新浙教版九年级数学上册课后练习：4.6 相似多边形

九年级数学上4.6相似多边形同步导学练（浙教版附答案）4.6 相似多边形对应边成比例并且对应角相等的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为(D).A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶ 2.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(A). A. B. C. D. 3.下列说法中，错误的是(C). A.等边三角形都相似 B.等腰直角三角形都相似 C.矩形都相似 D.正方形都相似 4.如图所示的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为(C). A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶ （第4题）（第5题） 5.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F上，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD等于(B). A. B. C. D.2 6.如图所示，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，已知∠A=120°，∠B=85°，∠C1=75°，AB=10，A1B1=16，CD=18，则∠D1= 80° ，C1D1= 28.8 ，它们的相似比为5∶8 ．（第6题）（第7题）（第8题） 7.如图所示，在周长为9cm的四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AC=BD=3cm，顺次连结OA，OB，OC，OD的中点得四边形A1B1C1D1，顺次连结OA1，OB1，OC1，OD1的中点得四边形A2B2C2D2……依此作下去，得四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的周长为 cm，面积为 cm2.（用含n的代数式表示） 8.如图所示，菱形ABCD的周长为12，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E和F（点E在点F的左侧），若要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为 . （第9题） 9.如图所示，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连结EB，GD．（1）求证：EB=GD．（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【答案】(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD.∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB.∴∠EAB=∠GAD.∵AE= AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD.∴EB=GD. (2)如答图所示，连结BD交AC于点P，则BP⊥AC. （第9题答图）∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°.∴BP=AB=1，AP==.∵AE=AG=，∴EP=2.∴EB==.∴GD=. 10.如图所示，矩形ABCD的面积是72，点E在BC上，点F在DC上，且DF=AB，BE=AD，则矩形ECFG的面积是(C). A.9 B.12 C.18 D.24 （第10题）（第11题） 11.如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，则等于(B). A. B. C. D.2 12.如图所示，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，有下列结论：①∠AME=108°；②五边形PFQNM∽五边形ABCDE；③AN2=AM ・AD.其中正确的是(D). A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ （第12题）（第13题） 13.一块矩形绸布的宽AB=a（m），长AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，若使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则a的值为 . 14.如图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60°.取AB的中点A1，连结A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连结D1C1，如图2所示.取A1B的中点A2，连结A2C1，再分别取A2C1，BC1的中点D2，C2，连结D2C2，如图3所示……如此进行下去，则线段DnCn 的长度为 . 图1 图2 图3 （第14题） 15.如图所示，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD=12，AB=6，设AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d. （1）当a=b=c=d=2时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD吗？为什么？（2）若矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则a，b，c，d应满足怎样的等量关系？请说明理由. （第15题）【答案】(1)不相似.理由如下：∵，∴ .∴矩形A′B′C′D′与矩形ABCD不相似. (2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即= 可得a+c=2b+2d.∴当a+c=2b+2d时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD.16.【葫芦岛】如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连结AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连结AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1……按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为 5n2的面积为 . （第16题）（第17题） 17.【成都】已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为 (3n-1,0) .18.数学学习小组在学过相似图形的知识这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去.如我们可以定义：长和宽之比相等的矩形是相似矩形；相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方等.请你参与这个学习小组，一同探索这类问题. （1）写出判定菱形相似的一种判定方法．（2）如图所示，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE．（3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．（第18题）【答案】(1)若两个菱形有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似. (2)∵AD∥A′E∥FC，AB∥A′F∥EC，∴四边形A′FCE为平行四边形，△CEA′∽△CDA, △CFA′∽△CBA.∴.∵AD=AB,∴EA′=FA′.∴四边形A′FCE为菱形.∵∠EA′F=∠DAB,∴菱形A′FCE∽菱形ABCD. (3)∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，∴菱形ABC与菱形A′FCE的面积比为2∶1.∴对应边之比为∶1，即AC∶A′C=∶1.∵AC=，∴A′C=1.∴AA′=-1.。

4.6 相似多边形1．下列说法中，正确的是(C)A. 所有的菱形都相似B. 所有的矩形都相似C. 所有的正六边形一定相似D. 所有的等腰梯形都相似2．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是(B)(第2题)A. ∠E＝2∠KB. BC＝2HIC. 六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D. S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL3．如果两个相似五边形的面积之比为16∶9，那么这两个相似五边形的周长之比为(B)A. 16∶9B. 4∶3C. 2∶3D. 256∶814．有一个多边形的各边长分别是4cm ，5cm ，6cm ，4cm ，5cm ，和它相似的一个多边形的最长边长为8cm ，那么这个多边形的周长是__32__cm.5．如图，已知四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，则CD ＝__10__，∠D ＝__105°__．(第5题)6．两个相似多边形的一组对应边分别是3 cm 和4.5 cm ，如果它们的面积之和是78 cm 2，那么较大的多边形的面积是__54__cm 2.7．已知矩形ABCD 的长AB ＝30，宽BC ＝20.(1)如图①，若矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似吗？请说明理由．(2)如图②，当x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似？(第7题)【解】 (1)不相似．理由如下：∵AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18， ∴2830≠1820. ∴两矩形不相似．(2)若矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似，则A ′B ′AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB. ∴30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230，解得x ＝1.5或x ＝9.∴当x ＝1.5或9时，两矩形相似．8．如图，等腰梯形ABCD 是某儿童公园中游乐场的示意图．为满足市民的需求，计划建一个与原游乐场相似的新游乐场，要求新游乐场以MN 为对称轴，且与原游乐场的相似比为2∶1.请你画出新游乐场的示意图．(第8题)【解】 如图，梯形A ′B ′C ′D ′就是所求的新游乐场(梯形沿网格上下平移都可以)．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 在第二象限，OA ，OC 分别在x 轴和y轴上，且OA ＝2，OC ＝1.在第二象限内，将矩形AOCB 的边长扩大为原来的32倍，得到矩形A 1OC 1B 1, 再将矩形A 1OC 1B 1的边长扩大为原来的32倍，得到矩形A 2OC 2B 2……以此类推，得到的矩形A n OC n B n 的对角线交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3n 2n ，3n2．(第9题)【解】 ∵在第二象限内，将矩形AOCB 的边长扩大为原来的32倍，得到矩形A 1OC 1B 1，∴矩形A 1OC 1B 1与矩形AOCB 相似，点B 与点B 1是对应点． ∵OA ＝2，OC ＝1， ∴OA 1＝2×32，OC 1＝1×32，∴点B 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2×32， 1×32.∵将矩形A 1OC 1B 1的边长扩大为原来的32倍，得到矩形A 2OC 2B 2，∴OA 2＝2×32×32，OC 2＝1×32×32，∴点B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2×32×32，1×32×32，……∴点B n ⎝⎛⎭⎪⎫－2×3n2n ，1×3n2n ，∴矩形A n OC n B n 的对角线交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2×3n 2n ×12，1×3n 2n×12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－3n 2n ，3n2n ＋1. 10．如图，已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O ，以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的直角坐标系，以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2D 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2……按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n, 则点A n 的坐标为(3n －1，0)．(第10题)【解】 ∵菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°， ∴∠A 1B 1O ＝30°，∴OA 1＝12A 1B 1＝2×12＝1，∴OB 1＝3，∴点A 1(1，0)．∵菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1, ∴∠B 1C 2D 1＝∠A 1B 1C 1＝60°， ∴∠B 1A 2O ＝30°， ∴OA 2＝3OB 1＝3， ∴点A 2(3，0)．同理可得点A 3(9，0)，A 4(27，0)…… ∴点A n (3n －1，0)．11．如图，在矩形ABCD 中，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，且四边形EFDC 与矩形ABCD 相似．(第11题)(1)求证：四边形ABEF 是正方形． (2)求证：点F 是AD 的黄金分割点． 【解】 (1)∵∠B ＝∠BAF ＝∠AFE ＝90°， ∴四边形ABEF 是矩形． 由折叠的性质可知AB ＝AF ， ∴四边形ABEF 是正方形．(2)∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴矩形EFDC ∽矩形DABC ，∴FD AB ＝CDCB.∵CD ＝AB ＝AF ，CB ＝AD ，∴FD AF ＝AF AD， ∴点F 是AD 的黄金分割点．12．如图，A n系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸……A n纸对裁后可以得到A n＋1纸．(第12题)(1)填空：A1纸的面积是A2纸面积的__2__倍，A2纸的周长是A4纸周长的__2__倍．(2)根据A n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比．(3)设A1纸的质量为a(g)，试求出A8纸的质量(用含a的代数式表示)．【解】(1)∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，∴A1纸的面积是A2纸面积的2倍．设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸的周长＝2(a＋b)．易知A 3纸的长为b ，宽为a 2，A 4纸的长为a 2，宽为b2，故A 4纸的周长＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝a ＋b ，∴A 2纸的周长是A 4纸周长的2倍．(2)设A 1纸的长与宽分别是m ，n ，则A 2纸的长与宽分别为n ，12m ，∴m n ＝n12m ，∴m n＝2，即该系列纸张的长与宽之比为2∶1.(3)∵A 1纸的质量为a (g )，A 2纸是A 1纸面积的一半， ∴A 2纸的质量为12a (g )．同理，A 3纸的质量是14a (g )……∴A 8纸的质量是⎝ ⎛⎭⎪⎫127a (g )．初中数学试卷。

