特殊平行四边形截长补短法的运用

初中几何截长补短辅助线的技巧几何学是初中阶段的一门重要学科，其中截长补短辅助线是学习几何的重要技巧之一。

通过截长补短辅助线，可以有效地解决一些几何问题，并且提高解题的效率。

本文将从几何学的基本概念开始，介绍截长补短辅助线的定义和作用，然后详细阐述截长补短辅助线的技巧和应用。

通过本文的学习，相信读者能够更加深入地理解几何学中的相关知识，提高解题能力。

一、几何学的基本概念几何学是研究空间形状、大小、相对位置和变化规律的数学学科。

在几何学中，我们需要关注的主要概念包括点、线、面、角等基本几何要素，以及直线、射线、线段、圆等几何图形。

在解题过程中，我们需要灵活地运用这些基本概念和几何定理，来解决各种几何问题。

二、截长补短辅助线的定义和作用在解决一些几何问题时，我们常常需要用到截长补短辅助线的技巧。

所谓截长补短，是指在原有的图形中，通过引入一条辅助线来改变图形的形状，从而使得问题的解决变得更加简单和直观。

截长补短辅助线的作用是通过改变图形的形状，使得原有的问题变得更容易解决。

三、截长补短辅助线的技巧截长补短辅助线的技巧主要包括以下几个方面：1.确定需要引入辅助线的位置：在解题过程中，我们需要根据问题的需要来确定引入辅助线的位置。

通常情况下，我们可以根据已知条件和问题的要求，来确定辅助线的位置。

需要注意的是，引入的辅助线应该是合理的，能够有效地改变原有图形的形状，使得问题的解决变得更加简单。

2.利用辅助线改变图形的形状：一旦确定了引入辅助线的位置，接下来就需要灵活地运用几何知识和技巧来改变图形的形状。

在改变图形形状的过程中，我们需要根据需要合理地调整辅助线的位置和长度，使得原有的问题变得更容易解决。

四、截长补短辅助线的应用截长补短辅助线的技巧在解决各种几何问题中有着广泛的应用。

在几何学中，我们常常需要通过引入辅助线来解决一些角度、长度、面积等问题。

通过灵活地运用截长补短辅助线的技巧，我们可以更加简便地解决这些问题，并且提高解题的效率。

几何证明的好方法——截长补短几何证明是数学中一种非常重要的方法，常用于证明几何定理和推导几何性质。

在证明过程中，使用截长补短的方法可以帮助我们更加简化和明确证明的步骤。

截长补短是一种证明方法，即通过添加或截取一些辅助线或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且使得证明更加直观和明了。

下面以几何证明中常见的一些问题为例，介绍截长补短的应用方法。

一、证明两线段相等当我们需要证明两条线段相等时，可以考虑添加一条辅助线段，从而将问题转化为两个三角形的相等性质。

具体步骤如下：1.观察题目中给出的线段，设需要证明的线段为AB和CD。

2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的线段相关的线段，设为EF。

3.添加辅助线段，连接AE和CF，构建出两个三角形，如△AEB和△CFD。

4.利用已知的几何定理或条件，证明两个三角形的相等性质，如SSS （边-边-边）相等性质或SAS（边-角-边）相等性质。

5.根据三角形的相等性质，得出AB=CD的结论。

通过添加辅助线段，将原来需要证明的问题转化为证明两个三角形的相等性质，更加直观和易于操作。

二、证明两角相等当我们需要证明两个角相等时，可以考虑添加一条辅助线段或辅助点，从而改变原有角的性质，并且使得证明更加明确和简洁。

具体步骤如下：1.观察题目中给出的角度，设需要证明的两个角为∠ABC和∠DEF。

2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的两个角相关的角，设为∠GHI。

3.添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质。

如我们可以添加辅助线段IJ，使得∠GHI=∠ABC。

4.利用已知的几何定理或条件，证明新构建的几何形状的一些性质。

如垂直角、平行线、共线等。

5.根据已知的性质和构建的几何形状，得出∠ABC=∠DEF的结论。

通过添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质，并利用已知的几何定理和条件，可以更加明确和简洁地证明两个角的相等性质。

