七年级数学探索规律

探索规律教学目标１.探索数量关系，运用符号表示规律，通过验算证明规律．２.会用代数式表示简单问题中的数量关系．3.提高学生分析问题, 解决问题的能力．教学重点：能探索发现数学规律．教学难点：学会探索发现数学规律．教具：日历纸两张，白纸一张自制日历挂图一张教学过程：一、设疑自探1、情境导入：活动１：数青蛙（教师先说，学生根据所听到的数的规律往下接）师：＂一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，一声扑通跳下水．两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，两声扑通跳下水．＂学生接着往下说，三只﹑四只﹑五只…提问：＂n只呢？＂由此引入课题2、发现规律活动２：日历中的规律（在黑板上挂出自制挂图）二．解疑合探１. 方框中的９个数之和与最中间的数有什么关系？用自己准备的日历纸再圈一个３×３方框试试，结论相同吗？跟周围的同学交流一下，看这个关系对每一个月的日历都成立吗？２. 此方框中每行每列相邻两个数之间有什么关系？两条对角线上的相邻两个数之间有什么关系？如果设中间的一个数为ａ，则其他的几个数该如何表示呢？请填一填吧！试用代数式表示这９个数的和与最中间的数的关系吧！３. 仔细观察，你一定会发现此方框中９个数之间的其他关系的，请试一试吧！活动３：联系拓展（看我多棒）用自己准备的另一张日历纸，圈出其他形状的区域，找找数量之间的关系，每个小组圈一个形状探索，并试着用代数式表示你找到的关系．（小组讨论出来后，组间交流，展示自己的成果）活动４：类比提高（举一反三，我多能）前面我们曾研究过细胞分裂问题，一个细胞分裂一次，一个分裂成两个，分裂两次，一个分裂成四个…，那么分裂６次呢？分裂１０次呢？分裂ｎ次呢？与此类似我们来做一个折纸游戏：（拿出准备好的白纸）将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折６次后，可得到几条折痕？如果对折１０次呢？对折ｎ次呢？把每次的结果记录在表格中研究研究吧！三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题四．运用拓展：引导学生自编习题小结：这节课学到了什么1、用代数式表示问题中的数量关系.2、探索问题中的数量关系应仔细观察,由几组特殊数据找到数量间的一般规律．。

初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是指通过观察数列、图形或数据等，在一定的规则下寻找并探究其中的规律性的问题。

