高中数学第二章平面向量2.4.3向量平行的坐标表示优化训练

2.4.3 向量平行的坐标表示向量平行的条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，那么当且仅当____________时，向量a ，b (b ≠0)共线．由于规定零向量与任何向量平行，所以b ≠0的条件可去掉．当x 2y 2≠0时，向量a ，b 共线的条件也可以写作__________．即：(1)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． (2)若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 预习交流1如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？ 预习交流2a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价吗？预习交流3(1)下列各组的两个向量，共线的是( )． A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14) C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2)D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4)(2)若a ＝(5,2)，b ＝(6，y )且a ∥b ，则y ＝______.答案：x 1y 2－x 2y 1＝0x 1x 2＝y 1y 2预习交流1：提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．预习交流2：提示：不等价，因为x 2，y 2为零时，x 1x 2，y 1y 2无意义．预习交流3：(1)D (2)1251．已知向量共线，求参数的值已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？思路分析：题目给出了a ，b 的坐标，欲求k 的值使k a ＋b 与a －3b 平行，可先把向量k a ＋b 与a －3b 的坐标形式表达出来，再利用向量平行的坐标表示列出方程，或利用向量共线的定理列出方程求得k 的值，再根据符号确定两向量的方向．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2利用向量共线的条件求值问题的处理思路：对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．关于三点共线问题如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A ，B ，C 三点共线．思路分析：要使A ，B ，C 三点共线，则需AB →∥BC →，由向量共线的条件可求出m 的值．p ，q ，r 是互异实数，三个点P (p ，p 3)，Q (q ，q 3)，R (r ，r 3)，求证：若P ，Q ，R 三点共线，则p ＋q ＋r ＝0.三点共线的实质与证明三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．3．利用向量共线的条件求交点的坐标如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．思路分析：方法1：要求点P 的坐标，可利用O ，P ，B 三点共线，OP →＝λOB →，用OB →的坐标表示OP →的坐标，然后利用A ，P ，C 共线求出P 点坐标．方法2：设出P 点的坐标，利用O ，P ，B 三点共线，A ，P ，C 三点共线，列出方程组求解．在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．求两直线AB 与CD 的交点P 的坐标，常有两种思路，一种是利用AP →＝λAB→表示出AP →的坐标，进而利用C ，P ，D 共线求出P 点坐标；另一种是设P 点坐标为(x ，y )，利用A ，P ，B 共线和C ，P ，D 共线建立方程组解出x ，y 的值．答案：活动与探究1：解法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0.解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43＝－13(10，－4)＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．解法二：由解法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为(k a ＋b )∥(a －3b )，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝－13，λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b .∵λ＝－13＜0，∴－13a ＋b 与a －3b 反向．迁移与应用：D 解析：因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )， 所以a ＋b ＝(3，x ＋1),4b －2a ＝(6,4x －2)． 由a ＋b 与4b －2a 平行，得3(4x －2)－6(x ＋1)＝0，解得x ＝2.活动与探究2：解：由题意得AB ＝(1，－2)，BC ＝(1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥BC . ∴1×m －(－2)×1＝0，∴m ＝－2.迁移与应用：证明：∵P ，Q ，R 三点共线，∴PQ 与PR 共线． ∴存在实数λ使得PQ ＝λPR .即⎩⎪⎨⎪⎧ q －p ＝λ(r －p )，q 3－p 3＝λ(r 3－p 3).①②②÷①得q 2＋qp ＋p 2＝r 2＋rp ＋p 2. ∴(q －r )(p ＋q ＋r )＝0.∵p ，q ，r 是互异实数，∴p ＋q ＋r ＝0.活动与探究3：解法一：设OP OB λ=＝(4λ，4λ)．AP ＝(4λ－4,4λ)，AC ＝(－2,6)．因为A ，P ，C 三点共线，所以6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0，解得λ＝34.所以OP ＝(3,3)，即P 点坐标为(3,3)．解法二：设P (x ，y )，OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． 因为O ，P ，B 三点共线，所以4x －4y ＝0.①又因为AP ＝(x －4，y )，AC ＝(－2,6)，且A ，P ，C 三点共线， 所以6×(x －4)－(－2)y ＝0，即3x ＋y ＝12.②由式①和②得x ＝3，y ＝3，所以P 点坐标为(3,3)． 迁移与应用：解：∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA ＝(0,5)，OB ＝(4,3)．∵OC ＝(x c ，y c )＝14OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54， ∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54. 同理可得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设点M 的坐标为(x ，y )，则AM ＝(x ，y －5)，而AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72. ∵A ，M ，D 三点共线，∴AM 与AD 共线．∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①而CM ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74.∵C ，M ，B 三点共线，∴CM 与CB 共线． ∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 由①和②得x ＝127，y ＝2.∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.1．已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 等于( )．A ．9B ．6C ．5D ．32．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)，若点C 的横坐标为6，则点C 的纵坐标为( )．A ．－13B ．9C ．－9D ．133．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )． A ．a －c 与b 共线 B ．b ＋c 与a 共线 C ．a 与b －c 共线 D ．a ＋b 与c 共线4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系为__________．5．(1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？ (2)已知a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，求点B 的坐标．答案：1．B 解析：由已知a∥b ，得4×3－2x ＝0，所以x ＝6. 2．C 解析：设C 点纵坐标为y ，则C 点坐标为(6，y )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC ，即(－8,8)∥(3，y ＋6)． ∴－8(y ＋6)－8×3＝0.∴y ＝－9.3．C 解析：a －c ＝(4,2)与b 不共线； b ＋c ＝(7,11)与a 不共线；∵b －c ＝(3,3)＝12a ，∴b －c 与a 共线；a ＋b ＝(11,13)与c 不共线．4．λ＝μ 解析：λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， a ＋b ＝(－1,5)．∵λa ＋μb 与a ＋b 共线，∴(λ－2μ)×5－(2λ＋3μ)×(－1)＝0.∴λ＝μ.5．解：(1)k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6,2k ＋4)， 2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， 要使k a ＋2b 与2a －4b 平行，则(k －6)×(－4)－(2k ＋4)×14＝0，得k ＝－1. (2)由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)， 设B (x ，y )，则AB ＝(x －1，y －2)＝b . 则⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又点B 在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，解得λ＝12或－23，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.。

