五年级奥数：数列的求和(A)(含答案)

五年级快乐 课程 (kuàilè)
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高斯(ɡāo sī)的故事
德国著名大科学家高斯(1777～1855)出 生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话 就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看 着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错 误。
长大后他成为当代最杰出的天文学家、 数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡 献，现在电磁学的一个单位就是用他的名 卡尔·弗里德里希·高斯 字命名。数学家们则称呼他为“数学王 子”。
有许多重要而有趣的性质，在以后(yǐhòu)的近800年中一直 是许多学者研究的对象。
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例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
分析(fēnxī)：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4
原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6
（2）7+11+15+19+......+403
（3）9+19+29+39+......+99
（4）1+3+5+7+......+99
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练习(liànxí)答案：
解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3, 项数=（37-7）÷3+1=11 和=（7+37）×11÷2=242

小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)题目1：计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 99 + 100答案：5050解析：这是一个等差数列求和，公式为（首项+ 末项）×项数÷ 2 ，即（1 + 100）×100 ÷2 = 5050题目2：有三个连续自然数，它们的乘积是60，求这三个数。

答案：3、4、5解析：将60 分解质因数60 = 2×2×3×5 = 3×4×5题目3：一个数除以5 余3，除以6 余4，除以7 余5，这个数最小是多少？答案：208解析：这个数加上 2 就能被5、6、7 整除，5、6、7 的最小公倍数是210，所以这个数是210 - 2 = 208题目4：甲、乙两车同时从A、B 两地相向而行，在距A 地60 千米处第一次相遇。

各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A 地40 千米处相遇。

A、B 两地相距多少千米？答案：110 千米解析：第一次相遇时，两车共行了一个全程，甲行了60 千米。

第二次相遇时，两车共行了三个全程，甲行了60×3 = 180 千米。

此时甲距离 A 地40 千米，所以两个全程是180 + 40 = 220 千米，全程为110 千米。

题目5：鸡兔同笼，共有头48 个，脚132 只，鸡和兔各有多少只？答案：鸡30 只，兔18 只解析：假设全是鸡，有脚48×2 = 96 只，少了132 - 96 = 36 只脚。

每把一只鸡换成一只兔，脚多4 - 2 = 2 只，所以兔有36÷2 = 18 只，鸡有48 - 18 = 30 只。

题目6：小明从一楼到三楼用了18 秒，照这样计算，他从一楼到六楼需要多少秒？答案：45 秒解析：一楼到三楼走了 2 层楼梯，每层用时18÷2 = 9 秒。

一楼到六楼走5 层楼梯，用时5×9 = 45 秒。

第16讲巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

数列专题 数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．解： (1)因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝10，a 5＝a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－5， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15－5(n －1)＝－5n ＋20．(2)由(1)可知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－52n 2＋352n ，因为对称轴n ＝72， 所以当n ＝3或4时，S n 取得最大值为S 3＝S 4＝30． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10， 所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5， 所以b 1q ·b 1q 3＝9. 又b 1＝1，所以q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.则b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝20，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1d ＝0， 因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *， 因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n ，n 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，4n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2) ＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7， 故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000， 故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数， T n ＝T n －1＋(－1)n·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3；当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －3－3a n －1＋3＝3a n －3a n －1，得a n ＝3a n －1， 因为a n ≠0，所以a na n －1＝3，因为a 1＝3， 所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n ． (2)因为log 3a n ＝log 33n ＝n ，所以b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1． 跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．解： (1)由S n ＝2a n －1，可得n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，又S n ＝2a n －1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1，即有a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ，且b 1＝a 1＝1，b 6＝a 5＝16，可得d ＝b 6－b 16－1＝3，所以b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2．(2)证明：c n ＝1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13，则3T n ＜1．2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3、已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n . (2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ， 1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝nn ＋1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，∴a n ≠0，∴1a n ＝1a n ＋1－2⇒1a n ＋1－1a n ＝2，又∵1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知：b n ＝(2n －1)×3n ，∴S n ＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ， 3S n ＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n －1)×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝3＋3n ＋1－9－(2n －1)×3n ＋1＝2(1－n )×3n ＋1－6 ∴S n ＝(n －1)×3n ＋1＋3． 跟踪练习1、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．解： (1)因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2a n ＋2n ，即a n ＋1＋(n ＋1)a n ＋n＝2，又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋n }是以2为首项2为公比的等比数列， 则a n ＋n ＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－(1＋2＋…＋n )＝2·(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－n (1＋n )2．(2)由(1)得，b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )＝(2n －1)·2n ， 则T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝2×(2＋22＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2， 两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2， 即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)， 则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列， 则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1． (2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)， 设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， 3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n ＝1－3n1－3－n ·3n ， 化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．3、设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和． 解 (1)设{a n }的公比为q ， ∵a 1为a 2，a 3的等差中项， ∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0， ∴q 2＋q －2＝0， ∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5， a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2， 即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n ·2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >2 022的最小的正整数n 的值． 解 (1)当n ≥2时，由a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2， 得a 2n ＝2S n －1＋n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＝a n ＋1. 当n ＝1时，a 22＝2a 1＋2＝4， ∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝1，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝2·(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.∴T n －T n －1＝n ·2n >0， ∴T n 单调递增．当n ＝7时，T 7＝6×28＋2＝1 538<2 022， 当n ＝8时，T 8＝7×29＋2＝3 586>2 022， ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716， 所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0， 所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1； 当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1.。

