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动量矩定理蜻蜓、飞机和直升机儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。
夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。
许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。
我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。
长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。
飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。
蜻蜓就有这个本事。
直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。
直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。
现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。
它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。
直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。
飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。
直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。
飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。
一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。
直升机旋翼的种类为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。
按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：01单旋翼直升机顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。
一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。
例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。
图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。
3、动量矩定理及其守恒定律描写质点组运动规律的三个基本定理，我们已经讲了其中的一个基本定理，也就是质点组的动量定理，我们还由质点组动量定理导出了质点组的动量守恒规律和质心运动定理。
下面准备要讲的是关于质点组整体运动规律的另外二个基本定理，即动量矩定理与动能定理。
现在先讲质点组的动量矩定理与动量矩守恒规律。
动量矩的概念我们在质点力学部分已经有过接触。
在讨论质点的动量矩定理时，我曾经强调过一提到取矩，不管是计算动量矩也好，还是计算力矩也好，首先必需要明确指出以那一点为取矩的中心，或者对那一轴取矩。
对质点如此，那么对质点组也得如此，讨论质点组的动量矩也同样要首先指出以那点为取矩中心，现在我们就先以任一固定点为取矩中心，推出： 一、质点组对固定点o 的动量矩定理：1、 质点组动量矩的定义：假设由n 个质点组成的质点组，其中第i 个质点对固定点0的矢径i r，定义质点组的总动量矩等于组内所有质点对固定点0的动量矩的矢量和，即：)(1in i i r m r J ∑=⨯=。
这就是质点组动量矩的定义式。
与质点组动量定理的推导相类似，质点组的动量矩定理也可以由牛顿第二定理直接导出：根据牛顿第二定律得质点组中第i 个质点的动力学方程为：()()e i i i i i f f r m '+= ,用i r 乘等式的两边：()e i i i i i i i i f r f r r m r ⨯+⨯=⨯）（并对n 个这样类似的方程求和，则有：()e i i ii i i ii i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯∑∑∑）（ (1)此等式的右边的第一项是质点组内所有内力对固定点的力矩的矢量和。
可以证明这项矢量和必定等于零。
为了推算简单起见。
先证明i,j 两个质点所受的一对内力对固定点O 的力矩的矢量和等于零。
证明：如图所示，质点组内i,j 两个质点的相互作用的内力为：j 对i 的作用力为ji f，它的反作用力作用在j 上，用ij f表示。
第四讲 角动量守恒定律 2018.10.25一、角动量的概念类似于力对转轴的矩（力矩），我们引入动量对轴的矩，称为动量矩，也称角动量。
如右图，质点对点O 的角动量为αs i n m r v p r J =⨯= 对于绕固定轴转动的刚体，如右图，设其在某时刻转动的角速度为ω，刚体上某一质点的质量为i m ，它到轴的距离为i r ，则其动量大小为ωi i r m ，则整个刚体对转轴的角动量为 ∑∑==⋅=ωωωI r m r m r J ii i i 2 二、角动量定理由刚体绕定轴转动的转动定理可知βI M =，则ωβ∆=∆=∆I t I t M上式中t M ∆描述了力矩对时间的累积效应，称为冲量矩，用L 表示。
由于刚体定轴转动时转动惯量I 为恒量，故J I I ∆=∆=∆)(ωω，所以J L ∆=上式表明，合外力对刚体的冲量矩等于这段时间内刚体角动量的增量，称为角动量定理。
角动量定理不仅适用于刚体，对非刚体也可采用，这时物体对转轴的转动惯量不是恒量，前式应写成 1122ωωI I L -=三、角动量守恒定律如果物体受到的合力矩为零，即∑=0M ，则其冲量矩也为零，这有恒量=J这就是说，一个物体（系统），如果所受的外力对固定轴的力矩之矢量和为零，则该物体（系统）对该固定轴的角动量不变，这就是角动量守恒定律。
需要注意的是，角动量守恒定律适用于惯性系和质心系，对其它非惯性系，要引入惯性力矩，一般角动量不守恒。
因而不能直接在非惯性系中应用角动量守恒定律。
[例1]如图所示，一个半径为R 、内表面光滑的半球面固定在地面上，开口水平朝上。
一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度0v 。
忽略空气阻力。
求滑块在此后运动过程中的最大速率。
[例2]如图所示，一质量分布均匀的刚性螺旋环的质量为m，半径为R，螺距H=πR，可绕竖直的对称轴OO′无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动，首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴OO′转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．[练习]如图，在水平的光滑桌面上开有一小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m 的小球。
三、动量矩守恒定律上一次课我们从牛顿第二定律出发导出了两条重要推论，一条是动量定理及其守恒定律，另一条就是动量矩定理及其守恒定律。
根据动量矩守恒定律我们还可以证明这样一个特征：力矩为零的质点只能作平面运动。
我们课本上的P.59页的例1，其实就是证明这个结论的例子。
这个例题让我们证明：当质点所受的力，如果恒通过某一个定点，则质点必定在一平面上运动。
下面我们就利用动量矩守恒定律来对它加以证明。
证明：质点所受的力，如果恒通过某一个定点，那么这个定点就叫力心。
例如地球绕太阳运行而受到太阳的引力作用，这些引力的作用线总是通过太阳中心的，这种有力心的力就叫做有心力。
如果我们取力心为坐标原点，那么由于运动质点的位置矢径r与质点所受的力F 是在同一直线上的。
显然，质点所受的力F 对坐标系的原点即力心的力矩 F r ⨯ 是等于零的，即：0=⨯F r 。
所以，此情况下的质点在运动过程中角动量是守恒的。
即c v m r =⨯。
将它写成直角坐标的分量形式的话，则有：m (y ..y z z -)=x c ------(1)m (z ..z x x -)=y c ------(2)m (x ..x y y -)=z c --------（3）我们将（1）z y x ⨯+⨯+⨯)3()2( 即：xm (y ..y z z -)=x c xym (z ..z x x -)=y y c+ zm (x ..x y y -)=z c z0=++z c y c x c z y x 所得到的这个方程，是什么方程？根据空间解析几何知识可知它是一个平面方程。
这就证明了质点只能在这个平面方程所决定的平面上运动。
因此，通过对这个例子的证明，其实也同时包含证明了：力矩为零的质点只能作平面运动的这一特征。
前面，我们根据牛顿第二定律已经得到了两个推论，接下去就讲他的第三个推论。
§6．动能定理与机械能守恒定律在此先介绍有关功与能的几个基本概念和基本物理量。
