安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期线上教学第二次检测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，向量AB a =，AC b =，CD c =，则向量BD 可以表示为（）A ．a b c +-B ．a b c -+C ．b a c -+D ．b a c --2．函数()πf x tan 4x 4⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C ．π2 D ．π43．与直线2:10l mx m y --=垂直于点(2,1)P 的直线的一般方程是 （ ）A ．30x y +-=B ．30x y ++=C ．30x y --=D ．210m x my +-=4．角a 的终边经过点(),4P b -且3cos 5a =-，则b 的值为() A ．-3B ．3C ．±3D ．5 5．如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1231,31,,31n x x x ---的平均数和方差分别为( ) A ．2,x s B ．231,x s - C ．231,3x s - D ．231,9x s -6．在△ABC 中角ABC 的对边分别为A ．B ．c ，cosC ＝19，且acosB+bcosA ＝2，则△ABC 面积的最大值为（）A ．5B ．859C ．43D ．5 7．如图是函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>一个周期的图象，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++(6)f +的值等于AB．2 C．2D．8．已知向量(1,1)a =，6=b ，且a 与b 的夹角为56π，则a b +=（ ） AB ．2 CD ．14 9．已知()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈N ，则()f x 的值域为（ ） A ．{}1,1-B ．{}1,1,2--C ．{}1,1,2,2--D ．{}1,2-10．己知(2,0)A -，(2,0)B ，若x 轴上方的点P 满足对任意R λ∈，恒有2AP AB λ-≥成立，则P 点纵坐标的最小值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．211．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ）A ．22πB ．2πC ．22π D ．23π12．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．15二、填空题：本题共4小题13．在平行四边形ABCD 中，A ∠=3π，边AB ，AD 的长分别为2，1.若M ， N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足BM BC DCN C =，则AM AN ⋅的取值范围是______． 14．设数列{}n a （n ∈*N ）是等差数列，若2a 和2018a 是方程24830x x -+=的两根，则数列{}n a 的前2019项的和2019S =________15．若实数,x y 满足不等式组2,24,0.x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23z x y =+的最小值是_____. 16．适合条件|sin sin αα=-|的角α的取值范围是______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π62．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF=∠BCE=90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB=DE=2BC=2AF （如图1），将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE （如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）①AC ∥平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；④平面BCE 与平面BEF 可能垂直A ．0B ．1C ．2D ．3 3．在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2 C 2 D 34．已知不等式20x ax b ++<的解集是{}12x x -<<，则a b +=( )A ．3-B ．1C ．1-D ．3 5．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U AC B =（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}23x x -<<C ．{}23x x -≤<D ．{}21x x x ≤->-或 6．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．40B ．36C ．30D ．207．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线2y x =-O :2222n x y a +=+交于()*,n n P Q n N ∈两点，且214n n n S PQ =.记n n b na =，其前n 项和为n T ，若存在*n N ∈，使得22n n T a λ<+有解，则实数λ取值范围是（ ）A ．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()0,∞+9．已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π 10．若直线y ＝﹣x+1的倾斜角为α，则()cos α=A ．1-B ．1C ．2D ．2- 11．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ）①若,m ααβ⊥⊥，则m β；②若,,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥；③若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④12．同时掷两枚骰子，则向上的点数相等的概率为（ ）A ．136B ．112C ．19D ．16二、填空题：本题共4小题13．甲船在岛B 的正南A 处，6AB km = ，甲船以每小时4km 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 出发以每小时3km 的速度向北偏东60︒的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____km .14．函数()43x f x a a =-+的反函数的图象经过点()1,2-，那么实数a 的值等于____________.15．某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为号，并按编号顺序平均分成10组（号，号，…，号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______．16．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

安徽省六安一中2019-2020学年高一下学期期中考试（理）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ）． A ．0a b +< B ．22a b < C ．2ab b < D ．2ab a < 2．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4a =，5b =，45A ︒=，则满足条件的三角形有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定 3．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若m//n ，则C ∠=（ ）． A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π4．已知向量(1,2)AB =-，(4,1)BC =-，则向量AC 在向量BA 方向上的投影为（ ）．A ．5 B ．5- C ．5 D ．5- 5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且38568a a a a +=，则2122210log log log a a a +++=…（ ）．A ．22log 5+B ．6C ．8D ．10 6．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos 2B a cc+=，则ABC 是（ ）．A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知ABC 的重心为O ，且4AB =，6BC =，8AC =，则BO AC ⋅=（ ）．A ．203-B ．203C ．283D ．16 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若190S >，200S <，则11S a ，22S a ，…，2020Sa 中最大的是（ ）． A ．88S a B ．99S a C ．1010S a D ．1111Sa 9．若关于x 的不等式22840x x a --+≤在13x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．12a ≤B ．12a ≥C ．10a ≤D ．10a ≥10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，35S =，78920a a a ++=，则15S =（ ）A ．315B ．155C ．120D ．80 11．已知Rt AOB 的面积为4，O 为直角顶点，设向量||OA a OA =，||OBb OB =，2OP a b =+，则AP BP ⋅的最大值为（ ）．A ．4B ．3C ．4-D ．3-12．已知数列{}n a 的通项公式为2(1)n n a n =-，设1n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前200项和为（ ）．A ．200-B ．0C ．200D ．10000 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将『答案』填写在答题卷相应位置上．13．若向量a ，b 满足3||2a =，||1b =，()a a b ⊥-，则|2|a b +=________． 14．若关于x 的方程22310x ax a -+-=有两个实数根1x ，2x ，且1201x x <<<，则实数a 的取值范围为________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，95S a =-，则使得n n S a ≥成立的最大正整数n 的值为________．16．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b =22sin c a C =，则a 的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 17．（本小题满分10分）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求角B 的大小；（2）若a ，b ，c 依次成等比数列，求11tan tan A C+的值．18．（本小题满分12分）设函数2()(1)1f x mx m x =-++．（1）若对任意的x R ∈，均有()0f x m +≥成立，求实数m 的取值范围； （2）若0m >，解关于x 的不等式()0f x <．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12a =，11232n n n a a ++=+⋅．（1）设2nn n a b =，证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．20．（本小题满分12分）ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a =，2222cos cos b c a ac C c A +-=+．（1）求sin sin b cB C++的值；（2）若bc b c =+，求ABC 的面积．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231112322n S S S S n n n ++++=+…． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，121a a ==，且当2a ≥，*n N ∈时满足1(1)n n na n a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设112nn n b a λ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意的*n N ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．——★ 参 考 答 案 ★——第Ⅰ卷（选择题 每题5分 共12分）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13 14．(1,3) 15．10 16．3 三、解答题17．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又ABC 中，sin 0A ≠，故sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简得tan B =B 的大小为3π． 5分 （2）由a ，b ，c 依次成等比数列得2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，故11cos cos sin()sin 1tan tan sin sin sin sin sin sin sin 3A C A CB AC A C A C A C B ++=+==== 10分 18．解：（1）由题意得，()0f x m +≥对任意的x R ∈成立， 即2(1)10mx m x m -+++≥对任意的x R ∈成立， ①当0m =时，显然不符合题意； ②当0m ≠时，只需00m >⎧⎨∆≤⎩，解得13m ≥综上：13m ≥． 6分 （2）由()0f x <得2(1)10mx m x -++<，即(1)(1)0x mx --<， ①当1m =时，解集为∅，②当1m >时，解集为1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭， ③当01m <<时，解集为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭． 12分 19．解：（1）将11232n n n a a ++=+⋅两边同时除以12n +得，11322n nn na a ++-=，即13n n b b +-=， 又12a =，故数列{}n b 是以1为首项，3为公差的等差数列．得32n b n =-，即(32)2nn a n =-⋅． 6分 （2）121242(32)2nn S n =⨯+⨯++-…，① 则23121242(32)2n n S n +=⨯+⨯++-…，②①②相减得()123411232222(32)2n n n S n +-=⨯+++++--…，化简得110(35)2n n S n +=+-⋅． 12分20．