如图在矩形ABCD中年级：高一 科目：数学 时间：7112010

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。

安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月期中考查数学试题一、单选题1．已知集合{4}A xx =<∣，集合{}2560B x x x =-->∣，则A B = （）A ．()4,6B ．()4,2-C ．()1,4-D ．()4,1--2．“1x =”是“42540x x -+=”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()y f x =的定义域是[]22-,，函数()()1f x g x x+=，则函数()y g x =的定义域是（）A ．[)(]3,00,1-⋃B ．[]3,1-C ．[]1,3D ．(]0,34．函数()222155y x x x =+>-的最小值为（）A ．2B ．5C ．6D ．75．若幂函数()f x的图象经过点12⎫⎪⎭，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在()0,∞+上为增函数B ．方程()4f x =的实根为2±C ．()f x 的值域为()0,1D ．()f x 为偶函数6．已知定义域为[4,22]a a --的奇函数3()202352f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定7．已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．2a ≤-B ．0a <C ．32a -<≤-D ．32a --≤≤8．已知函数op ，对于任意实数[],x ab ∈，当0a x b ≤≤时，记()()0f x f x -的最大值为[]()0,a b D x .若()22,021,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，则[](),21a a D +-的取值范围是（）A ．[]1,4B ．[]2,4C ．()2,4D ．91,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列各项中，()f x 与()g x 表示的函数相等的是（）A ．()(),f x x g x =B ．()()f x g x ==C ．()()32,x f x x g x x==D ．()()1,11,1,1x x f x x g x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩10．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合12,0,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，()(){}10B x ax x a =-+=，若A 与B 构成“全食”或“偏食”，则实数a 的取值可以是（）A ．-2B ．12-C ．0D ．111．关于x 的不等式22210x x a -+-≤的解集，下列说法正确的是（）A ．0a =时，解集为∅B ．0a >时，解集为{}11x a x a -≤≤+C ．0a ≠时，解集为{}11x a x a -≤≤+D ．1a <-时，原不等式在02x ≤≤时恒成立12．若a ，b 均为正数，且21a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最大值为19B ．12a b+的最小值为9C ．224a b +的最小值为12D ．()()221a b ++的最大值为4三、填空题13．命题：“2R,210x x x ∃∈++≤”的否定是．14．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x =.15．若不等式2210x ax -+≥对[]2,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为.16．函数())1||xf x x x =∈+R ，给出下列四个结论：①()f x 的值域是(1,1)-；②12,x x ∃∈R 且12x x <，使得()()12f x f x >；③任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭；④规定()11()(),()()n n f x f x f x f f x +==，其中n *∈N ，则1011212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中，所有正确结论的序号是．四、解答题17．计算．(1)1630.2517886-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；．18．设集合{}34A x x =-≤≤，{}132B x m x m =-≤≤-.(1)当3m =时，求A B ⋂；(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.19．（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知函数()2x bf x x a +=+（,a b 为常数）是定义在[]1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)若存在[]1,1x ∈-，使()2522f x k k <--成立，求实数k 的取值范围．21．已知()f x 定义域为R ，对任意,R x y ∈都有()()()2f x y f x f y +=+-．当0x <时，()2f x >，且()23f -=．(1)求()2f 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并证明；(3)若对][3,3,5,7x m ∀∈-∀∈⎡⎤⎣⎦，都有()()22121f x f t t m t t --⎡⎤-+-+≤⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．22．已知集合A 为非空数集，定义：{}{},,,,,S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈，(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S T 、（无需写计算过程）；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+(3)若集合{}02023,N ,A x x x S T φ⊆≤≤∈⋂=，记A 为集合A 中的元素个数，求A 的最大值．。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省高一上学期数学人教A 版-三角函数-强化训练(19)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知函数在区间 上是增函数，且在区间 上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.2. 设当时，函数取得最大值，则（ ）A. B. C. D.--3. 设sin （+θ）= ， 则sin2θ=（ ）A. B. C. D.4. 如果，那么 的值为（ ）A. B. C. D.是以 为周期的函数当且仅当 时， 取得最小值5. 对 ，定义 ，若函数 ，则下列四个结论中不正确的是（ ）A. B.图象的对称轴为直线当且仅当时，C.D.第一象限第二象限第三象限第四象限6. 412°角的终边在（）A. B. C. D.2sin22sin17.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A. B. C. D.18. 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于（）A. B. C. D.在区间[﹣，]上单调递增值域为[﹣1，1]图象关于直线x=成轴对称图象关于点（﹣， 0）成中心对称9. 下列关于函数y=tan（x+）的说法正确的是（ ）A. B.C. D.10. 已知角的终边经过点，则的值是（）A. B. C. D.11. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.12. 已知，则（）A. B. C. D.阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气．如图是一扇环形木雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知，，，则该扇环形木雕的面积为．14. 若，则．15. 设时钟时针长，时间经过小时分钟.①分针转了多少度 .（用角度制表示）②时针尖端所走过的弧长为.16. 已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=17. 已知，，， .(1) 求与的值；(2) 求的值.18. 某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．19. 已知函数的最小正周期为，函数的图象关于点中心对称，且过点.（I）求函数的解析式；（II）若方程在上有解，求实数的取值范围.20. 在①是函数图象的一条对称轴；②是函数的一个零点；③函数图象的一条对称轴与它相邻的一个零点之间的距离为．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数，．(1) 求函数的解析式；(2) 若函数区间至少取得两次最小值，求的最大值．21.(1) 已知tanθ＝2，求sin2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos2θ+4的值．(2) 已知，求的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.19.20.(1)(2)21.(1)(2)。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年甘肃省高中数学人教A 版 必修二第八章立体几何强化训练(12)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 如图，在矩形 中， ， ，， ，现分别沿将矩形折叠使得与 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.248162. 元朝《洋明算法》记录了一首关于圆锥仓窖问题中近似快速计算粮堆体积的诗歌：尖堆法用三十六，倚壁须分十八停.内角聚时如九一，外角三九甚分明.每一句表达一种形式的堆积公式，比如其中第二句的意思:粮食靠墙堆积成半圆锥体，其体积为底面半圆弧长的平方乘以高，再除以18.现有一堆靠墙的半圆锥体粮堆，其三视图如图所示，则按照古诗中的算法，其体积近似值是（取 ）（ ）A. B. C. D. 三点确定一个平面依次首尾相接的四条线段必共面直线与直线外一点确定一个平面两条直线确定一个平面3. 下列命题一定正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 设是两条不同直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A. B. C. D.1：2：35. 正方体的内切球，与各棱相切的球，外接球的体积之比为（ ）A. B. C. D.充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件6. 已知不重合的直线和平面，，，则“”是“”的( )A. B. C. D. BA 1BD 1BC 1BB 17. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则下列直线中与平面ACE 平行的是（ ）A. B. C. D. 12π6π8. 我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为 ， 底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（ ）A. B. C. D.①②①②③①②③9. 如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是（ ）A. B. C. D. ①②③①③④②③④①②③④10. 在透明塑料制成的正方体容器中灌进体积的水，密封后可以任意摆放，那么容器内水面形状可能是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形．其中正确的结果是 （ ）A. B. C. D. m ∥α，n ∥αm ⊥α，n ⊥αm ∥α，n ⊂αm 、n 与α所成的角相等11. 已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是( )A. B. C. D. 012. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1 ， B 1C 1的中点，O 是AC 与BD 的交点，面OEF 与面BCC 1B 1相交于m ，面OD 1E 与面BCC 1B 1相交于n ，则直线m ，n 的夹角为（ ）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共4题，共20分）得分13. 已知AH⊥Rt△HEF所在的平面，且HE⊥EF，连接AE，AF，则图中直角三角形的个数是．14. 如图所示，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为 .15. 正方体的平面展开图如图所示，则还原成正方体后，AB与CD所成角的大小为 .16. 已知三棱锥中，，，两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为 .17. 如图，四棱锥的底面为矩形，底面，设平面与平面的交线为m．(1) 证明：，且平面；(2) 已知，R为m上的点求与平面所成角的余弦值的最小值．18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在“阳马” 中，侧棱底面，且，过棱的中点E，作交于点F，连接 .(1) 证明：平面 .试判断四面体是否为“鳖臑”，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(2) 若，求直线与平面所成角的正切值.19. 如图，在三棱锥中，平面，(1) 若， .求证：；(2) 若，分别在棱，上，且，，问在棱上是否存在一点，使得平面 .若存在，则求出的值；若不存在.请说明理由.20. 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，是边长为1的等边三角形.(1) 求证：CD⊥B1D；(2) 若BC= ，求二面角B—C1D—B1的大小.21. 如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD= ．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求以C为顶点，△PBD为底面的棱锥C﹣PBD的高．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江西省高一上学期数学人教A 版-三角函数-专项提升(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）sin2+cos2sin2-cos2cos2-sin2± (cos2-sin2)1. 化简= （ ） A. B. C.D. 2.如果 的终边过点 ，那么 （ ）A. B. C. D.[ ， ][2kπ ，2kπ ]（k ∈Z ）（k ∈Z ）3. 函数y的定义域是（ ）A. B. C. D. y=sin2x y=cos2x 4. 将 的图象向左平移 个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）A. B. C. D.5. 函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则这个函数的周期和初相分别是（ ）2，﹣2，﹣π，﹣π，﹣A. B. C. D. 是最小正周期为的偶函数是最小正周期为的偶函数是最小正周期为的奇函数是最小正周期为的奇函数6. 已知函数， 则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. ﹣ ﹣7. 已知f （a ）= ，则f （﹣ ）的值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知 ， ， 则的值为（ ）A. B. C. D.9. sin （﹣300°）的值是（ ）A. B. C. D.10. 函数的图像的一条对称轴是（ ）A. B. C. D.11. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D.sinθ＞0cosθ＞0tanθ＞0以上都不对12. 如果θ是第三象限的角，那么（ ）A. B. C. D. 13. 若 ，则15. 若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是．16. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为．17. 已知函数．(1) 求y ＝ f（x）的单调减区间；(2) 当时，求f（x）的最大值和最小值．18. 已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 .(1) 当时，求的单调递减区间；(2) 将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.19. 设函数，若在处取得最小值.(1) 求函数解析式；(2) 若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最小值.20. 已知函数 .(1) 化简；(2) 若，且，求的值；21. 已知曲线y=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（ π，0），φ∈（﹣，）．(1) 求这条曲线的函数解析式；(2) 求函数的单调增区间．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.14.15.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)。

2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：第9章 平面向量一、选择题1．在中,点D 在边的延长线上,且.若,,则点O 在( )A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段上，，则实数( )A.6B. C.3D.3．在平行四边形ABCD 中,,,,则( )C.2D.34．已知向量，，，5．如图，梯形的腰的中点为E ，且，记,，则( )A. B. C. D.6．已知向量,满足( )A. B.7．已知平面向量、满足,A. B. C.D.ABC △BC 3BC CD =(1)AO xAB x AC =+- 103x -<<BC CD AC AD b a +=- ()1,2= (),3b m = m =6-3-3AB =AD =45A =︒2DE EC = AE BE =⋅a b ()42a b a +⋅= (1,2)b = ABCD CD 3BC AD =AB m = AD n =BE =122m n-+ 2n +122m n -+ 1322m n -+ a b2b a =+ 2b = 2a ba = ||4ab -= [2,6]2,⎡⎣⎡⎤⎣⎦1,⎡⎣8．在菱形中,,点E 是线段上靠近B 的三等分点,点F 是线段上靠近B 的四等分点,则( )二、多项选择题9．如图，四边形ABCD 为梯形，其中，，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.10．下列向量中与共线的是( )A. B. C. D.11．已知点D ，E ，F 分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是( )A. B.C. D.三、填空题12．在中,,,点P 在直线T 上,若的面积为4,则的最小值是________.13．如图在等边中，D 、E 为边AB 、AC 上的点，且满足，2PB PC BC ⋅+ABCD AB BD =CB AB DC =415AE DF +65AE DF +415AE DF +45AE DF + //AB CD 2AB CD =12AC AD AB=+1124MC AC BC=+ 14MN AD AB=- 12BC AD AB=+ ()1,3a =()1,2b =()1,3c =-()1,3d =--()2,6e =ABC △AB BC CA FD DA FA += 0FD DE EF ++= DE DA DF += AF EF CE+= ABC △23AS AB = 23AT AC =ABC △ABC △||3BD =，F ，G 分别为BC ，DE 的中点，则__________.14．已知非零向量，满足，，且，则__________.四、解答题15．设两个非零向量与不共线.（1）若，，，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）试确定实数k ，使和反向共线.16．已知向量,,,O 为坐标原点.（1）若,求实数m 的值;（2）在（1）的条件下,求与夹角的余弦值.17．在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同.( )18．向量与共线且同向.( )19．若，，，则.()||4CE = ||FG =a b||1a =+||1b =- ||4a b -= ||a b +=a bAB a b =+ 28BC a b =+ ()3CD a b =-ka b + a kb +()2,1OA =- (),3OB m = ()1,5OC =//OA BCOA OB(1,2)a = (3,6)b =--()11,a x y = ()22,b x y =//a b 1221x y x y =参考答案1．答案：B解析：因为,所以,由向量共线定理可知O,B,C三点共线., ,.又,点O在线段CD上,且不与C、D点重合.故选：B.2．答案：B，即，所以，因为，，所以，所以，解得.故选：B.3．答案：A解析:如下图所示:由可得,;所以(1)AO xAB x AC=+-13x-<<3BC CD=33AC AB AD AC∴-=-∴1433AD AB AC=-+13x-<<∴b a+=-)()22a b a b+=-222222a b a b a b a b++⋅=+-⋅a b⋅=()1,2a=(),3b m=6a b m⋅=+60m+=6m=-2DE EC=2233DE DC AB==1133CE D ABC=-=-()()2221123339AE BE AD DE BC CE AD AB AD AB AD AB AD AB⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:A.4．答案：B解析：因为，则，即，解得，，.故选：B.5．答案：A解析：因为，又，所以，又E为腰的中点，所以，故选：A.6．答案：D,化简得,故选：D.7．答案：A解析：设,又,,因为,所以,所以在以为圆心,4为半径的圆上,又,=|2|1a b +====2123453212319=⨯=⨯++--= (4)2a b a +⋅= 242a a b +⋅= 42a b +⋅= 2a b ⋅=- (1,2)b = 3BC AD =0AB BC CD DA +++=32CD AB BC DA m n n m n =---=--+=-- CD 11132222BE BC CE BC CD n m n m n =+=+=--=-+2b a =+ )()2222a ba b -=+0a b ⋅=2b ==== (,)b x y = a = (1)a b x y -=--||4a b -= ||4a b -==(,)x y C ||2OC =.故选:A.8．答案：C解析：作出图形如图所示.记线段,交于点O,分别以,所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.设,则,,,,,故,,,设,则,解得,故选：C.9．答案：AC解析：A选项：，A正确；B选项：C选项：D选项：10．答案：CD解析：向量，因，则与不共线，A不是；因，则与不共线，B不是；[42,4-+AC BDAC BD2AB BD==()A()0,1D-23E⎫⎪⎪⎭34F⎛⎫⎪⎪⎝⎭)C)DC=23AE⎫=⎪⎪⎭74DF⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭DC xAE yDF=+27134x yx y=-⎨⎪=+⎪⎩xy⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩44515DC AE DF∴=+12AC AD DC AD AB=+=+11()22MC MA AC BA AC BC CA AC=+=+=++=1124MN MA AD DN AB AD AB AD=++=-++=1122BC BA AD DC AB AD AB AD=++=-++=-()1,3a=12310⨯-⨯≠()1,2b=()1,3a=123(1)0⨯-⨯-≠()1,3c=-()1,3a=而，，则，与都共线，即C ，D 是.故选：CD.11．答案：ABC解析：对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 正确；对于C ，因为D ，E ，F 分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C 正确；对于D ，因为F 为的中点，所以，所以，故D 错误.故选：ABC.,,所以,取BC 的中点M ,连接PM ,过点P 作于N ,AH 是的高,由,所以由由题意可得,,所以,所以()1,3a d =--=- ()2,62a e ==d e a FD DA FA +=0FD DE EF FE EF ++=+=ABC △AB BC CA DE AF ∥DEFA DE AF = DE DA DF +=CA AF FC =AF EF FC EF EC CE +=+=≠23AS AB = 23AT AC =//ST BC PN BC ⊥ABC △ABC △4=//ST 13PN AH ==PB PM MB =+ PC PM MC =+221()()4PB PC PM MB PM MC PM BC ⋅=+⋅+=- 22222222133444PB PC BC PM BC BC PM BC PN BC⋅+=-+=+≥+与重合时取等号.所以解析：作于O，于N，于M，则，因为，所以，因为为等边三角形，，由，得，所以因为所以14．答案：4解析：如图所示，222283643||443||9||BC BCBC BC⎛⎫=+=+≥=⎪⎝⎭34BC==N2PB PC BC⋅+DO BC⊥EN BC⊥GM BC⊥////OD GM EN DG EG=OM MN=ABC△60B C∠=∠=︒3BD=4CE=BO=2=DO==11()22GM DO EN=+=⨯=BF CF=322BO=-=OF FN-=FG===设，，则，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则，由于，故，所以是直角三角形，，从而，所以平行四边形OACB 是矩形.根据矩形的对角线相等得，即.故答案为：4.15．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1），，，，、共线，又它们有公共点B ，，B ，D 三点共线.（2）与反向共线，存在实数，使，即，.、是不共线的两个非零向量，，，，28BC a b =+ ()()283283355BD BC CD a b a b a b a b a b AB ∴=+=++-=++-=+= BDA ∴a kb + (0)λλ<1k ∴=±OA a = OB b = ||||BA a b =- ||||OC a b =+2221)1)4++-=222||||||OA OB BA += OAB △90AOB ∠=︒OA OB ⊥||||4OC BA == ||4a b +=1k =-AB a b =+ ()3CD a b =-AB ∴ ka b + ∴()ka b a kb λ+=+ka b a kb λλ+=+ ()()1k a k b λλ∴-=-a b10k k λλ-=⎧∴⎨-=⎩210k ∴-=，.16．答案：（1）5（2）解析：（1）因为,,,所以,又因为,所以,,解得;（2）由（1）知,设,的夹角为,则17．答案：√解析：在平面直角坐标系中，设，，若，则，所以，，可得，故在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同.故答案为：√.18．答案：×解析：，所以与共线且反向.故答案为：×.19．答案：√解析：若，，，则，即.故答案为： √.1k ∴=-()2,1OA =- (),3OB m = ()1,5OC =()1,2B m =-0λ< //OA BC OA BC λ=()()2,11,2m λ-=-5m =()()2,1,5,3OA OB =-=OA OB θcos OA OB OA OB θ⋅====xOy ()11,a x y = ()22,b x y =a b = ()1212,0a b x x y y -=--= 121200x x y y -=⎧⎨-=⎩1212x x y y =⎧⎨=⎩()3,631,23()b a =--=-=-a b ()11,a x y = ()22,b x y =//a b 12210x y x y -=1221x y x y =。

