(江苏专用版 )2018-2019学年高中数学 4.4.1 参数方程的意义学案 苏教版选修4-4

《4.4.1 参数方程的意义》教案教学目标:1.掌握参数方程的概念;2.理解参数在方程中的意义;3.理解参数方程与普通方程的区别.教学重点:参数方程的概念及对参数的理解.教学难点:由参数方程解有关的量.教学过程:一.教学回顾1､什么是曲线方程?2､P.21. 探究如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行｡为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?二､新课1､由上问题引出:什么是参数方程?一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数x=f(t),y=g(t), 并且对于t的每一个允许值,由此所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程就叫做这条曲线的参数方程.t为参数.2､参数方程与普通方程①参数方程有一个参变量;普通方程给出两个变量直接的关系;②参数有一定的几何或物理意义,也可以没有;③参数方程可以转化为普通方程｡3､变式教学一架救援飞机以100m/s 的速度作水平直线飞行｡在离灾区指定目标1000m 时投放救援物资(不计空气阻力,重力加速 g=10m/s)问此时飞机的飞行高度约是多少?(精确到1m)4､例题例1: 已知曲线C 的参数方程是 (1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M3(6,a)在曲线C 上,求a 的值｡练习: (1)曲线 与x 轴交点坐标是 ;(2)方程 表示的曲线是 ｡ 例2已知曲线C 的参数方程是点M(5,4)在该曲线上. (1)求常数a; (2)求曲线C 的普通方程.5､思考题:动点M 作等速直线运动,它在x 轴和y 轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M 的轨迹参数方程｡三､小结1､学习了参数方程,学生谈学习的意义2､参数方程与普通方程的区别与联系四､作业布置:课后习题23,()2 1.x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数21,(43x t t y t ⎧=+⎨=-⎩为参数）sin ,(cos x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）212,().x t t y at =+⎧∈⎨=⎩为参数,a R。

直线的参数方程〔教学设计〕教学目标：知识与技能：1 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

通过建立直线参数方程的过程教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数〔数轴上的点坐标〕与点在直角坐标系中的坐标之间的联系．教学过程：一、复习回忆：1直线的方向向量的概念．2在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？3一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．4如何建立直线的参数方程？二、师生互动，新课讲解1．回忆数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并答复下列问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M 的坐标为，那么：①为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且；②当与方向一致时〔即的方向与数轴正方向一致时〕，；当与方向相反时〔即的方向与数轴正方向相反时〕，；当M与O重合时，；③【设计意图】回忆数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．2类比分析，异曲同工问题：〔1〕类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否认义成数轴？〔2〕把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线上的定点为原点，与直线平行且方向向上的倾斜角不为0时或向右〔的倾斜角为0时〕的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上确定进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴．于是，直线上的点就有了两种坐标〔一维坐标和二维坐标〕．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3 选好参数，柳暗花明问题〔1〕：当点M在直线上运动时，点M满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线当成数轴后，直线上点M运动就等价于向量变化，但无论向量怎样变化，都有．因此点M在数轴上的坐标决定了点M的位置，从而可以选择作为参数来获取直线的参数方程．【设计意图】明确参数．问题〔2〕：如何确定直线的单位方向向量？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此根底上启发学生得出，从而明确直线的方向向量可以由倾斜角来确定．当时，，所以直线的单位方向向量的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．4 等价转化，深入探究问题：如果点,M的坐标分别为，怎样用参数表示？教师启发学生回忆向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：因为，〔〕，，，所以存在实数，使得，即．于是，，即，．因此，经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为〔为参数〕．教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数的取值范围是什么？③参数的几何意义是什么？总结如下：①，是常量，是变量；②；③由于，且，得到，因此表示直线上的动点M到定点的距离．当的方向与数轴〔直线〕正方向相同时，；当的方向与数轴〔直线〕正方向相反时，；当时，点M与点重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此根底上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．三、运用知识，培养能力1直线为参数上有B，C两点，它们对应的参数值分别为-2,4，那么线段BC的中点M对应的参数值是____________________2过点P -2,0且倾斜角为的直线截椭圆所得的弦长为_______________°．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比拟：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过此题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．三、课堂小结，稳固反思：〔1〕直线参数方程求法；〔2〕直线参数方程的特点；〔3〕根据条件和图形的几何性质，注意参数的意义。

4．4．4.1～4.4.2 参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化1．参数方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，就叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的范围保持一致．[例1] 指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t (t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －2－t ，y ＝2t＋2－t (t 为参数)． [思路点拨] 分析参数方程的结构特征，恰当地选择方法消去参数．[对应学生用书P19][对应学生用书P19][精解详析] (1)∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16.它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆． (2)∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x 5)2＋(y4)2＝cos 2t ＋sin 2t ＝1， 即x 225＋y 216＝1. 它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆． (3)∵x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，∴y 2－x 2＝4.又2t >0，y ≥22t ·2－t ＝2，故y 2－x 2＝4(y ≥2)，它表示双曲线的上支．1．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、加减消元法、利用恒等式(三角的或代数的)消元法，但要注意等价性，要先由参数范围求出x ，y 范围后再消参．2．普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x ，y 中之一的函数关系，对同一个普通方程，由于选择参数不同，得到的参数方程也不同．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t (t 为参数，t ＞0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.2．根据下列条件求椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程：(1)设y ＝sin θ，θ为参数； (2)设x ＝2t ，t 为参数．解：(1)把y ＝sin θ代入椭圆方程，得到x 24＋sin 2θ＝1，于是x 2＝4(1－sin 2θ)＝4cos 2θ，即x ＝±2cos θ，由于θ具有任意性，sin θ与cos θ的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号，所以取x ＝2cos θ.因此，椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)．(2)把x ＝2t 代入椭圆方程，得到4t 24＋y 2＝1.于是y 2＝1－t 2，即y ＝±1－t 2.因此，椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝2t ，y ＝1－t 2，(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－1－t 2，(t 为参数).[例2] 求经过点0[思路点拨] 写出直线的普通方程，选择恰当参数得参数方程． [精解详析] 如图，由题意知，直线的普通方程是y ＋1＝(x －2)tan α，直线方程可化为y ＋1sin α＝x －2cos α.令y ＋1sin α＝x －2cos α＝t ，选择t 为参数， 得直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．其中参数t 的几何意义是有向线段M 0M 的数量．1．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．对于上述参数方程要注意以下几点：(1) 参数方程中α、x 0、y 0都是常数，t 是参数且α是直线的倾斜角．(2)参数t 的几何意义是有向线段M 0M 的数量，|t |表示直线上的动点M 到定点M 0的距离．(3)若令a ＝cos α，b ＝sin α，则直线方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，(t 为参数)且a 2＋b 2＝1，b ≥0.3．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角． 解：法一：直线的斜率 ＝－cos 20°sin 20°＝－sin 70°cos 70°＝－tan 70°＝tan 110°. ∴倾斜角为110°.法二：将方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ， 得y ＝－(x －3)tan 70°，即y ＝(x －3)tan 110°， ∴倾斜角为110°.法三：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋(－t )cos 110°，y ＝(－t )sin 110°，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°(t ′为参数)． ∴直线的倾斜角为110°.4.(湖南高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，求常数a 的值．解：先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意.[例3] (1)x 2＋y 2＝9；(2)(x －2)2＋(y －3)2＝9.[思路点拨] 联想三角函数选择角为参数可求参数方程．[精解详析] (1)如图，设M (x ，y )为圆上任一点，射线Ox 轴逆时针旋转到OM 形成的角为α，取α为参数．则圆x 2＋y 2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数 )．(2)设x －2＝cos α，y －3＝sin α，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α. 因此圆(x －2)2＋(y －3)2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos α，y ＝3＋3sin α(α为参数)．1．圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数)．2．圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)．3．利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，可以根据条件，用圆的参数把动点的坐标表示出来，然后利用坐标之间的关系，得到动点的轨迹方程．5．(陕西高考改编)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：由x 2＋y 2－x ＝0，得⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14， 即圆的半径r ＝12.∵OP ＝2r ·cos θ＝cos θ， ∴x ＝OP ·cos θ＝cos 2θ， y ＝OP ·sin θ＝cos θ·sin θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)．6.如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹的参数方程．解：设点M (x ，y )．∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．∴设点P (4cos θ，4sin θ)，由线段中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2，(θ为参数)．即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)．1．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t ，(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)的交点个数． 解：直线的普通方程为x ＋y －1＝0， 圆的普通方程为x 2＋y 2＝32， 圆心到直线的距离d ＝22＜3， 故直线与圆的交点个数是2.3．已知A ＝{(x ，y )|x ＝2cos α，y ＝2sin α＋m ，α为参数}，B ＝{(x ，y )|x ＝t ＋3，y ＝3－t ，t 为参数}，且A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解：由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋m ，得[对应学生用书P21]x 2＋(y －m )2＝2cos 2α＋2sin 2α＝2. 所以A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －m )2＝2}．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t ，得x ＋y ＝6， 所以B ＝{(x ，y )|x ＋y －6＝0}． 因为A ∩B ≠∅，所以|m －6|2≤2，解得4≤m ≤8.4．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，求此直线的倾斜角α.解：直线化为：y ＝x ·tan α， 圆化为：(x －4)2＋y 2＝4，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于2，如图， ∴sin α＝24＝12，α＝π6或56π.5．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围．解：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ即为圆(x －2)2＋y 2＝1.∵直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点， ∴圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1，即|2－b |2<1. 解得2－2<b <2＋ 2.即b 的取值范围为(2－2，2＋2)．6．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2. 由x ＝1＋2t ，得t ＝x －12，代入y ＝t 2，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .7．圆的方程是x 2＋y 2－2a cos θ·x －2a sin θ·y ＝0. (1)若a 是参数，θ是常数，求圆心的轨迹； (2)若θ是参数，a 是常数，求圆心的轨迹． 解：将方程x 2＋y 2－2a cos θ·x －2a sin θ·y ＝0配方， 得(x －a cos θ)2＋(y －a sin θ)2＝a 2.设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，①y ＝a sin θ.②(1)若a 是参数，θ是常数，当cos θ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ表示直线x ＝0.当cos θ≠0，由①，得a ＝xcos θ .③把③代入②，得y ＝xcos θ·sin θ＝tan θ·x .所以轨迹是过原点，斜率为tan θ的直线． (2)若θ是参数，a 是常数， ①2＋②2，得x 2＋y 2＝a 2.由于a ≠0，所以轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，试在椭圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．解：法一：由题设可知l 的普通方程为x ＋2y －4＝0，设P (2cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15⎣⎡⎦⎤4－22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，d 取最小值，此时θ＝2 π＋π4( ∈ )，所以2cos θ＝2cos π4＝2，sin θ＝sin π4＝22.所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎫2，22. 法二：设与直线l 平行的直线l 1方程为x ＋2y ＝m ，当l 1与C 只有一个公共点且l 1与l 距离最小时，l 1与C 的公共点即为所求的点P .椭圆的普通方程为x 24＋y 2＝1.将x ＋2y ＝m 代入此方程，消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0.由题意，Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0，解得m ＝±2 2.l 1与l 的距离为d ＝|m －4|5，所以当m ＝22时，d 最小，此时点P的坐标为⎝⎛⎭⎫2，22.。

