八年级数学-勾股定理-经典单元测试题(含答案)

《勾股定理》单元检测题一．选择题1．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25 2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．，，2D．9，12，15 3．如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52B．a＝9，b＝12，c＝15C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则AB的长度为（）A．7 B．8 C．9 D．106．小明想知道学校旗杆（垂直地面）的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）A．6m B．8m C．10m D．12m7．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则SRt△ADC +SRt△BCE为（）A ．16B ．32C ．160D ．1288．如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S 1，S 2，S 3，S 4和S 分别代表相应的正方形的面积，且S 1＝4，S 2＝9，S 3＝8，S 4＝10，则S 等于（ ）A ．25B ．31C ．32D ．409．如图，分别以Rt △ABC 的三边为边长向外作等边三角形，若AB ＝4，则三个等边三角形的面积之和是（ ）A ．B ．6C ．18D ．1210．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm二．填空题11．在直角三角形中若勾为3，弦为5，则股为．12．如图，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝9，S2＝16，则S3＝．13．如图是学校艺术馆中的柱子，高 4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要m．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝2，则BC＝．15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为．16．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是．三．解答题17．求知中学有一块四边形的空地ABC D，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要250元，问学校需要投入多少资金买草皮？18．甲、乙两人同时从P地出发步行分别沿两个不同方向散步，甲以3km/h的速度沿正北方向前行；乙以4km/h的速度沿正东方向前行．（1）过t个小时后他俩的距离是多少？（2）经过多少时间，他俩的距离是15km？19．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，（1）求斜边AB 的长；（2）计算Rt △ABC 的面积．20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下 如图（1）∠DAB ＝90°，求证：a 2+b 2＝c 2证明：连接DB ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，则DF ＝b ﹣aS 四边形ADCB ＝S △ADC +S △ABC ＝﹣b 2+abS 四边形ADCB ＝S △ADB +S △BCD ＝c 2+a （b ﹣a ）∴b 2+ab ＝c 2+a （b ﹣a ）化简得：a 2+b 2＝c 2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB ＝90°，求证：a 2+b 2＝c 221．如图，一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC＝3米．（1）求BC的长；（2）梯子滑动后停在DE的位置，当AE为多少时，AE与BD相等？22．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．参考答案一．选择题1．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故选项错误；B、52+72≠92，不能构成直角三角形，故选项正确；C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故选项错误；D、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故选项错误．故选：B．2．解：A、1.52+22≠32，故不能组成直角三角形，故选项正确；B、72+242＝252，故能组成直角三角形，故选项错误；C、（）2+（）2＝（2）2，故能组成直角三角形，故选项错误；D、92+122＝152，故能组成直角三角形，故选项错误．故选：A．3．解：∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB2＝100，BD2＝36，∴AD2＝100﹣36＝64，∴AD＝8，∴以AD为直径的半圆的面积是π（A D）2＝πAD2＝8π．故选：B．4．解：A、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故选项正确；B、∵92+122＝152，∴能构成直角三角形，故选项错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠A＝90°，∴能构成直角三角形，故选项错误；D、∵∠C﹣∠B＝∠A，∴∠C＝∠B+∠A，∴最大角∠C＝90°，∴能构成直角三角形，故选项错误．故选：A．5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，故选：D．6．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2∴x 2+52＝（x +1）2解得x ＝12∴AB ＝12∴旗杆的高12m ．故选：D ．7．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝16，∴AC 2+BC 2＝256，∵∠DAC ＝∠ECB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，∴AD ＝AC ，BC ＝CE ，∴S Rt △ADC +S Rt △BCE ＝256×＝128．故选：D ．8．解：如图，由题意得：AB 2＝S 1+S 2＝13，AC 2＝S 3+S 4＝18，∴BC 2＝AB 2+AC 2＝31，∴S ＝BC 2＝31．故选：B ．9．解：∵如图，分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个等边三角形，ACD 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，△ABF 的面积为S 3，∴S 3＝c 2，S 2＝a 2，S 1＝b 2，又∵△ABC 是直角三角形，∴a 2+b 2＝c 2，∴S1+S2＝S3．∴S1+S2+S3＝2S3＝2××42＝8．故选：A．10．解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE＝BC＝×24＝12cm，EF＝18﹣1﹣1＝16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选：C．二．填空题11．解：由勾股定理得：＝4；故答案为：4．12．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴S3＝S1+S2＝9+16＝25，故答案为：25．13．解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长∵圆柱高4.5米，底面周长2米x2＝（2×3）2+4.52＝56.25所以，x＝7.5花带长至少是7.5m．故答案为：7.5．14．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝2，在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝4，∴BC＝CD+BD＝6，故答案为：6．15．解：如图所示：∵（a+b）2＝21，∴a2+2ab+b2＝21，∵大正方形的面积为13，2ab＝21﹣13＝8，∴小正方形的面积为13﹣8＝5，故答案为：516．解：如图所示，∵PB＝AB＝6，AQ＝2，∴BQ＝6+2＝8，∴PQ ＝＝10．答：蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10三．解答题17．解：连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2+AD 2＝32+42＝52，在△CBD 中，CD 2＝132，BC 2＝122，而122+52＝132，即BC 2+BD 2＝CD 2，∴∠DBC ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △BAD +S △DBC ＝•AD •AB +DB •BC ，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用36×250＝9000（元），答：学校需要投入9000元资金买草皮．18．解：（1）∵甲以3km /h 的速度沿正北方向前行；乙以4km /h 的速度沿正东方向前行， ∴两人行驶的路线围成一个直角三角形，∴过t 个小时后他俩的距离是：＝5t （km ），答：过t 个小时后他俩的距离是5tkm ；（2）由题意可得：5t ＝15，解得：t ＝3，答：经过3小时，他俩的距离是15km ．19．解：（1）S △ABC ＝BC •AC ＝×5×12＝30；（2）AB ＝＝＝13．20．证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b ﹣a ，∵S 五边形ACBED ＝S △ACB +S △ABE +S △ADE ＝ab +b 2+ab ，又∵S 五边形ACBED ＝S △ACB +S △ABD +S △BDE ＝ab +c 2+a （b ﹣a ），∴ab +b 2+ab ＝ab +c 2+a （b ﹣a ），∴a 2+b 2＝c 2．21．解：（1）∵一架长5米的梯子AB ，顶端B 靠在墙上，梯子底端A 到墙的距离AC ＝3米，∴BC ＝＝4（m ），答：BC 的长为4m ；（2）当BD ＝AE ，则设AE ＝x ，故（4﹣x ）2+（3+x ）2＝25解得：x 1＝1，x 2＝0（舍去），故AE ＝1m ．22．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则线段CD 为新建公路．∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．＝•AC•BC＝AB•CD，∵S△ABC∴×6×8＝×10×CD，∴CD＝4.8km ∴新建路的长为4.8km．。

⼋年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）⼋年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）⼀、选择题(共10⼩题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三⾓形为()A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.纯⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形3.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形⽹格中，点A、B都是格点(即⽹格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.44.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成.记图中正⽅形ABCD，正⽅形EFGH，正⽅形MNKT的⾯积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.75.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直⾓三⾓形，四边形ABCD和EFGH都是正⽅形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.156.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有⼀题：“今有开门去阃(kǔn)⼀尺，不合⼆⼨，问门⼴⼏何.”⼤意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10⼨)，双门间的缝隙CD为2⼨，那么门的宽度(两扇门的和)AB 为()A.100⼨B.101⼨C.102⼨D.103⼨7.2019年10⽉1⽇，中华⼈民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举⾏了简朴⽽降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，⽬送着五星红旗级缓升起，不禁⼼潮澎湃，爱国之情油然⽽⽣.爱动脑筋的王梓涵设计了⼀个⽅案来测量学校旗杆的⾼度.将升旗的绳⼦拉直到末端刚好接触地⾯，测得此时绳⼦末端距旗杆底端2⽶，然后将绳⼦末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳⼦末端距离地⾯⾼度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的⾼度为()A.10mB.11mC.12mD.13m8.如图，笑笑将⼀张A4纸(A4纸的尺⼨为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了⼀个⾓，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240⽶.如果⽕车⾏驶时，周围200⽶以内会受到噪⾳的影响.那么⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶时，A处受噪⾳影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒10.如图，⼩明(视为⼩⿊点)站在⼀个⾼为10⽶的⾼台A上，利⽤旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与⾼台A⽔平距离为17⽶，⾼为3⽶的矮台B.那么⼩明在荡绳索的过程中离地⾯的最低点的⾼度MN是()A.2⽶B.2.2⽶C.2.5⽶D.2.7⽶⼆、填空题(共8⼩题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝.12.直⾓三⾓形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝.14.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了⼀幅“勾股弦⽅图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦⽅图”中，以弦为边长得到的正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，这⼀图形被称作“赵爽弦图”张天同学要⽤细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，则所⽤细塑料棒的长度为.15.已知三⾓形三边长分别为5，12，13，则此三⾓形的最⼤边上的⾼等于.16.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，则∠PAB+∠PBA＝°(点A，B，P是⽹格线交点).17.勘测队按实际需要构建了平⾯直⾓坐标系，并标⽰了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为km；(2)计划修⼀条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建⼀个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.18.如图，在离⽔⾯⾼度为8⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，开始时绳⼦BC的长为17⽶，此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了⽶.(假设绳⼦是直的)三、解答题(共4⼩题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.20.如图，将直⾓三⾓形分割成⼀个正⽅形和两对全等的直⾓三⾓形，直⾓三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正⽅形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)⼩明发明了求正⽅形边长的⽅法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)⼩亮也发现了另⼀种求正⽅形边长的⽅法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据⼩亮的思路完成他的求利⽤S△ABC解过程：(3)请结合⼩明和⼩亮得到的结论验证勾股定理.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采⽤了移动宣讲的形式进⾏宣传动员.如图，笔直公路MN的⼀侧点A处有⼀村庄，村庄A到公路MN的距离为600⽶，假使宣讲车P周围1000⽶以内能听到⼴播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN⽅向⾏驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200⽶/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？22.有⼀架秋千，当它静⽌时，踏板离地的垂直⾼度DE＝1m，将它往前推送6m(⽔平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直⾼度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.参考答案⼀、选择题(共10⼩题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满⾜两⼩边的平⽅和等于最长边的平⽅.【解答】解：A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误.故选：A.2.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三⾓形为()A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.纯⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直⾓三⾓形，故选：B.3.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形⽹格中，点A、B都是格点(即⽹格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.4【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B.4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成.记图中正⽅形ABCD，正⽅形EFGH，正⽅形MNKT的⾯积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.7【分析】根据正⽅形的⾯积和勾股定理即可求解.【解答】解：设全等的直⾓三⾓形的两条直⾓边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝(a+b)2，S2＝a2+b2，S3＝(a﹣b)2，因为S1+S2+S3＝21，即(a+b)2+a2+b2+(a﹣b)2＝213(a2+b2)＝21，所以3S2＝21，S2的值是7.故选：D.5.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直⾓三⾓形，四边形ABCD和EFGH都是正⽅形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.15【分析】在直⾓三⾓形AHB中，利⽤勾股定理进⾏解答即可.【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正⽅形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直⾓三⾓形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20.故选：C.6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有⼀题：“今有开门去阃(kǔn)⼀尺，不合⼆⼨，问门⼴⼏何.”⼤意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10⼨)，双门间的缝隙CD为2⼨，那么门的宽度(两扇门的和)AB 为()A.100⼨B.101⼨C.102⼨D.103⼨【分析】画出直⾓三⾓形，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1.在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即(r﹣1)2+102＝r2，解得2r＝101.故门的宽度(两扇门的和)AB为101⼨.故选：B.7.2019年10⽉1⽇，中华⼈民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举⾏了简朴⽽降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，⽬送着五星红旗级缓升起，不禁⼼潮澎湃，爱国之情油然⽽⽣.爱动脑筋的王梓涵设计了⼀个⽅案来测量学校旗杆的⾼度.将升旗的绳⼦拉直到末端刚好接触地⾯，测得此时绳⼦末端距旗杆底端2⽶，然后将绳⼦末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳⼦末端距离地⾯⾼度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的⾼度为()A.10mB.11mC.12mD.13m【分析】根据题意画出⽰意图，设旗杆⾼度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m，在Rt△ABC中利⽤勾股定理可求出x.【解答】解：设旗杆⾼度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平⽅＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平⽅＝(x﹣1)2+52，∴x2+22＝(x﹣1)2+52，解得x＝11.故选：B.8.如图，笑笑将⼀张A4纸(A4纸的尺⼨为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了⼀个⾓，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直⾓三⾓形解答.【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直⾓三⾓形，运⽤勾股定理得：EF2＝(210﹣90)2+(297﹣137)2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200.则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为200mm.故选：D.9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240⽶.如果⽕车⾏驶时，周围200⽶以内会受到噪⾳的影响.那么⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶时，A处受噪⾳影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒【分析】过点A作AC⊥ON，利⽤锐⾓三⾓函数的定义求出AC的长与200m相⽐较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪⾳影响的时间.【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200⽶，∵∠QON＝30°，OA＝240⽶，∴AC＝120⽶，当⽕车到B点时对A处产⽣噪⾳影响，此时AB＝200⽶，∵AB＝200⽶，AC＝120⽶，∴由勾股定理得：BC＝160⽶，CD＝160⽶，即BD＝320⽶，∵⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶，∴影响时间应是：320÷10＝32秒.故选：A.10.如图，⼩明(视为⼩⿊点)站在⼀个⾼为10⽶的⾼台A上，利⽤旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与⾼台A⽔平距离为17⽶，⾼为3⽶的矮台B.那么⼩明在荡绳索的过程中离地⾯的最低点的⾼度MN是()A.2⽶B.2.2⽶C.2.5⽶D.2.7⽶【分析】⾸先得出△AOE≌△OBF(AAS)，得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF ＝CD＝17⽶，得出EF＝EM﹣FM ＝AC﹣BD＝7⽶，求出BF＝OE＝5⽶，OF＝12⽶，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12⽶，OM＝OF+FM＝15⽶，由勾股定理求出ON＝OA＝13⽶，进⽽求出MN的长即可.【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所⽰：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17(⽶)∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(⽶)，∵OE+OF＝2EO+EF＝17⽶，∴2OE＝17﹣7＝10(⽶)，∴BF＝OE＝5⽶，OF＝12⽶，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12(⽶)，OM＝OF+FM＝12+3＝15(⽶)，由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13(⽶)，∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2(⽶).故选：A.⼆、填空题(共8⼩题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9.【分析】设BC＝3x，AC＝4x，⼜其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案.【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，⼜其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3(舍去)，∴BC＝3x＝9.故答案为：9.12.直⾓三⾓形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为5或.【分析】根据勾股定理分两种情况解答，⼀是把两边长都看作直⾓边，⼆是把4cm长边看作斜边，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)若把两边都看作是直⾓边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm，则：x2＝32+42＝25，∴x＝5；(2)若把4cm长的边看作斜边，设第三边长为xcm，则：x2+32＝42，x2＝42﹣32＝7，∴x＝.故答案为：5或.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝9.【分析】由三⾓形ABC为直⾓三⾓形，利⽤勾股定理列出关系式，结合正⽅形⾯积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值.【解答】解：∵△ABC为直⾓三⾓形，∴AB2＝AC2+BC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，∴S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，故答案为：914.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了⼀幅“勾股弦⽅图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦⽅图”中，以弦为边长得到的正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，这⼀图形被称作“赵爽弦图”张天同学要⽤细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，则所⽤细塑料棒的长度为100.【分析】根据正⽅形的⾯积可得两个正⽅形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直⾓三⾓形的两条直⾓边长，进⽽求解.【解答】解：∵正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+(AE﹣7)2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所⽤细塑料棒的长度为：4(AB+AE)＝4(13+12)＝100.故答案为100.15.已知三⾓形三边长分别为5，12，13，则此三⾓形的最⼤边上的⾼等于.【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直⾓三⾓形，利⽤它的⾯积：斜边×⾼÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的⾼.【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直⾓三⾓形，最长边是13，设斜边上的⾼为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为.16.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，则∠PAB+∠PBA＝45°(点A，B，P是⽹格线交点).【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三⾓形外⾓的性质即可得到结论.【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45.17.勘测队按实际需要构建了平⾯直⾓坐标系，并标⽰了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修⼀条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建⼀个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣(﹣8)＝20；(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由(1)可知：CE＝1﹣(﹣17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝(18﹣x)2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：(1)20；(2)13；18.如图，在离⽔⾯⾼度为8⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，开始时绳⼦BC的长为17⽶，此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了9⽶.(假设绳⼦是直的)【分析】在Rt△ABC中，利⽤勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利⽤勾股定理计算出AD长，再利⽤BD ＝AB﹣AD可得BD长.【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17⽶，AC＝8⽶，∴AB＝＝＝15(⽶)，∵此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10(⽶)，∴AD＝＝＝6(⽶)，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9(⽶)，答：船向岸边移动了9⽶.故答案为：9.三、解答题(共4⼩题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.【分析】(1)根据等腰直⾓三⾓形的性质解答；(2)作PF⊥AC于F，根据⾓平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；(2)作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝.20.如图，将直⾓三⾓形分割成⼀个正⽅形和两对全等的直⾓三⾓形，直⾓三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正⽅形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)⼩明发明了求正⽅形边长的⽅法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)⼩亮也发现了另⼀种求正⽅形边长的⽅法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据⼩亮的思路完成他的求利⽤S△ABC解过程：(3)请结合⼩明和⼩亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三⾓形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据⼤三⾓形的⾯积等于三个⼩三⾓形的⾯积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进⾏推导即可得结论.＝S△ABI+S△BIC+S△AIC【解答】解：(2)因为S△ABC＝cx+ax+bx所以x＝.答：x与a、b、c的关系为x＝.(3)根据(1)和(2)得：x＝＝.即2ab＝(a+b+c)(a+b﹣c)化简得a2+b2＝c2.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采⽤了移动宣讲的形式进⾏宣传动员.如图，笔直公路MN的⼀侧点A处有⼀村庄，村庄A到公路MN的距离为600⽶，假使宣讲车P周围1000⽶以内能听到⼴播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN⽅向⾏驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200⽶/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为600⽶＜1000⽶，于是得到结论；(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝800⽶，求得PQ＝1600⽶，于是得到结论.【解答】解：(1)村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600⽶＜1000⽶，∴村庄能听到宣传；(2)如图：假设当宣讲车⾏驶到P点开始影响村庄，⾏驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000⽶，AB＝600⽶，∴BP＝BQ＝⽶，∴PQ＝1600⽶，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传.22.有⼀架秋千，当它静⽌时，踏板离地的垂直⾼度DE＝1m，将它往前推送6m(⽔平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直⾼度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD。

