2021届高考数学一轮基础过关训练57：随机事件的概率

2021年高考数学一轮复习第10章概率10.1随机事件的概率学案文[知识梳理] 1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S 下重复n 次实验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．3．事件的关系与运算4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0.(4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． [诊断自测] 1．概念思辨(1)若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )(3)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．( ) (4)事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含结果组成集合的补集．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A3P 113T 1)下列事件中不可能事件的个数为( )①如果a >b ，c >d ，则a －d >b －c ；②对某中学的毕业生进行一次体检，每个学生的身高都超过2 m ；③某电视剧收视率为40%；④从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取2个，2个都是次品；⑤在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ①是必然事件；②⑤是不可能事件；③④是随机事件．故选B.(2)(必修A3P 124A 组T 6)一袋中装有100个除颜色不同外其余均相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别为0.40和0.35，那么黑球共有________个．答案 25解析 设红球、白球各有x 个和y 个，则⎩⎪⎨⎪⎧x100＝0.40，y100＝0.35，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝35，所以黑球的个数为100－40－35＝25.3．小题热身(1)(xx·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1答案 B解析 记3件合格品分别为A 1，A 2，A 3,2件次品分别为B 1，B 2，从5件产品中任取2件，有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型概率公式得所求事件概率为610＝0.6.故选B.(2)(xx·浙江瑞安中学高三月考)一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，现将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于15的概率为________．答案5108解析 将这颗骰子抛掷三次，共63＝216(种)情况．而三次点数之和等于15的有10个(555共1个，456共6个，366共3个)．所以三次点数之和等于15的概率P ＝10216＝5108.题型1 随机事件典例 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .用集合的观点分析．A ∩B ＝∅，则A ，B 为互斥事件；A ∩B ＝∅且A ∪B ＝U ，则A ，B 为对立事件．解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B 与E 是互斥事件；由于事件B 发生会导致事件E 一定不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．方法技巧1．准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．见典例．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．见典例．冲关针对训练口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A ＝“取出的2球同色”，B ＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C ＝“取出的2球至少有1个白球”，D ＝“取出的2球不同色”，E ＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________．①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ∪E )＝1；⑤P (B )＝P (C )．答案 ①解析 当取出的2个球中一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，则③不正确．显然A 与D 是对立事件，①正确；C ∪E 不一定为必然事件，P (C ∪E )≤1，④不正确．由于P (B )＝45，P (C )＝35，所以⑤不正确.题型2 随机事件的频率与概率典例 (xx·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 12 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数605030302010(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P (A )的估计值； (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．采用公式法f n (A )＝n A n.解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得 保费 0.85a a1.25a 1.5a 1.75a2a 频率0.300.250.150.150.100.050．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.1925a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a .[结论探究1] 若本例条件不变，结论变为“试求一续保人本年度的保费高于基本保费的估计值”．解 1－60＋50200＝0.45或30＋30＋20＋10200＝0.45.[结论探究2] 若本例条件不变，结论变为“试求一续保人本年度的保费不低于基本保费的估计值”．解 1－60200＝0.7或50＋30＋30＋20＋10200＝0.7.方法技巧1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数． (2)由频率与概率的关系得所求．见典例．2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键，由所给频率分布表，频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．冲关针对训练(xx·福建基地综合)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求日利润y(单位：元)关于日需求量n(单位：件，n ∈N )的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件)，整理得下表：日需求量n 8 9 10 11 12 频数91115105数；②若该店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间[400,550]内的概率．解 (1)当日需求量n ≥10时，日利润为y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200， 当日需求量n <10时，利润y ＝50×n －(10－n )×10＝60n －100. 所以日利润y 与日需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200，n ≥10，n ∈N ，60n －100，n <10，n ∈N .(2)50天内有9天获得的日利润为380元，有11天获得的日利润为440元，有15天获得日利润为500元，有10天获得的日利润为530元，有5天获得的日利润为560元．所以①这50天的日利润(单位：元)的平均数为 380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×550＝477.2.②日利润(单位：元)在区间[400,550]内的概率为 P ＝11＋15＋1050＝1825.题型3 互斥事件与对立事件的概率典例 (xx·陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1000 xx 3000 4000 车辆数(辆)500130100150120(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．赔付金额大于2800元的有3000元，4000元，且两事件互斥．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.方法技巧求复杂的互斥事件的概率的两种方法1．直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．如典例．2．间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A －)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．冲关针对训练经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.10.16 0.3 0.3 0.1 0.04(2)至少3人排队等候的概率．解 记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ， 则G ＝A ＋B ＋C ，所以P (G )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ，所以P (H )＝P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.1．(xx·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56B.25C.16D.13 答案 A解析 设“两人下成和棋”为事件A ，“甲获胜”为事件B .事件A 与B 是互斥事件，所以甲不输的概率P ＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋13＝56，故选A.2．(xx·湖南衡阳八中模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3 答案 C解析 ∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.故选C.3．(x x·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．答案 23解析 设2本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b ，在书架上的排法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中2本数学书相邻的有a 1a 2b ，a 2a 1b ，ba 1a 2，ba 2a 1，共4种，因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.4．(xx·安徽池州模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________．