4.4.1 参数方程的意义自主整理1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x .反过来，对于t 的每个允许值，由函数式x=f(t),⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x 所确定的点P(x,y)都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的____________，其中的变量t 是____________，简称____________．答案:参数方程 参变数 参数2．中心在原点的椭圆12222=+by a x 的参数方程为______________,中心在C(x 0,y 0)的椭圆1)()(220220=-+-b y y a x x 的参数方程为______________（其中a ＞０，b ＞0，a≠b，φ是参数）．参数φ的几何意义是椭圆的______________，并非旋转角.答案:⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00b y y a x x 离心角 高手笔记1．通过对生活中实际例子的研究，发现有些问题要建立直角坐标系，直接找出x 和y 的关系并不容易，甚至不太可能．因此，建立参数方程显得非常必要．2．参数方程也是表达曲线坐标关系的一种方式，简单地说，参数方程就是用参数表示横坐标x 和纵坐标y 的关系式，其一般式为⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x （t 为参数）．也可以把它当成一个方程组．它使坐标之间的关系更加明显，并且有些参数还有一定的几何意义（例如圆、椭圆、直线的参数方程），适当利用这些几何意义可以简化运算，使运算更简洁．名师解惑1．研究曲线的参数方程具有什么实际意义？剖析：在日常生活和工农业生产中，常涉及到曲线的参数方程，如物理学中物体的平抛运动规律，要知道所抛出的物体在下落的过程中各时刻所处的位置，显然与抛出的时间有着密切的关系；再如发射出去的炮弹，我们常常想知道所发出去的炮弹所在的位置，同样与发射出去的时间有着紧密的联系，显然像以上两种情形自然会去考虑以时间作为参数建立相应的方程，以便准确地把握所想掌握的信息．此时用参数方程来描述运动规律，常常比用普通方程更为直接简便．有些重要但较复杂的曲线，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解．由此可见，曲线的参数方程是从实际生活中抽象出来的，并非人们的凭空想象，人们通过对曲线参数方程的研究，从而更好地利用它来为人类造福，指导工农业生产．2．曲线的参数方程具有什么特点？剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系．在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点.反过来,对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x ，y ）都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．讲练互动【例题1】设飞机以匀速v ＝150 m/s 作水平飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹（假设炸弹的初速度等于飞机的速度），（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标？思路分析：这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹（看作质点）的水平方向和竖直方向的运动表示出来．解：(1)如图所示，A 为投弹点，坐标为（0，588），B 为目标，坐标为（x 0，0）．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝０．设M(x,y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==),/8.9(21588,220s m g gt y t x υ即⎩⎨⎧-=.9.4588,1502t t x 这是炸弹飞行曲线的参数方程． （２）炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝０，即588－4.9t 2＝０，解得t 0＝302．由此得x 0=150×302=30300≈1 643（m ）,即飞机在离目标1 643 m （水平距离）处投弹才能击中目标．绿色通道准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题解决．变式训练1.已知弹道曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2216sin 2,6cos 2gt t y t x ππ(g=9.8m/s 2).(1)求炮弹从发射到落地所需的时间;(2)求炮弹在运动中达到的最大高度.解：（１）令y=2tsin 6π-21gt 2=0，即4.9t 2-t=0．解得t ＝０或t≈0.2． 所以炮弹从发射到落地所需时间约为0.2秒． （２）由y=t-4.9t 2,得y=-4.9(t 2-4910t)=-4.9(t-495)2+49025. 所以当t=495时，y 取最大值49025≈0.05． 所以炮弹在运动中达到的最大高度为0.05米．2．曲线⎩⎨⎧-=+=34,12t y t x 与x 轴交点的坐标是（ ） A.(1,4) B.(1625,0) C.(1,-3) D.(±1625,0) 解析：令y ＝0，即4t-3＝0，解得t=43.于是x=1+(43)2=1625．所以曲线⎩⎨⎧-=+=34,12t y t x 与x 轴交于点（1625，０）． 答案：Ｂ【例题2】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀速圆周运动，角速度为2π rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．思路分析：求动点的轨迹方程实际上就是寻求动点的横、纵坐标之间的关系，其参数方程就是通过一个参变量把动点的横、纵坐标分别表示出来．解：如图所示，设运动开始时质点位于A 点处，时刻为t ＝0．设动点M(x,y)对应时刻t ，由图可知⎩⎨⎧==.sin 2,cos 2θθy x 又θ=2πt ，从而质点运动轨迹的参数方程为⎩⎨⎧==)2sin(2),2cos(2t y t x ππ（t为参数，t≥0）．绿色通道当所求曲线上的点在已知曲线上时，常用代入法求曲线的方程．变式训练3.与方程xy=1表示相同曲线的参数方程（设t 为参数）是（ ） A.⎪⎩⎪⎨⎧==221t y t x B.⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin 1sin C.⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x cos 1cos D.⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x tan 1tan 解析：四个选项都满足xy=1，但注意到在方程xy=1中，x 的取值范围是{x|x∈R ,且x≠0}，而A 中x≥0，B 、C 中x∈［－1，1］，只有D 选项中的x 符合x∈R ,且x≠0．答案：D【例题3】 已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 4,cos 2t y t x 点M 在椭圆上，对应参数t=3π，点O 为原点，求直线OM 的斜率．思路分析：要求直线OM 的斜率，就是要先求出点M 的坐标，然后代入斜率公式中求解．解：点M 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====,323sin 4,13cos 2ππy x 所以直线OM 的斜率32132==k ． 黑色陷阱不少同学常常忽视或混淆参数的几何意义，错误地认为M 对应的参数t=3π就是直线OM 的倾斜角．变式训练4．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧-=+=,sin 2,cos 31t y t x 点P 为椭圆上对应t=6π的点，求直线OP 的斜率． 解：由椭圆的参数方程⎩⎨⎧-=+=,sin 2,cos 31t y t x 得对应t=6π时点P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,6sin 2,6cos 31ππy x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,1,2233y x 也就是P (2233+,-1).所以直线OP 的斜率为k=2332+-．。

