导数问题中的分类讨论

知识导航分类讨论思想是高中数学中的重要思想之一，主要应用于解答出现的情况种类较多的问题.在运用分类讨论思想解答含参导数问题时，常常需对不同的情况进行分类讨论，然而很多同学却无法找到含参导数问题中分类讨论的“分界点”，导致解题出错.事实上，解题的关键在于如何确定含参导数问题中分类讨论的“分界点”.笔者认为可以从以下两个方面进行考虑.一、讨论方程的判别式很多导数问题要求讨论函数的单调性、单调区间、最值、极值、零点的个数等.解答这些问题的关键在于运用分类讨论思想，讨论求导后方程f '()x =0的判别式与0之间的关系，进而确定f '()x =0的实数解.一般地，若△>0，方程有2个解；若△=0，方程有1个解；若△<0，方程无解.例1.已知函数f ()x =ln x +λæèöø1x -x ()λ∈R .若当x ＞1时，不等式f ()x ＜0恒成立，求λ的最小值.解：由f ()x =ln x +λæèöø1x -x 可得f '()x =-λx 2+x -λx 2,当λ≥12时，方程-λx 2+x -λ=0的判别式Δ=1-4λ2≤0，所以当x ＞1时，f '()x ＜0，导数f ()x 在区间()1,+∞上单调递减，且f ()1=0，故f ()x ＜0在区间()1,+∞上恒成立，①当0＜λ＜12时，方程-λx 2+x -λ=实数根，且0＜x 1=1＜x 2=，所以当x ∈æèççø1f '()x >0，导数f ()x 单调递增，且f ()1=0，f ()x ＞0恒成立，与题意不符；②当λ≤0时，f '()x =ln x +λæèöø1x -x ≥ln x ，因为y =ln x 在区间()1，+∞上恒为正数，所以f ()x ＞0在区间()1，+∞上恒成立，与题意不符；综上所述，当x ＞1时，不等式f ()x ＜0恒成立，λ的最小值为12.解答本题的关键在于确定分类讨论的分界点.在求出导函数后，根据方程-λx 2+x -λ=0的判别式与0之间的关系来确定参数λ的取值范围，然后再对应的区间上讨论导函数与0之间的关系，确定函数的单调性，以便构造出满足不等式f ()x ＜0恒成立的条件，求得λ的最小值.二、讨论零点的个数与零点有关的问题在含参导数问题中并不少见.在进行分类讨论时，要重点讨论导函数f '()x =0的零点个数以及分布情况，在每种情况下讨论参数的取值、函数的单调性、极值的大小等，最后综合所有分类讨论的结果，得到符合题意的答案.例2.已知函数f ()x =a æèöøln x +1x ，a ∈R ,若方程2f ()x -ln x +x +2=0有三个解，求实数a 的取值范围.解：令g ()x =2f ()x -ln x +x +2=()2a -1ln x +2ax+x +2,g '()x =()x -1()x +2a x 2()x ＞0，①若a ≥0，则当x ∈()0,1时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减；当x ∈()1，+∞时，g '()x ＞0，g ()x 单调递增，g ()x 最多有2个零点；②若a =-12，则x ∈()0,+∞，g '()x ≥0，g ()x 单调递增，g ()x 最多有1个零点；③若-12＜a ＜0，则0＜-2a ＜1,当x ∈()0,-2a 或x ∈(1,+∞)时，g '()x ＞0，g ()x 在()0,-2a 和()1,+∞上单调递增；当x ∈()-2a ,1时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减，要使导数g ()x 有3个零点，则有ìíîh ()-2a ＞0,h ()1＜0,解得a ＜-32，与-12＜a ＜0矛盾，此时g ()x 不可能有3个零点；④若a ＜-12,则当x ∈()0,1或x ∈()-2a ,+∞时，g '()x ＞0，g ()x 在()0,1和()-2a ,+∞上单调递增；当x ∈()1,-2a 时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减，要使导数g ()x 有3个零点，则有ìíîh ()-2a ＜0,h ()1＞0,解得-32＜a ＜-e2，而g ()e -2=4+e -2+2a ()e 2-2＜0，g ()e 2=e 2+2a (e -2+2)＞0，综上所述，若方程2f ()x -ln x +x +2=0有三个解，则a 的取值为æèöø-32,-e2.我们将方程有解的问题转化为函数有零点的问题，通过讨论函数零点的个数情况，进而求得参数a 的取值范围.总之，在解答含参导数问题时，同学们在对函数求导后要明确分类的对象是方程f '()x =0的判别式或者y =f '()x 的零点，然后确定分类讨论的“分界点”，讨论判别式与0之间的关系、零点的个数，从而快速找到解题的思路.(作者单位：江苏省启东市第一中学)范帅江38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