这种问题在初中数学中占有很重要的地位，有助于学生培养数学思维能力、观察力和逻辑推理能力。

初中数学规律探究问题的类型可以分为数列规律、图形规律和数据规律三类。

一、数列规律问题：数列规律问题是最常见的一类规律探究问题。

通过观察数列中的数字间的关系，找出数列中的规律，并根据规律继续发展数列的下一项。

解题技巧：1. 观察数列中的数字之间的差值或倍数关系，找出数列的通项公式。

1, 3, 5, 7, ...这个数列中，每项相差2，可推测通项公式为2n-1。

2. 观察数列中的数字之间的乘积关系，找出数列的通项公式。

2, 6, 18, 54, ...这个数列中，每项之间都是前一项乘以3，可推测通项公式为2*3^n-1。

3. 观察数列中的数字之间的其他关系，如开方、乘方、递推等。

1, 2, 4, 8, ...这个数列中，每项都是前一项乘以2，可推测通项公式为2^n。

二、图形规律问题：图形规律问题是通过观察一系列图形的形状、数量、位置等特征，找出其中的规律，并根据规律继续绘制下一个图形。

解题技巧：1. 观察图形中的线段、角度、对称性等几何特征，找出图形的规律。

菱形图形的内角和都是360度，可用来判断菱形的特征。

2. 观察图形之间的变形关系，如旋转、平移、翻转等。

向上平移一次得到下一个图形，可用来判断图形的规律。

3. 观察图形中的数字和符号之间的关系，如大小、顺序、重复等。

图形中重复出现的数字可能有特殊的含义，可以利用这些数字来推测规律。

解题技巧：1. 观察数据之间的数值关系，如加减、乘除、指数等。

一组数据之间的差值相等，可用来推测规律。

2. 观察数据之间的变化趋势，如递增、递减、周期性等。

一组数据呈现递增或递减的趋势，可用来推测规律。

3. 观察数据之间的比例关系，如比值、百分比、占比等。

七年级上册探索规律知识点在七年级上册数学中，我们学习了很多关于探索规律的知识点，掌握这些知识点不仅能够帮助我们更好地理解数学，更能提升我们的思维能力和解题能力。

接下来，就让我们一步步地来回顾这些知识点。

一、图形规律1.图形的对称性在数学中，我们常常会遇到一些图形，而对称性正是其中的一个重要概念。

在平面几何中，图形的对称性可以分为轴对称和中心对称两种类型。

轴对称是指图形具有对称轴，对称轴能够将图形分为两部分，两部分关于对称轴完全相同。

而中心对称是指图形具有中心点，对于任意一点，都存在且仅存在唯一一点，使得这两个点相互关于中心对称。

2.等腰三角形的对称性在等腰三角形中，如果将等腰边作为对称轴，那么三角形就是对称的。

我们可以利用这个性质来解决一些等腰三角形的问题。

二、数列规律1.等差数列在数列中，如果每个元素与它前一个元素之差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的前n项和可以表示为(n/2)(首项+末项)。

2.等比数列如果数列中每个元素与它前一个元素的比等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的前n项和可以表示为(首项(1-公比^n))/(1-公比)。

三、函数规律在函数中，我们常常会遇到一些规律性问题。

掌握函数规律的关键是要对函数中的各个变量和常数进行逐一分析。

1.一次函数一次函数是一种简单的线性函数，形式为y=kx+b，其中k和b是常数，x和y分别代表自变量和因变量。

一次函数的图像是一条直线，斜率为k，截距为b。

2.二次函数二次函数是一种常见的二次多项式函数，形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，x和y分别代表自变量和因变量。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次系数a的正负决定。

以上就是七年级上册中一些常见的探索规律知识点。

我们希望大家在学习这些知识点的过程中，能够不断思考、不断探索，更好地理解数学知识，提升自己的数学素养。

探索规律列代数式探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数、式或图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律．现以近年各地的中考题为例说明如下.1. 探索单项式中的规律例1 （2021年云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n解析：观察单项式中a的系数、次数与单项式的序数的关系，有如下规律：第1个单项式a2＝12·a1+1；第2个单项式4a3＝22·a2+1；第3个单项式9a4＝32·a3+1；第4个单项式16a5＝42·a4+1；……所以第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1．故选A．2. 探索等式中的规律例2 （2021年嘉兴）观察下列等式：1＝12-02，3＝22-12，5＝32-22，…，按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝___________．解析：观察等式中的数字与等式的序数的关系，有如下规律：第1个等式：2×1-1＝12-02；第2个等式：2×2-1=22-12；第3个等式：2×3-1＝32-22；……所以第n个等式为2n﹣1＝n2-（n-1）2．故填n2-（n-1）2．3. 探索图形中的规律例3 （2021年绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_________.解析：观察图中三角形的个数与图形的序数的关系，有如下规律：第1个图形中三角形的个数为1=12+0；第2个图形中三角形的个数为5=22+1；第3个图形中三角形的个数为11=32+2；第4个图形中三角形的个数为19=42+3；……所以第n个图形中三角形的个数为n2+n﹣1．故填n2+n﹣1．第1 页共1 页。