2.4.3 向量平行的坐标表示5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅲ,文1)已知向量a =(4,2),向量b =(x,3),且a ∥b ,则x 等于（ ）A.9B.6C.5D.4解析：由a ∥b 的条件：4×3-2x=0∴x=6.答案：B2.已知向量=（6，1），BC =（x ，y ），CD =（-2，-3），当BC ∥时，则实数x 、y 应满足的关系是_____________. 解析：=-=-(+BC +CD )=-［（6，1）+（x ，y ）+（-2，-3）］=（-x-4，-y+2），=（x ，y ）. 当∥时，x （-y+2）-y （-x-4）=0，化简得y=21-x. 所以当∥DA 时，x 、y 应满足y=21-x. 答案:y=21-x 3.已知a =（2，-1），b =（x ，2），c =（-3，y ），且a ∥b ∥c .求x 、y 的值.解：由a ∥b 得4+x=0，∴x=-4.由a ∥c 得2y-3=0， ∴y=23.∴x=-4，y=23. 4.已知a =（1，2），b =（-3，2），当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解法一：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），a -3b =（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）.当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a +b =λ（a -3b ）.由（k-3，2k+2）=λ（10，-4），∴⎩⎨⎧-=+=-.422,103λλk k解得k=31-，λ=31-. 当k=31-时，k a +b 与a -3b 平行，这时k a +b =31-a +b . ∵λ=31-＜0，∴31-a +b 与a -3b 反向. 解法二：由解法一知k a +b =（k-3，2k+2），a -3b =（10，-4），∵（k a +b ）∥（a -3b ），∴（k-3）×（-4）-10×（2k+2）=0.解得k=31-， 此时k a +b =（31--3，32-+2）=（34,310-）=31-（10，-4）=31-（a -3b ）. ∴当k=31-时，k a +b 与a -3b 平行并且反向. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列选项中所给向量共线的有( )A.(1，5)，(5，-5)B.(2，-3)，(21,43-) C.(1，0)，(0，1) D.(1，-3)，(8，21) 解析：由平面向量共线的条件，只需将所给坐标代入公式，看“x 1y 2-x 2y 1=0”是否成立即可. 答案：B2.与a=(12,5)平行的单位向量为( ) A.(135,1312-) B.(135,1312--) C.(135,1312)或(135,1312--) D.(±1312,±135) 解析：利用平行与单位向量两个条件，即可求得.答案：C3.已知|a |=10,b =(3,4),a ∥b ,则向量a =_______________.解析：首先设a =(x,y)，然后利用|a |=10,a ∥b ,列出含x 、y 的两个等式解出x 、y. 答案：(6，8)或(-6，-8)4.平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).(1)求3a +b -2c ；(2)求满足a =m b +n c 的实数m 和n ；(3)若(a +k c )∥(2b -a )，求实数k ；(4)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，求d .解：（1）3a +b -2c =3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).（2）∵a =m b +n c ,m 、n∈R ，∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+-.98,95.22,34n m n m n m 解得 （3）∵(a +k c )∥(2b -a )且a +k c =(3+4k,2+k)2b -a =(-5,2)，∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. ∴k=1316-. （4）∵d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4),且(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，∴⎩⎨⎧=-+-=---.1)1()4(,0)1(2)4(422y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.5525,55205525,5520y x y x 或 ∴d =(5525,5520++)或d =(5525,5520--). 5.已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）且a ≠0，b ≠0，ab .求证：a +b a -b . 证明：∵a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a -b =（x 1-x 2，y 1-y 2），假设a +b ∥a -b ，则（x 1+x 2）（y 1-y 2）-（y 1+y 2）（x 1-x 2）=0，即x 1y 1+x 2y 1-x 1y 2-x 2y 2-x 1y 1-x 1y 2+x 2y 1+x 2y 2=0，2（x 2y 1-x 1y 2）=0，x 1y 2-x 2y 1=0.∵a ≠0，b ≠0，∴a ∥b 与已知矛盾，故a +b a -b .30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知A 、B 、C 三点共线，且A （3，-6）、B （-5，2），若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A.-13B.9C.-9D.13解析：设C （6，y ），则∥. 又AB =（-8，8），=（3，y+6），∴-8（y+6）-3×8=0.∴y=-9.答案：C2.与a=（-5，4）不平行的向量是( )A.（-5k ，4k ）B.（kk 4,5-） C.（-10，2） D.（5k ，-4k ）解析：∵A、B 、D 都满足x 1y 2-x 2y 1=0,∴选C.答案：C3.已知点A 、B 的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p 的坐标为（2k-1，7），且p ∥AB ，则k 的值是( ) A.109- B.1019 C.1019- D.109 解析：∵A（2，-2），B （4，3），∴AB =（2，5）.又p∥，∴14-5（2k-1）=0，即k=1019. 答案：B4.若a =（3，4），b ∥a 且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b =_____________. 解析：∵b =（x ，3x ）-（1，2）=（x-1，3x-2），且b ∥a ，∴3（3x-2）-4（x-1）=0.∴x=52. ∴b =（54,53--）. 答案：（54,53--） 5.已知点M （x ，y ）在向量OP =（1，2）所在的直线上，则x 、y 所满足的条件为______________. 解析：∵M 在OP 所在的直线上，∴OM ∥OP . 又OM =（x ，y ），=（1，2），∴2x -y=0，即y=2x.答案：y=2x6.若a =（-1，x ）与b =（-x ，2）共线且方向相同，则x=______________.解析：∵a 与b 共线，-2+x 2=0，∴x=±2. 当x=2时，a =（-1，2），b =（2-，2）=)2,1(2-， ∴a 与b 同向.当x=2-时，a =（-1，2-），b =（2，2） =2（1，2）=2-（-1，2-）， ∴a 、b 反向. 答案：27.已知两点A （1，1）、B （4，5），则与AB 共线的方向向量e 的坐标是________________. 解析：由单位向量的定义和共线向量定理，知AB 的单位向量e =λAB ，所以|e |=|λ||AB |.所以|λ||AB .另外所求向量e 受两个条件约束，其一是单位向量，即|e |=1，其二是与AB 共线，即AB =μe .由此可建立e 的坐标的方程组，得解法二.解法一：由题意知e ||AB又=（3，4），故e 的坐标为（54,53）或（54,53--）. 解法二：设e =（x ，y ），则由题意可得x 2+y 2=1. ①又e 与AB 共线，故存在实数μ使AB =μe ，即⎩⎨⎧==,4,3y x μμ消去μ，得y=x 34.代入①可得e 的坐标为（54,53）或（54,53--）. 答案：（54,53）或（54,53--） 8.已知a =（3，2），b =（2，-1），若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，求λ的值. 解：λa +b =λ（3，2）+（2，-1）=（3λ+2，2λ-1），a +λb =（3，2）+λ（2，-1）=（3+2λ，2-λ）.由题意知（3λ+2）（2-λ）-（3+2λ）（2λ-1）=0，化简得λ2=1，即λ=±1.9.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A （1，0）、B （4，3）、C （2，4）、D （0，2）.试证明四边形ABCD 是梯形.证明：∵=（4，3）-（1，0）=（3，3），=（0，2）-（2，4）=（-2，-2）， ∴AB =23-，故AB 与共线，即AB ∥.∴AB∥CD. ∵AD =（0，2）-（1，0）=（-1，2），=（2，4）-（4，3）=（-2，1），又∵（-1）×1-2×（-2）≠0，∴AD 不平行于BC.∴四边形ABCD 是梯形.10.已知A 、B 、C 三点坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），=31AC 31BC . 求证：∥.证明：设E 、F 两点坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）. ∵AC =（2，2），BC =（-2，3），=（4，-1）， ∴=31=（32,32），BF =31=(32-,1), =（x 1，y 1）-（-1，0）=（32,32）， =（x 2，y 2）-（3，-1）=（1,32-）.∴（x 1，y 1）=（32,32）+（-1，0）=（32,31-）， （x 2，y 2）=（32-，1）+（3，-1）=（37，0）. ∴EF =（x 2，y 2）-（x 1，y 1）=（37，0）-（31-，32)=(32,38-). ∵4×（32-）-（-1）×38=0， ∴EF ∥AB .。

学业分层测评(二十) 向量平行的坐标表示(建议历时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b ＝________. 【解析】 ∵a∥b ，∴m ＋4＝0， ∴m ＝－4， ∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)， ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 【答案】 (－4，－8)2．已知a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x ＝________.【解析】 设a ＝λb ，则(－1，x )＝(－λx,2λ)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λx ，x ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，λ＝－22.又a 与b 方向相同，则λ＞0，所以λ＝22，x ＝ 2. 【答案】23．若A (－1,2)，B (3,1)，C (－2，m )，三点共线，则m ＝________. 【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线， AB →＝(4，－1)，BC →＝(－5，m －1)， ∴4(m －1)＝－5×(－1)， ∴m ＝94.【答案】 944．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 【解析】 a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)， ∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.【答案】 55．(2016·南通高一检测)若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a∥b ，则tan α＝________.【解析】 ∵a∥b ，∴2cos α＝sin α， ∴tan α＝2. 【答案】 26．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.【解析】 设B (x ，y )，则由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝3，－2＋y 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝4，∴AB →＝(4,6)． 又AB →∥a ，∴4λ＝6， ∴λ＝32.【答案】 327．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若a m ＋b n 与m －2n 共线，则ab等于________. 【导学号：06460059】【解析】 a m ＋b n ＝(2a,3a )＋(－b,2b )＝(2a －b,3a ＋2b )，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵a m ＋b n 与m －2n 共线，∴b －2a －12a －8b ＝0，∴a b ＝－12.【答案】 －128．已知两点M (7,8)，N (1，－6)，P 点是线段MN 的靠近点M 的三等分点，则P 点的坐标为________．【解析】 设P (x ，y )，如图：∴MN →＝3MP →，∴(－6，－14)＝3(x －7，y －8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6＝3x －7，－14＝3y －8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝103.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫5，103二、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解】 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．如图2­3­19所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．图2­3­19【解】 设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →＝(4,0)． 由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)． 又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)，由于CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，解之得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫207，167，∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫277，167. 能力提升]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，且(a ＋λb )∥c ，则λ等于________．【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)， 因为(a ＋λb )∥c ，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝12.【答案】 122．设a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )，且知足a ∥b 的实数x 存在，则实数a 的取值范围是________．【解析】 a ∥b ，∴6(x 2－2x )－2×3a ＝0，即a ＝x 2－2x ， ∴a ＝(x －1)2－1≥－1. 【答案】 －1，＋∞)3．已知向量OA →＝(1,3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能组成三角形，则实数m 应知足的条件为________．【解析】 由A ，B ，C 能组成三角形知，A ，B ，C 三点不共线， ∴AB →与AC →不共线， ∴AB →≠λAC →(λ为实数)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1，－4)，AC →＝OC →－OA →＝(m ，m －5)， ∴(1，－4)≠λ(m ，m －5)， 即1λm ≠－4λm －5，∴m ≠1.【答案】 m ≠14．如图2­3­20，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA ，OB 别离相交于点M ，N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →(0＜x ＜1)．图2­3­20(1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f x＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明．【解】 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →，则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA →＝－(1＋x )OA →＋OB →.又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即y ＝f (x )＝xx ＋1(0＜x ＜1)．(2)F (x )在(0,1)上单调递减，证明如下： 设0＜x 1＜x 2＜1，则F (x 1)＝x 1＋1x 1＋x 1＝1x 1＋x 1＋1，F (x 2)＝1x 2＋x 2＋1，∴F (x 2)－F (x 1)＝1x 2－1x 1＋(x 2－x 1)＝x 1－x 2x 1x 2＋x 2－x 1＝x 2－x 1x 1x 2－1x 1x 2.又0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2－1＜0， ∴F (x 2)－F (x 1)＜0，即F (x 2)＜F (x 1)， ∴F (x )在(0,1)上为减函数.。