三、证明两图形全等当我们需要证明两个图形相等时，可以考虑添加一些辅助线段或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且将问题转化为相似三角形或平行四边形的性质。

初中几何截长补短法的题型解析【知识汇总】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．1、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

2、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型一】截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。

方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM 为平行四边形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。

初中几何截长补短辅助线的技巧几何截长补短辅助线是初中几何学习中的一个重要内容，它在解决各种几何问题中发挥着重要作用。

通过合理的引入辅助线，能够简化问题，加快解题速度，提高解题效率。

本文将从几何截长补短的基本原理、技巧和应用实例等几个方面来探讨这一问题。

一、几何截长补短的基本原理在解决几何问题中，有时候我们会遇到一些棘手的问题，例如如何确定某条线段的中点，如何证明两个线段相等，如何证明一个角是直角等等。

这时，引入辅助线就能够起到很好的辅助作用。

通过巧妙地引入辅助线，我们可以改变问题的结构，使得原来复杂的问题变得简单易解。

具体来说，几何截长补短的基本原理可以总结为以下几点：1.切分线段：通过引入一条辅助线，将原来的线段分割，使得问题简化。

2.补充关系：通过引入辅助线，构造出一些平行线、相似三角形等特殊的几何形状，从而得到一些新的等量关系。

3.利用对称性：通过引入辅助线，利用对称性质，进而得到所求的结论。

二、几何截长补短的技巧在实际解题中，我们要学会灵活运用截长补短的技巧，下面是一些常用的技巧：1.求线段的中点：如果要求一条线段的中点，可以通过连接线段的两个端点，然后取连接线的中垂线，这样就能够找到线段的中点。