八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)一、单选题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√10，则BC的长为()A. 3√3B. √5+1C. √10−1D. √10+12.下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是()A. 1，√3，2B. 2，3，4C. 4，5，6D. 5，6，73.如图，在ΔABC中，三边a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<a<c4.下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是()A. 3，5，7B. 5，7，8C. 4，6，7D. 1，√3，2，则AC的长为()5.如图，点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，若BC=2√133A. √13B. 4√13C. 2√13D. 3√1336.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=√2，则线段BN的长为()B. √2C. 1D. 2−√2A. √227.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，则原点到直线AB的距离是()A. 2B. 2.4C. 2.5D. 38.等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是()A. 3√7B. 8√2C. 6√7D. 3√7或8√29.如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()A. √61B. 11C. 7D. 810.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，则这个三角形的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、填空题11.如图，直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为_______________.12.已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2=_______________.13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC的长是 ______.14.如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，已知：AB =15，AD =12，AC =13，CD =5，则BC 的长为 ______.15.如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 ______步路．(假设2步为1米)16.ΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =3.以BC 为边作等边ΔBCD ，连接AD ，则AD 的长为____．17.如图，P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ，若PD =3，则PE 的长是 ______.18.如图，等腰ΔABC 的底边BC =20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF =3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则ΔCDF 周长的最小值为______．三 、解答题19.在数轴上表示下列各数，并用“<”连接.−12，0，√3，√−83，(−1)2.20.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．(1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．(1)线段AB的长是______；(2)在图中画出一条线段EF，使EF的长为√13，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由．22.如图，某工人在两墙AB，CD之间施工(两墙与地面垂直)，架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点O.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.BE平分∠ABC交AC于点E.求CE的长．24.如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．25.请阅读下列材料：已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE= 45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．参考答案与解析1.【答案】D;【解析】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√10−9=1，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD=√10，∴BC=√10+1.故选：D.由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长．此题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解答该题的关键．2.【答案】A;【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．此题主要考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答该题的关键．3.【答案】D;【解析】解：根据勾股定理，得a=√1+9=√10；b=√1+4=√5；c=√4+9=√13.∵5<10<13，∴b<a<c.故选：D.先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．此题主要考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．4.【答案】D;【解析】解：A、因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；D、因为12+(√3)2=22，能构成直角三角形，此选项正确．故选D.分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．5.【答案】B;【解析】解：∵点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，∴AB=√62+42=2√13，∵BC=2√133，∴AC=AB−BC=2√13−2√133=4√133，即AC的长为4√133，故选：B.由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB的长是解答该题的关键．6.【答案】C;【解析】解：过M点作MH⊥AC于H点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠HAM=45°．∴ΔHAM是等腰直角三角形，∴HM=√22AM=1．∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，∴BM=HM=1，∠ACM=∠BCN．∵∠BMN=45°+∠ACM，∠BNM=45°+∠BCM，∴∠BMN=∠BNM．∴BN=BM=1．故选：C．过M点作MH⊥AC于H点，在等腰直角ΔHAM中可求HM=√22AM=1，根据角平分线的性质可得BM=MH=1，再证明BN=BM即可．这道题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质，解决这类问题一般会利用到正方形对角线平分90°得到等腰直角三角形，涉及角平分线时作角两边的垂线段是常见辅助线．7.【答案】B;【解析】解：∵点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，ΔAOB是直角三角形，∴O到AB的距离为3×45=125；故选：B．由ΔAOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；该题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解答该题的关键；8.【答案】D;【解析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解答该题的关键．因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为√62−22=4√2，∴等腰三角形的面积=12×4×4√2=8√2；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4>6，∴4、4、6能构成三角形．∴底边上的高为=√42−32=√7，∴等腰三角形的面积=1×√7×6=3√7．2故选D．9.【答案】A;【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得AB2=(3+2)2+62=61；(2)展开前面上面由勾股定理得AB2=(2+6)2+32=73；(3)展开左面上面由勾股定理得AB2=(3+6)2+22=85.所以最短路径的长为AB=√61(cm).故选：A.把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．此题主要考查了平面展开−最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．10.【答案】B;【解析】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，解得：a=3，b=4，c=5，则a2+b2=c2，故这个三角形的形状是直角三角形；故选：B.利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形．11.【答案】24cm2;【解析】略12.【答案】85或13;【解析】略13.【答案】2√7;【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC=√AB2−BC2=√82−62=2√7，故答案为：2√7.根据勾股定理计算即可．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.14.【答案】14;【解析】解：∵AD=12，AC=13，CD=5，∴AC2=169，AD2+CD2=144+25=169，即AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，∴∠ADB=90°，∵AB=15，AD=12，∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，∴BC=BD+CD=9+5=14.故答案为：14.在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．15.【答案】4;【解析】解：由勾股定理，得路长=√32+42=5(m)，少走(3+4−5)×2=4步，故答案为：4.根据勾股定理，可得答案．此题主要考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．16.【答案】3或3√7;【解析】该题考查了勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质是解答的关键.本题分两种情况，①D在AB边上，由直角三角形的性质解答即可；②D在三角形外面，由等边三角形的性质得出三角形ΔBCE和ΔDCA全等的条件，得出ΔBCE≌ΔDCA，推出BE=AD，由勾股定理得出BE，也就得出AD 了．解：分两种情况：①如图所示：D在AB边上，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AD=CD=BC=3；②D在三角形外面，以AC为边做等边ΔACE，连接BE，如图所示：∵ΔBCD和ΔACE是等边三角形，∴BC=DC，CE=CA，∠BCD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠DCA=60°+90°=150°，∴ΔBCE≌ΔDCA，∴BE=AD，∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AB=2BC=6，AC=√AB2−BC2=3√3，∵ΔACE为等边三角形，∴∠CAE=60°，AE=3√3，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，∴BE=√AB2+AE2=√62+(3√3)2=3√7，∴AD=BE=3√7，综上所述，AD=3或3√7．故答案为3或3√7．17.【答案】3;【解析】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD，∵PD=3，∴PE=3.故答案为：3.根据角平分线的性质定理可得答案．此题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．18.【答案】18;【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵1⋅BC⋅AH=120，2∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，∴DF+DC的最小值为13．∴ΔCDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；该题考查轴对称−最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解答该题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：√3≈1.73，√−83=-2，（-1）2=1，在数轴上表示如下：∴√−83＜-12＜0＜（-1）2＜√3．; 【解析】根据实数的符号和绝对值，在数轴上表示即可；依据数轴表示数的特征，右边的数总比左边的大，比较大小．此题主要考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定实数的两个必要条件．20.【答案】（1）证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=12BC=2，由勾股定理得，AD=√AB 2−BD 2=4，∴AD=BC ，即△ABC 是“奇妙三角形”；（2）解：当AC 边上的中线BD 等于AC 时，BC=√BD 2−CD 2=3，当BC 边上的中线AE 等于BC 时，AC 2=AE 2-CE 2，即BC 2-（12BC ）2=（2√3）2， 解得BC=4．综上所述，BC 的长是3或4．;【解析】(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，根据“奇妙三角形”的定义证明；(2)分AC 边上的中线BD 等于AC ，BC 边上的中线AE 等于BC 两种情况，根据勾股定理计算．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.21.【答案】null;【解析】解：(1)线段AB的长是：√12+22=√5；故答案为：√5；(2)如图所示：EF即为所求，AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：∵AB2=(√5)2=5，DC2=8，EF2=13，∴AB2+DC2=EF2，∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．(1)直接利用勾股定理得出AB的长；(2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确结合网格分析是解题关键．22.【答案】解：由题意得：∠DCE=90°，BF=DE=2.5m，CE=0.7m，DF=0.4m，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC=√DE2−CE2=√2．52−0．72=2.4（m），∴CF=DC-DF=2.4-0.4=2（m）在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=√BF2−CF2=√2．52−22=1.5（m），∴BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8（m），答：梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．;【解析】由勾股定理得DC=2.4m，再由勾股定理得BC=1.5m，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理．23.【答案】解：如图，过E作ED⊥AB于D，∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴EC⊥BC，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∴CE=DE，在Rt△BDE和Rt△BCE中，{DE=CEBE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴BD=BC=6，∴AD=AB-BD=10-6=4，设CE=DE=x，则AE=AC-CE=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE的长为3．;【解析】过E作ED⊥AB于D，由勾股定理得AC=8，再证Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，得BD=BC=6，则AD= AB−BD=10−6=4，设CE=DE=x，则AE=AC−CE=8−x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．此题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．24.【答案】解：设杯子的高度是x cm，则筷子的高度为（x+2）cm，∵杯子的直径为12cm，∴DF=6cm，在Rt△DEF中，由勾股定理得：x2+62=（x+2）2，解得x=8，∴筷子EG=8+2=10cm．;【解析】设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为(x+2)cm，在RtΔDEF中，利用勾股定理列出方程：x2+62=(x+ 2)2，解方程即可．此题主要考查了勾股定理的应用，运用方程思想是解答该题的关键，属于常考题．25.【答案】解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，∵∠ABC=45°，∴∠TBC=∠TBD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAT=∠DAE，∵AD=AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT=DE，∵DT2=DB2+EC2，∴DE2=BD2+EC2；（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD=DF，EF=BE．∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．;【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．。

八年级数学下册《第十七章-勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)一 选择题(每小题3分 共30分)1. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. √2 √3 √5B. 1.5C. 32 42 52D. 1 22. 点A(−3,−4)到原点的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 73. 有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A. 5B. √7C. √5D. 5或√74．如果直角三角形两直角边的比为5∶12， 则斜边上的高与斜边的比为（ ） A 60∶13B 5∶12C 12∶13D 60∶1695. 若一直角三角形两边长分别为12和5 则第三边长为（ ） A ．13 B ．13或C ．13或15D ．156．一个圆桶底面直径为24cm ，高32cm ，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）A ．20cmB ．50cmC ．40cmD ．45cm7．如图 小明准备测量一段水渠的深度 他把一根竹竿AB 竖直插到水底 此时竹竿AB 离岸边点C 处的距离米．竹竿高出水面的部分AD 长0.5米 如果把竹竿的顶端A 拉向岸边点C 处 竿顶和岸边的水面刚好相齐 则水渠的深度BD 为（ ）A ．2米B ．2.5米C ．2.25米D ．3米1.5CD8.如图， “赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形 已知大正方形面积为25 (x +y)2=49 用x y 表示直角三角形的两直角边(x >y) 下列选项中正确的是( )A. 小正方形面积为4B. x 2+y 2=5C. x 2−y 2=7D. xy =249.如图，在△ABC 中 ∠C =90° AC =4 BC =2.以AB 为一条边向三角形外部作正方形 则正方形的面积是( )A. 8B. 12C. 18D. 2010.如图 在Rt △ABC 中 ∠ACB =90° AC =3 BC =4 BE 平分∠ABC CD ⊥AB 于D BE 与CD 相交于F 则CF 的长是( )A. 1B. 43C. 53D. 2二 填空题（每题3分 共24分）11．若一个三角形的三边之比为5：12：13 且周长为60cm 则它的面积为_____cm 2． 12．如图所示 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的边长为7cm 正方形A B C 的面积分别是28cm 210cm 214cm 则正方形D 的面积是___________2cm ．13．在ABC中90C∠=︒AB=5 则222AB AC BC++=______．14.如图在△ABC中∠ABC=90° 分别以BC AB AC为边向外作正方形面积分别记为S1S2,S3若S2=4 S3=6则S1=__________.15.方程思想如图在Rt△ABC中∠C=90° BC=6cm AC=8cm 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在AB边的点C’处那么△ADC’的面积是_____cm2. 16．如图一架秋千静止时踏板离地的垂直高度DE＝0.5m将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m秋千的绳索始终拉直则绳索AD的长是m．17．如图小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度他发现绳子刚好比旗杆长11米若把绳子往外拉直绳子接触地面A点并与地面形成30°角时绳子末端D距A点还有1米那么旗杆BC的高度为米．18．在△ABC中AB＝AC＝5 BC＝6．若点P在边AC上移动则BP的最小值是．三、解答题(满分46分,19题6分20 21 22 23 24题每题8分)19.小明将一副三角板如图所示摆放在一起发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长若已知CD=2求AC的长．20.如图折叠长方形的一边AD使点D落在边BC的点F处已知AB=8cm BC=10cm求(1)FC的长．(2)EF的长．21 (8分)如图已知∠ADC=90°AD=8 CD=6 AB=26 BC=24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．22．如图 在长方形中 点在边上 把长方形沿直线折叠 点落在边上的点处。