七年级探索规律知识点在七年级数学课程中，探索规律是一项非常重要的知识点。

通过研究数据和图形，学生们可以发现和总结规律性的关系，并将其应用到解决各种数学问题的过程中。

本篇文章将简要介绍一些常见的探索规律知识点。

1. 数列和通项公式数列是由一串数按照一定次序排列而成的序列。

而数列的通项公式就是描述这个数列的模式和规律的公式。

在七年级课程中，学生们将会学习如何找到一些常见数列的通项公式，如斐波那契数列、等差数列和等比数列等。

同时，学生们将学习如何利用数列的通项公式来计算数列中的任意一项。

2. 图形规律图形规律涉及到由点、线和面组成的各种形状和图案。

在七年级课程中，学生们需要探究不同的图形之间的联系和规律。

例如，他们需要研究如何通过旋转、翻转和平移等操作来构建不同的图形，还需要了解几何图形的对称性和相似性等概念。

3. 平均数和中位数平均数和中位数是统计学中两个非常重要的概念。

平均数是指一组数据的所有数值之和除以数据个数，而中位数是指一组数据按大小排列后的中间数。

通过研究这些统计概念，学生们可以更有效地处理和分析数字数据。

4. 几何图形的面积和周长几何图形的面积和周长是七年级数学中的重要概念。

在课程中，学生们将会涉及到矩形、正方形、三角形和圆形等基本几何图形的面积和周长的计算。

同时，学生也会学习如何将这些计算应用到实际问题中。

5. 概率概率是指某个事件发生的可能性。

在七年级数学中，学生们将会学习如何计算简单的概率，例如掷硬币和抽卡片等。

除此之外，学生们也会学习到如何利用概率来评估不同效益的选择和决策。

总之，探索规律是七年级数学课程中的一个重要知识点。

通过研究这些常见的规律和模式，学生们可以更好地理解和应用数学知识。

同时，这些探索规律的知识也可以帮助学生们在解决实际问题时更有效地思考和分析。

北师大版数学教材七年级上册《探索规律》教学课例分析一、教学设计：1、教学背景“探索规律”是北师大版数学教材七年级上册第三章的最后一节内容，它是在学生学习了“生活中的图形”和“用字母表示数”等两章知识的基础上，把“图形”和“代数式”有机结合在一起，是这两章内容的深化和延伸。

本课在兴义八中初一（1）班（中小学数学“情境——问题”教学实验班），珠海市前山中学初一（10）（非实验班）及澳门天主教海星中学初一年级综合班（非实验班）各上了一节，因各地区的教材，文化背景及是否参加情境教学实验各不相同，所以课后效果不尽相同。

2、教学设计本节课采用“情境—问题”教学模式，“活动一”是让学生亲自动手用火柴棒搭三角形，并观察火柴捧的根数与三角形的个数，猜想它们之间存在的关系，用代数式把它们表示出来，并验证其正确性。

“活动二”是提供一组算式，让学生根据算式中所提供的数字信息提出数学问题，在解答数学问题的过程中找出规律。

“活动三”是我们日常生活中最常见的“日历”，让学生探索出它的基本规律后，进一步去运用它，并设计一个与之相关的应用题，这样让学生既掌握了规律，又能与代数式、方程等相关知识联系起来，让学生体会到数学知识的内在联系。

这节课通过三个活动，以开放的课堂形式组织教学，让学生在数学情境中提出问题，再解决问题，并学会去运用；改变了过去接受式学习方式，学生不是等待知识的传递，而是积极主动地参与到学习活动中，成为学习的主体，通过操作、探索、研究，逐步培养学生处理信息、交流合作和解决问题的能力。

二、教学过程1．开门见山，引出课题：小时候我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年的乐趣，利用手中的火柴棒搭建一些常见图形，探索规律。

（引出课题）2. 合作交流，探索规律：活动一：探索常见图形的规律师：用火柴棒按下图的方式在同一平面上搭三角形, 其中,搭一个三角形需3根火柴棒.对此,你能提出些什么数学问题呢?……生（兴义八中）：①能搭成几个三角形？②搭n个三角形需几根火柴？③可拼成哪些图形？生（前山中学）：①可拼成哪些图形？②你这样问是什么意思？生（澳门海星中学）：①可拼成正六边形、三角形、四边形。

《探索规律》数学教案一、教学目标1. 让学生通过观察、实验、猜测、验证等方法，探索并发现简单的数学规律。

3. 培养学生合作交流、积极参与的学习态度，激发学生对数学的兴趣和好奇心。

二、教学内容1. 第一章：数字规律1.1 观察数字序列，找出规律1.2 探索数字变化规律，解决问题2. 第二章：图形规律2.1 观察图形序列，找出规律2.2 探索图形变化规律，解决问题3. 第三章：数列规律3.1 观察数列特征，找出规律3.2 探索数列变化规律，解决问题4. 第四章：比例规律4.1 观察比例关系，找出规律4.2 探索比例变化规律，解决问题5. 第五章：时间规律5.1 观察时间序列，找出规律5.2 探索时间变化规律，解决问题三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、实验、猜测、验证，激发学生的2. 运用小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。