2.证明三角形全等：如果要证明两个三角形全等，可以通过截长补短的方法，构造出两个共有的辅助线段，利用辅助线段推出其他线段的等长，从而证明三角形全等。

3.证明角的相等：要证明两个角相等，可以通过引入辅助线，构造出一些相似三角形，从而得到两个角相等的结论。

4.求证平行四边形：如果要证明一个四边形是平行四边形，可以通过截长补短的方法，构造出一些平行线或者等腰三角形等特殊形状，从而得到平行四边形的结论。

5.求证直角三角形：如果要证明一个三角形是直角三角形，可以通过引入辅助线，构造出一些直角三角形或者等腰三角形等特殊形状，从而得到直角三角形的结论。

三、“截长补短”技巧的应用实例下面我们通过一些实际例子来说明截长补短的技巧在几何问题中的应用。

截长补短法解题模型与技巧一、引言在学习中，我们常常会遇到一些难题，有些问题我们可能已经掌握了其中的大部分知识点，但是还是无法得出正确答案。

这时候我们需要用到截长补短法解题模型与技巧。

二、截长补短法解题模型1.明确问题首先，我们需要明确问题的范围和要求。

这包括了解问题的背景、条件和限制等因素。

只有深入了解问题本身，才能更好地进行分析和解决。

2.分析问题在明确问题后，我们需要对其进行分析。

这包括对问题的结构、性质、特点等方面进行深入研究，并找出其中存在的难点和瓶颈。

3.抽象问题在分析过程中，我们需要将具体情况抽象成为一般性规律或模型。

这样可以更好地理解和归纳问题，并找到解决方案。

4.求解问题在完成前三步之后，我们就可以开始寻找最终的答案。

这个过程中需要利用前面所学习的知识和方法，并灵活运用各种技巧来达到最优化的效果。

5.检验结果最后，在得出答案之后，我们还需要对其进行检验，以确保其正确性和可靠性。

这个过程中需要注意数据的准确性和有效性，并进行反复验证，直到结果无误。

三、截长补短法解题技巧1.利用画图工具在分析问题时，我们可以使用画图工具来帮助我们更好地理解问题的结构和特点。

通过画图，我们可以将抽象的概念变得更加具体化，从而更好地理解问题。

2.利用归纳法在抽象问题时，我们可以利用归纳法来总结出一般性规律或模型。

这样可以大大简化问题的处理过程，并提高解题效率。

3.利用逆向思维在求解问题时，我们可以采用逆向思维的方法。

即从已知结果出发，倒推回去找到解决方案。

这种方法常常会带来意想不到的效果。

4.利用类比法在求解问题时，我们还可以采用类比法。

即将一个已知领域中的经验或方法应用到另一个领域中去。

通过类比法，我们可以快速找到与原问题相似的情况，并借鉴其经验和方法来解决当前难题。

5.利用分步骤法在求解复杂问题时，我们可以采用分步骤法。

即将一个复杂问题分解成多个简单问题，逐一解决，最终达到整体解决的效果。

这种方法可以大大降低问题的难度和复杂度。

数学的截长补短法在数学的广阔领域中，解题策略多种多样，其中“截长补短法”以其灵活性和实用性在数学解题中占据了一席之地。

本文将详细阐述这一方法的基本原理、应用场景以及解题步骤，旨在帮助读者更深入地理解并掌握这一数学工具。

一、截长补短法的基本原理截长补短法，顾名思义，包含两个基本动作：“截”和“补”。

“截”指的是在复杂的数学问题中，通过截取一部分来简化问题，使之变得更容易处理；“补”则是在截取后，为了保持问题的完整性，对剩余部分进行适当的补充。

这两个动作相互配合，共同构成了截长补短法的基本框架。

在具体应用中，“截”和“补”的操作并非随意进行，而是需要遵循一定的原则。

首先，“截”的部分应该是问题中相对独立且易于处理的部分，这样才能确保截取后的问题能够得到有效的简化。

其次，“补”的部分应该与截取部分相互关联，且补充后的问题应该与原问题在本质上保持一致，这样才能确保解题的正确性。

二、截长补短法的应用场景截长补短法作为一种解题策略，可以广泛应用于数学的各个领域。

以下是一些典型的应用场景：1. 几何问题：在几何问题中，截长补短法常常用于处理复杂的图形。

例如，在面对一个复杂的几何图形时，我们可以通过截取其中的一部分来简化问题，然后再通过补充适当的辅助线或图形来恢复问题的完整性。

2. 代数问题：在代数问题中，截长补短法可以用于简化复杂的代数式。

例如，在面对一个包含多个项的代数式时，我们可以通过截取其中的一部分项来简化问题，然后再通过补充适当的项来保持等式的平衡。

3. 概率问题：在概率问题中，截长补短法可以用于处理复杂的概率事件。

例如，在面对一个包含多个独立事件的复杂概率问题时，我们可以通过截取其中的一部分事件来简化问题，然后再通过补充适当的事件来保持问题的完整性。

三、截长补短法的解题步骤虽然截长补短法在具体应用时需要根据问题的具体情况进行灵活调整，但其基本步骤可以归纳为以下几点：1. 分析问题：首先，我们需要对问题进行深入的分析，明确问题的主要难点和关键点。

