第8周高三测试题

2011-2012学年度第二学期高三数学（理科）测试题一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确选项填在答卷相应的位置上）1．设{|}A x y x N ==∈，2{|20}B x x x =-=，则A B =（ ） A. φ B. {2} C. {0,2} D. {0,1,2} 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi += （ ）A ．12i +B C D ．543．设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，且函数2()4f x x x ξ=++没有零点的概率为12，则μ为（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 不能确定 4．已知向量(1,2),(2,3),a b ==若()()a b a b λ+⊥-，则λ＝（ ）A. 53- B. 53 C. 0 D. －75．设88018(1),x a a x a x +=+++则0,18,,a a a 中偶数的个数为（ ）A ．2B ．7C ．6D ．56．已知函数2()(f x x b x a b =+++是偶函数，则此函数的图象与ｙ轴交点的纵坐标的最大值为（ ）－27．已知等差数列{}n a 共有10项，并且其偶数项之和为30，奇数项之和为25，由此得到的结论正确的是（ ）A. 1d =B. 12d =C. 65a =D. 65a =- 8．把一根长度为5的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为（ ）A. 12B. 34C. 45D. 14二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ～12题）9. 从4名男生和2名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ的数学期望为 .10．对于x R +∀∈，用()F x 表示2log x 的整数部分，则(1)(2)(1023)F F F +++＝ __________．1041048576=34512032103252381486⨯+⨯+⨯=11．以椭圆22143x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 . 12．定积分3209x dx -⎰的值为 ．13. 在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且6A π=.现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③3c b =.试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，并以此为依据求ABC ∆的面积.(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 ;(用序号填写)由此得到的ABC ∆的面积为 . （二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作 圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 . 15．(坐标系与参数方程选做题)两直线sin()2010,sin()201144ππρθρθ+=-=的位置关系是 (判断垂直或平行或斜交)三、解答题：（共６小题，共８０分，解答题应写出文字说明，以及必要的证明过程或演算过程） 16.（本小题满分12分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值．17. （本小题满分12分）某射击运动员为争取获得2010年广州亚运会的参赛资格正在加紧训练.已知在某次训练中他射击了n 枪，每一枪的射击结果相互独立，每枪成绩不低于10环的概率为p ，设ξ为本次训练中成绩不低于10环的射击次数，ξ的数学期望152E ξ=，方差158D ξ=. （1）求,n p 的值；（2）训练中教练要求：若有5枪或5枪以上成绩低于10环，则需要补射，求该运动员在本次训练中需要补射的概率.（结果用分数表示.已知： ， ）BCDEO18．（本小题满分14分）如图（甲），在直角梯形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，AB ⊥CD,且BC=CD,AB=2,F 、H 、G 分别为AC ,AD ,DE 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面CBED,如图（乙）．（1）求证：平面FHG//平面ABE ； （2）记,BC x =()V x 表示三棱锥B －ACE的体积，求()V x 的最大值；（3）当()V x 取得最大值时，求二面角D －AB －C 的余弦值．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且1,()n n a a n N *+>∈，若379,2,3a a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}n a 的前n 项和为n S ，1()(18)nn S f n n S +=+试问当n 为何值时，()f n 最大，并求出()f n 的最大值.(甲)HFDGEBCA(乙)20．（本小题满分14分）已知椭圆1C ：()2221024x y b b+=<<，抛物线2C ：()220x py p =>的焦点在椭圆的顶点上。

（1）求抛物线2C 的方程；（2）过()1,0M -的直线l 与抛物线2C 交与E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线2C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥时，求直线l 的方程。

21．(本小题满分14分)已知函数)1ln(2)(2++=x ax x f ,其中a 为实数. （1）若f x ()在1=x 处有极值，求a 的值； （2）若f x ()在]32[，上是增函数，求a 的取值范围。

