蝴蝶三角形

蝴蝶形三角形的规律
蝴蝶形三角形是一种有趣的几何图形，其规律如下：
1. 形状特征：蝴蝶形三角形是由两个相等的直角三角形组成的，每个直角三角形的两条直角边长度相等，因此蝴蝶形三角形是一个对称的图形。

2. 角度规律：蝴蝶形三角形的三个角度相等，每个角度都是60度。

因此，蝴蝶形三角形的两个直角三角形都是等边三角形，每个三角形的三个内角都是60度。

3. 边长规律：蝴蝶形三角形的两条直角边长度相等，因此蝴蝶形三角形的两个等边三角形的边长也相等。

4. 周长和面积规律：蝴蝶形三角形的周长等于其两条直角边长度的两倍，而其面积则等于其直角边长度的平方。

5. 性质变化：当蝴蝶形三角形的直角边长度增加时，其周长和面积也会随之增加。

6. 对称性：蝴蝶形三角形具有轴对称和中心对称两种对称性。

综上所述，蝴蝶形三角形是一个具有对称性的几何图形，其三个角度相等，两个直角边长度相等，周长和面积的计算方式具有一定的规律性。

通过对蝴蝶形三角形的研究，我们可以更好地了解几何图形的性质和规律，从而更好地应用于实际生活和工作中。

制作蝴蝶最简单的方法蝴蝶是一种美丽的昆虫，它们的翅膀上有着各种各样的花纹和颜色，非常迷人。

如果你想制作一个漂亮的蝴蝶，但又不想花费太多时间和精力，那么这篇文章就是为你准备的。

材料准备：1. 彩色纸张（最好是双面彩纸）2. 剪刀3. 胶水4. 铅笔步骤一：准备纸张你需要准备一张彩色纸张。

最好选择双面彩纸，这样可以让你的蝴蝶更加美丽。

将纸张对折，然后用剪刀将它剪成一个正方形。

步骤二：折叠纸张将正方形的纸张对折，然后再次对折，使其成为一个小三角形。

然后将三角形的底部向上折叠，使其成为一个更小的三角形。

接着将三角形的两个角向上折叠，使其成为一个更小的三角形。

步骤三：剪切纸张用剪刀将三角形的顶部剪掉，使其成为一个类似于菱形的形状。

然后将菱形的两个角向上折叠，使其成为一个更小的菱形。

步骤四：折叠翅膀将菱形的两个角向上折叠，使其成为一个更小的三角形。

然后将三角形的底部向上折叠，使其成为一个更小的三角形。

接着将三角形的两个角向上折叠，使其成为一个更小的三角形。

最后将三角形的底部向上折叠，使其成为一个更小的三角形。

这样就完成了蝴蝶的翅膀。

步骤五：制作身体用剪刀将一小段纸张剪下来，然后将其卷成一个小圆柱体，用胶水固定。

将圆柱体粘在蝴蝶的翅膀中央，这样就完成了蝴蝶的身体。

步骤六：完成蝴蝶将蝴蝶的翅膀展开，然后用铅笔在翅膀上画上花纹和颜色。

你可以根据自己的喜好来设计蝴蝶的花纹和颜色。

最后，将蝴蝶的翅膀对折，这样就完成了一个漂亮的蝴蝶。

总结：制作蝴蝶最简单的方法就是用彩色纸张折叠成蝴蝶的翅膀和身体，然后用铅笔在翅膀上画上花纹和颜色。

这个过程非常简单，适合小朋友和手工爱好者。

你可以用不同的颜色和花纹来制作多个蝴蝶，然后将它们挂在墙上或者放在书桌上，让你的生活更加美丽。

三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型(蝴蝶(风筝)模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1. 等积变换基础模型1)等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB ⎳CD ，则S △ACD =S △BCD ；反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB ⎳CD 。

