安徽省六安市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 答案和解析

2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{2}A x x =<，{320}B x x =->则（ ） A ．32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭ B ．A B φ⋂=C ．32A B x x ⎧⎫⋃=<⎨⎬⎩⎭D ．A B R =【答案】A【分析】把集合{320}B x x =->化简后，求A B 或A B 即可.【详解】3{320}{}2B x x x x =->=<，∴ 32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭， 故选：A.【点睛】此题考集合的交并集，属于基础题. 2．下列四个命题，真命题的是（ ） A ．2,10x Q x ∀∈-= B ．,510x Z x ∃∈-= C ．,143x N x ∃∈<< D ．2,20x R x x ∀∈++>【答案】D【分析】解方程判断选项AB ，解不等式判断选项C ，根据判别式判断D. 【详解】对于A 项，只有1x =±时，210x -=才成立，则A 错误；对于B 项，510x -=，解得15x Z =∉，则B 错误； 对于C 项，由143x <<，解得1344x <<，则C 错误；对于D 项，判别式214120∆=-⨯⨯<，则∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0，则D 正确； 故选：D.3．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数xy e =为增函数，则0.501a e e =>=； 对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<； 对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 4．函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()3,+∞【答案】B【分析】由函数的解析式可得(2)(3)0f f ⋅<，再利用函数的零点的判定定理可得函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间． 【详解】函数()3ln f x x x =- 满足f （2）3ln 202=->，f （3）1ln30=-<，且函数()f x 是增函数 ∴(2)(3)0f f ⋅<根据函数的零点的判定定理可得函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间是(2,3)， 故选：B5．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 A ．135平方米 B ．270平方米 C ．540平方米 D ．1080平方米【答案】B【分析】直接利用扇形面积计算得到答案.【详解】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.【点睛】本题考查了扇形面积，属于简单题. 6．若角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin cos()tan(2)2πθπθπθ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭（ ） A ．43B ．43-C ．34D ．34-【答案】A【分析】首先利用三角函数的定义可得4tan 3θ=-，再利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由题知4tan 3θ=-，则由诱导公式可得 原式44cos cos tan tan 33θθθθ⎛⎫=--=-=--= ⎪⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题考查了三角函数的定义、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.7．如图是函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）A ．()3sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()3sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【分析】通过函数的图象可得到：A =3，T π=，22πωπ==，则()()3sin 2f x x ϕ=+，然后再利用点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上求解. 【详解】由函数的图象可知：A =3，566T πππ=+=，22πωπ==，所以()()3sin 2f x x ϕ=+， 又点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上，所以3sin 206πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以2,3k k Z πϕπ-+=∈，即23k πϕπ=+，因为2πϕ<，k Z ∈，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，关键点是由图象观察出A =3，T π=，再代入特殊点求ϕ，也就是找到振幅、周期、和初相，还考查了识图、运算求解的能力，属于中档题. 8．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．12x π=不是函数()g x 图象的对称轴D ．()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-【答案】B【分析】由函数图像的变换可得()cos 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案. 【详解】解：()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对A ，()g x 的最小正周期为22T ππ==，故A 正确； 对B ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，故B 错误； 对C ，012g π⎛⎫=⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，故C 正确；对D ，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，故D 正确． 故选：B.9．设25a b m ==，且111a b+=，则m =（ ） A ．10B ．10C ．20D ．100【答案】B【分析】先根据25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由11log 2log 5m m a b+=+求解.【详解】因为25a b m ==， 所以25log ,log a m b m ==， 所以11log 2log 5log 101m m m a b+=+==， 又0m >，10m ∴=.故选：B.【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于较易题.10．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>在[]0,π上由两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1117,66⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．58,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】先化简()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再令t =π6x ω+，求出t范围，根据2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析，求得ω的取值范围.【详解】()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[0,]x π∈，又0>ω，则可令t =π[,]666x ππωωπ+∈+，又函数2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析：则236πωπππ≤+<，解得ω∈1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题. 11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1115m n +-的最小值为（ ） A ．1 B ．53 C ．5D ．95【答案】D【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0m >，0n >，2m n +=，所以()1111111525m n m n m n ⎛⎫+-=+⨯+- ⎪⎝⎭ 111141222552m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4955m n n m ≥+⋅= 当且仅当n mm n=，即1m n ==时取等号； 故选：D【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1112m n +++的最小值为（ ） A ．32B ．53C ．74D ．45【答案】D【分析】由2m n +=得125m n +++=，再利用基本等式“1”的代换进行求解. 【详解】由2m n +=得125m n +++=，11111121()(12)(2)12512512n m m n m n m n m n +++=⋅+⋅+++=⋅++++++++ 1214[22()()]5125n m m n ++≥+⋅=++， 当且仅当2112n m m n ++=++，即31,22m n ==时取等号， 故选：D.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．13．已知函数22,(,0)()ln ,(0,1)43,[1,)x x f x x x x x x -⎧∈-∞⎪=∈⎨⎪-+-∈+∞⎩，若函数()()g x f x m =-恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】依题意画出函数图象，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】解：因为22,(,0)()ln ,(0,1)43,[1,)x x f x x x x x x -⎧∈-∞⎪=∈⎨⎪-+-∈+∞⎩，画出函数图象如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图象可得0m ≤或1m =，故选：D【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．14．