第一章勾股定理单元测试卷一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A.3B.4C.2D.4(第1题) (第4题) (第5题) 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：63.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+15.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，47.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里(第7题) (第9题) (第10题)8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.1011.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米(第11题) (第12题) 12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为.(第13题) (第14题) (第15题)14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为cm.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.参考答案一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为（）A.3B.4C.2D.4【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3.故选A.2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：6【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选D.3.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形.故选：C.http://www、czsx、com、cn4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=5，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1.故选D.5.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.【解答】解：△ABC的面积=×BC×AE=2，由勾股定理得，AC==，则××BD=2，解得BD=，故选：A.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，4【解答】解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、52+102≠132，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误.故选B.7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里【解答】解：连接BC，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），CB==40（海里），故选：C.8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.综上所述，△ABC的周长是42或32.故选：C.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，∴AC==3，∴这个直角三角形的面积=AC•BC=3，故选A.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.10【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=17，四个直角三角形的面积是：ab×4=17﹣5=12，即：ab=6.故选：B.11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米【解答】解：由题意可知.BE=CD=1、5m，AE=AB﹣BE=4、5﹣1、5=3m，BD=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A.12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m【解答】解：在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2，∴OA===15（m），∴OB=0A+AB=20m，在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2，∴OD===10（m），∴CD=OD﹣OC=2m，故选：D.二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2.【解答】解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴△AOP为等边三角形，∴∠OAP=60°，∴∠∠PBA=30°，∴AP=AB=2；情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP=60°，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠BAP=90°时，如图3，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2.故答案为：2或2.14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米.【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m.又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m.则AA′=8﹣6=2m.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm.=24﹣12=12cm.【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm.所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm.故答案是：11cm≤a≤12cm.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′==3，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′==，∴BD=CD′=，故答案为：.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为 5 cm. 【解答】解：设矩形的相邻两边的长度分别为3acm，4acm，由题意3a+4a=7，a=1，所以矩形的相邻两边分别为3cm，4cm，所以对角线长==5cm，故答案为5.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，BC=3，DB=，根据勾股定理得：CD==，在Rt△ACD中，AC=4，CD=，根据勾股定理得：AD==；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB=BD+AD=+=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，∵AB=BC=CD=DE=1，∴在Rt△ACB中，AC═==，∴在Rt△ACD中，AD===，在Rt△ADE中，AE===2.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.【解答】证明：∵如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，∴CE=BE.∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2∴BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.【解答】解：（1）S2+S3=S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（2）∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（3）∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.。

八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元测试卷-人教版(含答案)一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，斜边为c ）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则44a b +的值为（ ）A ．68B ．89C ．119D ．1302．如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（）A ．198 B ．2 C ．254 D ．743．已知点M 的坐标为()3,4-，则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在第二象限内B ．点M 到x 轴的距离为3C ．点M 关于y 轴对称的点的坐标为()3,4D ．点M 到原点的距离为54．如图，点A 表示的实数是（ ）AB C D5．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．86．△ABC 的三边长a ，b ，c （b ﹣12）2+|c ﹣13|＝0，则△ABC 的面积是（ ）A ．65B ．60C ．30D ．267．如图，Rt ABC 中，90,4,6B AB BC ∠=︒==，将ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段CN 的长为（ ）.A ．73B ．83C ．3D ．1038．如图，在ABC 中，△B ＝22.5°，△C ＝45°，若AC ＝2，则ABC 的面积是（ ）A B ．C ． D ．9．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c 能表示为两个正整数a ，b 的平方和，即22c a b =+，那么称a ，b ，c 为一组广义勾股数，c 为广义斜边数，则下面的结论：△m 为正整数，则3m ，4m ，5m 为一组勾股数；△1，2，3是一组广义勾股数；△13是广义斜边数；△两个广义斜边数的和是广义斜边数；△若2222,12,221a k k b k c k k =+=+=++，其中k 为正整数，则a ，b ，c 为一组勾股数；△两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△△C ．△△△D ．△△△10．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB ＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC ＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）A ．1.0 米B ．1.2 米C ．1.25 米D ．1.5 米11．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：△20是“整弦数”；△两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；△若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；△若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，11a b ≠22a b ，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m 与n 之积为“整弦数”；△若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，三角形纸片ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把△ABD 沿着直线AD 翻折，得到△AED ，DE 交AC 于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG ＝EG ，AF ＝4，AB ＝5，△AEG 的面积为92，则2BD 的值为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．10二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．无理数可以用数轴上的点表示．如图，数轴上点A 表示的数是______．14．我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离P A 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即10P C '=尺，秋千踏板离地的距离P B '就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．15．如图，在Rt ABC △中，9068C AC BC ∠=︒==，，，将ABC 按如图方式折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________．16．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是____________米．17．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．18．观察下列几组勾股数，并填空：△6，8，10，△8，15，17，△10，24，26，△12，35，37，则第△组勾股数为______．19．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是______cm20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD△AC于点D，把线段AC绕点C旋转得到线段CE，点E恰好落在AB的延长线上，12BE CD，△BCD的面积是8，则BC的长为________．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且△CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．(1)求小岛两端A，B的距离．(2)过点C作CF△AB交AB的延长线于点F，求BFBC值．22．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离12PP=式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．23．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．的大小）(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求BOD(2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B 地的过程中，与港口O最近的距离是多少？24．如图所示，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4m吗？25．【阅读思考】已知0＜x＜1分析：如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP＝x，则PC＝1－x，那么可以用含x的式子表示AP、DP，问题可以转化为AP与PD的和的最小值，用几何知识可以解答(1)AP＋PD的最小值为________(2)的最小值，其中x、y为两正数，且x＋y＝6(3)参考答案1．B2．D3．D4．B5．C6．C7．D8．D9．D10．A11．C12．A13．214．14.515．7 416．817．118．16，63，6519．1620．1021．(1)33.4海里(2)72522．(1)AB＝13(2)AB＝5(3)△DEF是等腰三角形，23．(1)50度(2)24海里24．这个梯子的顶端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑动了4m，而是滑动了8m．25．5(2)(3)。

人教版八年级下册数学第17章勾股定理单元测试卷（时间：120分钟分值：120分）一、选择题(每小题3分，共30分)1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是( )A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝( )A. 6 B．6 2 C．6 3 D. 123．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于( )A．10 B．11 C．12 D．134．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为( )A．4米B．8米C．9米D．7米5．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形6．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°7．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或108．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为( )A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋110．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )A．90° B．60° C．45° D．30°二、填空题(每小题4分，共24分)11．直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD ＝．13．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑米．14．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为．。

八下数学第17章《勾股定理》单元测试一、选择题(共10小题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D.等腰直角三角形3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.44.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.75.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.156.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为()A.100寸B.101寸C.102寸D.103寸7.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为()A.10mB.11mC.12mD.13m8.如图，笑笑将一张A4纸(A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了一个角，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是()A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米二、填空题(共8小题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝.12.直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝.14.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为.15.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于.16.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°(点A，B，P是网格线交点).17.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了米.(假设绳子是直的)三、解答题(共4小题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D 、E ，AP 平分∠BAC ，与DE 的延长线交于点P .(1)求PD 的长度；(2)连结PC ，求PC 的长度.20.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝x(1)小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x因为AB ＝BD +AD ，所以a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得x ＝(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到x 与a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN 的一侧点A 处有一村庄，村庄A 到公路MN 的距离为600米，假使宣讲车P 周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P 在公路MN 上沿PN 方向行驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？22.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m(水平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.参考答案一、选择题(共10小题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方.【解答】解：A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误.故选：A.2.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D.等腰直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故选：B.3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.4【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B.4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.7【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解.【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝(a+b)2，S2＝a2+b2，S3＝(a﹣b)2，因为S1+S2+S3＝21，即(a+b)2+a2+b2+(a﹣b)2＝213(a2+b2)＝21，所以3S2＝21，S2的值是7.故选：D.5.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.15【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可.【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20.故选：C.6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为()A.100寸B.101寸C.102寸D.103寸【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1.在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即(r﹣1)2+102＝r2，解得2r＝101.故门的宽度(两扇门的和)AB为101寸.故选：B.7.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为()A.10mB.11mC.12mD.13m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x.【解答】解：设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝(x﹣1)2+52，∴x2+22＝(x﹣1)2+52，解得x＝11.故选：B.8.如图，笑笑将一张A4纸(A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了一个角，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答.【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直角三角形，运用勾股定理得：EF2＝(210﹣90)2+(297﹣137)2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200.则剪去的直角三角形的斜边长为200mm.故选：D.9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间.【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，∵火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶，∴影响时间应是：320÷10＝32秒.故选：A.10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是()A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米【分析】首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF ＝CD＝17米，得出EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝7米，求出BF＝OE＝5米，OF＝12米，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12米，OM＝OF+FM＝15米，由勾股定理求出ON＝OA＝13米，进而求出MN的长即可.【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17(米)∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(米)，∵OE+OF＝2EO+EF＝17米，∴2OE＝17﹣7＝10(米)，∴BF＝OE＝5米，OF＝12米，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12(米)，OM＝OF+FM＝12+3＝15(米)，由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13(米)，∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2(米).故选：A.二、填空题(共8小题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9.【分析】设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案.【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3(舍去)，∴BC＝3x＝9.故答案为：9.12.直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为5.【分析】根据勾股定理分两种情况解答，一是把两边长都看作直角边，二是把4cm长边看作斜边，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)若把两边都看作是直角边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm，则：x2＝32+42＝25，∴x＝5；(2)若把4cm长的边看作斜边，设第三边长为xcm，则：x2+32＝42，x2＝42﹣32＝7，∴x＝.故答案为：5或.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝9.【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值.【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∴AB2＝AC2+BC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，∴S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，故答案为：914.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为100.【分析】根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直角三角形的两条直角边长，进而求解.【解答】解：∵正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+(AE﹣7)2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所用细塑料棒的长度为：4(AB+AE)＝4(13+12)＝100.故答案为100.15.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于.【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的高.【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为.16.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°(点A，B，P是网格线交点).【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论.【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45.17.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣(﹣8)＝20；(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由(1)可知：CE＝1﹣(﹣17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝(18﹣x)2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：(1)20；(2)13；18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了9米.(假设绳子是直的)【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长.【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15(米)，∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10(米)，∴AD＝＝＝6(米)，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9(米)，答：船向岸边移动了9米.故答案为：9.三、解答题(共4小题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质解答；(2)作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；(2)作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝.20.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝x(1)小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x因为AB ＝BD +AD ，所以a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得x ＝(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到x 与a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进行推导即可得结论.【解答】解：(2)因为S △ABC ＝S △ABI +S △BIC +S △AIC＝cx +ax +bx 所以x ＝.答：x 与a 、b 、c 的关系为x ＝.(3)根据(1)和(2)得：x＝＝.即2ab＝(a+b+c)(a+b﹣c)化简得a2+b2＝c2.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论.【解答】解：(1)村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；(2)如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝米，∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传.22.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m(水平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度.【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝(x﹣3)m，利用勾股定理可得x2＝62+(x ﹣3)2.【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝(x﹣3)m，故x2＝62+(x﹣3)2，解得：x＝7.5，答：绳索AD的长度是7.5m.。