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2。

3。

1平面向量基本定理课后篇巩固探究A组基础巩固1。

在正方形ABCD中，的夹角等于（)A。

45°B.90°C.120°D。

135°解析如图,将平移到,则的夹角即为的夹角,且夹角为135°。

答案D2。

设向量e1与e2不共线，若3x e1+（10—y)e2=(4y-7)e1+2x e2，则实数x，y的值分别为() A.0,0 B.1，1 C。

3,0 D.3，4解析因为向量e1与e2不共线,所以答案D3.如图,e1，e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为（)A。

3e1—2e2B。

-3e1—3e2C。

3e1+2e2D。

2e1+3e2答案C4.若点D在△ABC的边BC上，且=4=r+s，则3r+s的值为（）A。

B.C.D。

解析∵=4=r+s，∴)=r+s，∴r=，s=-，∴3r+s=3×.答案C5。

如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ,Ⅳ（不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足()A。

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2)D ．(－4，－8)解析：选D.AB →＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D.因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3，1)，a －2b ＝(x －6，4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.4．已知A ，B ，C 三点共线，且A (－3，6)，B (－5，2)，若C 点的纵坐标为6，则C 点的横坐标为( )A ．－3B ．9C ．－9D ．3解析：选A.设C (x ，6)， 因为AB →∥AC →，又AB →＝(－2，－4)，AC →＝(x ＋3，0)， 所以－2×0＋4(x ＋3)＝0. 所以x ＝－3.5．已知平面向量a ＝(x ，1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C.因为a ＝(x ，1)，b ＝(－x ，x 2)， 所以a ＋b ＝(0，1＋x 2)．因为a ＋b 的横坐标为0，纵坐标为1＋x 2>0， 所以a ＋b 平行于y 轴．6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3，1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________．解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则AB →＝(4，6)． 又AB →与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，则λ＝32.答案：328．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝B ．由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM →，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线．解：由已知可得M (2.5，2.5)，N (1.5，0.5)， 所以AM →＝(2.5，2.5)，CN →＝(－2.5，－2.5)，又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以AM →，CN →共线．10．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1，3)，B (2，－2)，C (4，－1)． (1)若AB →＝CD →，求点D 的坐标；(2)设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． 解：(1)设D (x ，y )，由AB →＝CD →，得(2，－2)－(1，3)＝(x ，y )－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x －4，y ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y ＋1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6. 所以点D 的坐标为(5，－6)．(2)因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1，3)＝(1，－5)，b ＝BC →＝(4，－1)－(2，－2)＝(2，1)，所以k a －b ＝k (1，－5)－(2，1)＝(k －2，－5k －1)，a ＋3b ＝(1，－5)＋3(2，1)＝(7，－2)．由k a －b 与a ＋3b 平行，得(k －2)×(－2)－(－5k －1)×7＝0. 所以k ＝－13.[B 能力提升]1．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B ．若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．2．已知点A (－1，6)，B (3，0)，在直线AB 上有一点P ，且|AP →|＝13|AB →|，则点P 的坐标为________．解析：设P 点坐标为(x ，y )．当AP →＝13AB →时，则(x ＋1，y －6)＝13(4，－6)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝43，y －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝4，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.当AP →＝－13AB →时，同理可得，P 点的坐标为(－73，8)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8 3．已知四点A (x ，0)，B (2x ，1)，C (2，x )，D (6，2x )． (1)求实数x ，使两向量AB →，CD →共线；(2)当两向量AB →∥CD →时，A ，B ，C ，D 四点是否在同一条直线上？ 解：(1)AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x )． 因为AB →，CD →共线，所以x 2－4＝0， 即x ＝±2时，两向量AB →，CD →共线．(2)当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2，1)， 则AB →∥BC →，此时A ，B ，C 三点共线， 又AB →∥CD →，从而，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上． 当x ＝2时，A ，B ，C ，D 四点不共线．4．(选做题)平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标． 解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →， 所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )， 则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)， 所以x ＝－5，y ＝－2，所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →，所以4CE →＝ED →， 所以4CE →＋4ED →＝5ED →， 所以4CD →＝5ED →.设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－165，y ′＝－115.所以E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－115.。

平面向量基本定理[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析：∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，故不能作为基底． 其余三组均不共线． 答案：C2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( ) A ．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对C ．若有实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2不一定存在解析：选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1，e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1，λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确． 答案：C3．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12bB.a2－b C ．b ＋a2D ．b －12a解析：AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选 D.答案：D4．若P 为△OAB 的边AB 上一点，且△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，则有( ) A.OP →＝OA →＋2OB →B.OP →＝2 OA →＋OB →C.OP →＝23OA →＋13OB →D.OP →＝13OA →＋23OB →解析：因为△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，所以AP →＝13AB →，所以OP →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OP →＝23OA →＋13OB →.答案：C5．已知|OA →|＝2，|OB →|＝3，∠AOB ＝120°，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A.32B. 3C.233D.32解析：如图，过点C 作CM ∥OB ，∥OA ， 则OC →＝OM →＋ON →，设|ON →|＝x ，则|OM →|＝2x ， OC →＝2x ·OA →|OA →|＋x ·OB→|OB →|＝xOA →＋33xOB →，所以m ＝x ，n ＝3x 3，所以m n ＝x3x3＝ 3. 答案：B6．若|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与b 的夹角为________． 解析：如图，OA →＝a ，OB →＝b ，BA →＝a －b ， 因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以OA ＝OB ＝AB ， 所以a 与b 的夹角为∠AOB ＝60°. 答案：60°7.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，得a ＝23(2 AF →－AE →)，b ＝23(2 AE →－AF →)，又因为AC →＝a ＋b ，所以AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43.答案：438．如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________.解析：AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b.答案：34a ＋34b9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点， 且BM →＝13BC →，→＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝→－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解析：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.[B 组 能力提升]1．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ，μ的值分别是( ) A.16，13 B.13，16 C.12，13D.14，16解析：AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)，因为AH ⊥BC ，∠ABC ＝60°， 所以BH ＝1，所以BH ＝13BC ，故AM →＝12AB →＋12BH →＝12AB →＋16BC →＝12AB →＋16(AC →－AB →)＝13AB →＋16AC →， 故λ＝13，μ＝16.答案：B2．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →，所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λB.答案：D3．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°解析：∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c ， ∴如图所示就是符合题设条件的向量， 易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形． ∴a 与b 的夹角为120°. 答案：B4．已知e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，且AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，如果A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．解析：BD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.答案：－85．如图所示，PQ 过△AOB 的重心G ，设OA →＝a ， OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b.求证：1m ＋1n＝3.解析：连接OG 并延长，交AB 于M (图略)， 则M 是AB 的中点，由G 为△OAB 的重心得：OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， QG →＝OG →－OQ →＝13(a ＋b )－n b ，＝13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n b. ∵P ，G ，Q 三点共线， ∴PG →＝λQG →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n λb.∵a ，b 不共线，∴由平面向量基本定理得： ⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝λ3，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n λ⇒m ＋n ＝3mn ，∴1m ＋1n＝3.6．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及线段AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动， 且OP →＝xOA →＋yOB →. (1)求x 的取值X 围；(2)当x ＝－12时，求y 的取值X 围．解析：(1)因为OP →＝xOA →＋yOB →，以OB 和OA 的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP 为此平行四边形的对角线，当OP 长度增大且靠近OM 时，x 趋向负无穷大，所以x 的取值X 围是(－∞，0)．(2)如图所示，当x ＝－12时，在OA 的反向延长线取点C ，使OC ＝12OA ，过C 作CE ∥OB ，分别交OM 和AB 的延长线于点D ，E ，则CD ＝12OB ，CE ＝32OB ，要使P 点落在指定区域内，则P 点应落在DE 上， 当点P 在点D 处时OP →＝－12OA →＋12OB →，当点P 在点E 处时OP →＝－12OA →＋32OB →，所以y 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.。

