．23 D ．34７．如下图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为Ａ．63Ｂ．93Ｃ．123Ｄ．1838．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，TV Z =且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A.,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C.,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011年白云区初中毕业班综合测试（一）数 学 试 题本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B 铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１．有理数２的相反数为（＊）（Ｂ）２ （Ｃ）－２ （Ｄ）０.５２．计算3(2)x x 的正确结果为（＊）（Ａ）29x （Ｂ）26x （Ｃ）48x （Ｄ）227x３．如图1，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＡＢ延长线上一点，ＢＥ∥ＡＣ且ＢＥ平分∠ＣＢＤ，若∠Ｃ＝５０°，则∠ＡＢＣ等于（＊）（Ａ）５０° （Ｂ）６０° （Ｃ）７０° （Ｄ）８０°４．在平面直角坐标系中，点Ｐ（－２，３）关于原点对称点的坐标为（＊） （Ａ）（３，－２） （Ｂ）（２，－３） （Ｃ）（－３，２） （Ｄ）（－２，－３） ５．如图2，Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的边ＣＢ延长线上的一点．把△ＡＥＢ绕着点Ａ逆时针旋转后与△ＡＦＤ重合，则旋转的角度可能是（＊）（Ａ）９０° （Ｂ）６０° （Ｃ）４５° （Ｄ）３０°B C D E 图1 A D C E B F 图2图3６．化简22(2)4(2)x x x -+--的结果为（＊）（Ａ）４x －１２ （Ｂ）４x －４ （Ｃ）－４ （Ｄ）４７．若菱形两条对角线长分别为６和８，则这个菱形的面积为（＊）（Ａ）１２ （Ｂ）１６ （Ｃ）２４ （Ｄ）４８ ８．化简22a b a b a b-++的结果是（＊） （Ａ）a b - （Ｂ）a b + （Ｃ）22a b - （Ｄ）１９．如图3，Ｐ为⊙Ｏ外一点，ＰＡ切⊙Ｏ于点Ａ，且ＯＰ＝１０，ＰＡ＝６，则sin ∠ＡＰＯ等于（＊） （Ａ）35 （Ｂ）45 （Ｃ）34 （Ｄ）43１０．等腰梯形的一底角为６０°，两底之和为１１，下底比上底的２倍多２．则腰长为（＊）（Ａ）３ （Ｂ）５ （Ｃ）８ （Ｄ）９第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）１１．如图4，△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝２，则ＡＢ长为 ＊ ．x 取值范围是： ＊ ．１３．如图5，⊙Ｏ上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ，若∠ＡＯＢ＝５６°，则∠ＡＣＢ等于 ＊ °． １４．方程212112x x x +=--的解为 ＊ ． １５．已知反比例函数k y x=，其图象所在的每个象限内y 随着x 的增大而增大，请写出一个符合条件的反比例函数关系式： ＊ ．１６．如图6，光源Ｐ在水平放置的横杆ＡＢ的正上方，ＡＢ在灯光下的影子ＣＤ也呈水平状态．ＡＢ＝４m ，ＣＤ＝１２m ，点Ｐ到ＣＤ的距离是３.９m ，则ＡＢ与ＣＤ间的距离是 ＊ m ．图5A B C 30°图4 P B C DA 图6三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）１７．（本小题满分９分）解下列不等式组，并把其解集在所给的数轴（图7）上表示出来：431630x x ->⎧⎨-≤⎩ １８．