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定基础题1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝C D.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A. AB∥CDB. AD＝BCC. ∠A＝∠BD. ∠A＝∠D2. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第2题图3. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等4. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()第4题图A. 1B. 2C. 3D. 45. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. 对角线BD的长度减小C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变第5题图6. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为()第6题图A. 12B. 16C. 20D. 327. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则ABBC＝()A. 12 B.3－12 C.32 D.33第7题图8. (2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝()第8题图A. 45°＋12α B. 45°＋32αC. 90°－12αD. 90°－32α 9. (2023河北)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF .若S 正方形AMEF ＝16，则S △ABC ＝( ) A. 4 3 B. 8 3 C. 12 D. 16第9题图10. [新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ⊥BD 于点O .请添加一个条件：________，使四边形ABCD 成为菱形．第10题图 11. (2023怀化)如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE ⊥AD 于点E ，PE ＝3.则点P 到直线AB 的距离为________．第11题图12. (2023绍兴)如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝40°，连接AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E ，连接CE ，则∠AEC 的度数是________．第12题图13. (2023河南)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN ＝AB ＝1.当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为________．14. [新考法—条件开放](2023十堰)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点B ，C 为圆心，12AC ，12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ，CP . (1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？第14题图15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE ＝DF ，连接AE ，CF ，EH ⊥CF 于点H ，FG ⊥AE 于点G .(1)判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；(2)若AE ＝5，tan ∠DAE ＝2，EG ＝2GF ，求AG 的长．第15题图拔高题16. (2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．第16题图①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．课时2基础题1. (2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°第1题图2. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC 中点，则EF的长为()第2题图A. 3B. 4C. 5D. 63. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4 cm，则剪下来图形的周长为()第3题图A. 4 cmB. 4 2 cmC. 16 cmD. 16 2 cm4. (2022青岛改编)如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形．若AB ＝2，则OE 的长度为________．第4题图5. [新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为点F ，G ，则EF ＋EG ＝________.第5题图6. (2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA ＝ED ＝52.第6题图(1)△ADE 的面积为________；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．7. (2023内江)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F .(1)求证：F A ＝BD ；(2)连接BF ，若AB ＝AC ，求证：四边形ADBF 是矩形．第7题图8. (2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；(2)当CD＝4时，求EG的长．第8题图拔高题9. (2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E 在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第9题图A. 菱形→平行四边形→矩形B. 菱形→矩形→菱形C. 平行四边形→矩形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形10. (2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.(1)求证：PE∥FG；(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．图①图②第10题图参考答案与解析1. C2. C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC ＝BC ＝3，DC 与BC 分别垂直于y 轴和x 轴．∵点C 在第一象限，∴点C 的坐标为(3，3).3. D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第3题解图4. B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形，当CD ＝CE ＝4时，▱ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.5. C 【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确，∵向左扭动框架，∴BD 的长度减小，故B 正确；∵平行四边形ABCD 的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD 的面积变小，故C 错误；∵平行四边形ABCD 的四条边长度不变，∴四边形ABCD 的周长不变，故D 正确．6. B 【解析】如解图，连接AC ，∵点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2EF ＝4.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD ＝12 AC ·BD ＝12×4×8＝16.第6题解图7. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∠ABC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB .∵∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12 ∠AOB ＝30°，∴AB BC ＝tan ∠ACB ＝tan 30°＝33. 8. D 【解析】∵四边形ABCD 和四边形BGHF 是完全相同的菱形，∴∠DBE ＝∠BAD ＝α，AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠CBE ＋∠DBE ＝β＋α.∴∠ADB ＝∠ABD ＝β＋α.∵∠BAD ＋∠ADB ＋∠ABD ＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－32α. 9. B 【解析】∵S 正方形AMEF ＝16，∴AM ＝4.∵M 是斜边BC 的中点，∴AM 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BC ＝2AM ＝8.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2 ＝43 ，∴S △ABC ＝12 AB ·AC ＝12×4×43 ＝83 . 10. AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】当AD ∥BC ，AD ＝BC 时，四边形ABCD 为平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．11. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠AFP .∵AP ＝AP ，∴△AEP ≌△AFP (AAS)，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第11题解图12. 10°或80° 【解析】如解图，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E 和E ′.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ，∵∠DAB ＝40°，∴∠DAC ＝20°.∵AC ＝AE ，∴∠AEC ＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE ′＝AC ，∴∠AE ′C ＝∠ACE ′＝10°.综上所述，∠AEC 的度数是10°或80°.第12题解图 13. 2或2 ＋1 【解析】分两种情况，①当∠DNM ＝90°时，如解图①，则MN ∥AB ，∴AN BM＝AD BD.∵M 是BD 的中点，∴BD ＝2BM ，∴AD ＝2AN ＝2；②当∠DMN ＝90°时，如解图②，连接BN ，∵M 是BD 的中点，∠DMN ＝90°，∴BN ＝DN ＝AB 2＋AN 2 ＝12＋12 ＝2 ，∴AD ＝2 ＋1.综上所述，AD 的长为2或2 ＋1.图①图②第13题解图14. 解：(1)四边形BPCO 为平行四边形．理由如下：由作法得，BP ＝12 AC ，CP ＝12BD ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OC ＝12 AC ，OB ＝12BD, ∴OC ＝BP ，OB ＝CP ,∴四边形BPCO 为平行四边形．(2)当▱ABCD 的对角线垂直且相等时，四边形BPCO 为正方形．理由：∵AC ⊥BD ，∴四边形BPCO 为矩形，∵AC ＝BD ，∴OB ＝OC ，∴四边形BPCO 为正方形．15. 解：(1)四边形EGFH 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AD －DF ＝BC －BE ，∴AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠AEH ＋∠FHE ＝180°.∵EH ⊥CF ，FG ⊥AE ，∴∠FGE ＝∠FHE ＝∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形；(2)∵FG ⊥AE ，∴∠AGF ＝90°.在Rt △AGF 中，tan ∠DAE ＝GF AG＝2， ∴GF ＝2AG .∵EG ＝2GF ，∴EG ＝4AG .∵AE ＝AG ＋EG ＝5，∴AG ＝1，即AG 的长为1.16. 20°；0° 【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．课时21. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠DCA ＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA ＝70°.2. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC ，BE ＝DE ，∵∠DBC ＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD ＝BD ＝10.∵点F 为BC 中点，∴EF ＝12CD ＝5. 3. D 【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC ＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB ＝4 cm ，根据勾股定理得BC ＝42 cm ，故剪下来图形的周长为4×42 ＝16 2 cm. 4. 6 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝22 .∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝22 ，AO ＝2 ，∴OE＝6 .5. 6013【解析】如解图，连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°， AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12.在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2 ＝13.∴AC ＝BD ＝13.∵AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ＝132 .∵S △BCO ＝14 S 四边形ABCD ＝14×12×5＝15，∴S △BCO ＝S △BEO ＋S △CEO ＝12 BO ·EG ＋12 CO ·EF ＝12 ×132 (EG ＋EF )＝15，∴EF ＋EG ＝15×413 ＝6013.第5题解图6. (1)3 【解析】(1)如解图，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，∵△ADE 是等腰三角形，EA ＝ED ＝52 ，AD ＝3，∴AM ＝12 AD ＝32，∴EM ＝AE 2－AM 2 ＝（52）2－（32）2 ＝2，∴S △ADE ＝12 AD ·EM ＝12 ×3×2＝3. (2)13 【解析】如解图，延长EM 交AG 于点N ，∵∠BAD ＝∠AME ＝90°，∴AB ∥NE ，∴∠ABF ＝∠FEN ，∠BAF ＝∠ENF .又∵点F 为BE 中点，∴BF ＝EF ，∴△AFB ≌△NFE ，∴EN ＝BA ＝3.由(1)知，EM ＝2，∴NM ＝1.∵∠NMD ＝∠ADC ＝90°，且M 为AD 中点，∴NM ∥GD ，∴NM 为△AGD 的中位线，∴GD ＝2NM ＝2，∴AG ＝AD 2＋GD 2 ＝13 .第6题解图7. 证明：(1)∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .又∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AFE 和△DCE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD；(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，由(1)知F A＝BD，又∵F A∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．又∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形．8. 解：(1)四边形OCDE为菱形，理由如下：∵CE是线段OD的垂直平分线，∴OF＝DF，OC＝DC.∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四边形OCDE是平行四边形．又∵OC＝CD，∴四边形OCDE是菱形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO ＝∠CDO ＝60°，∴∠FDG ＝90°－60°＝30°.∵四边形OCDE 是菱形，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∠CGD ＝90°－∠DCE ＝60°，∴∠EDG ＝30°，∴DG ＝EG .∵CD ＝4，∴tan ∠DCG ＝DG CD ＝DG 4， ∴DG ＝4·tan 30°＝4×33 ＝433， ∴EG ＝433. 9. B 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∠ABD ＝60°，∴∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠CBD ＝30°.∵OE ＝OF ，O 为对角线BD 的中点，∴DF ＝EB .由对称的性质得DF ＝DF 2，BF ＝BF 1，BE ＝BE 2，DE ＝DE 1，∠F 2DC ＝∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠E 1DA ＝30°，∠F 1BC ＝∠FBC ＝30°，∴E 1F 2＝E 2F 1，∠E 1DB ＝60°，∠F 1BD ＝60°，∴DE 1∥BF 1，∴E 1F 2∥E 2F 1，∴四边形E 1E 2F 1F 2是平行四边形，如解图①，当E ，F ，O 三点重合时，DO ＝BO ，∴DE 1＝DF 2＝AE 1＝AE 2，即E 1E 2＝E 1F 2，∴四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，如解图②，当E ，F 分别为OB ，OD 的中点时，设DB ＝4，则DF 2＝DF ＝1，DE 1＝DE ＝3，在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝23 ，连接AE ，易得AE ＝32 AB ＝3 ，根据对称性可得AE 1＝AE ＝3 ，∵AD 2＝12，DE 21 ＝9，AE 21 ＝3，即AD 2＝AE 21 ＋DE 21 ，∴△DE 1A 是直角三角形，且∠E 1＝90°，∴四边形E 1E 2F 1F 2是矩形；如解图③，当F ，E 分别与D ，B 重合时，△BE 1D ，△BDF 1都是等边三角形，则四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E 1E 2F 1F 2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．图①图②图③第9题解图10. (1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，∵FG平分∠PFC，∴∠PFG＝∠CFG.∵AD∥BC，∴∠APF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠PFG，∴PE∥FG；(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.∵E，O，D三点在同一条直线上，∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，∴△DOF≌△DCF(AAS)，∴DO＝DC＝AB.∵E是AB的中点，∴设EA＝EB＝EO＝a，∴OD＝CD＝AB＝2a，∴DE＝OE＋OD＝3a.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，∴AD＝（3a）2－a2＝22a.∵AD＝nAB，∴22a＝2na，∴n＝2.。