一、选择题1．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，大正方形面积为S 1，小正方形面积为S 2，则（a +b ）2可以表示为（ ）A ．S 1﹣S 2B ．S 1+S 2C ．2S 1﹣S 2D ．S 1+2S 2 2．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是2，3，1，2，则△正方形E 的边长是（ ）A ．18B ．8C ．22D ．32 3．下列各组数据，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．5、6、7 B ．6、8、10C ．1.5、2、2.5D ．3、2、7 4．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．210cmB ．225cm 2C ．22cm 2D ．225cm 5．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point ）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB ＝∠APC＝∠BPC ＝120°时，P 就是△ABC 的费马点．若点P 是腰长为6的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF ＝（ ）A ．6B ．()326+C ．63D ．96．如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为3和4，则b 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．77．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）A ．25B ．16C ．50D ．418．如图，在长方形ACD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，便点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ABE △的面积为（ ）2cm ．A ．12B ．10C ．6D ．15 9．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A ．5,12,13 B ．4,5,6 C ．2,3,4 D ．1,2,5 10．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．8B ．12C ．18D ．2011．下列各组数是勾股数的是（ ）A ．4，5，6B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，12 12．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．514B ．8C ．16D ．64二、填空题13．如图，把一张宽为4（即4AB =）的矩形纸片ABCD 沿,EF GH 折叠（点,E H 在AD 边上，点,F G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点对称点为D '点．当PFG △为等腰三角形时，发现此时PFG △的面积为10，则矩形ABCD 的长BC =_____．14．已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b 满足2235(2313)0a b a b -+++-=，则此等腰三角形的面积为____．15．如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AC ＝2， DC ＝1，BD ＝3， 则AB 的长为_____．16．如图，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= __________.17．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB OA ⊥，使3AB =（如图）；再以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数是____________.18．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m ，若梯子的顶端下滑1m ，则梯足将滑动______．19．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.20．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD =3，AE =10，则正方形ODCE 的边长等于____．三、解答题21．在△ABC 中，AB=8，AC=5，若BC 边上的高等于4，求BC 的长．22．某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱(如图)，学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A 绕三棱柱侧面一周到顶点A '安装灯带，已知此三棱柱的高为4m ，底面边长为1m ，求灯带最短的长度．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是．24．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为,a b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．25．在等腰直角△ABC中，AB＝ AC， BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB 上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；①求证：∠BDP ＝∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．26．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．【详解】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．2．D解析：D【分析】根据勾股定理分别求出正方形E 的面积，进而即可求解．【详解】解：由勾股定理得，正方形E 的面积＝正方形A 的面积＋正方形B 的面积+正方形C 的面积＋正方形D 的面积＝22+32+12+22＝18，∴正方形E 的边长故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．3．A解析：A【分析】利用勾股定理的逆定理计算判断即可．【详解】∵2256253661+=+=≠2749=，∴5、6、7不能作为直角三角形的三边长，∴选项A 错误；∵22866436100+=+==210100=，∴6、8、10能作为直角三角形的三边长，∴选项B 正确；∵221.52 2.254 6.25+=+==22.5 6.25=，∴1.5、2、2.5能作为直角三角形的三边长，∴选项C 正确； ∵222347+=+==27=， ∴2能作为直角三角形的三边长，∴选项D 正确；故选A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理并进行准确计算是解题的关键． 4．B解析：B【分析】根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.【详解】如图，根据题意，得BC=20，=EM ，∴，∴EF=FG=5， ∴212522EFG S EF ==， 故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.5．B解析：B【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF ，由过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP =∠MFP =30°就可以得到满足条件的点P ，易得EM =DM =MF ＝32方程求出PM 、PE 、PF ，继而求出PD 的长即可求解．【详解】解：如图：等腰Rt △DEF 中，DE =DF =6， ∴22226662EF DE DF =++=过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP =∠MFP =30°，则∠EPF=∠FPD=∠DPE=120°，点P 就是马费点，∴EM =DM =MF ＝32设PM ＝x ，PE ＝PF=2x ，在Rt △EMP 中，由勾股定理可得：222PM EM PE +=，即()22182x x +=， 解得：16x =26x =-即PM 6，∴PE ＝PF ＝26故DP =DM －PM ＝326，则PD +PE +PF =326463236326． 故选B ．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造直角三角形进而求出PM 的长是解题关键．6．D解析：D【分析】根据“AAS”可得到△ABC ≌△CDE ，由勾股定理可得到b 的面积=a 的面积+c 的面积.【详解】解：如图∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC ，∵∠ABC=∠CDE ，AC=CE ，∴△ABC ≌△CDE ，∴BC=DE ，∵AC 2=AB 2+BC 2，∴AC 2=AB 2+DE 2，∴b 的面积=a 的面积+c 的面积=3+4=7．故答案为：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．7．C解析：C【分析】由勾股定理解得2AB 、22CD BD +，再根据正方形边长相等的性质得到222225CD BD BC AB +===，据此解题即可．【详解】解：由勾股定理得，222131225AB =-=222BC CD BD =+222225CD BD BC AB ∴+===∴阴影部分的面积是222252550CD BD BC ++=+=，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．C解析：C【分析】设AE=x ，由折叠BE=ED=9-x ，再在Rt △ABE 中使用勾股定理即可求出x ，进而求出△ABE 的面积．【详解】解：设AE=x ，由折叠可知：BE=ED=9-x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：3²+x²=(9-x)²，解得x=4，故AE=4，此时11=43622∆⨯=⨯⨯=ABE S AE AB ， 故选：C ．【点睛】本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x ，在一个直角三角形中，其余边用x 的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x ． 9．A解析：A【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A. ∵5，12，13是正整数，且52+122=132，∴5，12，13是勾股数；B. ∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数；C. ∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股数；D. ∵25∴125故选A ．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a ，b ，c 为正整数，且满足a 2+b 2=c 2，那么，a 、b 、c 叫做一组勾股数．10．D解析：D【分析】根据勾股定理解得2AB 的值，再结合正方形的面积公式解题即可．【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，222224220AB AC BC ∴=+=+=∴以AB 为一条边向三角形外部作的正方形的面积为220AB =，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11．C解析：C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误；B. 222579+≠，故此选项错误；C. 2226810+=，故此选项正确；D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．12．D解析：D【分析】设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，代入得到2225289a +=，计算求出答案即可．【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，∴2225289a +=，∴字母A 所代表的正方形的面积264a =，故选：D ．．【点睛】此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据勾股定理解答即可；【详解】由题可知∴作∵是等腰三角形∴∴由翻折可知∴∴；故答案是【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用准确结合翻折的性质计算是解题的关键 解析：589+【分析】根据勾股定理解答即可；【详解】 由题可知△14102PFG S FG =⨯⨯=， ∴5FG =， 作PM FG ⊥，∵PFG △是等腰三角形，∴52FM GM ==， ∴25891622PF PG ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， 由翻折可知，BF PF PG CG ===，∴89BF CG ==∴589BC BF FG CF =++=+；故答案是589+．【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，准确结合翻折的性质计算是解题的关键．14．或【分析】根据非负数的性质列出方程组求解的值然后分两种情况讨论画出图形作底边上的高利用勾股定理求出高即可求解【详解】解：由非负性可知解得①当是腰时三边分别为由2＋2＞3则能组成三角形设底边上的高为h 解析：374或22 【分析】根据非负数的性质列出方程组求解a ，b 的值，然后分两种情况讨论,画出图形,作底边上的高,利用勾股定理求出高，即可求解．【详解】解：由非负性可知235023130a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得23a b =⎧⎨=⎩， ①当a 是腰时，三边分别为2、2、3，由2＋2＞3，则能组成三角形，设底边上的高为h ，如下图所示则h=22322⎛⎫- ⎪⎝⎭=7 ∴此等腰三角形的面积为1732⨯⨯=37； ②当b 是腰时，三边分别为3、3、2，由3＋2＞3，则能组成三角形，设底边上的高为h ，如下图所示则22232⎛⎫- ⎪⎝⎭2 ∴此等腰三角形的面积为12222⨯⨯=22或综上：此等腰三角形的面积为4故答案为：或4【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，勾股定理，先求出a，b的值是解题的关键，要注意分情况讨论．15．【分析】根据ACDC解直角△ACD可以求得AD根据求得的AD和BD解直角△ABD可以计算AB【详解】∵AD⊥BC于D∴△ACD△ABD为直角三角形∴AC2＝AD2＋DC2∴AD＝=＝∵△ABD为直角解析：【分析】根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB．【详解】∵AD⊥BC于D，∴△ACD、△ABD为直角三角形，∴AC2＝AD2＋DC2，∴AD，∵△ABD为直角三角形，∴AB2＝AD2＋BD2，∴AB＝故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．16．8【分析】设AB=5x则BC=3x根据勾股定理可求出AC=4x由周长为24列方程求出x的值即可求出AC的长【详解】设AB=5x∵AB：BC=5：3∴BC=3x∴AC=4x∵直角三角形ABC的周长为2解析：8【分析】设AB=5x，则BC=3x，根据勾股定理可求出AC=4x，由周长为24列方程求出x的值，即可求出AC的长.【详解】设AB=5x，∵AB：BC=5：3，∴BC=3x，∴AC=4x，∵直角三角形ABC的周长为24，∴3x+4x+5x=24，解得：x=2，∴AC=4x=8.故答案为8【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，用含有x的式子分别表示出三边的值，代入周长公式求解是解题关键.17．【分析】根据勾股定理可计算出OB的长度即点P在数轴正半轴表示的数【详解】解：在Rt△OAB中∵OA=2OB=3；∴OB=；∴以点O为圆心OB为半径与正半轴交点P表示的数为故答案为：【点睛】本题考查勾【分析】根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数．【详解】解：在Rt△OAB中∵OA=2，OB=3；∴==；∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P【点睛】本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算OB的长度，注意以点O交点即可得解．18．【分析】根据条件作出示意图根据勾股定理求解即可【详解】解：由题意可画图如下：在直角三角形ABO中根据勾股定理可得如果梯子的顶度端下滑1米则在直角三角形中根据勾股定理得到：则梯子滑动的距离就是故答案为解析：1m【分析】根据条件作出示意图，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意可画图如下：在直角三角形ABO 中，根据勾股定理可得，22534OA =-=，如果梯子的顶度端下滑1米，则'413OA m =-=．在直角三角形''A B O 中，根据勾股定理得到：'4OB m =，则梯子滑动的距离就是'431OB OB m -=-=．故答案为：1m ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题目画出示意图是解此题的关键． 19．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长 解析：9cm【分析】由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．【详解】∵90C ∠=︒ ∴222217815BC AB AC -=-=同理 22221086CD AD AC =-=-=∴1569BD BC CD =-=-=故答案为：9cm ．【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．20．2【分析】根据题意有两对全等的直角三角形设正方形的边长为x 则BC=3+xAC=10+xAB=13根据勾股定理BC2+AC2=AB2列出方程解出x 即可【详解】解：设DC=CE=x 则BC=3+xAC=1解析：2【分析】根据题意，有两对全等的直角三角形，设正方形的边长为x，则BC=3+x，AC=10+x，AB=13，根据勾股定理，BC2+AC2=AB2，列出方程，解出x即可．【详解】解：设DC=CE=x，则BC=3+x，AC=10+x∵BC2+AC2=AB2∴（3+x）2+（10+x）2=132∴x=2故答案为：2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与勾股定理，熟悉全等三角形对应边相等，勾股定理的应用是解决本题的关键．三、解答题21．BC=43+3或43-3【分析】作AD⊥BC于D，分点D在线段BC上和BC的延长线上两种情况，根据勾股定理计算即可．【详解】解：作AD⊥BC于D，分两种情况：①高BD在线段BC上，如图1所示：在Rt△ABD中，BD=2222AB AD-=-=，8443在Rt△ACD中，CD=2222AC AD-=-=3，54∴BC=BD+CD=43+3；②高AD在CB的延长线上，如图2所示：BC=BD-CD=43-3；综上所述，BC的长为43+3或43-3．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．22．5m【分析】先画出三棱柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解．【详解】将三棱柱展开如图，连接A’A，则A’A的长度就是彩带的最短长度，如图，在Rt△AA'B中AB=底面等边三角形的周长=3×1=3(m)∵AA'=4(m)由勾股定理得：22AA'=+=(m)．435答：灯带的最短长度为5m．【点睛】本题考查学生对勾股定理的应用能力，熟练掌握勾股定理是解题的关键.23．（1）见解析；（2）30．【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；【详解】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CAD （AAS ）；（2）解：∵△BCE ≌△CAD ，BE ＝5，DE ＝7，∴BE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝CD+DE ＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC ＝13，∴△ACD 的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．也考查了余角的性质和勾股定理．24．见解析【分析】根据总面积=以c 为边的正方形的面积+2个直角边长为,a b 的三角形的面积=以b 为上底、(a+b)为下底、高为b 的梯形的面积+以a 为上底、(a+b)为下底、高为a 的梯形的面积，据此列式求解．【详解】 证明：总面积()()21112222S c ab a b b b a a b a =+⨯=++⋅+++⋅ 222c a b ∴=+【点睛】此题考查的是勾股定理的证明，用两种方法表示同一图形的面积是解题关键． 25．（1）见解析；①见解析；②BC -BD；见解析；（2）BD -BCBP【分析】（1）根据题意补全图形即可：①设PD 与BC 的交点为E ，根据三角形内角和定理可求解；②过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ．证明△BPD ≌△FPC ，即可得到结论；（2）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，证明△HPC ≌△BPD 即可．【详解】解：（1）补全图形，如图．①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知，∠CPD=90°．∵BC⊥l，∴∠DBC=90°．∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．∵∠BED=∠PEC∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD=2BP．证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．∵AB= AC， A=90°，∴∠ABC=45°．∴BP=PF，∠PFB=45°．∴∠PBD=∠PFC=135°．∴△BPD≌△FPC．∴BD=FC．∵BF2BP，∴BC -BD=2BP ．（3）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°∴∠HBP=45°∴∠DBP=45°∵∠BPH=90°∴∠BHP=45°∴HP=BP∴2HB PB =又∠DPC=90°∴∠HPC=∠BPD ，在△HPC 和△BPD 中，HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△HPC ≌△BPD∴2BP BC +∴BD -BC 2BP ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．26．2米【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt △A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，222 6.25BD ∴+=，2 2.25BD ∴=，0BD >，1.5BD ∴=米，0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米，答：小巷的宽度为2.2米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。

1 / 6《勾股定理》单元检测题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．设直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边长为c ，已知1213b c ==，，则a=( )A. 1B. 5C. 10D. 252．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）A. 15817a b c ===，，B. 91215a b c ===，，C. 72425a b c ===，，D. 357a b c ===，，3．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（ ）A. 10B. 12C. 24D. 484．如图，有一个由传感器控制的灯A 装在门上方离地高4.5 m 的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m 及5 m 以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（ ）A. 4 mB. 3 mC. 5 mD. 7 m5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )A. B. C. D.6．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（ ）A. 22B. 32C. 62D. 827．如图，△ABC 中，AC =3，BC = 5，AD ⊥BC 交BC 于点D ，AD =125，延长BC 至E 使得CE =BC ，将△ABC 沿AC 翻折得到△AFC ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A. 6B. 8C. 325D. 3238．如图,点P 是平面坐标系中一点,则点P 到原点的距离是（ ）A. 3B. 2C. 7D. 59．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2 ，则该半圆的半径为（）A. (4+5)cmB. 9cmC. 45cm D. 62cm10．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要， ，A. 11cm 34 C. (8＋10)cm D. (7＋5二、填空题11．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是________．12．如图所示,一段楼梯,高BC是3 m,斜边AC是5 m,如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯________.13．如图，在东西走向的铁路上有A，B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A，B 的正北分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C，D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA，90°，点D是BC上一点，AD，BD，若AB，8，BD，5，则CD，________，3 / 615．如图，点A 、B 、O 是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧AmB 的中点，则△APB 的面积为_______．三、解答题16．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD 3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求：(1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)，17．如图是“赵爽弦图”，其中ABH 、BCG 、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD c AE a DE b ===，，，取102c a b =-=，． ()1正方形EFGH 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；()2求2()a b +的值．18．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C，B 两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？19．如图，一架长2.5m 的梯子AB 斜靠在墙AC 上，，C =90°，此时，梯子的底端B 离墙底C 的距离BC 为0.7m ．（1）求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC ；（2）如果梯子的顶端A 下滑了0.9m ，那么梯子的顶端B 在水平方向上向右滑动了多远？1 / 6参考答案1．B2．D3．B4．A5．D6．B7．A8．A9．C10．B11．4.812．7m13．1214．1.415212+16．（1）135°；（2122+解析：（1）∵AB=BC=1，且∠B=90°，∴∠BAC=45°，22=2AB BC +， 而3DA=1，∴CD 2=AD 2+AC 2，∴△ACD 是直角三角形，即∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°；（2）∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ，而S △ABC =12AB×BC=12， S △ACD =12AD×22， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12+12（）17．4；96解：（1）∵HE =a ﹣b =2，∴S 正方形EFGH =HE 2=4．∵AD =c =10，∴S 正方形ABCD =AD 2=100，∴四个直角三角形的面积和=S 正方形ABCD ﹣S 正方形EFGH =100﹣4=96．故答案为：4；96；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，∴4×12ab =96，解得：2ab =96．∵a 2+b 2=c 2=100，∴（a +b ）2=a 2+b 2+2ab =100+96=196．18．乙船航行的方向为南偏东55°.解析：由题意可知，在△ABC 中，AC ＝30×2=60，AB ＝40×2=80，BC ＝100，∴AC 2=3600，AB 2=6400，BC 2=10000，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴∠CAB ＝90°，又∵∠EAD=180°，∠EAC=35°，∴∠DAB ＝90°－∠CAE ＝90°－35°＝55°，∴乙船航行的方向为南偏东55°.19．（1）此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．解析：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7∴22AB BC -222.50.7-（米）， 答：此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）∵梯子的顶端A 下滑了0.9米至点A′，∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m ），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C 2+B′C 2=A′B′2，即1.52+B′C 2=2.52，∴B′C=2（m ）∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m ），答：梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．。

勾股定理单元测试题一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A ：4，5，6B ：1，12：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20D ：213、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：74、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：55、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A 、33、23、36、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 28、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 二、填空题1、若一个三角形的三边满足222c a b -=，则这个三角形是 。

2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。

（填“合格”或“不合格” ）ABEFD第7题D CBA3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。

4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的 面积的和为 。

5、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落 在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。