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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。

2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。

2.3.2 平面向量的坐标运算5分钟训练（预习类训练,可用于课前） 1.在△ABC 中，设AB =m ，BC =n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______,AE =___________.思路解析:由D 、E 是边BC 上的三等分点，可得BD =31BC ,BE =32BC ，转化为已知向量即可. 答案:m +31n m +32n 2.下列所给向量共线的有( )A.(1，5)，(5，-5)B.(2，-3)，(21,-43) C.(1，0)，(0，1) D.(1，-3)，(8，21)思路解析:本题考查平面向量共线的条件，只需将所给坐标代入公式，看“x 1y 2-x 2y 1=0”是否成立即可. 答案:B10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.已知向量a =(1,2),b =(2,3),c =(3,4)且c=λ1a +λ2b ,则λ1、λ2的值分别为( ) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 思路解析:因为c =λ1a +λ2b ,则有(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),∴⎩⎨⎧=+=+,432,322121λλλλ解得λ1=-1,λ2=2.答案:D2.已知|a |=10,b =(3,4),a ∥b ,则向量a =_____________.思路解析:首先设a =(x,y)，然后利用|a |=10,a ∥b ,列出含x 、y 的两个等式，解出x 、y. 答案:(6,8)或(-6,-8)3.已知点A(3，1)、B(0，0)、C(3，0).设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC =λCE ,其中λ等于( )A.2B.21 C.-3 D.-31思路解析:∵AE 为∠BAC 的平分线，∴.212||||||||===AC AB CE BE∴BE =-2CE .∴=BE -=-2-=-3.答案:C4.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)、B(-1,3)，若点C 满足OC=αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为_________________.思路解析:将点C 所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C 的轨迹方程. 答案:x+2y-5=0 5.用坐标法证明AB +BC +CA =0.思路解析:本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算. 证明:设A(a 1,a 2)、B(b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则AB =(b 1-a 1,b 2-a 2)，BC =(c 1-b 1,c 2-b 2)，CA =(a 1-c 1,a 2-c 2).∴AB ++=(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0)=0. ∴AB +BC +CA =0.6.平面内给定三个向量:a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1). (1)求3a +b -2c ；(2)求满足a =m b +n c 的实数m 和n ； (3)若(a +k c )∥(2b -a )，求实数k ；(4)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，求d .思路解析:根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解.解:(1)3a +b -2c =3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)∵a =m b +n c ,m 、n ∈R ，∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+-.98,95,22,34n m n m n m 解得(3)∵(a +k c )∥(2b -a )且a +k c =(3+4k,2+k)2b -a =(-5,2)，∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. ∴k=-1316. (4)∵d -c =(x-4,y-1)，a +b =(2,4)，且(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧=-+-=---.5525,55205525,5520.1)1()4(,0)1(2)4(422y x y x y x y x 或解得 ∴d =(5525,5520++)或d =(5525,5520--). 志鸿教育乐园聪明的学生物理课上，老师正在讲振动和共鸣，为了让学生更好地理解它们的物理原理，老师提问道：“如果我朝鱼塘扔一块石头，会发生什么现象？……” 学生异口同声地回答：“罚款5元！” 30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.在△ABC 中，已知A(2，3)、B(8，-4),G(2，-1)是中线AD 上的一点，且|AG |=2|GD |，则点C 的坐标为( )A.(-4，2)B.(-4，-2)C.(4，-2)D.(4，2) 思路解析:设C 点坐标为(x ，y)，由于G 是△ABC 的重心，则2=382x++，∴x=-4. -1=343y +-，∴y=-2.答案:B2.已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，-6)、B(-5，2)，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A.-13B.9C.-9D.13 思路解析:设C(6，y)，则AB ∥.又AB =(-8，8)，AC =(3，y+6)，∴-8(y+6)-3×8=0.∴y=-9. 答案:C3.已知A(-2，4)、B(3，-1)、C(-3，-4)且CM=3CA ，CN=2CB ，试求点M 、N 和MN 的坐标.解:∵A(-2，4),B(3，-1),C(-3-4)，∴CA =(-2+3，4+4)=(1，8)， CB =(3+3，-1+4)=(6，3).于是=3=3(1，8)=(3，24)，CN =2CB =2(6，3)=(12，6).设M(x ，y)，则有=(x+3，y+4)，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+,20,0,244,33y x y x 解得 即M 点的坐标为(0，20).同理,可求得N(9，2). 因此=(9-0，2-20)=(9，-18).故所求的点M 、N 的坐标分别为(0，20)，(9，2)，的坐标为(9，-18). 4.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(+||AC AC )，λ∈[0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心思路解析:此题之所以答得不好，主要原因是很多考生看不明白用向量表述的问题，理不清题意.实际上,||AB AB 与||AC AC分别表示与AB 、AC 同向的单位向量， 设AP1=λ||AB AB,AP 2=λ||AC AC,则当λ=0时，P 与A 重合；当λ＞0时AP 为菱形AP 1PP 2的对角线，故点P 在∠BAC 的平分线或其延长线上.答案:B5.若a =(3，4)，b ∥a 且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x)，则b =___________. 思路解析:∵b =(x ，3x)-(1，2)=(x-1，3x-2)，且b ∥a ， ∴3(3x-2)-4(x-1)=0.∴x=52. ∴b=(-53，-54).答案:(- 53，-54)6.已知点M(x ，y)在向量OP=(1，2)所在的直线上，则x 、y 所满足的条件为________.思路解析:∵M 在所在的直线上，∴OM ∥OP .又OM=(x ，y)，=(1，2)，∴2x-y=0，即y=2x. 答案:y=2x7.如图2-3-7所示，已知△ABC 中A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，NM 与AD 交于点F.求DF.图2-3-7解:∵A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)， ∴AB =(3-7，5-8)=(-4，-3)，AC =(4-7，3-8)=(-3，-5).又∵D 是的中点，∴AD =21(AB +AC )=(-27，-4).又∵M 、N 分别为AB 、AC 的中点， ∴F 为AD 的中点. ∴DF =-21AD =(47，2).8.已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若AP =AB +λAC (λ∈R )，则λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上,点P 在第三象限内？ 解:设点P 的坐标为(x ，y)，则AP =(x ，y)-(2，3)=(x-2，y-3)，AB +λ=(5，4)-(2，3)+λ［(7，10)-(2，3)］=(3，1)+λ(5，7)=(3，1)+(5λ，7λ)=(3+5λ，1+7λ). ∵AP =AB +λAC ，∴(x-2，y-3)=(3+5λ，1+7λ).∴⎩⎨⎧+=+=∴⎩⎨⎧+=-+=-.74,55.713,532λλλλy x y x ∴P 点的坐标为(5+5λ，4+7λ).(1)若点P 在一、三象限的角平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=21.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎨⎧<+<+,074,055λλ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<.74,1λλ∴λ＜-1，即只要λ＜-1时，点P 就在第三象限内.9.如图2-3-8所示,已知平面上三点A 、B 、C 的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求点D 的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-3-8思路解析:本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情形分别求解. 解:(1)当平行四边形为ABCD 时，因为AD =DC，所以(4，1)=(x+2，y-1)，所以x=2，y=2，即D(2，2).(2)当平行四边形为ACDB 时，因为BA =，所以(-1，-2)=(3-x ，4-y)，所以x=4，y=6，即D(4，6). (3)当平行四边形为DACB DA =BC ，所以(-2-x ，1-y)=(4，1)，所以x=-6，y=0，即D(-6，0). 10.已知向量AB =(6，1)，BC =(x ，y)，CD =(-2，-3)，当BC ∥DA 时，求实数x 、y 应满足的关系. 解:DA =-AD =-(AB +BC +CD )=-［(6，1)+(x ，y)+(-2，-3)］ =(-x-4，-y+2)，BC =(x ，y).当∥DA 时，x(-y+2)-y(-x-4)=0，化简得y=-21x. 所以当BC ∥DA 时，x 、y 应满足y=-21x.11.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解法一:k a +b =k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)， a -3b =(1，2)-3(-3，2)=(10，-4).当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ 使k a +b =λ(a -3b ).由(k-3，2k+2)=λ(10，-4)，∴⎩⎨⎧-=+=-.422,103λλk k解之,得k=-31，λ=-31. 当k=-31时，k a +b 与a -3b 平行，这时k a +b =-31a +b . ∵λ=-31＜0，∴-31a +b 与a -3b 反向.解法二:由解法一知k a +b =(k-3，2k+2)， a -3b =(10，-4)，∵(k a +b )∥(a -3b )， ∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0.解得k=-31，此时k a +b =(-31-3，-32+2)=(-310，34)=-31(10，-4)=-31(a -3b ). ∴当k=-31时，k a +b 与a -3b 平行并且反向.12.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A(1，0)、B(4，3)、C(2，4)、D(0，2).证明四边形ABCD 是梯形. 证明:∵AB =(4，3)-(1，0)=(3，3)，CD =(0，2)-(2，4)=(-2，-2)，∴AB =-23CD ，故AB 与CD 共线，即AB ∥CD .∴AB ∥CD. ∵AD =(0，2)-(1，0)=(-1，2)，BC =(2，4)-(4，3)=(-2，1)，又∵(-1)×1-2×(-2)≠0， ∴AD 不平行于BC. ∴四边形ABCD 是梯形.13.(2005 上海)已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,AB =2i +2j (i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x 2-x-6. (1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)>g(x)时,求函数)(1)(x f x g +的最小值. 解:(1)由已知得A(-kb,0)、B(0,b),则AB ={kb ,b},于是kb=2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由f(x)>g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0,得-2<x<4,21225)(1)(2+++=+--=+x x x x x x f x g -5,由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立. ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3.。

