2015年人教版28.2_解直角三角形(二)(三)提高训练(含答案)

28.1锐角三角函数（3）一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，AB=2，则∠B 的度数是( )A.30° B.45° C.60° D.90°2.∠B 是Rt △ABC 的一个内角，且sinB=23，则cosB 等于( ) A.3 B.23C.21 D.333.计算30tan 2－2sin60°cos45°+3tan30°sin45°=_______________. 4.计算cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2=___________________ 二、课中强化(10分钟训练)1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠B 的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°2.已知α为锐角,tanα=3,则cosα等于( )A.21 B.22C.23 D.333.若|3－2sinα|+(tanβ－1)2=0，则锐角α=____________，β=______________.4.如图1,已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，根据定义求∠A,∠B 的三角函数值.5.如图2，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2 m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为多少米？（精确到0.1 m ，可能用到的数据2≈1.41，3≈1.73）三、课后巩固(30分钟训练)1.已知△ABC 中，∠C=90°，a=35，∠B=30°,则c=_____________.2.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°,a －b=2，则c=________________.3.如图3.在△ABC 中，∠B=30°,sinC=54,AC=10，求AB 的长.4.如图4,已知在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠A=30°,D 在AC 上且∠BDC=60°，AD ＝20，求BC.5.如图,在旧城改造中，要拆除一建筑物AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区.现在从离点B 24 m 远的建筑物CD 的顶端C 测得点A 的仰角为45°，点B 的俯角为30°，问离点B 35 m 处的一保护文物是否在危险区内？6.如图,在高出海平面200 m 的灯塔顶端，测得正西和正东的两艘船的俯角分别是45°和30°，求两船的距离.28.2 解直角三角形（1）1．在下面条件中不能解直角三角形的是（ ）A ．已知两条边B ．已知两锐角C ．已知一边一锐角D ．已知三边3．在△ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，有下列关系式：•①b=ccosB ，②b=atanB ，③a=csinA ，④a=bcotB ，其中正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．为测一河两岸相对两电线杆A 、B 间距离，在距A 点15m 的C 处，（AC ⊥AB ），测得∠ACB=50°，则A 、B 间的距离应为( )m A ．15sin50°B ．15cos50° C ．15tan50°D ．15/tan50° 5．在△ABC 中，∠C=90°，5/2，则斜边c=_____，∠A 的度数是____． 6．在直角三角形中，三个内角度数的比为1：2：3，若斜边为a ，•则两条直角边的和为________． 7．四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，•则四边形ABCD•的面积为________． 8．如图1，小明想测量电线杆AB•的高度，•发展电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=4米，BC=10米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．1.411.73）9．如图2，在Rt △ABC 中，a ，b 分别是∠A ，∠B 的对边，c 为斜边，如果已知两个元素a ，∠B ，就可以求出其余三个未知元素b ，c ，∠A ．第一步：已知：a,∠B,用关系式:_______________,求出:_________________; 第二步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________; 第三步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________. 10．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD=3cm ，AB=7cm ，高为，求底角B 的度数．11．如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BCD=α，• 求cos α的值．12．国家电力总公司为了改善农村用电量过高的现状，目前正在全面改造各地农村的运行电网，莲花村六组有四个村庄A ，B ，C ，D 正好位于一个正方形的四个顶点，•现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图所示的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架）．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt △ABC 中较小锐角的余弦值．14．如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD ，CD 的长．15．（宜昌）如图，•某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，•与地面的夹角∠BPC 为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE 为3.5m ，窗户的高度AF 为2.5m ，求窗外遮阳篷外端一点D 到窗户上椽的距离AD ．（结果精确到0.1m ）b c aABCD28.1锐角三角函数（二）答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，AB=2，则∠B 的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.90° 解：∵sinB=22,∴∠B=45°.答案：B2.∠B 是Rt △ABC 的一个内角，且sinB=23，则cosB 等于( ) A.3 B.23C.21 D.33解：由sinB=23得∠B=60°，∴cosB=21.答案：C 3.计算︒30tan 2－2sin60°cos45°+3tan30°sin45°=_______________.解：︒30tan 2－2sin60°cos45°+3tan30°sin45°=322233322232332=⨯⨯+⨯⨯- 答案：324.计算cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2=___________________.解：cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2=21×21－3×1+(23)2=1－3. 答案：1－3二、课中强化(10分钟训练)1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠B 的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.90°解：tanB=33,∴∠B=30°. 答案：A2.已知α为锐角,tanα=3,则cosα等于( )A.21B.22 C.23 D.33 解析：由tanα=3求得α=60°,故cosα=21.答案：A 3.若|3－2sinα|+(tanβ－1)2=0，则锐角α=____________，β=______________.解析：由题意得sinα=23,tanβ=1， ∴α=60°，β=45°. 答案：60° 45°4.如图28－1－2－1,已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，根据定义求∠A,∠B 的三角函数值.图28－1－2－1解：在Rt △ABC 中，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°. b=21c,c 2=a 2+b 2=152+41c 2.∴c 2=300,即c=310.∴b=35.∴sinA=23=c a ,cosA=c b =21,tanA=3=b a ,sinB=cb=21,cosB=23=c a ,,tanB=33=a b 5.如图28－1－2－2，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2 m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为多少米？（精确到0.1 m ，可能用到的数据2≈1.41，3≈1.73）图28－1－2－2解：∵∠BCA=90°，∴cos ∠BAC=ABAC.∵∠BAC=30°，AC=2,∴AB=︒30cos 2≈2.3.答:相邻两棵树的斜坡距离AB 约为2.3 m.三、课后巩固(30分钟训练) 1.已知△ABC 中，∠C=90°，a=35，∠B=30°,则c=_____________. 解析：由cosB=ca ,得c=Bacos =10.答案：102.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°,a －b=2，则c=________________.解析：tanA 3=ba,又a －b=2， ∴a=3+3,c=Aasin =2+32. 答案：2+323.如图28－1－2－4,在△ABC 中，∠B=30°,sinC=54,AC=10，求AB 的长.图28－1－2－4解：作AD ⊥BC,垂足为点D ，在Rt △ADC 中，AD=AC·sinC=8, 在Rt △ADB 中,AB=BADsin=16.4.如图28－1－2－5,已知在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠A=30°,D 在AC 上且∠BDC=60°，AD ＝20，求BC.图28－1－2－5解：设DC=x,∵∠C=90°,∠BDC=60°, 又∵DCBC=tan ∠BDC,∴BC=DCtan60°=3x.∵∠C=90°,∠A=30°,tanA=ACBC,∴AC=3x.∵AD=AC －DC,AD=20, ∴3x －x=20,x =10. ∴BC=3x=103.5.如图28－1－2－7,在旧城改造中，要拆除一建筑物AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区.现在从离点B 24 m 远的建筑物CD 的顶端C 测得点A 的仰角为45°，点B 的俯角为30°，问离点B 35 m 处的一保护文物是否在危险区内？图28－1－2－7解：在Rt △BEC 中，CE=BD=24,∠BCE=30°, ∴BE=CE·tan30°=38.在Rt △AEC 中,∠ACE=45°,CE=24,∴AE=24.∴AB=24+38≈37.9（米）.∵35<37.9,∴离点B 35 m 处的一保护文物在危险区内. 答：略.6.如图28－1－2－8,在高出海平面200 m 的灯塔顶端，测得正西和正东的两艘船的俯角分别是45°和30°，求两船的距离.图28－1－2－8.解：如题图，A 表示灯塔的顶端，B 表示正东方向的船，C 表示正西方向的船，过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD=200 (m)，∠B=30°,∠C=45°. 从而在Rt △ADC 中，得CD=AD=200，在Rt △ADB 中， ∵tanB=BDAD，∴BD=3200tan =BAD.∴BC=CD+BD=200+3200≈546.4(m).答：两船距离约为546.4 m.28.2 解直角三角形（一）答案:1．B 2．D 3．C 4．C 5°6．12a 7．36 8．8．7 9．略 10．60° • •11．cos α12．设正方形边长为a ，则（1）3a ，（2）3a ，（3）（a ，（4））a ∴第（4）种方案最省电线13．4514．，15．过点E 作EG ∥AC 交BP 于点G ，∵EF ∥DP ，∴四边形BEFG 是平行四边形． 在Rt △PEG 中，PE=3.5，∠P=30°，tan ∠EPG=EGEP，∴EG=EP ·tan ∠ADB=3.5×tan30°≈2.02（或． 又∵四边形BFEG 是平行四边形，∴BF=EG=2.02，∴AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48（或）．又∵AD ∥PE ，∠BDA=∠P=30°， 在Rt•△BAD 中，tan30°=,ABADtan 30AB AD ∴=︒=0.48）≈0.8（m ），∴所求的距离AD 约为0.8m ．。