2022-2023学年第一学期高一年级教学质量诊断测试数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U =R ，集合{}16,{33}A x x B x x =-≤≤=-<<∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}36xx ≤≤∣ B.{13}xx -<≤∣C.{13}xx <≤∣ D.{31}xx -<≤-∣【答案】A 【解析】【分析】由图可得阴影部分表示()U A B ð，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为()U A B ð，因为{}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣，所以{3U B x x =≤-ð或}3x ≥，(){}36U B A xx ⋂=≤≤∣ð，故选：A2.若函数()f x =，则()f x 的定义域为（）A.[]2,4 B.][(),24,⋃-∞+∞C.()2,4 D.()(),24,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2680x x -+≥，解不等式即可得出定义域.【详解】要使函数()f x =有意义，则2680x x -+≥，则()()240x x --≥，解得：2x ≤或4x ≥，所以函数()f x =的定义域为][(),24,⋃-∞+∞，故选：B3.若命题“[]1,2x ∀∈，210x a +-≤”为真命题，则a 的取值范围是（）A.2a ≥B.2a ≤C.5a ≥ D.5a ≤【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解21y x =+的最大值即可.【详解】由已知[]1,2x ∀∈，210x a +-≤，则()2max1a x ≥+，即5a ≥，所以a 的取值范围是5a ≥.故选：C .4.已知0.2log 3a =，0.20.3b =，ln πc =，则（）A.a b c << B.a c b<< C.b a c<< D.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得0.20.2log 3log 10a =<=，0.2,031).(0b ∈=，ln π>lne=1c =，所以a b c <<，故选：A.5.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-，若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.53-B.13-C.53D.13【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以由()()()()()()()1212f x f x f x f x f x f x f x +=-=-⇒+=-+⇒+=，函数该函数的周期为2，131111433333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B6.若π1tan 43⎛⎫+=- ⎪⎝⎭θ，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++（）A.3B.35C.15D.35-【答案】D 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】π11tan 1tan tan 2431tan 3θθθθ+⎛⎫+=-⇒=-⇒=-⎪-⎝⎭，()()()()22222πsin 1sin2cos sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==-=-++-+2tan 13tan 15θθ-==-+，故选：D7.设二次函数()()2232=-++f x a x ax 在R 上有最大值，最大值为()m a ，当()m a 取最小值时，a 的值为（）A.0B.1C.D.4【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数分析可得()()29816,242m a a a a a -+-<-=，换元令2t a =-，整理得()9474t t y ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可得：20a -<，即2a <，且()()2232=-++f x a x ax 的对称轴为()322ax a =-，故()()()239816,22242a a a f a a a m a ⎛⎫-+-=< ⎪ ⎪--⎝⎭=，令20t a =-<，则2a t =+，可得()()()2928216949772444t t t tt y -+++-⎡⎤=-+-≥⨯=⎢⎥-⎣⎦=，当且仅当4t t-=-，即2,0t a =-=时，等号成立，即当0a =时，()m a 取最小值2.故选：A.8.已知锐角α，β满足sin sin 2cos cos αββα+<，设tan tan =⋅a αβ，()log a f x x =，则下列结论正确的是（）A.π2αβ+>B.sin cos αβ>C.()()sin cos f f αβ>D.()()cos sin f f αβ>【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合基本不等式分析可得()tan tan 0,1a αβ=∈，对A ：结合两角和的正切公式分析可得()tan 0αβ+>，即可得π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；对B ：由π2αβ<-，结合正弦函数单调性以及诱导公式可得sin cos αβ<；对C ：由sin cos αβ<，结合对数函数的单调性分析判断；对D ：根据选项B 、C 的思路，先证sin cos βα<，再结合对数函数的单调性分析判断.【详解】因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为锐角，则sin ,cos ,sin ,cos ααββ均为正数，即sin sin 0,0cos cos αββα>>，又∵2sin sin cos cos sin sin tan tan cos cos 4αββααβαβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤，当且仅当sin sin cos cos αββα=，即αβ=时等号成立，结合sin sin 2cos cos αββα+<，可得0tan tan 1αβ<<，即01a <<，对A ：∵tan 0,tan 0,0tan tan 1αβαβ>><<，则()tan tan tan 01tan tan αβαβαβ++=>-，且()0,παβ+∈，∴π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，A 项不正确；对B ：∵π02αβ<+<，则π2αβ<-，注意到π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ0,22β骣琪-Î琪琪桫，且sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴πsin sin cos 2αββ⎛⎫<-=⎪⎝⎭，B 错误；对C ：由01a <<，则()log a f x x =在定义域内是减函数，且0sin cos αβ<<，所以()()sin cos f f αβ>，C 正确；对D ：∵π02αβ<+<，则π2βα<-，注意到π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ0,22α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴π0sin sin cos 2βαα⎛⎫<<-=⎪⎝⎭，结合()log a f x x =在定义域内是减函数，则()()sin cos f f βα>，D 不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：对于锐角α，β，则有：（1）若π2αβ+<，则sin cos <αβ；（2）若π2αβ+=，则sin cos αβ=；（3）若π2αβ+>，则sin cos αβ>；此结论在三角形中应用较多.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列说法正确的是（）A.0,1x x >≠，则1lg lg y x x=+的最小值是2B.0x ≥，则y =的最小值是52C.0x ≥，则1242xxy =+⋅的最小值是1D.2214sin cos y x x=+的最小值为9【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，B ，C ，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解；对于D ，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.【详解】对于A,令()lg 0t x t =≠，则1()f t t t=+()0t ≠，由对勾函数知，()f t 在()(),1,1,-∞-+∞单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减；所以当0t <时，()()1()(1)121f t f ≤-=-+=--，当0t >时，1()(1)121f t f ≥=+=，故A 错误；对于B ，令)2t t =≥，则24x t =-，2451()t f t t t t-+==+，由对勾函数的性质知，()f t 在[)2,+∞单调递增，当2t =时，()f t 取得最小值为15(2)222f =+=，所以当0x ≥时，则y =的最小值是52，故B 正确；对于C ，令()21xt t =≥，则1()4f t t t =+⋅，由对勾函数的性质知，()f t 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，当12t =时，()f t取得最小值为1115()122242f=+=⨯，所以当0x≥时，则1242xxy=+⋅的最小值是52，故C错误；对于D，()22222222224sin cos14sin cos14tan5 sin cos sin cos tanx xx xy xx x x x x++=+=+=++59≥=，当且仅当2214tantanxx=，即tan2x=±时，等号成立，所以2214sin cosyx x=+的最小值为9，故D正确.故选：BD.10.下列命题中正确的是（）A.命题：“0x∀≥，20x≥”的否定是“0x∃<，20x<”B.函数()41xf x a-=+（0a>且1a≠）恒过定点()4,2C.已知函数()21f x+的定义域为[]1,1-，则函数()f x的定义域为[]1,3-D.若函数)1-=-f x，则()()221f x x x x=--≥-【答案】BCD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D.【详解】A选项，“20,0x x∀≥≥”的否定是“20,0x x∃≥<”，A错误；B选项，0a>且1a≠，当4x=时，0(4)12f a=+=，故函数4()1xf x a-=+（0a>且1a≠）恒过定点(4,2)，B正确；C选项，由[1,1]x∈-得：[]211,3x+∈-，故函数()f x的定义域为[]1,3-，C正确；D选项，))21)112f x-=-=--11-≥-，故()()221f x x x x=--≥-，D正确.故选：BCD.11.已知定义在R上的函数()f x在(],2-∞上单调递增，且()2f x+为偶函数，则（）A.直线2x=是()f x的对称轴B.()2,0是()f x 的对称中心C.()()14f f ->D.不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】由题意可得()f x 图象的对称轴为直线2x =，即可判断A ，B ；结合对称性可得()f x 在[)2,+∞上单调递减，从而()()()154f f f -=<，即可判断C ；由不等式()()34f x f x +>结合()f x 的对称性及单调性，可得3242x x +-<-，解不等式即可判断D ．【详解】因为()2f x +为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以()f x 图象的对称轴为直线2x =，故A 正确，B 错误；又()f x 在(],2-∞上单调递增，所以()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以()()()154f f f -=<，故C 错误；由不等式()()34f x f x +>结合()f x 的对称性及单调性，得3242x x +-<-，即22(32)(42)x x +-<-，即(51)(33)0x x -->，解得15x <或1x >，所以不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：AD ．12.把函数()()cos 0πf x x x ωωω=+<<的图象向左平移π6个单位长度，得到的函数图象恰好关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在ππ,124⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.若()f x 在区间π,12a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上存在最大值，则实数a 的取值范围为π,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先利用辅助角公式化简()f x ，再通过图像平移求得新的函数，从而利用图象关于y 轴对称求得2ω=，由此得到()f x 的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.【详解】由题意可得：()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对A ：函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到πππππ2sin 2sin 66666y f x x x ωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵ππ2sin 66y x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，即ππ2sin 66y x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则()21πππ,662k k ω-+=∈Z ，则64,k k ω=-∈Z ，注意到0πω<<，则1,2k ω==，故()f x 的最小正周期为2ππT ω==，A 正确；对B ：由A 可知：()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，B 正确；对C ：令222,26πππππ2k x k k -≤+≤+∈Z ，解得,3πππ6πk x k k -≤≤+∈Z ，故()f x 的递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令0k =，且ππ,124x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可得ππ6,12x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故()f x 在6ππ,12⎛⎤-⎥⎝⎦上单调递增，在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 错误；对D ：∵π,12x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则ππ20,266x a ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，若()f x 在区间π,12a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上存在最大值，则ππ262a +>，解得π6a >，即实数a 的取值范围为π,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法定睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．（2）整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程．②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知0a >，且1a ≠，函数()log 23a y x =-+的图象恒过点P ，若P 在幂函数()f x 图像上，则()8f ＝__________．【答案】【解析】【分析】由log 10a =，知231x -=，即2x =时，y =，由此能求出点P 的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.【详解】 log 10a =，∴231x -=，即2x =时，y =∴点P 的坐标是P 由题意令()a y f x x ==，图象过点2,a =解得：12a =12()y f x x∴==12(8)8f ==故答案为：【点睛】本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14.()2sin50sin101cos10⎡⎤+=⎣⎦______.【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、辅助角公式以及三角恒等变换的知识求得正确答案.【详解】()2sin50sin101cos10⎡⎤+⎣⎦cos 2sin50sin101cos1010⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 103sin1cos cos 02sin50sin10cos1010⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎭⎣=⎝⎦⎥ ()102sin50sin10cos10102sin 30cos +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⨯=2sin 40co 2sin50sin10cos100s1⎡+=⎤⎢⎥⎣⎦⨯cos sin 40sin5010sin 2co 10cos1010s =+⨯⨯cos cos50sin5010sin 2co 10cos1010s =+⨯()sin 50201=⨯+6sin 20== .15.已知正数,m n 满足320m n mn +-=，则m n +的最小值为__________.【答案】2+2【解析】【分析】首先将条件变形为132m n+=，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求m n +的最小值.【详解】因为320m n mn +-=，所以132m n+=，0,0m n >>，所以()113131442222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当3n m n m =，即n =，即12m +=，32n =时等号成立，所以m n +的最小值是2+.故答案为：2+16.若[]0,2πx ∈，()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，则关于x 的方程()()()22120+-+-=f x a f x a a 恰好有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______.【答案】,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由原方程可得()f x a =或()1f x a =-，从而得到y a =和1y a =-与()y f x =的图象共有6个不同的交点，画图可建立不等式求解即可.【详解】由()()()22120+-+-=fx a f x a a ，得()f x a =或()1f x a =-，因为关于x 的方程()()()22120+-+-=f x a f x a a 有6个不同的解，所以y a =和1y a =-与()y f x =的图象共有6个不同的交点，由图可知21222122a a <<⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，解得212a <<，所以a的取值范围为,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：,12⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭四、解答题：（本题共6小题，70分.）17.设全集是R ，集合{}()225|,1,A x a x a B =<<-=．（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a -≤≤（2）a ≤【解析】【分析】（1）分A =∅和A ≠∅讨论，特别是A ≠∅时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；（2）根据q 是p 的充分不必要条件得到B A ，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.【小问1详解】若A B ⊆,当A =∅时，22a a ≥-，解得12a -≤≤，当A ≠∅时，222125a a a a ⎧<-⎪≥⎨⎪-≤⎩，解得2a <≤，综合得1a -≤≤【小问2详解】条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若q 是p 的充分不必要条件，则BA ，2125a a ≤⎧∴⎨-≥⎩且等号不能同时成立，解得a ≤18.已知α，β为锐角，35=cos α，()5cos 5αβ+=-.（1）求sin2α的值；（2）求cos β的值.【答案】（1）24sin225α=（2【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.【小问1详解】因为α为锐角，35=cos α，所以4sin 5α===，则3424sin22sin cos 25525==⨯⨯=ααα；【小问2详解】由于α，β为锐角，则0αβ<+<π，又()()cos sin 55αβαβ+=-⇒+===，所以()cos cos βαβα⎡⎤=+-⎣⎦()()cos cos sin sin αβααβα=+++3455555=-⨯+⨯=.19.已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈（1）若[)1,x ∈-+∞，求函数()f x 的最小值；（2）解不等式()21f x x <+.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置分类讨论即可；（2）利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论求解即可.【小问1详解】因为函数()221f x x mx m =+-+的对称轴为2mx =-，所以ⅰ）当12m -≥-，即2m ≤时，()2min 4824--⎛⎫=-= ⎪⎝⎭m m mf x f ，ⅱ）当12m-<-，即m>2时，()()min 123=-=-f x f m ；【小问2详解】由()21f x x <+，可得22121x mx m x +-+<+，即()2220x m x m +--<，所以()()20-+<x x m 所以ⅰ）当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，ⅱ）当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，ⅲ）当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -.20.已知函数9()log (91)(R)xf x kx k =+-∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若方程9()log 13x m f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质()()f x f x -=，得到关于k 的方程，由x 的任意性可求得k 的值；（2）先将问题转化为方程13133xx x m+=+有解，再利用换元法将问题转化为y m =与()21g t t t =-+在()0,∞+上有交点，从而得解.【小问1详解】因为9()log (91)(R)xf x kx k =+-∈，910x +>在R 上恒成立，所以()f x 的定义域为R ，又因为()f x 是偶函数，所以R x ∀∈，有()()f x f x -=，即99log (91)log (91)x x kx kx -++=+-对R x ∀∈恒成立，则9999912log (91)log (91)log log 991x xxx xkx x --+=+-+===+对R x ∀∈恒成立，即(21)0x k -=对R x ∀∈恒成立，因为x 不恒为0，所以12k =.【小问2详解】由（1）得()()129999191()log 91log 91log 9log 23x x xxxf x x +=+-=+-=91log 33x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程9()log 13x m f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭有解，即方程991log 3log 133x x x m ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解，又因为对数函数9log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以方程13133xx xm+=+有解，令3x t =，则0t >，方程化为11mt t t+=+，即方程21m t t =-+在()0,∞+上有解，令()21g t t t =-+，则y m =与()g t 在()0,∞+上有交点，因为()g t 开口向上，对称轴为12x =，所以()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，则()1324g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以34m ≥，即3,4⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭m ..21.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当13π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）()π2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π13π,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据()f x 的图象，依次求得,,,A B ωϕ的值，从而求得()f x .（2）根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，根据三角函数单调区间的求法求得()g x 的单调递增区间.【小问1详解】由图可知51512,322A B -+====，7πππ2π,π,2212122T T ωω=-====，则()()2sin 23f x x ϕ=++，由ππ2sin 35126f ϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得ππππsin 1,2π,2π6623k k ϕϕϕ⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭，Z k ∈,由于π2ϕ<，所以π3ϕ=，则()π2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到πππ2sin 232sin 23436y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()π2sin 436g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4,2π66x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当πππ4662x -≤-≤以及3ππ42π26x ≤-≤时函数单调递增，即()g x 单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π13π,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.已知函数()f x ，若在其定义域内存在实数0x 和t ，使得()()()00f x t f x f t +=+成立，则称()f x 是“t 跃点”函数，且称0x 是函数()f x 的“t 跃点”.（1）求证：函数()23xf x x =+是“1跃点”函数；（2）若函数()323g x x ax =--在()0,∞+上是“1跃点”函数，求实数a 的取值范围；（3）是否同时存在实数m 和正整数n ，使得函数()cos2=-h x x m 在[]0,n π上有2023个“6π跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m 和n ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）32m =或12-，2023n =；1m =，1011n =；【解析】【分析】（1）根据题意令00000()(1)()(1)2323xF x f x f x f x =+--=⋅+-，利用零点存在定理即可证明；（2）由题意可得2(1)()(1)3(32)30g x g x g x a x +--=+-+=，可整理得13(33)2a x x=⨯++，然后用基本不等式求解即可；（3）根据题意可得到1πsin 226m x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，然后依据112m -=或1-，1122-=m ，11122-<-<m 或11122<-<m ，分类讨论求解即可.【小问1详解】()()0021200001313321x x f x x x x ++=++=⋅+++，所以()02003xf x x =+，()14f =，令()()()()00000112323xF x f x f x f x =+--=⋅+-，因为()010F =-<，()150=>F ，所以由零点存在定理可得()00F x =在[]0,1有解，所以存在[]00,1x ∈，使得()()()0011f x f x f +=+，即函数()23xf x x =+是“1跃点”函数.【小问2详解】由题意得()()()11+--g x g x g ()()323211332=+-+--++++x a x x ax a()233230=+-+=x a x ，因为()0,x ∈+∞，所以1319333222⎛⎫⎛⎫=⨯++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a x x ，当且仅当1x =取等号，所以a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】()ππππcos 2cos 2cos 06633h x h x h x m x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1πsin 226m x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，令πππ2,2π666x n μ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，即1sin 2-=m μ在ππ,2π66n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上关于μ要有2023个解；①当112m -=或1-时，即32m =或12-时，2023n =；②当1122-=m ，即1m =时，1011n =；③当11122-<-<m 或11122<-<m ，即112m -<<或312m <<时，方程1sin 2-=m μ关于μ在每个周期内有两个解，故不可能满足有2023个解，综上，32m =或12-，2023n =；1m =，1011n =.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