第3讲导数中含参问题的分类讨论(解析版)第3讲导数中含参问题的分类讨论(解析版)在数学中，导数是研究函数变化率的重要工具之一。

在第2讲中，我们已经学习了导数的基本定义和求法，并且在一些具体的例子中进行了应用。

而在本讲中，我们将进一步讨论导数中含参问题的分类。

一、常函数的导数首先，我们来看一类比较简单的情况——常函数的导数。

常函数指的是函数中的自变量对应的函数值都是一个常数。

例如，函数f(x) = 2是一个常函数，因为对于任意的x值，f(x)的值都是2。

那么，对于常函数来说，它的导数是多少呢？我们回顾一下导数的定义：当x的增量趋于0时，函数f(x)的增量与x的增量之比的极限，即为f(x)的导数。

而对于常函数来说，不管x 的取值如何变化，函数f(x)的值都保持不变，因此其导数为0。

所以，对于常函数 f(x) = c 来说，它的导数始终等于0。

二、幂函数的导数接下来，我们来看一类更为常见的函数——幂函数的导数。

幂函数指的是函数中的自变量的幂次不同，例如 f(x) = x^2 和 f(x) = x^3 均为幂函数。

那么，对于幂函数来说，它的导数又是怎样计算的呢？我们可以利用导数的定义来计算幂函数的导数。

假设 f(x) = x^n ，其中n是正整数。

我们固定x的值，令x的增量为h，那么 f(x) 的值就会增加到 f(x+h)。

接下来，我们计算 f(x+h) 与 f(x) 之差与 h 之比的极限。

根据幂函数的性质，我们可以展开计算，并通过化简得到幂函数的导数公式。

通过计算可以得出以下结论：当n为正整数时，幂函数 f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。

例如，当n=2时，即为二次函数，导数为 f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2x。

当n=3时，即为三次函数，导数为 f'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x^2。

三、三角函数的导数另外一个常见的函数类型是三角函数。

导数中如何分类讨论在微分学中，导数是一个非常重要的概念，描述了函数在其中一点的变化率。

导数的分类讨论主要有以下几种情况：1.右导数和左导数：对于函数在其中一点的导数来说，如果左极限和右极限都存在且相等，则这个导数称为右导数和左导数。

如果左右导数相等，则称为函数在这一点处可导。

否则，函数在这一点处不可导。

2.一阶导数：函数的一阶导数描述的是函数的瞬时变化率，也就是在特定点的切线斜率。

如果函数在其中一点可导，则这一点的一阶导数存在。

通过函数的一阶导数，可以推断出函数的增减性、极值点和拐点等信息。

3.高阶导数：函数的高阶导数描述的是函数的瞬时变化率的变化率，即变化率的二阶或更高阶的导数。

高阶导数主要用于研究曲线的弯曲程度、拐弯点等。

如果函数的一阶导数存在，且一阶导数也再次可导，则可以得到函数的二阶导数。

以此类推，得到三阶导数、四阶导数，依此类推。

4.导数的连续性：对于函数的导数，我们可以考虑导数本身在其中一区间上的连续性。

如果导数在其中一区间上连续，则称该函数在该区间处可导。

连续导数的函数是很常见的类型，如多项式函数、三角函数等。

但也有一些函数在一些点处的导数不连续，如绝对值函数在零点处。

5.可导函数的性质：对于可导函数而言，还有一些特殊的性质可以讨论。

例如，连续函数的定义域上的导函数在整个区间上是无穷可微的。

光滑函数是指具有任意阶导数的函数。

对于光滑函数而言，它的导数在整个定义域上是无穷可微的。

在实际问题中，导数的分类讨论可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

通过分析导数的分类情况，可以确定函数的增减性、极值点和拐点等重要信息，从而为更深入的研究函数提供了基础。

同时，导数的分类讨论也有助于我们理解函数之间的关系和运算法则，如链式法则、乘积法则和商法则等。

综上所述，导数的分类讨论在微分学中是非常重要的。

对函数的导数进行分类讨论，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，并进一步研究更复杂的数学问题。