答案112解析 小明输入密码后两位的所有情况为(4，A )，(4，a )，(4，B )，(4，b )，(5，A )，(5，a )，(5，B )，(5，b )，(6，A )，(6，a )，(6，B )，(6，b )，共12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(xx·湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )A.13B.12C.23D.56 答案 B解析 分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A 1，A 2，A 3，A 4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 2A 3，A 2A 4, A 3A 4，共6个，其中A 1未被选取的结果有3个，所以所求概率P ＝36＝12.故选B.2．(xx·广东中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 答案 C解析 从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.3．(xx·安徽“江南十校”联考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15 答案 D解析 令选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种情况，其中b >a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3种情况，所以b >a 的概率为315＝15.故选D.4．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(1,2)，则向量m 与向量n 不共线的概率是( )A.16B.1112C.112D.118 答案 B解析 若m 与n 共线，则2a －b ＝0.而(a ，b )的可能性情况为6×6＝36个．符合2a ＝b 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112＝1112.故选B.5．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )A.116 B.316 C.14 D.716答案 B解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为27144＝316.故选B.6．(xx·湖南常德模拟)现有一枚质地均匀且表面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )A.13B.12C.23D.1136 答案 D解析 将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6×6＝36(个)，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11个．∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率P ＝1136.故选D.7．(xx·安徽黄山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A.310 B.15 C.12 D.35答案 A解析 从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3个，故所求概率P ＝310.故选A.8．(xx·河南开封月考)有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )A.13B.23C.710D.310 答案 C解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率P ＝710.9．(xx·河南商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3中任取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23 答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.故选D. 10．(xx·湖南郴州三模)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14 答案 A解析 (a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种．由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P ＝29，故选A.二、填空题11．(xx·陕西模拟)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．答案 35解析 如图，从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任取2个，共有(A ，B )，(A ，C )，…，(D ，O )10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6种，因此所求概率P ＝610＝35.12．(xx·云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．答案1928解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．答案815 1415解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C “取得两个同色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P (C )＝715＋115＝815. (2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.14．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 三、解答题15．(xx·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.16．(xx·北京高考)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。

课时跟踪检测(六十五) 随机事件的概率第Ⅰ组：全员必做题1．从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，那么其和为奇数的概率为( )2．甲、乙两人喊拳，每人能够用手出0,5,10三个数字，每人那么可喊0,5,10,15,20五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜，假设甲喊10，乙喊15时，那么( )A ．甲胜的概率大B ．乙胜的概率大C ．甲、乙胜的概率一样大D ．不能确信谁获胜的概率大3．持续抛掷两颗骰子取得的点数别离为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，那么α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )4．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．假设x ∈Z ，y ∈Z ，那么点M 位于第二象限的概率为( )C ．1－π12D ．1－π65．(2021·安庆一模)将一颗骰子抛掷两次，第一次显现的点数记为a ，第二次显现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，那么点P (36P 1,36P 2)与圆C ：x 2＋y 2＝1 098的位置关系是( )A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 内D ．不能确信6．某城市2021年的空气质量状况如下表所示：100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，那么该城市2021年空气质量达到良或优的概率为________．7．(2021·北京海淀区期末)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，那么至少有1个红球的概率为________．8．抛掷一粒骰子，观看掷出的点数，设事件A 为显现奇数点，事件B 为显现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，那么显现奇数点或2点的概率为________．9．从装有编号别离为a ，b 的2个黄球和编号别离为c ，d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第一次摸到黄球的概率； (2)第二次摸到黄球的概率．10．为加壮大学生实践、创新能力和团队精神的培育，增进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为初赛和决赛两个时期，参加决赛的队伍依照抽签方式决定出场顺序．通过初赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛．(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率． 第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，别离从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确信平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，假设事件C n 的概率最大，那么n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和42．(2021·南昌模拟)三张卡片上别离写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________． 答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数共有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)共10种情形，其中(1,2,4)、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中三个数字和为奇数，因此概率为25.2．选A 甲、乙两人喊拳，每人用手出0,5,10三个数字，有(0,0)，(0,5)，(0,10)，(5,0)，(5,5)，(5,10)，(10,0)，(10,5)，(10,10)，共9种情形．假设甲喊10，那么有(0,10)，(5,5)，(10,0)，共3种情形获胜，因此甲胜的概率为13；乙喊15时，有(5,10)，(10,5)，共2种情形获胜，因此乙胜的概率为29.因此甲胜的概率大．3．选B 依题意得a ＝(m ，n )共有36种情形，其中与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4需知足nm＜1，即m ＞n ，那么有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共15种情形．因此所求概率为1536＝512.4．选A 画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，因此所求概率P ＝16.5．选C 易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情形有三种：a ＝1，b ＝2，现在两直线重合；a ＝2，b ＝4，现在两直线平行；a ＝3，b ＝6，现在两直线平行，而抛掷两次的所有情形有36种，因此两条直线平行的概率P 1＝236＝118.两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112，∴点P (2,33)，点P 与圆心(0,0)的距离为4＋1 089＝1 093＜1 098，故点P 在圆C 内．6．解析：由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：357．解析：“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1.答案：18．