马鞍山市重点中学2022-2023学年度高一第二学期期中考试数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数12i z =-+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --2．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 3．已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，则AE AC ⋅等于（ ） A ．6B ．9C ．12D ．154．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．235．一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．103海里 B ．203海里 C ．102 海里 D ．202海里6．已知向量，若a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点A 为圆心的单位圆上．若(),R AP AB AD λμλμ=+∈，则λμ+的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．52D ．2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知向量()()()2,13,21,1a b c =-=-=，，，则（ ） A ．//a b B ．()a b c +⊥ C ．a b c +=D ．53c a b =+10．若复数z 满足()12i 8i z -=-，则（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的模为13C ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限 11．在ABC 中，AB c =，BC a =，CA b =，下列命题为真命题的有（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >B ．若0a b ⋅>，则ABC 为锐角三角形 C ．若0a b ⋅=，则ABC 为直角三角形D ．若()()=0，则ABC 为直角三角形12．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，若3a =3A π=，则（ ）A ．1R =B 32b <C ．bc 的最大值为3D ．223b c bc ++的取值范围为(]11,15三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．）13．已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=________．14．ABC 的内角A ,B ,C 的对边α,b ,c ,已知30B ︒=,3b =,3c =,则A =________. 15．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN ．现选择点A 和另一座山顶点C 作为测量观测点，从A 测得点M 的仰角45MAN ∠=︒，点C 的仰角30CAB ∠=︒，测得75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，已知另一座山高400BC =米，则山高MN =_______米．16．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，若ABC 的面积为2，则当ABC 的周长取到最小值时，ba=______．四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．） 17．已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值.18．已知：复数()22i1i 1iz =+++，其中i 为虚数单位． (1)求z 及z ；(2)若223i z az b ++=+，求实数,a b 的值．19．在ABC 中，sin 23sin C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63，求ABC 的周长．20．如图，已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，12AE EC =，AD BE ，交于点F ，设AC a =，AD b =．（1）用,a b 分别表示向量AB ，EB ； （2）若AF t AD =，求实数t 的值．21．在ABC 中，3A π=，2b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（1）B 的大小； （2）ABC 的面积．条件①：2222b ac a c +=+；条件②：cos sin a B b A =．22．在锐角△ABC 中，23a =，(2)cos cos b c A a C -=， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围.参考答案：1．D【分析】根据共轭复数的概念即可确定答案. 【详解】因为复数12i z =-+，则12i z =--， 故选：D 2．D【分析】先求得a b -，然后求得a b -.【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以()22435-=+-=a b .故选：D 3．D【分析】数形结合知3AB AD ==，AB DC =，0AB AD ⋅=，2233DE DC AB ==，利用向量的加法法则及向量的数量积运算即可得解.【详解】方法一：因为四边形ABCD 为边长为3的正方形，所以3AB AD ==，AB DC =，0AB AD ⋅=，因为2DE EC =，所以2233DE DC AB ==， 则()()()()23AE AC AD DE AB AD AB AD AB AD ⋅=++=++ 2232215AB AB AD AD =⋅++=； 方法二：以D 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为2DE EC =，所以点E 为线段DC 上靠近点C 的三等分点，则(0,0),(0,3),(3,0),(2,0)D A C E ，因为(2,3),(3,3)AE AC =-=-，所以6915AE AC ⋅=+=.故选：D【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，属于基础题. 4．A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．C【分析】根据题意画出草图，确定BAC ∠、ABC ∠的值，进而可得到ACB ∠的值，根据正弦定理可得到BC 的值． 【详解】解：如图，由已知可得，30BAC ∠=︒，3570105ABC ∠=︒+︒=︒，140202AB =⨯=， 从而1801803010545ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 在ABC 中，由正弦定理sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，可得1sin30sin 452AB BC =⨯︒==︒ 故选：C ． 6．D【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出λ的取值范围. 【详解】()()()1,2,1,2a b λλλλλ+=+=++， 由题意得：()()1220λλ+++>且212λλ++≠，解得：53λ>-且0λ≠，故选：D 7．A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用． 8．C【分析】构建直角坐标系，令(cos ,sin )AP θθ=，[0,2)θπ∈，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得cos 2sin θμθλ=⎧⎨=⎩，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：(0,1),(2,0)AB AD ==，令(cos ,sin )AP θθ=，[0,2)θπ∈，由(),R AP AB AD λμλμ=+∈可得：cos 2sin θμθλ=⎧⎨=⎩，则cos 5sin )2θλμθθϕ+=+=+且1tan 2ϕ=，所以当sin()1θϕ+=时，λμ+5. 故选：C 9．BD【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可． 【详解】因为()()221310⨯--⨯-=≠，所以,a b 不平行，则A 错； 由()()()1,11,1110a b c +⋅=-⋅=-+=，所以()a b c +⊥，则B 正确； 由()1,1a b =-+，()1,1c =，故C 错；由()()53109,561,1a b c +=--+==，故D 正确. 故选：BD 10．AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A 、C ，求出复数的模，可判断选项B ，根据复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为()()()()8i 12i 8i 1015i 23i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+， 所以z 的实部为2，z 的虚部为3，所以23||2313z =+=z 在复平面内表示的点位于第一象限故A 、B 正确，C ，D 错误． 故选：AB 11．ACD【分析】利用正弦定理判断选项A ，利用数量积的性质判断选项B 和C ，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D ．【详解】解：A ：若a b >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >，sin sin A B ∴>，则 A 正确；B ：若0a b ⋅>，则cos()0ACB π-∠>，cos 0ACB ∴∠<，即ACB ∠为钝角，ABC ∴为钝角三角形，故 B 错误；C ：若0a b ⋅=，则AC BC ⊥，ABC ∴为直角三角形，故 C 正确；D ：若()()0b c a b a c +-⋅+-=，则22()0b a c --=，2222a c b a c ∴+-=⋅，222cos 2a c b B a c+-=- ，由余弦定理知222cos 2a c b B a c+-=，cos cos B B ∴=-，则cos 0B =， (0,)B π∈，2B π∴=，ABC 为直角三角形，故 D 正确．故选：ACD ． 12．ACD【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知1sin (,1)2B ∈，结合2sin b R B =即可求范围；由余弦定理及基本不等式求bc 的最大值，注意取最大的条件；由C 分析有222234()9b c bc b c ++=+-，结合正弦定理边角关系及,B C 的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围. 【详解】由题设，外接圆直径为22sin aR A==，故1R =，A 正确； 锐角ABC 中3090B ︒<<︒，则1sin (,1)2B ∈，故2sin (1,2)b R B =∈，B 错误；22222313cos 12222b c a b c A bc bc bc+-+-===≥-，则3bc ≤，当且仅当b c ==C正确；由C 分析知：222234()9b c bc b c ++=+-，而2sin ,2sin b B c C ==，又2(,)362B C πππ=-∈且(,)62C ππ∈，则22224(sin sin )42(cos 2cos 2)b c B C B C +=+=-+=42cos[()()]2cos[()()]B C B C B C B C -++--+-- 44cos()cos()B C B C =-+-242cos(2)3C π=+-，而22(,)333C πππ-∈-， 所以21cos(2)(,1]32C π-∈，则242cos(2)(5,6]3C π+-∈， 所以223(11,15]b c bc ++∈，D 正确. 故选：ACD【点睛】关键点点睛：D 选项222234()9b c bc b c ++=+-，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将22b c +转化为三角函数性质求范围.13．35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得， ()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．14．90︒或30︒【解析】由正弦定理求A ，注意有两解．【详解】由正弦定理sin sin b c B C =得sin sin c B C b == 因为c b >，所以C B >，所以60C =︒或120°． A =90°或30°． 故答案为：90°或30°．【点睛】本题考查正弦定理，掌握正弦定理是解题关键．但要注意用正弦定理解三角形可能会有两解．15．【分析】在直角ABC 得AC ，在AMC 中，由正弦定理求得AM ，再在直角AMN 中，求得MN ．【详解】显然MN 与CB 平行且与,,AN AB BN 都垂直，30CAB ∠=︒，则2800AC BC ==， AMC 中，180756045AMC ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin AM AC ACM AMC =∠∠得800sin 60sin 45AM =︒︒，AM =又直角AMN 中，45MAN ∠=︒，所以MN AM =故答案为：16 【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答. 【详解】由题意得4sin 5A =，因为1sin 22ABC S bc A ==，则5bc =，由余弦定理2223cos 25b c a A bc +-==，得22()16b c a +=+，即b c +=，则a b c a ++=而函数()f x x =()0,∞+上单调递增，即当a 最小时，ABC 的周长最小， 显然2216()420a b c bc +=+≥=，当且仅当b c =“=”，此时min 2a =，所以当ABC 的周长取到最小值时，b a =．17．(1)4(5,)D - (2)13k =-【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解； （2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.【详解】（1）设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -，所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--，因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩， 所以4(5,)D -.（2）由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =，所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=，因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-. 所以实数k 的值为13-.18．(1)13i z =+，z =(2)1a =，9b =【详解】（1）()()()()222i 1i 2i 1i 2i 2i i i 13i 1i 1i 1i z -=++=+=+-=+++-，则z （2）由（1）得：()()()()213i 13i 86i 3i 863i 23i a b a a b a b a ++-+=-++-+=+-+-=+， 82633a b a +-=⎧∴⎨-=⎩，解得：19a b =⎧⎨=⎩. 19．(1)6π (2)663【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos C =，因此，6C π=. （2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a ===，解得a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC的周长为6a b c ++=.20．（1）2AB b a =-，423EB a b -+=；（2）12t =． 【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用,a b 分别表示向量AB ，EB ； （2）用,a b 分别表示向量FB ，EB ，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值.【详解】（1）由题意，D 为BC 的中点，12AE EC =，可得13AE AC =，AC a =，AD b =． ∵2AB AC AD +=，∴2AB b a =-，∴–EB AB AE = 123b a a =-- 423a b =-+ （2）∵AD A tb F t ==，∴–FB AB AF =()2a t b =-+- ∵423EB a b -+=，FB ，EB 共线， 由平面向量共线基本定理可知满足12423t --=-， 解得12t =． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 21．选择见解析；（1）4B π=；（2【分析】选择条件①时：（1）利用余弦定理求出cos B 和B 的值；（2）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sin C ，计算ABC 的面积．选择条件②时：（1）由正弦定理求出tan B 和B 的值；（2）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sin C ，计算ABC 的面积．【详解】选择条件①：222b a c =+，（1）由222b a c =+，得222a c b +-=，所以222cos 2a c b B ac +-===； 又(0,)B π∈， 所以4B π=；（2）由正弦定理知sin sin a b A B =，所以sin sin b A a B==所以()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==所以ABC 的面积为11sin 22ABC S ab C ==△． 选择条件②：cos sin a B b A =．（1）由正弦定理得sin sin a b A B=， 所以sin sin a B b A =；又cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，所以tan 1B =；又(0,)B π∈， 所以4B π=；（2）由正弦定理知sin sin a b A B =，所以sin sin b A a B==所以()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==所以ABC 的面积为11sin 22ABC S ab C ==△． 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．22．（1）3π.（2）(6+ 【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得1cos 2A =，可得3A π=； （2）利用正弦定理将l 表示为B 的函数，根据锐角三角形得B 的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）∵(2)cos cos b c A a C -=，2cos cos cos b A a C c A ∴=+，所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，所以2sin cos sin()B A A C =+，所以2sin cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =， 0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=. （2）4sin a A ==， 所以4sin sin b c B C==,所以4sin b B =，24sin 4sin()3c C Bπ==-， 所以24sin 4sin()3l a b c B Bπ=++=+-6sinB B =+ )6B π=+ 因为△ABC 是锐角三角形，且3A π=，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<， 所以2(,)633B πππ+∈，所以sin()6B π+∈， 所以(6l ∈+.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题。