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

导数专题分类讨论考纲要求考试内容要求层次了解理解掌握导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念√导数的几何意义√导数的运算根据导数定义求函数cy=，xy=，2xy=，3xy=，xy1=，xy=的导数√导数的四则运算√简单的复合函数（仅限于形如)(baxf+）的导数√导数公式表√导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）√函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）√利用导数解决某些实际问题√知识框图讲义导航 考点 总题数 例题 练习A 练习B 练习C 作业 一次型 3 1 0 0 1 1 二次型 16 4 3 4 3 2 分式指对 1133221知识点一. 为什么要分类讨论？1. 利用导数求单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数'()f x ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）； （3）由'()0f x >（或0<）解出相应的x 的取值范围．当'()0f x >时，()f x 在相应的区间内是单调增函数； 当'()0f x <时，()f x 在相应的区间内是单调减函数． 一般需要通过列表，写出函数的单调区间．2. 为什么要分类讨论？在利用导数解决函数的单调性与极值、最值问题时，一般含有参数的导数往往需要分类讨论． 原因在于，求单调区间的第（3）步中会去解一个含参的不等式． 或者，是题目给出的是区间端点含有参数．二. 如何进行分类讨论？1. 先明确是哪类不等式，不同类型的不等式，分类讨论的策略不同！考试中常碰到的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、指数不等式2. 再观察一下区间（定义域）和参数范围．3. 结合导函数图象，开始讨论不同类型不等式的讨论策略： （1）一元一次不等式型：①参数在一次项系数上：如：'()e (1)0x f x ax =+>，R x ∈，R a ∈（i ）当0a =时，'()10f x =>，()f x 增区间为R ；（ii ）当0a >时，由'()0f x >，得1x a >-，()f x 增区间是1()a -+∞，；由'()0f x <，得1x a <-，()f x 减区间是1()a-∞-，．（ii ）当0a <时，由'()0f x >，得1x a <-，()f x 增区间是1()a -∞-，；由'()0f x <，得1x a >-，()f x 减区间是1()a-+∞，．②参数在常数项上：如：'()e ()0x f x x a =+>，0x >，a ∈R （i ）当0a时，'()0f x >恒成立，()f x 增区间为(0)+∞，；（ii ）当0a <时，由'()0f x >，得x a >-，()f x 增区间为()a -+∞，； 由'()0f x <，得x a <-，()f x 增区间为()a -∞-，． （2）一元二次不等式型：①参数在二次项系数：第一种，能因式分解型；如：'()(1)()0f x a x x a =+->，x ∈R ，a ∈R当0a =时，'()0f x =恒成立，()f x 为常函数； 当0a >时，由'()0f x >，得1x <-或x a >，()f x 的增区间是(1)-∞-，，()a +∞，； 由'()0f x <，得1x a -<<，()f x 的减区间为(1)a -，． 当0a <时，（i ）1a =-，2'()(1)0f x x =-+且不恒为0，()f x 减区间为()-∞+∞，； （ii ）1a <-时，由'()0f x >，得1a x <<-，()f x 的增区间是(1)a -，； 由'()0f x <，得x a <或1x >-，()f x 的减区间是()a -∞，，(1)-+∞，． （iii ）10a -<<时，由'()0f x >，得1x a -<<，()f x 的增区间是(1)a -，; 由'()0f x <，得1x <-或x a >，()f x 的减区间是(1)-∞-，，()a +∞，． 注：分类可以有层次感，在大类下还可以再分小类，这样逻辑比较清晰严谨，不易混乱．第二种，不能因式分解型；如：2'()10f x ax x =++>，x ∈R ，a ∈R当0a =时，由'()10f x x =+>，得1x >-，()f x 的增区间是(1)-+∞，； 由'()10f x x =+<，得1x <-，()f x 的减区间是(1)-∞-，当0a >时，14a ∆=-（i ）当0∆时，即14a2'()10f x ax x =++恒成立且不恒为0，()f x 的增区间是()-∞+∞，； （ii ）当0∆>时，即104a <<由2'()10f x ax x =++>，得x 或x >()f x 的增区间是(-∞，)+∞;由2'()10f x ax x =++<x <()f x 的减区间是．当0a <时，140a ∆=->由2'()10f x ax x =++>x <<()f x 的增区间是．由'()0f x <，得x x >()f x 的减区间是(-∞，)+∞． ②参数不在二次项系数上：第一种，能因式分解型如：'()(1)()0f x x x a =-->，x ∈R ，a ∈R 当1a =时，2'()(1)0f x x =-恒成立且不恒为0，()f x 增区间为()-∞+∞，； 当1a >时，由'()0f x >，得1x <或x a >，()f x 增区间为(1)-∞，，()a +∞，； 由'()0f x <，得1x a <<，()f x 减区间为(1)a ，． 当1a <时，由'()0f x >，得x a <或1x >，()f x 增区间为()a -∞，，(1)+∞，； 由'()0f x <，得1a x <<，()f x 减区间为(1)a ，． 第二种，不能因式分解型如：2'()10f x x ax =++>，x ∈R ，a ∈R 24a ∆=-当240a ∆=-，即22a -时，2'()10f x x ax =++≥恒成立且不恒为0，()f x 增区间是()-∞+∞，． 当240a ∆=->，即2a >或2a <-时，由2'()10f x x ax =++>，得242a a x ---<或242a a x -+->()f x 增区间是24()2a a ----∞，，24()2a a -+-+∞，；由'()0f x <，得224422a a a a x ----+-<<()f x 减区间是2244()22a a a a ----+-，． （3）分式不等式型这种类型往往可以转化为一元二次不等式型解决．（4）指数不等式型如：'()e 0x f x a =+>，x ∈R ，a ∈R 当0a时，'()0f x >恒成立，()f x 增区间为()-∞+∞，；当0a <时，由'()e 0x f x a =+>，得ln()x a >-，()f x 增区间为(ln())a -+∞，； 由'()0f x <，得ln()x a <-，()f x 减区间为(ln())a -∞-，（5）对数不等式型如：'()ln 0f x x a =+>，0x a >∈R ，由'()0f x >，得e a x ->，()f x 增区间是(e )a -+∞，； 由'()0f x <，得0e a x -<<，()f x 减区间是(0e )a -，．核心问题1 分类讨论：一次型设函数()e (0)kxf x x k =≠，求函数()f x 的单调区间．【解析】由()(1)0kxf x kx e '=+=得1(0)x k k=-≠若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；核心问题2 分类讨论：二次型设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．求函数()f x 的单调区间与极值点．【解析】2()3()(0)f x x a a '=-≠当0a <时，由()'0f x >，函数()-+f x ∞∞在（，）上单调递增，此时函数()f x 没有极值点．当0a >时，由(=0f x'）得x a =± 当(,)x a ∈-∞-时，()0f x '>函数()f x 单调递增；当(,)x a a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；此时，x a =-是()f x 的极大值点，x a =是()f x 的极小值点． 已知函数22()(23)e ()x f x x ax a a x =+-+∈R ，其中a ∈R 当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【解析】22'()(2)24xf x x a x a a e ⎡⎤=++-+⎣⎦．令'()0f x =，解得2x a =-，或2x a =-由32a ≠知，22a a -≠- 以下分两种情况讨论．若23a >，则2a -＜2a -．当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表：x (),2-∞- 2-()2,2a a -- 2a - ()2.a -+∞ ()'f x+ 0 - 0 + ()f x增函数极大值减函数极小值增函数所以()f x 在(2)(2)a a -∞--+∞，，，内事增函数，在(22)a a --，内时间函数． 函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且2(2)3a f a ae --= 函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=- 若23a <，则2a -＞2a -，当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表： x(),2a -∞-2a -()2,2a a --2a -()2,a -+∞()'f x+ 0 - 0 + ()f x增函数极大值减函数极小值增函数所以()f x 在(2)(2)a a -∞--+∞，，，内是增函数，在(22)a a --，内是减函数； 函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=-； 函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)3a f a ae --=．设函数1()ln f x x a x a x=--∈R ，，讨论的单调性． 【解析】的定义域为令()21g x x ax =-+，其判别式，∆当0∆>故上单调递增． ()f x ()f x (0,).+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=2 4.a =-||2,a f x ≤≤≥时0,'()0,af x ≤≤≥时()(0,)f x +∞在当0∆>的两根都小于0，在上，，故上单调递增．当0∆>的两根为， 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．已知函数2()ln(1)2kf x x x x =+-+（0k ≥）．求()f x 的单调区间．【解析】(1)()1x kx k f x x+-'=+，(1,)x ∈-+∞当0k =时，()1x f x x'=-+ 所以，在区间(1,0)-上，()0f x '>； 在区间(0,)+∞上，()0f x '<故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞当01k <<时，由(1)()01x kx k f x x+-'=<+ 得10x =，210kx k-=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)kk-+∞上，()0f x '>； 在区间1(0,)kk-上，()0f x '< 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-． 当1k =时，2()1x f x x'=+ 故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞当1k >时，由(1)()01x kx k f x x+-'==+ 得11(1,0)kx k-=∈-，20x = 所以，在区间1(1,)kk--和(0,)+∞上，()0f x '>； 在区间1(,0)kk-上，()0f x '< 故()f x 的单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk-．核心问题3 分类讨论：分式与指对数型已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 2a <-时,>0,g(x)=0a <-时,>0,g(x)=0(0,)+∞'()0f x >()(0,)f x +∞在2a >时,>0,g(x)=0221244a a a a x x --+-==10x x <<'()0f x >12x x x <<'()0f x <2x x >'()0f x >()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x【解析】242(1)(2)(1)()(1)x x b x f x x ---⨯-'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：x(1)b -∞-， 1b - (11)b -， (1)+∞，()f x ' - 0 +-当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：x(1)-∞， (11)b -， 1b - (1)b -+∞，()f x ' - + 0 -所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减． 当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．若存在区间M ，使()f x 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围． 【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x-'=-=． ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减． ② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=． x ，()f x 和()f x '的情况如下：x 1(0,)a1a 1(,)a +∞ ()f x ' -+()f x↘↗故()f x 的单调减区间为1(0,)a ；单调增区间为1(,)a+∞． ()g x 的定义域为R ，且 ()e 3ax g x a '=+． 当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意．① 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．② 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． x ，()g x 和()g x '的情况如下表： x 0(,)x -∞ 0x 0(,)x +∞ ()g x ' -+()g x↘↗当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增， 由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意． 综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞．已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R ，求()f x 的单调区间． 【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，21(ln )()x a f x x-+'=， 令()0f x '=得1a x e -=． 当1(0,)a x e -∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当1(,)a x e -∈+∞时，()0f x '<，()f x 是减函数；课堂练习【A 】已知函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-()a ∈R ，当a ⩽ 12时，讨论()f x 的单调性．【解析】因为1()ln 1af x x ax x-=-+- 所以222111()a ax x af x a x x x--+-'=-+=- (0,)x ∈+∞ 令2()1h x ax x a =-+- (0,)x ∈+∞（1）当0a =时，()1h x x =-+ (0,)x ∈+∞所以，当(0,1)x ∈时，()0h x >此时，()0f x '<，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <此时()0f x '>，函数()f x 单调递增（2）当0a ≠时，由()0f x '=， 即 210ax x a -+-=，解得 1211,1x x a==- 当12a =时，12x x =，()0h x >，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0,+∞上单调递减． 