2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答

2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。

  ☠♋♦♓☐⏹♋● ☜⏹♑●♓♦♒ ☐⏹♦♏♦♦ ♐☐❒ ☐●●♏♑♏ ♦◆♎♏⏹♦♦2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷☎非选择题✆两部分 共 分 考试用时 分钟 第Ⅰ卷 至 页 第Ⅱ卷 至 页答卷前 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时 考生务必将答案凃写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利✐第Ⅰ卷注意事项：每小题选出答案后 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选凃其他答案标号本卷共 小题 每小题 分 共 分参考公式如果事件✌ 互斥 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+棱柱的体积公式✞ ♒， 其中 表示棱柱的底面面积 ♒表示棱柱的高如果事件✌ 相互独立 那么)()(()B P A A P P B =球的体积公式34.3V R π=其中 表示球的半径一．选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的☎✆ 已知集合✌  ⌧ ⌧ ♎❝ ✌  ⌧ ⌧♎❝ 则A B⋂=☎✌✆ (,2]-∞ ☎✆ ☯ ☎✆ ☯－  ☎✆ ☯－ ☎✆ 设变量⌧ ⍓满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数  ⍓－ ⌧的最小值为☎✌✆ － ☎✆ －☎✆  ☎✆ ☎✆ 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 若输入⌧的值为  则输出 的值为☎✌✆  ☎✆ ☎✆  ☎✆ ☎✆ 已知下列三个命题①若一个球的半径缩小到原来的12则其体积缩小到原来的18②若两组数据的平均数相等 则它们的标准差也相等③直线⌧  ⍓    与圆221 2x y+=相切 其中真命题的序号是☎✌✆ ①②③ ☎✆ ①②☎✆ ②③ ☎✆ ②③☎✆ 已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于✌ 两点 为坐标原点 若双曲线的离心率为  △✌的面积为3 则☐ ☎✌✆  ☎✆ 32☎✆  ☎✆ ☎✆ 在 ✌中,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ ☎✆ 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 ☎✌✆ ☎✆ ☎✆ ☎✆ ☎✆ 已知函数()(1||)f x x a x =+ 设关于⌧的不等式()()f x a f x +< 的解集为✌ 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦则实数♋的取值范围是☎✌✆ ⎫⎪⎪⎝⎭☎✆ ⎫⎪⎪⎝⎭☎✆ ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭☎✆ ⎛- ⎝⎭∞年普通高等学校招生全国统一考试☎天津卷✆理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上  本卷共 小题 共 分二．填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分☎✆ 已知♋ ♌ ♓是虚数单位 若☎♋  ♓✆☎  ♓✆  ♌♓ 则♋  ♌♓  ☎✆ 6x x ⎛- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为 ☎✆ 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ= 圆心为 点 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭则   ☎✆ 在平行四边形✌中 ✌   60BAD ︒∠= ☜为 的中点 若·1AD BE = 则✌的长为 ☎✆ 如图 △✌为圆的内接三角形 为圆的弦 且  ✌ 过点✌ 做圆的切线与的延长线交于点☜ ✌与 交于点☞ 若✌  ✌ ✌☜      则线段 ☞的长为 ☎✆ 设♋  ♌   ♌  则当♋  时 1||2||a a b+取得最小值三．解答题 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤☎✆ ☎本小题满分 分✆已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R☎Ⅰ✆ 求♐☎⌧✆的最小正周期☎♋✆ 求♐☎⌧✆在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值☎✆ ☎本小题满分 分✆一个盒子里装有 张卡片 其中有红色卡片 张 编号分别为     白色卡片 张 编号分别为    从盒子中任取 张卡片 ☎假设取到任何一张卡片的可能性相同✆☎Ⅰ✆ 求取出的 张卡片中 含有编号为 的卡片的概率☎♋✆ 再取出的 张卡片中 红色卡片编号的最大值设为✠ 求随机变量✠的分布列和数学期望☎✆ ☎本小题满分 分✆如图 四棱柱✌－✌ 中 侧棱✌ ✌⊥底面✌ ✌   ✌ ✌ ✌     ✌✌  ✌   ☜为棱✌✌ 的中点☎Ⅰ✆ 证明 ☜☎♋✆ 求二面角 － ☜－ 的正弦值☎♌✆ 设点 在线段 ☜上 且直线✌与平面✌ ✌ 所成角的正弦值为2求线段✌的长☎✆ ☎本小题满分 分✆设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为☞ 过点☞且与⌧轴垂直的直☎Ⅰ✆ 求椭圆的方程☎♋✆ 设✌ 分别为椭圆的左右顶点 过点☞且斜率为 的直线与椭圆交于两点 若··8AC DB AD CB += 求 的值☎✆ ☎本小题满分 分✆ 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列 其前⏹项和为(*)n S n ∈N 且  ♋  ♋  ♋ 成等差数列☎Ⅰ✆ 求数列{}n a 的通项公式 ☎♋✆ 设*()1n n nT S n S ∈=-N 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值☎✆ ☎本小题满分 分✆ 已知函数2l ()n f x x x =☎Ⅰ✆ 求函数♐☎⌧✆的单调区间☎♋✆ 证明 对任意的♦  存在唯一的♦ 使()t f s =☎♌✆ 设☎♋✆中所确定的♦关于♦的函数为()s g t = 证明 当2>e t 时 有2ln ()15ln 2g t t <<。

