百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷(一)(wd无答案)

百师联盟2021届高三开学摸底联考新高考卷数学试卷2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数2i1i-的虚部为 A ．﹣1 B ．1 C ．12 D ．12- 2．已知集合A ＝{}21, x x n n Z =+∈，B ＝{}010y y <<，则集合A B 的子集个数为A ．32B ．31C ．16D ．15 3．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为A ．221()f x x x =-B ．221()f x x x=- C ．31()f x x x =- D ．31()f x x x=- 4．已知平面α，直线l ，m ，n ，满足m ∥α，n ∥α，且m ，n互为异面直线，则“l ⊥m 且l ⊥n ”是“l ⊥α”的 第3题 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．我国历法中将一年分春、夏 、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是 A ．116 B ．14 C ．13 D ．126．已知m ≠0，向量a ＝(m ，n )，b ＝(﹣2，m )，若a b a b +=-，则实数n ＝ A ．2± B ．2 C ．﹣2 D ．2 7．61()ax x+的展开式的常数项为﹣160，则实数a ＝A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣18．已知04πθ<<，则A ．sin cos cos (cos )(cos )(sin )θθθθθθ>> B ．cos sin cos (sin )(cos )(cos )θθθθθθ>> C ．cos cos sin (cos )(sin )(cos )θθθθθθ>> D ．cos sin cos (cos )(cos )(sin )θθθθθθ>>二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下表为2019年某煤炭公司1~10月份的煤炭生产量，则下列结论正确的是A ．极差为12.5万吨B ．平均值为24万吨C ．中位数为24万吨D ．众数为17.5万吨 10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，用一个平面α截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是A ．这两部分的表面积也相等B ．截面可以是三角形C ．截面可以是五边形D ．截面可以是正六边形 11．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象，若()f x 在[0，2π]内有且 只有一个最小值点，ω的值可以为 A ．13 B ．23C ．1D ．2 12．双曲线C ：22221x ya b-=(a ＞0，b ＞0)的焦点在圆O ：2213x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点E(0，a )满足EO EM EN 0++=（其中O 为坐标原点），则A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为13C ．OE 1=D ．△OMN 的面积为6三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置第11题上） 13．若cos(4π﹣2α)＝35，则sin α＝ ．14．若直线340x y a ++=与圆22(2)4x y -+=有且仅有一个公共点，则实数a 的值为 ．15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为 元（取1.211＝7.5，1.212＝9） 16．已知函数2()log f x x kx =-在x ∈(0，16]上有三个零点，则实数k 的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cosB ＋b cosA ＝2c cosB ． （1）求角B ；（2）若A ＝4π，角B 的角平分线交AC 于点D ，BD ，求CD 的长．18．（本小题满分12分）在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，132n n S a a =+，(n N *∈)，10a ≠，且 ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，侧面PBC 是边长为2的等边三角形，M ，N 分别为AB ，AP 的中点，过MN 的平面与侧面PBC 交于EF ．（1）求证：MN ∥EF ；（2）若平面PBC ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝3，求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为2，且过点(2)．（1）求椭圆M 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x ＝a 相交于点Q ．求证：直线PQ 的斜率为定值．21．（本小题满分12分）随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”．某电商平台在其旗下的所有电商中随机抽取了50家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x ，得到了如下的频率分布表：将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在65及以上的电商占全体电商的80%．（1）求a ，b 的值；（2）画出这50家电商顾客评价指数的频率分布直方图； （3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在[45，65)、[65，85)和[85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高20、10、5．现从这50家电商中随机抽取两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为ξ，求ξ的分布列和期望．22．（本小题满分12分）已知21()ln 2f x x a x =+． （1）求()f x 的极值；（2）若函数()()2F x f x x =-有两个极值点1x ，2x ，且122()()2eF x F x +>--（e 为自然对数的底数）恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案11。

百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）全国卷理科数学试卷考试时间为120分钟，满分150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设2122z i ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，其中i 是虚数单位，则z ＝（ ）A.12B.2C.12.已知集合{}0A x x =≥∣，集合(){}2ln 2B x y x x ==+-∣，则AB =（ ）A.()1,+∞B.()2,1-C.[)0,1 D.()2,-+∞3.已知向量(,1)a x =-， (2,4)b =-若a b ⊥，c a b =+，则a 在c 上的投影为（ ）A.1B.1±D.4.方程()44224x y x y +=+所表示曲线的大致形状为（ ）A. B. C. D.5.命题:p “[0,)x ∀∈+∞，2x e x >”的否定形式p ⌝为（ ） A.[0,)x ∀∈+∞，2x e x ≤ B.0(,0]x ∃∈-∞，020x e x > C.0[0,)x ∃∈+∞，020x ex >D.0[0,)x ∃∈+∞，020x ex ≤6.已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A.cos(sin )y x =B.sin(sin )y x =C.cos(cos )y x =D.sin(cos )y x =7.设函数()axf x e =与()lng x b x =的图象关于直线0x y -=对称，其中,a b ∈R 且0a >.则a ，b 满足（）A.2a b +=B.1a b ==C.1ab =D.1b a= 8.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（ ）A.该弹簧振子的振幅为1cmB.该弹簧振子的振动周期为1.6sC.该弹簧振子在0.2s 和1.0s 时的振动速度最大D.该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移不为零9.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ）， 当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象 来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：1,()0,C x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，C Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：,(,)Ca x QQ D b x x ∈⎧⎨∈=⎩（其中,a b ∈R 且a b ≠），以下对()D x 说法错误的是（ ） A.