参数方程的意义
【教学目标】
1．掌握参数方程的定义。

2．熟练运用参数方程的意义解决具体问题。

3．亲历参数方程的意义的探索过程，体验分析归纳得出参数方程的意义，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】
重点：掌握参数方程的意义。

难点：参数方程的意义的实际应用。

【教学过程】
一、直接引入
师：今天这节课我们主要学习参数方程的意义，这节课的主要内容有参数方程的定义，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解参数方程的定义内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习参数方程的定义，它的具体内容是：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标,x y都可以表示为某个变
量的函数
()
()
y g t
x f t
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
反过来，对于t的每个允许值，由函数式
()
()
t g x
t f y
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
所确定的点()
,
P x y都在。

高二数学椭圆的参数方程无锡市第六高级中学吴华一、整体设计说明1.课题及学情分析“椭圆的参数方程”内容选自《苏教版高中数学选修4-4》：参数方程中参数方程的意义中的例1。

椭圆的参数方程的应用不仅是高考附加的重点和热点，而且是解决与椭圆的坐标有关问题的最简捷有效的方法。

椭圆的参数方程，指的是将椭圆上点的坐标和用同一个参数表示。

利用换元、消元思想，解决与坐标和有关的题型，降低解题的计算算量，优化解题过程。

从学生的知识储备情况上看，他们已经系统学习三角公式，圆的参数方程，具备了推导椭圆参数方程和应用椭圆参数方程的能力。

2.教学目标及重难点本节课的教学目标是：①明确椭圆参数方程的由来；②结合实例体会和理解，与椭圆有关的问题类型；③掌握利用椭圆参数方程解题。

本节课的教学重点：椭圆参数方程与普通方程的互换；椭圆参数方程的应用。

教学难点：椭圆参数方程中离心角的几何意义。

3.本节课适用微课教学的原因？椭圆的参数方程是选修4-4参数方程中相对独立地内容，知识容量相对较小，学生易于理解。

教材对本节内容有明确的知识要求，高考是常考题，占的比重大，该部分知识是学习的重点。

椭圆参数方程，可以延伸的内容及其广泛。

利用微课教学：视频预习，带动学生的学习热情，促进一部分有研究意识的学生，较早系统的关注椭圆；翻转课堂的课堂教学，帮助解决学生在学习椭圆参数方程中出现的疑惑，并且提升学生对椭圆的整体题型把握。

教师借助椭圆参数方程的微课学习活动，将知识“活化”，用一些学生比较喜爱的、直观的、简洁的方式，促进一部分有研究意识的学生，对椭圆相关概念，知识体系进行分析，及早帮助学生，适度克服椭圆解析几何题的大运算的心理负担。

二、微课设计思想第一步，类比三角公式in2θco2θ=1，直接给出焦点在轴和轴上的椭圆的参数方程的一般性结论；第二步，利用数形结合，体会和感受椭圆参数方程的由来，以及其中的参数几何意义；第三步，总结归纳，比较，再次体会椭圆的普通方程如何转化为参数方程。