2013年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,.则集合B 中所有元素的和为__________.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则=⋅∆∆OFB OFA S S __________.3. 在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin =，C B A cos cos 10cos =，则A tan 的值为__________.4. 已知正三棱锥ABC P -底面边长为1，高为2，则其内切球半径为 .5. 设b a ,为实数，函数()b ax x f +=满足：对任意[]1,0∈x ，有()1≤x f .则ab 的最大值为________.6. 从20,,2,1 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7. 若实数y x ,满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是__________.8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1 ∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列个数为__________.二、解答题9. 给定正整数列{}n x 满足 ,3,2,21=≥-n S S n n ，这里n n x x x S +++= 21.证明：存在常数0>C ，使得 ,2,1,2=⋅≥n C x nn .10. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为12222=+by a x ()0>>b a ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q 、R 满足11PA QA ⊥，22PA QA ⊥，11PF RF ⊥，22PF RF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. 求所有的正实数对()b a ,，使得函数()b ax x f +=2满足：对任意实数y x ,，有()()()()y f x f y x f xy f ≥++.答案：1、5- 代元素检验，2-、3-满足条件，故和为5-；2、2 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y B ，故0416212221=++y y y y ，821-=y y ，()0,1F ，24222121==⋅=⋅∆∆y y y OF y OF S S OFB OFA ；3、11 ()10sin 10cos sin sin cos cos cos cos AA CBC B C B A +-=+-=+-=，所以A A cos 11sin =， 11cos sin tan ==AAA ； 4、62 Sr V 31=，其中r 为内切球半径，S 为表面积，根据数据可算出， 12624331=⨯⨯=V ，()32363212134322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯+=S ，故62=r ； 5、41 一次函数区间端点取最值，故⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤11b a b ，由于121222≤++⇒≤+ab b a b a ，且ab b a 222≥+，故4114≤⇒≤ab ab ，取“=”时，21==b a ； 6、323232 20个数选5个共有520C 种情况，5个数全不相邻共有516C 种情况（插空法），故至少有两个 相邻的概率为3232321520516=-C C ；7、{}[]20,40 由题意0≥≥y x ，令0≥-=y x m ，0≥=y n ，故22n m x +=，等式可化为m n n m 2422=-+，即()()52122=-+-n m ，故n m ,为圆上的点，且0≥m ，0≥n ，再根据几何意义，x 为满足等式的点()n m ,到坐标原点的距离的平方，算出∈x {}[]20,40 ；8、491 由于119892312==⨯⨯⨯a a a a a a a a ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+21,1,21i i a a ，故每一个比值在选取数值时，选21-的 比值个数为偶数，结合8个比值成绩为1，可知选21-的个数与选2的个数必相同，故整体分为 3类：①全选1，1种选法；②2个21-，2个2，4个1，4202628=⨯C C 种； ③4个21-，4个2，7048=C 种；综上，共有491704201=++种选法，故由491个数列；9、证明：2≥n 时，12-≥n n S S 等价于121-+++≥n n x x x x ， 下面我们对常数141x C =用数学归纳法证明n n C x 2⋅≥； 当1=n 时，24111⨯≥x x 显然成立；2=n 时，2x 211241⨯=≥x x 也成立； 当3≥=k n 时，假设kk C x 2⋅≥成立，有121-+++≥n n x x x x 可得k k x x x x +++≥+ 211()k C C C x 222321⋅++⋅+⋅+≥ ()k C 2222322++++= 12+⋅=k C 成立，故由数学归纳法可得nn C x 2⋅≥成立.10、证明：令22b a c -=，则()0,1a A -，()0,2a A ，()0,1c F -，()0,2c F .设()00,y x P ，()11,y x Q ，()22,y x R ，其中()010220220≠=+y by a x ，由11PA QA ⊥，22PA QA ⊥可知，()()0010111=+++=⋅y y a x a x P A Q A ，()()0010122=+--=⋅y y a x a x P A Q A ，两式相减可得()0201=+x x a ，即01x x -=，反代可解得02201y a x y -=，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02200,y a x x Q ； 同理可解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02200,y c x x R ，故02y b QR =，由于(]b y ,00∈，所以b QR ≥. 