当102a <<时，1110a->>(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减③当0a <时，由于110a-<(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当12a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增； 函数()f x 在1(1,)a-+∞上单调递减设函数2e ()1axf x a x =∈+R ，．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间．【解析】因为2e (),1axf x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+． （Ⅰ）当1a =时， 2e ()1xf x x =+，222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+，所以(0)1,f = (0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=． ……4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， …5分 （1）当0a =时，由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >．所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增， 在区间(0,)+∞单调递减．…6分（2）当0a ≠时， 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……7分①当01a <<时，此时0∆>．由()0f x '>得211a x --<，或211ax +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<． 所以函数()f x 单调递增区间是211()a ---∞和211)a+-+∞，单调递减区间221111(a a --+-． ……9分②当1a ≥时，此时0∆≤．所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞． …10分③当10a -<<时，此时0∆>．由()0f x '>得221111a ax a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<，或211ax a-->．所以当10a -<<时，函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)aa--+∞，单调递增区间221111(,)a a a a+---．……12分④当1a ≤-时， 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞．已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+．()a ∈R ．（I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e (e))f ，处的切线方程（e 2.718...=）；（II ）求函数()f x 的单调区间．【解析】（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+．………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分 ②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x <所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； …………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减………已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1(1))f ，处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值．【解析】（Ⅰ）22()e xx ax a f x x-+'=， ………………3分当2a =时，2222()e xx x f x x-+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-， ………………5分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………6分所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=． ………………7分 （Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根， ………………8分则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩………………9分 所以4a >． ………………10分设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， ………………11分因为，512()()e f x f x =，所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， ………………12分 即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a-+=，5e e a =，解得，5a =，此时()f x 有两个极值点， 所以5a =．（2019年东城二模文）已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：(1)()0x f x -≥.【解析】（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞，(1)0f =.2211'()2(1ln )112ln f x x x x x=+-+=++. '(1)2f =. 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-. 即22y x =-.…………….5分 （Ⅱ）记21()12ln g x x x =++. 33222(1)(1)'()x x g x x x x+-=-=. 由'()0g x =解得1x =．()g x 与'()g x 在区间(0,)+∞上的情况如下：x(0,1) 1(1,)+∞'()g x-0 +()g x↘ 极小 ↗所以()g x 在1x =时取得最小值(1)2g =．所以21()12ln 20g x x x=++≥>.所以'()0f x >. 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. 又由(1)0f =知，当01x <<时，()0f x <，10x -<，所以(1)()0x f x ->； 当1x >时，()0f x >，10x ->，所以(1)()0x f x ->. 所以(1)()0x f x -≥. ………………………………13分（2017年丰台期末理）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(0,0)处有相同的切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[]1,2上的最小值．【解析】（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=． (2)因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=． (4)因为()f x 与()g x 的图象在（0，0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =． 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 21()2g x x x =+， 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x xh x x b x x b '=+-+=+-． ………………．6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1，2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； (7)(2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ………………．8分 ①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1，2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -． (9)②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ………………．11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -． (12)综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -，当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -． (13)课堂练习【B 】已知函数（其中a b ，为常数且）在处取得极值． （I ）当时，求的单调区间；（II ）若在(0e]，上的最大值为，求的值． 【解析】（I ）因为所以………………2分 因为函数在处取得极值……………3分当时，，，随的变化情况如下表：1(1,)+∞极大值极小值………………5分所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ………………6分（II ）由（I ）可得 12b a =--因为2()ln (21)f x x ax a x =+-+ ，22(21)1'()ax a x f x x-++=(21)(1)ax x x --= 令， ………………7分 因为在 处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 2()ln f x x ax bx =++0a ≠1x =1a =()f x ()f x 1a 2()ln ,f x x ax bx =++1()2f x ax b x'=++2()ln f x x ax bx =++1x =(1)120f a b '=++=1a =3b =-2231()x x f x x-+'='(),()f x f x x x 1(0,)2121(,1)2'()f x +-+()f x ()f x 1(0,)21+∞（，）1(,1)2()0f x '=1211,2x x a==()f x 1x =21112x x a=≠=102a<()f x (0,1)(1,e]所以在区间上的最大值为，令，解得………………9分 当， 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得而 所以，解得 ………………11分 当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而所以，解得，与矛盾 ………………12分 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾综上所述，或． ………………13分设函数321()(0)()213f x x ax ag x bx b =->=+-，，当121=-=b a 时，求函数()()f x g x +在区间[3]t t +，上的最大值． 【解析】记()()()h x f x g x =+，当121a b =-=时，()3113h x x x =--．由（II ）可知，函数()h x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞;单调递减区间为()1,1-． ①当31t +<-时，即4t <-时，()h x 在区间[],3t t +上单调递增，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()()()33211333138533h t t t t t t +=+-+-=+++; ②当1t <-且131t -≤+<，即42t -≤<-时，()h x 在区间[),1t -上单调递增，在区间[]1,3t -+上单调递减，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()113h -=-； 当1t <-且31t +≥，即21t -≤<-时，t+3<2且h （2）=h （-1），所以()h x 在区间[],3t t +的最大值为()113h -=-；()f x (]0,e (1)f (1)1f =2a =-0a >2102x a=>112a <()f x 1(0,)2a 1(,1)2a(1,e)12x a=e x =2111111()ln()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-11e 2a ≤<()f x (0,1)1(1,)2a 1(,e)2a 1x =e x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-211e 2x a <=<21e 2x a=≥()f x (0,1)(1,e)1x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<12a e =-2a =-③当11t -≤<时，321t +≥>，()h x 在区间[),1t 上单调递减，在区间[]1,3t +上单调递增，而最大值为()h t 与()3h t +中的较大者．由()()()()3312h t h t t t +-=++知，当11t -≤<时，()()3h t h t +≥，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()32133853h t t t t +=+++;……13分④当1t ≥时，()h x 在区间[],3t t +上单调递增，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()32133853h t t t t +=+++．………………………………………………14分已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求在区间[23]，上的最大值和最小值． 【解析】()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-．当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=． （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以在区间(2,3)上单调递增，所以在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． （ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 121a x =，或221a x =+ ()f x 和()f x '的情况如下：x 1(,)x -∞1x12(,)x x 2x2(,)x +∞()f x ' + 0 -+ ()f x↗↘↗故()f x 的单调增区间为2(,1)a -∞-，2(1,)a ++∞；单调减区间为22(1a a+．① 当02a <≤时，22x ≤，此时在区间(2,3)上单调递增，所以在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x所以在区间[2,3]上的最小值是 252()33a af x a =--．因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-．③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时在区间(2,3)上单调递减，所以在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =- 综上，当2a ≤时，在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -； 当1423a <≤时，在区间[2,3]上的最小值是5233a a a --，最大值是73a -； 当1483a <<时，在区间[2,3]上的最小值是5233a a a --，最大值是723a -； 当8a ≥时，在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．