（本小题满分９分）如图8，点Ｅ、Ｆ分别为ＡＢＣＤ一组对边ＡＤ、ＢＣ的中点． 求证：△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ１９．（本小题满分１０分）我区很多学校开展了大课间活动．某校初三（１）班抽查了１０名同学每分钟仰卧起坐的次数，数据如下（单位：次）：５１,６９,６４,５２,６４,７２,４８,５２,７６,５２．（１）这组数据的众数为 ；求这组数据的中位数；（２）在对初三（２）班１０名同学每分钟仰卧起坐次数的抽查中，已知这组数据的平均数正好与初三（１）班上述数据的平均数相同，且除众数（唯一）之外的６个数之和为３４８．求这组数据的众数．２０．（本小题满分１０分）把分别写有１、２、３、４数字的四张卡片（卡片除数字外其他完全一样）搅匀后放在一个不透明的袋子中，先抽出一张记下数字后，放回袋中搅匀后再抽出一张．（１）请用树形图或列表把所有可能表示出来；（２）若把第一次抽出的数字记为十位数，第二次抽出的数字记为个位数，求组成的两位数是３的倍数的概率．２１．（本小题满分１２分）如图9，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ． （１）当ＡＢ＝１０，ＣＤ＝６时，求ＯＥ的长；（２）∠ＯＣＤ的平分线交⊙Ｏ于点Ｐ，当点Ｃ在上半圆（不包括Ａ、Ｂ点）上移动时，对于点Ｐ，下面三个结论：①到ＣＤ的距离保持不变；②平分下半圆；③等分DB ． 其中正确的为 ，请予以证明．２２．（本小题满分１２分）某农产品生产基地２００９年的黄豆产量为２５００吨，随着生产技术的提高，２０１０年黄豆产量为２８７５吨． -1 -2 -3 1 32 0 图7 BCD E F 图8A 图9（１）求该生产基地２０１０年黄豆生产的增长率；（２）若２０１２年黄豆产量达４１４０吨，求２０１１、２０１２这两年黄豆生产的平均增长率．２３．（本小题满分１２分）在直角坐标系中，点Ａ的坐标是（３，０），点Ｐ在第一象限内的直线y ＝－x ＋４上．设点Ｐ的坐标为（x ，y ）．（１）在所给直角坐标系（图10）中画出符合已知条件的图形，求△ＰＯＡ的面积Ｓ与自变量x 的函数关系式及x 的取值范围； （２）当Ｓ＝92时，求点Ｐ的位置； （３）若以Ｐ、Ｏ、Ａ、Ｑ为顶点构成平行四边形，请直接写出第四个顶点Ｑ的坐标．２４．（本小题满分１４分）已知关于x 的二次函数y ＝22(21)1x k x k +-+-． （１）若关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两根的平方和等于９，求k的值，并在直角坐标系（图11）中画出函数y ＝22(21)1x k x k +-+-的大致图象； （２）在（１）的条件下，设这个二次函数的图象与x 轴从左至右交于Ａ、Ｂ两点．问函数对称轴右边的图象上，是否存在点Ｍ，使锐角△ＡＭＢ的面积等于３．若存在，请求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由；（３）在（１）、（２）条件下，若Ｐ点是二次函图象上的点，且∠ＰＡＭ＝９０°，求△ＡＰＭ的面积．２５．（本小题满分１４分）在△ＡＢＣ中，ＡＢ边的垂直平分线交直线ＢＣ于点Ｄ，垂足为点Ｆ，ＡＣ边的垂直平分线交直线ＢＣ于点Ｅ，垂足为点Ｇ．（１）当∠ＢＡＣ＝１００°（如图12）时，∠ＤＡＥ＝ ＊ °；（２）当∠ＢＡＣ为一任意角时，猜想∠ＤＡＥ与∠ＢＡＣ的关系，并证明你的猜想．CE F G 图12 A 图10 OＯ yx 1 1 图11参考答案及评分建议（2011一模）三、解答题１７．（本小题满分９分）解：431 (1)630 (2)x x ->⎧⎨-≤⎩解(1)得 x ＞１，…………………………………………………………３分 解(2)得 x ≥２，…………………………………………………………６分 ∴不等式组的解集为：x ≥２，…………………………………………８分 数轴表示为：１８．（本小题满分９分）证法一：∵ＡＢＣＤ为平行四边形，∴∠Ｂ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ．……………………………３分∵Ｅ、Ｆ分别为ＡＤ、ＢＣ的中点，∴ＥＤ＝12ＡＤ，ＢＦ＝12ＢＣ，………………………………………５分 而ＡＤ＝ＣＢ，∴ＥＤ＝ＦＢ．…………………………………………６分在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中，∵AB CD B D BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，……………………………………………………………８分 ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＳＡＳ）．………………………………………９分 1 2 3 3 图1 …………９分证法二：∵ＡＢＣＤ为平行四边形，∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ且ＡＤ∥ＢＣ．………………………………２分∵Ｅ、Ｆ分别为ＡＤ、ＢＣ的中点， ∴ＡＥ＝ＥＤ＝12ＡＤ，ＣＦ＝ＦＢ＝12ＢＣ，…………………………４分 ∴ＡＥ＝ＣＦ．即ＡＥ∥ＣＦ且ＡＥ＝ＣＦ，……………………………５分 ∴ＡＦＣＥ为平行四边形，…………………………………………………６分 ∴ＡＦ＝ＣＥ．………………………………………………………………７分在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中，∵AB CD BF DE AF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，………………………………………………………………８分 ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＳＳＳ）．…………………………………………９分１９．（本小题满分１０分）解：（１） ５２ ；…………………………………………………………１分这组数据从小到大重新排列为：４８,５１,５２,５２,５２,６４,６４,６９,７２,７６．……………………２分 ∵居中的两个数分别为：５２和６４，……………………………………３分（５２＋６４）÷２＝５８，∴这组数据的中位数为５８；………………………………………………５分（２）三（１）数据的平均数为：x ＝110（48＋51＋52＋52＋52＋64＋64＋69＋72＋76）＝６０．………６分 设三（２）班数据的众数为x ，………………………………………………７分 由题意得：４x ＋３４８＝１０×６０，……………………………………９分解得x ＝６３， ∴这组数据的众数为６３．…………………………………………………１０分２０．（本小题满分１０分）解：（１）树形图如下：列表如下： 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 ……４分（注：树形图或列表二者取其一）（２）按题意，组成的两位数分别为：11、12、13、14、21、22、23、24、31、32、33、34、41、42、43、44共16个．…………………………………………６分这其中是３的倍数的分别为：12、21、24、33、42这5个．………………………………………………８分所以符合条件的概率为：Ｐ＝516．……………………………………１０分２１．（本小题满分１２分）解（１）∵直径ＡＢ⊥弦ＣＤ，∴ＡＢ平分弦ＣＤ，即ＣＥ＝12ＣＤ＝３．………………………………２分在Ｒt△ＯＣＥ中，由勾股定理，（２）②，………………………………………………………………６分证明：连结ＯＰ（如图２）．………………………………………………７分∵ＯＣ＝ＯＰ，∴∠２＝∠３，……………………………………………８分又∵∠１＝∠２，∴∠１＝∠３，∴ＣＤ∥ＯＰ．………………………………………………………………９分∵ＣＤ⊥ＡＢ，∴ＯＰ⊥ＡＢ，…………………………………………１０分∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ＝９０°，∴AP＝BP，……………………１２分即点Ｐ平分下半圆．