28．2解直角三角形（3）学案一．基础训练。

1、锐角三角函数值的变化规律：（1）锐角的正弦值或正切值随角度的增大而 （或减小而 ）（2）锐角的余弦值或余切值随角度的增大而 （或减小而 ）2、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（ ）（A ） 都扩大两倍（B ）都缩小两倍（C ）没有变化（D ）不能确定3、sin30°的值等于（ ）。

A 、21 B 、22 C 、23 D 、 1 4、已知∠A 是锐角，且sinA=32，那么∠A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°5、Rt △ABC 中，AB ＝8，3sin 4A,∠C ＝90°,则AC ＝_____________。

6、当锐角A<600时,下列结论不正确的是( ) (A)sinA< (B)cosA< (C)tanA< (D)cotA>二．新知探究。

1、坡度与坡角： 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。

即ｉ＝ ，常写成i=1：m 的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？2、一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；3、某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．4、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°， AD =4，AB =33，则下底BC的长为 __________．AD60°30°BC三．应用提高。

1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的Array B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)3、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．4、庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时李强从南坡山脚B处出发。

《解直角三角形》基础训练知识点1已知两边解直角三角形1.在Rt△ABC 中，AB=4，的度数为( ) A.30° B.40° C.45° D.60°2.在Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，a=5，则∠B=____，b=____.3.在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且求这个三角形的其他元素.知识点2已知一边及一锐角解直角三角形4.如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B=30°，AB=8，则BC 的长是( )A.335.[2018河南信阳羊山中学期中]如图，三角形ABC 中，∠C =90°，AC=3，∠B =30°，P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是( ) A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.6.56.在Rt△ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边.求下列直角三角形中的未知量.(1)∠B=60°，c=25；(2)∠A=30°，知识点3解直角三角形的综合运用7.[2018黑龙江哈尔滨香坊区期末]在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且sinA=12，cosB=2，AC=40，则△ABC 的面积是( )8.如图，已知在△A BC 中，AD 是边BC 上的高，BC=14，AD=12，sinB=45，则线段DC 的长为( )A.3B.4C.5D.69.如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD ，B(0，∠BA0=60°，那么点C 的坐标为____.10.在△ABC 中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠A，∠B 为锐角，求tanB 的值.11.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC =90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E(1)若∠A=60°，求BC 的长；若sinA=45，求AD 的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)参考答案1.C 【解析】在R t△ABC 中，∵AB=4，AC AB =4=2，∴∠A=45°.故选C.2.45° 5【解析】因为sinA=ac 5∠B =∠A，所以b=a=5.归纳总结：(1)解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素，即3个角和3条边.(2)解直角三角形时要注意发现已知和未知之间的联系，充分利用三角函数的定义来列式求值，正弦、余弦、正切三种函数都涉及两边一角，要正确选择，不能将它们弄混.(3)直角三角形中两锐角互余，三边之间满足勾股定理.3.【解析】在Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∴tanA=a b ∴∠A=60°，∴∠B=90°－∠A=30°，∴5故.4.D 【解析】在Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∠B=30°，AB=8，∴BC=ABcos 33故选D. 5.D 【解析】根据垂线段最短，可知AP 的长不可能小于3.在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP 的长不可能大于6.故选D.6.【解析】(1)在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴sinA=a c =12， ∵c=25，∴a=252.∵cos A=b c =2，c=25，∴b=2.综上a=252， b=2，∠A=30°. (2)∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°.在Rt△ABC 中，cosA=b c c=2，∴a=12c=1.综上，a=l ，c=2，∠B=60°.名师点睛：解直角三角形的过程，就是把所有未知元素求出来的过程，不是只求单独的一条未知边或一个未知角.7.D 【解析】∴sinA=12，如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD=12AC=20，S △ABC =12故选D.8.C 【解析】∵AD 是边BC 上的高，∴AD⊥BC.在Rt△BDA 中，∠BDA=90°，AD=12，sinB=AD AB =45，∴AB=15，DC=BC －BD=14－9=5.故选C.9.(1)【解析】过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，则易证Rt△CEB≌Rt△BOA，BE=AO=BOtan ∠BAO=l ，所以OE=OB ＋1因此点C 的坐标为(1) .10.【解析】如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则sinA=CD AC =23，∴CD=23AC=4. 在Rt△BCD，BC=5，CD=4，∴BD=3，∴tanB=CD BD =43. 11.【解析】(1)∵∠A=60O ，∠AB E =90°，∴∠E=30°. 在Rt△AB E 中，∵AB=6，tanA=BEAB，∴BE=AB·tan 3∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=CD CE ，∴CE=CDsin E =412=8，BC=BE －38. (2)∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=BE AE =45，∴设BE=4x ，AE=5x ，则AB=3x ，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE=AB BE =68=CD DE =4DE ，解得DE=163，∴AD=AE－DE=lO －163=143.归纳总结：本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答.《解直角三角形》提升训练1.[2018陕西延安市实验中学课时作业]如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB=45，则菱形ABCD的周长是( )A.10B.20C.40D.282.[2018河南省第二实验中学课时作业]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF ⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为( )3.[2017贵州安顺中考]如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙0于点B，OC平行于弦AD，0C=5，则AD 的长为( )A. 65B. 85C.4.[2017贵州铜仁中考]如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A=a ，且tana=13，则tan2a=____.5.[2018河北邯郸二十三中课时作]如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC上一点，若tan ∠DBA=15，则AD 的长是____.6.[2017上海中考]如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米.其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC. (1)求sinB 的值；(2)现需要加装支架DE ，EF ，点E 在AB 上，BE=2AE.且EF ⊥BC ，垂足为点F ，求支架DE 的长.7.[2018吉林九中课时作业]如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点0，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，，sin∠DBC=3，求对角线AC 的长.8.[2018广东深圳中学课时作业]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BA C=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，CD的长和四边形ABCD的面积.参考答案1.C【解析】由sinB=45，易知cosB=35.∵在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，cosB=BEAB=BC ECBC-=35，∴BC=10，则菱形ABCD的周长为4BC=40.故选C.2.D【解析】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE=30°，∵AF⊥BC，∴∠AFB=90°.在Rt△AFB中，∵DF是斜边AB上的中线，∴AB=2DF=8，∵∠ABC=30°，∴BF=A B cos故选D.3.B【解析】如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC.∵BC切⊙0于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=OBOC=25，∴cos∠A= cos∠BOC=25.又cos∠A=ADAB，AB=4，∴AD=85.故选B.4.34【解析】如图，连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠EBA=∠A=a，∴∠BEC=2a.∴tana=DEAD=13，∴设DE=a，AD=3a，则a，AB=6a.设BC=x，CE=y，则222222x＋yx＋(y)=36a=ìïïíïïîBCCE34=.5.2【解析】过点D作DE⊥AB于点E，∵tan∠DBA=15=DEBE，∴B E=5DE.∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=45°，∴AE=DE ，∴BE=5AE.∵AC=6BE=AE ＋∴在等腰直角三角形ADE 中，由勾股定理，得6.【解析】(1)∵点D 是BC 的中点，∴BD=12BC=9米.∵AD⊥BC ，∴△ABD 是直角三角形，∴米)，∴sinB=ADAB 6. (2)∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴EF BF BE 2AD BD AB 3===，∴EF=23AD=4米，BF=23BD=6米，则DF=BD －BF=9－6=3(米).在Rt△DEF 中，米).7.【解析】如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，则∠E=90°，∵sin∠DBC=DE BD =3，2在Rt△CD E 中，∵CD=3，2E=CD 2－DE 2=1，在Rt△BDE 6222BD －DE =4，∴BC=3，BC=CD ，∴∠CBD=∠CDB， ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD. 同理AD∥BC，∴四边形ABCD 是菱形.∴AC ⊥BD ，A0=CO ，622BC －BO 223－(6)338.【解析】如图，过点D 作DH ∥⊥AC 于点H.∵∠CED=45°，EH=DEcos45°，∴DH=1.又∠DCE=30°，∴HC=DH tan 30︒CD=DHsin 30︒=2.∵∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，∴AB=AE=2，∴AC=AE ＋EH ＋HC=2＋1∴S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ADC =12＋12.。