【解析】（1） ……………………………2分在上存在单调递增区间存在的子区间，使得时在上单调递减，即 解得当时，在上存在单调递增区间 …………………………6分（2）令 即220x x a -++=()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ax x x x f 22131)(23++-=)(x f ),32(+∞a 20<<a )(x f ]4,1[316-)(x f a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=)(x f ),(+∞32∴),32(+∞),(n m ),(n m x ∈0>)('x f )('x f ),(+∞32032>∴)('f 0292)32('>+=a f 91->a ∴91->a )(x f ),(+∞320=)('x f 20<<a； 则 x ，'()f x ，()f x 的情况如下 x1()-∞，x1x 12(,)x x2x2(,)x +∞'()f x- 0 + 0 -)f x （减极小增极大减在上单调递减，在上单调递增在上单调递增，在上单调递减 …………………………………8分所以的最大值为， ………………………10分 解得 ……………………13分 已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在2[]a a ，上的最大值． 【解析】（Ⅰ）∵2()ln (2)f x x ax a x =-+-， ∴函数的定义域为(0,)+∞． ………………1分∴2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+---+'=-+-==． ………………3分 ∵()f x 在1x =处取得极值，即(1)(21)(1)0f a '=--+=，∴1a =-． ………………5分 当1a =-时，在1(,1)2内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>，∴是函数()y f x =的极小值点． ∴1a =-． ………………6分（Ⅱ）∵2a a <，∴01a <<． ………………7分2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+--+'=-+-==-∵ x ∈(0,)+∞， ∴10ax +>，∴()f x 在1(0,)2上单调递增；在1(,)2+∞上单调递减， ………………9分28111a x +-=28112ax ++=∴)(x f ),(),,(+∞-∞21x x ),(21x x 20<<a 4121<<<∴x x ∴)(x f ),(21x ),(42x )(x f )(2x f 0622714<+-=-a f f )()( 31634084-=-=∴a f )(212==x a ,310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为①当102a <≤时， ()f x 在2[,]a a 单调递增， ∴32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-； ………………10分②当21212a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即1222a <<时，()f x 在21(,)2a 单调递增，在1(,)2a 单调递减，∴max 12()()ln 21ln 22424a a af x f -==--+=--； ………………11分 ③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2[,]a a 单调递减，∴2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-． ………………12分综上所述，当102a <≤时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-； 当1222a <<时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当22a ≥时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+- 设函数()0)(2>+=a bx axx f ． （1）若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-，求a b ，的值； （2）若函数)(x f 在区间(11)-，内单调递增，求b 的取值范围； （3）在（1）的条件下，若00()P x y ，为函数bx axx f +=2)(图像上任意一点，直线l 与)(x f 的图像切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）222')()()(b x x b a x f +-=由题意得⎩⎨⎧-=-=-2)1(0)1('f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+-210)1()1(2ba b b a ，所以⎩⎨⎧==14b a ……………………………3分 （2）)0()()()(222'>+--=a b x b x a x f 当0)(0'≤≤x f b 时，，函数)(x f 在区间()1,1-内不可能单调递增 (4)当0>b 时，22')())(()(b x b x b x a x f +-+-=则当),(b b x -∈时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，故当且仅当⎩⎨⎧≥≤-11b b 时，函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增，即1≥b 时，函数)(x f 在()1,1-内单调递增．故所求b 的取值范围是[)+∞,1 ………………………………………………8分 （3）直线l 在点P 处的切线斜率2202022020)1(814)1(44)('+++-=+-==x x x x x f k (10)令,1120+=x t 则10≤<t 所以21)41(84822--=-=t t t k故当41=t 时，21min -=k ；1=t 时，4max =k所以直线l 的斜率的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,21课堂练习【C 】已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ，求()f x 的单调区间．【解析】2()(21)f x ax a x '=-++(1)(2)ax x x--=(0)x >． ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞．②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1a-．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．【解析】（Ⅰ）当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-． 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=．（Ⅱ）2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x ++-'=，0x ≠．当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间．④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． 已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k-=+-<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为R ．221'()e ()e (21)e [(2)2]kx kx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e (2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<．令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=． 当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)．当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下： x2(,)k-∞2k2(,1)k- 1- (1,)-+∞'()f x+-+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-． 当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：x(,1)-∞-1- 2(1,)k-2k2(,)k+∞ '()f x+-+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-． （Ⅱ）当1k时，()f x 的极大值等于23e -． 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值．当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， 令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）．当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-．因为 2e e k -<，1102k <-<，所以 2e 1e 2k k --<．因为 221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -．综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -．已知函数x a x x f ln )(2-=（R a ∈）．（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1)+∞，上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1e]，上的最小值． 【解析】（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x 时，0)1(2)(2>-='xx x f ，所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ………………5分（Ⅱ）解：)0(2)(2>-='x xax x f ，当[1,e]x ∈，222[2,2e ]x a a a -∈--．若2≤a ，则当x ∈[1,e]时，0)(≥'x f ，所以)(x f 在[1,e]上是增函数，又1)1(=f ，故函数)(x f 在[1,e]上的最小值为1．若22e a ≥，则当x ∈],1[e 时，0)(≤'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是减函数，又(e)f =2e a -，所以)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -． 若222e a <<，则当21ax <≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e 2ax <≤时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数． 又()ln 2222a a a a f =-， 所以)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a-． 综上可知，当2≤a 时，)(x f 在[1,e]上的最小值为1；当222e a <<时，)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a-当22e a ≥时，)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -．…设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （1）求()f x 的单调区间；（2）当02a <<时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值． 【解析】（1）()f x 定义域为(1,)-+∞．12(2)()2(1)11x x f x x x x +'=+-=++．令()0f x '>，则2(2)01x x x +>+，所以2x <-或0x >． 因为()f x 的定义域为(1,)-+∞，所以0x >．令()0f x '<，则2(2)01x x x +<+，所以20x -<<． 因为()f x 的定义域为(1,)-+∞，所以10x -<<． 所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-．（2）()(2)2ln(1)g x a x x =--+ （1x >-）．2(2)()(2)11a x ag x a x x x--'=--=++．因为0<a<2，所以20a ->，02aa>-． 令()0g x '> 可得2ax a >-．所以函数()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,)2a a+∞-上为增函数． ①当032a a <<-，即302a <<时， 在区间[03]，上，()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,3)2aa-上为增函数．所以min 2()()2ln 22a g x g a a a==---． ②当32a a ≥-，即322a ≤<时，()g x 在区间(03)，上为减函数． 所以min ()(3)632ln 4g x g a ==--．综上所述，当302a <<时，min 2()2ln 2g x a a=--； 当322a ≤<时，min ()632ln 4g x a =--． （2019年朝阳一模理）已知函数ln()()ax f x x= (R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．【解析】（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分 （Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞．不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==． 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：x (,1)-∞-1-(1,0)-()g x ' ＋ 0－ ()g x↗极大值↘所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：xe (0,)ae a e(,)a+∞()f x ' ＋ 0－ ()f x↗极大值↘此时()f x 有极大值e ()eaf a=，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x e (,)a-∞e a e (,0)a()f x ' － 0＋ ()f x↘极小值↗此时()f x 有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分课后作业习题1.（2017年东城区期末）设函数()ln(1)()1axf x x a x =+-∈+R ． （Ⅰ）若(0)f 为()f x 的极小值，求a 的值；（Ⅱ）若()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值．【解析】（Ⅰ）的定义域为．因为， 所以．因为(0)f 为()f x 的极小值， 所以，即． 所以．此时，．当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在处取得极小值， 所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，在上为单调递增函数， 所以，所以对(0,)x ∈+∞恒成立．()f x (1,)-+∞()ln(1)1axf x x x =+-+21'()1(1)af x x x =-++'(0)0f =21001(01)a -=++1a =2'()(1)xf x x =+(1,0)x ∈-'()0f x <()f x (0,)x ∈+∞'()0f x >()f x ()f x 0x =1a =1a =()f x [0,)+∞()(0)0f x f >=()0f x >。