4.4 参数方程4．4.1参数方程的意义课标解读1.理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程．2.通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义.1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t ，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．2．求参数方程的一般步骤(1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；(3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点M 的坐标与参数的函数关系式； (4)证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)．1．从参数方程的概念来看，参数t 的作用是什么？什么样的量可以当参数？【提示】 参数t 是联系变数x ，y 的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．在选择参数时，要注意什么？【提示】 在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标x ，y 有函数关系，且x ，y 便于用参数表示； ②选择的参数要便于使问题中的条件明析化；③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x ，y 取值范围的制约； ④若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．(1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．【自主解答】 (1)把点M 1(0,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1，解得t ＝0，故点M 1在曲线C 上，把点M 2(5,4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧5＝3t ，4＝2t 2＋1，这个方程组无解，因此点M 2(5,4)不在曲线C 上，(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝9，故a ＝9.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，求常数a .【解】 ∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.如图4－4－1，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．图4－4－1【自主解答】 法一 设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q . 如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵OA ＝a 2－t 2， ∴BQ ＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t(0＜t ＜a )．法二 设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示． 取∠QBP ＝θ，θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中，OB ＝a cos(π2－θ)＝a sin θ.在Rt △QBP 中，BQ ＝a cos θ，PQ ＝a sin θ.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ＋cos θ，y ＝a sin θ(θ为参数，0＜θ＜π2)．求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为π60rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．【解】 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60t (t 以s 为单位)，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t (t 为参数，t ≥0)．(教材第56页习题4.4第1题)物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出．以抛出点为原点，水平直线为x 轴，写出物体所经路线的参数方程，并求出它的普通方程．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【命题意图】 本题考查参数方程及轨迹方程，主要考查逻辑思维能力和运算求解能力． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．1．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)．下列各点A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．【解析】 将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．【答案】 A (1,3)2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ的焦点坐标为________．【解析】 把椭圆方程化为普通方程，得x 225＋y 216＝1.则a 2＝25，b 2＝16，所以c 2＝9.椭圆的焦点为(－3,0)和(3,0)．【答案】 (－3,0)和(3,0) 3．椭圆x －224＋y 2＝1的一个参数方程为______．【解析】 设x －22＝cos θ，y ＝sin θ，所以椭圆的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝sin θ4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是________．【答案】 线段图4－4－21．如图4－4－2，OB 是机器上的曲柄，长是r ，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA ＝a ，MB ＝b (2r ＜a ＋b )．当点A 在Ox 上做往返运动，点B 绕着O 做圆周运动时，求点M 的轨迹方程．【解】 如题图，设点M (x ，y )，θ＝∠BAO ，由点B 作BC ⊥Ox ，交Ox 于点C ，由点M 作MD ⊥Ox ，交Ox 于点D ，由点M 作ME ⊥BC ，交BC 于点E ，那么y ＝DM ＝a sin θ，x ＝OD ＝OC ＋CD ＝OC ＋EM＝±OB 2－CB 2＋EM ＝±r 2－a ＋b2sin 2θ＋b cos θ，得到点M (x ，y )的坐标满足方程组⎩⎨⎧x ＝b cos θ±r 2－a ＋b2sin 2θ，y ＝a sin θ，即为点M 的轨迹方程．2．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为9 m/s 和12 m/s ，运动开始时，点M 位于A (1,1)，求点M 的轨迹方程．【解】 设t s 后点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t(t ≥0)．3．以椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 与椭圆上任意一点连线的斜率k 为参数，将椭圆方程化为参数方程．【解】 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 的坐标为(－2,0)．设P (x ，y )为椭圆上任意一点(除点A )，则点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋2＝k ，x24＋y 2＝1.将y x ＋2＝k 代入x 24＋y 2＝1，消去x ，得(1k 2＋4)y 2－4ky ＝0.解得y ＝0，或y ＝4k1＋4k 2.由y ＝4k1＋4k2， 解得x ＝21－4k21＋4k2；由y ＝0，解得x ＝2.由于(2,0)满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21－4k21＋4k2，y ＝4k1＋4k 2，所以椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21－4k 21＋4k2，y ＝4k 1＋4k 2.4．△ABC 是圆x 2＋y 2＝1的内接三角形，已知A (1,0)，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解】 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°. 设B (cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，则有C (cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ＋cos θ＋120°3，y ＝sin θ＋sin θ＋120°3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ－32sin θ3y ＝12sin θ＋32cos θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ＋60°3，y ＝sin θ＋60°3.消去θ＋60°，得(3x －1)2＋9y 2＝1， ∵0°＜θ＜240°， ∴－1≤cos(θ＋60°)＜12，∴0≤1＋cos θ＋60°3＜12，即0≤x ＜12.∴△ABC 的重心的轨迹方程为(x －13)2＋y 2＝19(0≤x <12)．图4－4－35．如图4－4－3，过抛物线y 2＝4x 上任一点M 作MQ 垂直于准线l ，垂足为Q ，连接OM 和QF (F 为焦点)相交于点P ，当M 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程．【解】 设直线OM 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k ，所以M (4k 2，4k)，则Q (－1，4k)，于是直线QF 的方程为y ＝4k－1－1(x －1)，即y ＝－2k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－2k x －1，消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0.所以点P 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)．图4－4－46．如图4－4－4所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．【解】 设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．7．已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)，则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin(θ＋π3)，∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]．教师备选8．如图，已知曲线4x 2＋9y 2＝36(x ＞0，y ＞0)，点A 在曲线上移动，点C (6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 的坐标．【解】 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1(x ＞0，y ＞0)，设A (3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，π2)，则B (6,2sin θ)，C (6,4)，D (3cos θ，4)， 所以S ABCD ＝AB ·AD ＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ，则t ∈(1，2]，sin θcos θ＝t 2－12，则S ABCD ＝3(t －2)2＋9.因为t ∈(1，2]，所以当t ＝2时，矩形面积最小，即t ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝2，此时，θ＝π4.所以矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标是(322，2)．4．4.2参数方程与普通方程的互化课标解读 1.能通过消去参数将参数方程化为普通方程．2.能选择适当的参数将普通方程化为参数方程.1．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)，其中参数l 的几何意义：有向线段P 0P 的数量(P 为该直线上任意一点)．2．圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ＋1tcos θ，y ＝at －1tsin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2tt 3－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)．【自主解答】 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1. 代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝x ＋1x －123x 2＋1(x ≠1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14. ②①2＋②2得x 225＋y ＋1216＝1.将下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．【解】 (1)∵x ＝t ＋1t，∴x 2＝t 2＋1t2＋2.把y ＝t 2＋1t2代入得x 2＝y ＋2.又∵x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2；当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴x ≥2或x ≤－2.∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ可化为⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －23，sin θ＝y3.两式平方相加，得(x －23)2＋(y3)2＝1.即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9.普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)x －123＋y －225＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数) 【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入x －123＋y －225＝1得：y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)，这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)，这就是所求的参数方程．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程．【解】 把x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数).利用参数求轨迹方程过A (1,0)的动直线l 交抛物线y 2＝8x 于M ，N 两点，求MN 中点的轨迹方程．【思路探究】 设出直线MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中t 的几何意义及根与系数的关系解题． 【自主解答】 直线MN 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(α≠0，t 为参数)代入y 2＝8x ，得t 2sin 2α－8t cos α－8＝0.设M ，N 对应参数为t 1，t 2，MN 中点G 的参数为t 0，则t 0＝12(t 1＋t 2)＝4cos αsin 2α， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos 2αsin 2α，y ＝4cos αsin α，消去α得y 2＝4(x －1)．1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l 的几何意义．经过点A (－3，－32)，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B 、C 两点．(1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； (3)当BC ＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程． 【解】 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立， ∴方程必有相异两实根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554.(1)BC ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝92cos α＋sin α2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0， 即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0. (3)∵BC ＝92cos α＋sin α2＋55＝8，∴(2cos α＋sin α)2＝1.∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0. (4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)，∴点M 的轨迹方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32cos α2cos α＋sin α，y ＝－32＋32sin α2cos α＋sin α(0≤α<π)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32cos 2α＋12sin 2α，y ＋34＝32sin 2α－12cos 2α.∴(x ＋32)2＋(y ＋34)2＝4516.即点M 的轨迹是以(－32，－34)为圆心，以354为半径的圆．(教材第56页习题4.4第2题)将下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋3t ，y ＝3－4t (t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－1，y ＝3sin θ＋2(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)；(5)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)．(2013·盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系等知识． 【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0， 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －4(t 为参数)化为普通方程为________．【解析】 将x ＝t 代入y ＝2t －4得y ＝2x －4. 又∵x ＝t ≥0，∴普通方程为2x －y －4＝0(x ≥0)． 【答案】 2x －y －4＝0(x ≥0)2．(2013·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)． 【答案】 (1,0)3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________．【解析】 转化为普通方程为y ＝x －2，且x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 【答案】 y ＝x －2(2≤x ≤3)4．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．【答案】 (1,1)1．将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a ＞b ＞0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)．【解】 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆．(2)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p2·2p ＝x ，即y 2＝2px ， 这是一条抛物线．2．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，求r 的值．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x－4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程为y ＝－32x ＋72，斜率k 1＝－32，当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k，由k 1k 2＝(－32)×(－4k)＝－1得k ＝－6；当k ＝0时，直线y ＝－32x ＋72与直线4x ＝1不垂直．综上可知，k ＝－6.4．过椭圆x 29＋y 24＝1内一定点P (1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．【解】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入方程x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝18k29k 2＋4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9k 29k 2＋4，y ＝kx －1＝－4k9k 2＋4，∴x y ＝－94k ， 即k ＝－4x 9y，代入y ＝k (x －1)中，得4x 2＋9y 2－4x ＝0，即x －12214＋y 219＝1.① 当AB ⊥Ox 轴时，线段AB 的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为x －12214＋y 219＝1.