图1图2图32)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC =BE ∶CF 。

1(山东省临沂市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 边AC 的中线，点E 在BC 上，BE =12EC ，△ABD 的面积是3，则△BED 的面积是()A.4B.3C.2D.1【答案】D【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出S △BDC 、S △BED ．【详解】解：∵BD 是△ABC 边AC 的中线，△ABD 的面积是3，∴S △BDC =S △ABD =3，∵BE =12EC ，∴S △BED =13S △DBC =1，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．2(河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 的边AC 上的中线，AE 是△ABD 的边BD 上的中线，BF 是△ABE 的边AE 上的中线，若△ABC 的面积是32，则阴影部分的面积是()A.9B.12C.18D.20【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD 是△ABC 的边AC 上的中线，∴S △ABD =S △BCD =12S △ABC =12×32=16，∵AE 是△ABD 的边BD 上的中线，∴S △ABE =S △ADE =12S △ABD =12×16=8，又∵BF 是△ABE 的边AE 上的中线，则CF 是△ACE 的边AE 上的中线，∴S △BEF =S △ABF =12S △ABE =12×8=4，S △CEF =S △ACF =S △ADE =S △CED =12S △ACE =8，则S 阴影=S △BEF +S △CEF =4+8=12，故选：B ．【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．3(湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考)如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1．已知△AFG 的面积为2，则ΔABC 的面积为．【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：∵CG :GF =2:1，△AFG 的面积为2，∴△ACG 的面积为4，∴△ACF 的面积为2+4=6，∵点F 为AB 的中点，∴△ACF 的面积=△BCF 的面积，∴△ABC 的面积为6+6=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．4(浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题)如图，CD 是△ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且BE =2CE ，AE 、CD 相交于F ，四边形BDFE 的面积为6，则△ABC 的面积是．【答案】14.4【分析】连接BF , 设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,根据CD 为AB 边上中线，可得S △ADF =S △BDF =a ,S △BDC=12S △ABC ；根据BE =2CE ，可得S △CEF =12S △BEF =126-a , S △ABE =23S △ABC .进而，S △ABC 的面积可表示为2S △BDC 和32S △ABE ,由此建立方程18-a =32a +9,解出a 的值即可得到△ABC 的面积.【详解】解：连接BF ，如图所示：设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,∵CD 为AB 边上中线，∴S △ADF =S △BDF =a , S △BDC =12S △ABC.∵BE =2CE ，∴S △CEF =12S △BEF =126-a ，S △ABE =23S △ABC .∴S △ABC =2S △BDC =2a +6-a a +126-a =18-a ，S △ABC =32S △ABE =322a +6-a =32a +9，即18-a =32a +9.解得:a =3.6. ∴S △ABC =18-a =18-3.6=14.4，故答案为:14.4.【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.5(2023春·江西萍乡·八年级统考期中)基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，AD 是△ABC 边BC 上的中线，则S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．理由：因为AD 是△ABC 边BC 上的中线，所以BD =CD ．又因为S △ABD =12BD ×AH ，S △ACD =12CD ×AH ，所以S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，△ABC 的面积为a ．(1)如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连接DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=(用含a 的代数式表示)；(2)如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=(用含a 的代数式表示)；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连接FD ，FE ，得到△DEF (如图4)．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=(用含a 的代数式表示)；拓展应用：(4)如图5，点D 是△ABC 的边BC 上任意一点，点E ，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积为8a ，则△BEF 的面积为(用含a 的代数式表示)，并写出理由．【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a ，见解析【分析】(1)直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；(2)连接AD ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出S ΔECD =2S ΔABC ，即可得解；(3)由(2)结论即可得出S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD ，从而得解；(4)点E 是线段AD 的中点，可得S △ABE =S △BDE ，S △ACE =S △DCE ．S △BCE =12S △ABC．点F 是线段CE 的中点，可得S △BEF =S △BCF =12S △BCE．从而可得答案．【详解】(1)解：如图2，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，∴AC 为△ABD 的中线，∴S △ACD =S △ABC 即S 1=a ；(2)如图3，连接AD ，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，∴S ΔACD =S ΔAED =12S ΔECD ，S ΔACD =S ΔABC ，∴S ΔECD =2S ΔABC =2a ，即S 2=2a ；(3)由(2)得S ΔECD =2S ΔABC =2a ，同理：SΔEFA =2S ΔABC =2a ，S ΔECD =S ΔBFD =2a ，∴S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD =6a ；(4)S△BEF=2a，理由如下：理由：∵点E是线段AD的中点，∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△DCE．∴S△BCE=12S△ABC．∵点F是线段CE的中点，∴S△BEF=S△BCF=12S△BCE．∴S△BEF=14S△ABC=2a．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．6(2023春·上海·九年级期中)解答下列各题(1)如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动时，总有与△ABC的面积相等．(2)解答下题．①如图2，在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE、BE，则△BAE的面积为．②如图3，A、B、E三点在同一直线上，BH⊥AC，垂足为H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB =60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF的面积．(3)如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单说明理由)．【答案】(1)△ABP(2)①15；②221(3)图见解析，理由见解析【分析】(1)根据m⎳n，可得△ABC和△ABP同底等高，即可求解；(2)①先求出SΔABC=15，再由CE∥AB，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；②先求出SΔABC=221，再由∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，可得AC∥BF，从而得到SΔACF =SΔABC，即可求解；(3)过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得SΔABC=SΔAEC，从而得到S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，即可求解．【详解】(1)解：∵m⎳n，∴△ABC和△ABP同底等高，则△ABC与△ABP的面积相等；(2)解：①∵BC=6，且BC边上的高为5，∴SΔABC=12×6×5=15，∵CE∥AB，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴SΔBAE=SΔABC=15；②∵BH⊥AC，AC=4，BH=21，∴SΔABC=12×4×21=221，∵∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠G=∠GBF=∠BFG=60°，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴SΔACF=SΔABC=221；(3)解：如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF 即为所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴SΔABC=SΔAEC，∴S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，∴S四边形ABCF =SΔADF=12SΔAED=12S四边形ABCD，∵SΔACD>SΔABC，∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．模型2.蝴蝶(风筝)模型蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

