【学案导学设计】2015-2016学年高中数学 模块综合检测(C)苏教版必修2

模块综合检测（C）(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为________．2．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则m＝________．3．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个不同的交点，则a的取值范围是____________．4．若P为平面α外一点，则下列说法正确的是______(填序号)．①过P只能作一条直线与平面α相交；②过P可能作无数条直线与平面α垂直；③过P只能作一条直线与平面α平行；④过P可作无数条直线与平面α平行．5．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是______________．6．矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D－AC－B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为________．7．若⊙C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4和⊙C2：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2相交，则m的取值范围是______________．8．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A为切点，则P A的最小值为________．9．二面角α－l－β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB＝2，在平面β内，CD ⊥l于D，CD＝3，BD＝1，M为棱l上的一个动点，则AM＋CM的最小值为__________．10．如果圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)都能使x＋y＋c≥0成立，那么实数c的取值范围是__________．11．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．12．P(0，－1)在直线ax＋y－b＝0上的射影为Q(1,0)，则ax－y＋b＝0关于x＋y－1＝0对称的直线方程为________．13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线P A、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为________．14．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点P(－4,2)和直线l：3x－y－7＝0．求：(1)过点P与直线l平行的直线方程；(2)过点P与直线l垂直的直线方程．16．(14分) 如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．17．(14分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)18．(16分)已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．19．(16分)从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程．20．(16分)已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．模块综合检测(C) 答案1．16 2．2或－12解析 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12．3．－6<a<4解析 将圆的方程化为(x －a)2＋(y ＋2)2＝16．圆心(a ，－2)到直线的距离d ＝|4a ＋4|5．∵直线与圆有两个不同交点，∴d<4，即|4a ＋4|5<4，得－6<a<4． 4．④5．⎝⎛⎭⎫85，65解析 经过圆心O 且与直线l 垂直的直线的方程是3x －4y ＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝65或⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝－65画出图形，可以判断点⎝⎛⎭⎫85，65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最小的点，点⎝⎛⎭⎫－85，－65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最大的点．6．217 7．⎝⎛⎭⎫－125，－25∪(0,2) 解析 圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为 C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3． 由两圆相交的条件得3－2<C 1C 2<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m<－25或0<m<2．8．2 2解析 圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的半径为1，要使PA 最小，只需PC 最小，(PC)min ＝|3＋4＋8|32＋42＝3．故(PA)min ＝32－12＝22． 9．26解析 将图(1)中二面角α－l －β展成平面，如图(2)所示．连结AC 交l 于M 则AM ＋CM 最小值为AC ＝BD 2＋(AB ＋CD )2＝26． 10．c ≥2－1解析 对任意点P(x ，y)能使x ＋y ＋c ≥0成立， 等价于c ≥[－(x ＋y)]max ．设b ＝－(x ＋y)，则y ＝－x －b ．∴圆心(0,1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b|2≤1，解得，－2－1≤b ≤2－1． ∴c ≥2－1．11．56πR 3解析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V 锥＝13πCD 2·AB ＝13π·⎝⎛⎭⎫32R 2·2R ＝π2R 3， ∴所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3．12．x －y ＋1＝0 解析 ∵k PQ ·(－a)＝－1，∴a ＝1，Q(1,0)代入x ＋y －b ＝0得b ＝1，将其代入ax －y ＋b ＝0，得x －y ＋1＝0，此直线与x ＋y －1＝0垂直，∴其关于x ＋y －1＝0的对称的直线是其本身． 13．x 2＋y 2＝4解析 在Rt △AOP 中，∵∠APB ＝60°， ∴∠APO ＝30°，∴PO ＝2OA ＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4． 14．(2)(3)(4)解析 由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的． 15．解 (1)设所求直线的方程是 3x －y ＋m ＝0(m ≠－7)， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴3×(－4)－2＋m ＝0，∴m ＝14，即所求直线方程是3x －y ＋14＝0． (2)设所求直线的方程是x ＋3y ＋n ＝0， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴－4＋3×2＋n ＝0，∴n ＝－2，即所求直线方程是x ＋3y －2＝0．16．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点， ∴DM ∥AP ．又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM ∥平面APC ．(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴DM ⊥PB ．又∵DM ∥AP ，∴AP ⊥PB ．又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ． ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC ．又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC ．17．解 由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为h ′＝1 cm ，上底半径为r ＝12cm ，下底半径为R ＝1 cm ，母线l 为12＋⎝⎛⎭⎫1－122＝52(cm )，圆柱的底面半径为R ＝1 cm ，高h 为12cm ， ∴该几何体的体积为V ＝V 圆台＋V 圆柱 ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ′＋S 底面·h ＝13⎣⎡⎦⎤π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫122×π×1＋π×12×12＝1312π(cm 3)． 该几何体的表面积为S 表面＝πr 2＋πR 2＋π(R ＋r)·l ＋2πRh ＝π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫1＋12×52＋2π×1×12＝9＋354π(cm 2)． ∴该几何体的体积为1312πcm 3，表面积为9＋354πcm 2．18．解 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ① 将P ，Q 坐标代入①得 ⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0 ④据题设知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是④的两根． 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48⑤解由②③⑤组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4． 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0． 方法二 易求PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0 ① 因为所求圆的圆心C 在直线①上， 故可设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径r ＝CP ＝(a －4)2＋(a ＋1)2 ②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而点C 到y 轴的距离为|a|，∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，将②式代入得a 2－6a ＋5＝0．所以有a 1＝1，r 1＝13或a 2＝5，r 2＝37， 即(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37．19．解 设B(1,6)关于直线l 1：x －y ＋3＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－6x 0－1·1＝－1，x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴B ′(3,4)．依题意知B ′在入射光线上． 又A(－4,1)也在入射光线上， ∴所求方程为3x －7y ＋19＝0．20．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4t2．设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ．∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN ．∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12．∴直线OC 的方程是y ＝12x ．∴2t ＝12t ．解得t ＝2或t ＝－2． 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， OC ＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝95>5，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．。

模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是______________．2．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.3．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)的大小关系是________．4．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则p ＝________.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x <2，log 3(x 2－1)， x ≥2.则f (f (2))的值为________．6．定义运算：如1*2=1，则函数f(x)的值域为________.7．若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则log 2xy＝________.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1x 2－4x ＋3， x >1，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．9．在下列四图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝(ba)x的图象只可为________．10．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.11．已知log a 12>0，若224x x a +-≤1a，则实数x 的取值范围为______________．12．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________________．13．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f (13)、f (2)、f (12)的大小关系为________．14．已知f (x )＝ax －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________．三、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)已知函数f (x )＝12log [(12)x－1]，(1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的增减性．16．(14分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．17．(14分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R . (1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数．18．(16分)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．19．(16分)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．20．(16分)已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：f(x)是偶函数；(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f(2x2－1)<2.模块综合检测(C)1．{x|1<x≤2}解析题图中阴影部分可表示为(∁U M)∩N，集合M＝{x|x>2或x<－2}，集合N＝{x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}．2.10解析由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝log m2＋log m5＝log m10.∵1a＋1b＝2，∴log m10＝2，∴m2＝10，m＝10.3．f(－1)>f(2)解析由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．4．25解析利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1 000×2%＝180(万元)，纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，∴p%＝25%.5．2解析 ∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.6．(0,1]解析 由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤0，2－x， x >0.作出f (x )的图象(实线部分)如右图所示；由图可知f (x )的值域为(0,1]． 7．2解析 方法一 排除法． 由题意可知x >0，y >0，x －2y >0， ∴x >2y ，xy >2，∴log 2x y>1. 方法二 直接法．依题意，(x －2y )2＝xy ，∴x 2－5xy ＋4y 2＝0， ∴(x －y )(x －4y )＝0，∴x ＝y 或x ＝4y ， ∵x －2y >0，x >0，y >0，∴x >2y ， ∴x ＝y (舍去)，∴x y ＝4，∴log 2x y＝2. 8．3解析 当x ≤1时，函数f (x )＝4x －4与g (x )＝log 2x 的图象有两个交点，可得h (x )有两个零点，当x >1时，函数f (x )＝x 2－4x ＋3与g (x )＝log 2x 的图象有1个交点，可得函数h (x )有1个零点，∴函数h (x )共有3个零点．9．③解析 ∵b a>0，∴a ，b 同号．若a ，b 为正，则从①、②中选．又由y ＝ax 2＋bx 知对称轴x ＝－b2a <0，∴②错，但又∵y ＝ax 2＋bx 过原点，∴①、④错． 若a ，b 为负，则③正确． 10．lg 1.5解析 ∵lg 9＝2lg 3，适合，故二者不可能错误，同理：lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)，∴lg 8，lg 5正确．lg 6＝lg 2＋lg 3＝(1－lg 5)＋lg 3＝1－(a ＋c )＋(2a －b )＝1＋a －b －c ，故lg 6也正确．11．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由log a 12>0得0<a <1.由224x x a+-≤1a得224x x a +-≤a －1，∴x 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1. 12．1＜a ＜54解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ， ∴1＜a ＜54.13．f (12)<f (13)<f (2)解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．14．②解析 据题意由f (4)g (－4)＝a 2×log a 4<0，得0<a <1，因此指数函数y ＝a x(0<a <1)是减函数，函数f (x )＝ax －2的图象是把y ＝a x的图象向右平移2个单位得到的，而y ＝log a |x |(0<a <1)是偶函数，当x >0时，y ＝log a |x |＝log a x 是减函数． 15．解 (1)(12)x－1>0，即x <0，所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．(2)∵y ＝(12)x－1是减函数，f (x )＝12log x 是减函数，∴f (x )＝12log [(12)x－1]在(－∞，0)上是增函数．16．解 (1)要使A 为空集，方程应无实根，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ<0，解得a >98.(2)当a ＝0时，方程为一次方程，有一解x ＝23；当a ≠0，方程为一元二次方程，使集合A 只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a ＝98，x ＝43.∴a ＝0时，A ＝{23}；a ＝98时，A ＝{43}．(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况，∴a ＝0或a ≥98. 17．解 f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1， 设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1 ＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3， 则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， 又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[0,3]上是增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12， f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0，而f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．18．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]． f (0)＝1>0，(1)当2是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解时，则4＋2(m －1)＋1＝0，∴m ＝－32. (2)当2不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解时，①方程f (x )＝0在(0,2)上有一个解时，则f (2)<0，∴4＋2(m －1)＋1<0.∴m <－32. ②方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(m －1)2－4≥0，0<－m －12<2，f (2)＝4＋2(m －1)＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m >－32.∴－32<m ≤－1. 综合(1)(2)，得m ≤－1. ∴实数m 的取值范围是(－∞，－1]．19．解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24. (2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2， 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650. t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650.∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30， 所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．20．(1)证明 令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (－1)＝0，∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)证明 设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1·x 2x 1)－f (x 1) ＝f (x 1)＋f (x 2x 1)－f (x 1)＝f (x 2x 1)， ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1. ∴f (x 2x 1)>0，即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)解 ∵f (2)＝1，∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝2.又∵f (x )是偶函数，∴不等式f (2x 2－1)<2可化为f (|2x 2－1|)<f (4)．又∵函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x 2－1|<4.解得－102<x<102，即不等式的解集为(－102，102)．。