数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和：，1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++．由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502⨯+==．变式练习：已知3log 1log 23-=x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和.二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2 求222222222222123101102938101++++++++的和． ．三、裂项相消法 常见的拆项公式有：， ，等.123+++……+n=(1)2n n +2n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()n n k =+111()k n n k -+=1k1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+例3 已知222112(1)(21)6n n n n +++=++，求 22222222235721()11212312n n n *+++++∈++++++N 的和．小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列，，，…，，…的前n 项和S.311⨯421⨯531⨯)2(1+n n四、错位相减法源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x ++++-的和．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.变式练习：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

五年级奥数等差数列求和二五年级奥数 - 等差数列求和二简介本文档将探讨五年级奥数中的等差数列求和问题。

我们将重点讨论如何计算等差数列的和。

等差数列等差数列是由一系列数字组成的序列，其中每个数字与前一个数字的差固定。

例如，2，4，6，8，10 是一个等差数列，每个数字之间的差为2。

等差数列求和公式求解等差数列的和可以使用等差数列求和公式。

对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，它们的和 Sn 可以通过以下公式计算：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1 是等差数列的第一个数字，an 是等差数列的最后一个数字，n 是等差数列中数字的个数。

解题步骤使用等差数列求和公式求解等差数列的和的步骤如下：1. 确定等差数列的首项 a1 和公差 d（即等差数列中相邻两个数字的差）。

2. 确定等差数列的前 n 项和 Sn 的计算公式。

3. 将 a1、d 和 n 的值代入求和公式，计算得到 Sn。

例子假设有一个等差数列的首项为 a1 = 2，公差为 d = 3，要求计算该等差数列的前 5 项和 Sn。

根据求和公式，可以得到：Sn = (a1 + a5) * n / 2将 a1、d 和 n 的值代入公式，得到：Sn = (2 + (2 + (5-1)*3)) * 5 / 2计算结果为：Sn = (2 + 14) * 5 / 2 = 16 * 5 / 2 = 80 / 2 = 40所以，该等差数列的前 5 项和为 40。

总结等差数列求和是五年级奥数中的一个重要概念，通过使用等差数列求和公式，可以快速计算等差数列的和。

以上是关于等差数列求和问题的简要介绍和解题方法。

如果你有任何问题或需要进一步的解释，请随时联系我。

经典的数列通项公式与数列求和练习题（有答案）一、斐波那契数列斐波那契数列是最经典的数列之一，它的通项公式为：$$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$其中 $F(1) = 1$，$F(2) = 1$。

以下是一些关于斐波那契数列的练题：练题1：求斐波那契数列的第10项。

解答：根据通项公式进行递归计算，得出第10项为34。

练题2：求斐波那契数列的前20项的和。

解答：利用循环计算斐波那契数列的前20项，并将每项相加得到总和为6765。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

以下是一些关于等差数列的练题：练题1：已知等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 5$，求该数列的前10项。

解答：根据通项公式，将$a_1$ 和$d$ 代入，依次计算出前10项为：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48。

练题2：已知等差数列的首项 $a_1 = 2$，公差 $d = -4$，求该数列的前15项的和。

解答：根据通项公式和等差数列前n项和的公式，将 $a_1$、$d$ 和$n$ 代入，计算出前15项的和为：-420。

三、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。

以下是一些关于等比数列的练题：练题1：已知等比数列的首项 $a_1 = 2$，公比 $q = 3$，求该数列的前8项。

解答：根据通项公式，将 $a_1$ 和 $q$ 代入，依次计算出前8项为：2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374。