28.2 解直角三角形 达标训练一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )A.aB.2aC.a 23D.a 25图28.2－21 图28.2－22 (第3题)2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( ) A.52米 B.102米 C.54米 D.6米3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶94.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23 图28.2－24 5.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－268.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)图28.2－279.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米图28.2－29 图28.2－30 图28.2－3111.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－3214.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－3315.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2－3416.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.4千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.经测量得AB=3已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.图28.2－3517.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?图28.2－36参考答案一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )图28.2－21A.aB.2aC.a 23 D.a 25 思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( )图28.2－22 A.52米 B.102米 C.54米 D.6米思路解析：坡度的定义ACBC i，所以BC ∶AC ∶AB=1∶3∶10. 答案：B3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt △AFC 中，sinA=AC CF ；在Rt △AEC 中，sinC=ACAE .所以sinA ∶sinC=ACAE AC CF :=CF ∶AE=2∶3. 答案：B 4.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt △ADC 中，AC=10，∠DAC=60°. 答案：55.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).图28.2－24思路解析：在Rt △OBC 中，OB=OC ，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°. 答案：90°6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25思路解析：在Rt △ABC 中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB 的长.解：如图，在Rt △ABC 中，AC=BD=3米，tan ∠BCA=ACAB ， 所以AB=AC×tan ∠BCA=3×tan60°=3×3≈5.2 (米).答：树的高度AB 约为5.2米.二、综合•应用达标 7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD ⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x 米.在Rt △ACD 中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt △CBD 中，∠CBD=60°，所以tan60°=BD CD ，BD=x 33. 因为AB=AD －BD ，所以20=x －x 33.解得x≈47.3(米). 答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A 、D 是人工湖边的两座雕塑，AB 、BC 是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在A 点北偏东60°方向，C 点在B 点北偏东45°方向，C 点在D 点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD 的长. (结果精确到0.01米)图28.2－27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.由题意，知AD ⊥CD.因为四边形BFDE 为矩形，所以BF=ED.在Rt △ABE 中，AE=AB×cos ∠EAB ，在Rt △BCF 中，BF=BC×cos ∠FBC ，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×21+40×22=10+220， 即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB ＞BE ，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB 的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH ⊥AB ，在Rt △AHC 中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB 时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH ⊥AB ，垂足为H.在Rt △CDF 中，I=1:2 DF CF ，所以DF=21 CF=21×2=1(米). 所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米). 在Rt △AHC 中，tan ∠ACH=AC AH ， 所以AH=HC×tan ∠ACH=15×tan30°=15×33≈8.7(米). 因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BD －DE=14－2=12(米)，10.7<12,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )图28.2－29A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米 思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )图28.2－30A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s 的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P 的海拔高度为( )图28.2－31A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米 思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P 点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.如图，在Rt △POM 中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3 000(米)，因为tanM=OM OP ，所以OP=OM×tan30°=3 000×33≈1 732(米). 答案：A13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m ，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A 到台阶前点B 的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－32思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于F.由条件，得CF=0.8 m ，BF=0.9 m.在Rt △CAF 中，∵tanA=AF CF ，∴AF≈16.08.0=5(m). ∴AB=AF －BF=5－0.9=4.1(m).答：从斜坡起点A 到台阶前点B 的距离约为4.1 m.14.如图28.2－33，海上有一灯塔P ，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－33思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P 到AB 的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P 作PC ⊥AB 于C 点，据题意知: AB=9×62=3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°,∴PC=BC.在Rt △PAC 中，∠PAB=90°－60°=30°，∴tan30°=PCPC BC AB PC AC PC +=+=3, 即PC PC +=333.∴32333>+=PC . ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.如图28.2－34，由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD.图28.2－34思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1 500米,750米.∴BF=EC=750米，AF=3设FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE=x3米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,750+x=750+3米.得x=750.即3750)米.∴CD=(750+3750)米.答：山高CD为(750+316.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：图28.2－35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=34千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°. 已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD 的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大.解：(1)如图，经过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.(2)由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.在Rt △ADE 中，由勾股定理，得530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE .所以EF=1560 (千米).因为该台风中心以15千米／时的速度移动. 所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560= (小时). (3)当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为5.62011012=-(级). 17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.图28.2－36(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD 中，过点B 作AD 边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD 的长也可以在△BCD 中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D 需铺设水下电缆.解：(1)过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于F(如图)， 在Rt △ABF 中，AB=34,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°=2334⨯=6(千米)， AF=AB×cos60°=322134=⨯(千米). 在Rt △BDF 中，DF=BF=6(千米)，所以 BD=262/2645sin ==︒AB (千米).因此，河宽AD=DF －AF=6－32(千米).(2)作BH ⊥CD 于点H.在Rt △BDH 中，BH=HD=6千米，在Rt △CBH 中，86102222=-=-=BH BC CH (千米). 因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：方案一需要的费用：8×2+(6－32)×4+34×2=40(万元)；方案二需要的费用：6×2＋10×2＋34×2=22＋38≈35.9(万元).。

28.2解直角三角形(第一课时)精练题1.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米B ．83米C ．83米 D ．43米 分析：本题考查的是利用解直角三角形的有关知识解决实际问题。

它可以归结为： 在Rt ΔABC 中，已知∠A=60°,CB=4,求斜边AB 的长。

由ABBCA =sin 得：33860sin 4sin ===︒A BC AB 正确答案：C2、如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米（结果用含α的三角比表示）．分析：本题考查的是利用解直角三角形的有关知识解决实际问题，本题可以归结为在Rt ΔABC 中，已知∠A=α°,AB=20,求对边BC 的长由ABBC=αsin 得：ααsin 20sin ==AB BC 正确答案：αsin 203、如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：（1） 未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2） 收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号） 思路分析：第一小题考查的内容是：在直角三角形的中， 已知锐角及对边，求斜边的问题。

在Rt ΔCAB,,BCACCBA =∠sin ∴10sin =∠=ABC AC BC 。

第二小题考查的勾股定理的应用：收绳8秒后，BC=6，AC=5，∴11562222=-=-=AC BC AB正确答案：解（1）如图，在Rt △ABC 中，BCAC＝sin30° ∴ BC ＝︒sin305＝10米（2）收绳8秒后，绳子BC 缩短了4米，只有6米，αACB第2题图这时，船到河岸的距离为1125365622=-=-米．4、如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD ；（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1米）．分析：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的具体应用。

一、基础知识1、解直角三角形在实际问题中的应用：（1）弄清题中名词、术语的意义，把握题意画出几何图形；（2）将实际问题的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形或者矩形；（3）寻找基础三角形，并解这个三角形.2、仰角、俯角概念：如图所示，在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.二、重难点分析重点：把实际问题转化为数学问题. 并能选用适当的锐角三角函数关系式去解答直角三角形问题 .难点：把实际问题转化为数学问题.例1、在山脚C处测得山顶A的仰角为45º，沿着坡角为30 °的斜坡前进400米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60 º ,求山高AB。

【点评】将实际问题转化为数学问题，并正确画出示意图，构造直角三角形，根据AB=BC 建立方程求解.例2、两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝30°,测得其底部C的俯角a＝60°, 求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）∴CE=BE•tanα【点评】本题考查俯角、仰角的知识，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．三、中考感悟1、（2014•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A. (6+6)米B. （6+3米C. （6+2米D. 12米2、（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A. 100米B. 50C.D. 50米【解析】过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．四、专项训练（一）基础练习1、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）A.6sin52︒米B.6tan52︒米C. 6·cos52º米D.6cos52︒米【答案】D2、如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα，则飞机到目标B的水平距离BC为（）A BC D故选A.【答案】A3、初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度（如图），他们在离旗杆底部E 点30米的D处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.4米，则旗杆BE的高为米（结果保留根号）4、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m）．A. 3.5mB. 3.6mC. 4.3mD. 5.1m5、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A. 200米B米C米D. 100+1）米【答案】D6、如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1≈1.7）【解析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角（二）提升练习7、在中俄“海上联合-2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5）8、如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．。

