六数理统计的基本概念

第六章 数理统计的基本概念§6.1基本概念 §6.2样本数字特征一、填空题1. 若12,,n X X X ,为来自总体X 的容量为n 的样本，则样本均值X = ，样本方差2S = ； 2．设总体(4,40)X N , 1210,,X X X ,是X 的简单随机样本，则X 的概率密度()f x = ； .3．某种灯泡的寿命X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,n X X X ，是取自总体X 的简单随机样本，则12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 ；4．设总体2(,2)X N μ ，12,,n X X X ，为取自总体的一个样本，X 为样本均值，要使2()0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取多大 ；.5．设n X X X ,,21 ，是来自总体2(,)N μσ的随机样本，,a b 为常数，且0a b <<，则随机区间222211()(),n n i i i i X X b a μμ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑的长度的数学期望为 。

.二、选择题1. 设(1,4)X N ，12,,n X X X ,为X 的样本，则（C ）（A ）1~(01)2X N -，； （B ）1~(01)4X N -，； （C~(01)N ，； （D~(01)N ，. 2．设12,,n X X X ,是总体X 的样本，则有（D ）（A ）()X E X =； （B ）()X E X ≈； （C ）1()X E X n=； （D ）以上三种都不对. 3．设总体(2,9)X N , 1210,,X X X ,是X 的样本，则（B ）（A ）(20,90)X N ； （B ）(2,0.9)X N ； （C ）(2,9)X N； （D ）(20,9)X N .4．设总体2(,)X N μσ , 其中μ已知, 1234,,X X X X ,是X 的样本，则不是统计量的是（C ） （A ）145X X +； （B ）41i i X μ=-∑； （C ）1X σ-； （D ）421i i X =∑.5．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<，数a u 满足{}a P X u α>=，若{||}P X x α<=，则x 等于（C ）（A ）2a u ； （B ）12a u-；（C ）12a u -； （D ）1a u -.6．设12,,n X X X ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则（C ）（A ）2222()E X S μσ-=-； （B ）2222()D X S μσ+=+； （C ）22()E X S μσ-=-； （D ）22()D X S μσ+=+.三、 计算题5. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体2(,)N μσ中的一个大小为4的样本，其中μ已知，但2σ未知，指出下面随机变量中哪些是统计量？ （1）1234X X X X +++；（2）42211()ii Xμσ=-∑； （3）12max{,}X X ；（4）4X μ+； （5）141()2X X +； （6X . 其中4114i i X X ==∑.6. 12,,n X X X ，是取自正态总体2(,)N μσ中的一个样本，12, m U X X X =+++12 m m n V X X X ++=+++ ( )n m >.求,U V 的联合密度函数。

数理统计的基本概念第6章数理统计的基本概念6.1 内容框图6.2 基本要求（1）理解总体、样本及统计量的概念，并熟练掌握常⽤统计量的公式.（2）掌握矩法估计和极⼤似然估计的求法，以及估计⽆偏性、有效性的判断. （3）掌握三⼤抽样分布定义，并记住其概率密度的形状.（4）理解并掌握有关正态总体统计量分布的⼏个结论，如定理6.4~6.9及定理6.11.6.3 内容概要1) 总体与样本在数理统计中，我们把作为统计研究对象的随机变量称为总体，记为ξ，η，… 。

对总体进⾏ n 次试验后所得到的结果，称为样本，记为（n X X X ,,,21 ），（n Y Y Y ,,,21 ），……，其中，试验次数 n 称为样本容量。

样本（n X X X ,,,21 ）中的每⼀个 i X 都是随机变量。

样本所取的⼀组具体的数值，称为样本观测值，记为总体与样本统计量点估计矩阵估计常⽤统计量定义统计量的分布正态总体统计量的分布极⼤似然估计点估计的评价三⼤抽样分布（n x x x ,,,21 ）。