练题2：已知等比数列的首项 $a_1 = 5$，公比 $q = \frac{1}{4}$，求该数列的前12项的和。

解答：根据通项公式和等比数列前n项和的公式，将 $a_1$、$q$ 和$n$ 代入，计算出前12项的和为 $\frac{5}{1 - \frac{1}{4}} =\frac{20}{3}$。

(完整版)数列求和习题及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§6.4 数列求和（时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．在等比数列{a n } (n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )A ．2－128 B ．2－129 C ．2－1210D ．2－12112．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －23．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( ) A ．126B ．130C ．132D ．1344．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4005．数列1·n ,2(n －1),3(n －2)，…，n·1的和为( )A.16n(n ＋1)(n ＋2)B.16n(n ＋1)(2n ＋1)C.13n(n ＋2)(n ＋3)D.13n(n ＋1)(n ＋2) 二、填空题(每小题6分，共24分)6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.7．已知数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间满足关系式S n ＝2－3a n ，则a n ＝__________.8．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n项和S n ＝________.9．设关于x 的不等式x 2－x<2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． 三、解答题(共41分)10．(13分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.11．(14分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．12．(14分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．答案 1.B 2.C 3.C4.B5.A6. 13(4n －1)7. 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －18.n n ＋19.10 10010. (1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1 (n ≥2)． 故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n . (2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.11解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，…，其中a 1≠0，q ≠0.由题意知：a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ① a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)．②②×7－①得6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0， 即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∵等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n . (2)由(1)得b n ＝－n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n )．设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n·2n ，③ 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n·2n ＋1.④由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22＋…＋1·2n －n·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n·2n ＋1＝(1－n)·2n ＋1－2， ∴－T n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.∴S n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.要使S n ＋n·2n ＋1>50成立，即－(n －1)·2n ＋1－2＋n·2n ＋1>50，即2n >26.∵24＝16<26,25＝32>26，且y ＝2x 是单调递增函数， ∴满足条件的n 的最小值为5.12解 (1)由题意得(a 1＋d)(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2，整理得2a 1d ＝d 2.∵a 1＝1，解得d ＝2，d ＝0(舍)． ∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t<9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.。

小学奥数知识点总结之数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用sn表示.
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)公差;
数列和公式：sn，=(a1+an)n2;
数列和=(首项+末项)项数2;
项数公式：n=(an+a1)d+1;
项数=(末项-首项)公差+1;
公差公式：d=(an-a1))(n-1);
公差=(末项-首项)(项数-1);
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式。