11、解：由题意，0>a ，0>b ，()()()()b ay b ax b y x a b xy a ++≥++++2222；①取0=x ，不等式化为()()0222≥-+-b b y ab a 恒成立，故100202≤<⇒⎩⎨⎧≥-≥-b b b ab a ； ②取x y -=，不等式化为()()0222242≥-+--b b aby yaa 恒成立，故1002<<⇒>-a a a ，此时，仍需满足()0222222222≥-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---b b a a b a a a ab y a a 恒成立，故022222≥-+--b b a a b a ， 化简得022≤-+b a ；综上，不等式成立可推出022,10,10≤-+<<≤<b a a b ；同时，由不等式可得()()()()()()()()()22222222222bb axy y xab a xy aa bay b ax b y x a b xy a -+++-+-=++-++++，其中xy y x 222≥+，在推出条件下，可得 故(){}22,10,10,≤+≤<<<b a b a b a . ()()()()()()()()()()()02211222222222222≥---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-++-+-≥++-++++b a a b a b xy a a b b axy xy ab a xy a a bay b ax b y x a b xy a。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切.其中真命题的序号是:(A) ①②③ (B) ①②(C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B)32 (C) 2 (D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A) 1010 (B) 105 (C) 31010 (D) 55(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年全国高中数学联赛天津赛区预赛注意事项：1. 本试卷共三大题，全卷满分150分； 2. 用圆珠笔或钢笔作答；3. 解题书写还要超出装订线；4. 不能使用计算器.1.设函数()4221x f x x ⎛⎫=-+⎪-⎝⎭.考虑命题p ：()f x 是奇函数；命题q ：()f x 是偶函数.那么，以下结论正确的是（ ）（A ）,p q （B ）,p q ⌝ （C ）,p q ⌝ （D ）,p q ⌝⌝ 2.设,B C 是定点且都不在平面π上，动点A 在平面π上且1in 2s ABC ∠=.那么，A 点的轨迹是（ ）（A ）椭圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）以上皆有可能 3.在ABC ∆中，BC BA CB CA ⋅=⋅，则ABC ∆是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）以上均不对 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25235S a =，453325S a =，则6543Sa 的值是（ ） （A ）125 （B ）85 （C ）45 （D ）35 5.如果曲线2sin2xy =的两条互相垂直的切线交于P 点，则P 点的坐标不可能是（ ） （A ）(),ππ （B ）()3,ππ- （C ）()5,ππ- （D ）()7,ππ- 6.如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(),7-∞ （B ）(],7-∞ （C ）(),5-∞ （D ）(],5-∞ 二、填空题（每小题9分，共54分.请直接将答案写在横线上.）1.若2882log log log log x x =，则4log x 的值是_____________.2.设M 是椭圆22143x y +=上的动点，又设点F 和点P 的坐标分别是()1,0和()3,1，则2MF MP -的最大值是__________.3.已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是____________.4.设20131!cos 2013nn k k x π=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，则lim n n x →∞等于___________. 5.如果{}1,2,,9的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数，则称该子集为忐忑子集.那么，忐忑子集的个数是_____________.6.在ABC ∆中，22bc b a =-，且80B A -=，则内角C 等于___________（用度数作答）.分，共60分） 1.正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点.（1）证明1//AB 平面1BDC . （2）当1AA AB取何值时，1AB 与1BC 垂直？2.在平面直角坐标系中，设,,A B C 是曲线1xy =上三个不同的点，且,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点.求证：DEF ∆的外接圆经过原点O .3.设,αβ为实数，n 为正整数，且04πβα≤≤≤，1n >.（1）证明2tan tan 1tan αβαβα-+≤-，并判断等号成立的条件. （2）证明22114nk n k n π=<+∑.部分试题的别解：二、填空题（每小题9分，共54分.请直接将答案写在横线上.）3.已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是____________.解：易得11x -≤≤，11y -≤≤，所以012x ≤-≤，012y ≤-≤因为()()111x y xy x y +-=---，所以当10x -=或10y -=时，()()111x y ---取得最大值1，所以()max 1x y xy +-=.5. 如果{}1,2,,9的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数，则称该子集为忐忑子集.那么，忐忑子集的个数是_____________. 解：把集合{}1,2,,9中的元素按被3除的余数分类：{}1,4,7A =，{}2,5,8B =，{}3,6,9C =.（1）C 中取0个元素，①A 中取3个元素；②B 中取3个元素；③A 中取3个元素且B 中取3个元素；④A 中取1个元素且B 中取1个元素⑤A 中取2个元素且B 中取2个元素. 共1122333311121C C C C ++++=种可能；第 11 页 共 11 页 （2）C 中取1个元素，除（1）中的5种情况外，还有一种情况A 中取0个元素且B 中取0个元素，共1322C ⨯种可能；（3）C 中取2个元素，与（2）类似，共1322C ⨯种可能；（4）C 中取3个元素，与（2）类似，共3322C ⨯种可能；综上，共72211275⨯+=种可能.6.在ABC ∆中，22bc b a =-，且80B A -=，则内角C 等于___________（用度数作答）.。