FA B C12几何模型01——截长补短法在平面几何当中，证明一条线段与线段的和、差、倍数（特别是2倍）相等，其他常规方法不好用的时候，“截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗！ 例1.已知：如图，在△ABC 中，△1=△2，△B =2△C ．求证：AC =AB +BD ． 分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AB 至E 使BE =BD ，或在AC 上截取AF =AB .证明：补短法：证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ．∵∵ABD 是∵BDE 的一个外角 ∵∵ABD =∵E ＋∵BDE ∵BE =BD∵∵E =∵BDE ∵∵ABD =2∵E ∵∵ABD =2∵C ∵∵E =∵C在∵ADE 和∵ADC 中12E C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ADE ∵∵ADC （AAS ）∵AE =AC ∵AC =AB ＋BE=AB ＋BD 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在∵ABD 和∵AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABD ∵∵AFD （SAS ）∵∵B =∵AFD ，BD =FD ∵∵B =2∵C ∵∵AFD =2∵C∵∵AFD 是∵DFC 的一个外角∵∵AFD =∵C +∵FDC∵∵FDC =∵C ∵DF =FC ∵BD =FC ∵AC =AF +FC =AB +BD练习1.如图，在∵ABC 中，∵BAC =60°，∵ABC =80°，AD 是∵BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．引例：如图，四边形ABCD 中，∵A+∵C=180°E21D CB A 21DCB A AB C D（1）∵B 与∵D 有什么关系？ （2）延长AD 至E ，∵B 与∵CDE 有什么关系？例2.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. 分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ， ∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS), ∴∠PAE =∠PCD又∵∠BAP +∠PAE =180°. ∴∠BAP +∠BCP =180° 练习2.已知：如图，∵1=∵2，P 为BN 上一点，且PD ∵BC 于点D ，∵A +∵C =180°．求证：BD =AB +CD ．21N PD CBA练习3.已知：如图，在四边形ABCD 中，BC >AB ，AD =DC ，∵C =60°，BD 平分∵ABC ．求证：BC =AB +AD ．练习4.如图，AC 平分∵BAD ，CE ∵AB 于E ，∵B +∵D =180°．求证：AE =AD +BE ．练习5.如图，四边形ABCD 中，∵B+∵D=180°，CB=CD ，点E 为AB 上一点，点F 为AD 上一点，∵BCD=2∵ECF ，求证：EF=BE+DFDC BACDB A E87654321FO CDBE A 练习6.如图，四边形ABCD 中，∵B+∵D=180°，CB=CD ，点E 为AB 上一点，点F 为AD 上一点，∵BCD=2∵ECF ，求证：EF=BE -DF例3.已知：如图，在△AB C 中，△ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，连接OF ．∵AD ，CE 为∵ABC 的角平分线 ∵∵1=∵2，∵3=∵4 在∵AEO 和∵AFO 中12AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AEO ∵∵AFO （SAS ）∵∵5=∵6∵∵ABC =60° ∵∵1+∵2+∵3+∵4=180∵B=18060=120∵∵2+∵3=60∵∵AOC =180°60 =120° ∵∵5=∵6=∵7=∵8=60° 在∵OFC 和∵ODC 中8734OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∵∵OFC ∵∵ODC （ASA ）∵CF =CD ∵AC =AF +FC =AE +CD练习7.如图所示，在∆ ABC 是边长为1的正三角形，∆BDC 是顶角为120︒的等腰三角形， ∠ MDN=60°，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求的∆AMN 的周长。

截长补短法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。

定义：截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1.延长短边。

2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

用法例题：例1：正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°。

求证：EF=DE+BF。

证明：延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

∵ABCD是正方形∴∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF在Rt△ADG与Rt△ABF中：DG=BF∠ADG=∠ABFAD=AB∴Rt△ADG≌Rt△ABF（SAS）∴∠GAD=∠FAB，AG=AF∵ABCD是正方形∴∠DAB=90°=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE例1 图例2 图例2：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。

解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。

∵∠5和∠6是对顶角∴∠5=∠6∵E是CD的中点∴DE=EC∵AD∥BC∴∠1=∠F∴△AED≌△CEF（AAS)∴AD=CF，AE=EF∴AB=AD+BC=CF+BC=BF∴△ABF是等腰三角形且AF为底边又∵AE=EF且点E在线段AF上∴BE⊥AF∴∠AEB=90°例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。

求证：AB+BD=AC。

证明：在AC上截取AE=AB，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2又∵AD=AD，AB=AE∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=DE，∠B=∠3又∵∠B=2∠C∴∠3=2∠C又∵∠3=∠4+∠C∴2∠C=∠4+∠C即∠C=∠4∴DE=CE∴BD=CE∵AE+EC=AC∴AB+BD=AC例3 图例4 图例4：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。

