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时变电磁场数学表达式
时变电磁场是指随时间变化的电磁场。
它是电磁学中的重要概念，广泛应用于无线通信、电磁波传播、电磁感应等领域。
本文将从数学表达式的角度出发，探讨时变电磁场的特点和相关理论。
时变电磁场的数学表达式可以用麦克斯韦方程组来描述。
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程，包括四个方程：高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律。
这些方程描述了电场和磁场之间的相互作用，以及它们随时间和空间的变化规律。
时变电磁场的数学表达式可以通过求解麦克斯韦方程组得到。
在求解过程中，需要考虑电场和磁场的初始条件和边界条件，以及电荷和电流的分布情况。
通过适当的数学方法，可以得到电场和磁场随时间和空间的变化规律，从而得到时变电磁场的数学表达式。
时变电磁场的数学表达式可以是一个复杂的函数，包含时间和空间的变量。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的数学模型和方法来描述时变电磁场。
例如，可以使用傅里叶变换将时域的电磁场转换为频域的电磁场，从而简化问题的求解过程。
时变电磁场的数学表达式可以用于分析和设计电磁场的行为和性质。
通过数学模型和计算方法，可以预测电磁场的传播特性、辐射特性和相互作用特性。
这对于无线通信系统的设计、电磁波传播的研究以及电磁感应现象的分析都具有重要意义。
时变电磁场是电磁学中的重要概念，通过数学表达式可以描述电磁场随时间和空间的变化规律。
麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的基本方程，通过求解这些方程可以得到电场和磁场的数学表达式。
时变电磁场的数学表达式可以用于分析和设计电磁场的行为和性质，对于相关领域的研究和应用具有重要意义。
第17讲时变电磁场（1）本节内容：1，法拉第电磁感应定律2，位移电流3，麦克斯韦方程组4，边界条件（1）电荷产生电场（2）运动电荷或者恒定电流产生磁场（3）静电场和静磁场独立存在，所以可以分开研究本章将讲述时变电场和时变磁场，两个场将不在独立，而是相互激发相互转化，构成统一的时变电磁场。
当做为场源的电荷和电流随时间变化时，它们产生的电场和磁场不仅是空间坐标的函数，而且也随时间变化。
而且变化的磁场要产生电场，时变的电场也要产生磁场。
此时电场和磁场互为因果，成为统一的电磁场的不可分割的部分。
一，法拉第电磁感应定律1831年，英国物理学家法拉第（Faraday）总结大量的实验结果发现，当与一个由导线组成的闭合回路相交链的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电动势，进而引起感应电流。
而且感应电动势等于磁通量变化率的负值。
由磁通量增加产生的感应电动势与电流接通线圈1的开关K时，在线圈2中的感应电动势由第2章知道，在导体内维持电流必须在导体内存在非保守场，我们可以用导体内的感应电场（非库仑电场）来定义感应电动势：如果空间中同时存在由静止电荷产生的保守电场C E ， 则总电场C in E E E +=， 因此电场沿闭合路径的积分为dl E in C ⋅=⎰εdS B dt d dl E dl E dl E E dl E S C in C c in C C ⋅-=⋅⋅=⋅+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰)(上式为电磁场表示的法拉第电磁感应定律的积分形式。
其中，穿过线圈回路磁通的变化可能是由于：随时间变化的磁场穿过（交链）静止的线圈，或线圈在均匀磁场中连续改变它的形状或位置，或上述两种情况的综合，因此，上式是普遍适用的公式。
如果线圈是静止的，则穿过线圈回路的磁通变化只可能是由于磁场随时间变化而引起，此时上式可表示为：在此之后，英国物理学家兼数学家麦克斯韦（Maxwell ）对电磁感应定律进行了深入的分析，揭示了电磁感应现象的本质，并得出了电场和交变的磁场之间的关系。
时变电磁场的边界条件
1、在任何边界上电场强度的切向分量是连续的（条件：磁感应强度的变化率有限）
2、在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的