)9911()311()211(991)411()311()211(41)311()211(3121121+⨯⨯+⨯++++⨯+⨯+++⨯+++ 领先教育五年级奥数-数列的求和1. 计算: (3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)÷13=______.2. 计算: ______19901990199031990219901=++++ . 3. 计算: (1+337)+(1+337×2)+(1+337×3)+…+(1+337×10)+(1+337×11)=______. 4. 在1,4,7,10,13,…,100中,每个数的前面加上一个小数点以后的总和等于______. 5. 121,12239,,124,123,122 这239个数中所有不是整数的分数的和是______. 6. 计算: 15131131111191971751⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=______. 7. 计算: ______3012981131011071741411=⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ . 8. 计算: ______99163135115131=++++. 9. 计算: 1+3______9011772115561134211130192017121561=+++++++. 10. 把1到100的一百个自然数全部写出来,所用到的所有数码字的和是____.11. 求: +⨯198719861986+⨯198819871986+⨯198919881986…+200019991986⨯. 12. 求: 98.087.076.065.054.043.032.021.0 +++++++. 13. 求:14. 一个家具厂生产书桌的数目每个月增加10件,一年共生产了1920件,问这一年的12月份生产了多少件?———————————————答 案——————————————————————答 案:1. 解法一(3+4+5+6+…+14+15)÷13 =2153+×13÷13 =9×13÷13=9 2.19901+19902+19903+…+19901990 =19901×219901+×1990 =219913. (1+337)+(1+337×2)+(1+337×3)+…+(1+337×10)+(1+337×11) =(1+1+…+1)+337×(1+2+3+…+10+11) =11+337×112111⨯+ =11+337×6×11 =25.4. 这列数的各个数是1,4,7,10,13,17,…~3个数是一位数,每个数都缩小了10倍,第4个数到第33个数(10~97)是两位数,每个数都缩小了100倍,最后一个数100缩小了1000倍.先分别求出1,4,7的和以及第4个数到第33个数的和,再求出34个小数的和.0.1+0.4+0.7+0.10+0.13+…=(1+4+7)×101+(10+13+…+97)×1001 =1.2+(10+97)÷2×30×1001 =)1921(122392)2391(+++-⨯÷+ =19219112239120⨯+-⨯ =2390-190=2200.6. 15131131111191971751⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =)151131(21)9171(21)7151(21-⨯++-⨯+-⨯ =)15151(21-⨯ =15221⨯ =151 7. 仿上题,用裂项法解之.=)]30112981()10171()7141()411[(31-++-+-+-⨯ =)30111(31-⨯ =301100 8. 99163135115131++++ =1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =)]11191()9171()7151()5131()311[(21-+-+-+-+-⨯ =)1111(21-⨯ =1159. 1+361+52017121++9301+11421+13561+15721+17901 =(1+3+5+7+9+11+13+15+17)+(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯761651541431321871⨯+981⨯ +1091⨯ ) =)]10191()5141()4131()3121[(92171-++-+-+-+⨯+ =81+(10121-) =81+52 =8152 10. 把1到100的一百个自然数排成以下数阵1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26 27 28 29……90 91 92 93 94 95 96 97 98 99100(1+2+3+…+8+9)×10×2+1 =291+×9×10×2+1 =90111. 和=1986×(19861-19871+19871-19881+…+19991-20001) =1986×(19861-20001) =1986×2000198619862000⨯- =10007. 12. 和=9011+9021+9031+…+9081 =901×(11+21+31+…+81) =901×28)8111(⨯+ =45184=4454. 13. 和=991003423991453423413423312321⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+ =100992542432322⨯++⨯+⨯+⨯ =2)100991541431321(⨯++⨯+⨯+⨯⨯=2)1001991514141313121(-++-+-+-⨯ =2)100121(-⨯ =5049. 14. 设1月份生产了x 件,那么12月份生产了x +110件,一年共生产书桌 1920212)110(=⨯++x x , 化简得 2x +110=320;解得 x =105.所以12月份生产书桌105+110=215件.五年级奥数：数的整除性（A ）年级 班 姓名 得分一、填空题1. 四位数“3AA 1”是9的倍数，那么A =_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13. ———————————————答 案——————————————————————1. 7已知四位数3AA 1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A +A +1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A +A +1=9,则A =2.5,不合题意.再设3+A +A +1=18,则A =7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一: 能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二: 或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915 五位数B A 691BB =0时,6910A 能被11整除,所以(A +9+0)-(6+1)=A +2能被11整除,因此A =9；当B =5时,同样可求出A =4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。

可编辑修改精选全文完整版奥数数列求和专题练习题奥数数列求和专题练习题例1 求100以内所有的奇数的和。

（形成性练习）求100以内所有的偶数的和。

例2 计算：1+2+3-4+5+6+7-8+9……+25+26+27-28=（形成性练习）计算：19+20+21+…＋83+84=例3 小明家的闹钟几点钟就敲几下，而且每半点也敲一下。

请问，这只闹钟一昼夜共敲了多少下？（形成性练习）有一列数：19，22，25，28……请问这列数的前99个数的总和是多少？例4 从99开始，每隔三个数写出一个数来：99，103，107……求1999是这数中的第几个数？（形成性练习）求100以内所有3的倍数的和。

例5 把1—91这91个数分成七组，使每组各数的和都相等，这个和是多少？（形成性练习）有8个小朋友聚会，每两人都握手一次，一共要握手多少次？例6 一把钥匙只能开一把锁。

现在有10把锁和可以打开它们的10把钥匙，但全部放乱了。

请问，最多要试多少次可以打开所有的锁？（最多试多少次可以找出打开锁的钥匙？）（形成性练习）木材收购站有一堆圆木，它的每一层都比它的下一层少一根。

小敏数一数，它的最下一层是26根，一共18层。

你知道这堆木材一共有多少根吗？练习题1、求1+2+3+4+……+35+36=2、求2+4+6+……86+88=3、求1+2-3+4+5-6+……+58+59-60=4、求1-2+3-4+5-……+2001-2002+2003=5、31+32+33+……98+99=6、21+22+23+……+99+100=7、在所有的.两位数中，十位上比个位上的数字大的数，一共有多少？8、从17开始每隔两个数写出一个数来，便可以得到17，20，23，26……请问：第662个数是多少？9、一个正六边形苗圃，里面均匀地栽着一些小树苗，它的最外面一圈共栽了90棵树苗，而且每个角落上都栽有一棵。