28.2解直角三角形（2）1. 如图,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基出地平面20米(即BC为20米)塔身AB的高为 [ ]2.如图,一敌机从一高炮正上方2000米经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时仰角为45°,1分钟后,飞机到达A点,仰角30°,则飞机从B到A的速度是[ ]米/分.(精确到米)A.1461B.1462C.1463D.14643. 如图所示,河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°,前进20米到达B处,又测得C的仰角为45°,则塔高CD(精确到0.1m)是[ ]mA.25.3B.26.3C.27.3D.28.34. 如图：在200米高的峭壁上,测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30和60°,那么塔高是 [ ]米5. 如图：从B处测得建筑物上旗杆EC顶点C的仰角是60°,再从B的正上方40米高层上A处,测得C的仰角是45°,那么旗杆顶点C离地CD的高度是[ ]米.二、填空题1. 如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角60°,竖直下降10米至D,测得A 点俯角45°,那么峭壁的高是_____________米(精确到0.1米)三、解答题1. 从山顶D测得同一方向的A、B两点，俯角分别为30°,60°,已知AB=140米,求山高(A、B与山底在同一水平面上).(答案可带根号)2. 从与塔底在同一水平线的测量仪上,测得塔顶的仰角为45°,向塔前进10米,(两次测量在塔的同侧)又测得塔顶的仰角为60°,测量仪高是1.5米,求塔高(精确到0.1米).3. 两山脚B、C相距1500米,在距山脚B500米处A点,测得山BD、CE的山顶D、E仰角分别为45°,30°.求两山的高(精确到1米).4. 如图：山顶上有高为h的塔BC,从塔顶B测得地面上一点A的俯角是a,从塔底C测得A的俯角为b,求山高H.参考答案一、选择题1. C2. D3. C4. B5. C二、填空题23.7三、解答题70米1．32. 25.2米3. 500米,577米.4. 解：∵DA=(h+H)ctga,DA=Hctgb则Hctgb=hctga+Hctga即H(ctgb-ctga)=hctga。