点M 的轨迹是以O 、P 为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆．5．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，α∈R )，点M (5,4)在该曲线上，(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ， ①y ＝t 2， ②由①得t ＝x －12，代入②得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求．6．已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：ρcos(θ＋π4)＝22与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t ∈R )交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB .【证明】 曲线C 1的直角坐标方程为x －y ＝4，曲线C 2的直角坐标方程是抛物线y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将这两个方程联立，消去x ， 得y 2－4y －16＝0⇒y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝4.∴x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1＋4)(y 2＋4)＋y 1y 2＝2y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋16＝0，∴OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB . 7．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹．【解】 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ②①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即x ′2＝2(y ′＋12)，∴所求点P 的轨迹方程为x 2＝2(y ＋12)(|x |≤2，|y |≤12)．它是顶点为(0，－12)，开口向上的抛物线的一部分．教师备选8．在平面直角坐标系xOy 中，求圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝2 2.若直线l 与圆C 相切，求r 的值．【解】 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程得：x －y －4＝0， 将圆C 的参数方程化为普通方程得：(x ＋1)2＋y 2＝r 2， 由题设知：圆心C (－1,0)到直线l 的距离为r ，即r ＝|－1－0－4|12＋－12＝522， 即r 的值为522.4．4.3参数方程的应用第1课时 直线的参数方程的应用直线的参数方程直线参数方程的常见形式：过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)．其中参数l 的几何意义是有向线段P 0P 的数量，|l |表示P 0P 的长度．1．怎样理解参数l 的几何意义？【提示】 参数l 的几何意义是P 0到直线上任意一点P (x ，y )的有向线段P 0P 的数量．当点P 在点P 0的上 方或右方时，l 取正值，反之，l 取负值；当点P 与P 0重合时，l ＝0. 2．如何由直线的参数方程求直线的倾斜角？【提示】 如果直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)的形式，由方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 15°，y ＝1＋t sin 15°，则直线的倾斜角为15°.如果不是上述形式，例如直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 15°，y ＝1＋t cos 15°(t 为参数)的倾斜角就不能直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin 15°，y －1＝t cos 15°，消去t ，有y －1＝1tan 15°(x －1)，即y －1＝tan 75°(x －1)，故倾斜角为75°.第二种方法：把原方程化为参数方程和标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 75°，y ＝1＋t sin 75°，可以看出直线的倾斜角为75°.已知直线l 过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.(1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点． 【自主解答】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 得两直线的交点为(3,4)．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A 、B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比． 【解】 设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数λ＝APPB， 则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)．①把①代入y ＝x ，得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以M 分AB 的比：AMMB＝1.直线参数方程的应用求直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长．【思路探究】 先求出直线和双曲线的交点坐标，再用两点间的距离公式，或者用直线参数方程中参数的几何意义求弦长． 【自主解答】 令t ＝112＋32t ′，即t ′＝2t ，则直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ(其中sin θ＝32，cos θ＝12)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ代入双曲线方程，得t ′2－4t ′－6＝0，所以弦长＝|t 1′－t 2′|＝t 1′＋t 2′2－4t 1′t 2′＝42＋4×6＝210.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 中t 的几何意义为定点P 0(x 0，y 0)到动点P (x ，y )的有向线段的数量，有两个原则：其一为a 2＋b 2＝1，其二为b ≥0.这是因为α为直线的倾斜角时，必有sin 2α＋cos 2α＝1及sin α≥0.不满足上述原则时，则必须通过换元的方法进行转化后，才能利用直线参数方程的几何意义解决问题．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a .∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，∴a ＝4.【答案】 4(教材第57页习题4.4第6题)运用4.4.2小节中例3的结论：(1)求经过点P (1，－5)，倾斜角是π3的直线的参数方程；(2)求(1)中的直线与直线x －y －23＝0的交点到点P 的距离．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【命题意图】 本题考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化、分析问题的能力和运算能力．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α＝________.【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.【答案】 135°2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是________．【解析】 当x ＝－2＋5t ＝0时，解得t ＝25，可得y ＝1－2t ＝15，当y ＝1－2t ＝0时，解得t ＝12，可得x ＝－2＋5t ＝12，∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0，15)，(12，0)．【答案】 (0，15)，(12，0)3．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________．【解析】 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t 化为普通方程为x －22y ＝0.∴点(－3,0)到直线的距离为|－3－0|1＋－222＝1.【答案】 1 4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．【答案】141．已知直线l 经过点P (1，－33)，倾斜角为π3，求直线l 与直线l ′：y ＝x －23的交点Q 与点P 的距离|PQ |.【解】 ∵l 过点P (1，－33)，倾斜角为π3，∴l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－33＋t sinπ3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)．代入y ＝x －23，得－33＋32t ＝1＋12t －23， 解得t ＝4＋23，即t ＝23＋4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝PQ ，∴PQ ＝4＋2 3.2．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入圆的方程x 2＋y 2＝9，得5t 2＋8t －4＝0，t 1＋t 2＝－85，t 1t 2＝－45.|t 1－t 2|2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝6425＋165＝14425，所以弦长＝22＋1|t 1－t 2|＝5·125＝1255.3．已知椭圆x 216＋y 24＝1和点P (2,1)，过P 作椭圆的弦，并使点P 为弦的中点，求弦所在的直线方程．【解】 设弦所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入椭圆方程x 216＋y 24＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)·t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0，所以t 1＋t 2＝－4cos α＋2sin αcos 2α＋4sin 2α，因为P 是弦的中点，所以t 1＋t 2＝0， 即－4cos α＋2sin αcos 2α＋4sin 2α＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－12.又P (2,1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点作两条互相垂直的弦OA ，OB ，求线段AB 中点M 的轨迹的普通方程． 【解】 由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA 的方程为y ＝kx ，则OB 的方程为y ＝－1k x ，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p k2，y ＝2pk .所以A 点坐标为(2p k 2，2p k)．同理可求得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )．设AB 中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 1k2＋k2，y ＝p1k－k.消去k 得y 2＝px －2p 2.所以点M 的轨迹方程为y 2＝px －2p 2.5．(2012·湖南高考改编)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，试求a 的值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32.6．已知直线l 经过点P (1,0)，倾斜角为α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与椭圆x 2＋4y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos π6，y ＝t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)．(2)联立直线与圆的方程得 (1＋32t )2＋4(t 2)2＝4，∴74t 2＋3t －3＝0， 所以t 1t 2＝－127，即|t 1||t 2|＝127.所以P 到A 、B 两点的距离之积为127.7．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A 、B 两点． (1)求AB ；(2)求AB 的中点M 的坐标及FM . 【解】 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)， 依题意，设直线AB 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋15t ，y ＝25t(t 为参数)，其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝25，α为直线AB 的倾斜角，代入y 2＝8x 整理得t 2－25t －20＝0.则t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20. (1)AB ＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝252＋80＝10.(2)由于AB 的中点为M ， 故点M 对应的参数为t 1＋t 22＝5，∴M (3,2)，FM ＝|t 1＋t 22|＝ 5.教师备选8．如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离PM ； (2)点M 的坐标； (3)线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)．(*)∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得PM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M (4116，34)．(3)AB ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝5873. 第2课时 圆、椭圆的参数方程的应用1．圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)．其中，参数α的几何意义是以圆心A (a ，b )为顶点，且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角．2．椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同．2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1.利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图．圆的参数方程的应用在圆x 2＋2x ＋y 2＝0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5＝0的距离最大．【自主解答】 圆的方程x2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1，所以设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝sin θ.设P (－1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线2x ＋3y －5＝0的距离为d ＝|2－1＋cos θ＋3sin θ－5|22＋32＝|2cos θ＋3sin θ－7|13＝|13sin θ＋α－7|13(其中sin α＝21313，cos α＝31313)．当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝3π2，即θ＝3π2－α时，d 取到最大值13＋71313，此时x ＝－1＋cos θ＝－1－21313，y ＝sin θ＝－31313，即点P (－1－21313，－31313)即为所求．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值． 【解】 圆x2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．∴x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2α＋2cos αsin α＋3sin 2α ＝1＋cos 2α2＋sin 2α＋3×1－cos 2α2＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋2sin(2α－π4)．则当α＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最大值为2＋2，当α＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最小值为2－ 2.已知实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求：(1)x ＋y 的最大值； (2)x 2＋y 2的取值范围．【思路探究】 本题表面上看是代数题，但由于方程3x 2＋2y 2＝6x 可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解．【自主解答】 方程3x 2＋2y 2＝6x ，即(x －1)2＋y 232＝1.设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝ 32sin θ.(1)x ＋y ＝1＋cos θ＋ 32sin θ ＝1＋52sin(θ＋α)(其中tan α＝63，θ∈[0,2π))． 所以x ＋y 的最大值为1＋102.(2)x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋(32sin θ)2 ＝1＋2cos θ＋cos 2θ＋32sin 2θ＝52－12cos 2θ＋2cos θ＝－12(cos θ－2)2＋92，因为cos θ∈[－1,1]，所以0≤x 2＋y 2≤4.利用椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，将问题转化为三角函数问题处理．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C的离心率为e ＝63. 【答案】63(教材第47页例1)如图4－4－5，已知M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，A (a,0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．(2013·镇江模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力和转化与化归思想． 【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0， 所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4x ，则它的参数方程是 ________．【解析】 x 2＋y 2＝4x 可化为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心为(2,0)，半径r ＝2.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)2．椭圆⎩⎨⎧x ＝32cos φ，y ＝23sin φ(φ为参数)的焦距是________．【解析】 根据参数方程，可知a ＝32，b ＝2 3.∴c ＝322－232＝18－12＝6， ∴焦距为2c ＝2 6. 【答案】 2 63．椭圆x 23＋y 2＝1上的点到直线x －y ＋6＝0的距离的最小值为________．【解析】 设P (3cos θ，sin θ)是椭圆上的点，则点P 到直线x －y ＋6＝0的距离 d ＝|3cos θ－sin θ＋6|2＝|2cos θ＋π6＋6|2，当cos(θ＋π6)＝－1时，d 取到最小值，最小值为2 2.【答案】 2 24．点P (x ，y )在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上运动，则3x ＋4y 的最大值为________，yx的最小值为________． 【解析】 设x ＝1＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以3x ＋4y ＝7＋3cos θ＋4sin θ＝7＋5sin(θ＋α)(其中sin α＝35，cos α＝45)，所以当sin(θ＋α)＝1时，3x ＋4y 取到最大值12.设t ＝y x ＝1＋sin θ1＋cos θ，则sin θ－t cos θ＝t －1，从而1＋t 2sin(θ－α)＝t －1(其中sin α＝t1＋t2，cos α＝11＋t2)，t －11＋t2＝sin(θ－α)， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －11＋t 2≤1，解得t ≥0，即y x 的最小值为0. 【答案】 12 01．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值． 【解】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ ＝4cos 2θ＋43sin 2θ＝8sin(2θ＋π6)．所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8；当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1，y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值． 【解】 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【解】 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.AB ＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OPA ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0，。