浙教新版九年级上学期《4.6 相似多边形》同步练习卷一．选择题（共16小题）1．下列说法中不正确的是（）A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比2．两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（）A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm3．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：44．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元5．已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为（）A．24.8cm B．26.7cm C．29.7cm D．无法确定6．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm7．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）A．1：2B．1：5C．1：100D．1：108．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm，那么较大五边形的面积为（）A．26cm2B．39cm2C．20cm2D．45cm29．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEF A相似而不全等，则CE＝（）A．3B．3.5C．4D．4.510．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（）A．B．C．D．11．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：1612．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b13．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：414．如图，把一个矩形划分为5个全等的小矩形，若要使每一个小矩形与原矩形相似，则原矩形的边a、b应满足的条件是（）A．a＝5b B．a＝10b C．a＝b D．a＝2b 15．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6B．8C．12D．1016．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（）A．B．C．3﹣D．﹣1二．填空题（共12小题）17．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD 的相似比为．18．两个相似五边形，一组对应边的长分别为1cm和2cm，如果它们的面积之和是50cm2，则较大的五边形面积是cm2．19．四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9：4，四边形ABCD的周长是24，则四边形A1B1C1D1的周长为．20．若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为．21．如图，菱形ABCD的周长为12，∠DAB＝60°，对角线AC上有两点E和F （点E在点F的左侧），且要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为．22．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A 正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是．23．A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．将一张A4纸沿着长边中点对折后，得到的矩形与原矩形相似，则A4纸长与宽的比值是．24．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点，早BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝．25．把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为．26．如图，四边形ABCD与四边形EFGH的对应边平行，AD是△PHE的中位线，若四边形ABCD的面积4，则四边形EFGH面积是．27．把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，则原图形与新图形的面积比为．28．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边由原来的1cm变成了2cm，那么它的面积会由原来的6cm2变为．三．解答题（共5小题）29．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．30．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．31．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．求证：．32．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E 作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．33．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接相应的对角线AC，EG．（1）求证△ABC∽△EFG；（2）若＝，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为．浙教新版九年级上学期《4.6 相似多边形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．下列说法中不正确的是（）A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比【分析】根据相似多边形的性质判断即可．【解答】解：若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；②相似多边形对应角平线的比等于相似比③相似多边形周长的比等于相似比，④对应面积的比等于相似比的平方，故选：D．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．2．两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（）A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm【分析】由于相似多边形的周长比等于相似比，可设未知数，表示出两多边形的周长；然后根据它们的周长差为4cm，求出未知数的值．进而可求出较大多边形的周长．【解答】解：由题意，可设较小多边形的周长为3x，则较大多边形的周长为5x，则有：5x﹣3x＝24，解得x＝12，∴5x＝60，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．3．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：4【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，故选：D．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m＝6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080m2，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5．已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为（）A．24.8cm B．26.7cm C．29.7cm D．无法确定【分析】设A4纸的高度为xcm，对折后的矩形的高度为，然后根据相似多边形的对应边成比例列方程求解即可．【解答】解：设A4纸的高度为xcm，则对折后的矩形的高度为，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，∴＝，解得x＝21≈29.7cm，即A4纸的高度约为29.7cm．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形多边形对应边成比例的性质，熟记性质并列出比例式是解题的关键．6．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】直接利用相似多边形的性质，得出对应边成比例进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD 与A′D′分别是对应边，∴＝，∵AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，∴＝，则A′D′＝．故选：B．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．7．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）A．1：2B．1：5C．1：100D．1：10【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：10，∴它们的面积比＝12：102＝1：100．故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．8．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm，那么较大五边形的面积为（）A．26cm2B．39cm2C．20cm2D．45cm2【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．【解答】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n．则＝（）2＝．因而n＝m．根据面积之和是65cm2．得到m+m＝65，解得：m＝45，即较大五边形的面积为45cm2．故选：D．【点评】本题考查相似多边形的性质．面积之比等于相似比的平方．9．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEF A相似而不全等，则CE＝（）A．3B．3.5C．4D．4.5【分析】可设CE＝x，由四边形EFDC与四边形BEF A相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：设CE＝x，∵四边形EFDC与四边形BEF A相似，∴，∵AB＝3，BE＝2，EF＝AB，∴，解得：x＝4.5，故选：D．【点评】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与四边形BEF A相似得到比例式．10．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（）A．B．C．D．【分析】直接利用相似多边形的性质化简得出答案．【解答】解：∵两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，∴它们的相似比为：＝．故选：A．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确把握相似比等于对应边的比是解题关键．11．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．12．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a＝2b．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．13．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应边的比以及对应角相等，只要证明△ABC∽△A′B′C′；【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，∴＝，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝＝，故选：A．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确把握相似图形的性质是解题关键，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14．如图，把一个矩形划分为5个全等的小矩形，若要使每一个小矩形与原矩形相似，则原矩形的边a、b应满足的条件是（）A．a＝5b B．a＝10b C．a＝b D．a＝2b【分析】根据相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵每一个小长方形与原长方形相似，∴，∴a2＝5b2，∴a＝b．故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记性质并列出比例式是解题的关键．15．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6B．8C．12D．