§8.7 抛物线考试要求 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．1．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹． (2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率 e ＝1微思考1．抛物线定义中，若l 经过点F ，则点的轨迹会怎样？提示 若l 经过点F ，则到F 与到l 距离相等的点的轨迹是过点F 且与l 垂直的直线． 2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多少？提示 抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点的距离(焦半径)为x 0＋p2；抛物线的焦点弦的最小值是2p (通径的长度)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × ) 题组二 教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为______． 答案 2解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 4．已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上一点，则|AB |的最小值为________． 答案72解析 设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0， 所以|AB |＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋x ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －322＋74. 所以当x ＝32时，|AB |取得最小值，且|AB |min ＝72.题组三 易错自纠5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝92xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝－43y答案 BC解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是______． 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.题型一 抛物线的定义和标准方程1．(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.2．设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝－4 B ．x ＝－3 C ．x ＝－2 D ．x ＝－1答案 A解析 直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4,0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4,0)，∴准线方程为x ＝－4.3．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .4．(2020·佛山模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________，p ＝________. 答案 2 4解析 作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM |＝|PF |，又知|PK |＝2|PF |， ∴在Rt △PKM 中，sin ∠PKM ＝|PM ||PK |＝|PF ||PK |＝22，∴∠PKM ＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM |＝|MK |＝4，又知点P 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧py 0＝8，y 0＋p2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，y 0＝2. 思维升华 (1)应用抛物线定义的两个关键点①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．②抛物线焦点到准线的距离为p .(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．题型二 抛物线的几何性质及应用命题点1 焦半径和焦点弦例1 (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．18答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2. 由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0， 因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0，Δ>0显然成立， 则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，Δ>0显然成立，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·d ＝94.命题点2 与抛物线有关的最值问题例2 (1)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________． 答案 2解析 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依据抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.思维升华 (1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程． (2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2 答案 D解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D.(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A ．2 B.135 C.145 D ．3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.题型三 直线与抛物线例3 (2021·湖州模拟)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值． 解 (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.思维升华 (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则可用弦长公式． 跟踪训练2 (1)(2020·济南期末)直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2，化简可得x 2－2x －2b ＝0，故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2.又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0，经检验b ＝0时，不符合题意，故b ＝2.(2)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16.当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号．故|AB |＋|DE |的最小值为16.课时精练1．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.2．(2020·全国Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) 答案 B解析 方法一 ∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2p )，(2，－2p )． 不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )， 则OD →＝(2,2p )，OE →＝(2，－2p )． 又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1， ∴C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.方法二 ∵抛物线C 关于x 轴对称， ∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值均相等． 不妨设点D (2,2)，将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ， 得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水面宽8 m ．若水面下降1 m ，则水面宽度为( )A ．2 6 mB ．4 6 mC ．4 2 mD ．12 m 答案 B解析 由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知，抛物线经过点A (－4，－2)和点B (4，－2)，代入抛物线方程解得p ＝4， 所以抛物线方程为x 2＝－8y ，水面下降1米，即y ＝－3，解得x 1＝26，x 2＝－26， 所以此时水面宽度d ＝2x 1＝4 6.4．(2020·北京)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP答案 B解析 如图所示，P 为抛物线上异于O 的一点，则|PF |＝|PQ |，∴QF 的垂直平分线经过点P .5．(多选)设抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线与对称轴交于点P ，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A 和B ，则( ) A ．点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－14a B ．直线AB 的方程为y ＝14aC ．P A ⊥PBD ．