解：（1）由2222cos cos b c a ac C c A +-=+得2222cos cos 22b c a ac C c Abc bc+-+=，又由正余弦定理得sin cos sin cos sin()1cos 2sin 2sin 2A C C A A C AB B ++===，故3A π=，从而sin sin sin b c aB C A+==+． 6分（2）由余弦定理得22118cos 22b c A bc+-==，即2()318b c bc +-=，又bc b c =+，故2()318bc bc -=，解得6bc =，故ABC 的面积为1sin 22ABCS bc A ==． 12分 21．解：（1）∵2231112322n S S S S n n n ++++=+…，① ∴2231111(1)(1)23122n S S S S n n n -++++=-+--…，2n ≥，②① ②两式相减得n Sn n=，2n ≥，② 故2n S n =，2n ≥，又11S =，从而2n S n =，*n N ∈易得11,11,121,221,2n n n S n n a n S S n n n -==⎧⎧===-⎨⎨-≥-≥⎩⎩． 6分（2）由（1）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，故123111111123352121n n T b b b b n n ⎛⎫=++++=-+-++- ⎪-+⎝⎭ (11122121)nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 由715n T >得7n >， 又当*n N ∈时，n T 单调递增，故所求最小正整数n 为8． 12分 22．解：（1）易知0n a ≠，故11n n a n a n ++=，2n ≥，从而11n n a na n -=-，3n ≥， 故23112134112312n n n a a a n na a a a a n -=⋅⋅=⋅⋅⋅=-…………，3n ≥， 又121a a ==，故1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩． 6分（2）由（1）知，112221nn n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，若对任意的*n N ∈，数列{}n b 是单调递减数列，则1422021n n n b b n n λ+⎛⎫-=--< ⎪++⎝⎭对任意的*n N ∈恒成立，即max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，又4222221(1)(2)3n n n n n n n-==++++++， 由对勾函数的性质可知，当1n =或2n =时，4221n n -++取得最大值13， 故实数λ的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12分。

2019-2020学年安徽省六安市第一中学高一（茅以升班）上学期第二次阶段检测数学试题一、单选题1．下列叙述正确的是( )A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．钝角是第二象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．不相等的角终边一定不同【答案】B【解析】利用象限角、钝角、终边相同的角的概念逐一判断即可. 【详解】∵直角不属于任何一个象限，故A 不正确； 钝角属于π2，，π⎛⎫⎪⎝⎭是第二象限角,故B 正确； 由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故 C 不正确； 由于20°与360°+20°不相等，但终边相同，故D 不正确. 故选B 【点睛】本题考查象限角、象限界角、终边相同的角的概念，综合应用举反例、排除等手段，选出正确的答案．2．若函数()y f x =是函数xy a =（0a >，且1a ≠）的反函数，其图象经过点23⎫⎪⎭，则a =（ ）A ．2BC ．D 【答案】B【解析】根据函数与反函数的性质可知xy a =的图象经过23⎛ ⎝，代入解析式即可求得a 的值. 【详解】由反函数性质可知，互为反函数的两个函数土象关于y x =对称，若()y f x =的图象经过点23⎫⎪⎭，则xy a =的图象经过23⎛ ⎝，代入可得2332a =，即()112332a=，因为0a >，且1a ≠，解得2a =，故选：B. 【点睛】本题考查了函数与反函数性质的综合应用，指数幂的化简运算，属于基础题. 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ） A ．21()f x x= B ．2()1f x x =+ C ．3()f x x = D ．()2x f x -=【答案】A【解析】试题分析：A 中21()f x x=是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，故A 满足题意；B 中2()1f x x =+是偶函数，但在(,0)-∞上是减函数；C 中3()f x x =是奇函数；D 中()2x f x -=是非奇非偶函数．故,,B C D 都不满足题意，故选A ． 【考点】1、函数的奇偶性；2、单调性.4．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3 B ．2:3 C ．4:3 D ．4:9【答案】B 【解析】【详解】如图，设内切圆半径为r ，则r ＝3a ，∴S 圆＝π·3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝29a π，S 扇＝12a 2·3π＝26a π，∴S S 圆扇＝23. 5．已知0.21.9a =，0.2log 1b =， 1.90.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】由指数函数与对数函数的图像与性质，结合中间值法即可比较大小. 【详解】根据指数函数与对数函数的图像与性质可知0.21.91a =>， 0.2log 10b ==，1.900.21c <=<，所以a c b >>， 故选：C. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，属于基础题.6．已知1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin tan 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．8 B ．7C ．253D ．263【答案】C【解析】根据诱导公式及同角三角函数关系式，化简即可求解. 【详解】由诱导公式可知55sin sin sin 666x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2222222cos sin cos 2336tan 3cos sin sin 3623x x x x x x x πππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+-- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则21sin 69x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，28cos 69x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以25sin tan 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 6sin 6sin 6x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭812591339=+=， 故选：C. 【点睛】本题考查了诱导公式化简三角函数式，同角三角函数关系式的应用，属于中档题.7．函数()1cos 1x x e f x x e -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数解析式，结合奇偶性的定义可排除BD ，由特殊值即可排除C ，从而得正确选项. 【详解】函数()1cos 1x x e f x x e -=+，则()()()11cos cos 11x xx xe ef x x x f x e e-----=-==-++， 所以()f x 为奇函数，排除BD 选项；当x π=时，()11cos 011e ef e e ππππππ--==-<++，所以排除C 选项，所以A 为正确选项， 故选：A.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，注意奇偶性与特殊值的用法，属于基础题. 8．已知函数()()221421f x m x mx m =+++-有两个零点，其中一个大于1，一个小于1时，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11,8⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,8⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】根据解析式，讨论10m +=、10m +>与10+<m 三种情况分类讨论，结合二次函数的图像与性质即可求得m 的取值范围. 【详解】函数()()221421f x m x mx m =+++-有两个零点，其中一个大于1，一个小于1时，有三种情况：当10m +=时，不会有两个零点，所以不成立；当10m +>，即二次函数开口向上时，满足()()101214210m f m m m +>⎧⎨=+++-<⎩，解得118m -<<-；当10+<m ，即二次函数开口向下时，满足()()101214210m f m m m +<⎧⎨=+++->⎩，解得118m m <-⎧⎪⎨>-⎪⎩，不等式组无解，综上所述，m 的取值范围为11,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查了分类讨论思想的综合应用，二次函数图像与性质的应用，由函数零点的分布情况求参数取值范围，属于中档题. 9．设函数21228()log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2x xf f +≥的解集为（ ）A ．(]0,2B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．[)10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵f （﹣x ）=12log （x 2+1）+2831x +=f （x ），∴f （x ）为R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，再通过换元法解题． 【详解】∵f （﹣x ）=12log （x 2+1）+2831x +=f （x ），∴f （x ）为R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减， 令t=log 2x ，所以，12log x =﹣t ，则不等式f （log 2x ）+f （12log x ）≥2可化为：f （t ）+f （﹣t ）≥2，即2f （t ）≥2，所以，f （t ）≥1，又∵f （1）=12log 2+831+=1， 且f （x ）在[0，+∞）上单调递减，在R 上为偶函数， ∴﹣1≤t≤1，即log 2x ∈[﹣1，1]， 解得，x ∈[12，2]， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题．10．定义在R 上函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[)1,1x ∈-时，(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a =（ ） A ．716B ．25-C ．1116-D ．1316【答案】B【解析】根据函数()f x 满足的式子，可得函数为周期函数并求得周期；结合等量关系，代入解析式即可求得a 的值，再代入后即可求得()5f a 的值. 【详解】因为定义在R 上函数()f x 满足()()11f x f x +=-，则变形可得()()11f x f x =-+；令1x x =+代入()()11f x f x +=-可得()()()121f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是以2为周期的周期函数， 因为5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ， 当[)1,1x ∈-时，(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，代入可得121252a -+=-，解得35a =， 所以()3555f a f ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭()()31f f ==- 32155=-+=-， 故选：B. 【点睛】本题考查了周期函数的性质及应用，求分段函数的函数值，属于中档题. 11．若存在正数x 使2x （x-a ）＜1成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（-∞，+∞） B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）【答案】D【解析】由题意知，存在正数x ，使12xa x >-，所以，而函数12xy x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力.12．已知函数()()3sin f x x x x R =+∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2019个零点，则所有这些零点之和为（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【答案】C【解析】根据()g x 满足的关系式，可得函数()g x 的对称中心，由()f x 解析式可知()f x 为奇函数，进而可得()f x 的对称中心；由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得2019个零点的和. 【详解】函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈， 则函数()g x 关于()1,0中心对称，且()10g = 函数()()3sin f x x x x R =+∈，则()()()()()33sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数，关于原点()0,0中心对称，而函数()1f x -是函数()f x 向右平移一个单位得到的函数，因而()1f x -关于()1,0中心对称，由函数零点定义可知()()()10h x f x g x =--=， 即()()1f x g x -=，由于函数()1f x -和函数()g x 都关于()1,0中心对称， 所以两个函数的交点也关于()1,0中心对称，因而2019个零点除1x =之外的其余2018个零点关于()1,0对称分布， 所以所有零点的和满足20182120192⨯+=， 故选：C. 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式平移变换，中心对称性质的应用，函数零点的综合应用，属于中档题.二、填空题13．已知角α的终边过点()()3,40P a a a -≠，则2sin cos αα+的值为______. 【答案】1或1-.【解析】讨论0a >与0a <两种情况，结合三角函数定义可求得sin ,cos αα的值，即可代入求解. 【详解】角α的终边过点()()3,40P a a a -≠， 则由三角函数定义可知 当0a >时，()()2244sin 5534a a a a α===-+，()()2233cos 5534a a a a α-===--+，则432sin cos 2155αα⎛⎫+=⨯+-= ⎪⎝⎭；当0a <时，()()2244sin 5534a a a a α===--+，()()2233cos 5534a a a a α-===-+，则432sin cos 2155αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭；故答案为：1或1-. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由终边经过的点求三角函数值，注意讨论点的位置，属于基础题.14．494log 4327log lg 25lg 473+++=______. 【答案】154【解析】由对数的运算性质及换底公式化简即可得解. 【详解】根据对数的运算性质及换底公式化简可得494log 4327log lg 25lg 473+++ ()773log 44log 4933log lg 25473=+⨯+711log 42423log 3lg107-=++1152244=-++=，故答案为：154. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及换底公式的简单应用，属于基础题.15．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(),2ππ上没有最值，则ω的取值范围是______.【答案】1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由()f x 在区间(),2ππ上没有最值可知(),23k ππππωω+∉，进而可知3kπππωω+≤或23kπππωω+≥，解不等式并取k 的值，即可确定ω的取值范围. 【详解】函数()()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得,3kx k Z ππωω=+∈， 由题意可知，()f x 在区间(),2ππ上没有最值，则(),23kππππωω+∉，k Z ∈， 所以3k πππωω+≤或23k πππωω+≥， 因为0>ω，解得13k ω≥+或1162k ω≤+， 当0k =时，代入可得13ω≥或16ω≤，当1k =时，代入可得43ω≥或23ω≤，当2k =时，代入可得73ω≥或76ω≤，此时无解.综上可得106ω<≤或1233ω≤≤，即ω的取值范围为1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故答案为：1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，由三角函数的最值情况求参数，注意解不等式时的特殊值取法，属于难题.16．某商人购货，每件货物的进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物定一个新价，以便按新价让利20%销售后仍可获售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是_____. 【答案】*()4ay x x =∈N . 【解析】设每件货物的新价为b ，则售价为(120%)b ⨯-，进价为(125%)a ⨯-，根据获利情况解得54b a =，得到答案. 【详解】设每件货物的新价为b ，则售价为(120%)b ⨯-，进价为(125%)a ⨯-， 依题意，每件获利(120%(125%)(120%)25%b a b ⨯--⨯-=⨯-⨯，解得54b a =， 所以*20%()4ay b x x x =⨯⨯=∈N . 故答案为：*()4ay x x =∈N 【点睛】本题考查了函数关系式的应用，意在考查学生的应用能力.三、解答题17．sin α，cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求m 及α的值.【答案】132m =,3πα=-.【解析】试题分析：由sin α，cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根，得sin cos m αα+=，21sin cos 4m αα-=，利用三角函数的基本关系式，得到13m ±=sin cos αα+，即可求解m 及α的值.试题解析：sin α，cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根2210m m ∴-+≥且sin cos m αα+=，21sin cos 4m αα-=， 代入()2sin cos 12sin ?cos αααα+=+，得13m ±=又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.21sin ?cos 04m αα-∴=<，13sin cos 2m αα+==， 3sin 2a \=-，1cos 2α=，又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，3πα∴=-，13m -∴=,3πα=-. 【考点】三角函数的基本关系式及三角函数求值. 18．已知函数()cos 3f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0A ω>>的最大值为2，且函数相邻两条对称轴间的距离为2π （1）求()f x 的解析式并写出其单调增区间； （2）求函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域． 【答案】（1）()f x 的解析式为()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；()f x 的单调增区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）[)2,1-. 【解析】（1）根据最大值可得A ，由相邻两条对称轴间的距离可得周期，进而得ω的值，即可求得()f x 的解析式；根据余弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的单调增区间；（2）根据自变量的范围可先求得23x π+的范围，结合余弦函数的图像与性质即可求得()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域．【详解】（1）函数()cos 3f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0,0A ω>>的最大值为2，所以2A =，函数相邻两条对称轴间的距离为2π，则T π=， 所以22πωπ==，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由余弦函数的图像与性质可知，其单调递增区间满足2222,3k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()f x 的单调增区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得42,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 由余弦函数的图像与性质可知1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以()[)2cos 22,13f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭即函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为[)2,1-. 【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题. 19．已知函数()2xf x =，()22g x x ax =+（1）当1a =-时，求函数()()()23y f g x x =-≤≤的最值；（2）设函数()()(),,f x x b h x g x x b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若0ab >，且()h x 的最小值为22，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）min 12y =，max 256y =.（2）122,4⎛--∞ ⎝⎦.【解析】（1）将1a =-代入，结合复合函数单调性的性质，即可确定函数()()()23y f g x x =-≤≤的最值；（2）讨论0a >与0a <两种情况：结合0ab >可确定b 的取值情况，由函数()()(),,f x x b h x g x x b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，及最小值为22即可由二次函数或指数函数性质解得a 的取值范围． 【详解】（1）当1a =-时，()22g x x x =-，则()()222xxy f g x -==，23x -≤≤，令[]22,1,8t x x t =-∈-则2ty =在[]1,8t ∈-内单调递增，所以1min 122y -==，8max 2256y ==. （2）①当0a >时，由0ab >可得0b >.()22g x x ax =+的对称轴为x a =-，所以()g x 在(),a -∞-内单调递减，在(),a b -内单调递增，所以()()()()22min 20g x g a a a a a =-=-+⋅-=-<，()2x f x =在[),b +∞上单调递增，所以0221>=b ，由题意()h x 的最小值为22，此时最小值为20a -<，所以不成立； ②当0a <时，由0ab >可得0b <.()g x 在(),b -∞内单调递减，无最小值；()2x f x =在[),b +∞上单调递增，()min 2b f x =，由题意可知22=b ，解得12b =-，则()1112242g b g a f ⎛⎫⎛⎫=-=-≥-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得124a -≤综上可知，a 的取值范围为122,4⎛--∞ ⎝⎦. 【点睛】本题考查了复合函数单调性的综合应用，分段函数单调性与最值的综合应用，分类讨论思想的应用，属于中档题.20．已知()()2log 43a f x ax x a =-+．（1）当3a =时，求()tan y f x =的定义域；（2）若()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）,,,2632k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）8343⎣. 【解析】（1）将3a =代入解析式，由对数函数性质解关于tan x 的不等式，求得tan x 的范围；结合正切函数的图像与性质，即可确定()tan y f x =的定义域；（2）结合复合函数单调性的性质，讨论01a <<与1a >两种情况，再由二次函数的单调性及对数函数定义域要求即可确定a 的取值范围． 【详解】（1）当3a =时，代入解析式可得()()23log 3433f x x x =-+，则()()23tan log 3tan 433y f x x x ⎡⎤==-+⎣⎦，所以()23tan 4330x x -+>，化简可得(3tan 3tan 30x x >，解不等式可得3tan 3x <或tan 3x > 由正切函数的图像与性质可解得,,,2632x k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫∈-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）当()0,1a ∈时，()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，由复合函数单调性可知243y ax x a =-+在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为增函数，由二次函数性质可知不成立；当()1,a ∈+∞时，()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，由复合函数单调性可知243y ax x a =-+在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，由二次函数性质可知需满足43122a --≥，解得43a ≤由对数函数性质可知，2430y ax x a =-+>，因而21143022a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭成立，解得83a ≥， 综上可知，a 的取值范围为8343⎣.【点睛】本题考查了对数函数的性质及简单应用，正切函数图像与性质应用，复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用，属于中档题.21．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与各自的资金投入12,a a （单位：万元）满足18042P a =+211204Q a =+．设甲大棚的资金投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收入为()f x （单位：万元）． （1）求()50f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入()f x 最大． 【答案】（1）()50277.5f =；（2）当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大.【解析】（1）根据题意，可分别求得甲、乙两个大棚的资金投入值，代入解析式即可求得总收益.（2）表示出总收益的表达式，并求得自变量取值范围，利用换元法转化为二次函数形式，即可确定最大值. 【详解】（1）当甲大棚的资金投入为50万元时，乙大棚资金投入为150万元，则由足18042P a =+211204Q a =+． 可得总收益为()150804250150120277.54f =+⨯⨯+=万元；（2）根据题意，可知总收益为()()180422001204x x f x =+⨯-+1422504x x =-+满足2020020x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得20180x ≤≤，令,25,65t x t ⎡=∈⎣，所以()21422504f t t t =-++(21822824t =--+，25,65t ⎡∈⎣因为8225,65⎡⎣，所以当82t =128x =时总收益最大，最大收益为282万元，所以当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大，最大收益为282万元. 【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，分段函数模型的应用，二次函数型求最值的应用，属于基础题.22．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）若关于x 的方程()()22log 0f x x+=的解集中恰有一个元素，求a 的值；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 【答案】（1）0a =或14a =-.（2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）代入解析式表示出方程并化简，对二次项系数分类讨论0a =与0a ≠，即可确定只有一个元素时a 的值；（2）由对数函数性质可知函数()f x 在区间[],1t t +上单调递减，由题意代入可得2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，化简不等式并分离参数后构造函数，利用函数的单调性求出构造函数的最值，即可求得a 的取值范围． 【详解】（1）关于x 的方程()()22log 0f x x+=，代入可得()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭， 由对数运算性质可得()211a x x ⎛⎫⎪⎝⎭=+，化简可得210ax x +-=， 当0a =时，代入可得10x -=，解得1x =，代入经检验可知， 满足关于x 的方程()()22log 0f x x+=的解集中恰有一个元素，当0a ≠时，则140a ∆=+=，解得14a =-， 再代入方程可解得2x =，代入经检验可知， 满足关于x 的方程()()22log 0f x x +=的解集中恰有一个元素，综上可知，0a =或14a =-. （2）若0a >，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上单调递减，由题意可知2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 化简可得1211a t a t +≤++，即1121a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，所以112a t t -≤+， 令()121211(1)[(1]1,1,2)1][(1)2t t t g t t t t t t t t +--⎡⎤-∈⎢=-==+++⎣⎦+⎥- 21(1)3(1)2tt t -=-+-+，当1t =时，()0g t =，当1[,1)2t ∈时，1()221g t t t=-+--，设21()2,[,1)12u t t t t =-+-∈-， 设12112t t ≤<<，12121222()()11u t u t t t t t -=-++--- 1221122112122()()[(1)(1)2](1)(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t t -----=-+=----，12121211,(1)(1)20,()()2t t t t u t u t ≤<<∴---<∴<Q， 所以()u t 在1[,1)2t ∈是增函数，13()()22u t t ≥=，220(),33g t a ∴≤≤∴≥，则a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了对数函数的性质与运算，一元二次不等式解法，分离参数法并构造函数求参数的取值范围，利用函数的单调性求最值，属于中档题.。