解析：由题意知“显现奇数点”的概率是事件A 的概率，“显现2点”的概率是事件B 的概率，事件A ，B 互斥，那么“显现奇数点或2点”的概率为P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：239．解：(1)第一次摸球有4种可能的结果：a ，b ，c ，d ，其中第一次摸到黄球的结果包括：a ，b ，故第一次摸到黄球的概率是24＝.(2)前后两次摸球有12种可能的结果：(a ，b )、(a ，c )、(a ，d )、(b ，a )、(b ，c )、(b ，d )、(c ，a )、(c ，b )、(c ，d )、(d ，a )、(d ，b )、(d ，c )，其中第二次摸到黄球的结果有6种：(a ，b )、(b ，a )、(c ，a )、(c ，b )、(d ，a )、(d ，b )．故第二次摸到黄球的概率为612＝. 10．解：大体事件空间包括的大体事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个．(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包括的大体事件有：甲乙丙，乙甲丙，共2个，则P (A )＝26＝13.因此甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包括的大体事件有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共4个，则P (B )＝46＝23.因此甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.第Ⅱ组：重点选做题1．选D P (a ，b )的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P (C 2)＝16，假设在直线x ＋y ＝3上的概率P (C 3)＝26，落在直线x ＋y ＝4上的概率P (C 4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P (C 5)＝16.2．解析：记写有字母E 的两张卡片别离为E 1，E 2，那么三张卡片随机排成一行的所有可能情形为，，，共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13.答案：13。

核心素养测评七十一随机事件的概率(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”【解析】选D.A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.【变式备选】把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A.对立事件B.对立但不互斥事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对【解析】选C.事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不可能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有一个发生、一个不发生,可能两个都不发生,所以这两个事件互斥但不对立,应选C.2.已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=,某人猜测事件∩发生,则此人猜测正确的概率为( )A.1B.C.D.0【解析】选C.因为事件∩与事件A∪B是对立事件,所以事件∩发生的概率为P(∩)=1-P(A∪B)=1-=,则此人猜测正确的概率为.3.下列结论正确的是( )A.事件A的概率P(A)必满足0<P(A)<1B.事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效,现有一名胃溃疡病人服用此药,则估计有明显的疗效的可能性为76%D.某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖【解析】选C.由概率的基本性质可知,事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1,故A错误;必然事件的概率为1,故B错误;某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,不一定有5张中奖,故D错误.4.已知随机事件A发生的概率是0.02,若事件A出现了10次,那么进行的试验次数约为( )A.300B.400C.500D.600【解析】选C.设共进行了n次试验,则=0.02,解得n=500.5.现有大小形状完全相同的4个小球,其中红球有2个,白球与蓝球各1个,将这4个小球排成一排,则中间2个小球不都是红球的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.设白球为A,蓝球为B,红球为C,则不同的排列情况为ABCC,ACBC,ACCB,BACC,BCAC,BCCA,CABC,CACB,CBCA,CBAC,CCAB,CCBA共12种情况,其中红球都在中间的有ACCB,BCCA两种情况,所以红球都在中间的概率为=,所以中间两个小球不都是红球的概率为1-=. 【变式备选】某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为( )A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08【解析】选C.记抽检的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.6.从1,2,3,4,5这5个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )A.①B.②④C.③D.①③【解析】选C.任取两数的所有可能为{两个奇数;一个奇数一个偶数;两个偶数},若是对立事件,则首先应该是互斥事件,分别判断每种情况:①两个事件不是互斥事件;②“至少有一个是奇数”包含“两个都是奇数”的情况,所以不互斥;③“至少有一个是奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”,所以与“两个偶数”恰好对立;④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”均包含“一奇一偶”的情况,所以不互斥.综上所述,只有③正确.7.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,估计该生的身高在155.5～170.5 cm的概率约为( )A. B. C. D.【解析】选A.从已知数据可以看出,在随机抽取的这20名学生中,身高在155.5～170.5 cm的学生有8人,频率为,故可估计在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,其身高在155.5～170.5 cm的概率约为.二、填空题(每小题5分,共15分)8.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________________.【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.答案:9.某城市2019年的空气质量状况如表所示:污染指数T 30 60 100 110 130 140概率P其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染,则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为________________.【解析】由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为P=++=.答案:10.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为,取得两个绿球的概率为,则取得两个同颜色的球的概率为________________;至少取得一个红球的概率为________________.【解析】由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=+=.记事件A为“至少取得一个红球”,事件B为“取得两个绿球”,事件A与事件B是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-=.答案:(15分钟35分)1.(5分)(2019·泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球,若取到红球的概率是,则取到白球的概率等于( )A. B. C. D.【解析】选C.因为取到红球与取到白球为对立事件,所以取到白球的概率P=1-=.2.(5分)(2020·郴州模拟)甲、乙、丙三人站成一排照相,甲不排在左边的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种,其中甲排在左边的站法为2种,所以甲排在左边的概率是=.所以甲不排在左边的概率为. 3.(5分)(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【解析】选B.方法一:画Venn图,如图设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得x=0.4,所以不用现金支付的概率为0.4.方法二:记“用现金支付”为事件A,“用非现金支付”为事件B,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B-(A∩B),由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(A∩B)=0.15,又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,P(B-(A∩B))=P(B)-P(A∩B)=0.55-0.15=0.4.【变式备选】若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】选D.由题意,可得即解得<a≤.4.(10分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种食品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.商品甲乙丙丁顾客人数100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率.(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品可能性最大?【解析】(1)1 000位顾客中有200位同时购买乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为=.(2)1 000位顾客中有100位同时购买甲丙丁,200位同时购买甲乙丙,所以估计1 000人中同时购买3种商品的概率为=.(3)购买了甲的顾客有100+200+300+85=685位.则顾客同时购买乙概率为,同时购买丙的概率为=,同时购买丁的概率为.因此,顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.5.(10分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:日期 1 2 3 4 5 6天气晴雨阴阴阴雨日期7 8 9 10 11 12天气阴晴晴晴阴晴日期13 14 15 16 17 18天气晴晴晴晴阴雨日期19 20 21 22 23 24天气阴阴晴阴晴晴日期25 26 27 28 29 30天气晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率.(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率. 【解题指南】(1)利用频率估计概率,即得所求.(2)利用前一天为晴天的互邻日期对有16对,其中后一天不下雨的有14个,由频率估计概率得值.【解析】(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率是.(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16对,其中后一天不下雨的有14对,所以晴天的次日不下雨的频率为,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.【变式备选】某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率.(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【解题指南】用图表法能有效迅捷地解决“掷骰子”型概率问题.列出图表,基本事件总数,和各类试验结果一目了然.【解析】活动记录与xy的结果如表:显然,基本事件总数为16.(1)xy≤3情况有5种,所以小亮获得玩具的概率=.(2)xy≥8情况有6种,所以获得水杯的概率==,所以小亮获得饮料的概率=1--=<,即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.。