八年级数学（下）第十七章《勾股定理》测试题（测试时间：90分钟满分：120分）一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）．A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，2．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知b＝8，c＝10，则a的值为( ) A. 2 B. 6 C. 5 D. 363．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝5，则该三角形为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形4．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（）.A. 仍是直角三角形B. 可能是锐角三角形C. 可能是钝角三角形D. 不可能是直角三角形5．如图字母所代表的正方形的面积是（）．A. B. C. D.6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为( )A. 4米B. 8米C. 9米D. 7米7．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝60°，则AB的长为( )A. 12米B. 63米C. 6米D. 23米8．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A. 10mB. 15mC. 18mD. 20m9．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A. 102B.104C.105D. 510．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（）24二.填空题（共10小题，每题3分，共30分）11．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则其斜边长为________．12．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是_______．13．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，则小猫在木板上爬动了_____________m．14．如图，数轴上点A所表示的实数是______________．15．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．16．如图，若要建一个蔬菜大棚，棚宽3.2 m，高2.4 m，长15 m，请你计算，覆盖在顶上的塑料薄膜需要____m2.17．如图,将一根长24厘米的筷子,置于底面直径为6厘米,高为8厘米的圆柱形水杯中,则筷子露在杯子外面的长度至少为_______厘米.18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，AC=12，AD=15，则点D到AB的距离为__________．19．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为________m220．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm ，30cm ，10cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A 点出发沿着台阶面爬到B 点，则壁虎爬行的最短路线的长是________．三、解答题（共60分）21．（8分）有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，090ADC ∠=，AB=13米，BC=12米．DACB（1）试判断以点A 、点B 、点C 为顶点的三角形是什么三角形?并说明理由． （2）求这块地的面积．22．（6分）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？23．（6分）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．24．（6分）一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向正东方向航行，它们离开港口半小时后相距多少千米?25．（8分）正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点．（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．26．（8分）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？27．（8分）一架云梯长25 m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7 m.（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m吗？28．（10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6 m、8 m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为一个直角边长的直角三角形．请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．答案（测试时间：90分钟 满分：120分）一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）． A. ，， B. ，，C. ，， D. ，，【答案】D2．设直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c .已知b ＝8，c ＝10，则a 的值为( ) A. 2 B. 6 C. 5 D. 36 【答案】B【解析】a =22c b -=22108-=6．故选B ．3．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝5，则该三角形为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】B【解析】在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝5．∵()222125+=，∴△ABC 是直角三角形．故选B ．4．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（ ）. A. 仍是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 【答案】A【解析】将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形只是改变大小，不会改变它形状，故选A.5．如图字母所代表的正方形的面积是（ ）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵图中三角形为，∴，∴．故选C.6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为( )A. 4米B. 8米C. 9米D. 7米【答案】D7．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝60°，则AB的长为( )A. 12米3 C. 6米3【答案】B8．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端B 的距离为12m ，这棵大树在折断前的高度为（ ）A. 10mB. 15mC. 18mD. 20m 【答案】C【解析】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m ，AB=12m ， ∴AC=22AB BC +=22125+=13m ，∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18m. 故选：C. 学@科网9．如图，将△ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A 、B 、C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC 中BC 边上的高是（ ）A.102 B. 104 C. 105D. 5 【答案】A10．如图，在△ABC 中，有一点P 在直线AC 上移动，若AB =AC =5，BC =6，则 BP 的最小值为（ ）A. 24B. 5C. 4D. 4.8 【答案】D【解析】根据垂线段最短，得到BP ⊥AC 时，BP 最短，过A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴D 为BC 的中点，又BC =6，∴BD =CD =3．在Rt △ADC 中，AC =5，CD =3，根据勾股定理得：AD =22AB BD -=2253-=4．又∵S △AB C =12BC •AD =12BP •AC ，∴BP =BC AD AC ⋅=645⨯=4.8．故选D ．二.填空题（共10小题，每题3分，共30分）11．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则其斜边长为________． 【答案】13【解析】∵直角三角形的两直角边长分别是5和12，∴斜边长=22512 =13．故答案为：13．12．斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是_______． 【答案】60cm 213．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m ，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m ，木板顶端向下滑动了0.9m ，则小猫在木板上爬动了_____________m ．【答案】2.5 【解析】如图所示：14．如图，数轴上点A所表示的实数是______________．【答案】【解析】由勾股定理，得斜线的为=，由圆的性质，得点表示的数为，故答案为：. 学科%网15．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．【答案】0.5【解析】结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC===2（米）.∵BD=0.5米， ∴CD=2米， ∴CE===1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）． 故答案为：0.5.16．如图，若要建一个蔬菜大棚，棚宽3.2 m ，高2.4 m ，长15 m ，请你计算，覆盖在顶上的塑料薄膜需要____m 2.【答案】6017．如图,将一根长24厘米的筷子,置于底面直径为6厘 米,高为8厘米的圆柱形水杯中,则筷子露在杯子外面的长度至少为_______厘米.【答案】14【解析】如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， ∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即2268 =10cm ，∴筷子露在杯子外面的长度至少为24-10=14cm ， 故答案为14．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，AC=12，AD=15，则点D 到AB 的距离为__________．【答案】919．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为________m 2【答案】24【解析】如图，连接AC ．由勾股定理可知：AC=2222435AD CD +=+=，又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形这块地的面积为=△ABC 的面积-△ACD 的面积=12×5×12- 12×3×4=24（m 2）． 学#科网20．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm ，30cm ，10cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A 点出发沿着台阶面爬到B 点，则壁虎爬行的最短路线的长是________．【答案】130cm三、解答题（共60分）21．（8分）有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，090ADC ∠=，AB=13米，BC=12米．DC（1）试判断以点A 、点B 、点C 为顶点的三角形是什么三角形?并说明理由． （2）求这块地的面积．【答案】（1）以点A 、点B 、点C 为顶点的三角形是直角三角形； （2）这块地的面积24m 2． 【解析】试题分析：(1)根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，考点：勾股定理的逆定理．22．（6分）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？【答案】飞机每小时飞行540千米．学科%网【解析】试题分析：先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．试题解析：设A点为男孩头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2-AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），即飞机每小时飞行540千米．考点：勾股定理的应用．23．（6分）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．【答案】旗杆的高度是12米． 【解析】考点：勾股定理24．（6分）一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向正东方向航行，它们离开港口半小时后相距多少千米? 【答案】它们离开港口半小时后相距10千米 【解析】试题分析：根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 试题解析：如图，由已知得，OB=16×0.5=8海里，OA=12×0.5=6海里，在△OAB 中，∵∠AOB=90°，由勾股定理得OB 2+OA 2=AB 2， 即82+62=AB 2，AB=2286 =10海里．考点：勾股定理25．（8分）正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点．（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】考点：1．勾股定理；2．作图题．26．（8分）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．学%科网（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？【答案】（1）20s；（2）可以通行．【解析】考点：勾股定理的应用．27．（8分）一架云梯长25 m ，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C 离墙7 m.（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m 吗？【答案】（1）24；（2）不是． 【解析】试题分析：（1）应用勾股定理求出AB 的高度； （2）应用勾股定理求出BE 的距离即可解答． 试题解析：（1）如图：∠B=90°，在Rt △ABC 中，222225724AC BC -=-=，∴这个梯子的顶端A 距地面有24米高．（2）如果梯子下滑4米，则：BD=24-4=20，在Rt △BDE 中，2222252015DE BD -=-=， ∴CE=15－7=8，即：梯子的底部在水平方向也是滑动了8 m ，而不是滑动4m. 考点：勾股定理的应用． 学！科网28．（10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6 m 、8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8 m 为一个直角边长的直角三角形．请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．【答案】48或40或1003．【解析】考点：1．勾股定理的应用；2．等腰三角形的性质．。

八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(附答案)一、单选题1．如图，等边ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt BDE△，连接AE，则AE的最小值为（）A．1 B2C．2 D．2212．如图，有一个圆柱，它的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（）A．15cm B．17cm C．18cm D．20cm3．下列各组数中，不能构成直角三角形的是( )A．a=1，b=43，c=53B．a=5，b=12，c=13 C．a=1，b=3，10D．a=1，b=1，c=24．如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．(﹣1，0) B．(250) C．133，0) D．(313-0)5．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为m和n．若mn=32，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为（）A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =2BD =，则线段DF 的长度为（ ）A ．22B ．2C 3D ．17．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，BC =5，以AB ，AC 为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）A ．5B ．9C ．16D ．258．如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A ．20B ．24C ．25D ．269．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D '为1.5m ，则小巷的宽为（ ）．A ．2.4mB ．2.5mC ．2.6mD ．2.7m10．下列四个命题中，正确的个数有( ) 33 4 和 5 之间；③Rt △ABC 中，已知两边长分别是 3 和 4，则第三条边长为 5；④在平面直角坐标系中点(2，-3)关于x 轴对称的点的坐标是(2，3)；⑤16 的平方根是±4 16±4 ；⑥立方根等于它本身的数有 2 个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题11．风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A 点的坐标为()2,4，B 点的坐标为()6,1．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C ，D ，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD 的最小周长______．12．如图，分别以等腰Rt △ACD 的边AD ，AC ，CD 为直径画半圆，AD ＝2，则阴影部分的面积是__________13．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，几分钟后船到达点D 的位置，此时绳子CD 的长为10米，问船向岸边移动了__米．14．如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交边AB 于点E ．若5AC =，4BE =，45B ∠=︒，则AB 的长为_________．15．已知长方形ABCD 的长为5，宽为4，点E ，F 分别位于AB ，AD 上，且3AE AF ，点G 是长方形ABCD上一点，EFG 是直角三角形，则Rt EFG 的斜边长为______．三、解答题16．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：△≌△；（1）试说明ADC CEB（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．17．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝8cm，宽AB＝4cm，将其沿着折痕EF折叠，使点D与点B重合．（1）求证：BE＝BF；（2）求折叠后△BEF的面积．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．（1）求∠BAC的度数．（2）若AC=2，求AD的长．19．小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长．若已知3AB的长．20．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P 在线段BC 上，∠ABP ＝∠APD ＝∠PCD ＝90°，BP ＝CD ．求证：点P 是△APD 的准外心；（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝5，AB ＝3，△ABC 的准外心P 在△ABC 的直角边上，试求AP 的长．21．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，BD CD =，延长BC 至E ，使得CE CA =，连接AE ．（1）求证：B ACB ∠=∠；（2）若5AB =，4=AD ，求ABE 的周长和面积．参考答案：1．B2．A3．D4．D5．C6．D7．D8．D9．D10．A11．8912．113．9．14．715．32252616．（1）如图：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1＝∠3，由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，∴△ADC≌△CEB；（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，∵∠ADC＝90°，∴AD2+CD2＝AC2，即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），∴每块砖厚度为5cm．17．（1）由折叠的性质得：∠BEF＝∠DEF，∵AD//BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF；（2）设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得，x＝3，∴BE＝BF＝5，∴△BEF的面积＝12×BF×AB＝12×5×4＝10．18．(1)∠BAC=75°；(2)AD219220．（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB ＝∠DPC ，在△ABP 和△PCD 中，PAB DPC ABP PCD BP CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△PCD （AAS ），∴AP ＝PD ，∴点P 是△APD 的准外心；（2）解：∵∠BAC ＝90°，BC ＝5，AB ＝3， ∴AC 2253-=4，当P 点在AB 上，PA ＝PB ，则AP 12=AB 32=； 当P 点在AC 上，PA ＝PC ，则AP 12=AC ＝2， 当P 点在AC 上，PB ＝PC ，如图2， 设AP ＝t ，则PC ＝PB ＝4﹣x ，在Rt △ABP 中，32+t 2＝(4﹣t )2，解得t 78=， 即此时AP 78=， 综上所述，AP 的长为32或2或78．21．（1）证明：AD BC ⊥，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在ABD △和ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴≅，B ACB ∴∠=∠；（2）ABD ACD ≅，5AB =， 5AB AC ∴==，CE CA =，5CE∴=，5,4,AB AD AD BC==⊥，223BD AB AD∴=-，BD CD=，3CD∴=，11,8BE BD CD CE DE CD CE∴=++==+=，2245AE AD DE∴+则ABE的周长为511451645AB BE AE++=++=+ABE的面积为1111422 22BE AD⋅=⨯⨯=．。

人教版八年级数学下册《第十七章勾股定理》单元测试题一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（）A．169B．119C．13D．1442．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（）A．1B．C．2D．3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（）A．18B．114C．194D．3244．如图是一个直角三角形，它的未知边的长x等于（）A．13B．C．5D．5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（10，0）B．（0，4）C．（4，0）D．（2，0）6．以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．5，6，77．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，7，98．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：159．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）A．4B．4πC．8πD．810．如图，这是用面积为24的四个全等的直角三角形△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为（）A．1B．2C．2D．4二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．平面直角坐标系上有点A（﹣3，4），则它到坐标原点的距离为．12．一个直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则第三边为．13．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC＝°．14．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是时，这三条线段构成直角三角形三．解答题（共9小题，满分90分）15．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积．16．如图，在△ADC中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，∠BAC＝30°，若AB＝6，求AD的长．17．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．18．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝25，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°．（1）求线段AD的长；（2）求△ABC的周长．21．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．（1）若b＝2，c＝3，求a的值；（2）若a：c＝3：5，b＝16，求△ABC的面积．22．如图所示，四边形ABCD ，∠A ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝12m ，CD ＝13m ，DA ＝4m ．（1）求证：BD ⊥CB ； （2）求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，以A 为坐标原点，以AB 、AD 所在直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，点P 在y 轴上，若S△PBD＝S 四边形ABCD ，求P 的坐标．23．如图，一艘轮船以30km /h 的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km /h 的途度由南向北移动，距台风中心200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC ＝500km ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA ＝300km ． （1）如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？人教版八年级数学下册《第十七章勾股定理》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．【解答】解：第三边长的平方是52+122＝169．故选：A．2．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，故选：B．3．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1＝42+92，S2＝12+42，则S3＝S1+S2，∴S3＝16+81+1+16＝114．故选：B．4．【解答】解：∵x＝＝，故选：B．5．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），∴OA＝6，OB＝8，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝10，∴AC＝AB＝10，∴OC＝10﹣6＝4，∴点C的坐标为（4，0），故选：C．6．【解答】解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形；B、42+52≠62，故不能构成直角三角形；C、52+122＝132，故能构成直角三角形；D、52+62≠72，故不能构成直角三角形．故选：C．7．【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故错误；B、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故错误；C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故错误；D、52+72≠92，不能构成直角三角形，故正确；故选：D．8．【解答】解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．9．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）＝4，故选：A．10．【解答】解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S＝102﹣4×24＝4，△ABE∴正方形EFGH的边长＝2，故选：C．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．【解答】解：∵点A（﹣3，4），∴它到坐标原点的距离＝＝5，故答案为：5．12．【解答】解：由勾股定理得：第三边为：＝5，故答案为：5．13．【解答】解：连接AC．根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故答案为：10，45．14．【解答】解：当第三条线段为直角边时，5cm为斜边，根据勾股定理得，第三条线段长为＝4cm；当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得，第三条线段长为＝cm．故答案为4或cm．三．解答题（共9小题，满分90分）15．【解答】解：如图所示：设AB＝x，则BC＝x﹣1，故在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，故x2＝52+（x﹣1）2，解得；x＝13，即AB＝13．∴BC＝12，∴S＝•AC•BC＝×5×12＝30．△ABC16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，在Rt△ABC中，AC＝＝3，∵AB是DC边上的中线，∴DB＝BC＝3，所以CD＝6，在Rt△ACD中，AD＝＝＝3．答：AD的长是317．【解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB＝＝＝60（米）．∴该河流的宽度为60米．18．【解答】解：∵AB2+AC2＝202+152＝625＝252＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∵S＝×AB×AC＝×BC×AD，△ACB∴15×20＝25×AD，∴AD＝12，由勾股定理得：BD＝＝16．19．【解答】解：设运动x秒时，它们相距15cm，则CP＝xcm，CQ＝（21﹣x）cm，依题意有x2+（21﹣x）2＝152，解得x1＝9，x2＝12．故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．20．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝6．（2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，又∵AD＝6，∴CD＝6，AC＝6，＝AB+BD+CD+AC＝24+6．∴C△ABC21．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3，∴a＝＝；（2）∵a：c＝3：5，∴设a＝3x，c＝5x，∵b＝16，∴9x2+162＝25x2，解得：x＝4，∴a＝12，∴△ABC的面积＝×12×16＝96．22．【解答】（1）证明：连接BD．∵AD＝4m，AB＝3m，∠BAD＝90°，∴BD＝5m．又∵BC ＝12m ，CD ＝13m ， ∴BD 2+BC 2＝CD 2． ∴BD ⊥CB ；（2）四边形ABCD 的面积＝△ABD 的面积+△BCD 的面积＝×3×4+×12×5 ＝6+30 ＝36（m 2）．故这块土地的面积是36m 2；（3）∵S △PBD ＝S 四边形ABCD ，∴•PD •AB ＝×36，∴•PD ×3＝9， ∴PD ＝6，∵D （0，4），点P 在y 轴上， ∴P 的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．23．【解答】解：（1）根据题意得：轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区； （2）如图所示：设x 小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE ＝30x 千米，BB ′＝20x 千米， ∵BC ＝500km ，AB ＝300km ，∴AC ＝＝＝400（km ），∴AE ＝400﹣30x ，AB ′＝300﹣20x ， ∴AE 2+AB ′2＝EB ′2，即（400﹣30x ）2+（300﹣20x ）2＝2002，解得：x 1＝≈8.3，x 2＝≈19.3，∴轮船经8.3小时就进入台风影响区；（3）由（2）知，从8.3小时到19.3小时轮船受到台风影响， ∴轮船受台风影响的时间＝19.3﹣8.3＝11（小时），答：轮船受到台风影响一共经历了11小时．。