专题05期末解答压轴题新定义题型1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数()y f x =，x D ∈，若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意12,x x （12x x ≠），都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”(1)判断函数①y x =，②3y x =是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(2)若函数y x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；(3)若()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，且(0)(1)f f =，求证：对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()121f x f x -≤．【答案】(1)y x =是，3y x =不是(2)12(3)证明见解析【分析】（1）证明()()1212f x f x x x -≤-即可判断y x =，举出反例即可判断3y x =；（2）分离参数，将不等式变为关于12,x x 的不等式,结合定义域即可求得常数k 的最小值；（3）对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12f x f x m -≤，只需要()()12max f x f x m -≤即可，根据新定义求出()()12max f x f x -即可得出答案.【解析】（1）对于函数()y f x x ==，不妨设12x x >，则()()1212f x f x x x -=-，符合题意，所以函数y x =是“1-利普希兹条件函数”，对于函数()3y f x x ==，因为()()21721f f -=>-，所以函数3y x =不是“1-利普希兹条件函数”；（2）若函数()f x x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，则对定义域[]1,4内任意12,x x （12x x ≠），均有()()1212f x f x k x x -≤-，即1212x x k x x -≤-，设12x x >，则1212x x k x x -≤-，即121k x x ≤+，因为2114x x ≤<≤，所以1211142x x <<+，所以12k ≥所以k 的最小值为12；（3）设12x x ≥，当1212x x -≤时，因为()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，所以()()121212212f x f x x x -≤-≤⨯=，当1212x x ->时，由[]12,0,1x x ∈，得12112x x <-≤，故()()()()()()121212(1)(0)(1)(0)f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-()()1212212221x x x x ≤-+=--≤恒成立，综上所述，()()121f x f x -≤，【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k -利普希兹条件函数”.2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间[],a b 上的函数()y f x =满足：存在常数M ，使得对任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y f x =为一个有界变差函数，并将满足条件的M 的最小值称为()y f x =的全变差.(1)判断函数()()311f x x x =--≤≤，和()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ð（Q 为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数()()414g x x x x=+≤≤的全变差；(3)证明：函数()2log 4xh x x x=+是[]1,4上的有界变差函数.【答案】(1)3()f x x =-是有界变差函数,()D x 不是有界变差函数；(2)2；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;【解析】（1）由3()f x x =-在[1,1]-上递减，令121...1n x x x -=≤≤≤=，则23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=，显然，存在2M ≥，使任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，所以3()f x x =-为一个有界变差函数；对于()D x ，令120...1n x x x =≤≤≤=，所得i x *(1,N )i n n ≤≤∈中有理数、无理数都有可能为无限个，若12,,...,n x x x 以无理数、有理数成对依次出现时12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大，所以()D x 不是一个有界变差函数.（2）对任意的11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==，()g x 在[]1,2上单调递减，所以()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥，即()()()()()()12231...mm g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-，()g x 在[]2,4上单调递增，所以()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ ，即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-，所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=，所以，存在2M ≥使()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y g x =为一个有界变差函数，M 的最小值2称为()y g x =的全变差.（3）由（2）知：()g x 在[]1,4上是一个有界变差函数，令1()()p x g x =，则111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=，而在[]1,4上()54g x ≥≥，所以111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-，即11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑，故()p x 是有界变差函数；又2()log q x x =在[]1,4上递增且值域为[0,2]，任意1214n x x x =≤≤≤= ，则()()()12...n q x q x q x ≤≤≤，所以12|()()|n i i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=，故存在2M ≥使12|()()|ni i i q x M q x -=-≤∑，则()q x 是有界变差函数，令()()()h x q x p x =⋅，则11122|()()||()()()()|nn ii i i i i i i h x h xq x p x q x p x ---==-=-∑∑1112|()[()()]()[()()]|ni i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑，由上可设1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤且,N L 均为常数，故111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑，而()p x 、()q x 均为有界变差函数，所以()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+为有界变差函数.【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.3．（2023上·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],ma mb （其中(]0,1)m ∈，则称()f x 为区间[],a b 上的“m 倍缩函数”.(1)证明：函数()3f x x =为区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“14倍缩函数”；(2)若存在[],R a b ⊆，使函数()()2log 2xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，求实数t 的取值范围；(3)给定常数0k >，以及关于x 的函数()1kf x x=-，是否存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.若存在，请求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)1(0,)4；(3)答案见解析.【分析】（1）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，再结合定义判断作答.（2）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，结合定义构造方程，再利用方程有两个不等的正根求解作答.（3）根据给定条件，可得0a >，再分类去绝对值符号，结合单调性求出值域即可求解作答.【解析】（1）函数3()f x x =在R 上单调递增，则3()f x x =在区间11[,]22-上的值域为11[,]88-，显然有111111(),842842-=⨯-=⨯，所以函数()3f x x =为区间11[,]22-上的“14倍缩函数”.（2）因为函数2x u t =+在R 上单调递增，当0u >时，函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数2()log (2)xf x t =+是定义域上的增函数，因为函数2()log (2)xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，则函数()f x 在[],a b 上的值域为11[,]22a b ，于是得1()21()2f a a f b b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,()a b a b <是方程1()2f x x =的两个不等实根，则方程12221log (2)22(2)(2)02x xxx x t x t t +=⇔+=⇔-+=有两个不等实根，令(2)0x z =>，则关于z 的一元二次方程20z z t -+=有两个不等的正实根，因此Δ140100t t =->⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得104t <<，当104t <<时，函数()f x 恒有意义，所以实数t 的取值范围是1(0,)4.（3）常数0k >，函数()1kf x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，并且()0f x ≥，假定存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，由[,](,0)(0,)a b ⊆-∞+∞ ，及[,][0,)a b ⊆+∞知0a b <<，因为函数1k y x =-在[],a b 上单调递增，即111k k k a x b-≤-≤-，若101k ka b -<<-，即0a k b <<<，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域中有数0，矛盾，若10k b -≤，即0a b k <<≤，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递减，有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11ka bk ba⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得k b ab k a ab -=⎧⎨-=⎩，显然无解，若10k a -≥，即k a b ≤<，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递增，有()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即,()a b a b <是方程()f x x =的两个不等实根且a k ≥，而方程210kx x x k x-=⇔-+=，于是得方程2()0g x x x k =-+=在[,)k +∞上有两个不等实根，从而2Δ140()012k g k k k=->⎧⎪⎪=≥⎨⎪>⎪⎩，解得14k <，而0k >，即有104k <<，解方程20x x k -+=得：12114114,22k kx x --+-==，所以当104k <<时，存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，114114,22k ka b --+-==，当14k ≥时，不存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.4．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且对12,x x ∀∈R ，都有()()()1212f x x f x f x +≤⋅，则称()f x 为“J 形函数”(1)当()1f x x =+时，判断()f x 是否为“J 形函数”，并说明理由；(2)当()22f x x =+时，证明：()f x 是“J 形函数”；(3)如果函数()2x f x a =+为“J 形函数”，求实数a 的取值范围.【答案】(1)否，理由见解析；(2)证明见解析；(3)1a ≥或0a =.【分析】（1）作差可得()()()121212f x x f x f x x x +-⋅=-，根据12,x x 的任意性，无法判断该式符号，即可说明；（2）作差可得()()()1212f x x f x f x +-⋅()22212122x x x x =----，即可证明得出结论；（3）代入化简可得()12122x x f x x a ++=+，()()1212212222x x x x f x x a a ++++=+.由“J 形函数”的概念整理化简可得，()12122x xa -+≥，进而即可得出实数a 的取值范围.【解析】（1）解：()f x 不是“J 形函数”，理由如下：当()1f x x =+时，有()111f x x =+，()221f x x =+，()12121f x x x x +=++，则()()()1212f x x f x f x +-⋅()()1212111x x x x ++-++=12x x =-.因为12,x x ∈R ，所以12x x -与0的关系不确定，不能得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤，所以()f x 不是“J 形函数”.（2）证明：当()22f x x =+时，有()2112f x x =+，()2222f x x =+，()()22212121212222f x x x x x x x x +=++=+++，则()()()()2222221212121222224f x f x x x x x x x ⋅=++=+++，所以()()()1212f x x f x f x +-⋅212222121222x x x x x x =----()22212122x x x x =----，显然有()()()121220f x x f x f x +-⋅≤-≤对12,x x ∀∈R 恒成立，所以有()()()1212f x x f x f x +≤⋅对12,x x ∀∈R 恒成立，所以()f x 是“J 形函数”.（3）解：由已知可得()112x f x a =+，()222x f x a =+，()12122x x f x x a ++=+，所以()()121222x x f x f x a a ⋅=+⋅+()12122222x x x x a a +=+++.因为函数()2x f x a =+为“J 形函数”，所以有()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++，即()121212202222x x x x x x a a a ++++≤+≤+.由1220x x a ++≥，可得0a ≥；由()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++可得，()12222x x a a a ≤++.当0a =时，该式恒成立，满足；当0a >时，有()12122x xa -+≥恒成立.因为12220x x +>，所以1a ≥.综上可得，1a ≥或0a =.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J 形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简()()()1212f x x f x f x +-⋅.只要得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤恒成立，即可说明()f x 是“J 形函数”.5．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．【答案】(1)函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，理由见解析(2){|13x x ≤≤或}0x =(3)必要不充分条件，证明见解析【分析】（1）根据给定的定义为[)1,+∞时，求12()()f x f x -的取值区间即可判断作答.（2）根据给定条件，可得(2)()2f x f x +-=，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答.（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答.【解析】（1）函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，证明如下：任取12,x x ∈R ，若12[1,)-∈+∞x x ，则()()()[)121222,[1,)f x f x x x -=-∈+∞⊂+∞，()()()12122[1,)f x f x x x ∴-=-∈+∞所以函数()21f x x =-是[)1,+∞关联；函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，证明如下：：若12[1,)-∈+∞x x ，则121211()()(),22⎡⎫-=-∈+∞⎪⎢⎣⎭f x f x x x ，所以函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联；（2）因()f x 是{}2关联，则122x x -=，有12()()2f x f x -=，即(2)()2f x f x +-=，当[)0,2x ∈时，22111(),2244⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x x x x ，而()02f x ≤≤，即202≤-≤x x ，解得12x ≤≤或10x -≤≤，所以不等式的解集为{|12x x ≤<或}0x =，当[2,22),,0x n n n Z n ∈+∈≠时，()2112224f x x n n ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，所以当[2,4)x ∈时，2577()(2)2,4244⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x f x x ，而0()2f x ≤≤，得2570224⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭x ，解得23x ≤≤，所以不等式的解集为{}|23x x ≤≤，当0n <时，()0f x <或当2n ≥时，()2f x >，此时不等式0()2f x ≤≤无解；综上得13x ≤≤或0x =，所以不等式2()3f x ≤≤的解集为{|13x x ≤≤或}0x =，.（3）“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件，证明如下，易得函数,()1,x x Zf x x x Z ∈⎧=⎨-∉⎩是{}2关联，但1 2.112≤-≤时2)(2.1()0f f <-，所以函数()f x 不是[1,2]关联；所以充分性不成立；当函数()f x 是[1,2]关联时，即2112x x ≤-≤，21)1(()2f x f x -≤≤，则有1(2)(1)2f x f x -≤++≤，)1(1()2f x f x -≤+≤，即有)2(2()4f x f x -≤+≤，又1(2)2x x ≤+-≤，则有)1(2()2f x f x -≤+≤，于是得(2)()2f x f x +-=，从而得()()21212,=2x x f x f x -=-，即函数()f x 是{2}关联；所以“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.抽象函数6．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()221f x x x =+--，求()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；(3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.【答案】(1)[2,2]-；(2)4；(3)()152f x x-=.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t +-==++++，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，则有()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，再根据其单调性和已知条件可得()111()x f x f x x+=+，从而可求出()f x 的解析式.【解析】（1）由22010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为22y x =+和1y x =--在[1,1]-上均为增函数，所以()221f x x x =+--在[1,1]-上为增函数，所以min ()(1)221(1)2f x f =-=-+---=-，max ()(1)222f x f ==+=，所以()f x 的值域为[2,2]-；（2）因为()[]12241log ,,(04)214x x xf x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，且()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t+-==++++，所以()()m n f t f t +=-+112224241log 1log 214214t t t t t tt t -++-+-=++++++-++1222442log 212144t t t t t t t ++-⎛⎫=+++⋅ ⎪++-+⎝⎭22(21)2log 211t t +=+++224=+=；（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，所以111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()()111()()1()f x f fx f f f x f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以11()1()f f x x x f x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭+，所以()111()xf x f x x+=+，所以()()()()()()211f x f x xf x f x xf x f x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()210xf x f x x --=，解得()152f x x±=，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()152f x x-=.7．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）若函数f （x ）满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数f （x ）为“L 函数”.(1)试判断函数()2h x x =是否是“L 函数”，并说明理由；(2)若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数f （x ）为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，都有()2x f x >.【答案】(1)是“L 函数”，理由见解析；(2)[1,1]-；(3)证明见解析.【分析】（1）根据“L 函数”的定义分析判断即可；（2）由()g x 为“L 函数”，可得()0g t >，则3t a <，得1a ≤，()()()g s g t g s t +<+可得30s t a ++>，得10a +≥，从而可求出实数a 的取值范围；（3）由函数f （x ）为“L 函数”，可得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，则112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，再结合111()(2)(2)(2)k k k f x f x f f --->-+>可证得结论.【解析】（1）对于()2h x x =，当0,0t s >>时，()20h t t =>，()20h s s =>，因为()()()222()20h s h t h s t s t s t st +-+=+-+=<，所以()()()h s h t h s t +<+，所以()2h x x =是“L 函数”；（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，得()()31310t t g t a -=-+->，即(31)(3)0t t a -->对一切正数t 恒成立，因为310t ->，所以3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤，由()()()g s g t g s t +<+，得3331(3331)0s t s t s t s t a +------++--+>，所以(31)(31)(3)0s t s t a +--+>，因为(31)(31)0s t -->，所以30s t a ++>，由30s t a ++>对一切正数,s t 恒成立，所以10a +≥，即1a ≥-，综上可知，实数a 的取值范围为[1,1]-；（3）因为函数f （x ）为“L 函数”，所以对于任意正数,s t 都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，所以对于正整数k 与正数s 都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，可得()()1*12,2N k k k x--∈∈，因为(1)1f =，所以11112()(2)(2)(2)2(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>.【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.8．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．(1)试判断函数2x y =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；(2)若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；(3)若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0∞-上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．【答案】(1)函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”(2)证明见解析(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【分析】（1）利用作差法结合“性质A ”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质A ”的定义结合不等式()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭可推导出()1102f n f n ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，()102f n f n ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取()2g x x =-可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，根据“性质A ”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得()()12g x g x >，即可证得结论成立.【解析】（1）解：函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”，理由如下：设()2xp x =，()2q x x =-，对任意的0t >，()()()()222222222x t x t x x t tp x t p x t p x +--++--=+-⋅=+-()222220x t t ->⨯⋅-=，所以，()()()2p x t p x t p x ++-<，所以，函数2x y =不具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()()()22222220q x t q x t q x x x t x t t ++--=-+--=<，所以，()()()2q x t q x t q x ++->，所以，函数2y x =-具有“性质A ”.（2）证明：因为函数()y f x =具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()2f x t f x t f x ++->，所以，()()()()f x f x t f x t f x -->+-，又因为()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，()()()1130011222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1111222f n f n f n f n f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-->+->+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()1021102f n f n f n f n ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，由不等式的可加性可得()()10f n f n +-<，故对任意的N n ∈，()()1f n f n +<.（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数()2g x x =-，由（1）可知，函数()g x 具有“性质A ”，函数()2g x x =-在区间(),0∞-上是严格增函数，但该函数在R 上不单调；对于命题②，对任意的0t >，对任意的x ∈R ，()()()2g x t g x t g x ++->，所以，()()()()g x t g x g x g x t -->-+，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，必存在1k ≥且N k ∈，满足()2201x kt x k t >->-+，因为函数()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，所以，()()()221g x kt g x k t -<-+，即()()()2210g x kt g x k t ---+<，所以，()()()()()()()()222222011g x k t g x kt g x kt g x k t g x t g x <-+--<----<<-- ，故()()()()22120g x t g x g x g x <--=-，即()()12g x g x >，故函数()y g x =在R 上是严格减函数.所以，命题②为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.9．（2022上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”；（2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【答案】（1）21()f x x =是“L 函数”.2()f x x =不是“L 函数”.（2）[11]-，（3）见解析【解析】试题分析：利用“L 函数”的定义判断函数21()f x x =符合要求，而2()f x x =不符合要求（只需举一个反例说明）；函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，则()g x 满足“L 函数”的定义，当0,0t s >>时，()0,()0,()()()g s g t g s g t g s t >>+<+成立；根据要求可以求出a 的范围；令s t =得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k kk k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，()()12,2N *k kx k -∈∈,则()112,2kk x--∈，利用(1)1f =，借助()()()1122k k f x f x f -->-+及()111122kk f f f x x --⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助不等关系证明.试题解析：（1）对于函数()21f x x =，当0,0t s >>时，()()22110,0f t t f s s =>=>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x =是“L 函数”.对于函数()2f x x =，当1t s ==时，()()()22222f t f s f t s +=>=+，故()2f x x =不是“L 函数”.（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，可知()()31310t t g t a -=-+->，即()()3130t ta -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤．由()()()g t g s g t s +<+，可得()+333133310s ts t s t s t a ------++--+>，故()()()31313+0s t s t a +-->，又()()31310t s-->，故3+0s t a +>，由3+0s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-．综上可知，a 的取值范围是[]11-，．（3）由函数()f x 为“L 函数”，可知对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，可得()112,2kk x--∈，又()11f =，所以()()()()()111122222122k k k k k xf x f x f f f ---->-+>≥=>，同理()()()11111112222212k k k k kf f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()1f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭22x x -．【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数()g x 是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.零点问题10．（2022上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，若存在常数0T >，使得对任意()0,x ∈+∞，都有()()f Tx f x T =+，则称函数()f x 具有性质()P T ．(1)若函数()f x 具有性质()2P ，求()122f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值(2)设()log a f x x =，若01a <<，求证：存在常数0T >，使得()f x 具有性质()P T (3)若函数()f x 具有性质()P T ，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数()f x 在()0,∞+上存在零点．【答案】(1)()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，代入2x =和12x =即可得出答案；（2）设()log a g x x x =-，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为()()nf T x f x nT =+，然后令1x =得，()()1nf T f nT =+，分情况利用零点存在性定理证得结论.【解析】（1）函数()f x 具有性质()2P ，所以对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，令2x =，得()()212f f =+，令12x =，得()1122f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）证明：函数()f x 具有性质()P T 的充要条件为存在0T >，使得()log log a a Tx x T =+，即log a T T =，设()log a g x x x =-，因为()110g =-<，()10g a a =->，所以在区间(),1a 上函数()g x 存在零点0x ，取0T x =，则log a T T =，得函数()f x 具有性质()P T ．（3）设n N *∈，因为()()f Tx f x T =+，所以()()nf T x f x nT =+，令1x =得，()()1nf T f nT =+，①若()10f =，则函数()f x 存在零点若()10f <，当()01f n T>-时，()00nf T >，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点②因为()n x f x f nTT ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()()1nf T f nT-=-若()10f >，当()01f n T>时，()00nf T -<，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点．综上，函数()f x 在()0,∞+上存在零点．11．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知函数21()4f x x ax =++，()ln g x x =-．（1）若函数[()]g f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．【答案】（1）()1,1-；（2）5[,)4-+∞；（3）答案见解析.【解析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为R ，利用判别式，列出不等式，即可求解；（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解；（3）根据函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，先分1x >，1x =和01x <<三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分∆<0，0∆=和0∆>三种情况讨论，即可求解.【解析】（1）由题意，函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，因为该函数的定义域为R ，则2104x ax ++>对任意x R ∈恒成立，可得210a ∆=-<，解得11a -<<，即实数a 的取值范围()1,1-.（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，若[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，则问题等价于()0f x >在(1,)+∞上恒成立，且()f x 在(1,)+∞上单调递增，即5(1)0412f a a ⎧=+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得54a ≥-，所以实数a 的取值范围是5[,)4-+∞．（3）当1x >时，()ln 0g x x =-<，所以当1x >时，min{(),()}()0≤<f x g x g x ，所以()h x 在(1,)+∞上没有零点；当1x =时，(1)0g =，5(1)4f a =+，若504a +≥即54a ≥-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，此时1x =是函数()h x 的一个零点；若504+<a 即54a <-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，此时1x =不是函数()h x 的一个零点；当01x <<时，因为()ln 0g x x =->，则函数()h x 的零点个数等价于函数()f x 的零点个数，①当210a ∆=-<，即11a -<<时，()0f x >，则()min{(),()}0=>h x f x g x ，函数()h x 在(0,1)上没有零点；②当0∆=即1a =±时，函数()f x 有且只有一个零点，若1a =，由()0f x =可得1(0,1)2=-∉x ，则函数()h x 在(0,1)上没有零点；若1a =-，由()0f x =可得12x =，则函数()h x 在(0,1)上有1个零点；③当0∆>，即1a <-或1a >时，函数()f x 有两个零点，不妨设为12,x x 且12x x <，当1a >时，120x x a +=-<，12104=>x x ，所以120x x <<，则()f x 在(0,1)上没有零点；当1a <-时，120x x a +=->，12104=>x x ，所以120x x <<，当5(1)04=+≤f a 即54a ≤-时，1(0)04=>f ，所以(0)(1)0f f <，则101x <<，21x ≥，所以此时()f x 在(0,1)上有且只有一个零点；当(1)0f >，即514a -<<-时，对称轴15(,)228=-∈a x ，且(0)0f >，(1)0f >所以1201x x <<<，()f x 在(0,1)上有两个零点，综上所述：当54a <-或1a >-时，()h x 有一个零点；当54a =-或1a =-时，()h x 有两个零点；当514a -<<-时，()h x 有三个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解12．（2023上·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）设k ∈R ，函数()y f x =的表达式为()243f x x x =-+，函数()y g x =的表达式为()1g x kx =+，()()y f x g x =-有四个零点，设为()12341234,,,x x x x x x x x <<<.(1)求实数k 的取值范围；(2)求22221234x x x x k+++的取值范围．【答案】(1)1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，做出图像，结合图像即可得到k 的取值范围；（2）根据题意，利用韦达定理，求得2214x x +，2223x x +和k 的关系，将目标式转化为关于k 的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【解析】（1）根据题意，令2430x x -+=，解得1x =或3x =，不妨设()()()1,03,0,0,,1A B C 做图如下：又直线BC 的斜率为13-，数形结合可知，要满足题意，1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，14,x x 为方程2431x x kx -+=+，即()2420x k x -++=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2480k ∆=+->，则41414,2x x k x x +=+=，故()()2422244111244x x x x x x k +=+-=+-；23,x x 为方程2431x x kx -+-=+，即()2440x k x +-+=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()24160k ∆=-->，则23234,4x x k x x +=-=，故()()2222232323248x x x x x x k +=+-=--；则22221234x x x x k +++22201012,,03k k k k k +⎛⎫⎛⎫==+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1012,,03f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对勾函数单调性可知()f x 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又118233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x ∈182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，即22221234x x x x k+++的取值范围为182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.13．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，设()()f xg x x=.(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1a =，1b =(2)4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)()1,+∞【分析】（1）根据题意得0a >，再根据二次函数单调性列方程求解即可；（2）由题知2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，进而得2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，再求最值即可得答案；（3）用换元法化简方程()22131021xx mg m -+-+=-为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得m 的取值范围.【解析】（1）解：()()2221f x ax ax b a x b a =-+=-+-，(),0a b ≥因为，当0a =时，()f x b =，为常函数，不满足题意；所以，0a >，()()21f x a x b a =-+-在[]1,3x ∈上单调递增，因为函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，所以()()10334f b a f a b ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得1a b ==，所以1a =，1b =.（2）解：由（1）知()221f x x x =-+，()()12f x g x x x x==+-，因为不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，所以2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，则[]2,3t ∈，所以，120t kt t +--≤，在[]2,3t ∈上恒成立，所以2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，因为[]2,3t ∈，所以111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，当113t =时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为211394⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，则49k ≥，所以k 的取值范围是4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）解：方程()22131021xx m g m -+-+=-等价于122123102121xx x m m -+-+-+=--，即()()2211321120x x m m --+-++=，210x-≠，令21xt -=，则方程化为()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，因为方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，所以，画出21xt =-的图像如下图所示，所以()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =.记()()()21312h t t m t m =-+++，所以，()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩，即121m m ⎧>-⎪⎨⎪>⎩，此时1m >或()()()012011013012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=-=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩得1211133m m m ⎧>-⎪⎪=⎨⎪⎪-<<⎩，此时m 无解，综上，1m >，即实数m 的取值范围()1,+∞【点睛】本题第三问解题的关键在于令21xt -=，进而结合题意，数形结合得()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =，再根据零点存在性定理求解即可.二次函数（包括含绝对值）、对勾函数14．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足：①f （x ）在[m ，n]内是单调函数；②当定义域是[m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]．则称[m ，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数()53y g x x ==-不存在“和谐区间”．（3）已知：函数()()221aa x y h x a x+-==（a ∈R ，a≠0）有“和谐区间”[m ，n]，当a 变化时，求出n﹣m 的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间[]0,1上单调递增,且值域也为[]0,1满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设[],m n 是已知函数定义域的子集,我们可以用a 表示出n m -的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.试题解析：（1）y=x 2在区间[0，1]上单调递增．又f （0）=0，f （1）=1，值域为[0，1]，区间[0，1]是y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程的同号的相异实数根．x 2﹣3x+5=0无实数根，函数不存在“和谐区间”．（3）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根．，m ，n 同号，只须，即a ＞1或a ＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m ，n]，当a=3时，n ﹣m 取最大值考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用a 表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．15．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①(){}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.(1)写出集合A =R 到集合{R ,B x x =∈且}0x >的一个保序同构函数（不需要证明）；(2)求证：不存在从整数集Z 的到有理数集Q 的保序同构函数；(3)已知存在正实数s 和t 使得函数()21xf x x m =+-是集合[]0,s 到集合[]0,t 的保序同构函数，求实数m 的取值范围和s 的最大值（用m 表示）.【答案】(1)()2xf x =(2)见解析。