随机事件的概率一、选择题1．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为() A．一个是5点，另一个是6点B．一个是5点，另一个是4点C．至少有一个是5点或6点D．至多有一个是5点或6点C[设两枚骰子分别为甲、乙，则其点数的可能值包括以下四种可能：甲是5点且乙是6点，甲是5点且乙不是6点，甲不是5点且乙是6点，甲不是5点且乙不是6点，事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况，故其对立事件是前三种情况．]2．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为() A．0.55B．0.39C．0.68D．0.61B[中奖的概率为0.05＋0.16＋0.40＝0.61，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.61＝0.39．]3．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为()A．19%B．26%C．68%D．75%C[该地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，能为A型的病人输血的有O型和A型，所以能为该病人输血的概率为49%＋19%＝68%，故选C．]4．从1,2,3,4,5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是() A．至少有一个是奇数和两个都是奇数B．至少有一个是奇数和两个都是偶数C．至少有一个奇数和至少一个偶数D．恰有一个偶数和没有偶数D [对于A，至少有一个是奇数和两个都是奇数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以A 错误；对于B，至少有一个是奇数和两个都是偶数，两个事件互斥，且为对立事件，所以B 错误；对于C，至少有一个奇数和至少一个偶数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以C 错误；对于D，恰有一个偶数和没有偶数，为互斥事件，且还有一种可能为两个都是偶数，所以两个事件互斥且不对立，所以D 正确．综上可知，故选D．]5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ∪B 发生的概率为()A．13B．12C．23D．56C[掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13．∵B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23．]二、填空题6．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)概率0.210.160.130.12则年降水量在(200,300)(mm)范围内的概率是．0．25[设年降水量在(200,300)，(200,250)，(250,300)的事件分别为A ，B ，C ，则A＝B ∪C ，且B ，C 为互斥事件，所以P (A )＝P (B )＋P (C )＝0.13＋0.12＝0.25．]7．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼．1500[由题意可得：从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条，所以池塘中有标记的鱼的概率为：2100＝150，又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条，所以可以估计该池塘内共有30150＝30×50＝1500条鱼．]8．某城市2021年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率P1101613730215130其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为．3 5[由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35．]三、解答题9．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解](1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2．(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1．所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．10．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L 1的人数612181212选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解](1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p ＝44100＝0.44．(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L 1的频率0.10.20.30.20.2L 2的频率0.10.40.40.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1．同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P (B 1)＜P (B 2)，∴乙应选择L 2．1．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45D[设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25．所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45．]2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．12B．13C．14D．23C[20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝14，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为14．]3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率为；(2)至少3人排队等候的概率为．(1)0.56(2)0.44[记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)法一：(利用互斥事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．法二：(利用对立事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44．]1．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为；至少取得一个红球的概率为．8151415[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815．由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415．]2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160．(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)由已知可得Y＝X2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310．。

1．概率和频率(1) 在相同的条件S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称n 次试验中事件 A 出现的次数n A为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 f n(A)＝nn A为事件 A 出现的频率．(2) 对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件 A 的概率，记作P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件B? A( 或 A? B) B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)相等关系若 B? A 且 A? B A＝B并事件若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，A∪ B( 或 A＋ B) (和事件 ) 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件 (或和事件 )交事件若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，A∩B(或 AB) (积事件 ) 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件 )互斥事件若 A∩ B 为不可能事件 (A∩ B＝ ?)，则称事件 A 与事A∩B＝ ? 件 B 互斥对立事件若 A∩ B 为不可能事件， A∪ B 为必然事件，那么称P(A)＋P(B)＝ 1 事件 A 与事件 B 互为对立事件(1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤ 1.(2)必然事件的概率 P(E)＝1.(3)不可能事件的概率 P( F)＝ 0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)．(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则P(A) ＝ 1－ P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下面结论是否正确 (请在括号中打“√”或“×”)(1) 事件发生频率与概率是相同的．( )(2) 随机事件和随机试验是一回事．( )(3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )(4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )(5) 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(6) 两互斥事件的概率和为 1.( )1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．①至多有一次中靶②两次都中靶③只有一次中靶④两次都不中靶2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]( 单位： cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为 ________．3． (2015 ·北改编湖 )我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 14．