2 章末整合 苏教版必修3题型一 三种抽样的选择某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是________．解析：总体人数为28＋54＋81＝163(人)，样本容量为36.若按36∶163取样，无法得到整数解．故考虑先剔除1人，抽样比变为36∶162＝2∶9，则中年人取54×29＝12(人)；青年人取81×29＝18(人)；先从老年人中剔除1人，老年人取27×29＝6(人)．这样组成容量为36的样本．答案：先从老年人中剔除1人，再用分层抽样规律总结：根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种抽样方法的共同点、适用范围和各自特点，恰当选取抽样方法．在抽取样本时，要按照各种抽样方法的步骤进行．三种抽样方法的比较见下表：类别共同点相互联系适用范围各自特点简单随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽到的机会相等(2)抽样过程都是不放回抽样总体中的个数较少从总体中逐个抽取系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个数较多将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取分层抽样每层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成将总体分成几层，分层进行抽取变式训练1．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是3名学生设计的方案：学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网站的人就可以看到这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量；学生乙：我给我们小区居民的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量；学生丙：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给这些住户打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量．请你分析上述3名学生设计的调查方案能够准确地获得小区平均每户居民的月用水量吗？为什么？你有何建议？解析：学生甲的方案得到的样本不能够反映不上网的居民的月用水量情况，其所得到的样本代表性差，不能很准确地获得小区平均每户居民的月用水量；学生乙的方案实际上是普查，花费的人力、物力、时间更多一些，但是如果统计过程不出错，可以准确地得到小区平均每户居民的月用水量；学生丙的方案是一种随机抽样法，在所在小区的每户居民都装有电话的前提下，建议采用随机抽样法获得数据，即用学生丙的方案，既节省人力、物力、时间，又可以得到比较精确的结果．题型二估计总体的分布有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5，15.5)6，[15.5，18.5)16，[18.5，21.5)18，[21.5，24.5)22，[24.5，27.5)20，[27.5，30.5)10，[30.5，33.5]8.(1)列出样本的频率分布表(含累计频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率分布图；(3)根据累积频率分布估计小于30的数据约占多大百分比．分析：按照画频率分布直方图的要求操作．解析：(1)样本的频率分布表如下：分组频数频率累计频率12.5～15.5 6 0.06 0.0615.5～18.5 16 0.16 0.2218.5～21.5 18 0.18 0.4021.5～24.5 22 0.22 0.6224.5～27.5 20 0.20 0.8227.5～30.5 10 0.10 0.9230.5～33.5 8 0.08 1.00合计100 1.00(2)(3)在累积频率分布图中找到横坐标为30的点，然后量出这个点的纵坐标约为0.90，这说明小于30的数据约占90%.规律总结：(1)频率分布表列出的是各个区间内取值的频率；(2)频率分布直方图是用矩形的面积的大小来表示各个区间内取值的机会的，可直观地看出在各个区间内机会的差异．用样本估计总体一般分两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征(如平均数、方差等)估计总体的数字特征．用样本频率分布估计总体的分布就是利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况做出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计．直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布我们可以大致估计出总体的分布，但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息．在样本数据较少时，用茎叶图表示；数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都能带来方便．变式训练2．李老师为了分析期中数学考试情况，从全级1 500人中抽了50人，将分数分为5组，第一组到第三组的频数分别是10，23，11，第四组的频率是0.08，那么落在第五组90～100分的频数是多少？频率是多少？全级学生分数在90～100分的大约有多少人？解析：第四组的频数为0.08×50＝4，则第五组的频数为50－10－23－11－4＝2，频率为250＝0.04，故全级分数在90～100的约有0.04×1 500＝60(人)．题型三估计总体的数字特征甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)：品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 试根据这组数据估计哪一种小麦品种的产量比较稳定．分析：与样本的稳定和波动有关的数字特征是方差．只需计算方差即可．解析：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02，乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.24>0.02.所以，由这组数据可以认为甲种小麦的产量比较稳定．规律总结：用样本数字特征估计总体的数字特征就是为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征做出估计．众数就是样本数据中出现最多的那个值；中位数就是把样本数据分成相同数目的两部分，其中一部分比这个数小，另一部分比这个数大的那个数；平均数就是所有样本数据的平均值；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式如下：s＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（x n－x）2].有时也用标准差的平方s2——方差来代替标准差，实质一样．变式训练3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7.现去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________，________．解析：最高分是9.9，最低分是8.4，去掉后的数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，它们的平均数是：x ＝9.4＋9.4＋9.6＋9.4＋9.75＝9.5，方差为：s 2＝（9.4－9.5）2＋（9.4－9.5）2＋（9.6－9.5）25＋（9.4－9.5）2＋（9.7－9.5）25＝0.016.题型四 两个变量的线性相关在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据：第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10城市居民年收入x/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0某商品销售额y/万元25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程． 分析：两个随机变量是否具有线性相关关系有两种方法判断：一是从散点图中直观地看；二是看相关系数r＝Σ10i＝1x i y i－10x y⎝⎛⎭⎫Σ10i＝1x2i－10x2⎝⎛⎭⎫Σ10i＝1y2i－10y2，目前以第一种方法进行判断．解析：(1)散点图如下图：(2)由(1)知城市居民的年收入与该商品的销售额之间存在着显著的线性相关关系．列表：I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i32.3 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 y i25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 x i y i805 9331118.61324.61446.91 558 1 638 1 8922140.82 346x＝37.97，y＝39.1，Σ10i＝1x2i＝14 663.67，Σ10i＝1x i y i＝15 202.9通过计算得：b＝Σ10i＝1x i y i－10x yΣ10i＝1x2i－10x2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972＝356.63246.461≈1.447，a＝y－bx＝39.1－1.447×37.97≈－15.843，因此所求的回归直线方程是y^＝1.447x－15.843.规律总结：(1)分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归直线方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫散点图．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线方程叫做回归直线方程．(2)求回归直线方程的方法及步骤．①“表格”法的步骤：a．先把数据制成表，从表中计算出,;b．计算回归系数a，b.公式为：c.写出回归直线方程y^=bx＋a.②利用工作表软件求法的步骤：调状态→输入数据→按键得结果→写出所得方程．(3)画样本频率分布直方图的步骤：求极差→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．变式训练4．为了研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据：x 5 10 15 20 25 30y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8(1)(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程．解析：(1)画出散点图如下：(2)从散点图可知，两个变量之间有线性相关关系． 此题中，n ＝6，计算可得Σ6i ＝1x i ＝105，Σ6i ＝1x i 2＝2 275，Σ6i ＝1y i ＝56.92， Σ6i ＝1x i y i ＝1 076.2，从而得x ＝17.5，y ＝9.487，计算得b ＝0.183，a ＝6.285.于是得到线性回归方程y ^＝6.285＋0.183x .5．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)(2)如果y 对x 有线性相关关系，求回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内(保留1位小数)?解析：(1)散点图如下图所示：(2)由散点图可知，两变量之间具有线性相关关系，列表，计算：i 1 2 3 4 x i 16 14 12 8 y i 11 9 8 5 x i y i 176 126 96 40 x i 225619614464x －＝12.5，y －＝8.25，=660，x i y i ＝438设所求回归方程为y ^＝bx ＋a ，则由上表可得b ＝＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52＝25.535＝5170，a ＝y －－b x －＝8.25－5170×12.5＝－67，∴回归方程为y ^＝5170x －67.(3)由y ≤10得5170x －67≤10，解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14.9转/秒内．。