四、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式、合作交流的情况等。

2. 作业评价：检查学生运用规律解决问题的能力，以及对知识的理解和掌握程度。

3. 单元测试评价：评估学生在探索规律方面的掌握情况，发现并解决问题。

五、教学资源1. 数字规律案例：提供一些数字序列，供学生观察、探索。

2. 图形规律案例：提供一些图形序列，供学生观察、探索。

3. 数列规律案例：提供一些数列，供学生观察、探索。

4. 比例规律案例：提供一些比例关系，供学生观察、探索。

5. 时间规律案例：提供一些时间序列，供学生观察、探索。

教学反思：在教学过程中，要注意关注每一个学生的学习情况，鼓励学生积极参与、思考、交流。

对于学习有困难的学生，要给予个别指导，帮助他们理解和掌握规律。

要引导学生将所学规律应用于实际问题中，提高学生的应用能力。

在教学评价方面，要综合考虑学生的课堂表现、作业完成情况以及单元测试成绩，全面评估学生在探索规律方面的掌握程度。

六、教学设计1. 导入：通过一个简单的数字游戏，引发学生对数学规律的好奇心，激发学生2. 探索规律：引导学生观察、实验、猜测、验证，让学生自主发现数字、图形、数列、比例、时间等规律。

探索规律（习题）➢例题示范例1：观察图1至图4中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为M，则M=__________（用含n的代数式表示）．…图1 图2 图3 图4思路分析做图形规律的题，我们一般从两个方面来研究：（1）观察图形的构成．（2）转化．观察本题的图形，发现后面的图形总比前面的图形多3个小圆圈，可以采用分类的手段进行解决．分成原来的和增加的两类．①2+3×1②2+3×2③2+3×3④2+3×4则第n个：2+3n=3n+2．验证：当n=1时，3n+2=5，成立．故第n个图形中有(3n+2)个小圆圈．（想一想，还有其他观察角度吗？）例2：观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：…从第1个球起到第2 014个球止，共有实心球________个．思路分析①判断该题是循环规律，查找重复出现的结构，即循环节；②观察图形的变化规律，发现每10个球为一个循环，每个循环节里有3个实心球．故2 014÷10=201…4，201×3=603；③再从某个循环节开始查前4个球，发现有2个实心球，故总数为603+2=605（个）．➢巩固练习1.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题．123456781011121314151617181920212223242526272829303132333435369…（1）表中第8行的最后一个数是_____，它是自然数______ 的平方，第8行共有________个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是_________， 最后一个数是_________，第n 行共有_________个数． 2. 将1，-2，3，-4，5，-6，…按一定规律排成下表：（1）第8行的数是_________________________________； （2）第50行的第一个数是_______．3. 下列图形由边长为1的正方形按某种规律排列而成，依此规律，则第8个图形中正方形有（ ）…图3图2图1A．38个 B．41个 C．43个D．48个4.如下图所示，摆第1个“小屋子”要5枚棋子，摆第2个要11枚棋子，摆第3个要17枚棋子，则摆第30个要_________枚棋子．…第3个第2个第1个5. 下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色正方形的个数为_________．…图3图2图16. 观察下列图形，根据图形及相应点的个数的变化规律，第n 个图形中点的个数为__________．图5图4图1图2图3…7. 如图1，一等边三角形的周长为1，将这个等边三角形的每边三等分，在每边上分别以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2；再将图2中的每一段作类似变形，得到图3；按上述方法继续下去得到图4，则第4个图形的周长为________，第n 个图形的周长为________________．…图1 图2 图38. 一个纸环链，纸环按“红黄绿蓝紫”的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 … … 黄 绿 蓝 紫 A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 0159. 小时候我们就用手指练习过数数，一个小朋友按图中的规则练习数数，数到2 013时对应的手指头是（ ） A ．大拇指B ．食指C ．小拇指D ．无名指大拇指1234567891011121314151617181910. 如图，平面内有公共端点的八条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，…．（1）“20”在射线______________上； （2）请任意写出三条射线上的数字排列规律； （3）“2 015”在哪条射线上？➢ 思考小结1. 我们学习了数的规律、式的规律、图形规律、循环规律等，它们都有对应的操作方法．（1）数与式的规律：①_________；②_________；③处理符号；④验证． （2）图形规律：①观察图形的构成：____________________；②转化：________________________________________． （3）循环规律：①________________；②____________________．HD【参考答案】➢巩固练习1.（1）64，8，15；（2）(n-1)2+1（或n2-2n+2），n2，(2n-1)．2.（1）29，-30，31，-32，33，-34，35，-36；（2）-1 226．3. C4.1795.5n+36.n2-n+17.6427，143n-⎛⎫⎪⎝⎭8. B9. C10.（1）OD（2）射线OA：8n-7；射线OB：8n-6；射线OC：8n-5；射线OD：8n-4；射线OE：8n-3；射线OF：8n-2；射线OG：8n-1；射线OH：8n．任选三个即可．（3）在射线OG上．➢思考小结1.（1）①标序号；②找结构．（2）①分类，去重，补形；②转化为数的规律或其他图形的规律．（3）①确定起始位置；②找循环节．。

