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X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2
例1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字， X 表示取出的5个数字中的最大值. 试求X 的 分布列
解: X 的取值为5，6，7，8，9，10. 并且
P
X k
C4 k 1
C150
k 5， 6， ， 10
即 X 的分布列为
X 5 6 7 8 9 10
X0
1
2
3
4
5
P1 3 1 4 3 4
16 16 16 16 16 16
则
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2
1 31 16 16 16
5 16
例3（续）
P X 3 P X 4 P X 5
34 16 16
7 16
P 0.5 X 3 P X 1 P X 2
X
a1 a2 an
pk
1 1 1 nn n
其中 (ai a j ), (i j) ,则称 X 服从等可能分布.
实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
pk
1 1 11 6 6 66
11 66
3. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
X 12 k pk p qp q k1 p
一、离散型随机变量的分布律 定义1
若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或可 列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称 为非离散型随机变量。
注： 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要 知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个 值的概率.
例
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
2.等可能分布
如果随机变量 X 的分布律为
第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量函数的分布
§1 随机变量 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一 个数）. 例 抛掷骰子,观察出现的点数.
e S {1, 2,3, 4,5, 6} 样本点本身就是数量 X (e) e
31 16 16
4 16
例4 设随机变量 X 的分布律为
PX
n
c
1 4
n
试求常数c
n 1， 2，
解: 由分布列的性质，得
1 P
n1
X n
c
n1
1 4
n
该级数为等比级数，故有
1
1
n1
PX
n
c
n1
1 4
n
c
1
4
1
所以 c 3
4
三、常见离散型随机变量的概率分布
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．
Y 100
表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；
50 Y 100
表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一 随机事件． 注意 Y 的取值是可列无穷个！
例 4 观察灯泡的寿命（单位：小时）， 样本空间: S={t | t ≥ 0}
P1
5 15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
例2 将 1枚硬币掷 3次，X 表示出现的正面
次数与反面次数之差. 试求X 的分布列
解: X 的取值为-3，-1，1，3
则 X 的分布列为
X
-3 -1
1
3
P
1 8
3 8
3 布列为
……
{X=12}={(6,6)}。…………………P{X=12}=1/3 6
随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：
X2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/3
6
例3
上午 8:00～12:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数．
例 袋中有 3只黑球，2只白球，从中任意取出 3只
球，观察取出的3只球中的黑球的个数。我们将
3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作
4，5号，则该试验的样本空间为 分析
样本空间
1， 2， 3 1， 2， 4 1， 2， 5
S
=
1， 2，
3， 3，
4 4
1， 3， 5 2， 3， 5
1，
4，
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
计算 P{X =k },k = 1,2, …，
设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
于是 P{X=1}=P(A1)=p,
P{X 2}P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 ) (1 p)p
P{X 3}P( A1 A2 A3) (1 p)2p
1.两点分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X (e)
0,
1
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X0 1
1
1
pk 2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
则称之为离散型随机变量X的概率函数或概率分布或 分布列（律）。
亦可用下面的概率分布表来表示
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
或 X ~ x1 x2 xk p1 p2 pk
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
k 1
归一性
S {X 取遍所有可能值} {X xk}
在什么样情况下定义何种随机变量要根据实际要解 决什么问题而定。
各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系— — 即 相互独立
离散型
r.v. 分类 非离散型
其中一种重要的类型为
连续性 r.v.
引入 r.v.
重要意义
◇ 任何随机现象可
被 r.v.描述
◇ 借助微积分方法 将讨论进行到底
§2 离散型随机变量及其分布律
I 伯努利(Bernoulli)试验模型
设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2 °每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p. 3°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验
取值情况来刻划随机事件。
例如 e：X e = 2=X = 2
表示取出2个黑球这一事件；
X 2
表示至少取出2个黑球这一事件，等等。
由此看到，随机试验的结果可以用数量来示， 因此引入随机变量的概念
定义
设随机试验的样本空间 S = { e } ， X = X (e)是定义在样本空间S上的实值 单值函数，称
概率特性 X 以一定的概率取值
{e, X (e) x},
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
例1 一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为 检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变 量。X的一切可能取值为
0，1，2，…，20
{X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”； {X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格 品”； …… {X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格 品”。
设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
P{ X k } P ( A1 A2 Ak1 Ak ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak1 ) P ( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
k1,2,
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
A {点数小于3} {e, X (e) 3},
e.
X (e)
S
R
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
则称随机变量X服从超几何分布 ，记作 X ~ H (n, N , M )
从§1.4例3可知，设一批产品共N件，其 中有M件次品，从这批产品中“一次抽取n件样品” 或“不放回地依次抽取n件样品”，则样品中的次品 数：
X= 0,1…, l, l =min(M, n)
X ~ H (n, N , M )
5.二项分布
几何分布背景：
随机试验的可能结果只有2种，A与 A
试验进行到首次A发生为止的次数X，{X=k}即
k次试验，前k-1次失败，第k次成功。
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
4 超几何分布
设随机变量X的概率函数为
P(X
m)
C
m M
C
nm NM
C
n N