10【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设这个多边形的最短边长为x，∵两个多边形相似，∴＝，解得，x＝8，故选：B．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．16．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（）A．B．C．3﹣D．﹣1【分析】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB＝1，设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，，解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），经检验x1＝是原方程的解．故选：A．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．二．填空题（共12小题）17．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD 的相似比为．【分析】设BG＝x，根据正方形的性质知BE＝BC＝x，由正方形FBGE与正方形ABCD的相似比＝BG：BC可得答案．【解答】解：设BG＝x，则BE＝x，∵BE＝BC，∴BC＝x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比＝BG：BC＝x：x＝：2，故答案为：．【点评】本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质和相似多边形的性质．18．两个相似五边形，一组对应边的长分别为1cm和2cm，如果它们的面积之和是50cm2，则较大的五边形面积是40cm2．【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．【解答】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n．则．因而n＝m．根据面积之和是50cm2．得到m+m＝50．解得：m＝40cm2．故答案为；40【点评】本题考查相似多边形的性质．面积之比等于相似比的平方．19．四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9：4，四边形ABCD的周长是24，则四边形A1B1C1D1的周长为16．【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，根据相似多边形的周长之比等于相似比计算即可．【解答】解：设四边形A1B1C1D1的周长为x，∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9：4，∴＝，∴四边形ABCD的周长：四边形A1B1C1D1的周长＝3：2，∴24：x＝3：2，解得，x＝16，故答案为：16．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．20．若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为1+．【分析】利用相似多边形的相似比相等列出方程求解．【解答】解：设矩形的长是a，宽是b，则AE＝EH＝b，DH＝a﹣2b，∵矩形ABCD∽矩形HDCG，∴＝，即＝，整理得：a2﹣2ab﹣b2＝0，两边同除以b2，得（）2﹣﹣1＝0，解得，＝1+或＝1﹣（舍去）∴长与宽的比为1+，故答案为：1+．【点评】本题考化成了相似多边形的性质，根据相似得到方程，解方程是解决本题的关键．21．如图，菱形ABCD的周长为12，∠DAB＝60°，对角线AC上有两点E和F（点E在点F的左侧），且要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为．【分析】如图连接BD交AC于O．解直角三角形求出OA、OE即可解决问题．【解答】解：如图连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，BD⊥AC，∵∠DAB＝60°，∴∠DAO＝∠DAB＝30°，∴OD＝AD＝，AO＝OD＝，∵四边形DEBF与菱形ABCD相似，∴∠EDF＝∠DAB＝60°，∴∠EDO＝∠EDF＝30°，∴OE＝OD＝，∴AE＝OA﹣OE＝﹣＝，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、相似多边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是．【分析】由题意四边形ABFE是正方形，设AB＝x，AD＝y，由四边形CDEF和矩形ABCD相似，可得＝，即＝，可得x2+xy﹣y2＝0，推出x＝y或x＝y，推出四边形CDEF和矩形ABCD面积比＝DE：AD ＝（y﹣x）：y，由此即可解决问题；【解答】解：由题意四边形ABFE是正方形，设AB＝x，AD＝y，∵四边形CDEF和矩形ABCD相似，∴＝，＝，∴x2+xy﹣y2＝0，∴x＝y或x＝y，∴四边形CDEF和矩形ABCD面积比＝DE：AD＝（y﹣x）：y＝（y﹣y）：y＝（3﹣）：2，故答案为．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．23．A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．将一张A4纸沿着长边中点对折后，得到的矩形与原矩形相似，则A4纸长与宽的比值是：1．【分析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB＝CD＝b，AD＝BC＝a，BF＝AE＝，根据矩形相似，对应边的比相等得到比例式，计算即可．【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，则AB＝CD＝b，AD＝BC＝a，BF＝AE＝，∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴＝，即＝，∴a：b＝：1．故答案为：：1．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．24．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点，早BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝1+．【分析】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB＝2，设AD＝x，则FD＝x﹣2，FE＝2，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意舍去），经检验x1＝1+是原方程的解．故答案为：1+．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．25．把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为2．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵每一个小长方形与原长方形相似，∴＝，解得，x＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．26．如图，四边形ABCD与四边形EFGH的对应边平行，AD是△PHE的中位线，若四边形ABCD的面积4，则四边形EFGH面积是16．【分析】根据位似图形的定义知四边形ABCD与四边形EFGH是以点P为位似中心的位似图形，且位似比为，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此可得．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH的对应边平行，∴四边形ABCD与四边形EFGH是以点P为位似中心的位似图形，∵AD是△PHE的中位线，∴＝，由＝（）2，即＝，＝16，∴S四边形EFGH故答案为：16．【点评】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．27．把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，则原图形与新图形的面积比为1：9．【分析】根据相似多边形的性质解答．【解答】解：把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，则原图形与新图形的相似比为1：3，∴原图形与新图形的面积比为1：9，故答案为：1：9．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．28．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边由原来的1cm变成了2cm，那么它的面积会由原来的6cm2变为24cm2．【分析】复印前后的多边形按照比例放大或缩小，因此它们是相似多边形，按照相似多边形的性质求解即可．【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝1：2，∴面积之比＝（1：2）2＝1：4，∴它的面积会由原来的6cm2变为：6×4＝24cm2，故答案为24cm2．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．三．解答题（共5小题）29．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．【分析】利用相似多边形的性质得到＝＝，而根据矩形的性质得到CD ＝AB＝4，从而利用比例性质得到DE＝8，AE＝2，然后计算AE+DE即可．【解答】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴＝＝，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴＝＝，∴DE＝8，AE＝2，∴AD＝AE+DE＝2+8＝10．【点评】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．也考查了矩形的性质．30．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出α＝∠C＝83°，∠A ＝∠E＝118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，在四边形EFGH中，∠β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°，∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28，∴EH＝28cm．【点评】本题考查了相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质，四边形的内角和等于360°，熟记性质与公式是求解的关键．31．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．求证：．【分析】根据相似多边形的性质得到＝，∠D＝∠H，证明△ADC∽△EHG，根据相似三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴＝，∠D＝∠H，∴△ADC∽△EHG，∴．【点评】本题考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．32．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E 作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．【分析】（1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠BAE＝∠AEB，证出AB＝EB，得出四边形ABEF是菱形，即可得出结论；（2）由相似多边形的性质得出对应边成比例，即可得出BC的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠F AE＝∠AEB，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠F AE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∴四边形ABEF是菱形，∴BF平分∠ABC；（2）解：∵四边形ABEF为菱形；∴BE＝AB＝6，∵四边形ABCD∽四边形CEFD，∴，即，解得：BC＝3±3（负值舍去），∴BC＝3+3．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、相似多边形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．33．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接相应的对角线AC，EG．（1）求证△ABC∽△EFG；（2）若＝，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为．【分析】（1）由四边形相似得出，∠B＝∠F，从而得出△ABC∽△EFG；（2）根据面积比等于相似比的平方直接得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴，∠B＝∠F，∴△ABC∽△EFG；（2）＝（）2＝，故答案为：．【点评】本题主题考查了相似多边形的性质和相似三角形的判定，是基础题．。