导数问题的常见分类讨论策略导数是高考必考查的一个模块，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，常常需要进行分类讨论，如何分类讨论？常见的有哪些类型？本文来支支招。

1.导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系的讨论例1、已知，求函数在区间[0，1]上的最小值。

解析：，由①当在区间[0，1]上是减函数，此时在区间[0，1]上的最小值是②当在区间[0，1]上是增函数，在区间[0，1]上的最小值是③当所以当时，函数取得极大值，又，因此当时，在区间[0，1]上的最小值是，当时，在区间[0，1]上的最小值是。

综上，当时，在区间[0，1]上的最小值是；当时，在区间[0，1]上的最小值是。

评析：当求出的导数为零的点不能确定是否在给定区间内时，常常要分零点在区间的左侧、右侧（这两种情况函数一般是单调函数）和在区间内（此时函数一定有极值）三种情况讨论。

2、对代数式正负的讨论例2、设函6570，求函数的单调区间。

解析：，当，所以函数的单调增区间是；，所以函数的单调减区间是当，所以函数的单调减区间是；，所以函数的单调增区间是。

评析：研究函数的单调性时，常常需要解不等式，当不等式两边同除一个代数式时，要分此式为正、为0和为负三种情况分别讨论。

3、对判别式的讨论例3、已知函数，讨论的极值。

解析：函数的定义域为设方程的判别式 =。

Ⅰ、当 =时，恒成立，不存在极值。

Ⅱ、当 =时，恒成立，不存在极值。

Ⅲ、当 =时，方程有两个不同的实根当x变化时，、的变化情况如下表：递增递减递增由表知，当时，取得极大值，当时，取得极小值。

评析：当函数求导后能转化为二次函数或二次不等式问题，它们对应的二次方程是否有解不能确定时，往往要对判别式进行讨论，此时要特别注意，当判别式 =0时，虽然导数为0有根，但根的左右两侧符号相同，不存在极值。

4、对两根大小的讨论例4、已知函数，试讨论函数的单调性。

解析：的定义域为，方程①当时，由，所以函数在上是增函数；，所以函数在上是减函数。

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

ʏ贵州省遵义市第四中学 刘德文长期以来,高中数学中导数板块的内容都是同学们学习的痛点㊂虽说运用导数解决问题是一种十分优美的方式,但是不少同学在实际解题过程中会出现因为对导数的工具性认识不足,理解不够透彻,掉进命题人设置的各种各样的陷阱里面,进而造成在考试中出现失分的现象㊂针对上述情况,本文从以下八个容易出现错误的题型入手,分析常见错解情况,再剖析同学们出错的原因,最后给出正确解答,从而帮助大家一起厘清概念,精准理解,高效解题㊂易错点一㊁对导数定义理解不清例1 已知函数f (x )=14x 4-23x 3+6,则l i m Δx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=( )㊂A.-1 B .0 C .-12D .2错解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx =f '(1)=-1㊂故选A ㊂错因分析:该题致错的主要原因在于同学们未能准确理解函数在某点处的导数的含义,实际上,最原始的导数表达式为f '(x )=l i m Δx ң0Δy Δx =l i mΔx ң0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy 必须对应一致㊂正解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=l i mΔx ң012㊃f (1+Δx )-f (1)(1+Δx )-1=12f '(1)=-12㊂故选C ㊂易错点二㊁忽略函数的定义域例2 函数f (x )=x +4x-3l n x 的单调递减区间是( )㊂A.(-1,4) B .(0,1)C .(4,+ɕ) D .(0,4)错解:对f (x )求导得f '(x )=1-4x2-3x =(x +1)(x -4)x 2,令f '(x )<0,解得-1<x <4,所以函数f (x )的单调递减区间是(-1,4)㊂故选A ㊂错因分析:求函数的单调递增区间时,由f'(x )>0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递增区间;求函数的单调递减区间时,由f '(x )<0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递减区间㊂同学们要牢记函数单调区间的求法,一定要定义域优先㊂正解:前面同错解得-1<x <4㊂又因为函数f (x )的定义域是(0,+ɕ),所以函数f (x )的单调递减区间是(0,4)㊂故选D ㊂易错点三㊁误以为导数不存在,切线就不存在例3 函数y =3x 2的图像在点(0,0)处的切线方程为㊂错解1:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处没有切线㊂错解2:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线为y =0㊂错因分析:错解1主要是未能厘清导数与切线㊁切线斜率之间的关系,误以为导数不存在,切线就不存在;错解2考生混淆切线斜率为0与斜率不存在㊂实际上,大家要准确理解斜率不存在,可以理解为该切线为x =x 0,结合过原点(0,0),其实切线方程就是x 42 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.=0㊂正解:由已知得y'=23x-13,易知函数在x=0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线的斜率不存在,即函数y=3x2的图像在点(0,0)处的切线方程为x=0㊂易错点四㊁对曲线切线的定义理解有误例4已知曲线C:y=f(x)=13x3+ 43,曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y= 4x-4㊂试问:该切线与曲线C是否还有其他公共点若有,求出公共点的坐标;若没有,请说明理由㊂错解:由于直线y=4x-4与曲线C相切,因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点㊂错因分析:对于圆㊁椭圆等封闭的几何图形来说, 切线与曲线有唯一公共点 ,就是说直线与这些曲线的交点只有切点,没有其他点,但对一般曲线来说是不一定成立的,同学们可以画出三次函数的草图试一试㊂正解:联立y=4x-4,y=13x3+43,消去y整理得x3-12x+16=0,即(x-2)(x2+2x-8) =0,即(x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x=-4,所以交点的坐标为(2,4),(-4, -20),所以该切线与曲线的公共点除了切点还有点(-4,-20)㊂易错点五㊁混淆单调区间为D与在区间D上单调例5已知函数f(x)=l n x+x2+a x 的单调递减区间为12,1,则()㊂A.aɪ(-ɕ,-3]B.a=3C.a=-3D.aɪ(-ɕ,3]错解:因为函数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+aɤ0在12,1上恒成立,即aɤ-1x+2x m i n,易知y=1x+2x在12,22上单调递减,在22,1上单调递增,故y=1x+2x的最大值在端点处取得,计算可知最大值为f(1)=3,所以aɤ-3㊂故选A㊂错因分析:未能准确理解 函数的单调区间为D 与 函数在区间D上单调 两者的区别㊂准确来说,函数在区间D上单调,函数的单调区间不一定就是D㊂错解求出的结果实为函数在区间12,1上单调递减时的答案㊂若函数f(x)=l n x+x2+a x存在单调递减区间,则存在实数x,使得f'(x)=1x+2x+a<0,即a<-1x+2xm a x=-22㊂正解:因为数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+a=0的两个根为12和1㊂代入方程,解得a=-3㊂故选C㊂易错点六㊁误以为导数为0的点一定取得极值例6已知函数f(x)=x3+3m x2+n x+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=()㊂A.4B.11C.4或11D.3或9错解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+6m x+n,则f'(-1)=0,f(-1)=0,即3-6m+n=0,-1+3m-n+m2=0,解得m=1,n=3,或m=2,n=9,所以m+n=4或11㊂故选C㊂错因分析:若函数在x=x0可导,则f'(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的必要条件,而非充要条件㊂如y=x3在x=0处的导数值为0,但0不是该函数的极值点㊂因此,需要将求出的m㊁n的值代入导函数中检验㊂正解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+52解题篇易错题归类剖析高考数学2023年5月Copyright©博看网. All Rights Reserved.6m x +n ,则f'(-1)=0,f (-1)=0,即3-6m +n =0,-1+3m -n +m 2=0, 解得m =1,n =3,或m =2,n =9㊂当m =1,n =3时,f '(x )=3x 2+6x +3=3(x +1)2ȡ0,函数f (x )在R 上单调递增,与函数f (x )在x =-1处取得极值0矛盾,不合题意,舍去;当m =2,n =9时,f'(x )=3x 2+12x +9=3(x +1)(x +3),函数在x =-1处取得极小值0,符合题意,所以m +n =11㊂易错点七㊁混淆极值与最值例7 求函数f (x )=x 3-2x 2+x 在[-3,3]上的最值㊂错解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f13=427,所以函数f (x )的最大值为427,最小值为0㊂错因分析:函数并不一定在极值点处取最值,最值是针对函数的整个区间而言,是整体性质,而极值是局部性质,是两个不同的概念㊂对于闭区间而言,需要将极值与端点处的函数值进行比较,才能得出函数的最值㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f 13=427,f (-3)=-48,f (3)=12,所以函数f (x )的最大值为12,最小值为-48㊂易错点八㊁对极值理解有偏差例8 已知函数f (x )=exx+k (l n x -x ),若x =1是函数f (x )的唯一极值点,则实数k 的取值范围是( )㊂A.(-ɕ,e ] B .(-ɕ,e)C .(-e ,+ɕ) D .[-e ,+ɕ)错解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x2+k 1x -1=x -1x e xx-k㊂因为f (x )有唯一极值点x =1,所以f '(x )=0有唯一根x =1,所以exx-k =0无解,即y =k 与g (x )=e xx 无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g'(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂故选B ㊂错因分析:首先,f (x )有唯一极值点x =1并不能说明f '(x )=0有唯一根x =1,因为可能会存在两侧导数不变号的根,此时的根并不是极值点;其次,若x =1是函数f (x )的唯一极值点,并不能推出exx-k =0无解,因为可能还会存在exx-k =0有解且解为x =1的情况,所以需要进行分类讨论;最后,并没有检验在x =1的两侧导数是否变号㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x 2+k1x-1=x -1x e xx -k㊂(1)若方程exx-k =0有解,则方程的解为x =1,解得k =e ,此时f '(x )=x -1x ㊃exx-e㊂当x ɪ(0,1)时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,f '(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以x =1是函数f (x )的极小值点㊂(2)若方程exx-k =0无解,则y =k 与g (x )=exx无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g '(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂综上所述,k ɤe㊂故选A ㊂(责任编辑 王福华)62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