2019-2020学年安徽省六安市一中高一下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．①0N ∈；②2Q ∉；③{}0∅⊆；④0∈∅；⑤直线3y x =+与26y x =-+的交点组成的集合为{}1,4，上述五个关系中，正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 由题意得， 0N ∈是正确，所以①是正确的； 2Q ∉是正确的，所以②是不正确的；{}0φ⊆是正确的，所以③是正确的； 0φ∈是不正确的，所以④不正确；由3{ 26y x y x =+=-+，解得1{ 4x y ==，所以构成的集合为(){}1,4，所以⑤不正确，故选C. 2．设()32x f x x =-.则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是( )A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,2D. ()2,3【答案】C【解析】 由函数()32x f x x =-，所以()()132312110,22240f f =-=>=-=-<， 所以()()120f f <，所以函数()f x 所在零点的区间为()1,2，故选C.3．右图是一个几何体的三视图，若该几何体的底面为直角梯形，则该几何体体积为（ ）（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）24【答案】A【解析】试题分析：该几何体为四棱锥，底面为俯视图，高为2，其体积为()823533131=⨯+⨯==Sh V ,故选A.【考点】,1三视图；2.几何体的体积.4．过点()3,4P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A. 10x y -+=B. 10x y -+=或430x y -=C. 70x y +-=D. 70x y +-=或430x y -=【答案】D【解析】当直线过原点时，直线方程为y=43x ，即4x ﹣3y=0； 当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a ．则3+4=a ，得a=7． ∴直线方程为x+y ﹣7=0． ∴过点M （3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x ﹣3y=0或x+y ﹣7=0． 故选：D 5．直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则有( )A. ，B. ，C.， D. ，【答案】A 【解析】 由直线，则直线的斜率为，即，则， 令，则，即直线在轴上的截距为，故选A.6．若m ， n 表示不重合的两条直线， α表示平面，则下列正确命题的个数是( ) ①m n P ， m n αα⊥⇒⊥ ②m α⊥， n m n α⊥⇒P③m α⊥， n αP m n ⇒⊥ ④m αP ， m n n α⊥⇒⊥A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】由①m α⊥，则m 垂直于α内的两条相交直线，因为m n P ，则n 垂直于α内的两条相交直线，所以n α⊥，所以是正确的；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③由//n α，所以存在直线b α⊂，且//b n ，因为m α⊥，所以m b ⊥，所以m n ⊥，所以是正确的；④不正确，例如n 和m 确定的平面平行于α，则//n α，故选C.7．若f ： A B →能构成映射，则下列说法正确的有( )①A 中任意一个元素在B 中必有像且唯一②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像③B 中的元素可以在A 中无原像④像的集合就是集合BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】 由映射概念，即给出,A B 两个非空集合及一个对应关系f ，在对应关系f 的作用下， 集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的象与之对应，可知映射的实质就是对应，且是“一对一”或“多对一”，不能是“一对多”，由此可知命题（1）（2）正确，命题（3）错误，所以正确的命题个数是2个，故选B.8．若1a >，且11213log loglog 0a a ax x x +==<，则1x ， 2x ， 3x 的大小关系是( )A. 123x x x <<B. 231x x x <<C. 321x x x <<D. 312x x x <<【答案】C【解析】 因为11213log log log 0a a a x x x +==< ，所以()312lg lg lg 01lg lg 1lg x x x a a a==<+ 因1a >，则()1lg 0,lg 1lg 0a a a+> 所以123lg 0,lg 0,lg 0x x x ><<，且23lg lg x x >，所以1321,01x x x ><<<，所以321x x x <<，故选C.9．对空间两条无公共点的直线a 与b ，必存在平面α使得( )A. a α⊂， b α⊂B. a α⊂， b α⊥C. a α⊥， b α⊥D. a α⊂， b αP【答案】D【解析】 因为空间中两条无公共点的直线a 和b ，则//a b 或a 与b 是异面直线，所以一定存在平面α，使得,//a b αα⊂成立，故选D.10．函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()0.2log y f x =的图像大致是( )A. B. C.D.【答案】C【解析】 因为()0.50.50,1,log y x ∈=是减函数，而()f x 在(]0,1上是减函数，在()1,2是增函数，由复合函数的单调性（同增异减）可知，函数()0.5log y f x =在(]0,1上是增函数，在()1,2是减函数，故选C.11．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ， N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是( ) A. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. [)3,0,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ C. 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】试题分析：当23MN =时，圆心到直线MN 的距离为()2431d =-=，因此由23MN ≥，则1d ≤，所以232311k d k -+=≤+， 304k -≤≤．故选A ． 【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆相交弦长，点到直线的距离公式．【名师点睛】.直线与圆相交求弦长有两种方法（1）代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系求弦长.弦长公式l=|x 1-x 2|=.其中a 为一元二次方程中的二次项系数.（2）几何方法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2.代数法计算量较大,我们一般选用几何法.12．已知函数()232f x ax x =-的最大值不大于16，又当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()18f x ≥，则a 的值为( )A. 1B. 1-C.34 D. 78【答案】A 【解析】 由()2223312236a f x ax x x a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， 则()2max 1166f x a =≤，得11a -≤≤，且 对称轴的方程为3a x =， 当314a -≤<时，在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上函数()f x 单调递减，而()18f x ≥， 即()min 1312288a f x f ⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭，则1a ≥与314a -≤<矛盾，即不存在； 当314a ≤≤时，对称轴3a x =，而11433a ≤≤，且111342328+<=， 即()min 1312288a f x f ⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭，则1a ≥，而314a ≤≤，所以1a =，故选A. 点睛：本题主要考查了二次函数的综合应用问题，其中解答中涉及到一元二次函数的单调性，函数的的最值，以及一元二次函数的图象与性质等知识点的综合应用，同时着重考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，解答中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键.13．计算： 1ln3327lg42lg5e ++-=_____________.【答案】2【解析】 由题意得()()11ln33ln33327lg42lg53lg4lg253232ee ++-=++-=+-=.二、填空题14．函数()()3log 3f x x +的定义域是_____________.(用集合或区间表示)【答案】(]3,1-【解析】 由题意得，函数满足10{ 30x x -≥+>，解得31x -<≤，即函数的定义域为(]3,1-. 15．Rt ABC V 中， 30A =︒，斜边4cm AC =，将边BC 绕边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为_____________2cm .【答案】12π【解析】 在直角ABC ∆中， 030,4A AC cm ==，则2sin 4sin302BC AC A ==⨯= ， 将边BC 绕边AB 所在的直线旋转一周，得到一个底面半径为2，母线长为4的圆锥， 所以该圆锥的表面积为222412S S S πππ=+=⨯+⨯⨯=底面侧面.点睛：本题考查了旋转体的概念，以及圆锥的侧面积与表面积的计算问题，解答中根据圆锥的定义，绕直角三角形的一条直角边所在的直线旋转一周得到的几何体为一个圆锥，从而确定圆锥的底面半径和母线长是解答的关键，着重考查了学生的空间想象能力.16．已知动直线()()212430x y λλλ++-+-=与圆C ： ()2219x y -+=相交，则相交的最短弦的长度为_____________.【答案】2【解析】由()()212430x y λλλ++-+-=可得： ()2x y 4230x y λ+++--=,令240{ 230x y x y ++=--=，解得： 1{ 2x y =-=-，即动直线()()212430x y λλλ++-+-=过定点A ()12--，定点A 显然在圆内，故相交弦长最短时CA 垂直动直线， 即20211121λλ--+⨯=----，解得： 13λ=- 此时直线为： x y 30++=∴最短弦的长度为2=. 故答案为：2三、解答题17．已知全集U R =，集合{}|3 6 A x x =≤<， {}|2,2 3 x B y y x ==≤≤.①求A B ⋂和()U C B A ⋃；②已知{}|12 1 C a a x a =+≤≤-，若C B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）[)4,6A B ⋂=， ()()(),68,U C B A ⋃=-∞⋃+∞；（2）()9,23,2⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数函数的性质，得到集合B ，进而根据集合的运算，即可求解A B ⋂和()U C B A ⋃；（2）由C B ⊆，分C φ=和C φ≠，两种情况讨论，即可求解实数a 的取值范围.试题解析：(1) [)A 3,6=， []B 4,8=[)A B 4,6⋂=， ()()()U C B A ,68,∞∞⋃=-⋃+.(2)若C ∅=时，有a 12a 1+>-，即a 2<，此时有C B ⊆，若C ∅≠时，要使C B ⊆成立有2119{14 3a 2218a a a a -≥++≥⇒≤≤-≤ 综上所述，实数a 的取值范围为()9,23,2∞⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦. 18．某城市出租车的收费标准是：3千米以内(含3千米)，收起步价8元；3千米以上至8千米以内(含8千米)，超出3千米的部分按1.5元/千米收取；8千米以上，超出8千米的部分按2元/千米收取.(1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米时应付的车费；(2)试写出车费y (元)与里程x (千米)之间的函数解析式并画出图像；(3)小陈周末外出，行程为10千米，他设计了两种方案：方案1：分两段乘车，先乘一辆行驶5千米，下车换乘另一辆车再行5千米至目的地 方案2：只乘一辆车至目的地，试问：以上哪种方案更省钱，请说明理由.【答案】（1）14元；（2）8,03{1.5 3.5,38 20.5,8x y x x x x <≤=+<≤->；（3）方案二更省钱.【解析】试题分析：（1）根据题意，某厂乘客搭乘出租车形式7千米时应付的车费为起步价加上超出本按1.5元/千米计算，即可求得结果；（2）利用分段函数，写出车费与里程之间的函数解析式即可；（3）求出两种方案下的各自费用，比较即可得到结论.试题解析：(1) 84 1.514+⨯=元.(2) 8,03y {1.5 3.5,38 20.5,8x x x x x <≤=+<≤->(3)方案一的费用为：22元.方案二的费用为： 19.5元.方案二更省钱.19．如图，在三棱柱111BCD B C D -与四棱锥11A BB D D -的组合体中，已知1BB ⊥平面BCD ，四边形ABCD 是平行四边形， 120ABC ∠=︒， 4AB =， 2AD =， 11BB =，设O 是线段BD 中点.