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100 件，必有10 件是次品；②做7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．5． (教材改编 ) 袋中装有9 个白球， 2 个红球，从中任取 3 个球，则①恰有 1 个红球和全是白球；②至少有 1 个红球和全是白球；③至少有 1 个红球和至少有 2 个白球；④至少有 1 个白球和至少有 1 个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．题型一事件关系的判断例 1某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为“只订甲报纸”，事件 B 为“至少订一种报纸”，事件 C 为“至多订一种报纸”，事件 D 为“不订甲报纸”，事件 E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．思维升华对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选2 名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1 名男生和恰有2 名男生；②至少有 1 名男生和至少有 1 名女生；③至少有 1 名男生和全是女生．题型二随机事件的频率与概率例2 (2015 ·北京 ) 某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整商品甲乙丙丁顾客人数100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？思维升华(1) 概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902m优等品频率n(1) 计算表中乒乓球优等品的频率；(2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)题型三互斥事件、对立事件的概率命题点 1 互斥事件的概率1，得例 3 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是35 ，得到黄球或绿球的概率也是 5 ，试求得到黑球、黄球到黑球或黄球的概率是和绿球的概率各是多1212少？命题点 2对立事件的概率例 4某商场有奖销售中，购满100元商品得 1 张奖券，多购多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖10 个，二等奖50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、 B、C，求：(1) P(A)，P(B)， P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝ 1－ P( A )求解．当题目涉及“ 至多”“ 至少” 型问题时，多考虑间接法．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～ 10 环的概率如下表所示：命中环数10 环9 环8 环7 环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中 9 环或 10 环的概率；(2)命中不足 8 环的概率．21．用正难则反思想求互斥事件的概率专注·专业·口碑·极致- 5 -物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 .一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数 (人 ) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟 / 人 ) 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占 55%.(1)确定 x， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率．(将频率视为概率)．．．思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“ 正难则反”思想求解．温馨提醒(1) 要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将 A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示 (1) 对统计表的信息不理解，错求 x， y，难以用样本平均数估计总体．(2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误．[方法与技巧 ]1．对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率 f n (A)来估计概率 P(A)．2．从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．[失误与防范 ]1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需准确理解题意，特别留心“ 至多,,”“至少,,”“不少于,,”等语句的含义．A 组专项基础训练( 时间： 45 分钟 )则事件 M 与 N 互为对立事件；②若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件 A 与 B 为互斥事件；③若事件A 与B 为互斥事件，则事件 A 与 B 互为对立事件；④若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件A∪ B 为必然事件，其中，真命题是________．112 2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为7，都是白子的概率是35，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是________．3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝ { 抽到一等品 } ，事件 B＝ { 抽到二等品 } ，事件 C＝ { 抽到三等品 } ，且已知 P(A)＝ 0.65， P(B)＝ 0.2 ， P(C)＝ 0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为__________ ．4．从存放的号码分别为1,2,3 ， , ， 10 的卡片的盒子中，有放回地取100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到次数13 8 5 7 6 13 18 10 11 9则取到号码为奇数的卡片的频率是________．5．对一批产品的长度(单位：毫米 )进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25) 上的为一等品，在区间 [15,20) 和[25,30) 上的为二等品，在区间 [10,15) 和 [30,35) 上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．6．在 200 件产品中，有192 件一级品， 8 件二级品，则下列事件：①在这 200 件产品中任意选出9 件，全部是一级品；②在这 200 件产品中任意选出9 件，全部是二级品；③在这 200 件产品中任意选出9 件，不全是二级品．其中 ________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．7．已知某运每次投命中的概率都40%，采用随机模的方法估运三次投恰有两次命中的概率：先由算器生0 到 9 之取整数的随机数，指定1,2,3,4 表示命中， 5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数一，代表三次投的果．随机模生了如下20 随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估，运三次投恰有两次命中的概率________．8．若随机事件A，B 互斥， A， B 生的概率均不等于0，且 P(A) ＝2－ a， P(B)＝ 4a－ 5，数 a 的取范是 _____________．9．(2014 ·西 )某保公司利用随机抽方法，投保行抽，本中每的付果如下：付金 (元 ) 0 1 000 2 000 3 000 4 000数 ( ) 500 130 100 150 120(1)若每的投保金均 2 800 元，估付金大于投保金的概率；(2)在本中，主是新司机的占10%，在付金 4 000 元的本中，主是新司机的占20%，估在已投保中，新司机金 4 000 元的概率．10．从某学校的800 名男生中随机抽取50 名量其身高，被学生身高全部介于155 cm 和 195 cm 之，将量果按如下方式分：第一[155,160) ，第二 [160,165) ，⋯，第八 [190,195] ，如是按上述分方法得到的率分布直方的一部分，已知第一与第八人数相同，第六的人数 4.(1)求第七组的频率；(2) 估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在180 cm 以上 (含 180 cm)的人数；(3) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x， y，事件 E ＝{| x－ y|≤5} ，事件 F ＝ {| x－ y|>15} ，求 P(E∪ F)．B 组专项能力提升( 时间： 25 分钟 )11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A， B，C， D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是 ______________．①A＋ B 与 C 是互斥事件，也是对立事件；② B＋ C 与 D 是互斥事件，也是对立事件；③ A＋ C 与 B＋ D 是互斥事件，但不是对立事件；④ A 与 B＋ C＋ D 是互斥事件，也是对立事件．12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．13．若 A，B 互为对立事件，其概率分别为P(A)＝4，P( B)＝1，且 x>0 ，y>0，则 x＋y 的最小值为 ________．x y14.如图， A 地到火车站共有两条路径L1和 L 2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间 /分钟10～ 20 20～30 30～ 40 40～50 50～ 60选择 L 1的人数 6 12 18 12 12选择 L 2的人数0 4 16 16 4(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L 1和 L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．15． (2015 ·西陕 ) 随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415 天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930 天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2) 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．专注·专业·口碑·极致- 10 -。