高中数学模块综合检测（C）（含解析）苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学模块综合检测（C）（含解析）苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学模块综合检测（C）（含解析）苏教版必修4的全部内容。

模块综合检测（C)(时间：120分钟满分：160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分)1．若角600°的终边上有一点（－4，a），则a的值是________．2．若向量a＝（3,m)，b＝(2,－1），a·b＝0，则实数m的值为________．3．已知α、β为锐角,且a＝(sin α，cos β），b＝（cos α，sin β)，当a∥b时，α＋β＝________.4．设向量a＝（cos α，错误!)，若a的模长为错误!，则cos 2α＝________。

5．已知错误!＝2e1＋k e2,错误!＝e1＋3e2，错误!＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，则k＝________。

6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝________。

7．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5），c＝（3，x)，满足条件(8a－b）·c＝30，则x＝________。

8．已知cos4α－sin4α＝错误!,α∈(0，错误!），则cos(2α＋错误!)＝________。

9．已知A,B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝（sin A，1），q＝(1，－cos B），则p 与q的夹角是________．（填“锐角”、“直角"或“钝角”）10．已知函数f(x）＝（1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f（x）是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）函数．11．设0≤θ≤2π，向量错误!＝(cos θ，sin θ)，错误!＝（2＋sin θ,2－cos θ），则向量错误!的模长的最大值为________．12．若θ∈[0,错误!],且sin θ＝错误!，则tan 错误!＝________.13．若向量错误!＝（3，－1)，n＝(2，1)，且n·错误!＝7，那么n·错误!＝________。

模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．用“p 或q ”“p 且q ”“ p ”填空，命题“a 2＋1≥1”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．2．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________________．3．若双曲线x 24－y 2b ＝1 (b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b ＝________. 4．设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．5．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程为________．6．已知M (－1,3)，N (2,1)，点P 在x 轴上，且使PM ＋PN 取得最小值，则最小值为________．7．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；④若m ⊥α，n α，则m ⊥n .其中所有真命题的序号是________．8．已知向量a ＝(－2,3,2)，b ＝(1，－5，－1)，则m a ＋b 与2a －3b 相互垂直的充要条件为________．9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过点F 1且垂直于x 轴的弦的弦长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是________．10．设F 为抛物线x 2＝8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝________.11．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋λe 2，CD →＝6e 1－2e 2，当A ，C ，D三点共线时，λ＝________. 12.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝22a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．13．已知OA →＝(1,1,0)，OB →＝(4,1,0)，OC →＝(4,5，－1)，则向量AB →和AC →的夹角的余弦值为________． 14.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，则二面角A —A 1C —B 的余弦值是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0， 命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．16.(14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积．17.(14分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 与面D 1C 1CD 垂直，且∠D 1DC ＝π3，DC ＝DD 1＝2，DA ＝3，∠ADC ＝π2，求异面直线A 1C 与AD 所成角余弦值．18.(16分)已知命题p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q ：只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p ∨q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．(16分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．20.(16分)已知直线(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0 (k ∈R )所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 的长轴长为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．模块综合检测(B)1．p 或q 綈p解析 a 2＋1≥1，即a 2＋1>1或a 2＋1＝1是p 或q 形式，奇数的平方不是偶数为綈p 形式．2．－1≤a ≤6解析 由已知q ⇒p ，∴(2,3)⊆(a －4，a ＋4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 3．14. 2 解析 设P 点在第一象限，由⎩⎨⎧ x 26＋y 22＝1x 23－y 2＝1，得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫322，22.∴S △PF1F2＝12F 1F 2·y p ＝12×4×22＝ 2. 5．x 2＝12y解析 点P 到直线y ＝－3的距离和它到点(0,3)的距离相等．6．5解析 设M 关于x 轴的对称点为M ′，则M ′(－1，－3)，所求最小值为M ′N ＝(2＋1)2＋(1＋3)2＝5.7．②④8．m ＝1713解析 由(m a ＋b )·(2a －3b )＝0，可得(－2m ＋1,3m －5,2m －1)·(－7,21,7)＝0.∴14m －7＋63m －105＋14m －7＝0.∴91m ＝119，∴m ＝1713. 9.12解析 由已知得2b 2a ＝a 2c －c ＝b 2c， ∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝12. 10．1211．－2解析 设AB →＋BC →＝kCD →，即有3e 1＋(1＋λ)e 2＝6k e 1－2k e 2，所以k ＝12，λ＝－2. 12．平行解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12(A 1A →＋A 1B 1→)＋BC →＋12(CB →＋CD →)＝12(A 1A →＋CB →)＋BC → ＝12B 1B →＋12BC →＝12B 1C →. 所以MN ∥平面BCC 1B 1. 13.32626解析 AB →＝(3,0,0)，AC →＝(3,4，－1)，cos 〈AB →，AC →〉＝32626. 14.15515．解 p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且qp .∴[－2,10] [1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9.16．解 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ，又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2点周长为8.(2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 斜率为1， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627， 所以，S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2| ＝12×2×1227＝1227. 17．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，0,0)，D 1(0,1，3)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，由AA 1→＝DD 1→得A 1(3，1，3)．∴A 1C →＝(－3，1，－3)．D 1A →＝(3，－1，－3)．∴cos 〈A 1C →，D 1A →〉＝A 1C →·D 1A →|A 1C →|·|D 1A →|＝(－3，1，－3)·(3，－1，－3)7·7＝－17. ∴异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值为17. 18．解 p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解，令f (x )＝ax 2＋ax －2，则f (－1)·f (1)<0或f (1)＝0或Δ＝0⇒a ≥1或a ＝－8；q ：x 2＋2ax ＋2a ≤0，只有一个x 满足，则Δ＝4a 2－8a ＝0⇒a ＝0或a ＝2.若p ∨q 为假命题，则p 假，且q 假．p 为假，则a <1，且a ≠－8，而q 为假，则a ≠0且a ≠2. 综合得a <1且a ≠0，a ≠－8.19．(1)证明 分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz .设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )，所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0，所以CM ⊥EM .(2)解 CE →＝(0，－2a ，a )，CD →＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)，cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22， 所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．解 (1)由(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0 (k ∈R )，得(x －2y －3)＋k (4x ＋3y －12)＝0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝04x ＋3y －12＝0，解得F (3,0)， 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3a ＝5，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上运动，所以1＝m 225＋n 216<m 2＋n 2， 从而圆心O 到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2<1＝r . 所以直线l 与圆O 恒相交．又直线l 被圆O 截得的弦长为L ＝2r 2－d 2＝21－1m 2＋n 2 ＝21－1925m 2＋16 由于0≤m 2≤25，所以16≤92＋16≤25，则L ∈⎣⎡⎦⎤152，465， 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是L ∈⎣⎡⎦⎤152，465.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合检测（C）(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为________．2．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则m＝________．3．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个不同的交点，则a 的取值范围是____________．4．若P为平面α外一点，则下列说法正确的是______(填序号)．①过P只能作一条直线与平面α相交；②过P可能作无数条直线与平面α垂直；③过P只能作一条直线与平面α平行；④过P可作无数条直线与平面α平行．5．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是______________．6．矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D－AC－B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为________．7．若⊙C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4和⊙C2：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2相交，则m的取值范围是______________．8．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A为切点，则PA的最小值为________．9．二面角α－l－β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB＝2，在平面β内，CD⊥l 于D，CD＝3，BD＝1，M为棱l上的一个动点，则AM＋CM的最小值为__________．10．如果圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)都能使x＋y＋c≥0成立，那么实数c的取值范围是__________．11．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．12．P(0，－1)在直线ax＋y－b＝0上的射影为Q(1,0)，则ax－y＋b＝0关于x＋y－1＝0对称的直线方程为________．13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为________．14．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点P(－4,2)和直线l：3x－y－7＝0．求：(1)过点P与直线l平行的直线方程；(2)过点P与直线l垂直的直线方程．16．(14分) 如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．17．(14分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)18．(16分)已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．19．(16分)从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程．20．(16分)已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．模块综合检测(C) 答案1．162．2或－12解析 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12．3．－6<a<4解析 将圆的方程化为(x －a)2＋(y ＋2)2＝16． 圆心(a ，－2)到直线的距离d ＝|4a ＋4|5．∵直线与圆有两个不同交点， ∴d<4，即|4a ＋4|5<4，得－6<a<4． 4．④5．⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65解析 经过圆心O 且与直线l 垂直的直线的方程是3x －4y ＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－65画出图形，可以判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最小的点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最大的点．6．2177．⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－25∪(0,2)解析 圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为 C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3． 由两圆相交的条件得3－2<C 1C 2<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m<－25或0<m<2．8．22解析 圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的半径为1，要使PA 最小，只需PC 最小， (PC)min ＝|3＋4＋8|32＋42＝3．故(PA)min ＝32－12＝22．9．26解析 将图(1)中二面角α－l －β展成平面，如图(2)所示．连结AC 交l 于M 则AM ＋CM 最小值为AC ＝BD 2＋(AB ＋CD )2＝26．10．c ≥2－1解析 对任意点P(x ，y)能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y)]max ． 设b ＝－(x ＋y)，则y ＝－x －b ．∴圆心(0,1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b|2≤1，解得，－2－1≤b ≤2－1．∴c ≥2－1．11．56πR 3解析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V 锥＝13πCD 2·AB ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32R 2·2R ＝π2R 3， ∴所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3． 12．x －y ＋1＝0解析 ∵k PQ ·(－a)＝－1，∴a ＝1，Q(1,0)代入x ＋y －b ＝0得b ＝1，将其代入ax －y ＋b ＝0，得x －y ＋1＝0，此直线与x ＋y －1＝0垂直，∴其关于x ＋y －1＝0的对称的直线是其本身． 13．x 2＋y 2＝4解析 在Rt △AOP 中，∵∠APB ＝60°， ∴∠APO ＝30°，∴PO ＝2OA ＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4． 14．(2)(3)(4)解析 由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的． 15．解 (1)设所求直线的方程是 3x －y ＋m ＝0(m ≠－7)， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴3×(－4)－2＋m ＝0，∴m ＝14，即所求直线方程是3x －y ＋14＝0． (2)设所求直线的方程是x ＋3y ＋n ＝0， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴－4＋3×2＋n ＝0，∴n ＝－2，即所求直线方程是x ＋3y －2＝0． 16．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点， ∴DM ∥AP ．又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM ∥平面APC ．(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴DM ⊥PB ．又∵DM ∥AP ，∴AP ⊥PB ．又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ． ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC ．又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC ．17．解 由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为h ′＝1 cm ，上底半径为r ＝12 cm ，下底半径为R ＝1 cm ，母线l 为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52(cm )，圆柱的底面半径为R ＝1 cm ，高h 为12cm ，∴该几何体的体积为V ＝V 圆台＋V 圆柱 ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ′＋S 底面·h＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋π×12＋π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×π×1＋π×12×12＝1312π(cm 3)．该几何体的表面积为S 表面＝πr 2＋πR 2＋π(R ＋r)·l ＋2πRh ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋π×12＋π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×52＋2π×1×12＝9＋354π(cm 2)．∴该几何体的体积为1312πcm 3，表面积为9＋354πcm 2．18．解 方法一 设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ① 将P ，Q 坐标代入①得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0 ④ 据题设知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是④的两根．所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48⑤解由②③⑤组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4． 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0． 方法二 易求PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0 ① 因为所求圆的圆心C 在直线①上， 故可设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径r ＝CP ＝(a －4)2＋(a ＋1)2 ②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而点C 到y 轴的距离为|a|，∴r 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4322，将②式代入得a 2－6a ＋5＝0． 所以有a 1＝1，r 1＝13或a 2＝5，r 2＝37，即(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37．19．解 设B(1,6)关于直线l 1：x －y ＋3＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－6x 0－1·1＝－1，x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴B ′(3,4)．依题意知B ′在入射光线上． 又A(－4,1)也在入射光线上， ∴所求方程为3x －7y ＋19＝0．20．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4t 2．设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ．∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN ． ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12．∴直线OC 的方程是y ＝12x ．∴2t ＝12t ．解得t ＝2或t ＝－2． 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．。