山西省朔州市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）测试(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128B．65C．64D．63第(2)题设抛物线()的焦点为，若到直线的距离为，则为（）A．2B．4C．D．第(3)题1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（）A．2ab B．C．D．ab第(4)题如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（）A．B．C．D．第(5)题甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知点．若曲线上存在，两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中型曲线的个数是A．B．C．D．第(8)题设集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则（）A．的最大值为B．的最大值为C．的最小值为5D．的最小值为第(2)题已知，，，下列选项正确的有（）A．B．C．D．第(3)题已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在①、②、③④中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）.第(2)题已知向量，，，则__________．第(3)题直线与直线的夹角大小为_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点，直线与所成角的余弦值为．求：(1)点到直线的距离；(2)二面角的余弦值．第(2)题已知函数，其中．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)已知在区间上存在唯一的极小值点．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）记在区间上的极小值为，讨论函数的单调性．第(3)题已知函数，()．(1)若函数与的图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围；(2)若在上不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：对于时，任意，不等式恒成立．第(4)题在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线．（1）若椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上方），若，求椭圆C的离心率；（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求的取值范围（用k表示）．第(5)题已知，，且，求证：(1)；(2)．。

1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA ＝90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△EFD ，其中相似的为（）A ．①②③B ．②③④C ．①②D．①④2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5．若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM ＋MN 的最小值为___________3.如图，等边△ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点，求证：BP ·PC ＝BM ·CN模块一课前检测（10min）相似——射影型相似一射影型相似如图，直角ABC △中，AB AC ⊥，AD BC⊥证明：2AB BD BC =⋅，2AC CD BC =⋅，2AD BD CD =⋅．二K 型相似结论：出现两个相似三角形【例1】（1）如图，折叠矩形ABCD 的边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处．①如图1，若折痕AE=55，且43=CF CE ，求矩形ABCD 的周长；②如图2，在AD 边上截取DG=CF ，连接GE ，BD ，相交于点H ，求证：BD ⊥GE．知识点睛模块二K 字型相似典型例题（2）如图：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC 上任取一点P ，连接DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线AB 交于点E ．①试确定当CP=3时，点E 的位置；②若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式．（3）已知△ABC 是边长为a 的等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、AC 和BC 边上的点．如图①，当21CA CE BC BF AB AD ===时，41S S ABC DEF =△△．①如图②，当31CA CE BC BF AB AD ===时，求ABC DEF S S △△；②如图③，当41CA CE BC BF AB AD ===时，求ABC DEF S S △△；【巩固】（1）已知：如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP ，BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE 2⋅=。

华师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列说法中正确的是（）A.有两个角为直角的四边形是矩形B.矩形的对角线互相垂直C.平行四边形的对角线互相平分D.对角线互相垂直的四边形是菱形2、如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（）A.①表示有一个角是直角B.②表示有一组邻边相等C.③表示四个角都相等D.④表示对角线相等3、七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧极能拼出许多有趣的图案，小聪将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（）．A.200B.C.50D.1004、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对边相等B.对角相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分6、矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（）A.邻边相等B.四个角都是直角C.对角线相等D.对角线互相平分7、如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果，那么菱形ABCD的周长是( )A.16B.8C.4D.28、如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A.1B.C.D.9、下列说法不正确的是（）A.一组邻边相等的矩形是正方形B.有一个角是直角的平行四边形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.对角线相等的菱形是正方形10、如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点M为边AD的中点，连接BD 交CM于点N，则BN的长是（）A.1B.C.D.11、如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A.2个B.3个C.4个D.6个12、下列结论中，正确的是（）A.四边相等的四边形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.正方形两条对角线相等，但不互相垂直平分D.矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质13、如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（）A.13B.10C.12D.514、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A.14B.15C.16D.1715、如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的值可能是（）A.3.2B.3.5C.3.6D.3.8二、填空题(共10题，共计30分)16、如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是________．17、如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB ；②；③DF=DC；④CF=2AF．其中正确的结论是________（填番号）．18、在直线上按照如图所示方式放置面积为S1、S2、S3的三个正方形．若S 1=1、S2=3，则S3=________．19、如图，在正方形 ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM，ON，MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON=OM；③ON⊥OM；④若AB=2,则S△MON 的最小值是1；⑤.其中正确的是________（只填番号）.20、如图，矩形中，，对角线交于点，则________，________．21、如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，E为AD延长线上一点，DE=x（0＜x＜4），在AE上取一点M，连接CM，将△CME沿CM对折，若点E恰落在线段AB上的点F处，则AM=________．22、如图，矩形ABCD的周长是20，且，E是AD边上的中点，点P是AB边上的一个动点，将沿PE折叠得到，连接CE，CF，当是直角三角形时，BP的长是________.23、如图a是长方形纸带，∠DEF＝21°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是________.24、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动.若△POE为等腰三角形，请写出所有符合要求的点P的坐标________.25、顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形中点所得到的四边形是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。

备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_几何图形的动态问题几何图形的动态问题专训单选题：1、(2019.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）A .B . 2C . 2D . 32、(2019丽水.中考模拟) 如图,已知直线l的解析式是y= x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的☉C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒移动0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动,当☉C与直线l相切时,则该圆运动的时间为( )A . 3 s或6 sB . 6 s或10 sC . 3 s或16 sD . 6 s或16 s3、(2018普陀.中考模拟) 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E是AD上一个动点,把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时,则AE的长为( )A . 2或3B . 或C . 或D . 3或44、(2018金乡.中考模拟) 如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A . ①B . ④C . ①或③D . ②或④5、(2020曹.中考模拟) 如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )A .B .C .D .6、(2018新乡.中考模拟) 如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A .B .C .D .7、(2020灌阳.中考模拟) 如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N 重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A .B .C .D .8、(2020绍兴.中考真卷) 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )A . 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B . 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C . 平行四边形→正方形→菱形→矩形D . 平行四边形→菱形→正方形→矩形9、(2020无为.中考模拟) 如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（）A . 3 ﹣2B .C . 2 ﹣4D . 4 ﹣810、(2020秦安.中考模拟) 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A'B'C'，它们的边B'C'，BC位于同一条直线L上，开始时，点C'与B重合，△ABC固定不动，然后把△A'B'C'自左向右沿直线L平移，移出△ABC外（点B'与C重合）停止，设△A'B'C'平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）A .B .C .D .填空题：11、(2019宿迁.中考真卷) 如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为________.12、(2018盐城.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．13、(2019金华.中考模拟) 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为________cm.14、(2019绍兴.中考模拟) 如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是________ cm．15、(2018杭州.中考模拟) 如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为________秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的最大值为________．16、(2018河南.中考模拟) 如图，△ABC中，∠BAC=75°，BC=7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为________．17、(2019武汉.中考模拟) 等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________秒．18、(2018湖北.中考真卷) 在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）解答题：19、(2017瑞安.中考模拟) 如图1，直角坐标系中有一矩形OABC，其中O是坐标原点，点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3，4），直线交AB于点D，点P是直线位于第一象限上的一点，连接PA，以PA为半径作⊙P，（1）连接AC，当点P落在AC上时，求PA的长；（2）当⊙P经过点O时，求证：△PAD是等腰三角形；（3）设点P的横坐标为m，在点P移动的过程中，当⊙P与矩形OABC某一边的交点恰为该边的中点时，求所有满足要求的m值；20、(2019东台.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q 从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，几秒种后△DPQ的面积为31cm2？21、(2019宿迁.中考真卷) 如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度（）.（1）如图②，当时，连接、 .求证：；（2）如图③，直线、交于点 .在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程.22、(2018遵义.中考真卷) 如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．几何图形的动态问题答案1.答案：B2.答案：D3.答案：B4.答案：C5.答案：D6.答案：A7.答案：A8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：21.答案：22.答案：。