三角形蝴蝶模型公式在我们的数学世界里，三角形可是个超级重要的角色。

而今天，咱们要来聊聊三角形中的一个有趣的东西——三角形蝴蝶模型公式。

先来说说什么是三角形蝴蝶模型。

想象一下，有一个三角形，然后在它内部有一些交叉的线段，看起来就像是一只蝴蝶的形状，所以就叫它三角形蝴蝶模型啦。

这个模型有个很重要的公式，那就是：S1×S2 = S3×S4 。

这里的 S1、S2、S3、S4 分别代表着三角形中不同部分的面积。

那这个公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿。

有一次，我在辅导一个小朋友做作业，题目是这样的：在一个三角形 ABC 中，D、E 是 AB 和 AC 上的点，DE 平行于 BC，AD:DB = 2:3 ，三角形 ADE 的面积是8 平方厘米，让求三角形 BDE 的面积。

这小朋友一开始可懵啦，完全不知道从哪儿下手。

我就跟他说：“别着急，咱们来看看这个三角形，这不就是个三角形蝴蝶模型嘛。

” 然后我就给他画出了图形，标出了对应的部分。

因为AD:DB = 2:3 ，所以根据蝴蝶模型公式，三角形 ADE 和三角形 BDE 的面积比就是 2:3 。

既然三角形 ADE 的面积是 8 平方厘米，那设三角形 BDE 的面积是x 平方厘米，就可以列出一个方程 2:3 = 8:x ，一解，x 就等于 12 平方厘米。

这小朋友一下子就明白了，那高兴劲儿，就跟发现了新大陆似的。

其实在生活中，三角形蝴蝶模型公式也有它的影子呢。

比如说，咱们盖房子的时候，设计师要计算一些支撑结构的受力面积，如果能巧妙地运用这个公式，就能更准确地设计出安全又稳固的结构。

再比如，在农业灌溉中，要计算不同区域的灌溉面积，也能用到三角形蝴蝶模型公式。

回到学习中，要想熟练掌握这个公式，得多做练习题。

别觉得做题枯燥，每做一道题，就像是攻克一个小关卡，特别有成就感。

而且，做错了也别怕，从错误中吸取教训，下次就能做得更好。

总之，三角形蝴蝶模型公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多思考，多练习，就能把它拿下，让它成为我们解决数学问题的有力武器。