模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝x ·3n －1－16，则x ＝________.2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.3．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为________．4．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2≤0的解集是________．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．6．不等式2x －3x ＋1≤12(x >0)的解为______________．7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为________． 8．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．9．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.10．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是________． 11．已知f (x )＝32x －k ·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为________．12．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．13．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x 2＋y 2xy的取值范围是________．14．在△ABC 中，A 、B 、C 分别为a 、b 、c 边所对的角．若a 、b 、c 成等差数列，则B 的取值范围是________． 二、解答题15．(14分)记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .ABC 的面积为32，求b .17．(14分)已知a 、b 、c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23.18．(16分)C位于A城的南偏西20°的位置，B位于A城的南偏东40°的位置，有一人距C为31千米的B处正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？19．(16分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？20．(16分)在数列{a n }中，a 1＝1,2a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2·a n (n ∈N *)． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .模块综合检测(B)1.12解析 S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n －16，∴x 3＝16，即x ＝12.2.22解析 a 3·a 9＝a 26＝2a 25，∴(a 5q )2＝2a 25.∴q 2＝2.又q >0，∴q ＝ 2.∴a 1＝a 22＝22. 3．150°解析 sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ⇔a 2＋c 2－b 2＝－3ac ⇒cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac2ac＝－32⇒B ＝150°. 4．[－1,2)解析 ∵ax －b >0的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b >0. ax ＋b x －2≤0⇔a (x ＋1)x －2≤0⇔x ＋1x －2≤0⇔－1≤x <2. 5. 5解析 作出可行域，如图所示．由图可知，目标函数z ＝3x －y 在点A (2,1)处取得最大值，z max ＝3×2－1＝5. 6．(0,1]解析 ∵2x －3x ＋1≤12＝2－1，∴x －3x ＋1≤－1.∴x 2＋2x －3x ≤0，即(x ＋3)(x －1)x≤0(x >0)．故不等式的解为(0,1]．7．1解析 由S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝42，∴a 11＝2.∴a 211－(a 9＋a 13)＝a 211－2a 11＝0.∴A ＝2a 211－a 9－a 13＝20＝1.解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 9.2393解析 ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得a ＝13.由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝1332＝2393.10．P >Q解析 P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，由a 3＋a 92>a 3a 9 (q ≠1，a 3≠a 9)，又y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .11．(－∞，22)解析 由f (x )>0得32x －k ·3x ＋2>0，解得k <3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22，∴k <2 2.12.212 解析 由a n ＋1－a n ＝2n ，得a n －a n －1＝2(n －1)， a n －1－a n －2＝2(n －2)，…，a 2－a 1＝2.将这n －1个式子累加得a n －a 1＝2(n －1)(1＋n －1)2＝n 2－n .∵a 1＝33，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n－1.当n ＝6时，a n n 有最小值212.13.⎣⎡⎦⎤2，103 解析可行域如图，k OA ＝13，k OB ＝2，u ＝y x ＋x y ，而y x ＝t ∈⎣⎡⎦⎤13，2，函数u ＝t ＋1t 在t ∈⎣⎡⎦⎤13，1上为减函数，且在[1,2]上为增函数，∴t ＝1时，u min ＝2，t ＝13时，u max ＝103.14．0<B ≤π3解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴b ＝12(a ＋c )，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－14(a ＋c )22ac ＝4(a 2＋c 2)－(a ＋c )28ac ＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac ≥3×2ac －2ac 8ac ＝12，∴0<B ≤π3.15．解 设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．16．解 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin 30°＝32，∴ac ＝6.∵2b ＝a ＋c .由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°， ∴b 2＝4b 2－12－63，得b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3. 17．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，① b 2＋c 2≥2bc ，② c 2＋a 2≥2ac ，③a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2，④ 由①＋②＋③＋④得：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ， 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23.18．解设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△BCD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，则sin β＝437，而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝437×12＋32×17＝5314，在△ACD 中，由正弦定理得21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21sin αsin 60°＝21×531432＝15(千米)．答 这人还要走15千米才能到达A 城．19．解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．20．(1)证明 由条件得a n ＋1(n ＋1)2＝12·a n n2，又n ＝1时，a nn 2＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2构成首项为1，公比为12的等比数列．从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)解 由b n ＝(n ＋1)22n －n 22n ＝2n ＋12n ，得S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ，12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12S n ＝32＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋…＋12n －2n ＋12n ＋1，所以S n ＝5－2n ＋52n .。