设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则函数()()()cosg x x f x π=-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为（ ） A ．7 B ．6C ．3D ．2【答案】A【分析】推导出函数()f x 是周期为2的周期函数，作出函数()f x 与函数()()cos h x x π=在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，结合对称性可求得函数()g x 在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和. 【详解】由于函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-， 所以，()()()22f x f x f x =-=-，则函数()f x 是周期为2的周期函数，且该函数的图象关于直线1x =对称. 对于函数()()cos h x x π=，()()()()()2cos 2cos 2cos h x x x x h x ππππ-=-=-==⎡⎤⎣⎦，所以，函数()()cos h x x π=的图象关于直线1x =对称.令()0g x =，可得()()f x h x =，则问题转化为函数()f x 与函数()()cos h x x π=在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有交点的横坐标之和.作出函数()f x 与函数()()cos h x x π=在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：设函数()f x 与函数()()cos h x x π=在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有交点的横坐标由大到小依次为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 、7x ，由图象可得1726352x x x x x x +=+=+=，且41x =，因此，函数()()()cos g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为2317⨯+=.故选：A.【点睛】方法点睛：在求解函数零点和的问题时，一般将问题转化为两个函数的交点问题，结合图象的对称性来求解.二、填空题15．幂函数()234()33m f x m m x -=-+在()0+∞，上为减函数，则m 的值为______ ； 【答案】1【分析】由题意可得m 2﹣3m +3＝1，求得m 值，再满足3m ﹣4＜0即可． 【详解】∵函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x 3m ﹣4是幂函数， ∴m 2﹣3m +3＝1，即m 2﹣3m +2＝0，解得m ＝1或m ＝2． 又幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x 3m ﹣4在（0，+∞）上为减函数， ∴3m ﹣4＜0，即m 43＜， 故m ＝1． 故答案为：1．【点睛】本题考查幂函数的性质，明确m 2﹣3m +3＝1是关键，是基础题． 16．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________． 【答案】6π-.【详解】分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 17．已知函数||12x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交，则a b +=______. 【答案】0【分析】根据函数过原点，可直接得出结果.【详解】因为函数||12x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点， 所以0102a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即0a b +=. 故答案为：018．已知函数12xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交，则a b -=______． 【答案】2-【分析】由函数12xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交可得出1b =，再将原点坐标代入该函数的解析式可求出a 的值，由此可计算出-a b 的值. 【详解】由于函数12xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交，则1b =，又函数12xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，则01102a ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得1a =-，因此，2a b -=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查利用指数型函数的基本性质求参数，考查计算能力，属于基础题. 19223sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】59-【分析】先逆用两角和的正弦得到2sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3παθ=-，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即为cos2θ-的值，利用二倍角的余弦值可求此值. 【详解】223sin 3αα+=可以得到31222sin 23αα⎫+=⎪⎪⎝⎭， 所以2sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设3πθα=+，则3παθ=- 则222333πππαθπθ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()245cos 2cos 2cos 22sin 11399παπθθθ⎛⎫-=-=-=-=-=-⎪⎝⎭.故答案为59-. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.20．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 【答案】210. 【分析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭ 2222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式2211212233113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，2sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.三、解答题21．计算或化简下列各式：（1）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅；（2）21lg5(lg8lg1000)3lg 2lg lg0.066⋅++++. 【答案】（1）1a；（2）1. 【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解． （1）利用对数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：（1）原式1155113366221151566661a b aba ba aa ba b----⋅⋅⋅⋅====⋅⋅； （2）原式213lg5lg 23lg53lg 2lglg 626=⋅++++- 3(lg5lg2)lg23lg521=+⋅+-=22．已知23100p x x --<：，命题1q x m -<：. （1）当5m =时，p 和q 都是真命题，求x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）14m -≤≤.【分析】（1）代入5m =解绝对值不等式和一元二次不等式可得答案；（2）先解两个不等式，再根据若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集可得答案.【详解】（1）当5m =，命题51q x -<：是真命题时，解得46x <<， 23100p x x --<：是真命题时，解得25x -<<，所以p 和q 都是真命题时， 45x <<.（2）由命题1q x m -<：得， 11m x m -+<<+，(11)m m +>-+， 由23100p x x --<：得，25x -<<，若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集， 所以1215m m -+>-⎧⎨+<⎩或者12m -+=-，或者15m +=，解得14m -≤≤，所以实数m 的取值范围14m -≤≤.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．23．已知函数2()322cos 1f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）T π=；,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()()max min 2,1f x f x ==-.【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数()f x ，再利用正弦型函数图象性质判断函数的周期及单调区间；（2）利用整体法求函数()f x 分最值. 【详解】解：（1）()23sin 212cos 3sin 2c 2sin 2os26f x x x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝=+-=⎭-，所以最小正周期22T ππ==， 由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以单调递增区间为：,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎛⎫⎡⎤-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为sin y x =在,62ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()max 2sin22f x π==，此时3x π=，又()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时0x =， 综上可知：()()max min 2,1f x f x ==-.【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式． 24．已知二次函数2()f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集为(1,2)-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()0af x >（其中a R ∈）；（3）解关于x 的不等式2(1)2()4a x ax f x +->+（其中a R ∈）.