(1)求证： 1C O P 平面11AB D ；(2)证明：平面11AB D ⊥平面1ADD ；(3)求四棱锥11A BB D D -的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）11A B D DB V -=. 【解析】试题分析：取11B D 的中点E ，连接1,C E OA ，易证1C EAO 为平行四边形，从而得到1//C O EA ，再利用线面平行的判定定理即可；（2）根据0120,2,4ABC AB AD ∠===，证得2ADB π∠=，即BD AD ⊥，进一步可证1BD DD ⊥，从而证得BD ⊥面111,//ADD BD B D ，于是得1B D ⊥平面1ADD ，利用面面垂直的判定定理可得结论；（3）利用等体积法，即可求得点D 到平面1ABD 的距离.试题解析：(1)证明：取11B D 的中点E ，连结1C E ， AE ， OA ，则A 、O 、C 三点共线，∵111BCD B C D -为三棱柱，∴平面BCD P 平面111B C D ，故1C E OA P 且1C E OA =，∴四边形1C EAO 为平行四边形，∴1AE C O P ，又∵AE ⊂面11AB D ， 1OC ⊄面111AB D C O ⇒P 面11AB D .(2)证明：∵ABC 120∠=︒， AB 4=， AD 2=，作DM AB ⊥于M ，可得AM 1=， DM = BM 3=，则BD =∴222AB AD BD ADB 90∠=+⇒=︒，即BD AD ⊥，又1BB ⊥平面BCD ， BD ⊂平面BCD ， 1BB BD ⊥，在三棱柱111BCD B C D -中， 11BB D D P 而1DD AD D ⋂=，∴BD ⊥平面1ADD ，又11BD B D P ，得11B D ⊥平面1ADD ，而11B D ⊂平面11AB D ，∴平面11AB D ⊥平面1ADD .(3)由(2)知， BD AD ⊥，又1D D AD ⊥，∴AD ⊥平面11BB D D ，即AD 为四棱锥11A B D DB -的高， AD 2=，又11BB D D S =∴11A B D DB V -=20．已知函数()()()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数.(1)求实数k 的值；(2)判断()f x 在[)0,+∞上的单调性；(不必证明)(3)求函数()f x 的值域.【答案】（1）12k =-；（2）()f x 在[)0,+∞上是增函数；（3）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）由函数()f x 为偶函数，额()()f x f x -=，列出方程，即可求解k 的值；（2）可设2x t =，利用复合函数的单调性，即可判定函数()f x 的单调性；（3）由21222x +≥，根据对数函数的图象与性质，即可得到函数的值域. 试题解析：(1)由函数()f x 是偶函数，可以知道()()f x f x =-，∴()()x x 44log 41kx log 41kx -++=+-，即2kx x -=，对一切x R ∈恒成立， 1k 2=-. (2) ()x 4x 1f x log 22⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令x t 2=， t 1≥，则()1g t t t=+在[)1,∞+上是增函数， 所以()f x 在[)0,∞+上是增函数.(3)因为x x 1222+≥， 所以()x 4x 11f x log 222⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭. 则函数()f x 的值域为1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 21．已知圆()2222224004x y ax ay a a a ++-+-=<≤的圆心为C ，直线:l y x m =+.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；(3)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(]0,4上变化时，求m 的取值范围.【答案】（1）()040x y x +=-≤<；（2）3）1,8m ⎡∈--⎣.【解析】试题分析：（1）由圆的方程，可得圆的圆心坐标为(),(04)a a a -<≤，即可得到圆心的轨迹方程；（2）将圆的方程转化为圆的标准方程，得到圆心坐标和半径，再求得圆心C 到直线l 的距离，由圆的弦长公式，得到弦长的函数关系式，即可求解弦长的最大值；（3）由直线l 与圆C 相切，建立m 与a 的关系， 2m a -=，在由点C 在直线l 的上方，去掉绝对值，将m 转化为a 二次函数求解即可.试题解析：（1）圆的圆心坐标为()()a,a 0a 4-<≤.所以圆心的轨迹方程为()x y 04x 0+=-≤<.(2)已知圆的标准方程是()()()22x a y a 4a 0a 4++-=<≤.则圆心C 的坐标是()a,a -，半径为.直线l 的方程化为： x y 40-+=，则圆心C 到直线l a =-， 设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：L ===∵0a 4<≤，∴当a 3=时， L 的最大值为(3)因为直线l 与圆C =即m 2a -=.又点C 在直线l 上方，∴a a m >-+，即2a m >，∴2a m -=)2m 11=-.∵0a 4<≤，∴0<≤，∴m 1,8⎡∈--⎣.点睛：本题考查了直线与圆的位置关系及其圆的方程的应用，主要涉及到利用直线与圆相切构造函数模型，求解参数的范围，以及直线与圆相交，由圆心距、半径和圆的弦长构成的直角三角形，熟记直线与圆的位置关系的判定和应用，以及运算能力.22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中， 90A ∠=︒， 6BC =， D 、E 分别是AC ， AB 上的点， 2CD BE ==， O 为BC 的中点，将ADE V 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥'A BCDE -，其中'3A O =.(1)证明： 'A O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角'A CD B --的平面角的余弦值；(3)求直线CB 与平面'A BE 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）155；（3）55. 【解析】试题分析：(1)在图1、2中，连接OD ， OE ，易得,,,,OC AC AD OE OE ，利用勾股定理得'A O OE ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得'A O ⊥平面BCDE .(2)在图2中，得到'A MO ∠就是二面角'A CD B --的平面角，在A MO ∆'中，即可求解二面角的大小；(3)取BR 中点N ，连接'A N 和ON ，得到OBQ ∠就是直线BC 与平面'A BE 所成的角，即可求解线面角的大小.试题解析：(1)在图1、2中，连接OD ， OE ，易得OC 3=， AC 32= AD 22= OD OE 5==， 因为A'D A'E 22==222A'D A'O OD =+, 222A'E A'O OE =+，即A'O OD ⊥， A'O OE ⊥，所以A'O ⊥平面BCDE .(2)在图2中设CD ， BE 交于R 点，取CR 中点M ，连接OM ， A'M ，则OM CR ⊥， A'M CR ⊥，则A'MO ∠就是二面角A'CD B --的平面角，其中32OM =， 30A'M =，OM cos A'MO A'M ∠==. (3)取BR 中点N ，连接A'N 和ON ，作OQ A'N ⊥，则OQ ⊥平面A'BE ，所以OBQ ∠就是直线BC 与平面A'BE 所成的角，易得OQ =， OB 3=，所以OQ sin OBQ OB ∠==. 点睛：此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，立体几何中角的计算问题，中往往可以利用几何法或空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.。

2019-2020学年安徽省六安一中高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（）A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在2．若a＞b，则（）A．ln（a﹣b）＞0B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0D．|a|＞|b|3．若不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）4．在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2B．3C．5D．66．已知数列{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π，则cos（a2+a8）的值为（）A．B．C．D．7．下列命题正确的个数是（）①若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；②若直线a∥α，b⊂α，则a∥b；③若直线a∥b，直线a∥α，则b∥α；④若直线a∥α，直线b∥α，则b∥a．A．0B．1C．2D．38．用斜二侧法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示等腰直角△A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的BC边上的高为（）A．1B．2C．D．29．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．10．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B （1+2cos C）＝2sin A cos C+cos A sin C，则下列等式成立的是（）A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A11．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若恒成立，则实数m的值取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≤4D．m＜412．若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，）C．（，+∞）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上. 13．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝．14．在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝1﹣，则a2020＝．15．某几何体的三视图如图所示，体积为．16．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．18．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．19．已知函数f（x）＝mx2+2nx+1．（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求m，n；（2）设A＝{x|f（x）≥0}，且﹣1∈A，2∉A，求m+3n的取值范围．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，如图所示．（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，求EF．21．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n+2a n＝2（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足＝2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n22．已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．（1）试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；（2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（）A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在【分析】先取直线a上任一点A并过A点作直线c∥b，由公理2的两个推论分别确定两个平面，再由线面平行的判定定理推出．解：取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，由a∩c＝A，则直线a、c确定唯一的平面记为α，∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α有且仅有一个．故选：A．2．若a＞b，则（）A．ln（a﹣b）＞0B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0D．|a|＞|b|【分析】取a＝0，b＝﹣1，利用特殊值法可得正确选项．解：取a＝0，b＝﹣1，则ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；，排除B；a3＝03＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C对；|a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D．故选：C．3．若不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【分析】由题意可得a2+1＜2a+4，由此求得a的范围．解：不等式，即，根据它的解集非空，可得a2+1＜2a+4，求得﹣1＜a＜3，故选：A．4．在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2B．3C．5D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．6．已知数列{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π，则cos（a2+a8）的值为（）A．B．C．D．【分析】由等差数列通项公式求出，从而a2+a8＝2a5＝，由此能求出cos （a2+a8）的值．解：∵数列{a n}为等差数列，a1+a5+a9＝π，∴a1+a5+a9＝3a5＝π，解得，∴a2+a8＝2a5＝，∴cos（a2+a8）＝＝﹣cos＝﹣．故选：A．7．下列命题正确的个数是（）①若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；②若直线a∥α，b⊂α，则a∥b；③若直线a∥b，直线a∥α，则b∥α；④若直线a∥α，直线b∥α，则b∥a．A．0B．1C．2D．3【分析】由线面平行的判定定理与性质定理，（若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行）．可得线面的位置关系，即可判断；解：由线面平行的判定定理，若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．①直线a有可能在平面内，所以①不正确．②直线a与b有可能是异面，所以②不正确．③直线b有可能在平面内，所以③不正确．④直线a与b有可能是异面也可能是相交，所以④不正确．故选：A．8．用斜二侧法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示等腰直角△A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的BC边上的高为（）A．1B．2C．D．