模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．用伪代码 x ←23.4Print Int (x ＋0.5)输出的结果是________．2．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是________．(填序号) ①当n ＝10时，利用公式1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2计算1＋2＋3＋ (10)②当圆的面积已知时，求圆的半径； ③给定一个数x ，求这个数的倒数； ④求函数F (x )＝x 2－3x －5的函数值．3．在线性回归方程y ^＝bx ＋a 中，对a ，b 的说法正确的是________．(填序号) ①使得∑ni ＝1最小； ②使得∑n i ＝1最小； ③使得∑n i ＝1最小； ④使得∑n i ＝12最小． 4．下面的算法输出的结果是________．5(单位：cm)分布茎叶图为⎪⎪⎪ 1817⎪⎪⎪0 10 3 x 8 9记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为____________．6．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为________．7．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在y i －(a ＋bx i )3.2,4.0)(kg )的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40. 8．①②④解析 由流程图可知结果应是由1×3×5×7＝105得到的，故可填i<9，i<8或i ≤7. 9．2解析 由样本平均值为1， 知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，故a ＝－1. ∴样本方差s 2＝15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.10．③ 11．900解析 设高二年级有学生x 人，高三年级有学生y 人，则40045－15－10＝x 15＝y10，得x ＝300，y ＝200，故高中部的学生数为900. 12．S ←S ＋a解析 每个整点入园总人数S 等于前一个整点报道的入园总人数加报道前1个小时内入园人数，即应填S ←S ＋a. 13．60解析 由于抛掷硬币出现正面和反面的概率都是12，因此我们可认为这600人通过抛掷硬币，其中有300人回答了问题(1)，另外300人回答了问题(2)；对于问题(1)，600人中每个人学号为奇数的概率都为12，因此回答问题(1)的300人中，答“是”的约有150人，故回答问题(2)的300人中，答“是”的人数为180－150＝30(人)，即300人中约有30人闯红灯，由此可估计600人中闯红灯的人数为60. 14.14解析 从20张卡片中任取一张共有20种可能，其中各卡片上的数字之和大于等于14的有(7,8)，(8,9)，(16,17)，(17,18)，(18,19)共5种，因此满足各条件的概率P ＝520＝14.15．解 (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种情况，∴P(A)＝525＝15. (2)B 与C 不是互斥事件．因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个．(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)． 所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平．16.解 设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x ，y. 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，|x －y|≤6.作出如图所示的区域．本题中，区域D 的面积S 1＝242，区域d 的面积为S 2＝242－182. ∴P ＝d 的面积D 的面积＝242－182242＝716.即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716. 17．解 由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A ，B ，C ，D ，女生为1,2,3，我们可以用一个“数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：从男生中随机选取的是男生A ，从女生中选取的是女生1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E. 女结 果 男12 3A (A,1) (A,2) (A,3)B (B,1) (B,2) (B,3)C (C,1) (C,2) (C,3) D(D,1)(D,2)(D,3)件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝412＝13.18．解 (1)作散点图如下：由散点图可知是线性相关的． (2)列表如下：i 1 2 3 4 5 x i 2 3 4 5 6 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 x i y i4.411.422.0 32.542.0x ＝4，y ＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3计算得：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，于是：a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08， 即得线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(3)把x ＝10代入回归方程 y ^＝1.23x ＋0.08得y ^＝12.38，因此，估计使用10年维修费用是12.38万元． 19．解 算法步骤如下， S 1 i ←1；S 2 输入一个数据a ；S 3 如果a<6.8，则输出a ，否则，转S 4； S 4 i ←i ＋1；S 5 如果i>9，则结束算法，否则转S 2. 流程图如图：20．解 (1)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170.甲班的样本方差s 2＝110＝57.2.(2)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)， ∴P(A)＝410＝25.。

模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如果a 、x 1、x 2、b 成等差数列，a ，y 1，y 2、b 成等比数列，那么x 1＋x 2y 1y 2等于( ) A.a ＋b a －b B.b －aab C.ab a ＋b D.a ＋bab2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，则S 13等于( ) A ．152 B ．154 C ．156 D ．1584．若1a <1b <0，则下列不等式：①|a |>|b |；②a ＋b >ab ；③b a ＋a b >2；④a2b<2a －b 中，正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则B 等于( ) A ．60° B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120° 6．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( ) A ．log 2a >0 B ．2a －b<12C ．log 2a ＋log 2b <－1D ．2a bb a<12 7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且a 7＝b 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16 8．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为( ) A ．3 B.13 C.21 D ．279．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )10．企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得的利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元11．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．6412．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0y ≤－kx ＋4k(k >1)所表示的平面区域为M .若M 的面积为S ，则kSk －1的最小值为( )A ．30B ．32C ．34D ．36二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13，则a 10＝________. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若a ＝c sin A ，则a ＋bc的最大值为________．15．已知数列{a n }为等比数列，若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则a 7＝________.16．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________km. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且有b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .(1)求B 的大小；(2)若△ABC 的面积是334，且a ＋c ＝5，求b .18．(12分)已知数列{a n }的首项为a 1＝12，且2a n ＋1＝a n (n ∈N ＋)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列b n 满足b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n .19．(12分)设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74.当m －n ≥0时，称不亏损企业，当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少生产多少台电机？(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tan A tan B ＝2cb .(1)求角A ；(2)若a ＝3，试判断bc 取得最大值时△ABC 形状．21．(12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间大体满足关系：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧16－x ， 1≤x <623， x ≥6.(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当日产量x 为多少时，可获得最大利润？22．(12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N ＋. (1)证明：{}a n －1是等比数列；(2)求数列{}S n 的通项公式，并求出n 为何值时，S n 取得最小值？并说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)．模块综合检测(C)1．D [∵a 、x 1、x 2、b 成等差数列，∴x 1＋x 2＝a ＋b . ∵a 、y 1、y 2、b 成等比数列，∴y 1y 2＝ab .∴x 1＋x 2y 1y 2＝a ＋bab.] 2．B [由已知得sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得：a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又0<C <π，∴C ＝π3.]3．C [∵a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4.∴(a 3＋a 7－a 10)＋(a 11－a 4)＝(a 3＋a 11)＋a 7－(a 4＋a 10)＝a 7＝12. ∴S 13＝a 1＋a 132＝13a 7＝13×12＝156.]4．B [∵1a <1b<0，∴a <0，b <0且a >b .∴|a |<|b |，故①错；∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，故②错； ∵b a >0，a b >0且a b ≠b a， ∴b a ＋a b>2.故③正确；∵a 2b<2a －b a 2>2ab －b 2a 2＋b 2>2ab (a －b )2>0，故④正确．正确的不等式有③④.选B.]5．D [由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝32.∵b >a ，∴B >A ，∴B ＝60°或120°.]6．C [∵0<a <b ，a ＋b ＝1. ∴0<a <12，12<b <1.∴log 2a <log 212＝－1，A 错误；∵－1<a －b <0，∴2a －b>2－1＝12，B 错误；∵b a ＋ab >2，∴2a b ＋b a>4.D 错误．∵log 2b <log 21＝0，log 2a <－1， ∴log 2a ＋log 2b <－1，故选C.]7．D [∵2a 3－a 27＋2a 11＝0.∴a 27＝2a 3＋2a 11＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4.∴b 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.]8．B [S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝ 3.∴c ＝4.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×cos 60°＝13.∴a ＝13.] 9．C [∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12，∴a n ·a n ＋1＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝25－2n，故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．]10．D [设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．]11．D [依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.]12．B [据已知约束条件可得其表示的平面区域M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k ，故kSk －1＝8k2k －1＝8·k －2＋k －＋1k －1＝8[(k －1)＋1k －1＋2]，由于k >1，故由基本不等式可得kS k －1＝8[(k －1)＋1k －1＋2]≥8(2k －1k －1＋2)＝32，当且仅当k ＝2时取等号．] 13.14 解析1a 10＝1a 1＋9×13＝1＋3＝4.∴a 10＝14. 14. 2解析 ∵a ＝c sin A ，∴sin A ＝sin C ·sin A . ∴sin C ＝1.C ＝90°.∴A ＋B ＝90°， ∴a ＋bc ＝sin A ＋sin Bsin C＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)≤ 2. 15.14解析 ∵a 2a 3＝2a 1，∴a 21q 3＝2a 1，∴a 1q 3＝2.∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝52.∴2a 7＝52－a 4＝12.∴a 7＝14.16.6－1解析 如图所示，由已知条件可得∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，即BC 2＋2BC －5＝0，解得BC ＝－1±6(负值舍去)，∴B 到C 的距离为(6－1)km.17．解 (1)由b cos C ＋c cos B ＝2a cos B 及正弦定理得：sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A 从而sin A ＝2sin A cos B ，又0<A <π. 故cos B ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)又S ＝12ac sin π3＝334，所以ac ＝3，又a ＋c ＝5，从而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝25－9＝16，故b ＝4. 18．解 (1)由于数列{a n }满足a 1＝12，且2a n ＋1＝a n (n ∈N ＋)．所以数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列．∴a n ＝12×(12)n －1＝(12)n.(2)由已知b n ＝n a n＝n ·2n.∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n.∴2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －2)·2n －1＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1∴－T n ＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n －1＋1×2n －n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.19．解 (1)由题意知，m －n ＝92x －14－(－14x 2＋5x ＋74)≥0，即x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4(舍负值)．∴x ≥4，即至少生产4台电机企业为不亏损企业． (2)企业亏损最严重，即n －m 取最大值．n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[(x －1)2－9]＝94－14(x －1)2，∴当x ＝1时，最大亏损额为94万元，此时m ＝92－14＝174(万元)．∴当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．20．解 (1)1＋tan A tan B ＝2cb 1＋sin A cos B sin B cos A ＝2sin C sin B， 即sin B cos A ＋sin A cos B sin B cos A ＝2sin Csin B ，∴sin(A ＋B)sin B cos A ＝2sin C sin B ，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －bc ，即bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝3时，bc 取得最大值，又a ＝3， 故bc 取得最大值时，△ABC 为等边三角形．21．解 (1)当x ≥6时，P ＝23，则T ＝13x ×2－23x ×1＝0.当1≤x <6时，P ＝16－x ，则T ＝(1－16－x )x ×2－(16－x )x ×1＝9x －2x26－x .综上所述，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧9x －2x 26－x ， 1≤x <60， x ≥6.(2)由(1)知，当x ≥6时，每天的盈利为0.当1≤x <6时，T (x )＝9x －2x 26－x ＝15－2[(6－x )＋96－x ]，∵6－x >0， ∴(6－x )＋96－x≥2－x96－x＝6， ∴T ≤3.当且仅当x ＝3时，T ＝3.综上，当日产量为3万件时，可获得最大利润3万元． 22．(1)证明 ∵S n ＝n －5a n －85， ∴当n ＝1时，S 1＝1－5a 1－85， 即a 1＝1－5a 1－85，解得a 1＝－14；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n －5a n －85)－[(n －1)－5a n －1－85]＝－5a n ＋5a n －1＋1， 整理得6a n ＝5a n －1＋1，∴6(a n －1)＝5(a n －1－1)，∴a n －1a n －1－1＝56.又a 1－1＝－15，∴数列{}a n －1是以－15为首项，56为公比的等比数列．(2)解 由(1)知，a n －1＝－15×(56)n －1，∴a n ＝－15×(56)n －1＋1，代入S n ＝n －5a n －85得，S n ＝n －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56n －1＋1－85＝n ＋75×(56)n －1－90. 设S k 为最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧S k －1≥S k ，S k ＋1≥S k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a k ≤0，a k ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－56k －1＋1≤0，－56k＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧56k －1≥115，56k≤115，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1≤log 56 115，k ≥log 56115，即log 56115≤k ≤log 56115＋1. 又log 56115＝lg115lg 56＝－－lg 2＋1－2lg 2－lg 3＝1＋lg 3－lg 22lg 2＋lg 3－1.lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，∴log 56115≈14.75.∴14.75≤k ≤15.75.又∵k ∈N ＋，∴k ＝15. 即当n ＝15时，S n 取得最小值．。