|AB |＝12a答案 ABC解析 由y ＝ax 2得，x 2＝1a y ，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14a . ∵a >0，∴2p ＝1a ，∴p ＝12a，其准线方程为y ＝－14a，∴P ⎝⎛⎭⎫0，－14a ，A 正确；设切线方程为y ＝kx －14a(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝kx －14a ， 得ax 2－kx ＋14a＝0，令Δ＝k 2－4×a ×14a ＝0，解得k ＝±1.∴设切点A ⎝⎛⎭⎫12a ，14a ，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，14a ， 因此直线AB 的方程为y ＝14a ，B 正确；又P A →＝⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，PB →＝⎝⎛⎭⎫－12a ，12a ， ∴P A →·PB →＝－14a 2＋14a2＝0.从而P A →⊥PB →，即P A ⊥PB ，C 正确； |AB |＝⎪⎪⎪⎪12a －⎝⎛⎭⎫－12a ＝1a ，D 错误． 6．(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，斜率为3且经过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝4，则以下结论正确的是( ) A ．p ＝2 B ．F 为AD 的中点 C ．|BD |＝2|BF | D ．|BF |＝2答案 ABC 解析 如图．F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的斜率为3， 则直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，得12x 2－20px ＋3p 2＝0. 解得x A ＝32p ，x B ＝16p ，由|AF |＝32p ＋p2＝2p ＝4，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x . x B ＝16p ＝13，则|BF |＝13＋1＝43；|BD |＝|BF |cos 60°＝4312＝83，∴|BD |＝2|BF |，|BD |＋|BF |＝83＋43＝4，则F 为AD 的中点．故选ABC.7．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案163解析 如图，由题意得，抛物线焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.8．已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝8x解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， ∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 9．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p > 0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝____，1|AF |＋1|BF |＝________. 答案 2 1解析 由题意知p2＝1，从而p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .当直线AB 的斜率不存在时，将x ＝1代入抛物线方程，解得|AF |＝|BF |＝2， 从而1|AF |＋1|BF |＝1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，从而1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.综上，1|AF |＋1|BF |＝1.10．点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|P A|＋|PF|的最小值为________；(2)|P A|－|PF|的最小值为________，最大值为________．答案(1)3(2)－2 2解析(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PH|，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在F A延长线上时，|P A|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|P A|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|P A|－|PF|的最小值为－2，最大值为 2.11．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．解如图所示，F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D，过AB的中点M作准线的垂线MN，垂足为N，则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)．连接AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，所以|MN|＝12(|AF|＋|BF|)≥12|AB|＝32.设点M的横坐标为x，则|MN|＝x＋14，所以x≥32－14＝54.当弦AB 过点F 时等号成立，此时，点M 到y 轴的距离最短，最短距离为54.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2x . 当x ＝54时，易知y 1y 2＝－p 2＝－14，所以(y 1＋y 2)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2x －12＝2. 所以y 1＋y 2＝±2，得y ＝±22，即M ⎝⎛⎭⎫54，±22.12．(2021·沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M . (1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值． 解 (1)由题意知，抛物线焦点为⎝⎛⎭⎫0，p2， 准线方程为y ＝－p2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2. (2)由(1)知抛物线的方程为x 2＝4y ， 即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1，即l ：y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎨⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ，y ＝－1，即M (2k ，－1)． M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2，|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2＝3224(1)k +≥4，当k ＝0时，△MAB 的面积取得最小值4.13．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3 D ．8 答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |， ∵AF 的斜率为33，∴直线AF 的倾斜角为30°， ∵AH 垂直于准线，∴∠F AH ＝60°， 故△AHF 为等边三角形． 设A ⎝⎛⎭⎫m ，m24，m >0， 过F 作FM ⊥AH 于M ，则在Rt △F AM 中， |AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝⎛⎭⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4， ∴△AHF 的面积是12×4×4sin 60°＝4 3.故选C.14．过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，设D (0,3)．若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则弦AB 的长为________．答案 4解析 若(DA →＋DB →)·AB →＝0， 则线段AB 的垂直平分线过点D . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减得x 1＋x 2＝4(y 1－y 2)x 1－x 2＝4k AB ，即k AB ＝x 1＋x 24，则弦AB 的中点与点D (0,3)的连线的斜率k ＝y 1＋y 22－3x 1＋x 22＝－4x 1＋x 2，所以y 1＋y 2＝2， 所以|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4.15．(2020·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________． 答案 74解析 由题意得M (2,0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP →＝λAM →＋μAN →得(x －2，y ＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)， ∴x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝⎛⎭⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示A ，B 之间的距离；(2)证明：∠AOB 的大小是与p 无关的定值，并求出这个值．解 (1)焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝3p ，x A x B ＝p 24，故|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝4p ⎝ ⎛⎭⎪⎫或|AB |＝2p sin 2π4＝4p . (2)在△AOB 中，由余弦定理可知，cos ∠AOB ＝|AO |2＋|BO |2－|AB |22|AO |·|BO |＝x 2A ＋y 2A ＋x 2B ＋y 2B －(x A －x B )2－(y A －y B )22(x 2A ＋y 2A )(x 2B ＋y 2B )＝x A x B ＋y A y B(x 2A ＋y 2A )(x 2B ＋y 2B)＝2x A x B －p 2(x A ＋x B )＋p 24x A x B [x A x B ＋2p (x A ＋x B )＋4p 2]＝－34141.即∠AOB 的大小是与p 无关的定值， 且cos ∠AOB ＝－34141.。