“参数方程的意义”教学设计宿迁市马陵中学李毅1．教材分析所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修4-4）》（苏教版），内容是第4章第1节。

曲线与方程的概念是解析几何的基本概念，解析几何主要研究两个基本问题：建立曲线方程和利用曲线方程研究曲线的性质。

“参数方程”相对于普通方程，是曲线的另一种表达形式，它弥补了普通方程表示曲线方程的不足，特别是在研究一类比较复杂的运动轨迹（如弹道曲线、摆线、心形线等）时，表现出的较大灵活性和深刻性，更是“数”和“形”的又一次完美结合。

通过对参数方程的学习，使学生掌握参数方程基本概念，了解曲线方程的多种表达形式，体会从实际问题抽象数学问题的过程，培养学生探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。

2．教学目标（1）理解曲线参数方程的概念，明确参数方程与普通方程的关系；（2）通过对直线、圆、椭圆以及斜抛运动等常见曲线的参数方程的研究，了解参数意义，体会学习参数方程的优越性和必要性，形成数学抽象思维的能力；（3）创设数学活动，感知数学知识之间的内在联系，感受人类思维和智慧的魅力，培养和激发学生学习数学的兴趣和热情。

教学重点：参数方程概念的建构。

教学难点：建立曲线的参数方程的方法。

教学设计：1．创设情境，引入课题直线经过点（1,2），若将直线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得的直线与重合，求直线的方程。

（必修2 、N两点，自M作MT⊥OX，垂足为T,自N作NT,垂足为P,求点P的轨迹方程设计意图：通过这个例题我们发现普通方程、参数方程各有利弊，固然参数方程在研究比较复杂的运动轨迹时有极大的优越性，但普通方程能帮助我们发现曲线的类型。

这也提醒我们学习新的知识之后，不能喜新厌旧，要把新旧知识进行对比，优势互补，新旧合璧，发挥最大效果。

7．回顾小结，提炼升华教师：本节课学习了什么概念？解决了什么问题？体现了哪些数学思想方法？还有哪些新的收获？师生合作，围绕以下三方面进行总结：（1）概念剖析：参数方程的意义；（2）问题分析：合理选择曲线方程形式，学会应用参数方程解决实际问题，体验参数的基本思想；（3）思想方法：从特殊到一般、类比等数学方法。