浙教版数学九年级上册《4.6 相似多边形》教案一. 教材分析《相似多边形》是浙教版数学九年级上册第四章的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握相似多边形的定义、性质和判定方法。

通过学习相似多边形，学生能更好地理解多边形之间的关系，为后续学习几何图形的变换打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了多边形的基本概念和性质，具有一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但学生在学习过程中，对于一些抽象的概念和定理可能会感到困惑，因此需要教师在教学中引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步掌握相似多边形的知识。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似多边形的定义、性质和判定方法，能运用相似多边形解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：相似多边形的定义、性质和判定方法。

2.难点：相似多边形的性质和判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生认识相似多边形，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师提出问题，引导学生思考、讨论，培养学生的逻辑思维能力。

3.动手操作法：让学生通过实际操作，观察、分析相似多边形的性质，提高学生的实践能力。

4.小组合作学习法：引导学生分组讨论、交流，培养学生的团队协作精神。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型等。

2.学具：学生手册、练习题、几何模型等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如相似的图形、建筑物的比例模型等，引导学生思考：这些图形之间有什么共同特点？学生通过观察、思考，总结出相似图形的定义。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示相似多边形的定义、性质和判定方法。

同时，教师结合实例进行讲解，让学生更好地理解相似多边形的概念。

浙教新版九年级上册《4.6相似多边形》2024年同步练习卷（2）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，将图形用放大镜放大，应该属于()A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换2.如图，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是()A.这种变换是相似变换B.对应边扩大到原来的2倍C.各对应角度数不变D.面积扩大到原来的2倍3.下列说法正确的是()A.所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的正六边形一定相似D.所有的等腰三角形都相似4.若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为()A.6B.8C.10D.125.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于()A. B. C. D.2二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

6.一张比例尺为1：5000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，则这个地区的实际周长______7.如图，四边形ABCD∽四边形，则______.8.如图，点E、F分别在BC、AD上，且矩形ABEF和矩形ABCD相似，又，，则AF：______.9.制作一块长方形广告牌的成本是110元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是______元．10.如图，已知矩形ABCD中，，在BC上取一点，早BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则______.三、解答题：本题共3小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分如图，已知在梯形ABCD中，，，，若EF把梯形分成的两个小梯形相似，求EF的长.12.本小题8分如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，求证：若两个矩形的面积之和为，求矩形ABCD的面积．13.本小题8分根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比.某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确直接在横线上填写“真”或“假”①四条边成比例的两个凸四边形相似；______命题②三个角分别相等的两个凸四边形相似；______命题③两个大小不同的正方形相似______命题如图，在四边形ABCD和四边形中，，，求证：四边形ABCD与四边形答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．2.【答案】D【解析】解：平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，则平行四边形AEFG与平行四边形ABCD相似，因而各对应角度数不变，相似比是1：2，面积的比是1：4，即面积扩大到原来的4倍．故选项D不正确．故选：根据相似多边形对应边之比相等、对应角相等，周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．本题考查相似多边形的性质和相似变换的概念．3.【答案】C【解析】解：所有的菱形都相似，错误，不符合题意；B.所有的矩形都相似，错误，不符合题意；C.所有的正六边形一定相似，正确，符合题意；D.所有的等腰三角形都相似，错误，不符合题意；故选：判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、三角形、菱形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似；而两个正六边形，对应角都是，对应边的比也都相当，故一定相似．本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．4.【答案】B【解析】解：设这个多边形的最短边长为x，两个多边形相似，，解得，，故选：根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，，故选根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得出的值．本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．6.【答案】3000【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比：5000，一块周长地图上为60cm，表示的实际周长为故答案为比例尺为1：5000的地图上的多边形按照比例缩小，因此它们是相似多边形，利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比计算．本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．7.【答案】【解析】解：四边形ABCD∽四边形，，，故答案为：利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题．8.【答案】1：3【解析】解：矩形ABEF 和矩形ABCD 相似，，，，，，，，，：：3，故答案为：1：根据相似多边形的性质可得，进而可得，再计算出FD 的长度，然后可得AF ：FD 的值．此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边的比相等．9.【答案】990【解析】解：将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，面积扩大为原来的9倍，扩大后长方形广告牌的成本为：元故答案为：直接利用相似多边形的性质进而得出答案．本题考查相似多边形的性质，正确记忆相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题关键．10.【答案】【解析】解：，设，则，，四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，，，解得，不合题意舍去，经检验是原方程的解．故答案为：可设，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．本题考查了翻折变换折叠问题，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．11.【答案】解：把梯形分成的两个小梯形相似，，，【解析】根据相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．本题考查了相似多边形的性质，熟记性质并列出比例式是解题的关键．12.【答案】证明：矩形AGFE∽矩形ABCD，，，，即，∽，解：，，，，解得：【解析】根据相似多边形的性质得到，，证明∽，根据相似三角形的对应角相等证明结论；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程即可．本题考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．13.【答案】解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；③两个大小不同的正方形相似，是真命题；故答案为：假，假，真；证明：如图，连接BD，，且，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形ABCD与四边形相似．【解析】根据相似多边形的定义即可判断．证明四边成比例，四个角相等即可．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．。

新浙教版九年级数学上册课后练习：4．6 相似多边形1．下列图形不相似的是(D )A ．所有的圆B ．所有的正方形C ．所有的等边三角形D ．所有的菱形(第2题)2．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是(B )A ．∠E ＝2∠KB ．BC ＝2HIC ．六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL(第3题)3. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是(B )A. 3∶4B. 5∶8C. 9∶16D. 1∶24．把一个多边形改成和它相似的多边形，如果面积缩小为原来的13，那么边长缩小为原来的(B )A.13B.33C. 3 D ．3 5. 已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，且点A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1是对应点，AB ＝12，BC ＝18，CD ＝18，AD ＝9，A 1B 1＝8，则四边形A 1B 1C 1D 1的周长为__38__．6. 用放大镜看一个四边形，如果边长扩大4倍，那么周长扩大__4__倍，面积扩大__16__倍．7．已知两个矩形花坛是相似的，相似比为2∶3，较小的矩形长为30m ，周长为100m ，则较大的矩形的长为__45__m ，宽为__30__m.(第8题)8. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AD ＝2，则AB 的长为__1__．9．如图，图中的两个四边形相似，试求未知边a ，b 的长度和角α的大小．(第9题)【解】 ∵四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，∴AD A ′D ′＝AB A ′B ′＝BC B ′C ′. ∵AD＝4，A ′D ′＝8，A ′B ′＝10，BC ＝4.5，∴48＝AB 10＝ 4.5B ′C ′， ∴a ＝AB ＝5，b ＝B′C′＝9.∵∠A ＝∠A′＝70°，∠C ＝∠C ′＝80°，∠B ＝75°，∴∠D ＝360°－70°－80°－75°，∴α＝135°.10．如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB ＝4.(1)求AD 的长；(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．(第10题)【解】 (1)由已知，得MN ＝AB ，MD ＝12AD ＝12BC. ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，∴DM AB ＝MN BC. ∴12AD 2＝AB 2. ∵AB ＝4，∴AD ＝4 2.(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为DM AB ＝2 24＝2211．如图所示，已知正五边形ABCDE 和正五边形A ′B ′C ′D ′E ′，它们相似吗？请说明理由．(第11题)【解】 相似．理由如下：设正五边形ABCDE 的边长为a ，正五边形A ′B ′C ′D ′E ′的边长为b.∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ＝a ，A ′B ′＝B ′C′＝C′D′＝D′E′＝E′A′＝b ，∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝CD C ′D ′＝DE D ′E ′＝EA E ′A ′＝a b. 又∵正五边形各内角均为540°5＝108°， ∴正五边形ABCDE ∽正五边形A ′B ′C ′D ′E ′.(第12题)12．如图，根据图中标注的数据，问：矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′是否相似？【解】 ∵四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′均为矩形，∴∠A ＝∠A′＝∠B＝∠B′＝∠C＝∠C′＝∠D＝∠D′＝90°.若A ′D ′AD ＝A ′B ′AB ，即AD －8AD ＝AB －8AB ，则AB ＝AD . 若A ′D ′AD ≠A ′B ′AB ，即AD －8AD ≠AB －8AB，则AB ≠AD . ∴当AB ＝AD 时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似；当AB ≠AD 时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似．(第13题)13. 如图，在Rt△ABC 中，作出三个正方形，若第一个正方形边长为9，第二个正方形边长为6.求第三个正方形的面积．【解】 ∵四边形ECRF ，PRSG ，QSTH 都是正方形，∴EF ∥PG ∥QH ，FR ∥GS ∥HT ，∴∠PFG ＝∠QGH，∠FGP ＝∠GHQ，∴△FPG ∽△GQH ，∴FP GQ ＝PG QH. 设QS ＝x ，则有GQ ＝6－x.∵FP ＝9－6＝3，PG ＝6，∴36－x ＝6x，解得x ＝4. ∴第三个小正方形的面积为16.14. 过去有甲、乙两个庄主，甲庄主的土地面积大约是乙庄主的4倍，土地的形状都接近正方形．有一天两个庄主打赌，乙庄主说：“我骑马绕自己的土地跑一周要1.5 h ，绕你的土地跑一周3.5 h 足够．”甲庄主不信，说：“如果你3.5 h 能跑回来，我这个庄园给你，如果你3.5 h 跑不回来，那么你的庄园归我．”乙庄主说：“一言为定．”然后就催马而去．你认为谁是胜利者？【解】 把两个庄园看做是相似多边形，面积之比约为4∶1，所以其相似比为2∶1.所以周长之比为2∶1，即甲庄主的庄园周长大约是乙庄主的庄园周长的2倍，绕甲庄主的庄园的土地跑一周只要1.5×2＝3(h)就差不多了．而3 h<3.5 h ，所以乙是胜利者．15．一种复印纸，整张称为A 1纸，对折一分为二成为A 2纸，再一分为二成为A 3纸……若它们都是相似的矩形，求这种纸的长与宽的比值(精确到千分位)．【解】 设A 1纸的长为a ，宽为b ，则A 2纸的长为b ，宽为a 2. ∵A 1纸和A 2纸是相似矩形，∴它们的长与宽对应成比例，∴a b ＝b 12a ， ∴a b ＝21≈1.414.。

