数学第二十七章小结与复习课件人教版九年级下册2020年
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人教版九年级数学下册第二十七章小结与复习课件
C
A
E
D
B
针对训练
如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面 成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂 直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB的长．
B
MD＝1.
A
E D
CF
在 Rt△BDM 中，BM 62 32 3 3 ， A
BD BM 2 MD2 2 7 ，
由(1) △ABD ∽△CED得，
BD AD，即 2 7 2，
ED CD
ED
B
M
E
D
CF
∴ ED 7，BE BD ED 3 7.
例5 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，
考点一 相似三角形的判定和性质
例1 如图,当满足下列条件之一时，都可判定
△ADC ∽△ACB．
(1)
；
(2)
；
(3)
AD AC AC AB
或 AC2 = AD ·AB .
A
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
例2 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB
上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
E′
D′
A
BG CF
P●
DE
C′
F′
G′
B′
A′
A′
G′ A
B′C′
F′
B C
G F
P●
DE
D′ E′
位似中的相似比， 一般指新图形与原 图形的比
人教版九年级数学下册第27章相似小结与复习课件(共19张PPT)
求证：AC2=AD·AB
而∠AFC=∠BFA，
解析：此题考查了相似三角形的性质，通过构造相似 的面积之比为
.
◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例的两三角形相似。
1下2三面给出角C.了一形些关．于相似利的命用题，相其中真似命题三有（角形）对应边成比例解答即可．
(2)
；
解：过A点作AH⊥DE，交CF于G，交DE于H． 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零
答：电视塔的高DE是33.6 m。
小题热身
要点梳理（五、位似的性质及应用）
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
知识要点5 5.位似的性质及应用
(1)如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两
个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。(这时的相似比也称为位似比)。 (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对
件的边长是多少？
由题意可得△AFG∽△AEH = _________。
◑周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
下列图形中，属于相似图形的是（ ）
要点梳理（四、相似三角形的应用）
∴ AG FG 即 下列图形中，属于相似图形的是（ ）
如图（1），在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =
上，已知此人眼睛距地面1.6 ∴ AC2=AD·AB
故球能碰到墙面离地 5.
m，标杆为3.2
m，且BC=1
而∠AFC=∠BFA，
解析：此题考查了相似三角形的性质，通过构造相似 的面积之比为
.
◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例的两三角形相似。
1下2三面给出角C.了一形些关．于相似利的命用题，相其中真似命题三有（角形）对应边成比例解答即可．
(2)
；
解：过A点作AH⊥DE，交CF于G，交DE于H． 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零
答：电视塔的高DE是33.6 m。
小题热身
要点梳理（五、位似的性质及应用）
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
知识要点5 5.位似的性质及应用
(1)如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两
个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。(这时的相似比也称为位似比)。 (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对
件的边长是多少？
由题意可得△AFG∽△AEH = _________。
◑周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
下列图形中，属于相似图形的是（ ）
要点梳理（四、相似三角形的应用）
∴ AG FG 即 下列图形中，属于相似图形的是（ ）
如图（1），在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =
上，已知此人眼睛距地面1.6 ∴ AC2=AD·AB
故球能碰到墙面离地 5.
m，标杆为3.2
m，且BC=1
2021年人教版九年级下册数学第二十七章小结与复习课件
GH
∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，
E
O
∴ BD = AD.
பைடு நூலகம்∵ BD = 8，∴ AD = 8.
B
DC
在 Rt△ADC中，AD = 8，AC = 10，
由勾股定理得 DC = 6，则 BC = BD + DC = 14.
∵∠EBC = ∠DEC，∠BCE = ∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，∴BC : CE = CE : CD，
∵AC 是 ⊙O 的直径，
B
DC
∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC =180°－
(∠EBC+∠DCA)=90°，∴AC⊥BH.
(2) 若 ∠ABC=45°，⊙O 的直径等于 10，BD = 8，
求 CE 的长．
A
解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜 子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、 BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝ ∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 根据 CD DE ，即可算出 AB 的高． AB BE
y
A′
B′ O
C′ x
(3) 计算△A′B′C′的面积 S. y A′
B′ O 解：S 1 48=16. 2
C′ x
课堂小结
相似
定义
定义、判定、性质
相似图形
相似多边形 相似三角形
平行线分线段 成比例
判定
人教版九年级下册相关数学第二十七章小结与复习课件
6
则有
12
G xH 8
I
解得x = 4；
解得y = 10.