初中数学规律探索教案一、教学目标：1. 让学生通过观察、实验、归纳等方法，发现并总结一些基本的数学规律。

2. 培养学生的逻辑思维能力、归纳总结能力和创新能力。

3. 让学生感受数学的趣味性和实用性，提高学生学习数学的兴趣。

二、教学内容：1. 探索数字变化的规律2. 探索图形的规律3. 探索数的规律三、教学过程：1. 导入：教师通过展示一些有趣的数字变化，引导学生发现其中的规律，激发学生的兴趣。

2. 探索数字变化的规律：教师提出问题，让学生观察数字的变化，并尝试找出其中的规律。

学生通过实验、讨论等方式，总结出一些基本的数字变化规律。

3. 探索图形的规律：教师展示一些有趣的图形，引导学生观察并找出其中的规律。

学生通过实验、讨论等方式，总结出一些基本的图形规律。

4. 探索数的规律：教师提出问题，让学生观察数的排列，并尝试找出其中的规律。

学生通过实验、讨论等方式，总结出一些基本的数列规律。

5. 总结：教师引导学生归纳总结本节课所发现的数学规律，并强调规律的重要性。

6. 练习：教师布置一些有关数学规律的练习题，让学生巩固所学知识。

四、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动观察、实验、讨论，发现并总结数学规律。

2. 利用多媒体辅助教学，展示丰富的教学资源，提高学生的学习兴趣。

3. 注重个体差异，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的创新能力。

4. 创设生动活泼的课堂氛围，让学生在轻松愉快中学习数学。

五、教学评价：1. 学生能正确表述所发现的数学规律。

2. 学生能运用所学的数学规律解决实际问题。

3. 学生对数学学习充满兴趣，积极参与课堂活动。

六、教学反思：本节课通过引导学生观察、实验、讨论等方式，发现并总结了一些基本的数学规律。

在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的创新能力。

同时，要注重练习的布置，让学生巩固所学知识。

总之，本节课旨在培养学生的逻辑思维能力、归纳总结能力和创新能力，提高学生学习数学的兴趣。

11条 2条 3条 图1 图2 图3七年级数学（上）探索规律类 问题班级 学号 姓名 成绩一、数字规律类：1、一组按规律排列的数：41，93，167，2513，3621，…… 请你推断第9个数是 ． 2、已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是 ．3、观察下列各式；①、12+1=1×2 ；②、22+2=2×3；③、32+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来 。

4、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9；③、1+2+3+4+3+2+1=16；④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接写出第n 个式子 5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．46、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。

第1行 1第2行 －2 3第3行 －4 5 －6第4行 7 －8 9 －10第5行 11 －12 13 －14 15 ………………7、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ． 二、图形规律类：8、一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到O 1A 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到O 2A 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为 。

9、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴 根.……10、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○● ………… 从第1个球起到第2005个球止，共有实心球 个．11、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含n 的代数式表示）。