蝴蝶型全等三角形的条件
蝴蝶型全等三角形，顾名思义，是指两个全等的三角形，它们的形状像两只翅膀展开的蝴蝶一样。

1. 两边对应相等：在这两个全等三角形中，对应的两边必须相等，即AB=DE，
AC=DF。

3. 另外两个角的大小也一定相等：在这两个全等三角形中，除了其中一个角相等，另外两个角的大小也一定相等，即∠B=∠E，∠C=∠F，或者∠A=∠D，∠C=∠F，或者
∠A=∠D，∠B=∠E。

蝴蝶型全等三角形的概念较为简单明了，它的应用范围相对较窄。

但是，在平面几何中，全等三角形是非常重要的概念，它具有多种应用。

例如，在测量控制中，根据全等三角形可以进行角度的测量；在工程中，通过全等三角形可以进行图像的缩放和标准化等操作。

总之，蝴蝶型全等三角形的概念和应用仍然值得我们深入研究和理解。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。

蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。

二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。

解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。

2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。

解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。

3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。

解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。

人教版数学八年级下册正方形的蝴蝶三角形及其应用正方形是一种重要的特殊四边形，也是重要的考题载体之一，而正方形中的一个重要的图形---蝴蝶三角形也日益成为考题的焦点，下面就结合2019年的考题认识正方形中的蝴蝶三角形并梳理其具体应用，供学习时借鉴.一、初识正方形的蝴蝶三角形如图1，在正方形A BCD 中，点E，F 分别在B C，CD 上，BE=CF，连接AE,BF二线交于点G,称△ABE和△BCF构成的图形为正方形ABCD的蝴蝶三角形.蝴蝶三角形具有如下性质：（1）蝴蝶三角形是全等三角形即△ABE≌△BCF；（2）斜边AE,BF的关系是AE=BF且AE⊥BF；（3）三角形ABG的面积等于四边形GECF的面积；（4）四边形ABFD的面积等于四边形AECD的面积.二、蝴蝶三角形性质的证明（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°，因为BE=CF，所以△ABE≌△BCF；（2）因为△ABE≌△BCF，所以AE=BF，∠BAE=∠CBF ，因为∠BAE+∠BEA=90°，所以∠CBF+∠BEA=90°，所以∠BGE=90°即AE⊥BF.其余的两条性质，请同学们自己给出证明.三、蝴蝶三角形的应用1.寻找等角的个数例1 （2019▪广西池河）如图2，在正方形A BCD 中，点E，F 分别在B C，CD 上，BE=CF，则图中与∠AEB 相等的角的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：根据正方形的蝴蝶三角形的定义断定，△ABE和△BCF是正方形ABCD的蝴蝶三角形，因此△ABE≌△BCF，所以∠AEB=∠BFC.根据正方形的性质，得到AB∥CD,AD∥BC，继而得到，∠ABF=∠BFC, ∠AEB=∠EAD，这样就把与∠AEB相等的角都找出来了.解：选C.点评：确定等角的几种方法要熟记：（1）全等三角形的对应角相等；（2）两直线平行，同位角相等；（3）两直线平行，内错角相等；（4）等于同一个角的两个角相等.熟记这些基础方法，解答时，再附加适当的推理，相信一定能准确确定答案.2.探求线段的长度例2（2019•湖北孝感）如图3，正方形A BCD 中，点E.F 分别在边C D，AD 上，BE 与C F 交于点G．若B C=4，DE=AF=1，则G F 的长为（）A．135B．125C．195D．165分析：根据勾股定理可以确定CF的长，再利用蝴蝶三角形，利用同一个三角形的面积相等，确定CG的长，利用线段和的定义可以确定答案.解：因为BC=4，DE=AF=1，所以DF=EC=3，根据勾股定理，得AE=CF=5,根据蝴蝶三角形的性质，得BE⊥BF,所以CG=125,所以FG=5-125=135,所以选A.点评：解答时，处理好如下几点：（1）把DE=AF转化成DF=CE，从而为蝴蝶三角形的生成创造条件；（2）用好勾股定理是计算的第一个关键；（3）对于直角三角形，牢牢记住直角边的积等于斜边与其上高的积是解题的第二个关键；3.综合证明例3（2019•甘肃）如图4，在正方形A BCD 中，点E是B C 的中点，连接D E，过点A作AG⊥ED 交D E 于点F，交C D 于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证AB=BF.分析：利用同角的余角相等，找到一对新的等角，为三角形的全等完善所缺，其次，通过延长的办法，构造直角三角形，利用斜边上的中线等于斜边的一半原理完成等线段的证明.证明：（1）因为四边形ABCD是正方形，∠ADF+∠EDC=90°，因为AG⊥ED，所以∠ADF+∠DAF=90°，所以∠EDC=∠DAF,因为∠ADG=∠DCE,AD=DC，所以△ADG≌△DCE；（2）延长AB，DE，二线交于点H，因为AB∥CD，所以∠EBH=∠ECD,因为∠BEH=∠CED,BE=CE，所以△BEH≌△CED，所以BH=CD，所以AB=BH，因为∠AFH=90°，所以BF=AB.点评：解答时，有两个基本模型在里面，一是正方形的蝴蝶三角形，一个是中点平行全等三角形模型，这是两个非常重要的几何模型，学习时一定要熟练掌握并灵活运用.专项练习：（2019•湖南长沙）如图5，正方形A BCD，点E，F 分别在A D，CD 上，且D E=CF，AF 与B E 相交于点G．（1）求证：BE=AF；（2）若A B=4，DE=1，求A G 的长．。