一、选择题1．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）ABC ．12D ．232．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）AB．C ．10D ．203．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－14．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．35．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（）A ．B．2 CD6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为768．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．39．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b +B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +10．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4511．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( ) A ．3-B ．12-C ．12D ．3 12．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．0,3⎡⎤⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣ C ．3,3⎡⎤⎣⎦D ．[]0,3二、填空题13．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，则AD AE ⋅的最大值为______．14．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，14DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为______.15．已知向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则21x y+的最小值是__________. 16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 17．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．18．已知向量()()2,3,1,2==-a b ，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于______. 19．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，1AD =，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的取值范围为_________．20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2b 的最大值是_______.三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.22．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.23．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值.24．如图，在正ABC ∆中，2AB =，P ，E 分别是BC 、CA 边上一点，并且3CA EA =，设BP tBC =，AP 与BE 相交于F ．（1）试用AB ，AC 表示AP ； （2）求·AP BE 的取值范围．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值. 26．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程； （2）若D 在线段BC 上，且2ABDACDSS=，求AD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果. 【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B AC y A =+-≥-=+=，即23AG ≥，当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.2．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．3．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0）， 此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

高中数学第2章平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算优化训练苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算优化训练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

3。

2 平面向量的坐标运算5分钟训练（预习类训练,可用于课前) 1。

在△ABC 中，设AB =m ,BC =n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______，AE =___________。

思路解析:由D 、E 是边BC 上的三等分点,可得BD =31BC ，BE =32BC ，转化为已知向量即可.答案：m +31n m +32n2。

下列所给向量共线的有（ ）A.（1，5)，(5,-5） B 。

(2,-3），(21，—43）C 。

（1，0)，(0，1） D.(1,-3)，（8，21）思路解析：本题考查平面向量共线的条件，只需将所给坐标代入公式，看“x 1y 2-x 2y 1=0”是否成立即可. 答案:B10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1。

已知向量a =(1，2）,b =（2,3)，c =(3,4)且c=λ1a +λ2b ，则λ1、λ2的值分别为( ） A.-2，1 B.1，—2 C.2，-1 D 。

—1,2 思路解析:因为c =λ1a +λ2b ，则有（3,4)=λ1(1，2)+λ2（2，3）=（λ1+2λ2,2λ1+3λ2）， ∴⎩⎨⎧=+=+,432,322121λλλλ解得λ1=-1,λ2=2. 答案:D2。

2.3.4平面向量共线的坐标表示课后篇巩固探究1.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于()A.-1B.-2C.-1或3D.0或-2解析由已知得-(2m+3)+m2=0,∴m=-1或m=3.答案C2.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()A.a-c与b共线B.b+c与a共线C.a与b-c共线D.a+b与c共线解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).∴b-c=a.∴a与b-c共线.答案C3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量m a+n b共线,则等于()A.-2B.2C.-D.解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),m a+n b=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量m a+n b共线,所以,解得14m=-7n,=-.答案C4.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于()A.45°B.30°C.60°D.30°或60°解析由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,∵θ为锐角,∴sin θ=.∴θ=45°.答案A5.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于()A.2B.C.-3D.-解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,∴|EC|=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案C6.(2018全国Ⅲ高考)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=. 解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.答案7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=.解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).答案(14,7)8.导学号68254080已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.解析=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n, ②解①②组成的方程组得所以m+n=9或m+n=.答案9或9.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x的值,使向量共线;(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上? 解(1)=(x,1),=(4,x).∵,∴x2=4,x=±2.(2)由已知得=(2-2x,x-1),当x=2时,=(-2,1),=(2,1),∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),∴,此时A,B,C三点共线.又,∴A,B,C,D四点在一条直线上.综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.10.导学号68254081如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.解因为(0,5)=,所以C.因为(4,3)=,所以D.设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①因为,所以x-4=0,即7x-16y=-20.②联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.11.如图,已知四边形ABCD是正方形,,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y)(x>0),则=(x,y-1),=(1,-1).∵,∴x×(-1)-1×(y-1)=0.①又||=||,∴x2+y2=2.②由①②联立,解得点E的坐标为.设点F的坐标为(x',1),由=(x',1)和共线,得x'-=0,∴x'=-(2+),∴点F的坐标为(-2-,1).∴=(-1-,0),, ∴||=1+=||,即AF=AE.。

2021年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标课后导练北师大版必修基础达标1.已知a=(1,1),b=(2,3),则2a-b的坐标是( )A.（0，-1）B.（0，1）C.（-1，0）D.（1，0）解析:2a-b=2(1,1)-(2,3)=(2，2)-(2，3)=（0，-1）.答案：A2.(浙江,文4) 已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于( )A. B. C. D.解析：∵a∥b,∴3cosα-4sinα=0,∴tanα=.答案：A3.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(,)解析：验证找出不共线的一组向量.答案：B4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b解析：本题主要考查平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法. 答案：B5.已知A（1，-3），B（8，）且A、B、C三点共线，则C点的坐标是（）A.（-9，1）B.（9，-1）C.（9，1）D.（-9，-1）解析：设C（x,y）,则=（7，），=（x-1,y+3）.∵A、B、C三点共线，∴∥，∴7（y+3）=(x-1),7x-14y-49=0.只有C满足.答案：C6.(xx上海，文6) 已知点A（-1，-5）和向量a=(2,3)，若=3a,则点B的坐标为______. 解析：设B（x,y）则=（x+1,y+5）,∵=3a ，∴(x+1,y+5)=3(2,3),∴∴B 的坐标（5，4）.答案：（5，4）7.已知三个向量=（k,12）,=(4,5),=(10,k)，且A 、B 、C 三点共线，则k=________. 解析:由A 、B 、C 三点共线，可得=λ,即（4-k,-7）=λ(6,k -5).于是由方程组 利用代入法解得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=.67,11.1,2λλk k 或答案：-2或118.已知a =(10,-4),b =(3,1),c =(-2,3)，试用b ,c 表示a .解析:设a =λb +μc (λ,μ∈R ),则（10，-4）=λ(3,1)+μ(-2,3)=(3λ,λ)+(-2μ,3μ).(3λ-2μ,λ+3μ).∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=-.2,243,1023μλμλμλ∴a =2b -2c .9.如右图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6）.求AC 和OB 交点P 的坐标.解析：设P （x,y ）,则=（x,y ）,=(4,4),∵,共线，∴4x -4y=0.又=（x-2,y-6）,=(2,-6),且与共线，∴-6（x-2）-2(y-6)=0.于是可解得x=3,y=3,即P （3，3）.10.已知a =(1,2),b =(x,1),μ=a +2b ,v =2a -b 且μ∥v,求x.解析：μ=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2-x,3),μ∥v ,存在λ∈R ,使μ=λv .即（2x+1,4）=λ(2-x,3)=((2-x)λ,3λ).∴∴x=.综合运用11.已知两点A （2，3），B （-4，5），则与共线的单位向量是( )A.（-6，12）B.（-6，2）或（6，-2）C.（）D.（）或（）解析：=(-6，2)， ∴与共线的单位向量是±)1022,1026(102||-±=±=ABAB AB∴单位向量为（）或（）.答案：D12.已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正向上，则向量2+3+的坐标为____________.解析:由已知，有A （0，0），B （1，0），C （1，1），D （0，1），∴=（1，0），=（0，1），=（1，1），则有2+3+=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）. 答案：（3，4）13.已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且=，又点P 是线段OB 的中点，则B 的坐标是______________.解析：由已知，得=（6，3），∵=，∴=，∴==（2，1），=2=（4，2）.答案：（4，2）14.如右图，已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，且MN 与AD 交于F 点，则的坐标为_________.解析：由已知=（-4-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5），又∵D 是 BC 的中心，∴=（+）=（-4-3，-3-5）=（-3.5，-4）.又∵M、N 分别为AB 、AC 的中点，∴F 为AD 的中点.∴==-=-（-3.5，-4）=（1.75，2）.答案：（1.75,2）15.已知：a 、c 是同一平面内的两个向量，其中a =(1,2).若|c |=,且c ∥a ,求c 的坐标解析：设c =(x,y),∵|c |=,∴,即x 2+y 2=20.①∵c ∥a ,a =(1,2),∴2x -y=0,即y=2x.②联立①②得∴c=(2,4)或（-2，-4）.拓展探究16.已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及=+t ，试问：（1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 解析：（1）=（3，3），=+t=（1+3t,2+3t）.若P在x轴上，则2+3t=0，解得t=-;若P在y轴上，则1+3t=0，解得t=-;若P在第二象限，则解得＜t＜.(2)∵=(1,2),=+=(3-3t,3-3t),若四边形OABP为平行四边形，则=，而无解，∴四边形OABP不能构成平行四边形.。