4.6.1 探索规律（一）想一想●怎样从几个简单的、个别的、特殊的情况出发去研究、探索、归纳出一般的规律和性质？怎样应用一般的规律和性质去解决特殊的问题？做一做1．观察规律，填数：（1）9，11，13，______…，第10个数是________；（2）11，17，27，_____，______，______…，使这列数从第三个数开始，•每个数都是前两个数的和减去1．2．观察右图，填空：由上而下，第n 行，白球有______个，黑球有_______，黑白球的数目共________个．3．给出算式：32-12=8=8*1，52-32=16=8*2，72-52=24=8*3，92-72=32=8*4，…观察上面一系列算式，你能发现什么规律？*表示哪种运算？用代数式表示这一规律．4．观察如图星阵后，推测：1+3=______；1+3+5=______；1+3+5+7=_______；1+3+5+7+9=______；…1+3+5+…+（2n-1）=_______．试一试5．探索规律：（1）计算并观察下列各组算式：88____,79____;⨯=⎧⎨⨯=⎩ 55______,46______;⨯=⎧⎨⨯=⎩ 1212______,1113______;⨯=⎧⎨⨯=⎩（2）已知25×25=625，那么24×26=_________；（3）你能举一个类似的例子吗？（4）从以上的过程中，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律，并用代数式表示出来．答案:1．（1）15，27 （2）43，69，111 2．n，2n-1，3n-13．（2n+1）2-（2n-1）2=8n，*表示乘法 4．4；9；16；25；n2 5．（1）略（2）624 （3）略（4）（n-1）（n+1）=n2-1。