平行四边形全等之截长补短
摘要
本文将探讨平行四边形全等的性质以及截长补短的方法。

我们
将重点介绍截长补短的定义、应用和推理过程，以便读者更好地理
解和运用截长补短原理。

1. 平行四边形全等的定义
平行四边形全等是指有相同面积并且对应边平行的两个平行四
边形。

当两个平行四边形的对应边相等、对应角相等时，它们是全
等的。

2. 截长补短的定义
截长补短是一种计算两个平行四边形是否全等的方法。

具体说来，当两个平行四边形的任意一边被截取或补充一段等长的线段后，若截长和补短的线段长度相等，则两个平行四边形全等。

3. 截长补短的推理过程
截长补短的推理过程如下：
步骤1：设两个平行四边形为ABCD和EFGH，其中AB与EF 对应，BC与FG对应。

步骤2：在AB上截取一段线段AH，使其与FG等长。

步骤3：在EF上截取一段线段ED，使其与BC等长。

步骤4：若AH与ED的长度相等，则可以推断ABCD全等于EFGH。

4. 截长补短的应用
截长补短方法常用于解决平行四边形全等相关的几何问题。

通过截取或补充线段，我们可以借助截长补短原理来推导和证明平行四边形的全等性质。

这种方法可以简化几何推理过程，有助于解决复杂的几何问题。

结论
平行四边形全等是指有相同面积并且对应边平行的两个平行四边形。

截长补短是一种计算两个平行四边形是否全等的方法，通过截取或补充线段来推导和证明两个平行四边形的全等性质。

截长补短方法能简化几何推理过程，应用广泛于解决平行四边形全等相关问题。

初中数学常见模型之截长补短模型初中数学是一个承前启后的阶段，它既是对小学数学知识的扩展，又是高中数学的基础。

在这个阶段，学生们需要掌握许多数学模型，其中包括截长补短模型。

本文将介绍截长补短模型的基本概念、应用场景以及相关思想方法。

截长补短模型是一种常见的几何解题方法，适用于证明线段相等、构建辅助线等问题。

它的基本思想是通过将一条线段分成若干段，或者将不同线段进行拼接，实现证明或求解的目的。

在实际应用中，截长补短模型可以应用于以下几种场景：1、证明两条线段相等。

通过将其中一条线段分成若干段，然后将这些段与另一条线段进行比较，判断它们是否相等。

2、构建辅助线。

在解题过程中，如果发现需要添加一条辅助线才能解决问题，可以通过截长补短的方法将已有线段进行拼接，得到新的线段。

3、解决角度问题。

通过将一个角分成若干个更小的角，然后利用这些小角之间的关系，求解角度问题。

下面我们通过一个具体例子来说明如何使用截长补短模型。

例如，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点。

求证：AD垂直平分BC。

证明：在AB上取一点E，使得AE=AC。

连接ED并延长至F，使得ED=DF。

连接AF、CF。

因为AE=AC，所以三角形AEC是等腰三角形。

又因为ED=DF，所以AF=AC。

在三角形ABC中，AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

因为D是BC的中点，所以AD垂直平分BC（三线合一）。

通过这个例子，我们可以看到截长补短模型的应用。

通过将线段AB 分成AE和EB两段，并将AC与AE拼接成AF，实现了证明AD垂直平分BC的目的。

总之，截长补短模型是初中数学中一种重要的几何解题方法，它能够将复杂的几何问题转化为简单的线段比较和拼接问题。

通过掌握截长补短模型，我们可以更好地理解几何学中的基本概念和思想方法，提高解决几何问题的能力。

截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。

往常来证明几条线段的数目关系。

截长补短法有多种方法。

截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边同样的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法（1）延伸短边。

（2）经过旋转等方式使两短边拼合到一同。

例1：在正方形 ABCD中， DE=DF， DG CE，交 CA于 G， GH AF，交 AD于 P，交 CE延伸线于 H，请问三条粗线 DG， GH，CH的数目关系。

C FDEHPGB A 方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）（1）正方形ABCD中，点 E 在 CD上，点 F 在 BC上，EAF=45o。