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.3.3 平面向量的坐标运算应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且A (2，3)，B (4，2)，则AB →可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C.记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →＝2i －j . 2．已知向量a ＝(1，2)，2a ＋b ＝(3，2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1，2) C ．(5，6)D ．(2，0)解析：选A.b ＝(3，2)－2a ＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)． 3．已知向量AB →＝(2，4)，AC →＝(0，2)，则12BC →＝( )A ．(－2，－2)B ．(2，2)C ．(1，1)D ．(－1，－1)解析：选D.12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设点D (m ，n )，则由题意得(4，3)＝2(m ，n －2)＝(2m ，2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72，故选A.5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，c ＝(3，4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2，1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1，2解析：选D.因为c ＝λ1a ＋λ2b ，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.6．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 解析：设O 为坐标原点，因为OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)7．已知两点M (3，2)，N (－5，－5)，MP →＝12MN →，则点P 的坐标是________．解析：设O 为坐标原点． 因为MP →＝12MN →，OP →－OM →＝MP →，所以OP →＝OM →＋12MN →＝(3，2)＋12(－8，－7)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32. 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－328．已知A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．解析：因为AP →＝AB →＋λAC →，所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC → ＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)， 由5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12.答案：129．已知长方形ABCD 的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试求AC →和BD →的坐标．解：由长方形ABCD 知，CB ⊥x 轴，CD ⊥y 轴， 因为AB ＝4，AD ＝3， 所以AC →＝4i ＋3j ， 所以AC →＝(4，3)．又BD →＝BA →＋AD →＝－AB →＋AD →， 所以BD →＝－4i ＋3j ， 所以BD →＝(－4，3)．10．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1，3)，c ＝(6，5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．解：(1)p ＝(2，－4)＋2(－1，3)－(6，5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )， 则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3) ＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15B ． [B 能力提升]1．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝ab ，那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－45C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：选A.设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45.2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)3．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3，1)． 同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.4．(选做题)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标；(2)若OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，试求m －n . 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2，2)， 故OP →＝(2，2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． 所以AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，AC →＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x 0，y 0)＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.。