蝴蝶翅膀形状特点(一)
蝴蝶翅膀形状的特点
多变的形状
•蝴蝶翅膀的形状多种多样，可以是长形、短形、椭圆形、三角形等等。

•各个种类的蝴蝶翅膀形状独特，可以通过形状的区别来判断蝴蝶的种类。

饰有美丽的花纹和色彩
•蝴蝶翅膀上通常饰有各种美丽的花纹和色彩，比如条纹、圆点、斑驳、眼状花纹等。

•蝴蝶利用翅膀上的花纹和色彩来迷惑捕食者或与伴侣进行交流。

薄如羽毛，轻盈飘逸
•蝴蝶翅膀通常非常薄且柔软，类似于羽毛的质地。

•这种特点使得蝴蝶在飞行时非常轻盈，能够在空中飘逸自如。

透明的硬质骨架支撑
•蝴蝶翅膀的内部有一种透明的、坚硬的骨架，可以提供支撑和保护。

•这个骨架由许多薄而坚韧的脉络组成，使得蝴蝶翅膀能够保持强度和形状的稳定。

参与蝴蝶展示的重要元素
•蝴蝶翅膀的形状和花纹是吸引观众注意的重要元素。

•许多蝴蝶展览会中，展示的重点往往是不同种类蝴蝶的翅膀美学。

融入自然生态的奇迹
•蝴蝶翅膀的形状和花纹能够使蝴蝶在自然环境中更好地适应生存。

•这种适应性和美丽的外表使得蝴蝶成为了大自然中的奇迹之一。

以上是关于蝴蝶翅膀形状的一些特点的简单介绍。

无论是形状的
多变性，花纹和色彩的美丽，还是薄如羽毛的轻盈飘逸，都让蝴蝶翅
膀成为了自然界中令人叹为观止的创作杰作。

让我们一起欣赏和探索
这些奇妙的蝴蝶翅膀吧！
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小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。