求证： EF=DE+BF。

A BFD CE（1）变形 a正方形 ABCD中，点 E 在 CD延伸线上，点F 在 BC延伸线上，EAF=45o。

请问此刻 EF、 DE、BF 又有什么数目关系？A BE D CF（1）变形 b正方形 ABCD中，点 E 在 DC延伸线上，点F 在 CB延伸线上，EAF=45o。

请问此刻 EF、 DE、BF 又有什么数目关系？FA BD C E（1）变形 c正三角形 ABC中， E在 AB上， F 在AC上EDF=45o。

DB=DC，BDC=120o。

请问此刻EF、 BE、 CF又有什么数目关系？AFEBj CD（1）变形 d正方形ABCD中，点E 在CD上，点F 在 BC上，EAD=15o，FAB=30o ,AD= 3求AEF的面积.A BFD CE(1)变形 e如图，在正方形ABCD中， M是 AB的中点， DM⊥MN， BN均分∠ CBE。

求证： DM=MN.(1) 变形 f如图，在正方形ABCD中， E是 BC的中点，AE⊥EF，一种正确的解题思路：取AB的中点 M，连结 ME，则CF 均分∠ DCG,经过思虑，小明展现了AM=EC，易证△≌△AME ECF ，所以 AE EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，假如把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C 外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；（2）小华提出：如图 3，点E是BC的延伸线上（除C点外）的随意一点，其余条件不变，结论“ AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．A D A DF A DF FB ECG B ECG BC E G图 1 图 2 图 3（2）正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于 O，点 E 在 BD上， AE均分DAC。

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略。

截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题模型一：三角形中的截长补短【例1】（1）如图1，ABC ∆是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，120=∠BOC ，探索线段DC DB DA ,,之间的数量关系 解题思路：延长DC 到点E ，使BD CE =，根据 180=∠+∠BDC BAC ，可证ACE ABD ∠=∠，易证ACE ABD ∆≅∆，得出ADE ∆是等边三角形，所以DE AD =，从而解决问题根据上述解题思路，三条线段DC DB DA ,,之间的数量关系是 （直接写出结果）解答：得证DC DB DA +=（2）如图2，ABC Rt ∆中，AC AB BAC ==∠,90，点D 是边BC 下方一点， 90=∠BDC ，探索三条线段DC DB DA ,,之间的数量关系，并证明你的结论解答：得证DC DB DA +=2【例2】如图，在ABC ∆中，BC AD BD CD AB ⊥-=,，求证：C B ∠=∠2解答：①方法一：截长法【在CD 上取一点E 使BE DB =连接AE 】②方法二：补短法【延长DB 在DB 上取一点E 使AB BE =连接AE （×需证三点共线）】 可证【例3】如图，在ABC ∆中，108,=∠=A AC AB ，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，求证： CD AC BC +=解答：①方法一：截长法②方法二：补短法可证模型二：平行四边形中的截长补短【例1】如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，过点A 作DC AF ⊥，交DC 的延长线于点F ，分别交BC BE ,于点H G ,，且AF AB =，求证：FC AG ED =-解答：补短法【延长CF 在其上取一点M 使得FM AG =连接AM （×需证三点共线）+转化思想→=∠AMF DAM ∠】可证【例2】如图，过平行四边形ABCD 的顶点A 的直线l （形外），分别过D C B ,,作直线l 的垂线G F E ,,为垂足，求证：DG BE CF +=解答：①方法一：截长补短②方法二：三角形中位线+梯形中位线可证模型三：正方形中的截长补短【例1】如图，四边形ABCD 是正方形，F E ,分别在CD CB ,的延长线上，135=∠EAF ，证明：EF DF BE =+解答：补短法【延长DC 在其上有一点G 使得EB DG =连接AG （×需证三点共线）】可证【例2】如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：CD EC AE +=解答：①方法一：双垂模型+截长补短法EF,交于点H（√）】②方法二：8字模型+截长补短法【延长AD可证注意：辅助线作法用词见例子中“√”和“×”。