教学·策略高中数学导数教学中分类讨论法的应用文|荣荟翠教师对导数教学的各方面内容进行分类讨论，可以帮助学生了解导数基础知识，让学生高效地掌握导数内涵，并灵活解决导数问题。

一、简化解题步骤从近些年的高考题中我们不难看出“导数”已经成为重点考查的内容，利用导数求函数的最值问题是常见的题型。

在解答此类导数问题时，就可应用分类讨论法对题目进行分析，通过分类与逐层分析，可以让解题过程更加简单，且能让学生的解题步骤更加清晰、明确，对于知识的掌握也会更加深入。

在应用分类讨论法的过程中，学生可以逐步明确函数的性质，掌握问题的本质。

在具体的应用过程中，教师需以具体的题型为引导，让学生针对性地进行分析与讨论，通过化整为零的方式进行分类，降低问题的难度。

一般情况下，函数f （x ）在区间［a ，b ］上可导，那么f （x ）在区间［a ，b ］上最值的求法有以下三种：（1）求出f （x ）在区间［a ，b ］上的极值；（2）计算f （x ）在极值点和端点的函数值；（3）对f （x ）极值点和端点的函数值进行比较，写出最大值、最小值。

案例一：已知函数f （x ）=x 3-3x ，求函数在区间［-3，2］的最大值和最小值。

解析：由题中f （x ）=x 3-3x 可以得出f ′（x ）=3x 2-3=3（x +1）（x -1），则当x ∈（1，2］时，f （x ）>0，所以［-3，-1］，［1，2］是函数f （x ）的单调增区间，当x ∈［1，1］时，函数f ′（x ）>0，所以可知［-1，1］是函数f （x ）的单调减区间。

又因f （-3）=-18，f （-1）=2，f （1）=-2，当x =-3时，f （x ）取得最小值，为-18，当x =-1或者2时，f （x ）取得最大值，为2。

二、解决导数零点问题导数是学习高等数学知识的基础，以导数为基础的各种函数问题成为重点学习的内容。

在求解导数题目的过程中我们发现，题目中常包含多种参数，随着参数的改变，解题的难度也会增加，所以通过分类讨论的方式进行答题非常关键。

导数中的分类讨论问题分类讨论思想确实是依照所研究对象的性质不同，分各类不同的情形予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技术；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重明白得和把握分类的原那么、方式与技术、做到“确信对象的全部，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、参数引发的分类讨论 例：已知函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f , 当0>p 时，讨论函数)(x f 的单调性。

解：()f x 的概念域为（0，+∞），()()()x px p x p x p x f +-=-+=2'1212，当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增；当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得()12--=p px .那么当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--,12p p单调递减. 例：已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+，求函数()f x 的单调区间；解:（1）'1(),(1)1f x k x x =->-,因此, 0k ≤当时,'()0;f x ≤0k >当时,由'()0f x >得:11,x k<+因此,0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数；二、判别式引发的分类讨论 例：已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在概念域上的单调性。