它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。

让我们先来直观地感受一下蝴蝶定理是什么。

想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。

然后分别从这个交点向四边形的四个顶点连线，这样就把四边形分成了四个三角形。

奇妙的是，这四个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。

蝴蝶定理的基本形式是：在一个梯形中，两条对角线相交，位于对角线交点两侧的三角形面积相等。

比如说，有一个梯形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。

那么三角形 AOD 的面积就等于三角形 BOC 的面积。

为什么会有这样神奇的结论呢？我们来试着证明一下。

假设梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h。

那么三角形 ABD 的面积可以用公式“底×高÷2”来计算，也就是（a ＋ b)×h÷2。

而三角形 AOD 和三角形 AOB 分别以 AO 和 BO 为底边，它们的高是相同的，都等于梯形的高 h。

假设三角形 AOD 的面积是 S1，三角形 AOB 的面积是 S2，那么根据三角形面积公式，我们可以得到：S1 ： S2 ＝ AO ： BO同样地，三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积比也是 BO ： AO。

因为三角形 ABD 和三角形 ABC 的面积是固定的，所以：S1 ＋ S2 ＝三角形 ABD 的面积三角形 BOC 的面积S2 ＋ S1 ＝三角形 ABC 的面积三角形 AOD 的面积这就说明三角形 AOD 的面积等于三角形 BOC 的面积，也就是蝴蝶定理的结论。

蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。

比如说，有一道题：在一个梯形中，已知上底是 6 厘米，下底是 10 厘米，其中一条对角线把梯形分成了两个三角形，其中一个三角形的面积是 18 平方厘米，求另一个三角形的面积。

我们就可以利用蝴蝶定理，先求出梯形的高，然后再计算另一个三角形的面积。

燕尾定理与蝴蝶定理一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理： 〔1〕同高三角形面积的比等于底的比； 如右图中： S △ABD : S △ACD = BD : CD推论1：平行线间同底的三角形面积相等。

如图：S △ABC = S △ADB = S △AEB〔因为它们同底等高〕推论2：长方形中以一条边为底，顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。

如图：S △ABC = S △BEC = S △BFC = S △BDC =12S ABDC 〔因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2〕推论3：梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。

如图：BOC AOD S S ∆∆=〔蝴蝶三角形〕〔因为ADC BDC S S ∆∆=，这两个三角形同时减去DOC S ∆就得到了BOC AOD S S ∆∆=〕推论4：鸟头定理——如右图所示那么有：ABCDABCD EA D BC EEADE ABC S AD AES AB AC∆∆⋅=⋅ 证明：连结BE ，那么有：ADE ABE S AD S AB ∆∆=，ABE ABC S AES AC∆∆= 两个式子相乘得到：ADE ABE ABE ABC S S AD AES S AB AC∆∆∆∆⋅=⋅ 即：ADE ABC S AD AES AB AC∆∆⋅=⋅推论5：燕尾定理：如右两图所示，均有：ABE ACE S BDS CD∆∆= 〔因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于BDCD〕二、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图： S ABDC =12S AEFC =12AC 2 〔很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因为大正方形有4个直角三角形，而小的只有2个〕三、平行线分线段成比例：“金字塔〞和“沙漏〞，如右两图所示：如果AB 与CD 平行，ABCDEABCD EO CD AB那么：CDABOD OB OC OA == OA OBAC BD=222AOB COD S OA OB AB S OC OD CD ∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭推论：配合沙漏型的规律，只要知道了梯形被对角线分成的四个三角形中两个不同的三角形的面积，就可以知道每一个三角形的面积，进而知道总面积。

蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。

即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1 、S 2 、S 3 、S 4。

则它们的关系是：S 1×S 4 =S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。

A BCD O S 1 S 2S 3 S 4【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。

求： （1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。

三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？CC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？练习1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。