2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．（0，3]C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．命题“∀x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是（）A．∃x∈Z，x2+2x+m＞0B．∃x∈Z，x2+2x+m≤0C．∀x∈Z，x2+2x+m＜0D．∀x∈Z，x2+2x+m＞03．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y=1xB．y＝﹣x3C．y＝x2D．y＝x+24．已知集合M={x|x4∈N∗且x6∈N∗}，集合N={x|x24∈Z}，则（）A．M∈N B．M∪N={x|x12∈Z}C．M＝N D．M∩N={x|x24∈N∗}5．一元二次不等式14﹣4x2≥x的解集是（）A．[−2，74]B．[−74，2]C．[−4，72]D．[−72，4]6．已知函数f（x）为R上的偶函数，对任意x1，x2∈（﹣∞，0），均有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是（）A．(13，23)B．[13，23)C．(12，23)D．[12，23)7．已知函数f(x)=−x+1|x|，则函数f（x）的图象关于y轴对称的图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f （x ）={x 2−1，x ≤1ax 2−x +2，x ＞1的最小值是﹣1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[112，+∞) B ．(0，112]C ．[112，12)D ．[12，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数中是同一函数的是（ ） A ．y =√−2x 3与y =x √−2x B ．y =√x 2与y ＝|x |C ．y =√5−x 2x+1与y =√5−x 2|x+3|−2D ．y =√x +1√x −1与y =√(x +1)(x −1)10．下列说法正确的是（ ）A ．“1a＞1b ”是“a ＜b ”的充分不必要条件B ．A ∩B ＝∅是A ＝∅的必要不充分条件C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”D ．若a ，b ∈R ，则“a 2+b 2≠0”是“|a |+|b |≠0”的充要条件11．整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n +k |n ∈Z }，其中k ∈{0，1，2，3，4}．以下判断中不正确的是（ ） A ．2023∈[3] B ．Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]C ．﹣2∈[2]D ．若a ﹣b ∈[0]，则整数a ，b 属同一类12．已知函数f （x ），g （x ）是定义在R 上的函数，其中f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，若对于任意x 1＞x 2＞1，都有g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2＞4，则实数a 可以为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数f(x)=√x 2−4x −5的递增区间为 ． 14．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ ．15．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{a ，ba，1}={a 2，a +b ，0}，则a 2023+b 2024的值为 ． 16．已知a ，b ，c ＞0，且(a −b)(4a −1b )≥1，则(a 2+b 2+c 2)(1a 2+1b2+1c 2)的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤5}，集合B ＝{x |﹣1﹣2a ≤x ≤a ﹣2}． （1）当a ＝4时，求A ∩B 及A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＝0}，集合B ＝{x |x 2+ax +1＝0} （1）若A ∩B ＝{4}，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．19．（12分）设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f(x)=−x 2x 2+1．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）在[0，+∞）上的单调性；20．（12分）已知幂函数f （x ）＝（2m 2﹣5m +3）x m 的定义域为全体实数R ． （1）求f （x ）的解析式；（2）若f （x ）＞3x +kx ﹣1在[0，1）上恒成立，求实数k 的取值范围．21．（12分）设矩形ABCD （AB ＞AD ）的周长为12cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ．设AB ＝xcm ，记△ADP 的面积为函数f （x ）． （1）求f （x ）的解析式，并写出其定义域； （2）求△ADP 的最大面积及相应x 的值．22．（12分）已知函数f(x)=√1+x +√1−x ，g(x)=√1−x 2． （1）判断f （x ）的奇偶性，并求f （x ）的值域；（2）设函数F （x ）＝f （x ）+2ag （x ）（a ＜0），求F （x ）的最大值h （a ），并求h （a ）的最小值．2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．（0，3]C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}解：集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．命题“∀x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是（）A．∃x∈Z，x2+2x+m＞0B．∃x∈Z，x2+2x+m≤0C．∀x∈Z，x2+2x+m＜0D．∀x∈Z，x2+2x+m＞0解：因为命题“∀x∈Z，x2+2x+m≤0”为全称命题，其否定为特称命题，即为：“∃x∈Z，x2+2x+m＞0”，故选：A．3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y=1xB．y＝﹣x3C．y＝x2D．y＝x+2解：选项A，y=1x是奇函数，虽然在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均是单调递减的，但在整个定义域内并不是减函数，即A不符合题意；选项B，由幂函数的图象知，y＝﹣x3是奇函数，且在定义域内为减函数，即B符合题意；选项C，y＝x2是偶函数，即C不符合题意；选项D，y＝x+2是非奇非偶函数，即D不符合题意．故选：B．4．已知集合M={x|x4∈N∗且x6∈N∗}，集合N={x|x24∈Z}，则（）A．M∈N B．M∪N={x|x12∈Z}C．M＝N D．M∩N={x|x24∈N∗}解：M={x|x4∈N∗且x6∈N∗}={x|x＝12k，k∈N*}，N={x|x24∈Z}={x|x＝24k，k∈Z}，故A错误，C错误，当x ＝﹣12时，−1212=−1，既不在集合M ，也不在集合N ，故B 错误；当元素满足为24的正整数倍时， 比满足为12的正整数倍，故M ∩N ={x|x24∈N ∗}，故D 正确， 故选：D ．5．一元二次不等式14﹣4x 2≥x 的解集是（ ） A ．[−2，74]B ．[−74，2]C ．[−4，72]D ．[−72，4]解：不等式14﹣4x 2≥x 化为：4x 2+x ﹣14≤0，解得﹣2≤x ≤74， 故选：A ．6．已知函数f （x ）为R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈（﹣∞，0），均有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0成立，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 的取值范围是（ ） A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解：因为对任意x 1，x 2∈（﹣∞，0），均有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0成立， 所以f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f （x ）为R 上的偶函数，所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，所以不等式f(2x −1)＜f(13)等价于|2x −1|＜|13|，解得13＜x ＜23，故x 的取值范围是(13，23)． 故选：A ．7．已知函数f(x)=−x +1|x|，则函数f （x ）的图象关于y 轴对称的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．解：当x ＞0时，f(x)=−x +1x ，设y 1＝﹣x ，y 2=1x， 根据减函数加上减函数为减函数，则f （x ）在（0，+∞）单调递减，故当其关于y 对称后，变为当x ＜0时，对称后的函数在（﹣∞，0）上单调递增，故A ，B ，D 错误， 当x ＜0时，f(x)=−x +1−x ≥2√(−x)⋅1−x=2， 当且仅当x ＝﹣1时等号成立，故当其关于y 对称后，变为x ＞0，应有最小值2， 故选：C ． 8．已知函数f （x ）={x 2−1，x ≤1ax 2−x +2，x ＞1的最小值是﹣1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[112，+∞) B ．(0，112] C ．[112，12) D ．[12，+∞)解：当x ≤1时，x 2≥0，故x 2﹣1≥﹣1，当x ＞1时，①当a ＝0时，f （x ）＝﹣x +2∈（﹣∞，1），不满足题意， ②当a ＜0时，函数开口向下，不满足题意， ③当a ＞0时，对称轴是x =12a ，只需满足{12a≤1f(1)≥−1或{12a ＞1f(12a )≥−1，解得：a ∈[112，+∞）．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数中是同一函数的是（ ） A ．y =√−2x 3与y =x √−2x B ．y =√x 2与y ＝|x |C ．y =√5−x 2x+1与y =√5−x 2|x+3|−2D ．y =√x +1√x −1与y =√(x +1)(x −1)对于A ：易知x ≤0，所以y =√−2x 3=−x √−2x ，两函数定义域相同，解析式不同，所以不是同一函数； 对于B ：显然是同一函数；对于C ：由{5−x 2≥0|x +3|−2≠0，易知x ∈[−√5，√5]，且x ≠﹣1，所以y =√5−x 2|x+3|−2=√5−x 2x+3−2=√5−x 2x+1，两函数定义域相同，解析式相同，所以是同一函数； 对于D ：定义域不同，所以不是同一函数， 故选：BC ．10．下列说法正确的是（ ）A ．“1a＞1b ”是“a ＜b ”的充分不必要条件B ．A ∩B ＝∅是A ＝∅的必要不充分条件C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”D ．若a ，b ∈R ，则“a 2+b 2≠0”是“|a |+|b |≠0”的充要条件解：对于选项A ：取a ＝2，b ＝﹣1，满足1a＞1b，但是a ＞b ，所以由“1a＞1b”推不出“a ＜b “，故A 选项错误；对于选项B ：由A ∩B ＝∅，即集合A 与集合B 没有公共部分，不能说明A ＝∅， 由A ＝∅可知A ∩B ＝∅，所以A ∩B ＝∅是A ＝∅的必要不充分条件，故B 选项正确； 对于选项C ，若a ，b ，c ∈R ，由ab 2＞cb 2可得a ＞c ， 但是当b ＝0时，由a ＞c ，可得ab 2＝cb 2，故C 错误；对于选项D ：若a ，b ∈R ，由a 2+b 2≠0 可知a ，b 不同时为0，由|a |+|b |≠0，可知a ，b 不同时为0， 所以“a 2+b 2≠0“是“|a |+|b |≠0“的充要条件，故D 选项正确． 故选：BD ．11．整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n +k |n ∈Z }，其中k ∈{0，1，2，3，4}．以下判断中不正确的是（ ） A ．2023∈[3] B ．Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]C ．﹣2∈[2]D ．若a ﹣b ∈[0]，则整数a ，b 属同一类解：A 选项，2023＝5×404+3，故2023∈[3]，A 正确； B 选项，全体整数被5除的余数只能是0，1，2，3，4， 故Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，B 正确；C 选项，﹣2＝5×（﹣1）+3，故﹣2∈[3]，C 错误；D 选项，由题意可知a ﹣b 能被5整除，故a ，b 分别被5除的余数相同， 故整数a ，b 属同一类，D 正确． 故选：C ．12．已知函数f （x ），g （x ）是定义在R 上的函数，其中f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，若对于任意x 1＞x 2＞1，都有g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2＞4，则实数a 可以为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0解：根据题意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x，则f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x，两式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2，又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，所以2g（x）＝2ax2，即g（x）＝ax2，若对于任意x1＞x2＞1，都有g(x1)−g(x2)x1−x2＞4，变形可得[g(x1)−4x1]−[g(x2)−4x2]x1−x2＞0，令h（x）＝g（x）﹣4x＝ax2﹣4x，则h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，若a＝0，则h（x）＝﹣4x在（1，+∞）上单调递增，不满足题意；若a≠0，则h（x）＝ax2﹣4x是对称轴为x=2a的二次函数，若h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需{a＞02a≤1，解得a≥2，所以a的取值范围为[2，+∞），则a可以取值3，2，故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f(x)=√x2−4x−5的递增区间为．解：由x2﹣4x﹣5≥0得：x≤﹣1或x≥5，又t＝x2﹣4x﹣5为开口向上，对称轴方程为x＝2的抛物线，在[5，+∞）上单调递增；y=√t在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知f（x）的单调递增区间[5，+∞）；故答案为：[5，+∞）．14．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m＝．解：m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3或﹣1，当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，不满足在区间（0，+∞）上单调递增，舍去，当m＝3时，f（x）＝x2，满足f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意，故m＝3．故答案为：3．15．已知a∈R，b∈R，若集合{a，b a，1}={a2，a+b，0}，则a2023+b2024的值为．解：若集合{a，ba，1}={a2，a+b，0}，由于a≠0，故ba=0，即b＝0，则{a，0，1}＝{a2，a，0}，所以{a 2=1a ≠1，解得a ＝﹣1，a 2023+b 2024＝﹣1+0＝﹣1． 故答案为：﹣1．16．已知a ，b ，c ＞0，且(a −b)(4a −1b)≥1，则(a 2+b 2+c 2)(1a 2+1b2+1c 2)的最小值为 ． 解：利用基本不等式可得，(a −b)(4a −1b )=5−(4b a +ab)≤5−2√4=1， 当且仅当a ＝2b 时，取等号，又(a −b)(4a −1b )≥1，则(a −b)(4a −1b)=1，得a ＝2b ．此时，(a 2+b 2+c 2)(1a 2+1b 2+1c 2)=(5b 2+c 2)(54b 2+1c 2)=294+5c 24b2+5b 2c 2≥294+2√254=494，当且仅当c 2＝2b 2时，取等号， 则(a 2+b 2+c 2)(1a 2+1b 2+1c 2)的最小值为494， 故答案为：494．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤5}，集合B ＝{x |﹣1﹣2a ≤x ≤a ﹣2}． （1）当a ＝4时，求A ∩B 及A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）当a ＝4时，B ＝{x |﹣1﹣2a ≤x ≤a ﹣2}＝{x |﹣9≤x ≤2}， 又A ＝{x |1≤x ≤5}，U ＝R ，则∁U A ＝{x |x ＜1或x ＞5}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}，A ∪B ＝{x |﹣9≤x ≤5}，（∁U A ）∩B ＝{x |﹣9≤x ＜1}． （2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ， 所以{−1−2a ≤1a −2≥5，解得a ≥7．所以实数a 的取值范围为[7，+∞）．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＝0}，集合B ＝{x |x 2+ax +1＝0} （1）若A ∩B ＝{4}，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）因为A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＝0}＝{﹣1，4}，且A ∩B ＝{4}， 所以4∈B ，即x ＝4是方程x 2+ax +1＝0的根， 所以16+4a +1＝0，得a =−174，则B ={x|x 2−174x +1=0}={14，4}， 所以A ∪B ={−1，14，4}． （2）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，①当﹣2＜a ＜2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝B ， ②a ≤﹣2或a ≥2时，B ≠∅，因为B ⊆A ，所以B ＝{﹣1}或B ＝{4}或B ＝{﹣1，4}， （i ）当B ＝{﹣1}时，{1−a +1=0a 2−4=0，得a ＝2，（ii ）当B ＝{4}时，{16+4a +1=0a 2−4=0，无解，（iii ）当B ＝{﹣1，4}时，{16+4a +1=01−a +1=0，无解，综上所述实数a 的取值范围是{a |﹣2＜a ≤2}．19．（12分）设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f(x)=−x 2x 2+1．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）在[0，+∞）上的单调性； 解：（1）根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0， 故f （﹣x ）=−(−x)2(−x)2+1=−x 2x 2+1， 又由f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）=x 2x 2+1，故f （x ）={−x 2x 2+1，x ≥0x2x 2+1，x ＜0； （2）根据题意，当x ≥0，f(x)=−x 2x 2+1=11+x 2−1，f （x ）在[0，+∞）上的单调递减，证明：设0≤x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）＝（11+x 12−1）﹣（11+x 22−1）=−x 12−x 22(1+x 12)(1+x 22)=−(x 1−x 2)(x 1+x 2)(1+x 12)(1+x 22)，又由0≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，则有f （x 1）﹣f （x 2）＞0， 函数f （x ）在[0，+∞）上的单调递减．20．（12分）已知幂函数f （x ）＝（2m 2﹣5m +3）x m 的定义域为全体实数R ． （1）求f （x ）的解析式；（2）若f （x ）＞3x +kx ﹣1在[0，1）上恒成立，求实数k 的取值范围．解：（1）∵f（x）＝（2m2﹣5m+3）x m是幂函数，∴2m2﹣5m+3＝1，解得m=12或m＝2，∴当m=12时，f（x）=x12定义域不是R，不符合题意，∴m＝2，即f（x）＝x2；（2）由（1）得f（x）＝x2，f（x）＞3x+kx﹣1在[0，1）上恒成立，即x2＞3x+kx﹣1在[0，1）上恒成立，∴x2﹣3x﹣kx+1＞0在[0，1）上恒成立，当x＝0时，1＞0恒成立，此时k∈R；当x∈（0，1）时，k＜x+1x−3恒成立，由对勾函数的性质可知y＝x+1x−3在（0，1）上单调递减，y＞1+1﹣3＝﹣1，所以k≤﹣1，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]．21．（12分）设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC 于点P．设AB＝xcm，记△ADP的面积为函数f（x）．（1）求f（x）的解析式，并写出其定义域；（2）求△ADP的最大面积及相应x的值．解：（1）如下图示△ABC≅△AEC且AB＝AE＝x，则BC＝EC＝AD＝6﹣x，x∈（0，6），又△ADP≅△CEP，若PD＝PE＝a，则P A＝PC＝x﹣a，而∠E＝∠D＝90°，故a2+（6﹣x）2＝（x﹣a）2，可得a=6−18x＞0，则x∈（3，6），所以S△ADP=12⋅AD⋅PD=(6−x)×(3−9x)=27−3x−54x，则f （x ）＝27﹣3x −54x ，定义域为x ∈（0，6）；（2）f （x ）=27−(3x +54x )≤27−2√3x ⋅54x =27−18√2， 当且仅当3x =54x，即x =3√2时等号成立， 综上，x ＝3√2cm 时△ADP 的面积最大，最大面积为（27﹣18√2）cm 2．22．（12分）已知函数f(x)=√1+x +√1−x ，g(x)=√1−x 2．（1）判断f （x ）的奇偶性，并求f （x ）的值域；（2）设函数F （x ）＝f （x ）+2ag （x ）（a ＜0），求F （x ）的最大值h （a ），并求h （a ）的最小值．解：（1）要使函数有意义，则{1+x ≥01−x ≥0， 解得﹣1≤x ≤1，∴函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，关于原点对称，且f （﹣x ）=√1−x +√1−(−x)=√1−x +√1+x =f （x ），∴函数f （x ）是偶函数；f 2（x ）＝（√1−x +√1+x ）2＝2+2√1−x 2，∵﹣1≤x ≤1，∴0≤√1−x 2≤1，∴2≤2+2√1−x 2≤4，即函数f 2（x ）的值域是[2，4]，又f （x ）≥0，∴f （x ）的值域为[√2，2]．（2）∵f 2（x ）＝2+2√1−x 2，∴√1−x 2=f 2(x)−22， ∴g （x ）=f 2(x)−22，令t ＝f （x ）， ∴F （x ）＝Φ（t ）＝at 2+t ﹣2a ，又a ＜0，∴Φ（t ）＝at 2+t ﹣2a 的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线t =−12a ，①若 t =−12a ∈(0，√2]，即a ≤−√24，Φ（t ）在[√2，2]上单调递减，则h （a ）＝Φ（√2）=√2；②若t =−12a ∈（√2，2），即−√24＜a ＜−14，函数φ（t ）在[√2，2]先增后减，则h （a ）＝Φ（−12a ）＝﹣2a −14a ；③若t =−12a ∈[2，+∞)，即−14≤a ＜0，则h （a ）＝Φ（2）＝2a +2；综上可得，h （a ）={ √2，a ≤−√24−2a −14a ，−√24＜a ＜−142a +2，−14≤a ＜0， 当a ≤−√24时，h （a ）=√2，当−√24＜a ＜−14，h （a ）＝﹣2a −14a ≥2√(−2a)⋅(−14a )=√2， 当且仅当﹣2a =−14a ，即a =−√22∉（−√24，−14），∴取不到等号； 当−14≤a ＜0时，h （a ）＝2a +2≥2×（−14）+2=32＞√2． ∴a ≤−√24时，h （a ）取到最小值，且最小值为√2．。