求这个苗圃共栽了多少棵树苗？10、从甲城到乙城的铁路线上，有七个途中停车站（不包括甲乙两站）。

数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和地最基本最重要地方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 例1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32地前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+地和.解：2222222212345699100-+-+-+--+()()()()2222222221436510099=-+-+-++-()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+3711199=+++＋由等差数列地求和公式得 ()50503199S 50502＋＝＝ 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列地前n 项和公式时所用地方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }地前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.例2求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }地通项是等差数列{2n －1}地通项与等比数列{1-n x }地通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减） 再利用等比数列地求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项地和.解：由题可知，{n n 22}地通项是等差数列{2n}地通项与等比数列{n 21}地通项之积 设n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） 1122212+---=n n n ∴1224-+-=n n n S 三、反序相加法求和这是推导等差数列地前n 项和公式时所用地方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例3求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++地值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.52、 求和：222222222222222101109293832921101++++++++++四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见地数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 解:原式=()n x x x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n y y y 1112 =()yy y x x x n n1111111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- =nn n n y y y x x x --+--++1111练习：求数列地前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 地前n 项和. 解：n n n n n n n n S 211)1(21)21212121()321()21(81341221132-++=+•••+++++•••+++=++•••+++= 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中地具体应用.裂项法地实质是将数列中地每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和地目地.通项分解（裂项）如：例5求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 地前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=111（裂项） 则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n练习：求13，115，135，163之和. 解：94)911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(2197175153131163135115131=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯=+++六、合并法求和 针对一些特殊地数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊地性质，因此，在求数列地和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .例6、数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a＝5练习：在各项均为正数地等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求地值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列地性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数地运算性质N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列地通项求和先根据数列地结构及特征进行分析，找出数列地通项及其特征，然后再利用数列地通项揭示地规律来求数列地前n 项和，是一个重要地方法.例7、求5，55，555，…，地前n 项和.解：∵a n =59(10n -1)∴S n =59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n -1)=59[（10+102+103+……+10n ）-n]=（10n ＋1-9n-10）练习：求数列：1，，，地前n 项和.解：==版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.xHAQX74J0X用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.LDAYtRyKfE Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.Zzz6ZB2Ltk转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. 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小学五年级下册如何快速计算数列的和数列是数学中的一个重要概念，也是小学数学学习过程中的一部分内容。

计算数列的和可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律。

在小学五年级下册，我们学习了如何通过快速的方法计算数列的和。

本文将介绍一些常用的方法和技巧，帮助同学们更有效地计算数列的和。

一、等差数列的和等差数列是一种常见的数列形式，其中每个项与前一项之差都相等。

我们来看一个例子：1，3，5，7，9，……。

这个数列的公差为2，首项为1。

如果想要计算这个等差数列的和，我们可以使用以下的公式：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示数列的和，n表示项数，a1表示首项，an表示尾项。

例如，计算前100个正整数的和。

首先，我们可以确定a1=1，an=100，然后代入公式计算：Sn = 100/2 * (1 + 100) = 50 * 101 = 5050所以，前100个正整数的和为5050。

二、等差数列的部分和在一些情况下，我们只需要计算等差数列的部分项的和，而不是整个数列的和。

这时，我们可以使用以下的公式：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示数列的和，n表示项数，a1表示首项，an表示尾项。

例如，计算前50个正奇数的和。

首先，我们可以确定a1=1，an=99，然后代入公式计算：Sn = 50/2 * (1 + 99) = 25 * 100 = 2500所以，前50个正奇数的和为2500。

三、等比数列的和等比数列是一种常见的数列形式，其中每个项与前一项之比都相等。

我们来看一个例子：1，2，4，8，16，……。

这个数列的公比为2，首项为1。

如果想要计算这个等比数列的和，我们可以使用以下的公式：S = a1 / (1 - q)其中，S表示数列的和，a1表示首项，q表示公比。

例如，计算前10个2的次方的和。

首先，我们可以确定a1=1，q=2，然后代入公式计算：S = 1 / (1 - 2) = 1 / (-1) = -1所以，前10个2的次方的和为-1。

数列求和方法总结例题数列是数学中的一种重要的概念，它在各个学科中都有广泛的应用。

求和是数列研究中的重要问题之一，求和的方法有很多种，本文将对数列的求和方法进行总结，并通过例题加深理解。

首先，求和方法中最常见的就是等差数列求和公式。

对于一个等差数列，即每个元素与前一个元素之差都相等的数列，可以通过等差数列求和公式来求解。

等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n/ 2，其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，首项a1为1，末项an为9，项数n为5，则前5项和为(1 + 9) * 5 / 2 = 25。