3、电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关。
两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的
4、磁场强度的切线分量边界条件也与媒质特性有关。
在一般边界上，磁场强度的切向分量是连续的（条件：电通密度的时间变化率有限）。
但在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的
5、理想导体内部不可能存在电场，否则将会导致无限大的电流；理想导体内部也不可能存在时变磁场，否则这种时变磁场在理想导体内部会产生时变电场。
在理想导体内部也不可能存在时变的传导电流，否则这种时变的传导电流在理想导体内部会产生时变磁场。
所以，在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。
6、在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，只可能存在法向电场及切向磁场，也就是说，时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切。
7、无源区中的正弦电磁场被其边界上的电场切向分量或磁场切向分量唯一地确定。
第17讲时变电磁场（1）本节内容：1，法拉第电磁感应定律 2，位移电流3，麦克斯韦方程组4，边界条件（1）电荷产生电场（2）运动电荷或者恒定电流产生磁场（3）静电场和静磁场独立存在，所以可以分开研究本章将讲述时变电场和时变磁场，两个场将不在独立，而是相互激发相互转化，构成统一的时变电磁场。
当做为场源的电荷和电流随时间变化时，它们产生的电场和磁场不仅是空间坐标的函数，而且也随时间变化。
而且变化的磁场要产生电场，时变的电场也要产生磁场。
此时电场和磁场互为因果，成为统一的电磁场的不可分割的部分。
一，法拉第电磁感应定律1831年，英国物理学家法拉第（Faraday）总结大量的实验结果发现，当与一个由导线组成的闭合回路相交链的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电动势，进而引起感应电流。
而且感应电动势等于磁通量变化率的负值。
由磁通量增加产生的感应电动势与电流接通线圈1的开关K时，在线圈2中的感应电动势由第2章知道，在导体内维持电流必须在导体内存在非保守场，我们可以用导体内的感应电场（非库仑电场）来定义感应电动势：dl E in C⋅=⎰ε如果空间中同时存在由静止电荷产生的保守电场C E ， 则总电场C in E E E +=， 因此电场沿闭合路径的积分为dSB dt ddl E dlE dl E E dl E S C in Cc in C C ⋅-=⋅⋅=⋅+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰)(上式为电磁场表示的法拉第电磁感应定律的积分形式。
其中，穿过线圈回路磁通的变化可能是由于： 随时间变化的磁场穿过（交链）静止的线圈， 或线圈在均匀磁场中连续改变它的形状或位置， 或上述两种情况的综合， 因此，上式是普遍适用的公式。
如果线圈是静止的， 则穿过线圈回路的磁通变化只可能是由于磁场随时间变化而引起， 此时上式可表示为：dS t B dl E S C ⋅∂∂-=⋅⎰⎰在此之后，英国物理学家兼数学家麦克斯韦（Maxwell ）对电磁感应定律进行了深入的分析，揭示了电磁感应现象的本质，并得出了电场和交变的磁场之间的关系。
他认为回路中感应电动势是由于交变的磁场激发了一种非保守的电场的结果。
这个电场称为感应电场。
感应电动势与感应电场的关系为：⎰⋅=C in l d E ε故电磁感应定律可表示为： ⎰⎰⋅∂∂-=⋅S C S d t B l d E以上讨论是导体回路的情况。
但感应电场是由变化的磁场激发的，不论导体是否存在，只要磁场变化，就要激发感应电场，所以上式不只适合于导体回路，对任一闭合回路都是成立的。
由斯托克斯公式，上式可改写为： ⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅⨯∇=⋅S S C S d t B S d E l d E即： 0=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇⎰S S d t B E由于S 任意，所以： t B E ∂∂-=⨯∇这就是法拉弟电磁感应定律的微分形式，它清楚地表明了交变磁场和感应电场间的关系。