2【分析】由△ABC的水平放置的直观图是等腰直角△A′B′C′，得出△ABC边BC上的高为AC，求出长度即可．解：∵直观图是等腰直角△A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝；根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2．故选：D．9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r＝＝，由此能求出该圆柱的体积．解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r＝＝，∴该圆柱的体积：V＝Sh＝＝．故选：B．10．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B （1+2cos C）＝2sin A cos C+cos A sin C，则下列等式成立的是（）A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin B（1+2cos C）＝2sin A cos C+cos A sin C ＝sin A cos C+sin（A+C）＝sin A cos C+sin B，可得：2sin B cos C＝sin A cos C，因为△ABC为锐角三角形，所以2sin B＝sin A，由正弦定理可得：2b＝a．故选：A．11．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若恒成立，则实数m的值取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≤4D．m＜4【分析】由题意可得2m＜（+）min，由乘1法和基本不等式，可得+的最小值，即可得到所求最小值．解：若恒成立，则2m＜（+）min，x＞0，y＞0，且x+2y＝1，可得+＝（x+2y）（+）＝4++≥4+2＝8，当且仅当x＝2y＝时，上式取得等号，则2m＜8，即m＜4，故选：D．12．若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，）C．（，+∞）D．（2，+∞）【分析】结合已知条件和正弦的面积公式可得sin B＝，再由余弦定理知，cos B＝，两式作比，有tan B＝，从而得B＝，C∈（，），故tan C∈（﹣∞，），而＝＝，利用正弦的两角和公式展开后，根据同角三角函数的商数关系和正切函数的图象与性质即可得解．解：∵S△ABC＝ac sin B＝（a2+c2﹣b2），∴sin B＝①，由余弦定理知，cos B＝②，由①②可得，tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝，A+C＝，∵C为钝角，∴C∈（，），∴tan C∈（﹣∞，）．由正弦定理知，，∴＝＝＝＝∈（2，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上. 13．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝．【分析】先利用三角形面积公式求得c，最后利用三角函数的余弦定理求得a．解：∵S△ABC＝bc sin A＝∴c＝4∴a＝＝＝故答案为：14．在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝1﹣，则a2020＝．【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步利用周期的对应关系求出结果．解：数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝1﹣，则，，，a5＝，…，所以数列{a n}的周期为3，所以2020＝666×3+2，故．故答案为：15．某几何体的三视图如图所示，体积为．【分析】几何体是组合体，上部是个半径为1的球，下部是正方体的一半的三棱柱，利用体积公式求解即可．解：几何体是组合体，上部是个半径为1的球，下部是正方体的一半的三棱柱，正方体的棱长为1，如图：几何体的体积为：＝；故答案为：．16．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于8π．【分析】设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，所以直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，由正弦定理得：2r＝，r＝1，在Rt△OMC中，OC＝R，OM＝，MC＝r＝1，所以R2＝2，从而求出直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积．解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得：，∴，∴由正弦定理得：2r＝，∴r＝1，∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM＝，MC＝r＝1，∴R2＝12+12＝2，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，故答案为：8π．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【分析】（1）由正弦定理得＝，求出sin∠ADB＝，由此能求出cos∠ADB；（2）由∠ADC＝90°，得cos∠BDC＝sin∠ADB＝，再由DC＝2，利用余弦定理能求出BC．解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．18．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【分析】（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n ﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．19．已知函数f（x）＝mx2+2nx+1．（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求m，n；（2）设A＝{x|f（x）≥0}，且﹣1∈A，2∉A，求m+3n的取值范围．【分析】（1）利用方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解．（2）由题意可得出一关于实数m，n的不等式组，要求m+3n的取值范围可用线性规划的知识来求，以所得不等式组作为约束条件，以m+3n作为目标函数即可．解：（1）不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，即mx2+2nx+1≤0的解集为[1，2]，可知方程mx2+2nx+1＝0的两个根分别为1，2；∴，解得．（2）由f（x）≥0时，﹣1∈A，2∉A，可得，A点坐标为（，）作平行直线系z＝m+3n，可知z＝m+3n的取值范围是（﹣∞，）20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，如图所示．（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，求EF．【分析】（1）推导出四边形AB1C1D是平行四边形，AB1∥C1D，dedAB1∥平面C1BD，同理B1D1∥平面C1BD，由此能证明平面AB1D1∥平面C1BD．（2）连结A1C1，交B1D1于点O1，连结AO1，与A1C交于点E，推导出E是A1C与平面AB1D1的交点，连结AC，交BD于O，连结C1O，与A1C交于F，推导出F是A1C 与平面C1BD的交点，先证明A1E＝EF＝FC，由此能求出EF．解：（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥B1C1，AD＝B1C1，∴四边形AB1C1D是平行四边形，∴AB1∥C1D，又C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，∴AB1∥平面C1BD，同理，B1D1∥平面C1BD，又AB1∩B1D1＝B1，∴平面AB1D1∥平面C1BD．（2）解：如图，连结A1C1，交B1D1于点O1，连结AO1，与A1C交于点E，∵AO1⊂平面AB1D1，∴点E在平面AB1D1内，∴E是A1C与平面AB1D1的交点，同理，连结AC，交BD于O，连结C1O，与A1C交于F，则F是A1C与平面C1BD的交点，下面证明A1E＝EF＝FC，∵平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，∴EO1∥C1F，在△A1C1F中，∵O1是A1C1的中点，∴E是A1F的中点，∴A1E＝EF，同理可证OF∥AE，∴F是CE的中点，即FC＝EF，∴A1E＝EF＝FC，∴EF＝．21．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n+2a n＝2（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足＝2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n【分析】（1）由S n+2a n＝2（n∈N+），可得n≥2时，S n﹣1+2a n﹣1＝2，相减可得：a n＝a n．n＝1时，a1+2a1＝2，解得a1．利用等比数列的通项公式即可得出a n．﹣1（2）由数列{b n}满足＝2n（n∈N*），b n＝2n•．设数列{n•}的前n项和为A n．利用错位相减法即可得出，进而得出T n．解：（1）∵S n+2a n＝2（n∈N+），∴n≥2时，S n﹣1+2a n﹣1＝2，相减可得：a n+2a n﹣2a n﹣1＝0，a n＝a n﹣1，n＝1时，a1+2a1＝2，解得a1＝．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为．∴a n＝．（2）由数列{b n}满足＝2n（n∈N*），∴b n＝2n•．设数列{n•}的前n项和为A n．则A n＝+2×+3×+……+n•，A n＝+2×+……+（n﹣1）•+n•，相减可得：A n＝+++……+﹣n•＝﹣n •，可得：A n＝6﹣（9+3n）•，∴数列{b n}的前n项和T n＝12﹣4（3+n）•．22．已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．（1）试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；（2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值．【分析】（1）设正四棱锥的底面边长为a，侧面三角形的高为H，由题意可得a关于h 的关系式，写出四棱锥体积，整理后利用基本不等式求最值；（2）取CD的中点Q，正方形ABCD的中心为O，连接PO，PQ，OQ，由AB∥CD，得∠PDQ即为异面直线AB与PD所成角，结合（1）中求得的a值，即可求得异面直线AB和PD所成角的正切值．解：（1）设正四棱锥的底面边长为a，侧面三角形的概为H，则a2+2aH＝2，∴H＝，又，∴a＝．∴正四棱锥体积V＝．∵h+≥2（当且仅当h＝，即h＝1时取等号）．∴，即正四棱锥体积V的最大值为（当h＝1，a＝时取最大值）；（2）取CD的中点Q，正方形ABCD的中心为O，连接PO，PQ，OQ．∵AB∥CD，∴∠PDQ即为异面直线AB与PD所成角．∵Q为CD的中点，PC＝PD，∴PQ⊥CD．即PQ＝H，由（1）知，H＝．又DQ＝，∴tan．即异面直线AB和PD所成角的正切值为3．。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知圆22:680C x y x +-+=，由直线1y x =-上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1B ．2C ．2D ．32．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60B =︒，1a =，2b =，则sin A =（ ） A ．32B ．14C ．34D ．123．2sin y x =是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数4．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．3 B ．233C ．3D ．35．已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP 面积的最小值是 A ．112B ．6C ．8D ．2126．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x yb b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．51- D ．3 7．若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ） A ． B ． C ．D ．8．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为（ ） A ．193B ．192C ．191D ．1909．已知公式为正数的等比数列{}n a 满足：11a =，22844a a a ⋅=，则前5项和5S =( )A ．31B ．21C ．15D ．1110．在ΔABC 中,若3,4,60AB AC BAC ==∠=︒ ,则BA AC ⋅=（ ） A ．6B ．4C ．-6D ．-411．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为( ) 50 44 66 44 29 67 06 58 03 69 80 34 27 18 83 61 46 42 23 91 67 43 25 74 58 83 11 03 30 20 83 53 12 28 47 73 63 05 A ．42B ．36C ．22D ．1412．矩形ABCD 中，(3,1)AB =-，(2,)BC k =-，则实数k =（ ） A ．-16B ．-6C ．4D ．23二、填空题：本题共4小题13．已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.14．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 的通项公式是______.15．中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份A 的含量x （单位：g ）与药物功效y （单位：药物单位）之间具有关系：(20)y x x =-.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，估计这批中成药的药物功效的平均值为__________药物单位．16．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++，则61a a +=___________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一数学下学期延期开学期间辅导作业专题卷（一）（必修一函数）一、选择题1.下列各对函数中，表示同一函数的是（ ）A ．y x =与33(||)y x =B ．x y x =与0y x = C ．2()y x =与||y x = D ．211x y x +=-与11y x =-2.函数()xe xf x 1-=的零点所在的区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,233.若x c x b a x3223log ,,)32(===，当1>x 时，c b a ,,的大小关系为（ ）A.b a c <<B. c b a <<C.a b c <<D.b c a <<4.函数)1,0()1(≠>-+=a a b a y x的图象不经过第二象限，则有（ ） A.1,1<>b a B.0,10≤<<b a C.0,10><<b a D.0,1≤>b a5.如果幂函数222(33)m m y m m x--=-+的图象不过原点, 则m 的取值范围为（ ）A ．