3. 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，
求证：PC2＝PA·PB. 证明：连接AC，BC
∵AB是直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∠A + ∠B = 90° 又 ∵CD⊥AB
C
A
·
O
P
B
D
∴∠CPB＝90°
∠PCB＋∠B＝90° 又∠A＝∠CPB
G′B
G
F′ C F
P●
F′
C′
G′
B′
DE
A′
D′ E′
4.平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k； 当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k．
当堂练习
1. △ABC的三边长分别为5、12、13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长．
一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位
似中心.（这时的相似比也称为位似比）
E
B
OБайду номын сангаас
C
F
A 2.性质：
D F
O
E D
B C
A
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.
3.位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
P G
●
CF
DE
E′
D′
A′
A
B′ C′
5. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm， 高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一 边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零 件的边长是多少？
人教版九年级下册数学课件：第27章 小结与复习(1)
如图，D，E分别AB，AC上的点.
（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？ B
A DE
C
（2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，那么 DE∥BC吗？为什么？
解：（2） DE∥BC.理由是： ∆ADE和 ∆ABC是位似图形， ∆ADE∽ ∆ABC
∠ADE＝∠B
DE∥BC.
A’
步骤：
B’
1、画出ABC
O
C’
2、选取中心点
3、连结OA、OB、OC
B C
4、在OA、OB、OC上分别选取A’、B’、C’，使OA’/OA=1/2、
OB’/OB=1/2、OC’/OC=1/2 5、连结A’B’C’，所连成的图形就是所求作图形
2、如果四边形ABCD的坐标分别为A（-6，6），B(-8,2), C(-4,0),D(-2,4),写出以原点为位似中心，相似比为 (1/2)的一个图形的对应点的坐标
2. 位似图形的性质：
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比。 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位 似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky） 或（―kx，―ky）。
A
1、以0为位似中心把△ABC在同
侧缩小为原来的一半
A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m
2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：
（1）审题。 （2）构建图形。 （3）利用相似解决问题。
（参见教材39——40页的例4、例5、例6）
27.3 位似
1. 位似图形、位似中心、位似比：
如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点 所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫 做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比 又称为位似比.
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第二十七章
九年级数学下（RJ） 教学课件
相似
小结与复习
导入新课
讲授新课似图形
相似多边形 相似三角形
相似三角形的判定 应
用 相似三角形的性质
要点归纳
一 图形的相似
1.形状相同的图形
2.相似多边形：
①表象：大小不等，形状 相同. ②实质：各对应角相等、 各对应边成比例.
6
则有
12
G xH 8
I
解得x = 4；
解得y = 10.
3. 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，
求证：PC2＝PA·PB. 证明：连接AC，BC
∵AB是直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∠A + ∠B = 90° 又 ∵CD⊥AB
C
A
·
O
P
B
D
∴∠CPB＝90°
∠PCB＋∠B＝90° 又∠A＝∠CPB
3.相似比：相似多边形对应边的比
二 相似三角形的判定
✓ 通过定义（三个角分别相等，三条边成比例） ✓ 平行于三角形一边的直线 ✓ 三边成比例 ✓ 两边成比例且夹角相等 ✓ 两角分别相等 ✓ 两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
三 相似三角形的性质
✓ 对应角相等、对应边成比例 ✓ 对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ✓ 周长比等于相似比 ✓ 面积比等于相似比的平方
（2）作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴AM＝CM＝3，
M
∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1. 在Rt△BDM中， BM 62 .32 3 3
BD BM 2 MD2 2 7
由（1）△ABD∽△CED得，
BD AD ，即 2 7 =2， ED CD ED
∵ED 7，∴BE BD ED 3 7.
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一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位
似中心.（这时的相似比也称为位似比）
E
B
O
C
F
A 2.性质：
D F
O
E D
B C
A
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.
3.位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
P G
●
CF
DE
E′
D′
A′
A
B′ C′
四 相似三角形的应用
（1） 测高 （不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同 一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
（2） 测距 （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
五 位似
1.如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于
G′B
G
F′ C F
P●
F′
C′
G′
B′
DE
A′
D′ E′
4.平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k； 当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k．
当堂练习
1. △ABC的三边长分别为5、12、13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长．
解：∵ △ABC∽ △DEF
设△DEF另两边分别为x, y
则
，解得x = 36
，解得y = 39 ∴△DEF的其他两条边长为36，39.
2. 根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是 否相似，并求出x和y的值
解： ∵∠1=∠2，
∠HGF = ∠JIH=90°， F
J
∴△FGH∽△JIH，
3 5∠1=∠2 y
墙面离地多高的地方？ C
解： ∵∠ABO=∠CDO=90°，
∠AOB=∠COD， A ∴△AOB∽△COD，
1.8m
B 2m O
6m
D
答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方． ∴ CD=5.4m.