小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。

它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解决许多看似复杂的几何问题。

让我们先来看看蝴蝶定理到底说的是什么。

蝴蝶定理通常是指在一个梯形中，连接两条对角线，会形成四个三角形。

位于梯形对角线两侧的两个三角形的面积相等。

简单来说，就像是一只蝴蝶的两个翅膀，面积是一样的。

那为什么这个定理如此重要呢？想象一下，当我们面对一个梯形的图形，需要计算其中某些部分的面积时，如果能够运用蝴蝶定理，就可以省去很多繁琐的计算步骤，迅速得出答案。

这对于提高我们解决问题的效率和准确性可是非常有帮助的。

为了更好地理解蝴蝶定理，让我们通过一些具体的例子来感受一下它的神奇之处。

比如说，有一个梯形 ABCD，其中 AB 平行于 CD，两条对角线 AC 和 BD 相交于点 O。

假设三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形BOC 的面积是 8 平方厘米。

那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 的面积就等于三角形 DOC 的面积。

那我们怎么来求出这两个未知三角形的面积呢？我们可以这样思考：因为三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积已知，我们设三角形 AOB 的面积为 x 平方厘米，那么三角形 DOC 的面积也为 x 平方厘米。

根据梯形中三角形面积的关系，我们可以得到：三角形 AOD 的面积乘以三角形 BOC 的面积等于三角形 AOB 的面积乘以三角形 DOC 的面积。

也就是 6×8 ＝ x×x，解得 x ＝4√3 平方厘米。

再来看一个例子。

有一个梯形，上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，高是 5 厘米。

连接两条对角线后，其中一个三角形的面积是 10 平方厘米。

那么另一个与它相对的三角形的面积是多少呢？我们先根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，算出这个梯形的总面积是（4 ＋ 6）×5÷2 ＝ 25 平方厘米。

自极三角形和蝴蝶定理自极三角形和蝴蝶定理一、引言自极三角形和蝴蝶定理是几何学中两个重要的概念。

自极三角形是由三个顶点分别围成的三角形，而蝴蝶定理是一个有趣的数学定理，描述了自极三角形中的一些特殊性质。

在本文中，我们将深入研究这两个主题，并探讨它们的价值和应用。

二、自极三角形1.什么是自极三角形自极三角形是在几何学中研究的一个重要概念。

它是由三个顶点组成的三角形，其中每个顶点都在其他两个顶点所组成的直线上。

这种特殊的三角形具有一些独特的性质，让我们一起来看看。

2.自极三角形的性质（1）内角和恒定自极三角形的一个重要性质是，其内角和是恒定的。

无论自极三角形如何变形或移动，其三个内角之和总是相等。

（2）欧拉线的重要性欧拉线是自极三角形的三个重要特殊线段的交点。

它包括了三角形的重心、垂心和外心。

欧拉线在几何学中具有重要的作用，它与自极三角形的构造和性质密切相关。

三、蝴蝶定理1.蝴蝶定理的基本概念蝴蝶定理是一种描述自极三角形中斜边比例的数学定理。

它指出，自极三角形的两条边和斜边之间的比例关系是固定的。

2.蝴蝶定理的应用蝴蝶定理在几何学和三角学中有着广泛的应用。

它可以帮助我们计算自极三角形的边长、角度和面积等重要参数。

蝴蝶定理也有一些实际应用，例如在建筑设计、工程测量和航空工程等领域中都可以看到蝴蝶定理的应用。

四、个人观点和理解自极三角形和蝴蝶定理作为几何学中的重要概念，对于深入理解几何学和数学有着重要的意义。

通过研究自极三角形和蝴蝶定理，我们可以探索几何图形的构造和性质，进一步发展数学思维和解决问题的能力。

自极三角形和蝴蝶定理也有着实际的应用。

在建筑设计中，我们可以利用蝴蝶定理计算房屋斜顶的边长和角度，以确保结构的合理和稳定。

在航空工程中，蝴蝶定理可以帮助我们计算机翼的形状和比例，以提高飞行器的性能和机动性。

总结回顾：本文深入研究了自极三角形和蝴蝶定理这两个几何学中的重要概念。

自极三角形是由三个顶点组成的特殊三角形，具有一些独特的性质，如内角和恒定和欧拉线的重要性。