具有性质：（1）独⽴性，即 n X X X ,,,21 相互独⽴。

（2）同分布性，即每⼀个 i X 都与总体ξ服从相同的分布。

称为简单随机样本。

如果总体ξ是离散型随机变量，概率分布为 }{k P =ξ，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合概率分布为∏∏=========ni i ni i in n x P x XP x X x X x X P 112211}{}{},,,{ξ。

如果总体ξ是连续型随机变量，概率密度为 )(x ?，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合概率密度为∏∏====ni i ni i X n x x x x x i1121)()(),,,(*??。

如果总体ξ的分布函数为 )(x F ，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合分布函数为∏∏====ni i n i i X n x F x F x x x F i 1121)()(),,,(* 。

第6章数理统计的基本概念习题及答案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--49第六章 数理统计的基本概念一.填空题1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本，则∑==ni i n 11ξξ服从分布 )n,(N 2σμ .2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2σμN X 则~)(221nS n σ- )(1χ2-n ； ~)(nS n X μ- _)(1-n t __。

其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 12211)(。

3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，+-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 201=a 时，=b 1001=b时，统计量X 服从2X 分布，其自由度为 2 .4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,)x x x 和129(,,,)y y y 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量929~U y=++ (9)t .5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X 与1216,,,Y Y Y 分别为X 与Y 的一个简单随机样本,则2221292221216X X X Y Y Y ++++++服从的分布为 (9,16).F6. 设随机变量~(0,1)X N ,随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立,令T=, 则2~T F (1,n ) 分布.解：由T =, 得22X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ 再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22~(1,).X T F n Y n=507. 设12,,,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量222111n k k X n X =-∑服从的分布为(1,1)F n - (需写出分布的自由度).解：由~(0,1),1,2,,i X N i n =知222212~(1),~(1)nk k X X n χχ=-∑, 于是22122211(1)1~(1,1)./11nkn k k k Xn X F n X n X ==-=--∑∑8. 总体21234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设212234()()X X Z X X -=-服从 F (1,1) 分布(说明自由度)解：由212~(0,2)X X N σ+,有22~(1)χ, 又 234~(0,2)X X N σ-,故22~(1),χ因为2与2独立,所以21234~(1,1).X X F X X ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)(1) 若 总 体 的 平 均 值 ?与 总 体 方 差 ?2 都 存 在 ， 则 样 本 平 均 值 x 是 ? 的 一 致 估 计。