2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}2．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．y ＝x +1，y ＝|x +1|B ．y ＝2x （x ＞0），y ＝2x （x ＜0）C ．y =√x 2，y =(√x)2D ．y =x 3+xx 2+1，y ＝x 4．已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．4√2B ．3+2√2C ．16D ．325．命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞27B ．a ≤12C ．a ＜12D ．a ≥276．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则关于x 的不等式bx 2+ax +c ＜0的解集为（ ） A ．{x|−1＜x ＜65} B ．{x|x ＜−1或x ＞65} C ．{x|−23＜x ＜1}D ．{x|x ＜−23或x ＞1}7．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 43＝（ ） A ．a+b−12(b+1)B ．a+b−1b−1 C ．a−b+12(b−1)D ．a−b+1b+18．已知f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝x +2，则函数y =x −√f(x)的值域为（ ） A ．[1，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−54，+∞)D ．[0，+∞）二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列图形不可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题是真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ab ＞1B ．若a ＞b ，且1a＞1b，则ab ＞0C ．若a ＞b ＞0，则b+1a+1＞baD ．若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则5≤4a ﹣2b ≤1011．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若ab ＝1，则a +b ≥2B ．若a ＞b ＞0，且1a +1b=1，则a +b 最小值为4C ．若a ＞0，b ＞0，则(a +1a )(b +1b )≥4 D ．若a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为212．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x （1﹣y ），若命题p ：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，则命题p 成立的充分不必要条件是（ ） A ．{a|a ＜−12或a ＞32} B ．{a|a ≤−12或a ＞32} C ．{a|a ＜−1或a ＞32}D ．{a |a ＞2}三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．命题p ：所有的质数都是奇数，则命题p 的否定是 ．14．已知函数f （x ）对任意实数x 都有f （x ）+2f （﹣x ）＝2x +1，则f （x ）＝ ．15．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x +1（x ∈R ）有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a 的取值范围为 ．16．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365，则一年后“进步”的是“落后”的 倍；大约经过 天后“进步”的分别是“落后”的10倍．（参考数据：lg 101≈2.004，lg 99≈1.996，102.91≈812.831，102.92≈831.764，102.93≈851.138，结果保留整数）四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算：（1）(214)12+(−2.5)0+√6−2√5(23)−2；（2）log 3√27+lg25−3log 32+2lg2． 18．（12分）已知集合A ={x|x−3x+2＜0}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}，C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}． （1）求集合A ∪B ；（2）若a ＜0且（A ∩B ）⊆C ，求实数a 的取值范围． 19．（12分）已知函数y ＝x 2﹣mx +3．（1）若y ≤﹣4的解集为[2，n ]，求实数m ，n 的值；（2）对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，求实数a 的取值范围． 21．（12分）某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件．（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该产品每件售价最多为多少元？ （2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价x （x ≥26）元，并投入334(x −26)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−25)2万件．则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．22．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）只能同时满足下列三个条件中的两个： ①a ＝2；②不等式f （x ）＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；③函数f （x ）的最大值为4． （1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f （x ）的解析式； （2）求关于x 的不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2（m ∈R ）的解集．2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}解：由已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝{0，1}． 故选：A ．2．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根， 则Δ＝12﹣4a ≥0，解得a ≤14， 而﹣2∈(−∞，14]，所以“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的充分条件， 故选：A ．3．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．y ＝x +1，y ＝|x +1|B ．y ＝2x （x ＞0），y ＝2x （x ＜0）C ．y =√x 2，y =(√x)2D ．y =x 3+xx 2+1，y ＝x 解：y ＝x +1与y ＝|x +1|的对应关系不同，不是同一函数； y ＝2x ，x ＞0与y ＝2x ，x ＜0定义域不同，不是同一函数；y =√x 2的定义域为R ，y ＝（√x ）2的定义域为[0，+∞）不同，不是同一函数； y =x+x 3x 2+1=x 与y ＝x 的定义域都为R ，对应关系相同，是同一函数． 故选：D ．4．已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．4√2B ．3+2√2C ．16D ．32解：在a +2b ＝ab 的两边都除以ab ，整理得2a+1b=1，所以a +b =(2a +1b )(a +b)=3+ab +2ba ≥3+2√ab ⋅2ba =3+2√2，当且仅当a b=2b a时，即a =2+√2，b =√2+1时，a +b 的最小值是3+2√2．故选：B ．5．命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞27B ．a ≤12C ．a ＜12D ．a ≥27解：命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，命题p 是真命题， 当∀x ∈（2，3）时， 则a ＜(3x 2)min ＜3×22， 故a ＜12． 故选：C ．6．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则关于x 的不等式bx 2+ax +c ＜0的解集为（ ） A ．{x|−1＜x ＜65} B ．{x|x ＜−1或x ＞65} C ．{x|−23＜x ＜1}D ．{x|x ＜−23或x ＞1}解：因为不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}， 所以2和3是方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数解，且a ＜0； 由根与系数的关系知，{2+3=−ba 2×3=c a ，所以b ＝﹣5a ，c ＝6a ；所以不等式bx 2+ax +c ＜0可化为﹣5ax 2+ax +6a ＜0， 即5x 2﹣x ﹣6＜0，解得﹣1＜x ＜65， 所求不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜65}． 故选：A ．7．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 43＝（ ） A ．a+b−12(b+1)B ．a+b−1b−1 C ．a−b+12(b−1)D ．a−b+1b+1解：∵a ＝lg 6＝lg 2+lg 3，b ＝lg 20＝1+lg 2， ∴lg 2＝b ﹣1，lg 3＝a ﹣lg 2＝a ﹣（b ﹣1）， ∴log 43=lg3lg4=lg32lg2=a−(b−1)2(b−1)=a−b+12(b−1)． 故选：C ．8．已知f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝x +2，则函数y =x −√f(x)的值域为（ ） A ．[1，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−54，+∞)D ．[0，+∞）解：因为f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝f （ax +b ）＝a （ax +b ）+b ＝x +2， 所以{a 2=1ab +b =2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝﹣1（舍）， 故f （x ）＝x +1，则函数y =x −√f(x)=x −√x +1， 令t =√x +1，则t ≥0，原函数化为y ＝t 2﹣t ﹣1＝（t −12）2−54≥−54． 故选：C ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列图形不可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：对于A ，D ，存在一个x 对应两个y 的情况，故不满足函数的定义，故排除A ，D ， B ，C 均满足函数定义． 故选：AD ．10．下列命题是真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ab ＞1B ．若a ＞b ，且1a＞1b，则ab ＞0C ．若a ＞b ＞0，则b+1a+1＞baD ．若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则5≤4a ﹣2b ≤10解：当a ＝1，b ＝﹣1时，A ，B 显然错误； 若a ＞b ＞0，则b+1a+1−b a=a−b a(a+1)＞0，则b+1a+1＞ba，C 正确；若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则4a ﹣2b ＝3（a ﹣b ）+a +b ∈[5，10]，D 正确．故选：CD ．11．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若ab ＝1，则a +b ≥2B ．若a ＞b ＞0，且1a +1b=1，则a +b 最小值为4C ．若a ＞0，b ＞0，则(a +1a)(b +1b)≥4 D ．若a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2解：对于A ，ab ＝1，可能a ＝b ＝﹣1，此时a +b ≥2不成立，故A 不正确； 对于B ，a +b =(1a +1b )(a +b)=2+ba +ab ≥2+2√b a ⋅ab =4， 由于取等号的条件是ba =a b=1，即a ＝b ，与题设a ＞b ＞0矛盾，故a +b 最小值大于4，故B 不正确；对于C ，a ＞0，b ＞0，由a +1a ≥2√a ⋅1a =2，b +1b ≥2√b ⋅1b =2，两不等式相乘，得(a +1a )(b +1b)≥4，当且仅当a ＝1且b ＝1时，等号成立，故C 正确；对于D ，a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，设m ＝a +2，n ＝b +2，则m ＞2，n ＞2，且m +n ＝8，a 2a+2+b 2b+2=(m−2)2m+(n−2)2n =m +4m−4+n +4n−4=(m +n)+4m+4n−8=4m+4n，因为4m+4n=4(m+n)mn=32mn≥32(m+n 2)2=2，当且仅当m ＝n ＝4时，即a ＝b ＝2时，等号成立，所以a 2a+2+b 2b+2的最小值为2，故D 正确．故选：CD ．12．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x （1﹣y ），若命题p ：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，则命题p 成立的充分不必要条件是（ ） A ．{a|a ＜−12或a ＞32} B ．{a|a ≤−12或a ＞32} C ．{a|a ＜−1或a ＞32}D ．{a |a ＞2}解：根据题意，可得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，即（x ﹣a ）[1﹣（x +a ）]＞1，命题p 可化为：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）[1﹣（x +a ）]＞1，即：∃x ∈R ，使﹣x 2+x +a 2﹣a ﹣1＞0成立．化简得：∃x∈R，使x2﹣x﹣a2+a+1＜0成立，故Δ＝1﹣4（﹣a2+a+1）＞0，解得a＜−12或a＞32．综上所述，命题p成立的充要条件是a＜−12或a＞32，因此，命题p成立的充分不必要条件，对应的集合是{a|a＜−12或a＞32}的真子集，对照各个选项，可知C、D两项符合题意．故选：CD．三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．命题p：所有的质数都是奇数，则命题p的否定是存在某个质数不是奇数．解：命题p：所有的质数都是奇数，则命题p的否定是：存在某个质数不是奇数．故答案为：存在某个质数不是奇数．14．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）+2f（﹣x）＝2x+1，则f（x）＝﹣2x+13．解：因为函数f（x）对任意实数x都有f（x）+2f（﹣x）＝2x+1，所以f（﹣x）+2f（x）＝﹣2x+1，解得f（x）＝﹣2x+1 3．故答案为：﹣2x+1 3．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1（x∈R）有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a的取值范围为（0，1）．解：∵函数f（x）＝ax2﹣2x+1（x∈R）有两个零点，∴a≠0，而且一个大于1另一个小于1，则{a＞0f(1)=a−2+1＜0或{a＜0f(1)=a−2+1＞0，解得：0＜a＜1．∴实数a的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．16．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365，则一年后“进步”的是“落后”的832倍；大约经过125天后“进步”的分别是“落后”的10倍．（参考数据：lg101≈2.004，lg99≈1.996，102.91≈812.831，102.92≈831.764，102.93≈851.138，结果保留整数）解：lg 1.013650.99365lg 1.01365﹣lg 0.99365＝365（lg 1.01﹣lg 0.99）＝365（lg 101﹣lg 99）≈2.92，故1.013650.99365=102.92≈832，设x 天后“进步”的分别是“落后”的10倍，则1.01x 0.99x=10，即lg 1.01x0.99x =lg1.01x −lg0.99x =x(lg1.01−lg0.99)=x(lg101−lg99)=1， 解得x =1lg101−lg99≈125． 故答案为：832；125．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算：（1）(214)12+(−2.5)0+√6−2√5(23)−2；（2）log 3√27+lg25−3log 32+2lg2．解：（1）原式=32+1+√(√5−1)2+94=32+1+√5−1+94=154+√5； （2）原式=log 3332+2lg 5﹣2+2lg 2=32+2（lg 5+lg 2）﹣2=32+2﹣2=32．18．（12分）已知集合A ={x|x−3x+2＜0}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}，C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}． （1）求集合A ∪B ；（2）若a ＜0且（A ∩B ）⊆C ，求实数a 的取值范围．解：（1）∵集合A ={x|x−3x+2＜0}={x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}＝{x |x ＞3或x ＜﹣1}， ∴集合A ∪B ＝{x |x ≠3}．（2）由（1）可得A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜﹣1}，若a ＜0，则C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}＝{x |3a ＜x ＜a }． 由（A ∩B ）⊆C ，可得{3a ≤−2a ≥−1，求得﹣1≤a ≤−23，即实数a 的取值范围为[﹣1，−23]．19．（12分）已知函数y ＝x 2﹣mx +3．（1）若y ≤﹣4的解集为[2，n ]，求实数m ，n 的值；（2）对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由题意可得x 2﹣mx +3≤﹣4，即x 2﹣mx +7≤0，其解集为[2，n ]， 所以x 1＝2和x 2＝n 是方程x 2﹣mx +7＝0的两根，由韦达定理可得{2+n =m2n =7，解得n =72，m =112；（2）因为对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立， 即对于∀x ∈[12，+∞)，不等式x 2﹣mx +3≥2﹣x 2恒成立， 即m ≤2x +1x 对于∀x ∈[12，+∞)恒成立， 又因为2x +1x≥2√2x ⋅1x=2√2， 当且仅当2x =1x ，即x =√22∈[12，+∞）时，等号成立，所以m ≤2√2，即实数m 的取值范围为（﹣∞，2√2]．20．（12分）已知命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题，即不等式x 2﹣x ＞m 在R 上恒成立， 因为当x =12时，x 2﹣x 的最小值为−14，所以−14＞m ，即实数m 的取值集合M =(−∞，−14)； （2）若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，则N ⊆M ， 而M =(−∞，−14)，N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，有以下两种情况： ①若3a ≥a +4，则N ＝∅，符合题意，此时a ≥2； ②若N ≠∅，则a ＜2且a +4≤−14，解得a ≤−174． 综上所述，实数a 的取值范围是(−∞，−174]∪[2，+∞）．21．（12分）某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件．（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该产品每件售价最多为多少元？ （2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价x （x ≥26）元，并投入334(x −26)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−25)2万件．则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：（1）该产品每件售价为x 元，则[8﹣（x ﹣25）×0.2]（x ﹣20）≥（25﹣20）×8，解得25≤x ≤60，故产品每件售价最多为60元；（2）设下个月的总利润为W ，则W =(x −20)[8−0.45(x−25)2(x −25)]−334(x −26)=47.8−(x−254+2.25x−25) ≤47.8−2√x−254⋅2.25x−25=46.3， 当且仅当x−254= 2.25x−25，即x ＝28时等号成立，故当每件售价为28时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3．22．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）只能同时满足下列三个条件中的两个： ①a ＝2；②不等式f （x ）＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；③函数f （x ）的最大值为4．（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f （x ）的解析式；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2（m ∈R ）的解集．解：（1）当a ＝2时，不等式f （x ）＞0的解集不能为{x |﹣3＜x ＜1}，且函数f （x ）没有最大值，所以a ＝2不成立，即满足题意的两个条件是②③，由f （x ）＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜1}，可令f （x ）＝a （x +3）（x ﹣1）＝ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）， f （x ）的最大值为4，所以4a×(−3a)−(2a)24a =4，解得a ＝﹣1，所以f （x ）＝﹣x 2﹣2x +3；（2）不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2可化为mx 2+2x ﹣1≤0，当m ＝0时，不等式等价于2x ﹣1≤0，解得x ≤12，所以不等式的解集为(−∞，12]；当m ＞0时，对于一元二次方程mx 2+2x ﹣1＝0，由于Δ＝4+4m ＞0，方程有两个不相等的实数根x 1=−1+√m+1m ，x 2=−1−√m+1m ， 不等式的解集为[−1−√m+1m ，−1+√m+1m ]； 当m ＜0时，对于一元二次方程mx 2+2x ﹣1＝0，Δ＝4+4m ，当m ＜﹣1时，Δ＜0，一元二次方程无实数根，所以不等式的解集为R ；当m ＝﹣1时，Δ＝0，一元二次方程有两个相等的实数根，此时不等式的解集也为R ；当﹣1＜m ＜0时，Δ＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根x 1=−1+√m+1m ，x 2=−1−√m+1m，且x 1＜x 2，所以不等式的解集为(−∞，−1+√m+1m ]∪[−1−√m+1m，+∞)，综上，当m＝0时，不等式的解集为(−∞，12 ]；当m＞0时，不等式的解集为[−1−√m+1m，−1+√m+1m]；当m≤﹣1时，不等式的解集为R；当﹣1＜m＜0时，不等式的解集为(−∞，−1+√m+1m]∪[−1−√m+1m，+∞)．。

2024-2025学年安徽省芜湖市第一中学高一上学期期中考试数学题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知x ∈R ，y ∈R ，则“x >1且y >1”是“x +y >2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知集合A ={x |x 2−1≥0}，集合B ={x |x−12≤0}，则(∁R A )∪B =( )A. {x |x ≤12或 x ≥1}B. {x |−1<x ≤12}C. {x |12≤x <1}D. {x∣x <1}3.已知函数y =f (x )的定义域为[−1,4]，则y =f (2x +1) x−1的定义域为( )．A. [−1,4] B. (1,32] C. [1,32] D. (1,9]4.设a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )．A. 1a <1bB. ac 2>bc 2C. |a |>|b |D. a 3>b 35.不等式ax +1x +b >0的解集为{x|x <−1或x >4}，则(x +a )(bx−1)≥0的解集为( )A. [14,1] B. (−∞,14]∪[1,+∞)C. [−1,−14] D. (−∞,−1]∪[−14,+∞)6.已知a >0，b >0，a +b =ab−3，若不等式a +b ≥2m 2−12恒成立，则m 的最大值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 77.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼−闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)的曼哈顿距离d (A,B )=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|，若点M (2,1)，点P 是直线y =x +3上的动点，则d (M,P )的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 58.已知f(x),g(x)是定义域为R 的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax 2+x +2，若对任意的1<x 1<x 2<2，都有g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2>−5成立，则实数a 的取值范围是( )A. [0,+∞) B. [−54,+∞) C. (−54,+∞) D. [−54,0]二、多选题：本题共3小题，共18分。

如图在矩形ABCD 中年级：高一 科目：数学 时间：7/11/2010 14:14:20 新 6190744
如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF=2/3FD=4。

沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ’EF ，使平面A ’EF ⊥平面BEF
（1） 求二面角A ’—FD —C 的余弦值
（2） 点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A 重合，求线段FM 的长
（1）解：取线段EF 的中点H ，连结A ′H ，因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，所以A ′H ⊥EF,
又因为平面A ′EF ⊥平面BEF.
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则A ′（2，2，，C （10，8，0），
F （4，0，0），D （10，0，0）.
故'FA →
=（-2，2，，FD →
=（6，0，0）.
设n →=（x,y,z ）为平面A ′FD 的一个法向量，
所以
6x=0.
取z =(0,n =- 。

又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m = ，
故33||||,cos =
<m n 。

（2）解：设FM ＝x 则M(4＋x ，0,0)，
因为翻折后，C 与A 重合，所以CM ＝A ′M ，
故， 222222(6)80=22x x -++--++（）（，得214
x =， 经检验，此时点N 在线段BC 上，
所以214FM =。