【答案】（1）()22f x x x =--；（2）当0a =时，解集为∅；当0a >时，解集为(,1)(2,)-∞-+∞；当0a <时，解集为()1,2-；（3）当0a >时，不等式的解集为()12a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭,,；当0a =时，不等式的解集为()2,+∞；当102a -<<时，不等式的解集为12,a ⎛⎫-⎪⎝⎭；当12a =-时，不等式的解集为∅；当12a <-时，不等式的解集为1,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用()0f x =的两根为121,2x x =-=，代入韦达定理计算； （2）表示出()0af x >，分别讨论0a =，0a >和0a <三种情况； （3）化简得(1)(2)0ax x +->，注意分类讨论0a =，0a >，102a -<<，12a =-和12a <-五种情况. 【详解】（1）由不等式()0f x <的解集为(1,2)-，可得()0f x =的两根为121,2x x =-=，所以1212b c-+=-⎧⎨-⨯=⎩，所以1,2b c =-=-，所以()22f x x x =--；（2）()0af x >即2(2)(2)(1)0a x x a x x --=-+>，当0a =时，解集为∅；当0a >时，解集为(,1)(2,)-∞-+∞；当0a <时，解集为()1,2-；（3）2(1)2()4a x ax f x +->+化简得2(21)2(1)(2)0ax a x ax x -+-=+->，当0a =时，不等式的解集为()2,+∞； 当0a >时，不等式的解集为()12a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭,,； 当102a -<<时，不等式的解集为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a =-时，不等式的解集为∅；当12a <-时，不等式的解集为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】解含参数的一元二次不等式时，注意分类讨论，一般能够因式分解求出方程的根的情况，按照两个根的大小分类讨论，如果不能因式分解，需要计算判别式∆，然后按照∆的正负分类讨论.25．已知函数()x x f x e e -=-，（e 为自然对数的底数）.（1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明；（2）已知关于x 的不等式()22ln(||1)02x f a x f ⎛⎫+++≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）奇函数；证明见详解；（2）0a ≥.【分析】（1）根据函数奇偶性的概念，直接证明，即可得出结论；（2）判断函数()f x 是增函数，根据函数奇偶性与单调性，将题中不等恒成立化为22ln(||1)2x a x ≥--+恒成立，构造函数()22ln(||1)2x g x x =--+，判断其单调性，求出最大值，即可得出结果.【详解】（1）()f x 为奇函数，证明如下： 因为()xxf x e e -=-的定义域为R ，()()xx f x e e f x --=-=-，所以()f x 为奇函数；（2）由()22ln(||1)02x f a x f ⎛⎫+++≥ ⎪⎝⎭可得()222ln(||1)22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫++≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为指数函数xy e =单调递增，1xy e ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以函数()x x f x e e -=-在定义域上单调递增；因此由()22ln(||1)2x f a x f ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭可得22ln(||1)2x a x ++≥-，即22ln(||1)2x a x ≥--+，所以关于x 的不等式()22ln(||1)02x f a x f ⎛⎫+++≥ ⎪⎝⎭恒成立，等价于22ln(||1)2x a x ≥--+恒成立，令()22ln(||1)2x g x x =--+，则()()()222ln(||1)2ln(||1)22x x g x x x g x --=---+=--+=，所以()g x 为偶函数，当0x ≥时，()22ln(1)2x g x x =--+，因为22x y =-在()0,∞+上单调递减，2ln(1)y x =+在()0,∞+上单调递增，所以()g x 在()0,∞+上单调递减；因为()g x 为偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递增， 因此()()max 00g x g ==，为使22ln(||1)2x a x ≥--+恒成立，只需0a ≥，即实数a 的取值范围是0a ≥. 【点睛】思路点睛：由不等式恒成立求参数时，一般需要利用分离参数的方法，分离出参数，得到参数大于（大于等于）或小于（小于等于）某个式子恒成立的形式，构造新的函数，利用函数的基本性质，求出新函数的最值，即可求解.26．某网购店从2016年起参与“双十一”促销活动，已知2016-2018年“双十一”期间该网购店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网站的销售额y (万元)与年份数x 的关系(为计算方便，2016年用1x =代替，依此类推)，模拟可以选用二次函数2y ax bx c =++或函数x y a b c =⋅+(其中,,a b c 为常数)，若已知2019年“双十一”期间该网购店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2020年“双十一”期间该网店的销售额.【答案】18142xy ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭作为模拟函数比较好，预测2020年“双十一”期间该网店的销售额为13.75万元.【分析】将三组数据分别代入两个函数求出,,a b c ，再代入4x =即可判断，代入5x =即可预测.【详解】若选用二次函数2y ax bx c =++，则1042129313a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得17,,722a b c =-==，即217722y x x =-++，当4x =时，1716471322y =-⨯+⨯+=； 若选用函数xy a b c =⋅+，则23101213ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得18,,142a b c =-==，即18142xy ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭， 当4x =时，4181413.52y ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭， 则可以判断18142xy ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭作为模拟函数比较好， 当5x =时，5181413.752y ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭， 则预测2020年“双十一”期间该网店的销售额为13.75万元.27．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励奖励方案遵循以下原则：奖金y （单位：万元）随着业绩值x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%.（1）若某业务员的业绩为100万核定可得4万元奖金，若该公司用函数lg 1y x kx =++（k 为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知lg 20.30≈，lg30.48≈）（2）若采用函数10()4x af x x -=+作为奖励函数模型试确定最小的正整数a 的值. 【答案】（1）5.3万元；（2）481【分析】（1）将100x =，4y =代入求出参数k 的值，即可求出函数解析式，再将200x =代入求值即可；（2）根据所给函数模型40()104af x x +=-+，函数在[]60,200上单调递增，所以min ()(60) 1.5f x f =≥，且()0.05f x x ≤即可求出参数a 取值范围，从而得到最小正整数a 的值.【详解】解：（1）对于函数模型lg 1y x kx =++（k 为常数），当100x =时，4y =，代入解得1100k =，即1lg 1100y x x =++， 当[60,200]x ∈时，1lg 1100y x x =++是增函数， 当200x =时，lg 20021 5.3y =++≈，∴业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励.（2）对于函数模型1040()1044x a af x x x -+==-++. 因为a 为正整数，所以函数在[]60,200递增；min ()(60) 1.5f x f =≥，解得504a ≤； 要使()0.05f x x ≤对[60,200]x ∈成立，即20.059.8a x x ≥-+对[60,200]x ∈恒成立，函数20.059.8y x x =-+在[]60,200上的最大值为480.2，所以480.2a ≥.综上可知480.2504a ≤≤，即满足条件的最小正整数a 的值为481.【点睛】本题考查函数模型的应用，函数的单调性及二次函数的性质的应用，属于中档题.。