28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC，∠B=45∘，∠C=30∘，BC边上的高为3，则△ABC的周长是（）A.9+3√2B.6+3√2+2√3C.9+3√2+3√3D.3√2+3√32. 如图，点A(1.5, 3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=()A.1B.1.5C.2D.33. 如图，太阳光线与水平线成70∘角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是()A.2tan70∘米 B.2sin70∘米 C. 2.2tan70∘米 D.2.2cos70∘米4. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘5. 某山的山顶B处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30∘，山高BC为100米，点E距山脚D处150米，在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60∘，则观光塔AB的高度是()A.50米B.100米C.125米D.150米，则AC是（）6. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cos B=45A.5B.4C.3D.45，AC=2√3，则AB=()7. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，tan B=√32A.4B.5C.6D.78. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30∘，那么下列结论正确的是（）A.3AD=7BCB.AB=2ACC.AC=8CDD.16CD2=3AB29. 某落地钟钟摆的摆长为0.5米，来回摆动的最大夹角为60∘，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a米，最大高度为b米，则b−a等于（）A.1 2B.12−√32C.12+√34D.12−√3410. 如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60∘的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50∘的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50∘方向上；②A地在B地的北偏西30∘方向上；③cos∠BAC=√32；④∠ACB＝50∘．其中错误的是（）A.①②B.②④C.①③D.③④二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，D是BC上一点，AD=BD，tan∠ADC=43，AB=4√5，则CD=________．12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AM是BC边上的中线，cos∠CAM=45，则tan∠B的值为________．13. 从A处测得B处仰角α=18∘36′，那么从B处测得A处的俯角β=________．14. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:√3，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是________米．15. 如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为________．16. 如图，在△ABC中，∠A＝30∘，∠B＝45∘，D在AB上，E在AC上，且使AE＝EC＝DE，那么AD2:BC2等于________．17. 某处欲建一观景平台，如图所示，原设计平台的楼梯长AB=6m，∠ABC=45∘，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30∘，则调整后楼梯AD的长为________m．（结果保留根号）18. 在边长为1的正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A＝________．19. 一艘船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的北偏东60∘，距离为60海里的A处；上午9时到达C处，看到灯塔在它的正北方向．则这艘船航行的速度为________海里/时．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）20. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡逻艇的航向为北偏西40∘．(1)求甲巡逻艇的航行方向；(2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？21 小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30∘，看这栋楼底部的俯角为60∘，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？22 如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，在点B处测得A在北偏东30∘方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为400米，请你求出该河段的宽度．（结果保留根号）23. 安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O处，⊙O的半径为0.2m，AO与屋面AB的夹角为32∘，BF⊥AB于B，AB=2m，求支架BF的长（精确到0.1m）．参考数据：sin32∘=0.32，cos32∘=0.84，tan32∘=0.62．24 随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图所示，根据图中数据计算坝底CD的宽度（结果保留根号）．25 北盘江大桥坐落于云南宣威与贵州水城交界处，横跨云贵两省，为目前世界第一高桥.左图是大桥的实物图，右图是从左图中引申出的平面图，测得桥护栏BG=1.8米，拉索AB与护栏的夹角为26∘，拉索ED与护栏的夹角是60∘，两拉索底端距离BD为300m，若两拉索顶端的距离AE为90m，请求出立柱AH的长.(tan26∘≈0.5,sin26∘≈0.4,√3≈1.7)参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【解答】解：作AD⊥BC，∵ AD=3，∠B=45∘，∵ BD=AD=3，AB=√BD2+AD2=3√2，∵ AD=3，∠C=30∘，∵ AC=2AD=6，CD=√AC2−CD2=3√3，∵ △ABC的周长=AB+AC+BC=3√2+6+3√3+3=9+3√2+3√3．故选C．2.【答案】C【解答】解：根据题意得：tanα=31.5=2；故选C．3.【答案】C【解答】解：∵ DA=0.2米，AB=2米，∵ DB=DA+AB=2.2米，∵ 光线与地面成70∘角，∵ ∠BCD=70∘．又∵ tan∠BCD=DBDC，∵ DC=DBtan∠BCD = 2.2tan70m．故选C. 4.【答案】B【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.5.【答案】A【解答】解：作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，在Rt△DEG中，EG=12DE=75米，∵ BF=BC−CF=BC−EG=100−75=25米，EF=BFtan∠BEF =BFtan30∘=25√3，∵ ∠AEF=60∘，∵ ∠A=30∘，∵ AF=EFtan A =√3√33=75（米），∵ AB=AF−BF=50（米），故选A．6.【答案】A【解答】解：∵ AD是△ABC的高，∠BAC=90∘，∵ ∠ADB=∠ADC=∠BAC=90∘，∵ ∠B+∠BAD=90∘，∠BAD+∠DAC=90∘，∵ ∠B=∠CAD，∵ cos B=45，AD=4，∵ cos B=cos∠CAD=45=ADAC，即4AC =45，∵ AC=5，故选A．