拓展训练 2020年浙教版数学九年级上册 4.6 相似多边形基础闯关全练1．下列说法正确的是 ( )A ．菱形都相似B ．正六边形都相似C ．矩形都相似D ．一个内角为80°的等腰三角形都相似2．如图所示的四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个3．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则a ，b 应满足的条件是 ( )A ．b 2a =B ．a= 2bC ．b 22a =D ．a=4b4．若两个相似菱形的相似比为2:3，周长之差为13 cm ，则这两个菱形的周长分别为________. 能力提升全练1．如图，连结正五边形的各对角线AD ，AC ，BE ，BD ，CE ，给出下列结论：①∠AME=108°；②五边形PFQNM ∽五边形ABCDE ；③AN ²=AM ·AD ，其中正确的是 ( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”．结果为何正确呢？(1)请指出小明的解答中存在的问题，并补充缺少的过程．变化一下会怎样？(2)如下图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD//A'D'，且AD：AB=2：1，设AB 与A'B'，BC与B'C'、CD与C'D'，DA与D'A’之间的距离分别为a，b，c，d，要使矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么条件？请说明理由．三年模拟全练填空题1．（2019浙江杭州慈溪期末，15，★☆☆）矩形的长、宽分别为6和x，把它按如图所示的方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x=__________.2．（2019浙江宁波期末．16，★☆☆）如图，把矩形ABCD中的AB边翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连结EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，则当AB =1时，AD的长为________.五年中考全练一、选择题1．（2018重庆中考B卷，5，★☆☆）制作一块3 m×2 m的长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )A．360元B．720元C．1 080元D．2 160元二、填空题2．（2014浙江绍兴中考，16，★★☆）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”，现在我们在长为22、宽为1的矩形纸片中画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是______．核心素养全练如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°．将菱形的“接近度”定义为|m-n|，于是|m-n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于____；②当菱形的“接近度”等于____时，菱形是正方形；(2)设矩形相邻两条边的长分别是a和b(a≤b)，将矩形的“接近度”定义为|a-b|，于是|a-b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出一个矩形“接近度”的合理定义.4.6相似多边形基础闯关全练1.B所有的菱形边长相等，所以边对应成比例，但角不一定对应相等，所以不一定都相似，故A错误；所有的正六边形边长相等，所以边对应成比例，又角都是120°，所以角对应相等，所以都相似，故B正确；所有的矩形角的度数一定相同，但边的对应比值不一定相等，所以不一定都相似，故C错误；一个内角为80°的等腰三角形可能顶角是80°也可能底角是80°，所以不一定都相似，故D错误．故选B．2.D两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义；两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义；两个正方形形状相同，符合相似形的定义；两个矩形虽然四个角对应相等，但边不一定对应成比例．故选D．3．B对折两次后得到的小长方形的长为b，宽为a41，∵小长方形与原长方形相似，∴，∴a=2b．故选B．4．答案26 cm和39 cm解析．∵两个相似菱形的相似比为2：3，∴周长之比为2：3，设周长较小的菱形的周长为2x cm，则周长较大的菱形的周长为3x cm，由题意得3x-2x= 13，解得x=13，∴2x=26，3x=39，∴这两个菱形的周长分别为26 cm和39 cm.能力提升全练1.D ∵∠BAE= ∠AED=108°，AB=AE=DE，∴∠ABE= ∠AEB=∠EAD=36°，∴∠AME= 180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正确；∵∠ABE= ∠CBD=36°，∴∠DBE=36°，同理，∠MEN= ∠MAP=∠FCQ=∠NDQ=36°，易知，∴MN= PM= PF= FQ= QN，∴五边形MNQFP是正五边形，∴五边形PFQNM∽五边形ABCDE，故②正确；∵∠AEN= 108°-36°= 72°，∠ANE= 36°+36°= 72°，∴∠AEN= ∠ANE，∴AE=AN，∵∠EAD= ∠AEM= ∠ADE=36°，∴△AEM∽△ADE，∴，∴AE²=AM·AD，∴AN²=AM·AD，故③正确．故选D．2．解析(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2x m”前应补充以下过程：设温室的宽为ym，则长为2y m，则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m，长为（2y-3-1）m，∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1．(2)要使矩形A'B'CD'∽矩形ABCD，需有，即，即，即2AB-2(b+d)= 2AB-(a+c)，∴a+c=2(b+d)，即，∴当时，矩形A'B'C'D’∽矩形ABCD．三年模拟全练填空题21．答案3解析 由题意可得x 26x =，解得32x =（舍负）．经检验，32x =是原方程的解．2．答案 251+解析 设AD=x ，则FD=x-1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似．∴AB AD FD EF =，即11x 1x =-，解得（不合题意，舍去），经检验，是原方程的解。