“参数方程的意义”的教学设计江苏省太湖高级中学 214125 翟洪亮数学素养是不同于具体数学知识，不是短期教出来的，而是以具体知识为载体，渗透在教学活动的各个环节中．通过长期教学规划，不断积累，逐步形成数学活动经验，学生的数学素养方能得到提高，能力才得以发展．现以苏教版选修4-4教材的单元参数方程的起始课——《参数方程的意义》的教学为例与大家交流．1教学过程创设情境 激活思维参数方程的意义作为起始的概念课，内容较为抽象，学生理解比较困难加之是借班级上的展示课，对学生不太了解，而且授课对象是一所三星级高中的学生，数学基础相对不好，所以笔者考虑课堂起点要低，要立足于学生已有的数学素养，应先通过简单问题，创设情境，调动学生参与，活跃课堂气氛，故编写下面一道直线型的问题：问题1 一个质点(,)P x y 在平面直角坐标系上运动，初始点在(1,2)A 处，横坐标x 按每秒增加1个单位的速度，纵坐标y 按每秒减少2个单位的速度同时变化求（1）质点P 的坐标与时间t （单位秒）的关系式； （2）质点P 在2t =秒的坐标； （3）何时质点P 位于(6,8)-？ （4）质点P 运动的轨迹方程设计目的 通过问题（1）让学生自己列出参数方程1,22.x t y t =+⎧⎨=-⎩通过问题（2）让学生感受辅助变量时间t 在一定范围内，每给定一个时间t 的值都能通过参数方程所确定的x 与y 所对应的点(,)P x y 都在射线上通过问题（3）让学生感受射线上的任意一点P 的坐标x 与y 都可以表示为时间变量t 的函数1,22.x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数，0t ≥）通过问题（4）让学生感受参数方程1,22.x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数，0t ≥）可以与普通方程240(1)x y x +-=≥进行互化，但要特别注意范围的等价性 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征通过简单问题让学生感受参数方程正反两方面的条件要求，为学生从中抽象出参数方程定义做好铺垫问题2 一发炮弹自原点作斜抛运动，初速度的大小为980/m s ,与x 轴的夹角为30，水平方向受到阻力，作加速度为20.98/m s 匀减速运动，炮的高度可忽略不计求：（1）开炮t 秒时（没有落地）炮弹的坐标位置； （2）炮弹落地时间设计目的 通过投影炮弹发射图片，激发学生探究热情，改编教材引例，把字母变成具体数字便于学生计算，旨在再次让学生感受参数方程正反两方面的条件要求，为学生抽象出参数方程定义成为可能由问题（1）让学生自己列出参数方程221980cos300.98,21980sin 309.8,2x t t y t t ⎧=⨯⨯-⨯⨯⎪⎪⎨⎪=⨯⨯-⨯⨯⎪⎩(t 为参数）；由问题（2）让学生知道参数的变化范围[0,100]t ∈再引导学生通过所列的参数方程去寻求坐标x 与y 的关系，虽然改编后所用数据便于学生得到y 与x 的函数关系式，仍然不太直接，不如用参数方程来的明了，故可让学生初步感受到参数方程的引入是具有一定的优越性，而且是非常必要的 同时可以加强学生的数学运算和数据分析等数学素养归纳抽象 建构概念通过上述两个问题的探讨，将所得的坐标与辅助变量时间t 进行统一归纳、抽象，自然过渡到参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数(),(),x f t y g t =⎧⎨=⎩反过来，对t 的每一个允许值，由函数式(),(),x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点(,)P x y 都在曲线C 上，那么方程(),(),x f t y g t =⎧⎨=⎩就叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．问题3 判断下列方程是否为参数方程：（1）22,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数）；（2）cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩(ρ为参数）；（3）cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）． 设计目的 通过对问题1、2的分析和解决，让学生积累从具体到抽象的活动经验，从而水到渠成地引入参数方程的概念．学会通过对特殊问题的抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，逐渐养成由特殊到一般的思考问题习惯．通过练习，强化参数方程的概念，注意问题间的区别，突出审题重要性，也为求抛物线和圆的参数方程奠定基础．运用类比 促进理解问题4 由曲线的参数方程间的关系，你能联想到之前哪些与此类似的概念？设计目的 通过回顾类似概念，如直线的方程与方程的直线之间的关系，曲线的方程与方程的曲线之间的关系，曲线的极坐标方程与极坐标方程的曲线之间的关系，加深学生对曲线的参数方程的理解．问题5 求曲线的极坐标方程的基本步骤是什么？求曲线的方程的基本步骤是什么？求在平面内到定点O 的距离为r 的点的轨迹方程．设计目的 让学生发现无论是求曲线的方程，还是求曲线的极坐标方程的基本步骤都是：建系→设点→列式→化简→证明（略），从而认识到求曲线不同形式的方程的步骤是一致的，并通过求圆的方程加以强化．222x y r +=的问题6 求曲线的参数方程的基本步骤是什么？求圆参数方程．设计目的 由上可知求曲线的参数方程的基本步骤也为：建系→设点→列式→化简→证明（略）．引导学生寻求恰当变量作为参数，要从产生圆的根源上去思考，因为圆可看成一条线段绕着它的一个端点逆时针旋转一周，另一个端点的轨迹所形成的图形，再通过几何画板进行演示，让学生认识到选择圆上的点P 所对应的POx θ∠=作为参数，如图1，从而得到圆的参数方程为cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，[0,2)θπ∈），培养学生的直观想象和数据运算能力．追根溯源 建立模型问题7 你是怎么理解圆222x y r +=的参数方程设计目的 通过问题1、2让学生感受到轨迹与运动有关，常选择时间t 作为参数，通过对圆222x y r +=的参数方程求解，让学生感受到轨迹与转动有关，常选择角度θ为参数．对于圆的参数方程cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）本质上是三角函数的定义中cos x r θ=和sin yrθ=的变式，故可联想到同角三角函数关系式22cos sin 1θθ+=，从而将222x y r +=转化为22()()1x yr r+=，帮助学生建立22()()1+=的模型，培养学生数学建模的能力，同时也为学生后面猜想、证明椭圆22221x y a b+=的参数方程做好铺垫．问题8 圆222x y r +=的参数方程可以作为sin ,cos ,x r y r αα=⎧⎨=⎩(α为参数）吗 设计目的 让学生明白普通方程的参数方程不是惟一的，显然参数2παθ=-，参数θ有着明显的几何意义，而参数α的几何意义不直观，因此，在选择参数时要尽量选择具有明显几何意义的变量作为参数，故我们常用cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）作为圆222x y r +=的参数方程，同时也让学生明白参数方程的概念中没有说“参数方程的曲线”的原因所在．问题9 现在你能写出圆222()()C x a y b r -+-=：的参数方程吗 设计目的 通过两种方法求出圆的标准方程222()()C x a y b r -+-=：的参数方程．方法1：过圆心C 作与点x轴平行的直线CA ，在圆C 上任取一点(,)P x y ，记PCA θ∠=,过点P 作PA CA ⊥，可得参数方程cos ,sin ,x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）．方法2：将圆222()()C x a y b r -+-=：变为22()()1x a y b C r r --+=：，联系同角三角函数关系式22cos sin 1θθ+=，令cos x a r θ-=，sin y br θ-=，同样可得参数方程cos ,sin ,x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）．先猜后作 凸显能力问题10 你能写出椭圆22221x y a b+=的参数方程吗设计目的 通过问题7、8、9的多次铺垫，做到厚积薄发，学生能通过模型22()()1+=，联想到同角三角函数的关系式22cos sin 1θθ+=，可顺利得到cos x a θ=，sin yb θ=，故让学生先猜想出椭圆22221x y a b+=的参数方程为cos ,sin ,x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数），在运用数学模型的过程中，发展学生的逻辑推理能力．问题11 若M 为椭圆2222:1x y C a b+=上第一象限内的一点，如图2，设椭圆C 上作出此点． MOx θ∠=，问点M 的坐标是否为(cos ,sin )a b θθ若不是，请在设计目的 学生容易判断点M 的坐标不是(cos ,sin )a b θθ．只有在半径分别为a 、b 的圆中才能容易作出坐标值依次为cos a θ、sin b θ，因此，以原点为圆心，分别过椭圆的顶点作出半径为a 、b 的圆，如图3，连结OM 并延长分别交半径为a 的圆于N 点，半径为b 的圆于K 点，过N 点作x 轴的垂线，垂足为T 点，则cos OT a θ=,过K 点作x 轴的垂线，垂足为S 点，则sin KS b θ=,过K 点作x轴的平行线，交学生的逻辑推理能NT 于P 点，则(cos ,sin )P a b θθ即为所求．在作图过程中锻炼力，从而让学生认识到POT ∠不是点P 所对应的离心角，MOT ∠才是点P所对应的离心角．教师可运用几何画板，拖动点N ，在圆上运动一周，让学生发现：当点N 位于圆与坐标轴相交的4个位置时，MOT POT ∠=∠；当点N 位于第一象限时，MOT POT ∠>∠；当点N 位于第二象限时，MOT POT ∠<∠；当点N 位于第三象限时，MOT POT ∠>∠；当点N 位于第四象限时，MOT POT ∠<∠．旨在通过几何直观展示加深学生对离心角几何意义的认识，提高学生想象能力．方法对比 彰显价值问题12 课后练习：在椭圆2214x y +=上求一点P 的坐标，使点P到直线20x ++=的距离最大（用两种方法）．图2设计目的 让学生巩固解析几何常用方法：设与直线20x ++=平行的直线0x λ++=，则直线0x λ++=与椭圆2214x y +=相切，将直线0x λ++=代入椭圆2214x y +=消去x ，得221640y y λ++-=，由224864(4)0λλ∆=--=，解得4λ=-或4λ=，根据直线位置判断舍去4λ=的情况，再将4λ=-代入221640y y λ++-=，解得y =，可得P ．同时要思考运用所学的参数方程来解：由椭圆2214x y +=的参数方程为2cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），得(2cos ,sin )P θθ，由点到直线距离公式，得d ==，所以当60θ=时，max d ，此时P ．通过对两种方法中数学运算量进行比较，让学生体会到使用参数方程的优越性，增强对参数方程价值的认识，重视对参数方程的学习．2教学感悟要注重概念教学的引入万事开头难，概念教学也一样，引入很重要．教学中要选择学生熟悉的问题创设情境，通过对两个简单问题的分析和解决，先让学生初步感受参数方程概念的表达式，参数方程概念所包含两个方面的条件，参数方程与普通方程互化要注意范围的等价性，以及参数方程的作用等将要研究的问题，从而使学生认识参数方程引入的必要性和优越性，这些恰是本单元将要重点解决的类型问题都在学生不知不觉中得到呈现和解决．正如演奏主曲之前的前奏，起到“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情”的效果．教学从学生已有的知识结构和数学素养出发，立足于学生的最近发展区，设置难度递进的两个问题，引导学生分析方程的结构特征，让学生归纳出参数方程的概念，这为学生理解和运用概念解决简单问题做好准备工作．要做好发展能力的规划学生能力的发展与提高，必须把知识经验纳入自己的认知结构中，内化为自己的能力素质，这需要有主体积极主动的参与和独立深刻的思考．教师是通过教学设计的问题来引导学生思考的，在本课教学中学生能猜出椭圆的参数方程，并能作出椭圆上对应的点，这让听课教师感到震撼，在课堂中学生能力的小宇宙之所以能得到爆发，能力得到体现，课后评课教师一致认为本人的教学设计规划好，椭圆之前的铺垫到位，准备工作做得充分，学生对三角代换和同角的正弦和余弦的平方和为1的数学模型掌握较好，所以当让学生猜椭圆的参数方程时，学生能顺利说出．由此可见，做好规划对发展学生能力非常重要，在教学中教师要做好能力规划意识，小到一节课的规划、一个单元的教学规划，大到一学期乃至一学年的规划，要立足长远，心中有学生，为提高学生的能力服务．要加强数学素养的渗透发展学生的数学核心素养是高中数学教学的主要任务，是一个长期的过程，需要教师在实践中不断探索、努力与完善．数学核心素只能通过学习者自身的领悟、内省、提炼而逐步形成，教师的作用是根据教学内容，在教学设计中做好提醒、引导．教师要把提升学生的数学核心素养渗透到教学的各个环节．在新课引入时，可创设适合的问题情境，培养学生的数学抽象和数学建模能力；在新知的探究过程中，可发展学生的数学推理和数学想象能力；在新知的运用过程中，可培养学生的数学运算和数据分析能力．课堂教学设计是教师通过问题的提出，激发学生对新知的探索，是师生间数学思想的交流，旨在对学生数学素养提升达到“春风化雨，润物无声”的效果．注：本文已发表《中小学数学》2021年第6期。