除了等差数列，还有一种常见的数列是等比数列。

在等比数列中，每个元素与前一个元素的比值都相等。

对于等比数列的求和，可以使用等比数列求和公式。

对于等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 -r^n) / (1 - r)，其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

例如，对于等比数列2, 4, 8, 16，首项a1为2，公比r为2，项数n为4，则前4项和为2 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = 30。

除了等差数列和等比数列以外，还有一些特殊的数列，比如斐波那契数列。

斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其每个元素都是前两个元素之和。

斐波那契数列的前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13，可以看出每个元素都是前两个元素之和。

对于斐波那契数列的求和，可以使用递推的方法来进行计算。

例如，对于前8项斐波那契数列的求和，可以将每个元素相加，即0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33。

除了上述三种常见的数列求和方法之外，还有一些其他的方法可以用来求解特殊的数列。

例如，对于一些数列中，可以找到递推关系式来求解。

在这种情况下，需要通过观察数列中元素间的关系来找到递推公式，然后可以通过递推公式来求解数列的和。

数列求和7种方法一、求等差数列的和：等差数列的通项公式为 an = a1 + (n-1)d ，其中an 表示第 n 个数，a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。

1.直接求和法：根据数列的首项 a1、末项 an 和项数 n，直接相加即可。

例如：已知等差数列的首项 a1 = 2，公差 d = 3，项数 n = 5，求和公式为 S = (a1 + an) * n / 2 = (2 + 2 + 4 * 3) * 5 / 2 = 35 2.公式法：利用等差数列的求和公式：S = (a1 + an) * n / 2例如：已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，项数n=5，代入公式即可得到结果。

3.递推法：利用数列的递推关系a(n)=a(n-1)+d，可得到递归式，通过递归累加求和。

例如：已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，项数n=5，则S(n)=S(n-1)+(a(n-1)+d)=S(n-1)+a(n-1)+d。

二、求等比数列的和：等比数列的通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中an 表示第 n 个数，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。

4.直接求和法：根据数列的首项 a1、末项 an 和项数 n，直接相加即可。

例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，求和公式为S=(a1*(q^n-1))/(q-1)=(2*(3^5-1))/(3-1)=2425.公式法：利用等比数列的求和公式：S=(a1*(q^n-1))/(q-1)。

例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，代入公式即可得到结果。

6.迭代法：利用数列的递推关系a(n)=a(n-1)*q，可得到递归式，通过递归累加求和。

例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，则S(n)=S(n-1)+a(n-1)*q=S(n-1)+a(n-1)*q。

三、其他数列的求和方法：7.利用数列的递归关系：对于一些特殊的数列，可能没有通项公式，但可以根据数列的递归关系利用递归求和。

选讲1 等差数列求和一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)三、课后作业1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈（一圈套一圈）做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？。

数列求和题型及解题方法
数列求和是数学中的一个重要概念，其题型和解题方法有很多种。

以下是一些常见的数列求和题型及其解题方法：
1. 等差数列求和
等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差是常数。

等差数列的求和公式为：S = n/2 (a1 + an)，其中n是项数，a1是首项，an是尾项。

例如：1+2+3+...+n=n(n+1)/2
2. 等比数列求和
等比数列是一种常见的数列，其相邻两项的比是常数。

等比数列的求和公式为：S = a1 (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

例如：1+2+4+...+2^(n-1)=2^n-1
3. 错位相减法
对于一些等差数列和等比数列的混合数列，可以使用错位相减法来求和。

具体做法是将原数列的每一项都乘以一个适当的常数，使得新数列成为等差数列或等比数列，然后使用相应的求和公式进行计算。

例如：100+101+102+...+999=99/2=44550
4. 分组求和法
对于一些项数较多、难以直接求和的数列，可以将它们分成若干组，每组有有限项，然后分别求每组的和，最后将各组的和相加即可。

例如：(1+2+3)+(4+5+6)+(7+8+9)=9+18+27=54
5. 倒序相加法
对于一些奇偶项相间的数列，可以将正序和倒序分别求和，再将两个和相加，即可得到原数列的和。

例如：(1+2+3+4)+(3+2+1)=8+6=14
以上是一些常见的数列求和题型及其解题方法，掌握这些方法对于解决数列求和问题非常有帮助。