电场的源有两种：静止电荷，时变磁场二，位移电流变化的磁场会产生电场，那么变化的电场能否产生磁场呢？回答是肯定的。
麦克斯韦把恒定磁场中的安培定律用于时变场时出现了矛盾，为此提出位移电流的假说，对安培定律做了修正。
位移电流的假说就是变化的电场产生磁场的结果。
考察安培环路定律在时变场情况下是否成立。
S电容器的位移电流先看一个例子。
一个中间填理想介质的电容器接在交流电源的两端，l 为一个与导线交链的闭合回路，若取一个以l 为边界的曲面1S 与导线相交，则由安培环路定律：i S d J l d H S l =⋅=⋅⎰⎰1i —导线中的传导电流若取一个曲面2S 不与导线相交而通过两极板之间，则： 0=⋅⎰l l d H这样磁场强度沿同一闭合路径的线积分出现了两种结果，这说明安培环路定律用于时变场要产生矛盾。
麦克斯韦首先注意到并从理论上解决了这一矛盾。
他首先分析了这一矛盾的实质，这实际上反应了恒定电流条件下的安培环路定律与时变条件下的电流连续性方程之间的矛盾。
安培环路定律：J H =⨯∇要求 ()0=⨯∇⋅∇=⋅∇H J而在时变场中，电流连续性方程是： tJ ∂∂-=⋅∇ρ二者是矛盾的。
我们知道，电荷守恒定律是普通正确的，而安培环路定律在时变场情况下必须加以修正。
Maxwell 认为，在时变情况下，高斯定理和磁通连续性原理仍然适用。
即：()()t r t r D ,,ρ=⋅∇ ()()t Q S d t r D S =⋅⎰ ,()0,=⋅∇t r B()0,=⋅⎰SS d t r B这样电流连续性方程可写为：()0=⋅∇∂∂+⋅∇=∂∂+⋅∇D t J t J ρ即： 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅∇t D J 此式表明，在时变场中，0≠⋅∇J ，但矢量t DJ ∂∂+的散度等于0，若用此矢量代替安培环路定律中的J，即得：t D J H ∂∂+=⨯∇这样，它与电流连续性方程就是相容的了。
式中t D∂∂ 称为位移电流密度，其单位为（A/m ²）。
引入位移电流之后，一开始的例中的矛盾也就不复存在，因为：d S S l i S d t D S d t D J l d H =⋅∂∂=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰⎰22在两极板之间，电流以位移电流的形式存在，从而保持了电流的连续性。
上式还表明，变化的电场也将激发磁场。
麦克斯韦根据电场和磁场相互激发，预言了电磁波的存在，这一预言在后来得到了实验的证实。
磁场可以由电流来产生，也可以由变化的电场产生。
例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。
设铜中的电场为t E ωsin 0，铜的电导率m s /108.57⨯=σ, 0εε≈。
解： 铜中的传导电流大小为tE E J c ωσσsin 0==tE tE t D J d ωεεcos 0=∂∂=∂∂=f f J J c d 1979106.9108.5103612--⨯=⨯⨯==ππσωε例：证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。
解： 根据麦克斯韦方程可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为tDJ H ∂∂+=⨯∇dS H dS t D J S S c ⋅⨯∇=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎰⎰)(⎰⎰=⨯∇⋅∇=⋅⨯∇VSdV H dS H 0)()(三，麦克斯韦方程组麦克斯韦推广了法拉第电磁感应定律，得出交变的磁场产生电场的结论；又于1862年提出了位移电流的假说，说明交变的电场也能产生磁场。
这表明了电场与磁场之间的紧密联系，二者相互依存，又相互制约，成为统一的电磁场的两个方面。