2020-2021学年安徽省六安市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．sin240°=（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．-12【答案】B【分析】根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值，即可求得答案.【详解】sin 240sin(18060)sin 60︒=︒+︒=-︒= 故选：B2．已知函数()21xf x x =-，则()f x 在区间[]2,6上的最大值为（ ） A ．125B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】先判断出函数在[]2,6单调递减，即可求出最大值. 【详解】()22211x f x x x ==+--在[]2,6单调递减， ()()max 24f x f ∴==.故选：C.3．函数()22cos sin f x x x =-是（ ）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为π的偶函数【答案】D【分析】化简函数解析式为()cos2f x x =，利用余弦型函数的基本性质可得出结论. 【详解】()22cos sin cos2f x x x x =-=，该函数的最小正周期为22T ππ==， 所以，函数()22cos sin f x x x =-是周期为π的偶函数. 故选：D.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若1sin 3C =，3a =，4c =，则sin A =（ ） A ．23B ．14C ．34D ．16【答案】B【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a cA C=， 13sin 13sin 44a C A c ⨯∴===. 故选：B.5．已知角α的终边上一点坐标为()3,4P -，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17B ．45C ．17-D ．45-【答案】C【分析】由三角函数的定义求出4tan 3α=-，再由两角和的正切公式计算即可. 【详解】4tan 3α=-，41tan tan 134tan 4471tan tan 143παπαπα-+⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-+ 故选：C6．与函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ）A ．4πx =-B ．6x π=C ．8x π=D ．8x π=-【答案】D 【分析】令2,42x k k Z πππ-≠+∈可求出.【详解】可得2,42x k k Z πππ-≠+∈，则3,82k x k Z ππ≠+∈， 当1k =-时，8x π≠-，故8x π=-与tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相交. 故选：D. 7．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，然后利用特殊函数值进行判断即可. 【详解】因为ln ||cos()ln ||cos ()()sin()sin x x x xf x f x x x x x-⋅-⋅-==-=--+-+，[)π,00,π(]x -⋃∈，所以()f x 为奇函数，因此函数()f x 的图像关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C. 故选：D8．若sin 2cos αα=，则cos2=α（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-【答案】A【分析】先由sin 2cos αα=及22sin cos 1αα+=,解得21cos 5α=,再用二倍角公式求出cos2α的值. 【详解】sin 2cos αα=，由22sin cos 1αα+=得：224cos cos 1αα+=，21cos 5α∴=223cos 22cos 1155αα∴=-=-=-. 故选:A【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)选择合适的公式进行化简；(2)如果需要,根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 9．已知点(),P a b 在函数2ey x=图象上，且0a >，0b >，则ln ln a b ⋅的最大值为（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】将点代入解析式可得2ab e =，然后利用基本不等式求解ln ln a b ⋅的最大值.【详解】由题意，2ab e =，则2222ln ln ln ln ln ln 1222a b ab e a b ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⋅≤===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当==a b e 时，取等号，所以ln ln a b ⋅的最大值是1. 故选：C. 10．已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则ϕ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ. 【详解】由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥.又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤ 所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.综上: 3πϕ=.故选:B【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.二、多选题11．（多选）下列命题中正确的是（ ）A ．已知a 、b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的必要不充分条件B ．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若45A =，14a =，16b =，则ABC 有两解C ．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若cos cos a A b B =，则ABC 为直角三角形D ．已知A 、B 都是锐角，且2A B π+≠，()()1tan 1tan 2A B ++=，则4A B π+=【答案】ABD【分析】求出1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、33log log a b >的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义可判断A 选项的正误；比较sin b A 、a 、b 的大小关系，可判断B 选项的正误；利用余弦定理可判断C 选项的正误；利用两角和的正切公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，充分性：由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由33log log a b >可得0a b >>，所以，3311log log 33aba b ⎛⎫⎛⎫<⇒>/ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，充分性不成立. 必要性：由1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由33log log a b >可得0a b >>， 所以，3311log log 33ab a b ⎛⎫⎛⎫<⇐> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，必要性成立. 因此，“1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，sin 16sin 4582b A ==sin b A a b <<，如下图所示：所以，ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，cos cos a A b B =，可得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅， 整理得2242240a c a b c b --+=，即()()222220a bca b ---=，a b ∴=或222+=a b c ，因此，ABC 为等腰或直角三角形，C 选项错误； 对于D 选项，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，可得()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，由于()()1tan 1tan 2A B ++=可得tan tan tan tan 10A B A B ++-=， 即()()()tan 1tan tan 1tan tan 0A B A B A B +---=，即()()tan 11tan tan 0A B A B +-⋅-=⎡⎤⎣⎦，由于A 、B 都是锐角，且2A B π+≠，则tan tan 1A B ≠，所以，()tan 1A B +=，02A π<<，02B π<<，0A B π∴<+<，可得4A B π+=，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A 、B 、C 的范围对三角函数值的影响．12．（多选）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2ππϕ-<<-）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2ω=，23πϕ=-B ．函数()f x 图象的对称轴为直线()712x k k Z ππ=+∈ C ．将函数2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）即得到()y f x =的图象 D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3A ⎡-⎣，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AD【分析】利用函数图象求出函数()f x 的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()2232x k k πππ-=+∈Z 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的伸缩规律可判断C 选项的正误；由2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出223x π-的取值范围，结合题意求出a 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由图可知2A = 设函数()f x 的最小正周期为T ，则73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，T π∴= 22Tπω∴==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 由772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()7262k k ππϕπ+=+∈Z ，解得()223k k πϕπ=-+∈Z又2ππϕ-<<-，23πϕ∴=-，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，A 正确；对于B 选项，由()2232x k k πππ-=+∈Z ，得()7212k x k ππ=+∈Z ，B 错误； 对于C 选项，将函数2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，C 错误； 对于D 选项，由2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由2sin y t =的图象可知，要使函数()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣则3272233a πππ≤-≤，解得133122a ππ≤≤，D 正确. 故选：AD.【点睛】思路点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的步骤如下： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.