7.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵ sin A=CDAC，∵ CD=AC sin A=AC sin30∘=2√3×1 =√3，∵ cos A=ADAC，∵ AD=AC cos30∘=2√3×√3 2=3．∵ tan B=CDBD =√32，∵ BD=2．∵ AB=AD+BD=2+3=5．故选B．8.【答案】D【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30∘，∵ AD=√3CD，CD=√32BC，AC=√32AB，AC=2CD，CD=√32BC，BC=12AB，∵ AD=32BC，AB=2√33AC，CD=√32×12AB=√34AB，∵ 4CD=√3AB，∵ 16CD2=3AB2．故选D．9.【答案】D【解答】解：如上图所示，OA、OB为最大摆幅，OC为摆锤离地最低即和地面垂直时，所以AD=b，CE=a，CF=b−a，∠AOB=60∘，∵ ∠AOC=30∘．作AF⊥OC与F，则在△AOC中，OF=OA cos30∘=√34，∵ CF=b−a=OC−OF=12−√34，∵ 摆长为0.5米，∵ OA=0.5米，∵ OF=√34，∵ b−a=0.5−√34，∵ b−a=(12−√34)米．故选D．10.【答案】B【解答】如图所示，由题意可知，∠1＝60∘，∠4＝50∘，∵ ∠5＝∠4＝50∘，即B在C处的北偏西50∘，故①正确；∵ ∠2＝60∘，∵ ∠3+∠7＝180∘−60∘＝120∘，即A在B处的北偏西120∘，故②错误；∵ ∠1＝∠2＝60∘，∵ ∠BAC＝30∘，∵ cos∠BAC=√32，故③正确；∵ ∠6＝90∘−∠5＝40∘，即公路AC和BC的夹角是40∘，故④错误．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】3【解答】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD =43，设AC=4x，CD=3x，∵ AD=√AC2+CD2=5x，∵ BD=AD=5x，∵ BC=BD+CD=8x，在Rt△ABC中，AC=4x，BC=8x，∵ AB=√AC2+BC2=4√5x，而AB=4√5，∵ 4√5x=4√5，解得x=1，∵ CD=3x=3．故答案为3．12.【答案】23【解答】解：在Rt△ACM中，cos∠CAM=ACAM =45，设AC=4x，则AM=5x，则CM=√AM2−AC2=3x，而AM是BC边上的中线，所以BC=2CM=6x，在Rt△ABC中，tan∠B=ACBC =4x6x=23．故答案为23．13.【答案】18∘36′【解答】解：设A、B两点的水平线分别为AM、BN，依题意，得AM // BN，∠BAM=α=18∘36′，由平行线的性质可知，β=∠ABN=∠BAM=18∘36′．故答案为：18∘36′．14.【答案】5√3【解答】解：∵ 河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:√3，∵ BC:AC=1:√3，∵ 堤高BC=5米，∵ 坝底AC=5√3米．故答案为：5√3．15.【答案】2【解答】解：连接格点MN，DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∵ EC // MN，∠DMA=∠NMB=45∘，DM=√2AD=2√2，MN=√2BM=√2，∵ ∠CPN=∠DNM，∵ tan∠CPN=tan∠DNM，∵ ∠DMN=180∘−∠DMA−∠NMB=180∘−45∘−45∘=90∘，∵ tan∠CPN=tan∠DNM=DMMN =√2√2=2.故答案为：2．16.【答案】3:2【解答】连接CD，∵ 在△ACD中，AE＝EC＝DE．∵ ∠CDA＝90∘，∵ ∠A＝30∘，∵ AC＝2CD，AD=√3CD，在Rt△BCD中，∠B＝45∘，∵ BD＝CD，BC=√2CD，∵ AD2:BC2＝(√3CD)2：(√2CD)2＝3:2 17.【答案】6√2【解答】解：由题意可得，AB=6m，∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，∵ AC=AB⋅sin∠ABC=6×√22=3√2m，又∵ ∠ADC=30∘，∠ACD=90∘，∵ AD=2AC=6√2m．故答案为：6√2m．18.【答案】35【解答】如图，过点C作CD⊥AB于D．∵ AC=√32+42=5，在RtACD中，cos A=ADAC =35，19.【答案】30√3【解答】解：易得∠ABC=30∘，AB=60．∵ BC=AB×cos∠ABC=30√3（海里）．∵ 这艘船航行的速度为30√3÷(9−8)=30√3（海里/时）．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）20.【答案】解：(1)由已知得，AC=120×660=12（海里），BC=50×660=5（海里），∵ AC2+BC2=AB2，∵ △ABC是直角三角形.∵ ∠CBA=50∘，∵ ∠CAB=40∘∵ 甲的航向为北偏东50∘.(2)甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5（海里），3分钟后，甲、乙两艘巡逻船相距为：√62+2.52=6.5（海里）．【解答】解：(1)由已知得，AC=120×660=12（海里），BC=50×660=5（海里），∵ AC2+BC2=AB2，∵ △ABC是直角三角形.∵ ∠CBA=50∘，∵ ∠CAB=40∘∵ 甲的航向为北偏东50∘.(2)甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5（海里），3分钟后，甲、乙两艘巡逻船相距为：√62+2.52=6.5（海里）．21【答案】这栋楼的高度为56√3m【解答】在Rt△ABD中，∵ ∠BDA＝90∘，∠BAD＝30∘，AD＝42m，∵ BD＝AD tan30∘＝42×√33=14√3(m)．在Rt△ACD中，∠ADC＝90∘，∠CAD＝60∘，∵ CD＝AD tan60∘＝42×√3=42√3(m)．∵ BC＝BD+CD＝14√3+42√3=56√3(m)．22【答案】解：过A作AH⊥BC于点H，设AH=x，由题意得：∠BAH=30∘，∠ACH=45∘，x，∵ HC=AH=x，BH=√33∵ BC=400米，x+x=400，∵ √33解得：x=600−200√3，即河宽为(600−200√3)米．【解答】解：过A作AH⊥BC于点H，设AH=x，由题意得：∠BAH=30∘，∠ACH=45∘，x，∵ HC=AH=x，BH=√33∵ BC=400米，x+x=400，∵ √33解得：x=600−200√3，即河宽为(600−200√3)米．23【答案】支架BF的长为1.0米．【解答】解：∵ BF⊥AB，∵ 在Rt△OAB中，∵ AB=2米，∠OAB=32∘，∵ OB=AB⋅tan∠OAB，=2⋅tan32∘≈2×0.62=1.24米，∵ BF=OB−OF=1.24−0.2=1.04≈1.0米，24【答案】坝底DC的宽为(19+3√3)m．【解答】．解：在Rt△ADF中，∠D=60∘，cot∠D=DFAF∴DF=AF⋅cot∠D=9×cot60∘=3√3．=9×√33在Rt△BEC中∵∠C=45∘．∴△BEC为等腰三角形．∴EC=BE=9．在矩形AFEB中，FE=AB=10．∴DC=DF+FE+EC=3√3+10+9 =(19+3√3)．(m)25【答案】解：设CD=x米，∵ ∠CDE=60∘ , ∠ACB=90∘，在Rt△CED中，CE=DC⋅tan60∘=√3x，∴ AC=AE+CE=90+√3x，∵ ∠ABC=26∘，∴ AC=BC⋅tan26∘=0.5(x+300)，90+√3x=0.5(x+300)，≈48，解得x=240√3+12011∴ AC=90+48√3≈171.6(m)，∴ AH=AC+CH≈171.6+1.8=173.4(m).答：立柱AH的长约为173.4m.【解答】解：设CD=x米，∵ ∠CDE=60∘ , ∠ACB=90∘，在Rt△CED中，CE=DC⋅tan60∘=√3x，∴ AC=AE+CE=90+√3x，∵ ∠ABC=26∘，∴ AC=BC⋅tan26∘=0.5(x+300)，90+√3x=0.5(x+300)，≈48，解得x=240√3+12011∴ AC=90+48√3≈171.6(m)，∴ AH=AC+CH≈171.6+1.8=173.4(m).答：立柱AH的长约为173.4m.。