探索规律【学习目标】1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题1】 类型一、数式规律1．在下列数列里，写出后面两个数：（1）1，10，3，13，5，16，7，19， ， ，… （2）2，5，6，10，18，20，54，40， ， ，… （3）4，16，36，64， ，144，196， ，…， （4）0，1，2，3，6，11，20， ， ，…（5）， ，，，，，，， ， ，….【对点演练1】观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ） A ． B ．C ．D ．【总结升华】（1）（2）（4）的第n 项不容易用一个代数式表示出来，（3）的第n 项为4n 2，（5）的第n 项为．1356-991312-17152118-25212924-143(1)3n n n+--【典型例题2】我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…（1）根据上述格式反应出的规律填空：952= ；（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果；（3）这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果．【对点演练2】观察下面组成的图案和算式，解答问题：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19= ；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）= .【总结升华】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“（a5）2=a ×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25”．解决该题型题目时，根据给定等式子的变化，找出变化规律是关键．【典型例题3】用火柴棒按图中的方式搭图：(1) 填写下表：(2) 第N个图形需要多少根火柴？【对点演练3】从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有个三角形？【总结升华】在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推，数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏.【典型例题4】将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m，n）表示第m排、从左到右第n个数，如（3，2）表示实数5．（1）图中（7，3）位置上的数；数据45对应的有序实数对是．（2）第2n行的最后一个数为，并简要说明理由．【对点演练4】根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字．【总结升华】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：每行数字的个数等于行数，而且奇数行的数字都是奇数，偶数行的数字都是偶数．【典型例题5】观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个.【对点演练5】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？2.如图，一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有颗．【总结升华】解决此题的关键是找到规律：每10个球一组；第1，4，5为实心球，第2，3，6，7，8，9，10个为空心球．【巩固练习】一、选择题1．为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：n按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）.A ．B ．C ．D ．2.请你观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、 c 的值分别为（ ）.A ．20、29、30B ．18、30、26C ．18、20、26D ．18、30、28 3.从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（ ） A ．21 B ．22C ．23D ．994.伸出你的左手，从大拇指开始如图示那样数数：1，2，3，4……数到2013时，你数到的手指是（ ）.A.小指B.无名指C.中指D.食指 5.下列数据具有一定的排列规律：若整数2016位于第a 行，从左数第b 个数，则a+b 的值是（ ） A ．63 B ．126 C ．2015 D ．10026.已知整数，…满足下列条件：，，，，…，依此类推，则的值为（ ）.26n +86n +44n +8n 1234,,,a a a a 10a =211a a =-+322a a =-+433a a =-+2012a 1 2 3 4 5…2 4 6 810 …3 6 912 15 …4 812 16 20 …510 15 20 25… … … ……18 c3212 15 a 20 24 25 b表二表三表四 表一A.－1005B.－1006C.－1007D.－2012二、填空题7.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是，2016是第个三角形数．8．有数组：（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，则第100组的三个数之和 .9. 一个用数字1和0组成的2003位数码，其排列规律是：101101110101101110……则这个数码中数字“0”共有个．10.观察下列等式：2＝2＝1×22＋4＝6＝2×32＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×5……（1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是__________；（2）当n＝10时，从2开始到第10个连续偶数的和是_______________.11. 13+23=9=（1+2）2； 13+23+33=36=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2，…，则13+23+33+43+…+993+1003= .12. 在数学竞赛的颁奖会上，10位获奖者每位都相互握手祝贺，则他们共握了次手.如果有n位获奖者，则他们共握了次手.13.（2016•泉州）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为．三、解答题14．（2015•广东模拟）观察下列等式：第一个等式：a1 = = ﹣；第二个等式：a 2 == ﹣； 第三个等式：a 3 == ﹣； 第四个等式：a 4 ==﹣．按上述规律，回答以下问题：（1）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ﹣ ； （2）式子a 1+a 2+a 3+…+a 20= ﹣ ．15. 观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：⑴ 写出第五个等式，并在左边画出与之对应的图示；⑵ 猜想并写出与第n 个图形相对应的等式． 16. 用棋子摆出下列一组图形：（1）填写下表：111122=⨯+211122222+=⨯+⨯2111233322++=⨯+⨯21112344422+++=⨯+⨯……n（2）照这样的方式摆下去，写出摆第个图形棋子的枚数；（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？【答案与解析】一、选择题1．【答案】A；2．【答案】D；【解析】观察表一，寻找规律:每个数可以看成它所在的行数与列数的乘积，由表一得：12＝4×3,15＝5×3，a＝6×3=18；由表二得：20＝4×5,24＝4×6,25＝5×5，b＝5×6＝30；由表三得：18＝6×3,32＝8×4，c＝7×4＝28.3. 【答案】A．【解析】由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4个数一组，后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的个数为：21个.4．【答案】A；【解析】从大拇指到小指再到食指的过程堪称一个循环，一个循环就是8，∵2013÷8=251…5，余数是5，所以是从大拇指开始第五个，就是小指.5. 【答案】B；【解析】解：设第n行中最大的数为a n（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，…，∴a n=1+2+…+n=．令a n≤2016，即≤2016，解得：﹣64≤n≤63．∴1≤n≤63，即整数2016为63行的最后一个数．∴a+b=63+63=126．6. 【答案】B；【解析】解：a 1=0，a 2=－|a 1＋1|=－|0+1|=－1， a 3=－|a 2＋2|=－|－1＋2|=－1， a 4=－|a 3＋3|=－|－1＋3|=－2， a 5=－|a 4＋4|=－|－2＋4|=－2， …，所以，n 是奇数时，a n =，n 是偶数时，a n =， a 2012＝． 二、填空题 7.【答案】45，63．【解析】第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2016，n （n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63．8．【答案】1010100；【解析】观察可得：第一个数表示序列号，第二数是序列号的平方，第三个数是序列号的立方，所以第100组数是（100，1002，1003）.9．【答案】668； 【解析】，“0” 的个数：.10.【答案】（1）n （n ＋1）； （2）110 . 11.【答案】50502；【解析】从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方.不难找到第N 个式子为： 13+23+33+……+N 3=（1+2+3+……+N ）2．因此，13+23+33+43+……+993+1003＝（1+2+3+4+……+99+100）2＝50502．12．【答案】45，； 【解析】. 13.【答案】226.【解析】解：根据题意得出规律：14+a=15×16，解得：a=226；12n --2n-201210062-=-200392225÷=32222668⨯+=(1)2n n -109452⨯=故答案为：226．三、解答题14.【解析】解：（1）a n == ﹣；（2）a 1+a 2+a 3+…+a 20=﹣+﹣+﹣+…+﹣= ﹣．故答案为，﹣；﹣．15．【解析】解：（1），图示如下：（2）与第n 个图形相对应的等式：.16. 【解析】解：（1）（2） 3（n +1）（3） 3（n +1）=99， n=32，是第32个图形.211123455522++++=⨯+⨯21112322n n n ++++=+。