4．1 平面向量的坐标表示 4．2 平面向量线性运算的坐标表示4．3 向量平行的坐标表示, )1．问题导航(1)相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？(2)求向量AB →的坐标需要知道哪些量？(3)两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)平行的条件x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＝y 1y 2有什么区别吗？ 2．例题导读P 88例1.通过本例学习，体会向量坐标表示的意义，学会用坐标表示已知向量． 试一试：教材P 91习题2－4 A 组T 4你会吗？P 90例2.通过本例学习，熟悉平面向量坐标运算公式，掌握平面向量的坐标运算． 试一试：教材P 91习题2－4 A 组T 1你会吗？P 91例4.通过本例学习，学会利用平面向量平行的坐标表示解决三点共线问题． 试一试：教材P 92习题2－4 A 组T 6你会吗？1．平面向量的坐标表示(1)把一个向量分解为互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．(2)在平面直角坐标系中，如图，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O 为起点作OP →＝a .由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得OP →＝x i ＋y j ，因此a ＝x i ＋y j ．把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．(3)几个特殊向量的坐标：i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0)． (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差．(2)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积．(3)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标．(4)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．向量平行的坐标表示(1)设a ，b 是非零向量，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．若a ∥b ，则存在实数λ，使a ＝λb ，而用坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．若y 1≠0且y 2≠0(即向量b 不与坐标轴平行)，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2．(2)文字语言描述向量平行的坐标表示定理1 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (3)向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．( )解析：(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样． (2)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．(3)正确．因为(－4，－6)＝－2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(－4，－6)反向． 答案：(1)× (2)× (3)√2．已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(1，2) D ．(－1，－2)解析：选C.BA →＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．3．已知向量a ＝(－1，m )，b ＝(－m ，2m ＋3)，且a ∥b ，则m 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．－1或3 D ．0或－2解析：选C.由已知得－(2m ＋3)＋m 2＝0，所以m ＝－1或m ＝3.4．已知A (1，2)，B (4，5)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y －2)，PB →＝(4－x ，5－y )， 又AP →＝2PB →，所以(x －1，y －2)＝2(4－x ，5－y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（4－x ），y －2＝2（5－y ），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，所以点P 的坐标为(3，4)． 答案：(3，4)1．向量正交分解的实质向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，也是一种特殊的情形，即基底垂直的情况，单位正交基底坐标i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，零向量的坐标0＝(0，0)．2．向量的坐标与点的坐标的区别与联系 (1)区别①意义：点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关．②表示形式：如点A (x ，y )，向量a ＝(x ，y )．当向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标发生了变化．(2)联系①向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系；②把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的始点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量的坐标．3．向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算：此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用． (2)字母表示下的几何运算：此运算体系下一方面要注意运算律的应用，另一方面要注意OA →＋AB →＝OB →，OA →－OB →＝BA →等运算法则的应用．(3)坐标表示下的代数运算：此运算体系下要牢记公式，且细心运算．若已知有向线段两个端点的坐标，则应先求出向量的坐标，再进行坐标运算．4．对向量平行的三种理解(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系． (2)a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)．这是代数运算，适用于向量平行的任何情况，包含零向量的情况．(3)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)且b 1≠0，b 2≠0，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．平面向量的坐标表示已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．(链接教材P 88例1)[解] 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点坐标A (0，0)，B (2，0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，所以C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，所以AB →＝(2，0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.方法归纳(1)向量的坐标等于终点的相应坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，常常结合图形，利用三角函数的定义进行计算．1．(1)已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．(2)已知O (0，0)和A (6，3)两点，点P 在线段OA 上，且OP PA ＝12，若点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标为________．(3)如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)．所以OA →＝(23，6)．故填(23，6)．(2)如图所示，则OA →＝(6，3)，因为OP PA ＝12，所以OP OA ＝13，得OP →＝13OA →＝(2，1)，OB →＝2OP →＝(4，2)．所以点B 的坐标为(4，2)．故填(4，2)．(3)由题意知B 、D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos 120°＝－12， y 2＝sin 120°＝32， 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.平面向量线性运算的坐标表示(1)已知平面上三个点A (4，6)，B (7，5)，C (1，8)，则AB →＝________，AC →＝________，AB →＋AC →＝________，AB →－AC →＝________，2AB →＋12AC →＝________．(2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，－3)，c ＝(－3，－2)，则a －2b ＝________，(2a －b )－(b －2c )＝________．(链接教材P 90例2)[解析] (1)因为A (4，6)，B (7，5)，C (1，8)．所以AB →＝(7，5)－(4，6)＝(3，－1)；AC →＝(1，8)－(4，6)＝(－3，2)； AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)； AB →－AC →＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)；2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3，2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1. (2)由a ＝(－1，2)，b ＝(2，－3)，c ＝(－3，－2)， 得a －2b ＝(－1，2)－2(2，－3) ＝(－1－4，2＋6)＝(－5，8)．(2a －b )－(b －2c )＝2a －2b ＋2c ＝2(a －b ＋c )＝2(－1－2－3，2＋3－2)＝2(－6，3)＝(－12，6)．[答案] (1)(3，－1) (－3，2) (0，1) (6，－3) ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1 (2)(－5，8) (－12，6)方法归纳(1)向量线性运算的坐标表示，实际上是相应坐标对应实数的加、减、乘运算．若已知有向线段的两端点坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．熟练掌握公式是解题的关键．(2)若已知向量用坐标表示，则计算向量的结果仍用坐标表示．2．(1)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9) (2)已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求：①2a ＋3b ；②a －3b ；③12a －13b .解：(1)选A.2a －b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)． (2)①2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． ②a －3b ＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． ③12a －13b ＝12(－1，2)－13(2，1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23.向量共线的坐标运算(1)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(－3，x )，则 ①存在实数x ，使a ∥b ；②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b .其中，所有正确结论的序号为________．(2)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？(链接教材P 91例4)[解] (1)由a ∥b ⇔x 2＝－9无实数解，故①不对；又a ＋b ＝(x －3，3＋x )，由(a ＋b )∥a 得3(x －3)－x (3＋x )＝0，即x 2＝－9无实数解，故②不对；因为m a ＋b ＝(mx －3，3m ＋x )，由(m a ＋b )∥a 得(3m ＋x )x －3(mx －3)＝0.即x 2＝－9无实数解，故③不对；由(m a ＋b )∥b 得－3(3m ＋x )－x (mx －3)＝0，即m (x 2＋9)＝0，所以m ＝0，x ∈R ，故④正确．故填④. (2)法一：k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．即(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝(－13－3，－23＋2)＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．在本例(2)中已知条件不变，若改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b平行？”，又如何求k 的值？解：因为a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，所以a ＋k b ＝(1，2)＋k (－3，2)＝(1－3k ，2＋2k )， 3a －b ＝(3，6)－(－3，2)＝(6，4)． 又因为(a ＋k b )∥(3a －b )，所以(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0.解得k ＝－13.方法归纳两平面向量共线的条件有以下两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (a ≠0)的条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa (λ为实数)．3．(1)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°(2)①在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．若D (m ，2m )，且AB →与CD →共线，求非零实数m 的值；②平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)选B.由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ为锐角，故θ＝45°.(2)①因为A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)，D (m ，2m )，所以AB →＝(3，5)，CD →＝(m ＋2，2m ＋1)，又因为AB →与CD →共线，即AB →∥CD →，所以3(2m ＋1)＝5(m ＋2)， 解得m ＝7，所以非零实数m 的值为7.②因为a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，所以a ＋k c ＝(3，2)＋k (4，1)＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2)．因为(a ＋k c )∥(2b －a )，所以由向量共线的充要条件知， 2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613，所以实数k 的值为－1613.规范解答向量共线的应用(本题满分12分)在△AOB 中，已知点O (0，0)，A (0，5)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD→＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标． [解] 设点C 坐标为(x C ，y C )，因为点O (0，0)，A (0，5)，B (4，3)，所以OA →＝(0，5)，OB →＝(4，3)．因为OC →＝(x C ，y C )＝14OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.同理点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.2分 设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，而AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72，因为A ，M ，D 三点共线，所以AM →与AD →共线．所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.6分而CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为C ，M ，B 三点共线，所以CM →与CB →共线．所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20. 10分解⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋4y ＝20，7x －16y ＝－20，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝127，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.12分 [规范与警示] (1)在处根据条件正确地得到两点坐标是成功解题的关键，也可能因解不出造成失分．在处正确地运用了AD 与BC 交于点M 的条件，否则无法继续求解造成失分．在处正确地运用了向量共线的性质定理得到向量共线的坐标表示，否则将功败垂成．(2)①解题时，准确地计算有关向量的坐标是正确答题的前提，如本例，只有正确地求出相应向量的坐标，才能顺利地完成解题；②解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，如本例，对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解；③在求点或向量的坐标时要注意方程思想的应用，如本例，充分应用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据，是解题的保证．1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)解析：选B.b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，故选B.2．下列向量中，与向量c ＝(2，3)不共线的一个向量p ＝( )A ．(3，2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 解析：选A.由平面向量共线的坐标表示，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0可知，只有选项A 与已知向量不共线．3．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：设O 为坐标原点，则OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)4．已知向量a ＝(x ，1)与b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________．解析：由题意知a 与b 共线，则x 2＝1，所以x ＝±1，又因为a 与b 反向，所以x ＝－1. 答案：－1, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1.给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点的坐标与以原点为起点，该点为终点的向量的坐标一一对应． 其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C .由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8，1) D ．(8，1)解析：选A .AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)，所以12AB →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12. 3.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2解析：选D.a ＋b ＝(1，1)＋(2，x )＝(3，x ＋1)， 4b －2a ＝4(2，x )－2(1，1)＝(6，4x －2)，因为a ＋b 与4b －2a 平行，所以3(4x －2)－6(x ＋1)＝0. 即12x －6－6x －6＝0，解得x ＝2.4.已知AB →＝(4，1)，BC →＝(－1，k)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为( ) A ．4 B ．－4C ．－14D ．14解析：选C .因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥BC →，所以4k ＋1＝0，即k ＝－14.5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6) 解析：选D.由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝3(－2，4)－2(1，－3)＝(－8，18)， 4a ＋(3b －2a )＝－c ，所以(4，－12)＋(－8，18)＝－c ， 所以c ＝(4，－6)．6.若向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同． 解析：因为a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )， 若a ∥b ，则x ·x －1·4＝0，即x 2＝4，所以x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．仅当x ＝2时，a 与b 共线且方向相同． 答案：27.已知向量i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x 、y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ≠0，且a ＝(x ，y )，则a 的起点是原点O ；④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点的坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 在以上四个结论中，正确的结论是________(填入正确结论的序号)．解析：只有①正确；x 1＝x 2，y 1≠y 2或x 1≠x 2，y 1＝y 2时也有(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，所以②不正确；a 的起点可以是任意点，③不正确；终点坐标不一定是向量坐标，④不正确．答案：①8.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：因为Q 是AC 的中点，所以PQ →＝12PA →＋12PC →.所以PC →＝2PQ →－PA →＝2(1，5)－(4，3)＝(－2，7)．又因为BP →＝2PC →，所以BC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)． 答案：(－6，21)9.如图，已知点A (4，0)、B (4，4)、C (2，6)，求AC ，OB 的交点P 的坐标．解：法一：设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝(－2，6)． 因为A 、P 、C 三点共线，所以6×(4λ－4)＋2×4λ＝0，解得λ＝34.所以OP →＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3)．法二：设P (x ，y )，OP →＝(x ，y )，OB →＝(4，4)， 因为O 、P 、B 三点共线，所以4x －4y ＝0.①又因为AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且A 、P 、C 三点共线， 所以6×(x －4)－(－2)y ＝0，即3x ＋y ＝12.② 由①②，得x ＝3，y ＝3，所以P 点坐标为(3，3)．10.已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意知，AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)，AE →＝(x 1＋1，y 1)，BF →＝(x 2－3，y 2＋1)．又AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， (x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. 所以(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23. 因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0， 所以EF →∥AB →.[B .能力提升]1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则向量a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.由题意，得a ＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)；设a ＝x m ＋y n ，即(2，4)＝x (－1，1)＋y (1，2)＝(－x ＋y ，x ＋2y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，故选D. 2．向量PA →＝(k ，12)，PB →＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( )A ．－2B ．11C ．－2或11D ．2或－11解析：选C.BA →＝PA →－PB →＝(k ，12)－(4，5)＝(k －4，7)，CA →＝PA →－PC →＝(k ，12)－(10，k )＝(k －10，12－k )，因为A ，B ，C 三点共线，所以BA →∥CA →，所以(k －4)(12－k )－7(k －10)＝0，整理得k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或11.3．已知A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．解析：因为AP →＝AB →＋λAC →，所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，由5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12. 答案：124．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．解析：法一：由题意知，四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，设D (x ，y )，则(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x ，y )，所以x ＝0，y ＝－2，即D (0，－2)．法二：由题意知，四边形ABCD 为平行四边形，所以AB →＝DC →，即OB →－OA →＝OC →－OD →，所以OD →＝OA →＋OC →－OB →＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)．即D 点的坐标为(0，－2)．答案：(0，－2)5．已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，求P 点坐标． 解：①当P 点在线段P 1P 2上时，如图．则有P 1P →＝23PP 2→，设P 点坐标为(x ，y )， 所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35. 故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35. ②当P 点在线段P 2P 1的延长线上时，如图．则有P 1P →＝－23PP 2→，设P 点坐标为(x ，y )， 所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－23（－1－x ），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9. 故P 点坐标为(8，－9)．综上可得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35或(8，－9)． 6．(选做题)已知向量μ＝(x ，y )与v ＝(y ，2y －x )的对应关系可用v ＝f (μ)表示．(1)证明：对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，求向量f (a )及f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标．解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)．所以f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2，2a 2－a 1)＋n (b 2，2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．所以f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )，即对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )．(2)f (a )＝f ((1，1))＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f (b )＝f ((1，0))＝(0，2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y ，2y －x )＝(p ，q )，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p . 所以向量c ＝(2p －q ，p )．。