28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AD ⊥BC 于D ，设∠ABC =α，则下列结论错误的是（ ）A.BC =AC sin αB.CD =AD ⋅tan αC.BD =AB cos αD.AC =AD cos α2. 兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是( ) A.北纬34∘03′ B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03′，东经103∘49′3. 下列说法中，正确的是（ ）A.在Rt △ABC 中，锐角A 的两边都扩大5倍，则cos A 也扩大5倍B.若45∘<α<90∘，则sin α>1C.cos 30∘+cos 45∘=cos (30∘+45∘)D.若α为锐角，tan α=512，则sin α=5134. 如图，在高为2m ，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=15，sin A=1，则BC=()3A.5B.10√2C.45D.156. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘7. 等腰三角形的顶角A=120∘，底边BC的长为12cm，那么它的腰长是（）A.2√3cmB.4√3cmC.√3cmD.6cm8. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西60∘的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西30∘的方向行驶30海里到达C地，则A、C两地相距（）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里9. 国际商贸城福田三期市场于2008年10月隆重开业．在开业店铺装修中，陈师傅用防火材料制作了一块如图所示的三角形隔离板，该板的面积为（）dm2 C.6dm2 D.3dm2A.3√2dm2B.3√2210. 如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60∘的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50∘的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是()A.B地在C地的北偏西40∘方向上B.A地在B地的南偏西30∘方向上D.∠ACB=50∘C.cos∠BAC=√32二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，），那么AC＝________．11. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AB＝6，cos A=2312. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是2:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是________．13. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为________．14. 如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为30∘，向塔前进10米到达D，在D处测得A的仰角为45∘，则塔高为________米．15. 一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的M处，上午11时到达N处时发现此灯塔P在船的正北方向，则这只船的航行速度为________海里/小时．16. 如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．18. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．19. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．20. 如图，B，C是河岸边两点，A是对岸边上一点，测得∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，BC=60米，甲想从A点出发在最短的时间内到达BC边，若他的速度为5米/分，则他所用的最短时间为________分．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 一副直角三角板如图放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90∘，∠E=30∘，∠B=45∘，AC=12，试求BD的长．22. 有一种小凳的示意图如图所示，支柱OE与地面l垂直，小凳表面CD与地面l平行，凳腿OA与地面l的夹角为40∘，OE=35cm，OA=OB=25cm．求小凳表面CD与地面l的距离（精确到1cm）．（备用数据：sin40∘=0.6428，cos40∘=0.7660，tan40∘=0.8391．）23 如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC=6米，AB=9米，中间平台宽度DE为2米，DM，EN为平台的两根支柱，且DM，EN均垂直于AB，垂足分别为M，N，∠EAB=30∘，∠CDF=45∘．则求BM的长度．（精确到0.1米）24. 某校数学兴趣小组的同学用学到的解直角三角形的知识，测量聊城摩天轮圆心D到地面AC的高度CD，如图，在空地的A处，他们利用测角仪器测得CD顶端的仰角为30∘，沿AC方向前进40米到达B处，又测得CD顶端的仰角为45∘，已知测角仪器的高度为1.2米，求摩天轮圆心到地面的高度. (√3≈1.732，精确到0.1米)25. 如图，在山坡上有一棵大树AB，小明在坡上的C点处测得树顶B的仰角为17∘，已知山坡的坡角为15∘，测角仪高CD为1.5米，测角仪离大树的坡面距离AC为50米，求大树AB的高．（精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα=AC，BC，故A正确；∴ BC=ACsinαB．∴ ∠B+∠BAD=90∘，∠CAD+∠BAD=90∘，∴ ∠B=∠CAD=α，，在Rt△ADC中，tanα=CDAD∴ CD=AD⋅tanα，故B正确；C．在Rt△ABD中，cosα=BD，AB∴ BD=AB⋅cosα，故C正确；D．在Rt△ADC中，cosα=AD，AC∴ AD=AC⋅cosα，故D错误；故选D．2.【答案】D【解答】解：准确表示兰州市的地理位置的是北纬34∘03′，东经103∘49′.故选D.3.【答案】D解：A，在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cos A值不变，故本选项错误；B，应为若45∘<α<90∘，则√22<sinα<1，故本选项错误；C，三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D，根据tanα=512，设两直角边为5k，12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα=513，故本选项正确．