P图2……………………………４分２２．（本小题满分１２分）解：（１）（２８７５－２５００）÷２５００………………………………２分＝０.１５＝１５％．即２０１０年黄豆生产的增长率为１５％；…………………………………３分 （２）设这两年的平均增长率为x ，…………………………………………４分 则有：２８７５2(1)x +＝４１４０，………………………………………９分 2(1)x +＝１.４４，１＋x ＝±１.２x １＝０.２，x ２＝－２.２（不合题意，舍去），∴x ＝０.２＝２０％，…………………………………………………………１１分 即２０１１、２０１２这两年黄豆生产的平均增长率为２０％．…………１２分２３．（本小题满分１２分）解：（１）如下图；Ｓ＝12ＯＡ·y …………………………………………………………………４分 ＝12×３·y ＝32y ＝32（－x ＋４）＝－32x ＋６， 即Ｓ＝－32x ＋６，……………………………………………………………６分……………………２分自变量x的取值范围为：０＜x＜４；………………………………………７分（２）∵Ｓ＝－32x＋６，当Ｓ＝92时，得－32x＋６＝92，……………………………………………………………８分解得x＝１，y＝－x＋４＝３∴点Ｐ的坐标为（１，３）…………………………………………………９分［或∵Ｓ＝32y，∴当Ｓ＝92时，得32y＝92，∴y＝３，∴－x＋４＝３，得x＝１，∴点Ｐ的坐标为（１，３）］（３）第四个顶点Ｑ的坐标为：Ｑ（x＋３，y）…………………………１０分或Ｑ（x－３，y）……………………………………………………………１１分或Ｑ（３－x，－y）．………………………………………………………１２分图示如下：其中Ｑ（x＋３，y）为图１；Ｑ（x－３，y）为图２与图３；Ｑ（３－x，－y）为图４与图５．图1 图2２４．（本小题满分１４分）解：（１）∵所给一元二次方程有解，∴根的判别式⊿≥０，………………１分 即22(21)4(1)k k ---≥０，解得k ≤54；…………………………………２分 设方程的两个根分别为x １、x ２，………………………………………………３分则2212x x +＝９，即21212()2x x x x +-＝９，………………………………４分 又x １＋x ２＝－（２k －１），x １·x ２＝21k -，………………………………５分分别代入上式，解得k １＝－１或k ２＝３，∵k ≤54，∴k ＝－１．…………………………………………………………６分 代入函数式中，得y ＝23x x -，………………………………………………７分配方可得y ＝239()24x --， 图5即抛物线的对称轴为x ＝32，顶点坐标为Ｄ（32，－94）， 大致图象如下（见下图）；（２）由（１），令y ＝０，得23x x -＝０，解得x １＝０,x ２＝３，∴Ａ（０，０），Ｂ（３，０）．这样的点存在．…………………………………………………………………９分其坐标为Ｍ（２，－２）．……………………………………………………１０分设Ｍ（x m ，y m ），而△ＡＭＢ是锐角三角形，故32＜x m ＜３， ∴y m ＜０．故有Ｓ△ＡＭＢ＝12m AB y ⋅⋅＝132m y ⋅⋅＝３， ∴m y ＝２，y m ＝±２，舍去正值，∴y m ＝－２，当y m ＝－２时，23m m x x -＝－２，解得x m ＝１或x m ＝２， ∵32＜x m ＜３，∴x m ＝１舍去，而32＜２＜３， ∴x m ＝２满足条件，……………………………………………………………１１分∴这样的点存在，其坐标为Ｍ（２，－２）；（３）∵Ｍ（２，－２），∴∠ＭＡＢ＝４５°，∴∠ＢＡＰ＝４５°，∴ＡＰ所在直线的解析式为：y ＝x ，∵Ｐ也在抛物线上，∴23x x x -=，解得x １＝０（舍去），x ２＝４，此时y ＝４，∴Ｐ（４，４）， Ｏ y x1 1 A B D ……………………８分∴Ｓ△ＡＭＰ＝12⋅＝８．２５．（本小题满分１４分）解：（１）２０°；………………………………………………………………２分 （２）∠ＤＡＥ＝２90BAC ︒-∠……………………………………………４分或∠ＤＡＥ＝２∠ＢＡＣ．