1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D ．1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.2．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )A.15B.13C.14D.16解析：选B.由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因为所有的限制条件对丙 、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是13.故选B.3．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A 55＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A 23A 12A 11＝36种取法，所以P ＝36120＝310.故选C.4．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)，其中a ∈{1，2，3，4}，b ∈{1，2，3，4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A.14B.38C.12D.58解析：选B.直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则ba >1，总基本事件数为4×4＝16，满足条件的(a ，b )的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，故概率为38.5．为了准备2019届哈尔滨市中学生辩论大赛，哈六中决定从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，则这两个人来自同一个班级的概率是( )A.27B.17C.14D.18解析：选B.从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，基本事件总数n ＝C 28＝28，这两个人来自同一个班级包含的基本事件个数m ＝C 14C 22＝4，则这两个人来自同一个班级的概率是p ＝m n ＝428＝17.故选B.6．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．解析：由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6组随机数，所以所求概率为620＝0.30.答案：0.307．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________． 解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 79＝36种，从(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)中任选3组，有C 34＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为436＝19.答案：198．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213，134)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________．解析：从1，2，3，4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A 34＝24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1，2，3或1，3，4，所以共组成2A 33＝12个“好数”，故所求概率为1224＝12.答案：129．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.10．设a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解：(1)由题意－b2×12a ≥－1，即b ≤a .(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． 因为函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，所以这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为16.。

专题11.1 随机事件的概率1．（2020·浙江省湖州模拟）从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47D ．0.372．（2020·湖北省十堰模拟）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.26 C.16D.133．（2020·黑龙江省鹤岗模拟）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与都是红球C ．至少有一个黑球与至少有一个红球D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球4．（2020·安徽省合肥模拟）根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )A．15% B．20%C．45% D．65%5．（2020·吉林省白山模拟）对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45[[6．（2020·福建省龙岩模拟）某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是() A．0.14 B．0.20 C．0.40 D．0.607．(2020·湖北武汉模拟)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1 534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．454石8．（2020·广东省湛江模拟）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．9．(2020·陕西西安模拟)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是．10．（2020·安徽省滁州模拟）袋中有红球和白球若干(都多于2个)，从中任意取出两个小球，设恰有一个红球的概率为p1，没有红球的概率为p2，则至多有一个红球的概率为．11．（2020·江西省新余模拟）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为；至少取得一个红球的概率为．12．（2020·山东省潍坊模拟）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？13．（2020·广东省梅州模拟）某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．14．（2020·安徽省宣城模拟）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．15．（2020·山东省菏泽模拟）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．专题11.1 随机事件的概率1．（2020·浙江省湖州模拟）从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37【答案】A【解析】取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A 。

第 1 讲随机事件的概率一、知识梳理1 •事件的分类2•概率与频率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例LLL n(A)=〒■为事件A出现的频率.⑵对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).3 •事件的关系与运算概率的几个基本性质⑴概率的取值范围：O W P(A) < 1.(2) 必然事件的概率：P(A) = 1.(3) 不可能事件的概率：P(A) = 0.(4) 概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A U B) = P(A) + P(B).(5) 对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A U B为必然事件.P(A U B) = 1 , P(A) = 1 —P(B).二、习题改编1. (必修3 P121练习T5改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为 ___________ .答案：①2.(必修3 P123A组T3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 事件发生的频率与概率是相同的. ()(2) 随机事件和随机试验是一回事. ()(3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值. ()(4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ()(5) 对立事件- -定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. ()(6) 两互斥事件的概率和为 1.( )答案：(1)X (2) X (3) V ⑷X (5) V ⑹X二、易错纠偏常见误区(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；(2)频率与概率的关系理解不清致错.1•李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：(1)90分以上的概率：_________ ；⑵不及格(60分及以上为及格)的概率：__________ .42 解析：(1)600=0.07;52 + 8⑵ 600 = 0.1.答案：(1)0.07 (2)0.12.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A = ｛抽到一等品｝，事件B = ｛抽到二等品｝, 事件C=｛抽到三等品｝，且P(A) = 0.65, P(B) = 0.2, P(C) = 0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_________ .解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A) = 0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率为P= 1 —P(A) = 1—0.65= 0.35.答案：0.35解析】 ③中“ 至少有一个是奇数 即“两个奇数或一奇一偶”而从1〜7中任取两随机事件的关系 (师生共研 )从1 , 2, 3,…，7这7个数中任取两个数，其中：① 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ② 至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是 ( )A .① C .③B .②④ D .①③个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：两个都是奇数奇一偶”“ 两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．【答案】C判断互斥、对立事件的 2 种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；②事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．1. 设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，条件乙：“概率满足P(A)+ P(B)= 1 ”，则甲是乙的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A.若事件A 与事件B 是对立事件，则A U B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A) + P(B)= 1•设掷一枚硬币3次，事件A : “至少出现一次正面”，事件B : “ 3次 7 1都出现正面”，则P(A)= 7，P(B) = 1,满足P(A) + P(B) = 1 ,但A , B 不是对立事件.8 8 2.