三、填空题13．sin 72cos 42cos72sin 42-︒=______. 【答案】12【分析】利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-︒=-=︒=， 故答案为：12. 14．已知函数()f x 满足()1lg f x x -=，则不等式()0f x <的解集为______.【答案】()1,0-【分析】首先利用换元法求出()f x 的解析式，再利用对数函数的单调性解不等式即可求解.【详解】令1x t -=，则1x t =+，所以()()lg 1f t t =+， 所以()()lg 1f x x =+，不等式()0f x <等价于()()lg 10lg1f x x =+<=， 所以011x <+<， 解得：10x -<<，所以原不等式的解集为()1,0-， 故答案为：()1,0-.15．已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4【详解】试题分析：因为()2224(1)33f x x x x =-+=-+≥，所以331a a ≥⇒≥，从而()22431()4;f b b b b b b =-+=⇒==舍或()224314();f a a a a a a =-+=⇒==或舍即满足条件的数组(),a b 为()1,4【解析】函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系四、双空题16．已知ABC ，120BAC ∠=，BC =，AD 为BAC ∠的角平分线，则 （i ）ABC 面积的取值范围为______.（ii ）4AB ACAD+的最小值为_____.【答案】(9【分析】（i ）在ABC 中，由余弦定理可得结合基本不等式可得AB AC ⋅的最大值，再利用三角形面积公式即可求面积的取值范围； （ii ）首先利用ABCABD ACD SS S =+可得bcAD b c=+，所以44AB AC c bbc b cAD++=+ ()()4b c c b bc+=+整理后利用基本不等式即可求最值.【详解】（i ）在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，即22122AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅≥⋅+⋅， 解得：4AB AC ⋅≤，当且仅当AB AC =时等号成立.所以11cos 4222ABCSAB AC BAC =⋅∠≤⨯⨯= 所以ABC面积的取值范围为(.（ii ）AD 为BAC ∠的角平分线，120BAC ∠=， 所以60BAD CAD ∠=∠=，180ADB ADC ∠+∠=， 所以111sin sin sin 222ABCSbc A c AD BAD b AD CAD ==⨯∠+⨯∠，()AD b c =+，所以bc AD b c =+， 所以()()224444545b c c b AB AC c b b bc c b cA bc b D bc bc c b c+++++===++++=52952≥=+⨯+=， 当且仅当4b cc b=，即2c b =时等号成立.所以4AB ACAD+的最小值为9，故答案为：(；9.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用面积相等可得bcAD b c=+，所求4AB ACAD+即可用,b c 表示，再利用基本不等式可求最值.五、解答题17．已知()()()()3sin cos 2sin 2tan f πθπθθπθπθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--.（1）化简()fθ；（2）已知,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且465f πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求sin θ的值.【答案】（1）()cos f θθ=-；（2）410. 【分析】（1）利用诱导公式即可化简；（2）由题可得4cos 65πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3sin 65πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用sin sin 66ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求出.【详解】解：（1）()()()()sin sin cos sin tan f θθθθθθ-⨯==--⨯-；（2）4cos 665f ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 65πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 因为5366πππθ<-<，3sin 65πθ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴-，∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=-⨯=. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos a b b C -=.（1）求sin tan CB的值； （2）若2a =，3b =，求c .【答案】（1）1；（2）c =【分析】（1）利用正弦定理化边为角，即可化简整理求出； （2）可先求出1cos 3=-C ，再由余弦定理即可求出. 【详解】（1）解：cos a b b C -=，由正弦定理可得sin sin sin cos A B B C -=， 则sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +-=， 即cos sin sin B C B =，即sin tan C B =， sin 1tan CB∴=； （2）可得233cos C -=，则1cos 3=-C ， ∴22212cos 49223173c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =19．已知函数()2sin cos 32f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心坐标；（2）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4265f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，521210f βπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求αβ+的值. 【答案】（1）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称中心为(),026k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）34αβπ+=. 【分析】（1）化简可得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-≤-≤+即可解出单调递增区间，令23x k ππ-=可解出对称中心；（2）由题可求出sin cos ,sin ,cos ααββ，，即可求出()cos αβ+，得出结果.【详解】解：（1）()12sin cos sin 222f x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭11cos 23sin 23222x x -=+⨯-13sin 2cos 2sin 223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令52222321212k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+， 令2326k x k x ππππ-=⇒=+， ∴单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦对称中心为(),026k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭（2）4sin 265f απα⎛⎫+==⎪⎝⎭，则3cos 5α=，52cos 21210f βπβ⎛⎫+==⎪⎝⎭，则72sin =β， ∵02πα<<，002πβαβπ<<⇒<+<，∴()23cos cos cos sin sin 4παβαβαβαβ+=-=-⇒+=. 20．六安一中新校区有一块形状为平面四边形ABCD 的土地准备种一些花圃，其中A ，B 为定点，3AB =（百米），1AD DC ==（百米）.（1）若120C ∠=，3BD =（百米），求平面四边形ABCD 的面积； （2）若1BC =（百米）.（i 31cos BAD BCD ∠∠=+；（ii ）若ABD △，BCD △面积依次为1S ，2S ，求2212S S +的最大值.【答案】（1（平方百米）；（2）（i ）证明见解析；（ii ）最大值为78（平方百米）.【分析】（1）在BCD △中，由余弦定理可求得BC 的长，再分别计算ABD △，BCD △的面积，即可求解；（2）（i ）在ABD △和BCD △中，分别利用余弦定理两式相减即可求证；（ii ）用三角形的面积公式将2212S S +表示()222212143cos cos 4S S BAD BCD +=-∠-∠，1cos BAD BCD ∠∠=+代入转化为关于cos BCD ∠的二次函数，利用三角函数的性质求出cos BCD ∠的范围，再结合二次函数的性质即可求最值.【详解】（1）令BC x =，在BCD △中，由余弦定理可得：23121cos120x x =+-⨯⨯ 即220x x +-=，解得：1x =或2x =-（舍） 在BCD △中，1BC CD ==，120C ∠=，所以1311sin12024BCDS=⨯⨯⨯=，在ABD △中，AB BD ==1AD =，所以AD 2=，所以11224ABDS=⨯⨯=， 所以 3ABCD ABD BCDS SS=+=（平方百米）. （2）在ABD △中，2222cos 4BD AB AD AB AD BAD BAD =+-⨯⨯⨯∠=-∠在BCD △中2222cos 22cos BD BC CD BC CD BCD BCD =+-⨯⨯⨯∠=-∠所以422cos BAD BCD -∠=-∠，1cos BAD BCD ∠∠=+.（ii ）()222211331sin sin 1cos 244S BAD BAD BAD ⎛⎫=⨯∠=∠=-∠ ⎪⎝⎭ ()2222211111sin sin 1cos 244S BCD BCD BCD ⎛⎫=⨯⨯⨯∠=∠=-∠ ⎪⎝⎭所以()222212133cos 1cos 4S S BAD BCD +=-∠+-∠ ()2221141cos cos 2cos 2cos 344BCD BCD BCD BCD ⎡⎤⎡⎤=-+∠-∠=-∠-∠+⎣⎦⎣⎦1cos BAD BCD ∠∠=+，所以1cos BCD <+∠<1cos 1BCD -<∠<∴2222121171172cos cos 422228S S BCD BCD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-∠++=∠++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以1cos 2BCD ∠=-时，()2212max 78S S +=， 即23BCD π∠=时2212S S +取得最大值，且最大值为78（平方百米）.