2b=-a+mb=-a2ob a2.52.555a+b=5a+b=2.5a=2.5b=2.5b ao2011-2012学年度第二学期高三数学（理科）测试题一．选择题：1C 2C 3B 4A 5B 6B 7A 8D 解析：2. 由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-225||a bi a b ⇒+=+=故C. 3．函数2()4f x x x ξ=++没有零点，即二次方程240x x ξ++=无实根得4ξ>，()142P ξ∴>=，由正态曲线的对称性知4μ=，故选B .6．由函数()f x 是偶函数得220b a -=222(0)a b b ⇒+=≥设a b m +=，如图易得max ()2a b +=，故选B.或由222()2()4a b a b +≤+=得2a b +≤，当且仅当a b =时等号成立8．设截成的第一段为a ，第二段为b ，则第三段为5a b --，a 、b 满足005a b a b >⎧⎪>⎨⎪+<⎩，若截成的三段能构成三角形，则a 、b 需满足：50250252a b a b ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪+>⎪⎩如图易得所求的概率14P =.故选D. 二．填空题：9. 1 10．819411．2213y x -=；12．94π ； 13．①②,31S =；或①③,3S = 14．92； 15．垂直.解析：10．令,23912223292S =⨯+⨯+⨯++⨯,101092228194S =⨯-+=.12．94π，解：由定积分的几何意义知209x dx -⎰是由曲线29y x =-(1)(2)(1023)F F F S +++=23491021222328292S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯直线0,3x x ==围成的封闭图形的面积，故⎰＝23944ππ⋅=．13.方案一：选择①② , 由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin ab B A==,sin sin()sin cos cos sin A B C C A B A B A B π++=∴=+=+=11sin 2122S ab C ∴==⨯⨯=.方案二：选择①③, 由余弦定理2222cos b c bc A a +-=,有222334b b b +-=,则2b =,c =,∴111sin 2222S bc A ==⨯⨯=说明:若选择②③,由c =得，sin 12C B ==>不成立,这样的三角形不存在. 14．92AB ＝6 BC ＝3 ∠B=60° ∠ACB=90° AC=33 ∠DCA=∠B=60° AD=33×23=9215. 垂直； 化为直角坐标系下的方程，x+y=20102,y-x=20112,斜率乘积为-1，所以垂直。