3.3几何概型课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．1．几何概型的定义设D是一个________的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)．每个基本事件可以视为从________内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点，这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、________、________等)成正比，与d的形状和位置________．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝____________________.一、填空题1．用力将一个长为3米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为________．2．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是________．3．在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是________．4．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．5．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)＝______________________________________________________________.6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．二、解答题10．过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD<AC的概率．11．如图，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？能力提升12．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率为________．13．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一．实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题．为此可参考如下办法：(1)选择适当的观察角度；(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域；(3)把随机事件A转化为与之对应的几何区域；(4)利用概率公式计算；(5)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断．3．3 几何概型知识梳理1．可度量 区域D 面积 体积 无关2.d 的测度D 的测度作业设计1.13解析 P ＝2－13＝13. 2.π4解析 由题意，P ＝S 圆S 正方形＝π×122×2＝π4. 3.1100解析 取出10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P(A)＝取出种子的体积所有种子的体积＝101 000＝1100. 4．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4. 5.π4解析 如图，集合S ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y)与圆面x 2＋y 2<1内的点一一对应，∴P(A)＝π4. 6．①解析 ①中P 1＝38，②中P 2＝26＝13， ③中设正方形边长2，则P 3＝4－π×124＝4－π4， ④中设圆直径为2，则P 4＝12×2×1π＝1π. 在P 1，P 2，P 3，P 4中，P 1最大．7.815解析 P(A)＝4030＋5＋40＝815. 8.13解析 由几何概型知所求的P ＝1－02－(－1)＝13.9.334π解析 设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC＝3·12AC·OD ＝3·CD·OD ＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24， ∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π. 10.解 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE(如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD<AC.易知∠ACE ＝67.5°，∴AD<AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75. 11．解 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为S ＝16×16＝256 (cm 2)． 记“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为S A ＝π×62＝36π(cm 2)；事件B 所占区域面积为S B ＝π×42－π×22＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为S C ＝(256－36π)cm 2.由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝S A S ＝964π； (2)P(B)＝S B S ＝364π；(3)P(C)＝S C S ＝1－964π. 12.310解析 令x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x 轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x 0轴下方，即f(x 0)≤0的x 0的取值范围为x 0∈[－1,2]，∴P ＝2－(－1)5－(－5)＝310. 13．解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为15， 所以红色所占角度为周角的15， 即α1＝360°5＝72°. 同理，蓝色占周角的13， 即α2＝360°3＝120°， 所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.。

2.1.1函数的概念和图象(二)一、基础过关1．若函数g(x＋2)＝2x＋3，则g(3)的值是________．2．函数f(x)＝x－2＋2－x的定义域是________，值域是________．3．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝________.4．函数y＝1－1x－1的图象是________(填序号)．5．若函数y＝f(x)的图象经过点(0,1)，那么函数y＝f(x＋4)的图象经过点________．6．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝1－x2x2，则f(12)的值为________．7．已知函数f(x)＝6x－1－x＋4：(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(12)的值．8．画出下列函数的图象：(1)y＝|x－1|＋|x＋1|；(2)y＝x|2－x|.二、能力提升9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则满足f(g(x))＝g(f(x))的x值为________.10.若函数f (x )＝mx 4x －3(x ≠34)在定义域内恒有f [f (x )]＝x ，则m ＝________.11．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________． 12．用描点法画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域． 三、探究与拓展 13．已知函数y ＝1ax ＋1(a <0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值．答案1．5 2．{2} {0} 3．3p ＋2q 4．② 5．(－4,1) 6．157．解 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0， ∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.8．解 (1)y ＝|x －1|＋|x ＋1|＝{ －2x ，x ≤－1， 2，－1<x ≤1， 2x ，x >1.图象如图(1)所示．(2)y ＝x |2－x |＝{ －x 2＋2x ，x ≤2， x 2－2x ，x >2.图象如图(2)所示． 9．2,4 10．3 11．612．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 13．解 已知函数y ＝1ax ＋1(a <0且a 为常数)， ∵1a x ＋1≥0，a <0，∴x ≤－a ， 即函数的定义域为(－∞，－a ]， ∵函数在区间(－∞，1]上有意义， ∴(－∞，1]⊆(－∞，－a ]，∴－a ≥1， 即a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．。