【点睛】关键点点睛：求2212S S +用三角形的面积公式表示出来，结合已经证明的1cos BAD BCD ∠∠=+即可将面积平方和转化为关于cos BCD ∠只含一个变量的函数，利用二次函数的性质可求最值. 21．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的图象两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数()g x 为奇函数.（1）求()f x 的解析式，并画出()f x 在区间[]0,π上的图象（答题卷上需列表）； （2）若关于x 的方程()()2320g x m g x +⋅+=⎡⎤⎣⎦在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，答案见解析；（2）(){},526-∞--.【分析】（1）由()f x 的图象两相邻对称轴之间的距离是2π可求得()f x 的周期，进而可得ω的值，由()g x 为奇函数可求得ϕ的值，进而可得求()f x 的解析式，利用五点法作出图象即可；（2）由（1）可得()sin 2g x x =，令()[]sin 20,1t g x x ==∈，则原方程可转化为2320t mt ++=在[]0,1上有一解，利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由()f x 的图象两相邻对称轴之间的距离是2π可得： 22T ππ=⨯=，所以222T ππωπ===，所以()()cos 2f x x φ=+， 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得()cos 23g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 因为()g x 为奇函数， 所以32k ππϕπ-=+()k Z ∈，可得()56k k Z πϕπ=+∈ 又因为02πϕ-<<，所以令1k =-，得6πϕ=-所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭列表：x12π3π712π 56π π 26x π-6π-2π π32π 116πcos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭321 0 －1 032图象如图所示（2）由（1）知()sin 2g x x = 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()[]sin 20,1t g x x ==∈ 因为每个t 对应两个x ，所以关于t 的方程2320t mt ++=在[]0,1上有一解. 令()232h t t mt =++∵()020h =>，则需满足()10h <或Δ0016m=⎧⎪⎨≤-<⎪⎩解得：5m <-或26m =-所以实数m 的取值范围是(){},526-∞--【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用三角函数的性质求出()f x 的解析式，令()[]sin 20,1t g x x ==∈，由于一个t 对应两个x ，所以关于t 的方程2320t mt ++=在[]0,1上有一解，找出对应的二次函数所满足的等价条件即可.22．已知函数()xf x e =，()ln x x ag x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若()g x 为偶函数，求a 的值；（2）若()10,x ∀∈+∞，2x R ∃∈，使得()()()11220f x mf x g x +->成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）ln 21m ≥-.【分析】（1）根据偶函数的定义()()g x g x -=，即1ln ln x x xx a ae e e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可解出a ；（2）先分离x 1、x 2，转化为()()()1122f x mf x g x +>，由题意转化为()()()11min 2min (2)()f x mf x g x +>即可.【详解】解：（1）函数()g x 的定义域为R ，若()g x 为偶函数，则对x R ∀∈都有()()()11ln ln 101x x x x x x a g x ae g x e e a a e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+==+⇒--=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()1ln ln 2xx g x e e ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，“=”取得当且仅为0x =时， 由题意：()10,x ∀∈+∞，2x R ∃∈，使得()()()1122f x mf x g x +>成立 即()10,x ∀∈+∞，112ln 2x x e me +>11ln 2x x m e e⇒>-对()10,x ∀∈+∞恒成立 令1x t e =，则1t >且ln 2m t t>-对1t >恒成立 设()()ln 21h t t t t=->，易知()h t 在()1,+∞内单调递减 ∴()ln 21ln 21h t m <-⇒≥-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈(1)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； (2)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； (3)若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； (4)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

2020-2021学年安徽省六安市一中高一上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．下列说法不正确的是（）A．平行向量也叫共线向量B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C．若a为非零向量，则aa是一个与a同向的单位向量D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同【答案】D【解析】根据共线向量的定义判断AB；由aa的模长为1，1a>得出aa是一个与a同向的单位向量；举例排除D.【详解】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A正确；两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确；aa的模长为1，1a>，则aa是一个与a同向的单位向量，C正确；从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误；故选：D【点睛】本题主要考查了共线向量概念的辨析，属于基础题.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（）A．6B．C．10D．12【答案】A【解析】根据扇形的面积公式和弧长的计算公式，求得弧长和半径，即可求得结果. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l.由题意：1224lr l r⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得14r l =⎧⎨=⎩，所以扇形的周长为26l r +=， 故选：A. 【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式，属基础题. 3．化简：AB CD BD AC -+-=（ ） A ．2BC B ．2BC -C ．2ADD ．【答案】D【解析】根据向量的加减法运算即可得出答案. 【详解】()0AB CD BD AC AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=故选：D 【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题.4．已知0a <，角α的终边上有一点(3,4)P a a -，则sin α=（ ） A ．35B ．45C ．35D ．45-【答案】B【解析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】44sin 55a a α-===-故选：B【点睛】本题主要考查了利用三角函数的定义求正弦值，属于基础题.5．已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则1cos 2sin 2αα+=（ ）A．12-B．2-C．12D．2【答案】C【解析】化简tan34πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭得出tan2α=，再由二倍角公式化简1cos2sin2αα+即可得出答案.【详解】tan tan tan14tan341tan1tan tan4παπααπαα++⎛⎫+===-⎪-⎝⎭-⋅解得tan2α=21cos212cos1cos11sin22sin cos sin tan2αααααααα++-====故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式以及二倍角公式，属于基础题.6．已知()sin()(0,0,)2f x A x B Aπωϕωϕ=++>><的图象如图所示，则函数()f x的对称中心可以为（）A．,06π⎛⎫⎪⎝⎭B．,16π⎛⎫⎪⎝⎭C．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭D．,16π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据图像得到振幅和3112B-==，721212Tπππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，进而得到2ω=，通过特殊点得到3πϕ=，令()23x k k Zππ+=∈可得到对称中心.【详解】由图可知3122A +==，3112B -==，721212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2ω=.由()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，2πϕ<，得3πϕ=，故()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()23x k k Z ππ+=∈， 得()26k x k Z ππ=-∈，则0k =时，6x π=-. 故答案为D. 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m +；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π.7．