一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2B .两个小球都是白球C .至多有一个红球D .至少有一个红球7 3 7解析：选C.因为10= 1 - 10,所以概率为10的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，个小球，若事件“ 2个小球全是红球”的概率为3_ 10，则概率为和勺事件是(A •恰有一个红球应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”随机事件的频率与概率（师生共研）某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物•根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1米.(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；⑵在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率.【解】 ⑴所种作物的总株数为 1+ 2+ 3+ 4 + 5= 15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相 近”作物株数为4的作物有3株，列表如下:所种作物的平均年收获量为故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为 48 kg 的概率为P(Y > 48) = P(Y = 51) + P(Y = 48)=磊 + 春=|.51 X 2+ 48X 4 + 45X 6 + 42X 31569015 =46. (2)由(1)知，P(Y = 51)= 154P(Y = 48)=-某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关.据统计,当X= 70时，Y= 460; X每增加10, Y增加5•已知近20年X的值为140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.(1)完成频率分布表；(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为⑵由已知可得Y=号+ 425,故P( “发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)=P(Y<490 或Y>530) = P(X<130 或X>210)=P(X= 70)+ P(X= 110)+ P(X= 220)13 2 3490万千瓦时或超过530 =20+ 20+ 20=10.故今年六月份该水力发电站的发电量低于万千瓦时的概率为10.互斥事件、对立事件的概率(师生共研)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A, B, C,求：(1) 1张奖券的中奖概率；(2) 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.1【解】(1)设“1张奖券中奖”为事件M ,贝U M = A U B U C,依题意，P(A) = 1000P(B)=」^ = —, P(C)^5^ =丄，因为A, B, C两两互斥，1 000 100 1 000 20所以P(M) = P(A U B U C) = P(A) + P(B)+ P(C)1+ 10+ 50 61=1 000 = 1 000,61故1张奖券的中奖概率为 1000.(2)设“ 1张奖券不中特等奖且不中一等奖 ”为事件N ,则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)= 1-P(A U B)求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法1 10 1 000 + 1 000989 1 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989 1 000.（2）间接法（正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单）1.某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 乘火车或乘飞机去的概率为 _________ .解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件 件A , B , C , D 是互斥事件，P(A U D) = P(A) + P(D)= 0.3+ 0.4 = 0.7,所以他乘火车或乘飞 机去的概率为0.7.答案：0.72.（一题多解）经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:0.3, 0.2, 0.1 , 04则他A ,B ,C ,D 表示，则事。

课时标准练58 随机事件的概率一、根底稳固组1.从16个同类产品(其中有14个正品,2个次品)中任意抽取3个,以下事件中概率为1的是()2.(2021江苏南通模拟)从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③3.用随机数表法从1 000名学生(男生250人)中抽取200人进展评教,某男生被抽到的概率是().1 B.0.2 ..84.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,那么事件“甲分得红牌〞与“乙分得红牌〞()5.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A{抽到一等品},事件B{抽到二等品},事件C{抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,那么事件“抽到的产品不是一等品〞的概率为().7 B.0.65 ..5 〚导学号21500776〛6.(2021江苏淮安二调)某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人,假设每名应聘者被录用的时机均等,那么甲、乙两人中至少有1人被录用的概率为.7.(2021云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.8.某班选派5人,获奖人数/人0 1 2 3 4 5概率0.1 0.16 x y0.2 z(1)假设获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值;(2)假设获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.9.一盒中装有各色球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球,求:(1)取出1个球是红球或黑球的概率;(2)取出1个球是红球、黑球或白球的概率.〚导学号21500777〛二、综合提升组10.(2021江苏南京模拟)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,那么所组成的两位数为奇数的概率是()A. B. C. D.11.(2021云南质检)在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,那么数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A. B. C. D.12.(2021湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士从当地某年的AQI记录数据中随机抽取10个,用茎叶图记录如图.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数为.(该年为365天)〚导学号21500778〛13.某人在如下图的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的穿插点以及三角形的顶点)处都种了一株一样品种的作物.根据历年的种植经历,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近〞作物株数X之间的关系如下表所示.这里,1米.X 1 2 3 4Y51 48 45 42(1)完成下表,Y51 48 45 42频数 4(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.14.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进展测试,结果统计如图:甲品牌乙品牌(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.〚导学号21500779〛三、创新应用组15.(2021辽宁大连一模,理8)将一枚硬币连续抛掷n次,假设使得至少有一次正面向上的概率不小于,那么n的最小值为()A.4B.516.某公司生产产品A,产品质量按测试指标分为:大于或等于90为一等品,大于或等于80小于90为二等品,小于80为三等品,生产一件一等品可盈利50元,生产一件二等品可盈利30元,生产一件三等品亏损10元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进展检测,检测结果测试指标[70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)甲 3 7 20 40 20 10乙 5 15 35 35 7 3根据上表统计结果得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率,用频率去估计他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率.(1)计算甲生产一件产品A,给工厂带来盈利不小于30元的概率;(2)假设甲一天能生产20件产品A,乙一天能生产15件产品A,估计甲、乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数.〚导学号21500780〛课时标准练58随机事件的概率1.C在16个同类产品中,只有2个次品,抽取3个产品,A是随机事件,B是不可能事件,C是必然事件,D是随机事件,又必然事件的概率为1,故C正确.2.C从9个数字中取两个数有三种情况:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.3.B该男生被抽到的概率是=0.2,应选B.4.C显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给乙、丙两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.5.C∵“抽到的产品不是一等品〞与事件A是对立事件,∴所求概率P=1-P(A)=0.35.6某单位从4名应聘者甲、乙、丙、丁中招聘2人,这4名应聘者被录用的时机均等,被录用的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,共6种情况,甲、乙两人中至少有1人被录用有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁,共5种情况,所以甲、乙两人中至少有1人被录用的概率P=7因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军〞包括事件“甲夺得冠军〞和“乙夺得冠军〞,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进展计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为8.解记事件“在竞赛中,有k人获奖〞为A k(k∈N,k≤5),那么事件A k彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56,∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.解得x=0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.9.