第六章 数理统计的基本概念1.设样本均值为X ,则由题意,有6,4.1(~2n N X ,或)1,0(~/64.1N nX −,于是由1)3(2/64.34.5/64.3/64.34.1}4.54.1{95.0−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−<−<−=<<≤nn n X nP X P⇒ 975.03(≥Φn ⇒ 96.13≥n⇒5744.34≥n 故样本容量至少应取35. 2.由题意可知)1,0(~/2.0N na X n −,又122/2.01.0/2.0}1.0|{|95.0−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ=⎭⎫⎩⎨⎧<−=<−≤n n n a X P a X P n n 故有 975.0)2(≥Φn ⇒ 96.12≥n⇒ 3664.15≥n 因此至少应等于16.n 3. 由正态分布的性质及样本的独立性知,212X X −和4343X X −均服从正态分布,由于,0)2(21=−X X E 20)(4)()2(2121=+=−X D X D X X D以及,0)43(43=−X X E 100)(16)(9)43(4343=+=−X D X D X X D所以,有)20,0(~221N X X −⇒)1,0(~20221N X X −)100,0(~4343N X X − ⇒)1,0(~104343N X X −于是由分布的定义知,当2χ,201=a 1001=b 时,有 ()())2(~10432024322243221243221χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−+−=X X X X X X b X X a X 4. 由正态分布的性质及样本的独立性知, ⇒ )9,0(~2921N X X X +++")1,0(~)(91921N X X X +++" 又)1,0(~3N Y i, 9,,2,1"=i 所以 )9(~)(913332292221292221χY Y Y Y Y Y +++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛""由于两个总体是X 和Y 相互独立的,所以其相应的样本也是相互独立的,故)9(9121X X X +++"与)(21Y 912922Y Y +++"也相互独立,于是由t 分布的定义知,)9(~9/)(91)(91292191292191t Y Y X X YY X X U +++=++++=""""5.由题意知,)1,0(~2N X i,,故有 15,,2,1"=i )10(~22)(4122102121021χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=X X X X U "" )5(~22)(412215211215211χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=X X X X V ""利用样本的独立性以及F 分布的定义,有)5,10(~5/10/)(221521121021F V U X X X X Y =++++="" 6.解法1 考虑n n n n X X X X X X 22211,,,+++++",将其视为取自正态总体的简单随机样本,则其样本均值为 )2,2(2σμN X X n X X n ni i n i i n i 21)(1211==+∑∑==+样本方差为 Y n 11−由于2211σ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Y n E ,所以 22)1(2)2)(1()(σσ−=−=n n Y E 解法2 记,11∑==′n i i X n X ,11∑=+=′ni i n X n X 显然有X X X ′′+′=2，因此[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧′′−+′−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=∑∑=+=+n i i n i n i i n i X X X X E X X X E Y E 1212)()()2()( []⎭⎬⎫⎩⎨⎧′′−+′′−′−+′−=∑=++n i i n i n i i X X X X X X X X E 122)())((2)(222)1(2)1(0)1(σσσ−=−++−=n n n 7.记（未知），易见2)(σ=X D )()(21Y E Y E =， ,6/)(21σ=Y D 3/)(22σ=Y D 由于相互独立，故有21,Y Y ,0)(21=−Y Y E 236)(22221σσσ=+=−Y Y D从而 )1,0(~2/21N Y Y U σ−=，又 )2(~22222χσχS =由于与相互独立,与独立,由定理 6.3.2,与独立,所以1Y 2Y 1Y 2S 2Y 2S 21Y Y −与独立,于是由t 分布的定义,知 2S )2(~2/)(2221t USY Y Z χ=−=8.由)1(~)1(222−−n S n χσ,其中由题意知,25=n , ,于是1002=σ}12)125({)1(50)1(}50{22222>−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−>−=>χσσP n S n P S P975.0}12)24({2≥>=χP 上式中的不等式是查表得到的,所以所求的概率至少为0.9759. 本题要用到这样一个结论,即Γ分布),(βαΓ关于第一个参数具有可加性,即若),(~1βαΓU ,),(~2βαΓV ,且U 与V 相互独立,则),(~21βαα+Γ+V U ,其中),(βαΓ的概率密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=)(x f αβ>其它0,x βΓ−)(1/1e x α−0x α可利用卷积公式证明.回到本题,当λβα11＝，＝,分布就是参数为Γλ的指数分布,所以样本的独立性及Γ分布的可加性,有 )1,(~21λn X +X X n Γ++"即的概率密度为 ∑=ni i X 1⎪⎩⎪⎨⎧>−=−−其它00,)!1()(1x e x n x g x n nλλ 因此∑==ni i X n X 11的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−==−−0,00,)!1()()()(1y y e y n n ny ng y h ny n n λλ 10. (1) 根据正态分布的性质,与21X X +21X X −服从二维正态分布,所以要证明它们相互独立,只需它们不相关,由于0)()()])([(22212121=−=−+X E X E X X X X E 0)()(2121=−+X X E X X E 所以 0),(2121=−+X X X X Cov 即与相互独立21X X +21X X −(2) 由于0=μ,所以)2,0(~221σN X X +⇒)1,0(~221N X X σ+ ⇒)1(~212221χσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+X X⇒)2,0(~221σN X X −)1,0(~221N X X σ− ⇒)1(~212221χσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−X X由上面证明的独立性，再由F 分布的定义知)1,1(~2/2/)()(21221221221F X X X X X X X X F ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−+=σσ 所以 25.0}83.5{}4{4)()(221221=<<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−+F P F P X X X X P。