第十七章《勾股定理》单元检测题题号一二三总分21 22 23 24 25 26 27 28分数一、选择题：(每题3分，共30分)1．下列各组数中，是勾股数的是（）A．9，40，41 B．2，2，2 C．5，4，41D．3，2，52．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）A．6，8，10 B．1，2，3C．2，3，5D．4，5，74．如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（）A．5B．51-C．2D．25-5．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．4 B．3 C．2 D．56. 如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC 中，边长为无理数的边数是( )A ．0 B.1 C ．2 D.37．如图，数轴上的点A 表示的数是1，OB ⊥OA ，垂足为O ，且BO=1，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交数轴于点C ，则C 点表示的数为（ ）A ．﹣0.4B ．﹣2C ．1﹣2D ．2﹣18．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以20米/秒的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．16秒B ．18秒C ．20秒D ．22秒9．三角形的三边长为22()2a b c ab +=+，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．4二、填空题：（每题3分，共30分）11．如图，O 为数轴原点，数轴上点A 表示的数是3，AB ⊥OA ，线段AB 长为2，以O 为圆心，OB 为半径画弧交数轴于点C ．则数轴上表示点C 的数为_________.12．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1＋S 2等_________．13．已知△ABC 的三边长分别为1，3，10，则△ABC 的面积为_____． 14．如图，已知Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，5AB =，12BC =，点D 在AC 上，ABD △是等腰三角形且AB BD ≠，则AD =__________．15.所谓的勾股数就是使等式222a b c +=成立的任何三个正整数.我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m ，n(m ＞n)，取a ＝22m n -，b ＝2mn ，c ＝22m n +，则a ，b ，c 就是一组勾股数.请你结合这种方法，写出85(三个数中最大)，84和________组成一组勾股数.16.如图，一架梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5m ，则梯子顶端A 下落了_______m.17.有一个棱长为1m且封闭的正方形体纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是 m．18.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P是以CD为直径半圆上的一个动点,连接BP,则BP最大值是．19．如图，正方形的边长均为1，可以计算出，图（1）中正方形的对角线长为2；图（2）中长方形的对角线长为5；图（3）中长方形对角线的长为10，那么第n个长方形的对角线的长为_____．20．有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为_________.三、解答题：（共60分）21．（10分）A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF ＝70米，它们的水平距离EF ＝390米．现欲在公路旁建一个超市P ，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？22．（10分）已知某实验中学有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，学校计划在空地上种植草坪，经测量∠A=90°，AC=3m ，BD=12m ，CB=13m ，DA=4m ，若每平方米草坪需要300元，间学校需要投入多少资金买草坪?23．（10分）如图，ABC 中，10,8,6AB cm AC cm BC cm ===，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A C B A ---运动一周，设运动时间为t 秒()0t >．问：当t 为何值时，PA PB =？24. （10分）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围100m 以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？25. （10分）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．26. （10分）如图,等边△ABC,其边长为1,D是BC中点,点E,F分别位于AB，AC边上,且∠EDF=120°．（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE,DE,CF能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形,直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．参考答案一、选择题：1.A2.A3.D4.B5.A6.D7.C8.A9.C10.C二、填空题：11．13 12．213．3 214．5或13 215. 答案：1316.答案为：0.517.18.答案为：+2．1921n．20．96．三、解答题21．超市应建在距离E处150米的位置. 22．学校需要投入10800元买草坪23．t=258或19224.解：作AB⊥MN，垂足为B。

初中数学八年级下册《勾股定理》单元测试卷一（时间90分钟满分100分）一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c=__________．2．△ABC，AC=6，BC=8，当AB=__________时，∠C=90°．3．等边三角形的边长为6 cm，则它的高为__________．4．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB=__________．5．直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．6．等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为__________．7．若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．8．等腰三角形的两边长为2和4，则底边上的高为__________．9．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．10．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，•13cm，•则这个花坛的面积是_____．11．已知△ABC的三边a、b、c满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC 是三角三角形．12．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_____ ．A B C D13．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．14．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是___ _．第19题②第19题①二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是 （ ）A ．1，2，5B ．1，2，3C ．3，4，5D ．6，8，1216．如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1， 则AC 等于 （ ）A ．6B ．6C ． 5D ．417．已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 18．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（ ）A ．4 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm三、解答题（共60分）19．（5分）如图，每个小正方形的边长是1．①在图中画出一个面积是2的直角三角形； ②在图中画出一个面积是2的正方形．第13题 第16题20．（5分）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？21．（5分）在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 k m，请根据上述数据，求出隧道BC的长(精确到0.1 k m)．22．（6分）如图，△ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，∠A=60°．求BC的长．2.8米9.6米23．（6分）如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．B CAD24．（6分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？25．（6分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D．（1）图中有__________个直角三角形；A．0 B．1 C．2 D．3（2）若AD=12，AC=13则CD=__________．（3）若CD2=AD·DB，求证：△ABC是直角三角形．26．（6分）小明把一根长为160 cm的细铁丝剪成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC，已知风筝的高AD=40 cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？27．（7分）去年某省将地处A、B两地的两所大学合成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修建一条笔直公路(即图中的线段)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北方向处有一个半径为0．7千米的公园，问计划修建的这条公路会不会穿过公园？为什么？28．（8分）学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a²+b²=c²，其它的三角形三边也有这样的关系吗？”．让我们来做一个实验：（1）在下列方框（1）中任意画出一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= mm；b= mm；较长的一条边长c = mm．比较a²+ b²c²（填写“ >”，“ <”或“ =”）．（2）在下列方框（2）中任意画出一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= mm；b= mm；较长的一条边长c= mm．比较a²+b²c²（填写“ >”，“ <”或“ =”）．（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：．（1）（2）参考答案 一、填空题1．15 2．10 3．33cm 4．1∶3∶2 5．13606．12+63 7． 96 8．159 10．30cm 2 11．直角 12．A A 不是直角三角形，B 、C 、D 是直角三角形 13．2+23 14． 5或7 二、选择题15．D 16．B 17．D 18．C 三、解答题19．略解 20．10米 21．7 k m 22．21 cm 23．5 24．超速了 25．（1）C ；（2）5；（3）略 26．AB =AC =50 cm ，BC =60 cm 27．不会穿过公园 28．（1）最后一格填“>”；（2）最后一格填“<”；（3）当三角形为锐角三角形时，三边满足 a ²+b ²>c ²；当三角形为钝角三角形时，三边满足 a ²+b ²<c ²初中数学八年级下册《勾股定理》单元测试卷二（时间90分钟 满分100分）一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为___ __．2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A 处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得∠EAC =30°，两山峰的底部BD 相距900米，则缆车线路AC 的长为_______米．3．已知，如图所示，Rt △ABC 的周长为4+23，斜边AB 的长为23，则Rt △ABC •的面积为_____． 4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B ′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯______米．5．在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．6．已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,1222++++为正整数，则此三角形是________三角形．7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________．第2题 第3题第4题3220A第7题8．如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．9．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 10．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 11．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有___米．12．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ．13．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．14．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为 ．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是 （ ） A ．5B ．25C ．7D ．5或716．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是 （ ）A ．24cm 2B ．36cm 2C ．48cm 2D ．60cm 260 12014060BAC第8题第11题第12题第13题图17．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定18．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定三、解答题（共60分）19．（5分）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？20．（5分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？21．（5分）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F•处，•如果AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长．22．（6分）如图所示，某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km ，又往北走1.5km ，遇到障碍后又往西走2km ，再折回向北走到4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏．问登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是多少？23．（6分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和3是多少？AB41.524.50.524．（6分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？25．（6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？26．（6分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．AB小河北牧童小屋ACB 27．（7分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？28．（8分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？参考答案一、填空题601．5．．1 4．2 5．50 6．直角 7．25 8．10 9．13 10．6，8，10 11．24 12．100mm 13．③ 14．2m二、选择题15．D 16．A 17．C 18．C三、解答题19．15米 20．5米 21．3cm 22．AB=6.5km 23．5cm 24．64米处，最低造价为480元 25．17km 26．22. 3.75尺 27．12海里/时 28．（1）会受影响；（2）10小时。

人教版八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷满分120分一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．下列各组数中,是勾股数的一组是( )A ．6,7,8B ．5,12,13C ．0.6,0.8,1D ．2,4,52．下列线段a ,b ,c 能组成直角三角形的是( )A ．2a =,3b =,4c =B ．4a =,5b =,6c =C ．1a =,2b =,3c = D ．7a =,3b =,6c =3．如图,在四边形ABCD 中,90DAB BCD ∠=∠=︒,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若14135S S +=,349S =,则2(S = )A ．184B ．86C ．119D ．814．如图,在22⨯的网格中,有一个格点ABC ∆,若每个小正方形的边长为1,则ABC ∆的边AB 上的高为( )A ．22B ．55C ．510D ．15．如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少要( )A ．4米B ．5米C ．6米D ．7米6．若直角三角形的两边长分别是5和12,则它的斜边长是( )A ．13B ．13或119C ．119D ．12或137．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10尺）,中部一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面( )尺．A ．4B ．3.6C ．4.5D ．4.558．如图,一轮船以12海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后两船相距( )A ．13海里B ．16海里C ．20海里D ．26海里 9．如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条长16cm 的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A ．45aB ．34aC ．23aD ．12a10．如图,在DEF ∆中,90D ∠=︒,:1:3DG GE =,GE GF =,Q 是EF 上一动点,过点Q 作QM DE ⊥于M ,QN GF ⊥于N ,43EF =,则QM QN +的长是( )A ．43B ．32C ．4D ．23二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）11．在Rt ABC ∆中,斜边2AB =,则222AB BC AC ++= ．12．直角坐标平面内的两点(4,5)P -、(2,3)Q 的距离为 ．13．周长为24,斜边长为10的直角三角形面积为 ．14．一架云梯长2.5米,如图斜靠在一面墙上,梯子的底端离墙0.7米,如果梯子的顶端下滑了0.4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了 米．15．将一根长为30cm 的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、6cm 和24cm 的长方体有盖盒子中,在M 处是盒子的开口处,设细木棒露在杯子外面的长度是为h cm ,则h 的取值范围是 ．16．如图,1OP =,过点P 作1PP OP ⊥,且11PP =,得12OP；再过点1P 作121PP OP ⊥且121PP =,得23OP =；又过点2P 作232P P OP ⊥且231P P =,得32OP =⋯,依此法继续作下去,得2022OP = ．三．解答题（共9小题,满分66分）17．（6分）在ABC ∆中,90C ∠=︒,AB c =,BC a =,AC b =．（1）6a =,8b =,求c ；（2）8a =,17c =,求b ．18．（6分）如图所示的一块地,90ADC ∠=︒,16AD m =,12CD m =,52AB m =,48BC m =,求这块地的面积．19．（6分）小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m ,当他把绳子的下端拉开5m 后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高．20．（6分）如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90B D ∠=∠=︒,3AD =,2BC =．求AB 的长．21．（8分）如图,在ABC ∆中,点D 是BC 边上一点,连接AD ．若10AB =,17AC =,6BD =,8AD =．（1）求ADB ∠的度数；（2）求BC 的长．22．（8分）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处,过了2秒后,小汽车行驶至B 处,若小汽车与观测点间的距离AB 为50米,请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？23．（8分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2,410因为22224202(10)+==⨯,所以这个三角形是奇异三角形．（1）若ABC ∆三边长分别是2,22和6,判断此三角形是否奇异三角形,说明理由；（2）若Rt ABC ∆是奇异三角形,直角边为a 、()b a b <,斜边为c ,求::a b c 的值．（比值从小到大排列）24．（9分）某游乐场部分平面图如图所示,点C 、E 、A 在同一直线上,点D 、E 、B 在同一直线上,DB AB ⊥．测得A 处与E 处的距离为80m ,C 处与E 处的距离为40m ,90C ∠=︒,30BAE ∠=︒．（1）请求出旋转木马E 处到出口B 处的距离；（2）请求出海洋球D 处到出口B 处的距离；（3）判断入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离是否相等？若相等,请证明；若不相等,请说明理由．25．（9分）已知ABC ∆中,90B ∠=︒,8AB cm =,6BC cm =,P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 开始沿B C A→→方向运动,在BC边上的运动速度是每秒2cm,在AC边上的运动速度是每秒1.5cm,它们同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止,设运动时间为t秒．（1）出发2秒后,求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时,t为何值时,ACQ∆的面积是ABC∆面积的13；（3）当点Q在边CA上运动时,t为何值时,PQ将ABC∆周长分为23:25两部分．参考答案一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．【解答】解：A 、222678+≠,6∴,7,8不是一组勾股数,本选项不符合题意；B 、22251213+=,5∴,12,13是一组勾股数,本选项符合题意；C 、0.6,0.8,1不都是正整数,0.6∴,0.8,1不是一组勾股数,本选项不符合题意； D 、222245+≠,2∴,4,5不是一组勾股数,本选项不符合题意；故选：B ．2．【解答】解：A 、222234+≠,不能组成直角三角形,不符合题意； B 、222456+≠,不能组成直角三角形,不符合题意；C 、2221+=,能组成直角三角形,符合题意；D 、222+≠,不能组成直角三角形,不符合题意； 故选：C ．3．【解答】解：由题意可知：21S AB =,22S BC =,23S CD =,24S AD =,连接BD ,在直角ABD ∆和BCD ∆中,22222BD AD AB CD BC =+=+,即1432S S S S +=+,因此21354986S =-=,故选：B ．4．【解答】解：如图,过点C 作CD AB ⊥于D ,在直角ABE ∆中,90AEB ∠=︒,1AE =,2BE =,则由勾股定理知,AB ==由1122AE BC AB CD ⋅=⋅知,AE BCCD AB ⋅===．故选：B ．5．【解答】解：在Rt ABC ∆中,224AC AB BC =-=米, 故可得地毯长度7AC BC =+=米,故选：D ．6．【解答】解：当12是斜边时,它的斜边长是12； 当12是直角边时,它的斜边长2212513=+=； 故它的斜边长是：12或13．故选：D ．7．【解答】解：如图,由题意得：90ACB ∠=︒,3BC =尺,10AC AB +=尺, 设折断处离地面x 尺,则(10)AB x =-尺,在Rt ABC ∆中,由勾股定理得：2223(10)x x +=-, 解得： 4.55x =,即折断处离地面4.55尺．故选：D ．8．【解答】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向, 90BAC ∴∠=︒,两小时后,两艘船分别行驶了12224⨯=（海里）,5210⨯=（海里）, 22241026+=（海里）．答：离开港口2小时后两船相距26海里,故选：D ．9．【解答】解：如图,当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b 最短, 此时b 就是圆柱形的高,即12b cm =；16124()a cm ∴=-=,当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b 最长, 2212513()b cm =+=,∴此时3a =,所以34a ．故选：B ．10．【解答】解：连接QG ．:1:3DG GE =,∴可以假设DG k =,3EG k =,GF EG =,90D ∠=︒,3FG k ∴=,2222DF FG DG k =-=, 43EF =,222EF DE DF =+,2248168k k ∴=+,2k ∴或2,4DF ∴=,111222EFG S EG DF EG QM GF QN ∆=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, 4QM QN DF ∴+==,故选：C ．二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）11．【解答】解：222AB BC AC =+,2AB =,2228AB BC AC ∴++=．故答案为：8．12．【解答】解：根据题意得PQ =故答案为：．13．【解答】解：设直角三角形两直角边长为a ,b ,该直角三角形的周长为24,其斜边长为10,24()10a b ∴-+=,即14a b +=,由勾股定理得：22210100a b +==,22()14a b +=,222196a b ab ∴++=,即1002196ab +=,48ab ∴=,∴直角三角形的面积1242ab ==, 故答案为：24．14．【解答】解：设子的底端在水平方向滑动了x 米,根据勾股定理得：2.4=； 又梯子下滑了2米,即梯子距离地面的高度为(2.40.4)2-=,根据勾股定理：2222.52(0.7)x=++,解得：0.8x=或 2.2-（舍去）．即梯子的底端在水平方向滑动了0.8米,故答案为：0.8．15．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为226810()cm+=,盒子的对角线长：22102426()cm+=,细木棒长30cm,故细木棒露在盒外面的最短长度是：30264()cm-=．所以细木棒露在外面的最短长度是4厘米．当细木棒竖直放置时,细木棒露在盒外面的最长长度是30246()cm-=, 所以细木棒露在外面的最长长度是6厘米．所以h的取值范围是46h,故答案为：46h．16．【解答】解：1OP=,12OP=,23OP=,34OP=,20222023OP∴=．故答案为：2023．三．解答题（共9小题,满分66分）17．【解答】解：（1）在Rt ABC∆中,90C∠=︒,6BC a==,8AC b==, 22226810c AB a b∴==+=+=；（2）在Rt ABC∆中,90C∠=︒,8BC a==,17AB c==,222217815b ACc a∴==-=-=．18．【解答】解：连接AC,在Rt ACD∆中,12CD m=,16AD m=,由222AD CD AC +=,解得20AC m =,在ABC ∆中,52AB m =,20AC m =,222220482704AC CB +=+=,22522704AB ==,222AC CB AB ∴+=,ABC ∴∆为直角三角形,要求这块地的面积,求ABC ∆和ACD ∆的面积之差即可,ABC ACD S S S ∆∆=-1122AC BC CD AD =⨯-⨯ 112048121622=⨯⨯-⨯⨯ 48096=-2384m =,答：这块地的面积为2384m ．19．【解答】解：设旗杆的高AB 为xm ,则绳子AC 的长为(1)x m + 在Rt ABC ∆中,222AB BC AC +=2225(1)x x ∴+=+解得12x =12AB ∴=∴旗杆的高12m ．20．【解答】解：延长DC 交AB 的延长线于点E ,90B D ∠=∠=︒,60A ∠=︒,3AD =,2BC =,30E ∴∠=︒,26AE AD ∴==,24CE BC ==,BE ∴===6AB AE BE ∴=-=-21．【解答】解：（1）2222226810BD AD AB +=+==,ABD ∴∆是直角三角形,90ADB ∴∠=︒；（2）在Rt ACD ∆中,2215CD AC AD =-=,61521BC BD CD ∴=+=+=,答：BC 的长是21．22．【解答】解：90ACB ∠=︒∴由勾股定理可得：2222503040BC AB AC =--=,40米0.04=千米,2秒11800=小时． 10.0472701800÷=>． 所以超速了．23．【解答】解：（1）2222(22)122(6)+==⨯,ABC ∴∆是奇异三角形,（2）Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,222a b c ∴+=,c b a >>,2222c b a ∴>+,2222a b c <+,Rt ABC ∆是奇异三角形,2222b a c ∴=+,22222b a a b ∴=++,222b a ∴=,2b a ∴=,222a b c +=,223c a ∴=,c ∴,::a b c ∴=24．【解答】解：（1）在Rt ABE ∆中,30BAE ∠=︒,118040()22BE AE m ∴==⨯=, ∴旋转木马E 处到出口B 处的距离为40m ；（2）30BAE ∠=︒,CED AEB ∠=∠,90C ABE ∠=∠=︒30D BAE ∴∠=∠=︒,280()DE CE m ∴==,8040120()DE BE m ∴+=+=,∴海洋球D 处到出口B 处的距离为：120m ；（3）在Rt CDE ∆与Rt ABE ∆中,由勾股定理得：)AB m ==,)CD m ==,AB CD ∴=,∴入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离相等．25．【解答】解：（1）当2t s =时,点Q 在边BC 上运动,则2AP cm =,24()BQ t cm ==,8AB cm =,826()BP AB AP cm ∴=-=-=,在Rt BPQ ∆中,由勾股定理可得)PQ cm =,PQ ∴的长为；（2）12ACQ S CQ AB ∆=⋅,12ABC S BC AB ∆=⋅,点Q 在边BC 上运动时,ACQ ∆的面积是ABC ∆面积的13,1162()33CQ BC cm ∴==⨯=,624()BQ BC CQ cm ∴=-=-=,422t ∴==,∴当点Q 在边BC 上运动时,t 为2时,ACQ ∆的面积是ABC ∆面积的13；（3）在Rt ABC ∆中,由勾股定理得：10()AC cm =, 当点P 达到点B 时,881t ==,当点Q 达到点A 时,610292 1.53t =+=,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止, 08t ∴,AP t =cm ,(8)BP t cm ∴=-,点Q 在CA 上运动时,61.5()(1.5 4.5)()2CQ t t cm =⨯-=-,10(1.5 4.5)( 1.514.5)()AQ t t cm ∴=--=-+,86 1.5 4.5(0.59.5)()BP BC CQ t t t cm ∴++=-++-=+,( 1.514.5)(0.514.5)()AP AQ t t t cm +=+-+=-+, 分两种情况： ①2325BP BC CQAP AQ ++=+, 即0.59.5230.514.525t t +=-+,解得：4t =,经检验,4t =是原方程的解,4t ∴=； ②2523BP BC CQAP AQ ++=+, 即0.59.5250.514.523t t +=-+,解得：6t =,经检验,6t =是原方程的解,6t ∴=；综上所述,当点Q 在边CA 上运动时,t 为4或6时,PQ 将ABC ∆周长分为23:25两部分．。