4.6 相似多边形第一部分1.下列说法正确的是（）A. 所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似C. 所有的正六边形一定相似D. 所有的等腰梯形2.下列说法不一定正确的是（）A. 所有的圆都相似B. 所有的正方形都相似C. 所有的平行四边形都相似D. 所有的有一个角是100°的等腰三角形3.已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥BC 于点F ，求证：四边形ABCD ∽四边形BFOE .4.如图，E.F 分别为矩形ABCD 的边AD.BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB =1，求矩形ABCD 的面积.第二部分1. 下列四个命题：(1)两个矩形一定相似；(2)两个菱形都有一个角是40°，那么这两个菱形相似；(3)两个正方形一定相似；(4)有一个角相等的两个等腰梯形相似. 其中正确的命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 两个相似多边形的周长的比是2∶1，那么它们的面积的比是（）A. 4∶1B. 2∶11 D. 1∶23.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的（）A B CDE FA. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍4. 有一块多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（）A. 100m2B. 270m2C. 2 700m2D. 90 000m25. 如图四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则CD=，∠D=度.6. 有一个多边形的边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是.7.A城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm，而该新城区的实际南北长为6km，则新区建设规划图所采用的比例尺是__________.8. 两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是cm2.9. 在1∶50 000的地图上，一个多边形地区的周长为90cm ，面积为480cm2. 求这个地区的实际周长和实际面积.10. 如图，等腰梯形ABCD是儿童公园中游乐场的示意图．为满足市民的需求，计划建一个与原游乐场相似的新游乐场，要求新游乐场以MN为对称轴，且与原游乐场的相似比为2∶1．请你画出新游乐场的示意图.参考答案第一部分1.C2.C3.证明：四边形ABCD是矩形∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CAD=90°又∵OE⊥AB，OF⊥BC∴∠OEB=∠EBF=∠OFB=∠EOF=∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CAD=90°，且OEBCOFAB ∴△BEO∽△ABD，△BFO∽△BCD.∴12 OE OF BF BEAD CD BC AB====，∴四边形ABCD∽四边形BFOE .4.解∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴AB ADAE AB=.∵E是AD的中点，∴AE=12AD. 又∵AB=1，∴1112ADAD=，∴AD∴S矩形ABCD.第二部分1. B2. A3. D4. C5. 10 906. 32cm7.1∶5 0008. 409.解：设实际周长为x cm,实际面积为y cm2,则90150000x =,2480150000y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 解得x =4500000cm=45km,y =1200000000000cm 2=120km 2.10.解：如图梯形A /B /C /D /就是所求的新游乐场.。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形-4.6相似多边形（含解析）一、单选题1.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的( )A.9倍B.3倍C.81倍 D.18倍2.一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A.6B.8C.12D.103.如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A.2：3B.3：2C.6：4D.9：44.已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（）A.2：3B.3：2C.4：9D.9：45.将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法中不正确的是（）A.菱形的边长扩大到原来的2倍B.菱形的角的度数不变C.菱形的面积扩大到原来的2倍D.菱形的面积扩大到原来的4倍6.如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm7.如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD 各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（）A.2：1B.3：1C.4：1 D.5：18.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（）A.36cmB.42cmC.48cmD.54cm9.下面的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为（）A.1：4B.1：3C.1：2D.1：10.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（）A.:1B.1:C.:1D.1:二、填空题11.若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的周长比是________．12.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________13.若如图所示的两个四边形相似，则∽α的度数是________.14.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________cm2 15.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________16.若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的周长比等于________．17.如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为________18.若用一个2倍放大镜去看∽ABC，则∽A的大小________；面积大小为________三、解答题19.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE∽AD，GF∽AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．20.如图，A n系列矩形纸张的规格特征是：∽各矩形纸张都相似；∽A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，A n纸对裁后可以得到两张A n+1纸．（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；（2）根据A n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）21.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图∽，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图∽，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．四、综合题22.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD 相似，已知AB＝4.（1）求AD的长；（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．23.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图∽，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图∽，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相似多边形的性质【解析】【分析】根据面积扩大为原来的9倍可得边长扩大为原来的3倍，即可判断周长的变化。

新浙教版九年级上册同步习题：4.6 相似多边形一、选择题（共10小题；共50分）1. 小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段错误！未找到引用源。

在乙图中的对应线段是 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2. 有个花园占地面积约为错误！未找到引用源。

平方米，若按比例尺错误！未找到引用源。

缩小后，其面积大约相当于 ( )A. 一个篮球场的面积B. 一张乒乓球台台面的面积C. 《钱江晚报》一个版面的面积D. 《数学》课本封面的面积3. 如图，有两个形状相同的星星图案，则错误！未找到引用源。

的值为 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

4. 如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的．矩形错误！未找到引用源。

沿错误！未找到引用源。

对开后，再把矩形错误！未找到引用源。

沿错误！未找到引用源。

对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么错误！未找到引用源。

等于 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

5. 如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

6. 在两个相似五边形中，一个五边形各边长分别为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，另一个五边形最大边长为错误！未找到引用源。

，则后一个五边形的最小边长为 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

7. 下列说法中正确的是 ( )①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④8. 一个矩形的长为错误！未找到引用源。

4.6相似多边形一、选择题1．下列四组图形中，一定相似的是()A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形2．若两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为()A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶53．若两个相似多边形的最长边分别为20 cm和16 cm，它们的周长之和为108 cm，则最长边为20 cm的多边形的周长为()A．60 cm B．50 cm C．48 cm D．45 cm4．如图K－38－1，六边形ABCDEF∶六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是()图K－38－1A．∠E＝2∶KB．BC＝2HIC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL5．如图K－38－2，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F两点分别在AB，DC上．若AE ＝4，EB＝6，DF＝2，FC＝3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度之比为()图K－38－2A．1∶2 B．2∶3 C．2∶5 D．4∶96.如图K－38－3所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF等于对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么ABAD ()A ．0.618 B.22C. 2 D ．2 7．如图K －38－4，菱形ABCD 的对角线AC ＝4 cm ，把它沿着对角线AC 方向平移1 cm ，得到菱形EFGH ，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN 的面积之比为( )图K －38－4A ．4∶3B ．3∶2C ．14∶9D ．17∶98．2019·台州如图K －38－5，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE ＝BF ，将∶AEH ，△CFG 分别沿EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则AE EB为( ) 图K －38－5 A.53 B ．2 C.52D ．4 二、填空题9．两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm 2，那么大多边形的面积为________．10．将长为1，宽为a 的矩形纸片ABCD (12＜a ＜1)按如图K －38－6所示的方式折叠，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形ABEF .若剩下的矩形EFDC 与矩形ABCD 相似，则a ＝________．图K －38－611.如图K －38－7，△ABC 是边长为1的等边三角形．取BC 边的中点E ，作ED ∶AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的面积记为S 1；过BE 的中点E 1作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记为S 2……照此规律作下去，则S 2019＝________．图K －38－7三、解答题12．如图K －38－8所示的两个相似四边形中，α比β大15°，求未知边x ，y 的长度和角度α，β的大小．13．一个五边形的边长分别为1，2，3，4，5，另一个和它相似的五边形的最大边长是9，求第二个多边形的周长．14．如图K－38－9所示，在小区绿化过程中，有一个矩形草坪，长20米，宽10米，沿草坪四周修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出小路的宽度；若不能，试说明理由．图K－38－915．如图K－38－10，已知四边形ABCD∶四边形EFGH，连结相应的对角线AC，EG.(1)求证：∶ABC∶∶EFG；(2)若ACEG＝12，则四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为________．图K－38－1016拓展应用把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2 2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，求所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值．1．[答案] D2．[答案] D3．[解析] A设最长边为20 cm的多边形的周长为x cm，则2016＝x108－x，解得x＝60.4．[解析] B A．∵六边形ABCDEF∶六边形GHIJKL，∴∠E＝∶K，故本选项错误；B．∵六边形ABCDEF∶六边形GHIJKL，相似比为2∶1，∴BC＝2HI，故本选项正确；C．∵六边形ABCDEF∶六边形GHIJKL，相似比为2∶1，∴六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；D．∵六边形ABCDEF∶六边形GHIJKL，相似比为2∶1，∴S六边形ABCDEF＝4S六边形GHIJKL，故本选项错误．故选B.5．[答案] D6．[解析] B设最小的矩形的宽为a，则由两个矩形相似可得8开的矩形的宽为2a，所以可得AB ＝CD ＝4a ，AD ＝4 2a ，则AB AD ＝22. 7．[答案] C8．[答案] A9．[答案] 72 cm 210．[答案] 5－12[解析] 根据题意，得AF ＝EF ＝AB ＝a ，FD ＝EC ＝1－a.∵剩下的矩形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴AB FD ＝AD FE ，即a 1－a ＝1a， 解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 11．[答案] 38×(14)2019 12．[解析] 依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x ，y ，α和β.解：因为两个四边形相似，所以它们的对应边成比例，对应角相等，所以12∶6＝8∶y ＝x ∶4，解得y ＝4，x ＝8.由α＋β＋60°＋115°＝360°，又α＝β＋15°，可得α＝100°，β＝85°.13．解：设第二个多边形的周长为x ，显然第一个五边形的最大边长是5，它与第二个五边形的最大边长相对应，所以两个五边形的相似比为5∶9，而第一个五边形的周长为1＋2＋3＋4＋5＝15，所以15x ＝59，解得x ＝27，即第二个多边形的周长为27. 14．解：不能． 理由：设小路的宽为x 米，因为小路内外边缘所成的矩形相似，所以其对应边成比例，即2020＋2x ＝1010＋2x，解得x ＝0，不合题意，舍去．所以不能做到． 15．解：(1)证明：∶四边形ABCD∶四边形EFGH ，∴BA FE ＝BC FG，∠B ＝∶F ，∴△ABC ∽△EFG.(2)S 四边形ABCD S 四边形EFGH ＝⎝⎛⎭⎫AC EG 2＝14. 故答案为14. 15解：∶在长为22、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大．∵矩形的长与宽之比为22∶1，∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为1×122＝24， ∴另外一个矩形的长为22－24＝724，宽为724×122＝78， ∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2⎝⎛⎭⎫1＋24＋724＋78＝42＋154.。