上述两个方程构成了Maxwell 方程组的核心，同时麦克斯韦认为除了高斯定理在时变情况下成立外，磁通连续性原理也是成立的，它们和上述二方程组成麦克斯韦方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD B t BE t D J H对应的积分形式为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==⋅=⋅⋅-=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰QdV S d D S d B S d B t d dl d E S d t D J l d H V SS S C S C ρ在各向同性的线性媒质中，各场量之间的关系是： ⎪⎩⎪⎨⎧===E J H B E D σμε——媒质的本构方程或称电磁场的辅助方程从以上方程不难看出，前面讨论过的静电场，恒定电场和恒定磁场的基本方程都不过是Maxwell方程组在t dd时的特例。
Maxwell方程组的正确性已为实验所证实，它适用于描述所有的宏观电磁现象，包括运动系统中的电磁现象。
它构成了宏观电磁理论的框架，电磁问题的求解最终都可归结为求Maxwell方程组的解。
麦克斯韦方程的物理意义：1，第一方程是修正后的安培环路定律，表明电流和时变电场可以激发磁场。
第二方程是法拉第电磁感应定律，表明时变磁场产生电场之一重要事实。
这两个方程是麦克斯韦方程的核心，表明时变磁场和时变磁场互相激发，时变电磁场可以脱离场源而独立存在，在空间形成电磁波。
2，第三方程表示磁通的连续性，即空间的磁力线既没有起点也没有终点，从物理意义上讲是空间不存在自由磁核的结果。
第四方程是电场的高斯定理，它对时变电荷和静止电荷都成立。
表明电场是有通量源的场。
3，时变场中的电场的散度和旋度都不为零，所以电力线起始于正电荷终止于负电荷。
而磁场的散度恒为零，旋度不为零，所以磁力线是于电流交链的闭合曲线，并且磁力线与电力线相互交链。
在远离场源的无源区域，电场和磁场的散度都为零，这时，电力线和磁力线自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波。
4，一般情况下，时变电磁场的场矢量和场源既是空间坐标的函数，又是时间的函数，若场矢量不随时间变化，上述方程退化为静态场方程。
5，在线性介质中，麦克斯韦方程组是线性方程组，可以应用叠加原理。
四，交变电磁场的边界条件1，磁场强度H 的边界条件2H 222,,σμε t n ⨯=由麦克斯韦第一方程： ⎰⎰⎰⋅∂∂+⋅=⋅S S l S d t D S d J l d H l h b t D l h b J l H l H t t ∆⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⋅=∆-∆ 12 l h b tD l b J s ∆⋅∂∂+∆⋅= ∴ h b tD b J H H s t t ⋅∂∂+⋅=-12∵ t D ∂∂有限，所以第二项为0 ∴ b J H H s t t⋅=-12或写成矢量形式：b J nb H n b H s⋅=⨯⋅-⨯⋅12即：()b J b H n H n s ⋅=⋅⨯-⨯12而b任意∴()s J H H n=-⨯12若无传导电流，则t t H H 21=或()012=-⨯H H n2， 电场强度E的边界条件2E222,,σμεt n ⨯=由麦克斯韦第二方程：⎰⎰⋅∂∂-=⋅S l S d t B l d El h b tB l E l E t t ∆⋅∂∂-=∆-∆12 ∵ t B∂∂ 有限，而0→h∴ 012=-t t E E即：t t E E 21= ——电场强度切向分量连续或：()012=-⨯E E n3，磁感应强度B的边界条件2B222,,σμε由麦克斯韦第三方程（磁通连续性原理）：=⋅⎰SS d B与恒定磁场类似的讨论可得：n n B B 21= ——磁感应强度的法向分量连续 或：()012=-⋅B B n3， 电感应强度D的边界条件2D222,,σμε由麦克斯韦第四方程（高斯定理）：Q S d D S=⋅⎰与静电场类似讨论可得：S n n D D ρ=-12 或：()S D D n ρ=-⋅12综上所述，交变电磁场中的边界条件可归纳为：S n n n n t t bS t t D D B B E E J H H ρ=-===-12212112或 ()()()()SSD D n B B nE E n J H H n ρ=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯121212120下面讨论一特例——理想导体表面上交变场的边界条件。