12m -≤≤B ．1m =或2m =C ．1m =-或2m =D ．1m = 6.函数1--=x ey 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7.函数)34lg(2x x y -+=的单调递增区间为( )A.)23,1(--B.),23(+∞C.)23,(-∞D.]23,1(-8.函数()log (1)[0,1]xa f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为（ ）A.41 B.21C.2D.4 9.已知,(1)()2(21),(1)3x x f x a x x a ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若定义在R 上的函数()f x 满足对)(,2121x x R x x ≠∈∀，都有()()21210f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. ),1(+∞B. )21,0( C. ]31,0( D.)21,31[ 10.已知031log 31log >>b a，则下列关系正确的是( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．1＜a ＜b11.已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与2)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A.]4,2[B.]0,2[-C.),49[+∞-D.]0,49[- 12.已知函数()⎩⎨⎧≤+-->=-0,120,21x x x x e x f x 若关于x 的方程()()032=+-a x f x f )(R a ∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,31C. ()2,1D.]49,2(二、填空题13.已知幂函数21)(-=xx f ，若)210()1(a f a f -<+，则a 的取值范围是为__________．14. 已知函数)12lg(2++=x ax y 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 . 15.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=xx f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .16.若关于x 的方程()223214mx m x m ++++＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，则实数m 的取值范围为 .三、解答题17.(1)计算：10log 110log 5log )5(lg )2(lg 82233⋅++；(2)若3643==yx ，求yx 12+的值.18.已知函数2()2||+3f x x x =-+(1)作出函数()f x 的图象；(2)方程()f x a =恰有四个不同的实数根，求实数a 的取值范围.19.已知函数xx f 2)(=的定义域是]3,0[，设)2()2()(+-=x f x f x g .（1）求)(x g 的解析式及定义域；（2）若]1,0[∈x ，求函数)(x g 的最大值和最小值．20.已知函数()4log 412( )()xf x kx k R =+∈+是R 上的偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程()f x m =有解，求m 的取值范围．21.定义域为}0|{≠x x 的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且函数()f x 在区间),0(+∞上单调递增．（1）证明：函数()f x 是偶函数；（2）解不等式()1202f f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭.22.已知函数1)(2++=x b ax x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，且52)21(=f .（1）判断函数)(x f 在]1,1[-上的单调性，并用定义证明；（2）设)0(25)(>-+=k k kx x g ，若对于任意的]1,1[1-∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求正实数k 的取值范围.参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAADBCDBCABD二、填空题13．)5,3( 14．]1,0[ 15．2- 16．19,013⎛⎫- ⎪⎝⎭14.【解析】若)12lg(2++=x ax y 的值域为R ,则122++=x ax y 要取遍),0(+∞里的每一个值，故0=a 或⎩⎨⎧≥∆>00a .三、解答题17.解：（1）18lg 10lg 5lg ])5(lg 5lg 2lg )2)[(lg 5lg 2(lg 22=⋅++⋅-+=原式； （2）118.解：（1）为[)3,4.(2)a 的取值范围19.（1）2222)2()2()(+-=+-=x xx f x f x g ，∵)(x f 的定义域是[0，3]，∴⎩⎨⎧≤+≤≤≤320320x x ，解得10≤≤x ，∴)(x g 的定义域为]1,0[． （2）由（1）得2222)(+-=x xx g ，设x t 2=，则]2,1[∈t ，∴t t t g 4)(2-=，∴)(t g 在]2,1[上单调递减， ∴4)2()(,3)1()(min max -==-==g t g g t g ． ∴函数)(x g 的最大值为-3，最小值为-4．20.解:(1)由函数f (x )是偶函数可知，f (－x )＝f (x )，∴log 4(4x＋1)＋2kx ＝log 4(4－x＋1)－2kx ，即log 44x＋14－x ＋1＝－4kx ，∴log 44x＝－4kx ，∴x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0，对一切x ∈R恒成立，∴k ＝－14．(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x＋1)－12x ＝log 44x＋12x ＝log 4(2x ＋12x ),∵2x >0,∴2x＋12x ≥2,∴m ≥log 42＝12． 故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为[12，＋∞)．21．解：（1）函数()f x 的定义域为}0|{≠=x x I ，I x I x ∈-∈∀,，又()10f -=. 令1y =-，则()()()()1f x f x f f x -=+-= ∴()()f x f x -=，∴()f x 为定义域上的偶函数．（2）据题意，函数()f x 在区间),0(+∞上单调递增，且()()011f f =-= 故函数图象大致如下：由()()122102f f x f x ⎛⎫+-=-≤ ⎪⎝⎭，∴1210x -≤-<或0211x <-≤， ∴102x ≤<或112x <≤. 22.解：（1）由题可知，函数1)(2++=x b ax x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，且52)21(=f ，则2(0)011122()125(2)1b f a bf ⎧==⎪⎪⎪⎨+=+⎪=⎪⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩. 函数1)(2+=x xx f 在]1,1[-上单调递增，证明如下： 任取12[1,1]x x -∈，，且12x x <，()()()()()()()()12111212221222222121222222111122221212()()()(11111111)1x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-=++++==+++------+-∵12[1,1]x x -∈，，且12x x <，∴()()212221120,1,110x x x x x x -++><>，∴1210x x -<于是()()120f x f x -<，()()12f x f x <， 所以1)(2+=x xx f 在]1,1[-上单调递增. （2）由题意，任意的]1,1[1-∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立． 转化为存在]1,0[2∈x ，使得)()(2max x g x f ≤，即max max )()(x g x f ≤ 由（1）知函数1)(2+=x x x f 在]1,1[-上单调递增，∴max 1()(1)2f x f ==∵0k >，∴()52g x kx k =+-在]1,0[上单调递增，∴max ()(1)5g x g k ==-故有2900521≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≤k k k.即正实数k 的取值范围为290≤<k .。

高一下学期延期开学期间辅导作业专题卷（二）数 学一、单选题1．已知3sin7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b << 2．角的终边上一点，则（ ）A ．B ．C ．或D ．或 3．已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k ±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π， 其中表示具有相同终边的角的组数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知,αβ满足sin cos αβ=，1sin cos 2cos sin 2αβαβ-=，则cos 2β=( ) A ．16B ．13C ．12D ．23 5．函数 2312sin 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数6．已知函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．π4π11π4π,,43123k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．13π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π11π2π,2π,412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．13π3π5π3π,,124124k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z 7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3sin sin 26B A C C π--==，则B 的大小是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 8．给出以下命题：①若,αβ均为第一象限角，且αβ>，且sin sin αβ>；②若函数2cos()3y ax π=-的最小正周期是4π，则12a =； ③函数2sin sin sin 1x x y x -=-是奇函数；④函数1sin 2y x =-的周期是π； ⑤函数sin sin y x x =+的值域是[0，2]其中正确命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-( ) A． B． C． D10．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为4π，将其向右平移6π后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象在区间3[,]4ππ上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知0＜β＜＜α＜，cos （+α）=-，sin （+β）=，则cos （α+β）=（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为A ．π2018B ．π1009C ．2π1009D ．π4036二、填空题13．已知且，则_________.14．已知A 、B 分别是函数()2sin (0)f x x ωω=>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是_____15．222tan1tan2tan89sin 1sin 2sin 89⋅⋅⋯⋅=+++o o oo o o L _________. 16．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下列四个结论：① ()f x 是偶函数 ② ()f x 在区间(,)2ππ单调递减③ ()f x 在区间(,)22ππ-上的值域为 ④ 当57(,)44x ππ∈时，()0f x <恒成立 其中正确结论的编号是____________（填入所有正确结论的序号）．三、解答题17．（1（2）已知sin （α+2β）＝3sinα，求()tan tan αββ+的值．18．已知函数23()cos sin 3cos 1()3f x x x x x π⎛⎫=+-+-∈ ⎪⎝⎭R ． （1）求()f x 的最小正周期及增区间；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值．19．已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++(,0,0,A b ωϕπ><<为常数）一段图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，7()2f B =，求22sin sin A C +的取值范围.20．已知函数22()sin()cos sin 2f x x x x x π=++- (1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，然后再向右平移ϕ(0ϕ>)个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称．求ϕ的最小值.21．已知点()()11,A x f x ,()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ>-<<图象上的任意两点,且角ϕ的终边经过点(1,P ,若12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若方程[]23()()0f x f x m -+=在4(,)99x ππ∈内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．22．已知函数22()4sin tan (0)74f x x x πααα=++<<有且仅有一个零点. （1）求sin 2α的值；（2）若23cos 22sin sin ,(,)142πββββπ+=+∈，求2βα-的值.参考答案1．C2．D3．B4．D5．A6．A7．C8．D9．A10．B11．D12．B13．1415．2.8916．① ③ ④ 17．（1（2）2解：（1）原式12101022cos 6010cos ⎛⎫︒︒ ⎪︒-︒====== （2）∵sin （α+2β）＝3sin α，∴sin （α+β+β）＝3sin （α+β﹣β），即sin （α+β）cos β+cos （α+β）sin β＝3sin （α+β）cos β﹣3cos （α+β）sin β， 2sin （α+β）cos β＝4cos （α+β）sin β，得()()2sin sin cos cos αββαββ+=+，即tan （α+β）＝2tan β， 则()tan tan αββ+=2．18．