第2章章末检测(A) (时间：120分钟满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 4121．若a<，则化简－的结果是________．22．函数y＝lg x＋lg(5－3x)的定义域是________．23．函数y＝2＋log(x＋3)(x≥1)的值域为__________________________________．211x2y4．已知2＝7＝A，且＋＝2，则A的值是________________________________．xy235．已知函数f(x)＝ax＋(a－a)x＋1在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是________．x ＋．设f(x)＝，则f(5)的值是________．＋．函数y＝1＋的零点是________．x 8．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为________时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)．9．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为________．10．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．211．函数f(x)＝－x＋2x＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．2x ＋＋＋a12．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________. x213．函数f(x)＝x－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．14．设偶函数f(x)＝log|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系a为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分) 2mn＋15．(14分)(1)设log2＝m，log3＝n，求a的值；102(2)计算：log9－log12＋. 42216．(14分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1. x(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x<0时，函数的解析式．x＋117．(14分)已知函数f(x)＝log(a>0且a≠1)，a x －1(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性． 18．(16分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2. (1)试判定该函数的奇偶性； (2)试判断该函数在R上的单调性；(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值． 19．(16分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)．(注：利润与投资量单位：万元) (1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式．(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？xx20．(16分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(a－b)．(1)求y＝f(x)的定义域；(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．第2章章末检测(A) 1.1－2a 1解析∵a<，∴2a－1<0. 242于是，原式＝－＝1－2a. 52．[1，) 3x≥1，lg x≥0，，，解析由函数的解析式得：即－3x>0，x<.35所以1≤x<. 33．[4，＋∞) 22解析∵x≥1，∴x＋3≥4，∴log(x＋3)≥2，则有y≥4. 24．72 1x2y解析由2＝7＝A得x＝logA，y＝logA，2721112则＋＝＋＝log2＋2log7＝log98＝2，AAAxylogAlogA272A＝98.又A>0，故A＝98＝72. 5．[－3，0) 32a－aa12解析由题意知a<0，－≥－1，－＋≥－1，即a≤3. 2a22∴－3≤a<0. 6．24 解析 f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.7．－1 11解析由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1. xx8．2 解析设窗框的宽为x，高为h，则2h＋4x＝6，即h＋2x＝3，∴h＝3－2x，32∴矩形窗框围成的面积S＝x(3－2x)＝－2x＋3x(0<x<)，233当x＝－＝＝0.75时，S有最大值．－∴h＝3－2x＝1.5，∴高与宽之比为2. 119.P－1 1111解析设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)，∴x＝P－1. 10．m≤2 解析由函数单调性可知，由f(m＋3)≤f(5)有m＋3≤5，故m≤2. 11．－1 22解析 f(x)＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，∵1∈[－2,3]，∴f(x)＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图象的对称性可知，maxf(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. min12．－1 解析由题意知，f(－x)＝－f(x)， 22x －＋＋ax ＋＋＋a即＝－，x－x∴(a＋1)x＝0对x≠0恒成立，∴a＋1＝0，a＝－1. 13．(0,1] 2解析设x，x是函数f(x)的零点，则x，x为方程x－2x＋b＝0的两正根， 12124－＋x＝2>0则有，即.解得＝b>01214．f(b－2)<f(a＋1) 解析∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝log|x|. a当a>1时，函数f(x)＝log|x|在(0，＋∞)上是增函数，a∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；当0<a<1时，函数f(x)＝log|x|在(0，＋∞)上是减函数，a∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．综上可知f(b－2)<f(a＋1)． mn15．解 (1)∵log2＝m，log3＝n，∴a＝2，a＝3.aa2mn2mnm2n2＋∴a＝a·a＝(a)·a＝2·3＝12. 2lg105(2)原式＝log3－(log3＋log4)＋22228＝log3－log3－2＋＝－. 225516．(1)证明设0<x<x，则－－f(x)＝(－1)－(－1)＝，12xxxx1212∵0<x<x，∴xx>0，x－x>0， 121221∴f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)， 1212∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．2(2)解设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1，x又f(x)为偶函数，22∴f(－x)＝f(x)＝－－1，即f(x)＝－－1(x<0)．xx x＋1>0x ＋．解(1)要使此函数有意义，则有或，－1>0x －解得x>1或x<－1，此函数的定义域为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． －x ＋1x －1x ＋1(2)f(－x)＝log ＝log ＝－log ＝－f(x)．aaa －x －1x ＋1x －1∴f(x)为奇函数．x＋12f(x)＝log ＝log(1＋)，aax－1x－12函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．x－1x＋1所以当a>1时，f(x)＝log在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；ax－1x＋1当0<a<1时，f(x)＝log在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．ax－118．解(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0) ＝2f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)任取x<x，则x－x>0，∴f(x－x)<0，122121∴f(x)－f(x)＝f(x)＋f(－x)＝f(x－x)<0，212121即f(x)<f(x) 21∴f(x)在R 上是减函数．(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，∴f(12)最小，f(－12)最大．又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6) ＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，∴f(－12)＝－f(12)＝8. ∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8. 19．解(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．由题意，得f(x)＝kx，g(x)＝kx. 1211由题图可知f(1)＝，∴k＝. 1554又g(4)＝1.6，∴k＝. 2514从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝x(x≥0)．55(2)设A 产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，该企业利润为y 万元．x4y＝f(x)＋g(10－x)＝＋10－x(0≤x≤10)，552令10－x＝t，则x＝10－t，210－t41142于是y＝＋t＝－(t－2)＋(0≤t≤10)．555514当t＝2时，y＝＝2.8，max5此时x＝10－4＝6，即当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为 2.8万元．axxxxx20．(1)解∵a－b>0，∴a>b，∴()>1.ba∵a>1>b>0，∴>1. bax∴y＝()在R上递增．baax0∵()>()，∴x>0. bb∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)证明设x>x>0，∵a>1>b>0，12∴ax>ax>1,0<bx<bx<1. 1212∴－bx>－bx>－1.∴ax－bx>ax－bx>0. 121122又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，∴lg(ax－bx)>lg(ax－bx)，即f(x)>f(x)．112212∴f(x)在定义域内是增函数．(3)解由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，又恰在(1，＋∞)内取正值，∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，＝，－＝0，a－b＝1，∴∴解得－＝lg 2.a－b＝＝.2。

第3课时酯和油脂【目标导航】1。

知道酯的结构和性质，会写酯的水解反应方程式。

2。

熟知油脂的结构和重要性质，能区分酯与脂、油脂与矿物油。

3。

认识油脂在生产、生活中的应用。

【自主学习】一、酯1．概念______(）和______(R-OH)发生________反应生成的一类有机化合物。

2．结构(1）酯的结构简式为__________________，其中两个烃基R和R′可以相同也可以不同，左边的烃基还可以是H。

（2）酯的官能团为__________________，它的右边连接烃基时被称为____基。

3．物理性质密度状态(碳4。

化学性质（1)酸性条件下水解：__________________________________________________________。

（2）碱性条件下水解：__________________________________________________________ .[议一议]1．酯在酸性条件下水解与碱性条件下水解程度有何不同?为何不同？学必求其心得，业必贵于专精2．酯在水解反应中哪些化学键会断裂？二、油脂1．概念油脂是__________与______发生酯化反应生成的高级脂肪酸甘油酯，油脂属于________类。

2．分类和物理性质3.结构如硬脂酸甘油酯的结构：____________________________________________________。

4．化学性质——水解反应（1)（2)皂化反应：油脂在碱性条件下的水解反应又称为__________。

工业生产中，可用来制______。

硬脂酸甘油酯与NaOH溶液共热的化学方程式为_______________________________________________________________________________________ ______________.5．用途(1）油脂是热值高的______物质。