已知四边形ABCD 中，2AB AD ==，120BAD ︒∠=，O 为平面上一点，且满足OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 的面积为（ ）A B ．C ．D ．4【答案】B【解析】根据向量的减法运算得出BA CD =，进而得出边形ABCD 为菱形，求出ABDS，即可得出四边形ABCD 的面积.【详解】由BA OB OD OC -=-得出BA CD =，且2AB AD == 则四边形ABCD 为菱形即四边形ABCD 为2sin12022ABDS S AD AB ==⋅︒=⨯=故选：B 【点睛】本题主要考查了向量减法的应用，涉及了三角形面积公式，属于基础题.8．已知函数()))f x x x ωϕωϕ=+-+是R 上的奇函数，则tan ϕ=（ ）A B ．±C D ．【答案】C【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合(0)0f =得出,3k k Z πϕπ=+∈，即可得出tan ϕ的值.【详解】())))3f x x x x πωϕωϕωϕ=++=+-因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =即,33k k k Z ππϕπϕπ-=⇒=+∈，则tan ta t n =an 33k πππϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=故选：C 【点睛】本题主要考查了已知正弦型函数的奇偶性求参数的正切值，属于常考题.9．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为线段BD 上一点，且满足3BD DE =-，若AE AB AC λμ=+，则2λμ+=（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】根据向量的加减法得出1133AE AB AC =+，进而得出,λμ的值，即可得出答案. 【详解】由3BD DE =-知，点E 是线段BD 上靠近点D 的三等分点 则()222112333233BE BD AD AB AC AB AC AB ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ 12113333AE AB BE AB AC AB AB AC ∴=+=+-=+则11,33λμ==2611132λμ∴+=+=故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于常考题.10．已知,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，10sin α=，cos 5β=-，则αβ+=（ ） A ．34πB ．54π C ．74π D ．54π或74π【答案】C【解析】由平方关系得出cos α，sin β的值，求出cos()αβ+，根据,αβ的范围得出αβ+. 【详解】cos α==，sin β==cos()cos cos sin sin αβαβαβ⎛∴+=⋅-⋅== ⎝⎭,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(,2)αβππ∴+∈cos()0αβ+>，3(,2)2παβπ∴+∈ 则74αβπ+= 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用三角函数值求角，属于常考题. 11．若不共线向量a ，b 满足||||a b a +=，则（ ） A ．|2||2|a a b >+ B ．|2||2|a a b <+C ．|2||2|b a b >+D ．|2||2|b a b <+【答案】A【解析】利用向量的运算得出22||a b b ⋅=-，利用作差法比较22|2||2,|a a b +的大小以及22|2|,|2|b a b +的大小，即可得出答案. 【详解】||||a b a +=，222||2||||a a b b a ∴+⋅+=，即22||a b b ⋅=- 222222|2||2|4||2||||||0a a b a b b b b b -+=-⋅-=-=>即22|2|2|2||2|a a b a a b >+⇒>+2222222|2||2|4||4||4||5||4||b a b b a a b b b a =-+=--⋅--由于||a ，||b 的大小未知，则|2|,|2|b a b +的大小不确定 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的运算，涉及不等式性质的应用，属于中档题.12．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅--> ⎪⎝⎭在区间52,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间(0,)π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】化简函数解析式，由正弦函数的单调性以及性质，列出相应不等式，即可得出ω的取值范围. 【详解】21cos 2cos 21sin 4222x x xπωωπω⎛⎫ ⎪⎝+-⎛⎫-=⨯=+ ⎝⎭⎭⎪ 222()2sin cos sin sin (1sin )sin sin 24x f x x x x x x x ωπωωωωωω⎛⎫∴=⋅--=+-= ⎪⎝⎭由2222,2222k k k x k x k Z πππππππωπωωωω-+≤≤+⇒-+≤≤+∈ 得到()f x 含原点的单调递增区间为,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 在区间52,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 52,,6322ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故有635222ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得35ω，又0>ω，所以305ω<(0,),(0,)x x πωωπ∈∴∈函数()f x 在区间(0,)π上恰好取得一次最大值，并且函数sin y x =在区间5,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个最高点 ∴5152222ππωπω<≤⇒<≤ 综上，13,25ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选： A 【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的单调性以及最值求参数范围，属于中档题.二、填空题13．若平面向量,a b 满足||1a =，||||3ab a b +=-=，则||b =__________.【解析】利用向量的模长公式即可求解. 【详解】||||a b a b +=-2222||2||||2||a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，即0a b ⋅= 22||||2||3a b a a b b +=+⋅+=，解得||2b =【点睛】本题主要考查了求向量的模长，属于基础题. 14．已知,αβ均为锐角，若cos α=，1tan()7αβ-=-，则tan β=_________.【答案】3【解析】先求出tan α，再由两角差的正切公式即可得出答案. 【详解】sin tan 2cos ααα===12tan tan()7tan tan(())321tan tan()17ααββααβααβ+--∴=--===+⋅-- 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式化简求值，属于中档题. 15．若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【解析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案. 【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+=取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.16．若函数()sin2f x x x π=-+在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______.【答案】2π【解析】令sin )2(g x x x =-，利用定义证明函数()g x 为奇函数，由奇函数的性质即可得出答案. 【详解】令sin )2(g x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ()()()sin 2sin 2sin 2()g x x x x x x x g x -=-+=-+=--=-，所以函数()g x 为奇函数即函数()g x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值满足min max ()()0g x g x += 所以min max ()()2g M m x g x πππ+++=+= 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查了奇函数的应用，属于常考题.三、解答题17．求下列各式的值.（1）cos 20cos 40cos80︒︒︒； （24cos80︒︒+. 【答案】（1）18（2）1 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可； （2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可. 【详解】解：（1）原式1sin160sin 20cos20cos40cos8018sin 20sin 208︒︒===；4sin10︒+=（2）原式()2sin 30102sin 20cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒+-+==cos10cos10︒︒= 1=【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，涉及了二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式，属于常考题.18．已知ABC ∆的内角分别为A 、B 、C ，且满足(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=⋅.（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）3B π=；（2）32⎛ ⎝. 【解析】（1）逆用两角和的正弦公式化简，整理得出1cos 2B =，即可得出B ； （2）根据3B π=以及锐角三角形内角的范围，得出,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由三角形内角和以及辅助角公式得出sin s n i 6n A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数的性质得出sin sin A C +的取值范围. 