人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元测试题（含答案）1．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，41 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE 与CD相交于F，则CF的长是（）A．1 B．C．D．23．等腰三角形的周长为36，其底边上的高为6，则其面积为（）A．216 B．96 C．48 D．324．下列命题中真命题的个数（）（1）已知直角三角形面积为4，两直角边的比为1：2，则它的斜边为5；（2）直角三角形的最大边长为26，最短边长为10，则另一边长为24；（3）在直角三角形中，两条直角边长为n2﹣1和2n，则斜边长为n2+1；（4）等腰三角形面积为12，底边上的底为4，则腰长为5．A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知锐角△ABC的三边长恰为三个连续整数，AB＞BC＞CA，若边BC上的高为AD，则BD ﹣DC＝（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知直角三角形的周长是2+，斜边是2，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．17．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对8．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB ＝3，AE＝4，则BC+AC的长是（）A．7 B．8 C．D．9．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC 于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．510．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm11．如图，△ABC三条边AC＝20cm，BC＝15cm，AB＝25cm，CD⊥AB，则CD＝cm．12．如图，已知CD＝3，AD＝4，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．则图中阴影部分的面积＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，若AB＝4，BC＝3，则CD的长为．14．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长均为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于D，则BD的长＝．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则△ABC的面积为．16．已知△ABC是边长为6的等边三角形，点E在直线AB上，AB＝AE，在直线BC上取点D，若ED＝EC，则CD的长为．17．如图△ABC中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AC＝10，则DC的长是，AD＝．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，E为AB的中点，EC⊥AB，若AD＝2，AB ＝6．则CD的长度为．19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，4），C（1，m），当△ABC是直角三角形时，m的值为．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AC＝3cm，AB＝5cm，则DE＝cm．21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠ADC＝150°，四边形ABCD的周长为32．（1）求∠BDC的度数；（2）四边形ABCD的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D 从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当t＝时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．23．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．（1）若∠A＝36°，求∠DCB的度数；（2）若AB＝10，CD＝6，求BC的长．24．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？25．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？（2）若BE⊥DC，垂足为E，求BE的长．26．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．（1）求△ABC的面积；（2）通过计算判断△ABC的形状；．（3）求AB边上的高．27．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B →C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？参考答案1．解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；B、因为52+62≠72，不属于勾股数；C、因为62+82＝102，属于勾股数；D、因为92+402＝412，属于勾股数；故选：B．2．解：过点E作EG⊥AB于点G，如图：∵CD⊥AB于D，∴EG∥CD，∴∠GEB＝∠EFC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴EC⊥CB，又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∴EG＝EC．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5．在Rt△EBC和Rt△EBG中，，∴Rt△EBC≌Rt△EBG（HL），∠CEB＝∠GEB，BG＝BC＝4，∴∠CEB＝∠EFC，AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1，∴CF＝CE．设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得：（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝∴CF的长是．故选：B．3．解：设等腰三角形的腰长是x，根据周长可以表示出其底边是（36﹣2x）．根据等腰三角形的三线合一，得底边的一半是（18﹣x），根据勾股定理得：x2＝62+（18﹣x）2，解得：x＝10，则底边＝36﹣2x＝16，根据三角形的面积公式即可计算：×6×16＝48．故选：C．4．解：（1）设两直角边的长分别为x，2x，∵x•2x＝4，解得x＝2，∴直角三角形两直角边的长分别为2，4，∴斜边长＝＝2，故本小题错误；（2）∵直角三角形的最大边长为26，最短边长为10，∴另一边长＝＝24，故本小题正确；（3）∵在直角三角形中，两条直角边长为n2﹣1和2n，∴斜边长＝＝n2+1，故本小题正确；（4）设等腰三角形底边上的高为h，∵等腰三角形面积为12，底边上的底为4，∴×4h＝12，解得h＝6，∴腰长＝＝2，故本小题错误．故选：B．5．解：设BC＝n，则有AB＝n+1，AC＝n﹣1，因为AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，所以（n+1）2﹣（n﹣1）2＝（BD﹣CD）n，所以BD﹣CD＝4，故选：B．6．解：设直角三角形的两直角边分别为a、b（a＞b），则满足，解得2ab＝2，则ab＝1，所以这个三角形的面积为S＝ab＝．故选：C．7．解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD＝15；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD＝6．当AD在三角形的内部时，BC＝15+6＝21；当AD在三角形的外部时，BC＝15﹣6＝9．则BC的长是21或9．故选：D．8．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∠AHE＝∠CHD，∴∠EAH＝∠ECB，又EH＝EB，∴△AEH≌△CEB．∴BC＝AH＝5，EC＝AE＝4，∴AC＝4，∴BC+AC＝5+4．故选：C．9．解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选：A．10．解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，则c＝30cm．故选：A．11．解：∵202+152＝252，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∵S△ACB＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，20×15＝25•CD，CD＝12．故答案为：12．12．解：由勾股定理可知：AC＝＝＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形故所求面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24，故答案为：24．13．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，∴AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝．故答案为：．14．解：△ABC的面积＝×BC×AE＝2，由勾股定理得，AC＝＝，则××BD＝2，解得BD＝．故答案为：．15．解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝DA＝，在Rt△ADC中，DC＝＝＝1，∴BC＝+1．∴△ABC的面积＝AC•BC＝+1；故答案为：+1．16．解：分两种情况：①当点E在BA延长线上时，过点E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF中，∠BEF＝30°，∵AB＝AE＝6，∴AE＝4，∴BF＝BE＝（4+6）＝5，∵BC＝6，∴CF＝6﹣5＝1，∵ED＝EC，EF⊥CD，∴CD＝2CF＝2；②当点E在线段AB上时，过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF中，∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝（AB﹣AE）＝1，∵BC＝6，∴CF＝6﹣1＝5，∵ED＝EC，EF⊥CD，∴CD＝2CF＝10．综上所述，CD的长为2或10．故答案为：2或10．17．解：设CD＝x，则BD＝BC+CD＝9+x．在△ACD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AC2﹣CD2，在△ABD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（9+x）2，解得：x＝6，即CD＝6，∴AD2＝102﹣62＝64，∴AD＝8．故答案为：6，8．18．解：过A点作AF⊥BC于F，过D点作DG⊥BC于G，则四边形AFGD是矩形，∵在Rt△AFB中，∠B＝60°，AB＝6，∴∠BAF＝30°，∴BF＝×6＝3，∴AF＝＝3，∴DG＝3，∵AD＝2，∴FG＝2，∴CG＝BC﹣BF﹣FG＝1，∴在Rt△CGD中，CD＝＝2．故答案为：2．19．解：①A是直角顶点，（﹣3﹣0）2+（0﹣4）2+（﹣3﹣1）2+（0﹣m）2＝（0﹣1）2+（m﹣4）2，解得m＝﹣3；②B是直角顶点，（﹣3﹣0）2+（0﹣4）2+（0﹣1）2+（m﹣4）2＝（﹣3﹣1）2+（0﹣m）2，解得m＝；③C是直角顶点，（﹣3﹣1）2+（0﹣m）2+（0﹣1）2+（m﹣4）2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣4）2，解得m＝2．故当△ABC是直角三角形时，m的值为﹣3或或2．故答案为：﹣3或或2．20．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3cm，AB＝5cm，∴BC＝＝4，∴Rt△ABC的面积为：×3×4＝6，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝DC，∴×AC×CD+×AB×DE＝6，解得，DE＝cm，故答案为：．21．解：（1）∵AB＝AD＝8cm，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵∠ADC＝150°∴∠BDC＝150°﹣60°＝90°；（2）∵△ABD为正三角形，AB＝8cm，∴其面积为××AB×AD＝16，∵BC+CD＝32﹣8﹣8＝16，且BD＝8，BD2+CD2＝BC2，解得BC＝10，CD＝6，∴直角△BCD的面积＝×6×8＝24，故四边形ABCD的面积为24+16．22．解：（1）t＝2时，CD＝2×2＝4，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，即×25•BD＝×20×15，解得BD＝12，所以CD＝＝＝9，t＝9÷2＝4.5（秒）；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，t＝25÷2＝12.5（秒），综上所述，t＝4.5或12.5秒；故答案为：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，则CE＝BE，CD＝AD＝AC＝×25＝12.5，t＝12.5÷2＝6.25；②CD＝BC时，CD＝15，t＝15÷2＝7.5；③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，则CF＝9，CD＝2CF＝9×2＝18，t＝18÷2＝9，综上所述，t＝6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．23．解：（1）在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝36°，∵CD⊥AB于点D，∴∠DCB＝90°﹣72°＝18°；（2）∵△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，AB＝10，CD＝6，∴AC＝AB＝10．设BD＝x，则AD＝10﹣x，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，即102＝62+（10﹣x）2，解得x＝2．在Rt△BCD中，∵BC2＝CD2+BD2，即BC2＝62+22＝40，∴BC＝＝2．24．解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，根据勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．25．（1）解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，即∠DBC＝90°，S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用36×200＝7200（元）．（2）作BE⊥CD，垂足为E，在Rt△DBC中，由于BD•BC＝CD•BE，即BE＝＝．26．解：（1）△ABC的面积＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5；（2）由勾股定理得：AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（3）∵AC＝＝2，BC＝，△ABC是直角三角形，∴AB边上的高＝＝＝2．27．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C 开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝2cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∴PA＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或 10.8s时△BCP为等腰三角形．。