导数中分类讨论的三种常见类型在高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径。

分类讨论就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释。

虽然几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，但能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半。

主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类。

下面根据导数中三种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论。

第一种分类讨论类型是导函数根的大小比较。

例如，对于函数$f(x)=x^3+x-ax-a$，$x\in R$，我们需要求其单调区间。

对三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法。

因此，对函数$f(x)$进行求导可以得到导函数$f'(x)=x^2+(1-a)x-a$。

观察可知导函数可以因式分解为$f'(x)=(x-a)(x+1)$，由此可知方程$f'(x)=0$有两个实根$x_1=a$和$x_2=-1$。

因此，要讨论函数$f(x)$的单调性，需要讨论两个根的大小。

因此，这里分$a-1$三种情况进行讨论。

当$a<-1$时，$f(x)$，$f'(x)$随$x$的变化情况如下：$x\in(-\infty,a)$时，$f(x)$单调递增；$x\in(a,-1)$时，$f(x)$单调递减；$x=-1$时，$f(x)$有极小值；$x\in(-1,+\infty)$时，$f(x)$单调递增。

因此，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,a)$和$(-1,+\infty)$，单调递减区间为$(a,-1)$。

当$a=-1$时，$f'(x)\geq 0$在$R$上恒成立，所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,+\infty)$，没有单调递减区间。

在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。

只有这样在解题时才能做到有的放矢。

下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

（二）知识回顾1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）疑难解释1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若函数f (x )＝x ＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：所以当x 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。

导数中如何分类讨论在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。

导数的分类讨论是指讨论导数的种类和性质。

导数的分类讨论有助于我们更好地理解函数的性质和行为。

下面将对导数的分类讨论进行详细说明。

一、正导数与负导数：导数可以是正的、负的或者为零。

当导数大于零时，函数在给定点上的增长速度较快；当导数小于零时，函数在给定点上的减少速度较快；当导数等于零时，函数在给定点上取极值（极大值或极小值）。

二、单调增与单调减：在函数的一些区间上，如果导数恒大于零，则称函数在该区间上是单调增函数；如果导数恒小于零，则称函数在该区间上是单调减函数。

单调增与单调减性质可以帮助我们判断函数的增减性。

三、振荡与单调性：函数振荡是指在一些区间上函数的导数同时正负转换，即导数既大于零又小于零。

振荡的函数不具有单调性。

四、极大值与极小值：当函数在特定点附近，首先增长再减小时，该点称为函数的极大值点；当函数在特定点附近，首先减小再增长时，该点称为函数的极小值点。

通过导数的正负及变化可以判断函数的极值点。

五、凹函数与凸函数：凹函数指在函数图像上方的一切点处，引过该点的任一切线段都位于曲线图像的上方；凸函数指在函数图像下方的一切点处，引过该点的任一切线段都位于曲线图像的下方。

我们可以通过导数的正负以及二阶导数的正负来判断函数是凹函数还是凸函数。

当导数恒大于零且二阶导数恒大于零，函数是凹函数；当导数恒小于零且二阶导数恒小于零，函数是凸函数。

六、导函数的连续性：导函数的连续性是指导函数在一些区间上是连续的。

如果导函数在一些区间上连续，则函数在该区间上具有连续性；如果导函数在一些点上不连续，则函数在该点上不具有连续性。

导函数的连续性与函数的连续性密切相关。

根据连续函数的定义，如果导函数在一些点上连续，则函数在该点上连续；如果导函数在一些点上不连续，则函数在该点上不连续。

七、高阶导数：高阶导数是指对函数的导数进行多次求导。

一阶导数是函数的变化率，二阶导数是一阶导数的变化率，以此类推。

类型二：导数单调性专题类型１。

导数不含参。

类型２.导数含参。

类型３：要求二次导 求单调性一般步骤：(1) 第一步：写出定义域，一般有()0ln >⇒x x(2) 第二步:求导，(注意有常数的求导）若有分母则通分。

一般分母都比0大，故去死若无分母，因式分解（提公因式,十字相乘法）或求根(观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论（按恒成立与两个由为分界）(3) 第三步由()()⎩⎨⎧≤≥解出是减区间解出是增区间00x f x f(4) 下结论类型一：导函数不含参：()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=--++=++=21223,22,,x x e m e x f x x c bx ax x f x b kx x f 如指数型如：二次型如：一次型对于这类型的题，直接由导函数大于0，小于0即可（除非恒成立） 例题１求函数()()x e x x f 3-=的单调递增区间 解：()()()23'-=-+=x e e x e x f x x x 由()()202'>⇒>-=x x e x f x 所以函数在区间()+∞,2单调递增 由()()202'<⇒<-=x x e x f x所以函数在区间()2,∞-单调递减例题２：求函数()()2211x e x x f x --=的单调区间解：()()()()x e e x e x xe e x f x x x x x +-=-+-=-+-=11111'由()()()01011'>-<⇒>+-=x x x e x f x 或所以函数在区间(][)∞+-∞-，和01,单调递增由()()()01011'<<-⇒<+-=x x e x f x 所以函数在区间()0,1-单调递减 例题３：求函数()xxx f ln =的单调区间例题４：已知函数()()()R k kx e x x f x ∈--=21 （1)若1=k 时，求函数()x f 的单调区间例题５．（2010·新课标全国文，21）设函数f (x ）＝x （e x －1)－ax 2.(1）若a ＝错误!，求f (x )的单调区间；例题６:已知函数()()112++-=x e ax x f x (1）若0=a ，求函数()x f 的单调区间7。

导数中含参数问题该如何进行分类讨论
一、导函数是二次函数或者类二次函数形式的
注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符号相同，很容易判断a 非负状态下的单调性，切记，切记。

二、导函数不是二次函数和类二次函数形式
能因式分解的先分解，之后求根，注意所求的根在所给出的定义域有没有意义，如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要对比两根的大小关系，最后如果原函数有定义域，还需判断极值点和定义域端点处的位置关系。

三、最高次项系数含有参数，对该系数分类讨论
四、根的个数不确定时，对判别式Δ分类
五、两根大小不确定时，对两根大小分类讨论
六、不确定根是否在定义域内时，对根与定义域端点值的大小分类讨论
七、复杂问题，按顺序分类讨论。

完整版)导数的综合大题及其分类.导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。

命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。

这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。

题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。

1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。

如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。

2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点。

3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的。

在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。

例题：已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。

x1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。

审题程序]1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论；2.整合讨论结果，确定单调区间；3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围；4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。

规范解答]1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。

则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1)2.令m(x)＝x2－ax＋1，则Δ＝a2－4.①当－2≤a≤2时，Δ≤0，从而F′(x)≥0，所以F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a>2时，Δ>0，设F′(x)＝0的两根为x1＝(a＋√(a2－4))/2，x2＝(a－√(a2－4))/2，求h(x1)－h(x2)的最小值。