4.6 相似多边形一、选择题（共10小题；共50分）1. 小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是 ( )A. FGB. FHC. EHD. EF2. 有个花园占地面积约为800000平方米，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于 ( )A. 一个篮球场的面积B. 一张乒乓球台台面的面积C. 《钱江晚报》一个版面的面积D. 《数学》课本封面的面积3. 如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为 ( )A. 15B. 12C. 10D. 84. 如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB等于 ( )ADC. √2D. 2A. 0.618B. √225. 如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为 ( )A. 3:1B. √3:1C. 2:1D. √2:16. 在两个相似五边形中，一个五边形各边长分别为1，2，3，4，5，另一个五边形最大边长为15，则后一个五边形的最小边长为 ( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列说法中正确的是 ( )①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④8. 一个矩形的长为a，宽为b(a>b)，如果把这个矩形截去一个最大的正方形后余下的矩形与原矩形相似，则a，b应满足的表达式为 ( )A. a2+ab−b2=0B. a2+ab+b2=0C. a2−ab−b2=0D. a2−ab+b2=09. 如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AB等于 ( )ADA. 0.618B. √2C. √2D. 2210. 如图所示，在长为8 cm，宽为6 cm的矩形中，截出一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 ( )A. 28 cm2B. 27 cm2C. 21 cm2D. 20 cm2二、填空题（共10小题；共50分）11. 相似多边形称为相似比，当相似比为1时，相似的两个图形，若甲多边形与乙多边形的相似比为k，则乙多边形与甲多边形的相似比为．12. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．则矩形DMNC与矩形ABCD的长与宽之比是．13. 要使两个菱形相似，只需填上一个条件：．14. 如图，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是．15. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形ECDF与矩形ABCD相似，则AD=．16. 把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2√2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．17. 五边形ABCDE∽五边形AʹBʹCʹDʹEʹ，∠A=120∘，∠Bʹ=130∘，∠C=105∘，∠Dʹ=85∘，则∠E=．18. 如图，以点O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，则OD:OD1=．19. 在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=18 cm，DC=8 cm，E，F分别是腰AD，BC上的点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF=cm．20. 一张矩形纸片对折后得到的矩形与原矩形相似，原矩形纸片的长与宽的比是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 公路上我们常见如图所示的标志，边框的宽度是一样的．Ⅰ里面的三角形边框与外面的三角形边框相似吗?Ⅱ如果标志牌是一个正方形呢?菱形呢?22. 已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=15 cm，A1B1=10 cm，∠A=∠A1=80∘，∠B=∠B1=90∘，∠C=70∘．又BC=20 cm，C1D1=12 cm，AD=16 cm，试求∠C1，∠D，∠D1，CD，B1C1，A1D1的值．23. 已知a，b，c为△ABC的三边，并且a+b+c=60 cm，a3=b4=c5，试求△ABC的三边的长．24. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，点E是BC上的一个动点，过点E作直线EF⊥BC，交AD于F，若点E以1 cm/s的速度从B向C运动，当与C重合时，停止运动．若运动时间为t s，则当t为多少时，矩形ABEF与原矩形相似?当t为多少时，矩形ECDF与原矩形相似?25. 对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A1B1C1∽△ABC，则称△A1B1C1与△ABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A2B2C2∽△ABC，则称△A2B2C2与△ABC 互为异相似．Ⅰ在图3、图 4 和图5 中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE与△ABC互为相似，△HXG与△HGF互为相似，△OPQ与△OMN互为相似；Ⅱ在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P 画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有条．答案第一部分1. D2. C3. D4. B5. B6. B7. D8. C9. B 10. B第二部分11. 对应边的比；全等；1k12. √2:113. 有一对内角相等14. 8 cm215. √5+1216. 4√2+15417. 100∘18. 1:219. 1220. √2第三部分21. （1）相似．（2）都相似．22. 在四边形ABCD中，∠D=360∘−∠A−∠B−∠C=360∘−80∘−90∘−70∘=120∘，由四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，得∠C1=∠C=70∘,∠D1=∠D=120∘，且ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1=ADA1D1．又AB=15 cm，A1B1=10 cm，BC=20 cm，C1D1=12 cm，AD=16 cm，所以1510=20B1C1=CD12=16A1D1．解得CD=12×1510=18(cm)，B1C1=10×2015=403(cm)，A1D1=10×1615=323(cm)．23. ∵a3=b4=c5，∴a+b+c3+4+5=a3，即6012=a3，∴a=15．同理：6012=b4，6012=c5，∴b=20，c=25．∴三角形三边长为15 cm，20 cm，25 cm．24. ∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，∴BEAB =EFBC，即t6=68．解得t=92．∵矩形ECDF与矩形ABCD相似，∴ECAB =EFBC，即8−t6=68．解得t=72．25. （1）同；异；同（2）1或2初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