三、解答题：（共６小题，共80分）16．（1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得sin θθ==, ∴55cos ,552sin ==θθ. …… 6分 （2）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(), 5θω-=∴ 4cos()5θω-==. …… 8分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分5=. …… 12分17．解：（1）依题意知，ξ服从二项分布(,)B n p ξ∴152E np ξ==--① --------------------------2分 又15(1)8D np p ξ=-=---② ---------------------------4分由①②联立解得：310,4n p ==-----------------------------------6分（2）依题意知ξ的可能取值为：0，1，…，10∵()(1)k k n kn P k C p p ξ-==-（0,1,,10k =）---------------------------7分∴(5)(0)(1)(2)(5)P P P P P ξξξξξ≤==+=+=++=＝0101955510101013131()()()()44444C C C +++-------------------------9分＝1023451()(1103453120321032523)4+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-----------10分＝101()(130********)4+++＝819221048576＝40961524288. ∴该运动员在本次训练中需要补射的概率为40961524288.------------------12分18．解：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED 为正方形如图（乙）∵F 、H 、G 分别为AC , AD,DE 的中点∴FH//CD, HG//AE -----------------------------------------1分 ∵CD//BE ∴FH//BE∵BE ⊂面ABE ，FH ⊄面ABE∴//FH 面ABE -------------------------------------3分 同理可得//HG 面ABE又∵FH HG H = ∴平面FHG//平面ABE ---------------4分 （2）∵平面ACD ⊥平面CBED 且AC ⊥CD∴AC ⊥平面CBED ----------------------------------5分∴()V x ＝A BCE V -＝13BCE S AC ∆⋅ ∵BC x = ∴2AC x =-（02x <<）∴()V x ＝22111(2)(2)326x x x x ⨯-=-＝1(42)12x x x ⋅⋅-------------7分解法1：∵34264(42)()327x x x x x x ++-⋅⋅-≤=∴()V x 16416122781≤⨯=, 当且仅当42x x =-即43x =时取“＝”∴()V x 的最大值为1681----------------------------9分解法2：∵21'()(43)6V x x x =-，令'()0V x =得0x =（不合舍去）或43x = 当43x >时'()0V x <，当403x <<时'()0V x >∴当43x =时()V x 有最大值，max 4()()3V x V ==1681（3）解法1：以点C 为坐标原点，CB 为x 轴建立空间直角坐标系如右图示：由（2）知当()V x 取得最大值时43x =，即BC=43这时AC=23,∴B 4(,0,0)3,4(0,,0)3D ,2(0,0,)3A -----10分∴平面ACB 的法向量4(0,,0)3CD =设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =∵42(,0,)33AB =-,44(,,0)33BD =--------------11分 由m AB ⊥,m BD ⊥得44033a b -+=，42033a c -=令1c =得11(,,1)22m =----------------------------------------12分设二面角D －AB －C 为θ，则263cos ||||4111344m CD m CD θ⋅===⋅⋅++-------14分解法2：由（2）知当()V x 取得最大值时43x =，即BC=43这时AC=23，从而2225AB AC BC =+=过点C 作CM ⊥AB 于M ，连结MD ∵,CD AC CD BC ⊥⊥ACBC C = ∴CD ⊥面ABC∵CM ⊂面ABC∴CM CD ⊥ ∴AB ⊥面MCD ∵MD ⊂面MCD ∴AB MD ⊥ ∴CMD ∠是二面角D －AB －C 的平面角由AB CM AC BC ⋅=⋅得AC BC CM AB ⋅=2445331525⨯= ∴224635MD MC CD =+=z yF HDGEBCAoM ACBEG HF ACBEG DF Ho在Rt △MCD 中cos MC CMD MD ∠==456154635=解法3：设二面角D －AB －C 为θ, ∵,CD AC CD BC ⊥⊥且ACBC C = ∴CD ⊥面ABC∴△ABC 为△ABD 在面ABC 上的投影 ∵ACB ∆≌ACD ∆ ∴AB AD =,又∵O 为BD 的中点 ∴AO BD ⊥ ∵22AO AC CO =+∴12ABD S BD AO ∆=⋅＝142234623⨯= ∵12ABC S AC BC ∆=⋅=49, ∴cos ABCDAB S S θ∆∆=469646=.19．解：379221112,16,182(36)3(12)(18)3210.,01,5n n n a d a d a d d d d d d a a d d a n+=+=+=++=++∴--=>∴>∴==（）分分又因为分1182111()36(18)(18)(2)122032203616()1232n n n n n n a n S S n f n n S n n n nn n f n n ++==∴===≤=++++++==（）（2），分１0分当且仅当，即时取得最大值分20．解：（1）已知椭圆的长半轴为2，半焦距为24c b =-，由离心率等于243c b e a -=== …………2分21b ∴=，∴椭圆的上顶点()0,1，∴抛物线的焦点为()0,1，∴抛物线的方程为24x y = …………6分（2）由已知，直线l 的方程为()1y k x =+，()11,E x y ，()22,F x y ，214y x =，12y x '∴=，∴切线1l 、2l 的斜率分别为12x 、22x…………8分当1l 2l ⊥时，12122x x⋅=-即 124x x =- …………9分由()214y k x x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩得：2440x kx k --=，()()24440k k ∆=-⨯->解得1k <-或0k >①1244x x k ∴=-=-即 1k = …………12分 此时1k =满足①，∴直线l 的方程为10x y -+= …………14分21．解：（1）由已知得f x ()的定义域为)1(∞+-， 又122)( '++=x ax x f ……3分∴由题意得012)1('=+=a f21-=∴a……5分（2）解法一：依题意得f x '()>0对]32[，∈x 恒成立，012>++2∴x ax ……7分 41)21(1112222++-=-->+->∴x xx a x ax ， ……9分 41)21(]32[2++-∴∈x x ，， 的最小值为1241)213(2-=++-41)21(12++-∴x 的最大值为121- ……12分又因121-=a 时符合题意121-≥∴a 为所求 ……14分解法二：依题意得f x '()>0对]32[，∈x 恒成立，0122>++∴x ax 即0112>+++x ax ax01012>++∴>+ax ax x ， 对]32[，∈x 恒成立……7分令1)(2++=ax ax x g （1）当a =0时，01>恒成立……9分（2）当a <0时，抛物线g x ()开口向下，可得0)3()(min >=g x g即12100139->>∴≥++a a a ，……11分（3）当a >0时，抛物线g x ()开口向上，可得0)2()(min >=g x g.. 即61124->∴>++aaa，，即a>0……13分又因121-=a时符合题意综上可得121-≥a为所求……14分。