（1）2()cos sin 13f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2211cos sin 1sin cos 1224224x x x x x x x ⎛⎫=++-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，11cos211sin 21sin 21sin 2142423x x x x x π+⎛⎫=⋅-=--=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==, 令222232k x k πππππ-≤-≤+，则1212k x k π5ππ-≤≤π+，k Z ∈， 故函数的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当236x ππ-=，即4x π=时，max 113()1224f x =⨯-=-； 当232x ππ-=-，即12x π=-时，min 13()(1)122f x =⨯--=- 19． (1)523A =-=，()5122b +-==54126T πππ⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭Q 2ω∴= 由262ππϕ⋅+=得6πϕ=()3sin 226f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭ （2）()72f B =Q 可知()73sin 2262f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 266B ππ∴+=或5266B ππ+=0B ∴=（舍去）或3B π=22sin sin A C ∴+=()2222sin sin sin sin A C A A B +=++=2253sin cos cos 44A A A A ++=231sin cos 42A A A ++=311cos2422A A -+⨯+ 11sin 226A π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭ 3B π=Q20,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭即72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ 1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 1331sin 2,2642A π⎛⎫⎛⎤∴+⋅-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 22sin sin A C ∴+的取值范围为33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦20．(1) 22()sin()cos sin 2f x x x x x π=++-cos cos 2x x x +2cos2x x +2sin(2)6x π=+ 当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2+,+,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减， 所以函数()f x 的单调递减区间为2+,+,63k k k Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (2) 将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍， 纵坐标不变，然后再向右平移ϕ(0ϕ>)个单位长度， 所得函数为2sin 4()2sin(44)66y x x ππϕϕ⎡⎤=-+=+-⎢⎥⎣⎦， 若图象关于y 轴对称，则(0)2f =， 即462k ππϕπ-=+，解得,124k k Z ππϕ=--∈， 又0ϕ>，则当1k =-时， ϕ有最小值6π.21． （1）角ϕ的终边经过点(1,P ，tan ϕ=02πϕ-<<Q ，3ϕπ∴=-． 由12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω∴=． ∴()2sin(3)3f x x π=-(2）4(,)99x ππ∈∴3(0,)3x ππ-∈，∴0sin(3)13x π<-≤．设()f x t =， 问题转化研究方程230t t m -+=在（0，2）内解的情况．当1,10012m m =-<≤时方程230t t m -+=在（0，2）内解只有一个，对应x 的解有两个 ∴m 的取值范围是：112m =或100m -<≤. 22． 解：（1）根据判别式为零可得28sin 16sin 07cos ααα-⋅=，整理得12sin 7cso αα=，即1sin27α=；（2）因为23cos22sin sin 14βββ+=+，所以22312sin 2sin sin 14βββ-+=+，解得11sin 14β=，由（1）得cos27α=，可得()1cos 22βα-=-，进而可得结果. 详解：（1）函数()224sin tan (0)74f x x x πααα=++<<有且仅有一个零点等价于关于x 的方程224sin tan 0(0)74x x πααα++=<<有两个相等的实数根. 所以2816sin tan 07αα∆=-=，即28sin 16sin 07cos ααα-⋅= 整理得12sin 7cso αα=，即1sin27α=. （2）因为23cos22sin sin 14βββ+=+ 所以22312sin 2sin sin 14βββ-+=+，解得11sin 14β=，又,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 14β==-由（1）得1sin27α=，且022πα<<，所以cos27α=， 所以()cos 2cos cos2sin sin2βαβαβα-=+11117142⎛=+⨯=- ⎝⎭由,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，022πα<<，知02βαπ<-< 故223πβα-=.。

六安一中2018-2019年度第二学期高一年级第二次阶段检测数学试卷（文科）一、选择题．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.sin 20cos170cos20sin10︒︒-︒︒=（ ） A. 32-3 C. 12-D.12【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式将cos170°化为-cos10°，再将所得式子提取负号后用两角和的正弦公式合并然后,由特殊角的三角函数求其值，即可解答. 【详解】sin20°cos170°-cos20°sin10° =-(sin20°cos10°+cos20°sin10°) =-sin(20°+10°) =-sin30°12=-.故选C.【点睛】本题考查诱导公式以及两角和的正弦公式，直接运用公式即可求值，属于基础题.2.已知D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD uuu v等于（ ）A. 12BC BA +u u u r u u u rB. 12BC BA --u u u r u u u rC. 12BC BA -u u u r u u u rD. 12BC BA -+u u u r u u u r【答案】D 【解析】 分析】根据三角形中线的性质，得1()2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r，再由平面向量加减法运算可得答案．【详解】∵D 是△ABC 的边AB 的中点，∴1()2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r11()22CA BA BC CD BABC BC BC BA=-=--=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：D ．【点睛】本题考查向量的加减法运算，考查三角形中线的性质，属于基础题．3.在ABC ∆中，90,1C CA CB =︒==，则AC BA ⋅u u u r u u u r（ ）A. -1B.22C. 1D. 22-【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可．【详解】解：在ABC V 中，901C CA CB =︒==，，则cos135AC BA CA BA ⋅=︒u u u v u u u v u u u v u u u v21212⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，是基本知识的考查．4.若O 为ABC ∆平面内一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】由向量的运算律以及向量的数量积可得()CB AB AC ⊥+u u u r u u u r u u u r，进而判定三角形的形状.【详解】由()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得()0,()CB AB AC CB AB AC ⋅+=⊥+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则三角形的中线和底边垂直，从而ABC ∆是等腰三角形， 故选D.【点睛】本题考查利用向量坐标运算求解三角形形状问题，关键是通过数量积等于零确定垂直关系，再确定是否为等腰三角形.5.若两个非零向量a r ，b r满足2a b a b a +=-=r r r r r ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】试题分析：结合向量加减法的平行四边形法则三角形法则可知,a b a b +-r rr r 分别为以,a b r r 为临边的平行四边形的对角线对应的向量，2a b a b a r r Q r r r +=-=，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的边的较小的夹角为6π，结合图形可知向量a b r r +与a b -r r 的夹角为23π 考点：向量的平行四边形法则三角形法则点评：本题首先结合向量加减法的作图原则做出,a b rr 及其和差向量，结合平面图形性质可知四边形是矩形6.已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，a b ⊥r r ，则向量2a b -v v 在向量a r 方向上的投影为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】根据||1a =r ，a b ⊥r r，再结合投影的定义即可求得答案.【详解】根据向量的投影公式可知，向量2a b -v v在向量a r方向上的投影为2(2)()1||||a b a a a a -⋅==r r r r rr ,故选B. 【点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的概念以及投影公式运算即可，属于常考题型.7.已知向量(cos ,sin )a b v v αα==，则a b v v -的最大值为（ ）A. 1 C. 3D. 9【答案】C 【解析】 【分析】由向量a =r ，()cos sin b αα=r，表示a b -r r ，利用辅助角公式化简求最值即可.【详解】因为a b -=r r= =所以当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，a b -r r 取得最大值3.【点睛】本小题考查平面向量的基本运算，三角函数的最值，向量模的概念及其最值等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.8.若4sin()65x π-=，则sin(2)6x π+值为（ ）A.725B. 725-C.2425D. 2425-【答案】B 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简sin(2)6x π+，再根据二倍角余弦公式得结果.【详解】∵4sin()65x π-=，∴2327sin(2)cos 212sin 16362525x x x πππ-⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力,属基础题.9.对函数21()cos cos 2f x x x x =+-的表述错误的是（ ） A. 最小正周期为π B. 直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴C. ()f x 在区间(,)36ππ-上递增 D. 点(,0)6π是()f x 图象的一个对称中心【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．【详解】∵211()cos cos 2cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 函数的周期22T ππ==，故选项A 表述正确； 令262x k πππ+=+，解得26k x ππ=+，令k=-1,则3x π=-，故B 表述正确； 222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，令k=0,可得C 表述正确；26x k ππ+=,解得212k x ππ=-，D 表述错误，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．10.若sin 2m α=， cos2n α=，且πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭有意义，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 11m nm n ++-+B.11m nm n +--+C. 1m n+D. 1n m-【答案】C【解析】 【分析】首先利用两角和的正切公式展开，再分子分母同时乘以sin cos αα+即可. 【详解】若sin 2m α=， cos2n α=，且πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭有意义， 则1tan sin cos 1sin 21tan 41tan cos sin cos 2mn πααααααααα++++⎛⎫+==== ⎪--⎝⎭,故选C. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.11.已知函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+，将函数()f x 的图象向左平移(0)φφ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则φ的最小值是（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数()2cos 2cos23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简，并用辅助角公式化成一个()cos()g x A x B ωθ=++形式，函数()g x 的图象关于y 轴对称，也就是说函数()g x 是偶函数，因此有()k k Z θπ=∈，而0ϕ>，就能求ϕ的最小值. 【详解】()2cos 2cos23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭进行化简得，221()cos 2cossin 2sin cos 2cos 22cos 23321cos 22cos(2)23f x x x x x x x x x x πππ=++=-+=+=-由题意可知()cos[2()]cos(22)33g x x x ππϕϕ=+-=+-，函数()g x 的图象关于y 轴对称也就是说函数()g x 是偶函数，所以有2()3k k Z πϕπ-=∈成立，即1()26k k Z πϕπ=+∈因为0ϕ> 所以ϕ的最小值为6π，此时0k =，故本题选A. 【点睛】本题考查了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征。