第二章 平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理 [A 组 学业达标]1．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下面关于向量a ，b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 垂直D ．a 与b 中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0. 答案：B2.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a >0，b <0. 答案：B3．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2 ＝0时，这样的λ有无数个．故选B. 答案：B4．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →可用基底a ，b 表示为 ( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →.∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________．解析：设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .答案：－74m ＋138n6．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________．解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：37．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．解析：易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案：128．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：DC →，BC →，MN →. 解析：如图，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2. ∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM →＝12BC →＋e 2－12AD →＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2. 9．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上且AN →＝2NC →，AM 交BN 于P 点，求AP与AM 的比值．解析：设BM →＝a ，CN →＝b ，则AM →＝AC →＋CM →＝－a －3b ，BN →＝2a ＋b . ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使AP →＝λAM →＝－λa －3λb ， BP →＝μBN →＝2μa ＋μb .∴BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)a ＋(3λ＋μ)b . 又∵BA →＝BC →＋CA →＝2a ＋3b ，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35，则AP →＝45AM →.∴AP 与AM 的比值为45.[B 组 能力提升]10．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( )A ．a ＋λbB ．λa ＋bC ．λa ＋(1＋λ)bD.a ＋λb 1＋λ解析：∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→，∴OP →＝a ＋λb1＋λ.答案：D11.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝( )A ．1 B.43 C.23D.56解析：AF →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋2nAE →， 由B ，F ，E 三点共线，得m ＋2n ＝1，① AF →＝mAB →＋nAC →＝2mAD →＋nAC →， 由C ，F ，D 三点共线，得2m ＋n ＝1，② ①＋②得3(m ＋n )＝2，m ＋n ＝23.答案：C12．设G 为△ABC 的重心，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OG →，则OG →＝________．解析：OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋13(CA →＋CB →)＝OC →＋13(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：13(a ＋b ＋c )13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________．(用e 1，e 2表示)解析：如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.答案：－23e 1＋512e 214．已知△ABC 内一点P 满足AP →＝λAB →＋μAC →，若△P AB 的面积与△ABC 的面积之比为1∶3，△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．解析：如图，过点P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，则AP →＝AM →＋AN →，所以AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H . 因为S △P AC S △ABC ＝14，所以PG BH ＝14.又因为△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13. 15．如图，已知三点O ，A ，B 不共线，且OC →＝2OA →，OD →＝3OB →，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)试用a ，b 表示向量OE →；(2)设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ，N ，试证明：L ，M ，N 三点共线．解析：(1)∵B ，E ，C 三点共线， ∴OE →＝xOC →＋(1－x )OB →＝2x a ＋(1－x )b .①同理，∵A ，E ，D 三点共线，∴OE →＝y a ＋3(1－y )b .②比较①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，1－x ＝3（1－y ），解得x ＝25，y ＝45，∴OE →＝45a ＋35b .(2)证明：∵OL →＝a ＋b 2，OM →＝12OE →＝4a ＋3b 10，ON →＝12(OC →＋OD →)＝2a ＋3b 2，∴MN →＝ON →－OM→＝6a ＋12b 10，ML →＝OL →－OM →＝a ＋2b10， ∴MN →＝6ML →，又MN →与ML →有公共点M ， ∴L ，M ，N 三点共线．。

高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4平面向量同步练习§2.2. 1 向量加减运算及几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．化简PM PN MN所得的结果是（）MPA．B．NP C．0 D．MN2．设OA a，OB b且|a|=| b|=6，∠AOB=120 ，则|a－b|等于（）0013．飞机从甲地按南偏东10方向飞行2022年km到达乙地，再从乙地按北偏西70方向飞行2022年km到达丙A．36 B．12 C．6 D．63．a，b为非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，则（）A．a与b方向相同B．a = b C．a =－4．在平行四边形ABCD中，若| BC BA | | BC ABb D．a与b方向相反|，则必有（）A．ABCD为菱形B．ABCD为矩形C ．ABCD 为正方形D．以上皆错5．已知正方形ABCD边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则|a+b+c|等于（）A．0 B．3 C．22*6．设( AB CD ) ( BC DA D．2) a，而b是一非零向量，则下列个结论：(1) a与b共线；（2）a + b = a；(3) a + b = b；(4)| a + b||a |+|b|中正确的是（）A．(1) (2) B．(3) (4) C．(2) (4) D．(1) (3) 二、填空题7．在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，则CA __________，BD_______．8．在a =“向北走20km”，b =“向西走20km”，则a +b9．若| AB | 8，| AC | 5，则| BC表示______________．|的取值范围为_____________．*10．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h，则河水的流速的大小为___________．三、解答题11．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OA 、OB 、OC 表示OD．12．如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：AB DC EF EF ．地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？*14．点D、E、F分别是△ABC求证：（1）AB 三边AB、BC、CA上的中点，BE AC CE；（2）EA FBDC 0．§2. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．已知向量a= e1-2 e2，b=2 e1+e2, 其中e1、e2不共线，则a+b 与c=6 e1-2 e2的关系为（A．不共线B．共线C．相等D．无法确定2．已知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于（）A．3 B．-3 C．0 D．2）平面向量同步练习3．若AB=3a, CD =－5a ,且| AD | | BC |,则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形4．AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD =a , BE =b ,那么BC 为（）A．__-__3a＋3b B．3a－3b C．3a－3b D．－3a＋3b5．已知向量a ,b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b共线的条件是（）①2a -3b=4e且a+2b= -3e②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb=0 ③xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0) ④已知梯形ABCD，其中AB=a ,CD=bA．①② B．①③ C．② D．③④*6．已知△ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，若PA PB PC AB ，则（）A．P在△ABC 内部B．P在△ABC 外部C．P在AB边所在直线上D．P在线段BC上二、填空题7．若|a|=3,b与a方向相反,且|b|=5,则a= b8．已知向量e1 ,e2不共线，若λe1－e2与e1－λe2共线,则实数λ= 9．a,b是两个不共线的向量，且AB=2a＋kb , CB =a＋3b , CD =2a－b ,若A、B、D三点共线，则实数k的值可为*10．已知四边形ABCD中，AB =a－2c, CD =5a＋6b－8c对角线AC、BD的中点为E、F，则向量EF三、解答题11．计算：⑴(－7)×6a=⑵4(a＋b)－3(a－b)－8a= ⑶(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)=12．如图，设AM是△ABC的中线，AB=a , AC=b ,求AM13．设两个非零向量a与b不共线,⑴若AB =a＋b ,BC =2a＋8b ,CD=3(a－b) ,求证：A、B、D三点共线; ⑵试确定实数k，使ka＋b和a ＋kb共线.*14．设OA ,OB 不共线,P点在AB上,求证:OP =λOA +μOB且λ+μ=1(λ, μ∈R).§2. 3. 1平面向量基本定理及坐标表示（1）班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．e1=(0,0), e2 =(1,－2) ; B．e1=(-1,2),e2 =(5,7); C．e1=(3,5),e2 =(6,10); D．e1=(2,-3) ,e2 =(1, 324)2．已知向量a、b，且AB=a+2b , BC = -5a+6b , CD =7a-2b,则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C 、D D．A、C、D3．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe1＋μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ, μ有无数多对；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)；④若实数λ, μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.平面向量同步练习A．①② B．②③ C．③④ D．仅②4．过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若AD =x AB , AE =y AC ,xy≠0，则11x y的值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,则c= ( ) A．-a+3b B．3a-b C．a-3b D．-3a+b*6．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC=αOA +βOB ，其中α,β∈R且α+β=1，则x, y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0二、填空题7．作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F3= ;8．若A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且AB=2 AC ,则x= ，y= ;9．已知A(2,3),B(1,4)且1 2AB =(sinα,cosβ), α,β∈(- 2,2),则α+β=*10．已知a=(1,2) ,b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为三、解答题11.已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b12．如果向量AB=i-2j , BC =i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。