7. 如图，△ABC在方格纸中 (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3),C(6,2), 并求出B点坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将 △ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′; (3)计算△A′B′C′的面积S.
【解析】(1)画出原点O，x轴、y轴如图.B（2，1）. (2)画出图形△A′B′C′.
3S 1 48 16.
2
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前言
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于点M，设正方形的边长为xmm
∵EF//BC
∴△AEF∽△ABC
A
AM＝AD－MD＝80－x
EM F
B
G DH C
解得x = 48
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
6. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，
然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球
落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到
∴△APC∽△CPB
4.如图，△ABC是等边三角形，CE是 外角平分线，点D在AC上，连接BD并 延长与CE交于点E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长. （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°． ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED．
5. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm， 高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一 边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零 件的边长是多少？
A
E
F
B
G DH C
解：设正方形EFHG为加工成的正方形零件，边GH在BC上，
顶点E、F分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EF相交
九年级数学下（RJ） 教学课件
相似
小结与复习
导入新课
讲授新课似图形
相似多边形 相似三角形
相似三角形的判定 应
用 相似三角形的性质
要点归纳
一 图形的相似
1.形状相同的图形
2.相似多边形：
①表象：大小不等，形状 相同. ②实质：各对应角相等、 各对应边成比例.
6
则有
12
G xH 8
I
解得x = 4；
解得y = 10.
3. 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，
求证：PC2＝PA·PB. 证明：连接AC，BC
∵AB是直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∠A + ∠B = 90° 又 ∵CD⊥AB
C
A
·
O
P
B
D
∴∠CPB＝90°
∠PCB＋∠B＝90° 又∠A＝∠CPB
3.相似比：相似多边形对应边的比
二 相似三角形的判定
✓ 通过定义（三个角分别相等，三条边成比例） ✓ 平行于三角形一边的直线 ✓ 三边成比例 ✓ 两边成比例且夹角相等 ✓ 两角分别相等 ✓ 两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
三 相似三角形的性质
✓ 对应角相等、对应边成比例 ✓ 对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ✓ 周长比等于相似比 ✓ 面积比等于相似比的平方
（2）作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴AM＝CM＝3，
M
∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1. 在Rt△BDM中， BM 62 .32 3 3
BD BM 2 MD2 2 7
由（1）△ABD∽△CED得，
BD AD ，即 2 7 =2， ED CD ED
∵ED 7，∴BE BD ED 3 7.
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一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位
似中心.（这时的相似比也称为位似比）
E
B
O
C
F
A 2.性质：
D F
O
E D
B C
A
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.
3.位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
P G
●
CF
DE
E′
D′
A′
A
B′ C′
四 相似三角形的应用
（1） 测高 （不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同 一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
（2） 测距 （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
五 位似
1.如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于
G′B
G
F′ C F
P●
F′
C′
G′
B′
DE
A′
D′ E′
4.平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k； 当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k．
当堂练习
1. △ABC的三边长分别为5、12、13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长．
解：∵ △ABC∽ △DEF
设△DEF另两边分别为x, y
则
，解得x = 36
，解得y = 39 ∴△DEF的其他两条边长为36，39.
2. 根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是 否相似，并求出x和y的值
解： ∵∠1=∠2，
∠HGF = ∠JIH=90°， F
J
∴△FGH∽△JIH，
3 5∠1=∠2 y
墙面离地多高的地方？ C
解： ∵∠ABO=∠CDO=90°，
∠AOB=∠COD， A ∴△AOB∽△COD，
1.8m
B 2m O
6m
D
答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方． ∴ CD=5.4m.
7. 如图，△ABC在方格纸中 (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3),C(6,2), 并求出B点坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将 △ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′; (3)计算△A′B′C′的面积S.
【解析】(1)画出原点O，x轴、y轴如图.B（2，1）. (2)画出图形△A′B′C′.
3S 1 48 16.
2
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前言
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于点M，设正方形的边长为xmm
∵EF//BC
∴△AEF∽△ABC
A
AM＝AD－MD＝80－x
EM F
B
G DH C
解得x = 48
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
6. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，
然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球
落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到
∴△APC∽△CPB
4.如图，△ABC是等边三角形，CE是 外角平分线，点D在AC上，连接BD并 延长与CE交于点E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长. （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°． ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED．
5. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm， 高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一 边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零 件的边长是多少？
A
E
F
B
G DH C
解：设正方形EFHG为加工成的正方形零件，边GH在BC上，
顶点E、F分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EF相交