【详解】（1）由(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=⋅得2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A =+⋅=+=，又ABC ∆中sin 0A >，得1cos 2B =，从而3B π=； （2）由（1）知，23A C π+=故23sin sin sin sin cos 3226sin C A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又ABC ∆为锐角三角形，故,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2,363A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭362A πππ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即326A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭从而sin sin A C +的取值范围为32⎛⎝.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式的应用以及利用正弦函数的性质求最值，属于常考题.19．已知12,e e 是平面上两个不共线的向量且124AB ke e =-，12CD e ke =-+，122BD e e =+.（1）若AB ，CD 方向相反，求k 的值；（2）若A ，C ，D 三点共线，求k 的值.【答案】（1）2k =；（2）1k =或2-.【解析】（1）由向量共线得出存在R λ∈，使得AB CD λ=，得出12124()ke e e ke λ-=-+，列出方程组，即可得出k 的值；（2）根据三点共线得出存在R μ∈，使得AD CD μ=，得出1212(1)2()k e e e ke μ+-=-+，列出方程组，即可得出k 的值.【详解】解：（1）由题意知，//AB CD ，则存在R λ∈，使得AB CD λ=，即12124()ke e e ke λ-=-+，从而4k k λλ=-⎧⎨-=⎩，得2λ=±，又,C AB D 方向相反，则2,2k λ=-=； （2）由题意知，12(1)2AD AB BD k e e =+=+-，由A ，C ，D 三点共线得，存在R μ∈，使得AD CD μ=，即1212(1)2()k e e e ke μ+-=-+，从而12k k μμ+=-⎧⎨-=⎩，得1k =或2-. 【点睛】本题主要考查了根据向量共线求参数范围以及根据三点共线求参数，属于常考题.20．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移56π个单位后得到函数()g x 的图象，设函数()()()h x g x f x =-. （1）求函数()h x 的单调递增区间；（2）若263g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值. 【答案】（1）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）23. 【解析】（1）根据平移变换得出()g x 的解析式，化简得出()h x 的解析式，根据正弦函数的单调减区间得出函数()h x 的单调递增区间；（2）由263g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得22sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由()sin 23h παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合诱导公式即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意知，5()sin 2sin 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而1()sin 2sin 2sin 2sin 23223h x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 则函数()h x 的单调递增区间为511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由263g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得22sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 从而22()sin 2sin 2333h ππααα⎛⎫⎛⎫=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】 本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及诱导公式的应用，属于常考题.21．已知函数2()sin 22sin f x a x x m =--，其中,a m R ∈.（1）若a =()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，求m 的值； （2）若2a =，且12,x x 是函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的两个零点，求()12cos x x +的值.【答案】（1）1m =-；（2. 【解析】（1）将函数()f x 的解析式化为()2sin 216f x x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的性质，得出1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，最后由函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，得出m 的值；（2）由12,x x 是函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的两个零点，得出12,x x 关于函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴对称，求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴，根据对称性得出122x x πϕ+=-，再计算()12cos x x +的值即可.【详解】解：（1）当a =()2cos212sin 216f x x x m x m π⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝⎭ 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故max ()212f x m =--=，得1m =-；（2）因为12,x x 是函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的两个零点 所以12,x x 关于函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴对称而当2a =时，())1f x x m ϕ=+--，其中cosϕ=，sin ϕ= 由2,2x k k Z πϕπ+=+∈得，函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴为42x πϕ=- 由对称性可知，122x x πϕ+=-则()12cos cos sin 2x x πϕϕ⎛⎫+=-==⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查了根据正弦型函数的最值求参数以及对称性的应用，属于中档题.22．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x ∈R . （1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数3()24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【答案】（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π. 【解析】（1）化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数t 的最大值.【详解】解：（1）由题意得，21()cos212sin sin 22224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令3()()()222424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222x x x x ⎫⎫=++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x =即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数 由22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤ 故正实数t 的最大值为4π.【点睛】本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题.。

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。

安徽省六安市第一中学 20212021 学年高一数学上学期 期末考试试题（含解析）数学试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】A【解析】直线的斜率为 ，因此倾斜角为 30°.故选 A.2. 空间直角坐标系中，已知点A.B.C.【答案】A【解析】点，，则线段 的中点坐标为（ ） D.由中点坐标公式得中得为：，即.故选 A. 3. 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（ ）【答案】D 【解析】由几何体的三视图可知，三棱锥的顶点在底面的射影在底面棱上，可知几何体如图：- 1 - / 13侧视图为：D. 故选：D. 4. 下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面, 则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】关于①，三个不共线的点能够确定一个平面，因此①不正确； 关于②，一条直线和直线外一点能够确定一个平面，因此②不正确； 关于③，若三点共线了，四点一定共面，因此③正确； 关于④，当三条平行线共面时，只能确定一个平面，因此④不正确. 故选 A.5. 已知圆,圆,则两圆的位置关系为( )A. 相离 B. 相外切 【答案】AC. 相交D. 相内切【解析】圆,即，圆心为(0,3)，半径为 1，圆,即，圆心为(4,0)，半径为 3..因此两圆相离，故选 A.6. 设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线是( )A.B.C.【答案】D,则被 反射后,反射光线所在的直线方程 D.【解析】由可得反射点 A(−1,−1),在入射光线 y=2x+1 上任取一点 B(0,1)，则点 B(0,1)关于 y=x 的对称点 C(1,0)在反射光线所在的直线上。