一、选择题BC=，点P移1．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若8动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（）A．6 B．4πC．8 D．102．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（）A．12 B．13 C．15 D．243．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则△ABC的三条边中边长是无理数的有（）A．0条B．1条C．2条D．3条4．如图，用64个边长为1cm的小正方形拼成的网格中，点A，B，C，D，E，都在格点（小正方形顶点）上，对于线段AB，AC，AD，AE，长度为无理数的有（）．A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条5．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）A ．25B ．16C ．50D ．41 6．下列各组数是勾股数的是（ ） A ．0.3，0.4，0.5B ．7，8，9C ．6，8，10D ．3，4，5 7．下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A ．3，4，5B ．1，2，3C ．8，9，10D ．5，6，9 8．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．459．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得12BC AB =；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）A ．555-B ．1055-C ．10510-D ．555+ 10．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝1；再以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，那么点P 表示的数是（ ）A ．2.2B ．5C ．1+2D ．6 12．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．84B ．64C ．48D ．46二、填空题13．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．14．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm ．15．如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，过点D 作DE 垂直AB 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长是_______．16．如图是“赵爽弦图”，ABH ，BCG ，CDF 和DAE △是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于________．17．如图，长方体的底面边长分别为3cm 和3cm ，高为5cm ，若一只蚂蚁从A 点开始经过四个侧面爬行一圈到达B 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．18．一根长16cm 牙刷置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是___．19．如图，90AOB ∠=︒，9OA m =，3OB m =，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC 为__________．20．如图，它是四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边为b ，那么+a b 的值为__________．三、解答题21．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺=10寸），则AB 的长是多少?22．已知ABC ∆中，ACB ∠=90°，如图，作三个等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB∆，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别为1S，2S，3S，4S．（1）当AC=6，BC=8时，①求1S的值；②求4S-2S-3S的值；（2）请写出1S，2S，3S，4S之间的数量关系，并说明理由．23．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40mπ的半圆，其边缘20m==AB CD，点E在CD上，5mCE=，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）24．阅读下列材料：小明遇到一个问题：在ABC中，AB，BC，AC51013求ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图①所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（1）图2是一个66⨯的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷．．的图2132029DEF．②计算①中DEF的面积为__________．（直接写出答案）（2）如图3，已知PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．①判断PQR与PEF面积之间的关系，并说明理由．②若10PQ =，13PR =，3QR =，直接．．写出六边形AQRDEF 的面积为__________．25．△ABC 三边长分别为，AB ＝25，BC ＝10，AC ＝34．（1）请在方格内画出△ABC ，使它的顶点都在格点上；（2）求△ABC 的面积；（3）求最短边上的高．26．在锐角ABC ∆中，∠BAC =45°．（1）如图1，BD ⊥AC 于D ，在BD 上取点E ，使DE =CD ，连结AE ，F 为AC 的中点，连结EF 并延长至点M ，使FM =EF ，连结CM 、BM ．①求证：△AEF ≌△CMF ；②若BC =2，求线段BM 的长．（2）如图2，P 是△ABC 内的一点，22AB =（即28AB =），AC =32PA +PB +PC 的最小值，并求此时∠APC 的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出AB 即可求解．【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P 移动的最短距离为AS=5，根据题意，BS=12BC=4，∠ABS=90°， ∴AB=22AS BS -=2254-=3，∴圆柱的底面周长为2AB=6，故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P 移动的最短距离是AS 是解答的关键．2．A解析：A【分析】设旗杆的高度为x m ，则AC x =m ，AB=()1x +m ，BC=5，利用勾股定理即可解答．【详解】设旗杆的高度为x m ，则AC x =m ，AB=()1x +m ，BC=5m ，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=()22251x x ∴+=+解得：12x =故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，利用勾股定理与方程的结合解决实际问题． 3．C解析：C【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可．【详解】解：由勾股定理得：5AC ==，是有理数，不是无理数；BC ==AB ==即网格上的△ABC 三边中，边长为无理数的边数有2条，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数和勾股定理，能正确根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键． 4．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出AB ，AC ，AD ，AE 这4条线段的长度，即可得出结果．【详解】根据勾股定理计算得：5=，=10=，长度为无理数的有2条，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理及无理数．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．5．C解析：C【分析】由勾股定理解得2AB 、22CD BD +，再根据正方形边长相等的性质得到222225CD BD BC AB +===，据此解题即可．【详解】解：由勾股定理得，222131225AB =-=222BC CD BD =+222225CD BD BC AB ∴+===∴阴影部分的面积是222252550CD BD BC ++=+=，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．C解析：C【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A 、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意；B 、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意；C 、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意；D 345故选：C ．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．7．A解析：A【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A 、222345+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B 、222123+≠，不能构成三角形，故不是勾股数；C 、2220981，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D 、222569+≠，不能构成直角三角形，故不是勾股数．故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键． 8．D解析：D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．9．A解析：A【分析】由勾股定理求出AC=AD=AE=AC-CE=-5即可．【详解】解：∵BC⊥AB，AB=10，CE＝BC=11105 22AB=⨯=，∴==∴AD=AE=AC-CE=5，故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．B解析：B【分析】由勾股定理求出AC＝10，求出BE＝4，设DE＝x，则BD＝8−x，得出（8−x）2＋42＝x2，解方程求出x即可得解．【详解】∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴10=，∵将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，∴AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE−AB＝10−6＝4，在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，∵BD 2＋BE 2＝DE 2，∴（8−x ）2＋42＝x 2，解得：x ＝5，∴DE ＝5．故选B ．【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据题意可知AOB 为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB 的长度，从而得出OP 长度，即可选择．【详解】∵AB OA ⊥∴AOB 为直角三角形．∴在Rt AOB 中，OB根据题意可知2=1OA AB =，，∴OB又∵OB OP =，∴P故选：B ．【点睛】本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出OB 的长是解答本题的关键．12．B解析：B【分析】根据正方形的面积等于边长的平方和勾股定理求解即可．【详解】解：设中间直角三角形的边长分别为a 、b 、c ，且a 2=225，c 2=289，由勾股定理得b 2=c 2﹣a 2=289﹣225=64，∴字母A 所代表的正方形的面积为b 2=64，故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．二、填空题13．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE 根据线段的和差关系可得CD 的长设CE=x 则DE=8-x 利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案【详解】∵∠ACB ＝90°BC ＝解析：3【分析】利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB ，DE=AE ，根据线段的和差关系可得CD 的长，设CE=x ，则DE=8-x ，利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案．【详解】∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，∴，∵BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，∴BD=AB=10，DE=AE ，∠DCE=90°，∴CD=BD-BC=10-6=4，设CE=x ，则DE=AE=AC-CE=8-x ，∴在Rt △DCE 中，DE 2=CE 2+CD 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键． 14．13【分析】如图将容器侧面展开建立A 关于的对称点根据两点之间线段最短可知的长度即为所求【详解】将圆柱沿A 所在的高剪开展平如图所示则作A 关于的对称点连接则此时线段即为蚂蚁走的最短路径过B 作于点则在中由 解析：13【分析】如图，将容器侧面展开，建立A 关于MM '的对称点A '，根据两点之间线段最短可知A B '的长度即为所求．【详解】将圆柱沿A 所在的高剪开，展平如图所示，则10cm MM NN '='=，作A 关于MM '的对称点A '，连接A B '，则此时线段A B '即为蚂蚁走的最短路径，过B 作BD A A ⊥'于点D ，则5,''123312cm BD NE cm A D MN A M BE ===+-=+-=，在Rt A BD '中，由勾股定理得13cm A B '==，故答案为：13．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．15．【分析】连接AE 设CE ＝x 由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE 在Rt △ACE 中利用勾股定理即可求出CE 的长度【详解】解：如图连接AE 设∵点D 是线段AB 的中点且∴DE 是AB 的垂直平分线∴∴ 解析：76【分析】连接AE ，设CE ＝x ，由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE ，在Rt △ACE 中，利用勾股定理即可求出CE 的长度．【详解】解：如图，连接AE ，设CE x =， ∵点D 是线段AB 的中点，且DE AB ⊥，∴DE 是AB 的垂直平分线，∴3AE BE BC CE x ==+=+，∴在Rt ACE 中，222AE AC CE =+，即()22234x x +=+， 解得76x =． 故答案为：76．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质并利用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．16．6【分析】根据题意设则可得即可得由勾股定理列方程求出x 的值即可得出结论【详解】解：∵∴设则和是四个全等的直角三角形在中解得：故答案为：6【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用熟练运用勾股定理是解答此题 解析：6【分析】根据题意设3AH x =，则可得4AE x =，HE x =，即可得4BH x =，由勾股定理列方程求出x 的值即可得出结论．【详解】解：∵:3:4AH AE =∴设3AH x =，则4AE x =，HE AE AH x =-=， ABH △，BCG ，CDF 和DAE △是四个全等的直角三角形，4BH AE x ∴==，在Rt ABH △中，222AB AH BH =+，22210(3)(4)x x ∴=+，解得：2x =．36AH x ∴==．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解答此题的关键．17．13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径只需将长方体展开然后利用两点之间线段最短及勾股定理求解即可【详解】解：展开图如图所示：由题意在中AD=12cmBD=5cm 蚂蚁爬行的最短路径长为：故答案为1解析：13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，只需将长方体展开，然后利用两点之间线段最短及勾股定理求解即可．【详解】解：展开图如图所示：由题意，在Rt ADB 中，AD=12cm ，BD=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长为：2222=+=+=，12513AB AD BD cm故答案为13．【点睛】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握求最短路径的方法是解题的关键．18．3≤h≤4【分析】先根据题意画出图形再根据勾股定理解答即可【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大h最大=16-12=4cm当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小如图所示：此时AB==13cm故h=1解析：3≤h≤4【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大=16-12=4cm．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，2222+=+=13cm，125AC BC故h=16-13=3cm．故h的取值范围是3≤h≤4．故答案是：3≤h≤4．【点睛】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．19．5m【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等得到BC=AC设BC=AC=xm根据勾股定理求出x的值即可【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等∴BC=AC设BC=AC=xm则解析：5m【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=xm，则OC=（9-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（9-x）2=x2，解得x=5．故答案为：5m．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．20．5【分析】根据题意结合图形求出ab与a2+b2的值原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值【详解】解：根据题意得：c2=a2+b2=134×ab=13-1=12即2ab=12则（a+b）2=a2解析：5【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×12ab=13-1=12，即2ab=12，则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，则a+b=5故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题21．101寸【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA=OB=AD=BC，设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r （寸），DE=10寸，OE=12CD=1寸， ∴AE=（r -1）寸，在Rt △ADE 中， AE 2+DE 2=AD 2，即（r -1）2+102=r 2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．22．（1）① 9；② 9；（2）4123S S S S =++，见解析【分析】（1）①在等腰直角三角形ACD ∆中，根据勾股定理AD =CD =②设5BEG S S ∆=，则()45235423++BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--，利用勾股定理得出AE BE ==CF BF ==即可求解；（2）设5BEG S S ∆=，假设一个等腰直角三角形的斜边为a ，则面积为214a ，利用勾股定理得出222AC BC AB +=，则222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△，依此即可求解．【详解】解：（1）①ACD ∆是等腰直角三角形，AC =6，∴AD =CD =1192S ∴=⨯=； ②ACB ∠=90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，EAB ∆和FCB ∆是等腰直角三角形， ∴AE BE ==CF BF ==，设5BEG S S ∆=()4523542311++922BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--=⨯⨯；（2）设5BEG S S ∆=， 如图，等腰直角三角形的面积公式12ABC S AB CD =⋅=214a ，∵等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆， ∴222111,,444ADC BFC ABE S AC S BC S AB ===△△△， ∵222AC BC AB +=，∴222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△， ∴451253S S S S S S +=+++，∴4123S S S S =++．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．23．25米【分析】要求滑行的最短距离，需将该U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图是其侧面展开图：AD=π•20π=20，AB=CD=20．DE=CD-CE=20-5=15，在Rt △ADE 中，22AD DE +222015+．故他滑行的最短距离约为25米．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为20π的半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20．本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．24．（1）①见解析，②8；（2）①△PQR 与△PEF 面积相等，理由见解析，②32.【分析】（1）应用构图法，用四边形面积减去三个三角形面积即可得．（2）①根据题意作出图形；②应用构图法，用四边形面积减去三个三角形面积即可得. （3）如图，将△PQR 绕点P 逆时针旋转90°，由于四边形PQAF ，PRDE 是正方形，故F ，P ，H 共线，即△PEF 和△PQR 是等底同高的三角形，面积相等.应用构图法，求出△PQR 的面积：111432241235222PQR S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.从而由2PQR PQAF PRDE AQRDEF S S S S ∆=++正方形正方形六边形求得所求.【详解】（1）11133132132 3.5222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. （2）①作图如下：②111452342258222ADEF S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. （3）()()2222522331PQR PQAF PRDE AQRDEF S S S S ∆=++=⨯++=正方形正方形六边形.25．（1）见解析；（2）7；（3）105． 【分析】 （1）根据AB ＝2252024==+， BC 221031=+，，AC 223435+，利用勾股定理不难在网格上画出△ABC ；（2）如图，根据S △ABC =ADB BEC AFC ADEF S S S S ---⊿⊿⊿矩形不难得到答案；（3）对各边作出比较，可以找出最短边，然后根据三角形面积公式可求得最短边上的高．【详解】解：（1）如图所示：△ABC 即为所求；（2）如图，S △ABC ＝5×4﹣122⨯×4﹣12⨯1×3﹣12⨯3×5＝7，∴△ABC 的面积是7；（3）∵10＜534∴BC 是最短边，作AH ⊥BC ，交CB 延长线于点H ，∵S △ABC ＝12BC •AH ， ∴AH ＝2ABC S BC ＝10＝105． 710． 【点睛】本题考查三角形面积的综合问题，熟练掌握三角形面积的各种求解方法是解题关键． 26．（1）①见解析；②2229，此时∠APC =90°【分析】（1）①根据SAS 证明△AEF ≌△CMF 即可；②证明△BCM 是等腰直角三角形，由勾股定理求解即可；（2）将△APB 绕点A 逆时针旋转 90°得到△AFE ，连接FP 、CE ，推荐2FP =，∠EAC =135°，作 EH ⊥CA 交 CA 的延长线于H ，求得EH =AH =2，CH =5，在Rt △EHC 中，可得29CE C 、P 、F 、E 2PA +PB +PC 的最小值为CE ，故可得结论．【详解】（1）①∵F 为AC 的中点，∴AF =CF在△AEF 和△CMF 中EF FM AFE CFM AF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△CMF②由（1）得△AEF ≌△CMF ，∴AE =CM ，∠DAE =∠FCM ，∵BD ⊥AC ，∠BAC =45°，∴AD =BD在△AED 和△BCD 中90DE DC ADE BDC AD BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AED ≌△BCD ，．∴AE =BC ，∠DAE =∠DBC ，∴BC =CM ，∠FCM =∠DBC ，∵∠BCF +∠DBC =90°，∴∠BCF +∠FCM =90°，∴△BCM 是等腰直角三角形， 由勾股定理得，22448(22)BM BC CM =+=+=或 （2）将△APB 绕点A 逆时针旋转 90°得到△AFE ，连接FP 、CE ，易知△AFP 是等腰直角三角形，∴2FP AP ，∠EAC =135°，作 EH ⊥CA 交 CA 的延长线于 H ．在Rt △ EAH 中，228AE AB == ，∵∠H =90° ， ∠EAH =45°， ∵222EH AH AE +==8，∴EH =AH =2，∴CH =5，在 Rt △EHC 中，2242529CE EH CH =+=+∵2+PC =FP +EF +PC ≥CE ，∴点C 、P 、F 、E 2PA +PB +PC 的最小值为CE ，此时，∠AFP+∠AFE=90°，∠BPC +∠APF=180°，∵∠AFP=∠APF=45°，∴∠AFE=∠BPC=135°，∴∠APB=∠BPC=135°∴∠APC=360°-135°-135°=90°∴+PB+PC，此时∠APC=90°【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质，勾股定理，判断出两对三角形全等是解本题的关键．。