解记事件A1={任取1个球为红球},A2={任取1个球为黑球},A3={任取1个球为白球},A4={任取1个球为绿球},那么P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=(方法一)(利用互斥事件的概率公式求概率)根据题意,知事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,可知,(1)取出1个球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=(2)取出1个球为红球、黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=(方法二)(利用对立事件求概率的方法)(1)由解法一知,取出1个球为红球或黑球的对立事件为取出1个球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4.所以取出1个球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-10.C将两张卡片排在一起组成两位数,那么所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为11.C分析题意可知,共有(0,1,2),(0,2,5),(1,2,5),(0,1,5)4种取法,符合题意的取法有2种,故所求概率P=12.146该样本中AQI大于100的频数是4,频率为,由此估计此地该年AQI大于100的概率为,故估计此地该年AQI大于100的天数为365=146(天).13.解 (1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近〞作物株数为1的作物有2株,“相近〞作物株数为2的作物有4株,“相近〞作物株数为3的作物有6株,“相近〞作物株数为4的作物有3株,列表如下:Y51 48 45 42频数 2 4 6 3所种作物的平均年收获量为=46(kg).(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=14.解 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为(2)根据频数分布图可得寿命不低于200小时的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200小时的产品是甲品牌的频率是据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为15.A由题意,得1-,∴n≥4,∴n的最小值为4,应选A.16.解 (1)甲生产一件产品A,给工厂带来盈利不小于30元的概率P=1-(2)估计甲一天生产的20件产品A中有20=2(件)三等品,估计乙一天生产的15件产品A中有15=3(件)三等品,所以估计甲、乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品.。

第57讲 随机事件的概率[解密考纲]考查随机事件、频率、概率等概念，考查概率的性质和加法公式，常以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系为( A )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析 因为A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．反之不必然成立．所以A ，B 不一定是互斥事件，选A ．2．(2021·福建厦门模拟)口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( D )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32解析 摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P ＝1－0.45－0.23＝0.32.3．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率别离为( C )A ．16，16 B ．12，23 C ．16，23D ．23，12解析 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A ，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23⎝⎛⎭⎪⎫或设“甲不输”为事件A ，可看做是“乙胜”的对立事件，所以 P A ＝1－13＝23. 4．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同窗参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是( C )A ．恰有2名男生与恰有4名男生B ．至少有3名男生与满是男生C ．至少有1名男生与满是女生D ．至少有1名男生与至少有1名女生解析 “恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A 项；“至少有3名男生”与“满是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B 项；“至少有1名男生”与“满是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C 项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D 项，故选C ．5．有3个相识的人某天各自乘同一火车外出，假设火车有10节车箱，则至少有2人在同一车箱内相遇的概率为( B )A ．29200 B ．725 C ．29144D ．718解析 设事件A 是“至少有2人在同一车箱内相遇”，则事件A 是“3人别离在3节不同的车厢”，P (A )＝A 310103＝1825，所以P (A )＝1－P (A )＝1－1825＝725.6．持续抛掷两次骰子取得的点数别离为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4 的概率为( B ) A ．518 B ．512 C ．12D ．712解析 cos 〈a ，b 〉＝mm 2＋n 2，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<mm 2＋n2<1，∴n <m ， 又知足n <m 的骰子的点数有(2,1)，(3,1)，(3,2)，…，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15个．故所求概率为P ＝1536＝512.二、填空题7．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x ∈{－1,1,3}，y ∈{1,3}，那么a ⊥b 的概率是__16__.解析 从集合{－1,1,3}中取一个数为x 有3种取法，同理y 有2种取法，知足a⊥b 的有一种取法⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，故所求的概率P ＝13×2＝16.8．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组别离有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是__35__，他最多参加2个小组的概率为__1315__.解析 随机选一名成员，恰好参加2个小组的概率P (A )＝1160＋760＋1060＝715，恰好参加3个小组的概率P (B )＝860＝215，则他至少参加2个小组的概率为P (A )＋P (B )＝715＋215＝35，最多参加2个小组的概率为1－P (B )＝1－215＝1315.9．2021年深圳大运会的一组志愿者全数知晓中文，而且每一个志愿者还都知晓英语、日语和韩语中的一种(但无人知晓两种外语)．已知从中任抽一人，其知晓中文和英语的概率为12，通晓中文和日语的概率为310.若通晓中文和韩语的人数不超过3人，则这组志愿者的人数为__10人__．解析 设知晓中文和英语的人数为x ，通晓中文和日语的人数为y ，通晓中文和韩语的人数为z ，且x ，y ，z ∈N *，则⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋y ＋z ＝12，yx ＋y ＋z ＝310，0<z ≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，z ＝2，所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10(人)．三、解答题10．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机掏出1球，求：(1)掏出1球是红球或黑球的概率； (2)掏出1球是红球或黑球或白球的概率．解析 方式一 (利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112，按照题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥， 由互斥事件的概率公式，得 (1)掏出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋13＝34.(2)掏出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋13＋16＝1112.方式二 (利用对立事件求概率)(1)由方式一知，掏出1球为红球或黑球的对立事件为掏出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－16－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以掏出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.11．在新年联欢晚会上，游戏获胜者甲和乙各有一次抽奖机缘，共有10个奖品，其中一等奖6个，二等奖4个，甲、乙二人依次抽取．(1)甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率是多少？解析 (1)所有的抽法共有A 210种，而甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的抽法有C 16·C 14种，故甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的概率为C 16·C 14A 210＝415.(2)所有的抽法共有A 210种，而甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的抽法有2C 16·C 14＋A 26种，故甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率为2C 16·C 14＋A 26A 210 ＝1315.12．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地抵达火车站的人进行调查，调查结果如下.选择L1的人数612181212选择L2的人数041616 4(1)试估量40分钟内不能赶到火车站的人数的概率；(2)别离求通过路径L1和L2所历时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人别离有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径？解析(1)由已知共调查了 100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估量相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60 L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1121212择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1，同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)<P(B2)，∴乙应选择L2.。