故选D．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∴ tan A=BCAC，∴ AC=BC÷tan30∘=2√3．∴ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：∴ sin A=BCAB =13，AB=15，∴ BC=5，【答案】B【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.7.【答案】B【解答】解：如图：∴ △ABC是等腰三角形，∠A=120∘，∴ ∠B=∠C=30∘，AD⊥BC，∴ BC=12，∴ BD=6，设AD为x，则AB=2x，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，即(2x)2=62+x2，解得：x=2√3，∴ 2x=4√3，∴ 它的腰长是4√3．故选B．8.【答案】【解答】解：连结AC，∴ ∠2=∠1=60∘，3=30∘，∴ ∠ABC=∠2+∠3=90∘，在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=50海里．故A、C两地相距50海里．故选：C．9.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于D点．在直角△ACD中，∠CAD=45∘，则CD=AC⋅sin45∘=3×√22=3√22．则三角形ABC的面积是：12⋅AB⋅CD=12×2×3√22=3√22．故选B．10.【答案】C【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60∘，∠4=50∘，∴ ∠5=∠4=50∘，即B在C处的北偏西50∘，故A错误；∴ ∠2=60∘，即A在B处的南偏西60∘，故B错误；∴ ∠1=∠2=60∘，∴ ∠BAC=30∘，∴ cos∠BAC=√32，故C正确；∴ ∠6=90∘−∠5=40∘，即公路AC和BC的夹角是40∘，故D错误．故选C.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】4【解答】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝6，cos A=23，∴ cos A=ACAB =23，则AC=23AB=23×6＝4，12.【答案】9米【解答】解：∴ 迎水坡AB的坡比2:3，∴ BCAC =23，∴ 堤高BC=6米，BC=9（米）．∴ AC=32故答案为：9米．13.【答案】6√5m 【解答】解：∴ 斜面坡度为1:2，AC=12m，∴ BC=6m，则AB=√AC2+BC2=√122+62=6√5(m)．故答案为：6√5m．14.【答案】5(√3+1)【解答】解：在Rt△ABD中，∴ ∠ADB=45∘，∴ BD=AB．在Rt△ABC中，∴ ∠ACB=30∘，∴ BC=√3AB．设AB=x（米），∴ CD=10，∴ BC=x+10．∴ x+10=√3x=5(√3+1)．∴ 解得：x=√3−1即铁塔AB的高为5(√3+1)米．故答案为：5(√3+1)．15.【答案】15√2【解答】解：如图所示，在等腰直角三角形APN中，，sin∠APN=ANAP，∴ sin45∘=AN60∴ AN=30√2海里，∴ 速度为30√2÷2=15√2（海里/小时）．16.【答案】15√3【解答】由题意得，∠BAC＝90∘，∠ACB＝60∘，AC＝15，∴ tan∠ACB=ABAC =AB15=√3，∴ AB=√3AC＝15√3，17.【答案】√3【解答】解：由CD⊥AB于D，得∠ADC=CDB=90∘，由∠A+∠ACD=90∘，∠A+∠B=90∘，得∠B=∠ACD，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，所以可得∠A=30∘，∠B=60∘，tan∠ACD=tan60∘=√3，故答案为：√318.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∴ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∴ 这样就构成了一对同旁内角，∴ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∴ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.19.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∴ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.20.【答案】(18−6√3)【解答】解：过A点作AD⊥CB交BC于点D，所走路线为A→D，∴ ∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，∴ tan∠CAD=CDAD ，tan B=ADBD，∴ tan30∘=CDAD，tan45∘=ADBD，∴ AD=√3CD，AD=BD．又∴ CD+BD=60，∴ CD+AD=60．∴ √33AD+AD=60，∴ AD=90−30√3，∴ 90−30√35=(18−6√3)分．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．【解答】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．22.【答案】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．【解答】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．23【答案】BM的长度约为4.6米．【解答】解：设BM=x米．∴ ∠CDF=45∘，∠CFD=90∘，∴ CF=DF=x米，∴ BF=BC−CF=(6−x)米．∴ EN=DM=BF=(6−x)米．∴ AB=9米，DE=2米，BM=DF=x米，∴ AN=AB−MN−BM=(7−x)米．在△AEN中，∠ANE=90∘，∠EAN=30∘，∴ EN=AN⋅tan30∘．即6−x=√33(7−x)．解这个方程得：x=√33−√3≈4.6．24【答案】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.【解答】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.25【答案】大树AB的高约为29.2米．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，得矩形DEFC∴ EF=CD=1.5，由已知得，∠FCA=15∘在Rt△ACF中，∠AFC=90∘AF=AC⋅sin∠ACF=50×sin15∘≈12.94CF=AC⋅cos∠ACF=50×cos15∘≈48.30在Rt△DBE中，∠BED=90∘BE=DE⋅tan∠BDE=48.30×tan17∘≈14.77∴ AB=BE+EF+AF=12.94+1.5+14.77≈29.2。