模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．用伪代码 x ←23.4Print Int (x ＋0.5)输出的结果是________．2．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是________．(填序号)①当n ＝10时，利用公式1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2计算1＋2＋3＋ (10)②当圆的面积已知时，求圆的半径； ③给定一个数x ，求这个数的倒数； ④求函数F (x )＝x 2－3x －5的函数值．3．在线性回归方程y ^＝bx ＋a 中，对a ，b 的说法正确的是________．(填序号)①使得∑ni ＝1[y i －(a ＋bx i )]最小； ②使得∑ni ＝1[y i －(a ＋bx i )2]最小； ③使得∑n i ＝1[y 2i －(a ＋bx i )2]最小； ④使得∑n i ＝1[y i －(a ＋bx i )]2最小． 4．下面的算法输出的结果是________．X ←2 S ←0For I From －X To XS ←S ＋1 End For Print S5(单位：cm)分布茎叶图为 ⎪⎪⎪ 1817⎪⎪⎪0 10 3 x 8 9记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为____________．6．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为________．7．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是________．8．执行如图所示的流程图，若输出的结果为S ＝105，则判断框中可填入________．(填序号)①i <9；②i <8；③i <6；④i ≤7.9．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为________．10．废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的线性回归方程为y ^＝256＋2x ，下列说法正确的是______．(填序号)①废品率每增加1%，生铁成本增加258元； ②废品率每增加1%，生铁成本增加2元； ③废品率每增加1%，生铁成本每吨增加2元； ④废品率不变，生铁成本为256元．11．某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生数为________． 12．2010年上海世博会园区每天9∶00开园，20∶00停止入园，在下边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入______________．13．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向调查者提出了两个问题： (1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答问题(1)；否则就回答问题(2)．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实作了回答．结果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可估计这600人中闯红灯的人14．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A，则P(A)＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．16．(14分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．17．(14分)某校举行运动会，高二·一班有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？18．(16分)(万元)有如下的统计资料：(1)(2)如果线性相关，求线性回归方程；(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？19．(16分)某中学高中三年级男子体育训练小组2010年5月测试的50米跑的成绩(单位：s)如下：6.4，6.5，7.0,6.8，7.1，7.3,6.9,7.4,7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩，并画出流程图．20．(16分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高176 cm 的同学被抽中的概率．答案：模块综合检测(A )1．23解析 Int (x)表示不大于x 的最大整数． 2．③解析 ③项中需用到选择结构． 3．④解析 根据回归方程表示到各点距离最小的直线方程，即总体偏差最小，亦即∑ni ＝1[y i －(a ＋bx i )]2最小． 4．5解析 由于当循环变量－2≤I ≤2时，就执行循环，即I ＝－2，－1,0,1,2时各执行一次，共执行5次．所以S ＝5. 5．8解析 由茎叶图可知10＋11＋3＋x ＋8＋97＝7，解得x ＝8.6.713解析 由几何概型的求法知所求的概率为6＋16＋2＋1＋4＝713.7．40解析 频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上8．①②④解析 由流程图可知结果应是由1×3×5×7＝105得到的，故可填i<9，i<8或i ≤7. 9．2解析 由样本平均值为1， 知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，故a ＝－1. ∴样本方差s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.10．③ 11．900解析 设高二年级有学生x 人，高三年级有学生y 人，则40045－15－10＝x 15＝y10，得x ＝300，y＝200，故高中部的学生数为900. 12．S ←S ＋a解析 每个整点入园总人数S 等于前一个整点报道的入园总人数加报道前1个小时内入园人数，即应填S ←S ＋a. 13．60解析 由于抛掷硬币出现正面和反面的概率都是12，因此我们可认为这600人通过抛掷硬币，其中有300人回答了问题(1)，另外300人回答了问题(2)；对于问题(1)，600人中每个人学号为奇数的概率都为12，因此回答问题(1)的300人中，答“是”的约有150人，故回答问题(2)的300人中，答“是”的人数为180－150＝30(人)，即300人中约有30人闯红灯，由此可估计600人中闯红灯的人数为60. 14.14解析 从20张卡片中任取一张共有20种可能，其中各卡片上的数字之和大于等于14的有(7,8)，(8,9)，(16,17)，(17,18)，(18,19)共5种，因此满足各条件的概率P ＝520＝14.15．解 (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种情况，∴P(A)＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件．因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个．(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平．16.解 设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x ，y. 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，|x －y|≤6.作出如图所示的区域．本题中，区域D 的面积S 1＝242，区域d 的面积为S 2＝242－182. ∴P ＝d 的面积D 的面积＝242－182242＝716.即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716. 17．解 由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A ，B ，C ，D ，女生为1,2,3，我们可以用一个“数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：从男生中随机选取的是男生A ，从女生中选取的是女生1，可用列举法列出所有可4个，故她参赛的概率为P(E)＝412＝13.18．解 (1)作散点图如下：由散点图可知是线性相关的． (2)列表如下：计算得：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，于是：a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08， 即得线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08. (3)把x ＝10代入回归方程y ^＝1.23x ＋0.08得y ^ ＝12.38，因此，估计使用10年维修费用是12.38万元． 19．解 算法步骤如下， S 1 i ←1；S 2 输入一个数据a ；S 3 如果a<6.8，则输出a ，否则，转S 4； S 4 i ←i ＋1；S 5 如果i>9，则结束算法，否则转S 2. 流程图如图：20．解 (1)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170.甲班的样本方差s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P(A)＝410＝25.。

2.3 总体特征数的估计 课时目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．1．众数、中位数、平均数(1)众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数．(2)中位数的定义及求法把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数． ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数． ②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的平均数．(3)平均数n 个数据a 1，a 2，…，a n 的平均数或均值记作a ＝________________＝1n ∑ni ＝1a i. 2．一组数据的________与________的差称为极差．3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，则称____________________为这个样本的________，其算术平方根s ＝1n ∑n i ＝1 (x i －x )2为样本的________，分别简称样本方差、样本标准差．一、填空题1．下列说法正确的是________．①在两组数据中，平均值较大的一组方差较大；②平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小；③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和；④在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．2．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系为__________．3．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是________．4．一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是________．5．如图是2010年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为________．6．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则下列各式正确的是________．①x A >x B ，s A >s B ；②x A <x B ，s A >s B ；③x A>x B，s A<s B；④x A<x B，s A<s B.7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.8．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人只能有19．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差为________．二、解答题10．(1)已知一组数据x1，x2，…，x n的方差是a，求另一组数据x1－2，x2－2，…，x n－2的方差；(2)设一组数据x1，x2，…，x n的标准差为s x，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3x n＋a的标准差为s y，求s x与s y的关系．11．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)(2)①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．能力提升12．下面是一家快餐店所有工作人员(1)(2)计算出的平均工资能反映一般工作人员一周的收入水平吗？(3)去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员一周的收入水平吗？13．1．平均数、众数、中位数都是描述数据的集中趋势的，其中平均数是最重要的量．众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点，因为这些极端值有时是不能忽视的．由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．3．极差、方差、标准差是描述数据的离散程度的，即各数据与其平均数的离散程度．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．2．3 总体特征数的估计知识梳理1．(3)a 1＋a 2＋…＋a n n2.最大值 最小值 3．s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x )2 方差 标准差 作业设计1．②解析 ①中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；③中求和后还需取平均数；④中方差越大，射击越不平稳，水平越低．2．c>b>a解析 由题意a ＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7， 中位数为16，众数为18，即b ＝16，c ＝18，∴c>b>a.3．乙解析 方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定．∵5.09>3.72，故乙发挥得更稳定．4．9s 2解析 s 20＝1n [9x 21＋9x 22＋…＋9x 2n －n(3x )2]＝9·1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x 2)＝9·s 2(s 20为新数据的方差)．5．85,1.6解析 由题意x ＝15(84＋84＋86＋84＋87)＝85. s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝15(1＋1＋1＋1＋4)＝85 ＝1.6.6．②解析 样本A 数据均小于或等于10，样本B 数据均大于或等于10，故x A <x B ， 又样本B 波动范围较小，故s A >s B .7．91解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9＋10＋11＋x ＋y ＝5×10，15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2]＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝18. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7y ＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝7.所以xy ＝91. 8．甲解析 x 甲＝9，s2甲＝0.4，x 乙＝9，s2乙＝1.2，故甲的成绩较稳定，选甲． 9．0.19解析 这21个数的平均数仍为20，从而方差为121×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19. 10．解 (1)设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则有：a ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． ∵x 1－2，x 2－2，…，x n －2的平均数为x －2，则这组数据的方差s 2＝(x 1－2－x ＋2)2＋…＋(x n －2－x ＋2)2n ＝(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2n＝a. (2)设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则3x 1＋a,3x 2＋a ，…，3x n ＋a 的平均数为3x ＋a.s y ＝s2y ＝1n[(3x ＋a －3x 1－a )2＋…＋(3x ＋a －3x n －a )2] ＝1n·32·[(x －x 1)2＋…＋(x －x n )2] ＝9·s2x ＝3s x ，∴s y ＝3 s x .11．解 由折线图，知甲射击10次中靶环数分别为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x 甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7010＝7(环)， x 乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7010＝7(环)， s 2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2] ＝110×(4＋2＋0＋2＋4) ＝1.2，s 2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2] ＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9) ＝5.4.(2)s 2甲<s2乙，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些．③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．12．解 (1)平均工资即为该组数据的平均数x ＝17×(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝17×5 250＝750(元)． (2)由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由(1)所得的平均工资不能反映一般工作人员一周的收入水平．(3)除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为：x ′＝16×(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝16×2 250＝375(元)． 这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平．13．解 设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1,2，…，20)，第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1,2，…，20)，依题意有：x ＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90， y ＝120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80，故全班平均成绩为： 140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20)＝140(90×20＋80×20)＝85； 又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20x 2)， s 22＝120(y 21＋y 22＋…＋y 220－20y 2) (此处，x ＝90，y ＝80)，又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩为z (z ＝85)，故有s 2＝140(x 21＋x 22＋…x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40z 2) ＝140(20s 21＋20x 2＋20s 22＋20y 2－40z 2) ＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51. s ＝51.所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为51.。