4.6 相似多边形1.下列多边形中，一定相似的是（ D ）A.两个平行四边形B.两个菱形C.两个矩形D.两个正方形2.两个相似多边形的一组对应边分别是3cm 和 4.5cm ，如果它们的面积之和是78cm2，那么较大的多边形的面积是（ D ）A.44.8cm2B.42cm2C.52cm2D.54cm23.如图所示的三个矩形中，相似的是（ B ）A.甲与乙B.乙与丙C.甲与丙D.甲、乙、丙都相似4.如图所示的两个四边形相似，则∠α等于（ A ）A.87°B.60°C.75°D.120°5.如图所示，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD 等于（ A ）A.2B.2.4C.2.5D.36.下列说法中，正确的是(C) A．所有的等腰三角形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的正六边形都相似D．所有的等腰梯形都相似111，那么边长缩小为原来的(B)7．把一个多边形改成和它相似的多边形，如果面积缩小为原来的31 3A.3B. 3C. 3D．38．已知四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1 相似，且点A 与A1，B 与B1，C 与C1 是对应点，AB ＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，则四边形A1B1C1D1 的周长为38．9．两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm 和4.5 cm，如果它们的面积之和为130 cm2，那么较小的那个多边形的面积是40cm2.10．如图，在一个长8 cm，宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为8cm2.11.若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的相似比等于4∶5 .12.一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为20 cm.第 1 页13.如图所示，将一根铁丝分成两段，分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1∶4，其中小五边形的边长为（x2-4）cm，大五边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）.求这根铁丝的总长.【解析】∵两个五边形相似，面积比是1∶4，∴相似比为1∶2.由题意得2（x2-4）=x2+2x，整理得x2-2x-8=0，解得x1=4，x2=-2（舍去）.∴铁丝长为12×5+24×5=180（cm）.14.如图所示，矩形ABCD 能分成三个全等的小矩形，且每个小矩形都与矩形ABCD 相似，已知AD=1，求AB 的长.【解析】∵三个小矩形全等，∴DE=DC.∵每个小矩形都与矩形ABCD 相似，∴= ，即AB2=1，解得AB= ．∴AB 的长为．15.如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ B ）A. B. C. D.16.一个矩形ABCD 的较短边长为2.（1）如图1 所示，如果沿较长边对折后得到的矩形与原矩形相似，那么矩形ABCD 的另一边长为2 .（2）如图2 所示，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，则余下的矩形EFDC 的面积为 2 .图1 图2【解析】（1）设它的另一边长为 2x ，则 AM=DM=x.∵矩形 ABNM 与矩形 ADCB 相似， ∴= ，即=，解得 x=. ∴矩形 ABCD 的另一边长为 2. （2）设 DF=a.∵余下的矩形 EFDC 与矩形 ADCB 相似， ∴= ，即=，解得 DF=1.∴矩形 EFDC 的面积为 2×1=2.17.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，取 BC 边中点 E ，作 ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形 EDAF ，它的面积记做 S1.取 BE 中点 E1，作 E 1D 1∥FB ，E1F1∥EF ，得到四边形 E1D1FF1，它的面积记做 S2，照此规律作下去，则 S 2019= （ ）2019 .【解析】∵∠C=90°，AC=BC=2，∴S =1×2×2=2. ∵点 E 为 BC 的点，ED ∥AB ，∴=（ ）2= 1 1，∴S =1.∴S △CDE =2.同理可得 S △BEF =21 ∵E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，E 1 为 BE 中点，1 ∴四边形 E 1D 1FF 1 与四边形 EDAF 相似，相似比为 .∴=（ ）2= .∴S 2= .. 同理可得 S 3=（）2. 由此规律可得 S 2019=（）2019．18.如图所示，矩形 ABCD 的长 AB=30，宽 BC=20.（1）如图 1 所示，若矩形 ABCD 内四周有宽为 1 的方形区域，图中所形成的两个矩形 ABCD 与 A ′B ′C ′D ′ 相似吗？请说明理由.（2）如图 2 所示，当 x 为多少时，图中的两个矩形 ABCD 与 A ′B ′C ′D ′相似？图1 图2【解析】（1）不相似.理由：∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，而≠，∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似.（2）若矩形ABCD 与A′B′C′D′相似，则=，∴①= 或②=，解①得x=1.5，解②得x=9．∴当x=1.5 或9 时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似.19.如图所示，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD 分别为它们的最短边，点F 在AB 上，且3AE=2AD.（1）已知矩形ABCD 的面积为450cm2，求矩形AEFG 的面积.（2）求证：∠1=∠2.【解析】（1）∵3AE=2AD，∴= .∵矩形AGFE∽矩形ABCD∴相似比为= .∴面积的比为..∵矩形ABCD 的面积为450cm2，∴四边形AEFG 的面积为200cm2.（2）∵矩形AGFE∽矩形ABCD，∴∠DAB=∠EAG=90°，AE∶AD=AG∶AB.∴∠DAE+∠EAF=∠GAB+∠EAF.∴∠DAE=∠GAB.∵AE∶AD=AG∶AB，∴△ADE∽△ABG.∴∠1=∠2.20.已知菱形A1B1C1D1 的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1 相交于点O，以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1 为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2 为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2 为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n 的坐标为(3n－1，0)．【解】∵菱形A1B1C1D1 的边长为2，∠A1B1C1＝60°，∴∠A1B1O＝30°，∴OA1＝1，OB1＝3，∴点A1(1，0)．∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴∠B1C2D1＝∠A1B1C1＝60°，∴∠B1A2O＝30°，∴OA2＝3OB1＝3，∴点A2(3，0)．同理可得点A3(9，0)，A4(27，0)……∴点A n(3n－1，0)．21．过去有甲、乙两个庄主，甲庄主的土地面积大约是乙庄主的4 倍，土地的形状都接近正方形．有一天两个庄主打赌，乙庄主说：“我骑马绕自己的土地跑一周要1.5 h，绕你的土地跑一周3.5 h 足够．”甲庄主不信，说：“如果你3.5 h 能跑回来，我这个庄园给你；如果你3.5 h 跑不回来，那么你的庄园归我．”乙庄主说：“一言为定．”然后就催马而去．你认为谁是胜利者？【解】把两个庄园看做是相似多边形，面积之比约为4∶1，所以其相似比为2∶1，所以周长之比为2∶1，即甲庄主的庄园周长大约是乙庄主的庄园周长的2 倍，绕甲庄主的庄园的土地跑一周只要1.5×2＝3(h)就差不多了．而3 h<3.5 h，所以乙庄主是胜利者．22.在长为3、宽为1 的大矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边与大矩形的一条边平行.（1）按如图1 所示放置时，两个小矩形的周长和（两个小矩形重叠的边要重复计算）为163（2）怎样放置才能使两个小矩形的周长和最大？在图2 中画出图形，其最大值为88/9. 图1 图2【解析】（1）设小矩形的宽为x.∵小矩形与大矩形相似，∴= ，解得x= .（2）两个矩形的放置方式有如下几种: ①如答图 1 所示，两个小矩形都“竖放”，在这种放法下，周长和最大的两个小矩形边长分别为 1 和 ，周长和的最大值为.图 1②两个小矩形都“横放”，有如下两种情况，如答图 2，图 3 所示.图2图 3这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2（a+3a ）+2［1-a+3（1-a ）］=8.③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如答图 4 所示.这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2×(1+ )+2×图 4（第 16 题答图）∴如答图 4 所示为所求，此时最大值为∴两个小矩形周长和为 2×2（1+ ）=.。