学业分层测评(九) 参数方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．如图4­4­2，OB 是机器上的曲柄，长是r ，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA ＝a ，MB ＝b (2r ＜a ＋b )．当点A 在Ox 上做往返运动，点B 绕着O 做圆周运动时，求点M 的轨迹方程．图4­4­2【解】 如题图，设点M (x ，y )，θ＝∠BAO ，由点B 作BC ⊥Ox ，交Ox 于点C ，由点M 作MD ⊥Ox ，交Ox 于点D ，由点M 作ME ⊥BC ，交BC 于点E ，那么y ＝DM ＝a sin θ，x ＝OD ＝OC ＋CD ＝OC ＋EM＝±OB 2－CB 2＋EM ＝±r 2－a ＋b2sin 2θ＋b cos θ，得到点M (x ，y )的坐标满足方程组⎩⎨⎧x ＝b cos θ±r 2－a ＋b 2sin 2θ，y ＝a sin θ，即为点M 的轨迹方程．2．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为9 m/s 和12 m/s ，运动开始时，点M 位于A (1,1)，求点M 的轨迹方程．【解】 设t s 后点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t ≥0)．3．以椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 与椭圆上任意一点连线的斜率k 为参数，将椭圆方程化为参数方程．【导学号：98990028】【解】 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 的坐标为(－2,0)．设P (x ，y )为椭圆上任意一点(除点A )，则点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋2＝k ，x24＋y 2＝1.将y x ＋2＝k 代入x 24＋y 2＝1，消去x ， 得(1k 2＋4)y 2－4ky ＝0.解得y ＝0，或y ＝4k1＋4k 2.由y ＝4k1＋4k 2，解得x ＝－4k21＋4k2；由y ＝0，解得x ＝2.由于(2,0)满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k21＋4k2，y ＝4k1＋4k 2，所以椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k21＋4k2，y ＝4k 1＋4k 2.4．△ABC 是圆x 2＋y 2＝1的内接三角形，已知A (1,0)，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解】 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°. 设B (cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，则有C (cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ＋θ＋3，y ＝sin θ＋θ＋3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ－32sin θ3y ＝12sin θ＋32cos θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋θ＋3，y ＝θ＋3.消去θ＋60°，得(3x －1)2＋9y 2＝1， ∵0°＜θ＜240°， ∴－1≤cos(θ＋60°)＜12，∴0≤1＋θ＋3＜12， 即0≤x ＜12.∴△ABC 的重心的轨迹方程为(x －13)2＋y 2＝19(0≤x <12)．5．如图4­4­3，过抛物线y 2＝4x 上任一点M 作MQ 垂直于准线l ，垂足为Q ，连接OM 和QF (F 为焦点)相交于点P ，当M 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程．图4­4­3【解】 设直线OM 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k ，所以M (4k 2，4k)，则Q (－1，4k)，于是直线QF 的方程为y ＝4k－1－1(x －1)，即y ＝－2k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－2k x －，消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0.所以点P 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)．6．如图4­4­4所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．图4­4­4【解】 设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．7．已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin(θ＋π3)，∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]．[能力提升]8．如图4­4­5，已知曲线4x 2＋9y 2＝36(x ＞0，y ＞0)，点A 在曲线上移动，点C (6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 的坐标．图4­4­5【解】 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1(x ＞0，y ＞0)，设A (3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，π2)，则B (6,2sin θ)，C (6,4)，D (3cos θ，4)， 所以S ABCD ＝AB ·AD ＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ，则t ∈(1，2]，sin θcos θ＝t 2－12，则S ABCD ＝3(t －2)2＋9.因为t ∈(1，2]，所以当t ＝2时，矩形面积最小，即t ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝2，此时，θ＝π4.所以矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标是(322，2)．。

课题：参数方程的意义第1课时授课人：金灿锋 江苏省南通市天星湖中学【学习目标】弄清曲线参数方程的概念,能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程【学习重点】曲线参数方程的定义及方法【学习难点】曲线参数方程的定义及方法【学习流程】问题引导：1探究：一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？诱思讨论参数方程的定义：一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点x y t ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ),(y x P ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t x y 的横坐标和纵坐标。

3参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x（2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程4关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。

与运动有关的问题选取时间t 做参数与旋转的有关问题选取角θ做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。

21233,1()2 1.(1)(0,1),(5,4)(2)(6,)x t C t y t M M C M a C a =⎧⎨=+⎩例已知曲线的参数方程为参数判断点与曲线的位置关系已知点在曲线上，求的值.cos sin 2x r r y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩例2已知方程请说明其表示的曲线.22319413cos ,22,x y x y t t φφ+===例求椭圆的参数方程（）设为参数;（）设为参数.课时小结：1、参数方程于普通方程是同一关系的两种不同表达方式，两者本质上是一致的2、参数可以是具有物理意义、集合意义的变量，也可以是无实际意义的变量3、参数方程可解决：（1）探求质点运动规律的问题；（2）建立两个变量之间的间接联系；（3）有时参数方程形式上比普通方程简单（物理、几何意义比较明确） 课堂练习：1、曲线2143x t y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数）与轴交点坐标为2、曲线2112x t y t⎧=-⎨=+⎩上的点在第一象限时，参数t 的取值范围为3、若R θ∈，则动点(2cos ,3sin )θθ所确定的曲线方程是4、方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）所表示的曲线方程是_______________。

4.4.1 参数方程的意义1．理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程．2．通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义．[基础·初探]1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t反过来，对于t的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．2．求参数方程的一般步骤(1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；(3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点M 的坐标与参数的函数关系式； (4)证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)．[思考·探究]1．从参数方程的概念来看，参数t 的作用是什么？什么样的量可以当参数？【提示】 参数t 是联系变数x ，y 的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．在选择参数时，要注意什么？【提示】 在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标x ，y 有函数关系，且x ，y 便于用参数表示；②选择的参数要便于使问题中的条件明析化；③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x ，y 取值范围的制约； ④若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．(1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．【自主解答】 (1)把点M 1(0,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1，解得t ＝0，故点M 1在曲线C 上，把点M 2(5,4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧5＝3t ，4＝2t 2＋1，这个方程组无解，因此点M 2(5,4)不在曲线C 上，(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝9，故a ＝9.[再练一题] 1．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，求常数a .【解】 ∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.如图分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．图4­4­1【自主解答】 法一 设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q . 如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵OA ＝a 2－t 2， ∴BQ ＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t(0＜t ＜a )．法二 设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示． 取∠QBP ＝θ，θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中，OB ＝a cos(π2－θ)＝a sin θ.在Rt △QBP 中，BQ ＝a cos θ，PQ ＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a θ＋cos θ，y ＝a sin θ(θ为参数，0＜θ＜π2)．求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程．[再练一题]2．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为π60rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．【导学号：98990026】【解】 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60t (t 以s 为单位)，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t (t 为参数，t ≥0)．[真题链接赏析](教材第56页习题4.4第1题)物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出．以抛出点为原点，水平直线为x 轴，写出物体所经路线的参数方程，并求出它的普通方程．已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【命题意图】 本题考查参数方程及轨迹方程，主要考查逻辑思维能力和运算求解能力． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．1．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)．下列各点A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．【导学号：98990027】【解析】 将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．【答案】 A (1,3)2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ的焦点坐标为________．【解析】 把椭圆方程化为普通方程，得x 225＋y 216＝1.则a 2＝25，b 2＝16，所以c 2＝9.椭圆的焦点为(－3,0)和(3,0)．【答案】 (－3,0)和(3,0) 3．椭圆x －24＋y 2＝1的一个参数方程为______．【解析】 设x －22＝cos θ，y ＝sin θ，所以椭圆的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝sin θ4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是________．【答案】 线段我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。