…………………………………………………５分即当∠ＢＡＣ≥９０°时，∠ＤＡＥ＝２（∠ＢＡＣ－９０°）；当∠ＢＡＣ＜９０°且∠Ｂ及∠Ｃ均为锐角时，∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）；当∠ＢＡＣ＜９０°且∠Ｂ、∠Ｃ两者之一为钝角时，∠ＤＡＥ＝２∠ＢＡＣ．证明：一、①当∠ＢＡＣ＞９０°时，如图１，∵∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°，∠Ｂ＋∠１＋∠２＋∠３＋∠Ｃ＝１８０° （＊），∵ＤＦ垂直平分ＡＢ，∴ＤＢ＝ＤＡ，∴∠Ｂ＝∠１．同理得∠Ｃ＝∠３，代入（＊）式，得：２∠Ｂ＋∠２＋２∠Ｃ＝１８０°，∠２＝１８０°－２（∠Ｂ＋∠Ｃ）＝１８０°－２（１８０°－∠ＢＡＣ）＝２（∠ＢＡＣ－９０°），即∠ＤＡＥ＝２（∠ＢＡＣ－９０°）；②当∠ＢＡＣ＝９０°时，如图２，此时，点Ｄ、Ｅ重合，即 C E F G 图1A 1 2 3 ……………………７分Ｏ y x 1 1 P M(2,-2)B A ……………………………１４分∠ＤＡＥ＝０°，而∠ＢＡＣ－９０°＝０°，∴∠ＤＡＥ＝２（∠ＢＡＣ－９０°）；二、当∠ＢＡＣ＜９０°且∠Ｂ及∠Ｃ均为锐角时，①点Ｄ、Ｅ均在线段ＢＣ上，如图３，∵∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°，即∠Ｂ＋∠１＋∠２＋∠３＋∠Ｃ＝１８０°，∵ＤＦ垂直平分ＡＢ，∴ＤＢ＝ＤＡ，∴∠Ｂ＝∠１＋∠２，∴∠１＝∠Ｂ－∠２，同理得∠３＝∠Ｃ－∠２，代入上式，得∠Ｂ＋（∠Ｂ－∠２）＋∠２＋（∠Ｃ－∠２）＋∠Ｃ＝１８０°，整理得∠２＝２（∠Ｂ＋∠Ｃ－９０°）＝２（１８０°－∠ＢＡＣ－９０°）＝２（∠ＢＡＣ－９０°），即∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）；②当点Ｄ在线段ＢＣ上，点Ｅ在线段ＣＢ的延长线上（如图４）时，∵ＥＧ垂直平分ＡＣ，∴ＥＣ＝ＥＡ，∠Ｃ＝∠ＥＡＣ，即∠Ｃ＝∠１＋∠２＋∠３，两边都加∠２，得∠Ｃ＋∠２＝∠１＋∠２＋∠３＋∠２，而ＤＡ＝ＤＢ，∴∠２＝∠ＡＢＣ，上式即为∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＝∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＢＣ＋∠Ｃ－∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＢＡＣ－∠ＢＡＣ＝２（９０°－∠ＢＡＣ），即∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）；③当点Ｅ在线段ＢＣ上，点Ｄ在线段ＢＣ的延长线上（如图５）时，∵ＤＦ垂直平分ＡＢ，∴ＤＢ＝ＤＡ，∠Ｂ＝∠ＢＡＤ，即∠Ｂ＝∠１＋∠２＋∠３，两边都加∠２，得∠Ｂ＋∠２＝∠１＋∠２＋∠３＋∠２，而ＥＡ＝ＥＣ，∴∠２＝∠ＡＣＥ，上式即为∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠Ｂ＋∠ＡＣＢ－∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＢＡＣ－∠ＢＡＣ＝２（９０°－∠ＢＡＣ），即∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）；B A图2D(E)F CG E G F D C B A 2 1 3 图5321G F E D C B A 图3E GF D CB A 2 1 3 图4 ……………………８分…………………１０分④当点Ｄ、Ｅ分别在线段ＢＣ的延长线和反向延长线上（如图６）时，∠２＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°，等式两边都加上∠１＋∠２＋∠３，得（∠１＋∠２＋∠３）＋∠２＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°＋（∠１＋∠２＋∠３），由∠１＋∠２＝∠ＡＣＢ，∠２＋∠３＝∠ＡＢＣ，∠１＋∠２＋∠３＝∠ＤＡＥ，得２（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°＋∠ＤＡＥ，整理得∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）；⑤当点Ｄ与点Ｃ重合（如图７）时，∠ＤＡＥ＝∠１＋∠２，两边都加上∠２，得∠ＤＡＥ＋∠２＝∠１＋∠２＋∠２，由∠２＝∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ，∠１＋∠２＝∠ＢＣＡ，得∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＢＣ，∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＢＡＣ，得∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）；⑥当点Ｅ与点Ｂ重合（如图８）时，∠ＤＡＥ＝∠１＋∠２，两边都加上∠１，得∠ＤＡＥ＋∠１＝∠１＋∠２＋∠１，由∠１＝∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ，∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ，得∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＢＣ，∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＢＡＣ，得∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）；21图7 GC(D)EFBA21图8ADCB(E)GF213图6GEFDCBA⑦当点Ｄ与Ｃ重合，点Ｅ与Ｂ重合时，如图９，由已知条件得ＢＡ＝ＢＣ，ＣＡ＝ＣＢ，从而△ＡＢＣ为等边三角形，∠ＤＡＥ＝∠Ａ＝６０°＝２（９０°－６０°）＝２（９０°－∠Ａ），即∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）；三、当∠ＢＡＣ＜９０°且∠Ｂ或∠Ｃ之一为钝角时，①设∠ＡＣＢ为钝角，如图１０，∵ＥＧ垂直平分ＡＣ，∴ＥＡ＝ＥＣ，∴∠ＡＣＥ＝∠３，又∵∠ＡＣＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝∠Ｂ＋∠１＋∠２，即∠３＝∠Ｂ＋∠１＋∠２，两边都加上∠２，∠３＋∠２＝∠Ｂ＋∠１＋∠２＋∠２，∵∠３＋∠２＝∠ＤＡＥ，∠１＋∠２＝∠ＢＡＣ，∠１＝∠Ｂ,代入得:∠ＤＡＥ＝∠１＋∠１＋∠２＋∠２＝２（∠１＋∠２）＝２∠ＢＡＣ，即∠ＤＡＥ＝２∠ＢＡＣ；②当点Ｄ与点Ｃ重合（∠ＡＣＢ为钝角）时，如图１１，∵ＥＡ＝ＥＣ，∴∠２＝∠ＡＣＥ，∵∠ＡＣＥ＝∠１＋∠Ｂ＝２∠１，即∠ＤＡＥ＝２∠ＢＡＣ；③当∠ＡＢＣ为钝角时，如图１２，∵∠１＝∠ＡＢＤ，而∠ＡＢＤ＝∠２＋∠３＋∠Ｃ，∴∠１＝∠２＋∠３＋∠Ｃ，两边都加∠２，得∠１＋∠２＝∠２＋∠３＋∠Ｃ＋∠２，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝２∠ＢＡＣ；④当点Ｅ与点Ｂ重合（∠ＡＢＣ为钝角）时，如图１３，∵ＤＡ＝ＤＢ，∴∠１＝∠ＡＢＤ，∵∠ＡＢＤ＝∠２＋∠Ｃ＝２∠２，即∠ＤＡＥ＝２∠ＢＡＣ；GF C (D)B (E)A 图9 图10 E DC B G F A 1 2 3 1 2 3 E DC B G F A 图11 1 2 F C (D)E B G A 1 2D CB (E)FGA ………………１２分综上所述，得∠ＤＡＥ＝２（∠ＢＡＣ－９０°）或∠ＤＡＥ＝２（９０°－∠ＢＡＣ）或∠ＤＡＥ＝２∠ＢＡＣ，即∠ＤＡＥ＝２90BAC 或∠ＤＡＥ＝２∠ＢＡＣ．……………………１４分卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。