任意非零有理数均是()D x 的周期，但任何无理数均不是()D x 的周期 B.当a b >时，()D x 的值域为[[],b a ；当a b <时，()D x 的值域为[],a b C.()D x 为偶函数D.()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性10.设锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22()c b c b -=-，a =则b c +的取值范围为（ ）A.B.C.D.11.若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在[0,]π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为（ ） A.1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1023,36⎛⎫⎪⎝⎭ 12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，任意x ∈R 均有()()x f x f x e '-=，且()10f =，若函数()()g x f x =t -在[1,)x ∈-+∞上有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ）A.()1,0-B.21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭C.[)1,0- D.21,e ⎡--⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数(1)1iz a i i=+-+的虚部为零，i 为虚数单位，则实数a =__________. 14.已知sin cos θθ+=，且(0,)θπ∈， 则cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 15.函数ln 2()2ln x f x x=+，(1,]x e ∈的最小值为__________. 16.设函数2cos ,[6,6]3()12,(,6)(6,)||x x f x x x π⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-+∞⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()10f x af x ++=()a ∈R 有且仅有12个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17.（12分）已知顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上的锐角α的终边与单位圆交于点1,22A ⎛ ⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 逆时针旋转中02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到角β的终边． （1）求2sin 22cos sin ααα-的值； （2）求cos cos βϕ+的取值范围． 18.（12分）已知函数2()ln (21)2f x ax a x ⎡⎤=+--⎣⎦，a ∈R .（1）若1x =是函数()f x 的零点，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性． 19.（12分）已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于x 的不等式21()22g x t t ≥+在[3,5]x ∈上有解，求实数t 的取值范围． 20.（12分）2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济” 的发展和规范管理投入()[4,8]x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元的赞助费后，商品的销售量将增加到20102y x λ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭万件，[0.6,1]λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费()40530x y ++万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润＝赞助费+出售商品利润）；（2）若对任意[4,8]x ∈万元，当λ满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 21.（12分）已知函数()(1)sin (1)cos f x a x x a x x =--++，[0,]x π∈，a ∈R . （1）若函数()f x 在,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为12π+，求a 的值；（2）若任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂，多涂，漏涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）点，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）点P 为曲线C 上一点，求点P 到直线l 距离的最小值．23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()|2 1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()2f x x ≥+的解集； （2）若1()2f x t ≥--对一切实数x 均成立，求实数t 的取值范围． 百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）全国卷理科数学参考答案及评分意见1.C解：21122z i ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，所以||1z ==，故选C. 2.A 解：集合{}{}22021B x x x x x x =+->=<->∣∣或，所以1(),AB =+∞，故选A.3.A 解：因为a b ⊥，所以()(),12,4240a b x x ⋅=--=-⋅-=，即2x =-，()2,1a =--，()4,3c a b =+=-，所以a 在c 上的投影为1||(4)a c c ⋅==-，故选A.4.A 解：令0x =，解得2y =±，令0y =，解得2x =±，故排除C 、D 选项；易知该函数图象不是圆，排除B 选项，又因为()0,0点满足条件，故选A.5.D 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p “[0,)x ∀∈+∞，2x e x >”的否定形式p ⌝为：0[0,)x ∃∈+∞，020x e x ≤，故选D.6.D 解：由图象知，该函数为偶函数，排除B 选项；当0x =时，01y << ，而cos(sin 0)cos01==排除A 选项；令[]cos 1,1t x =∈-，所以cos(cos )0x >，排除C 选项，故选D.7.C 解：设(),ax A x e 是函数()axf x e =图象上任意一点，则它关于直线0x y -=对称的点()1,ax A e x 在函数()ln g x b x =的图象上，所以ln ax x b e abx ==，即1ab =，故选C. 8.B 解：由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为T ，0.60.204T=-=，解得 1.6T s =，振幅2A cm =，当0.2t s =或1.0s 时，振动速度为零；该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移为零，故选B.9.B 解：设任意1T Q ∈，2c T Q ∈，则()1,(),c a x Q D x T D x b x Q ∈⎧+==⎨∈⎩，()2(,),b x QD x T a b x QD x ∈⎧+=≠⎨∈⎩或，A 选项正确；易知()D x 的值域为{},a b ，B 选项错误；若x Q ∈，则x Q -∈，所以()()f x f x a -==，若x Q ∈，则x Q -∈，所以()()f x f x b -==，C 选项正确；由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也有有理数，其函数值在a 和b 之间无间隙转换，所以()D x 无单调性；综上，故选B.10.D 解：因为22()c b c b -=-，即222a b c bc =+-，由余弦定理知1cos 2A =，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以3A π=，结合正弦定理得sin sin a b B B A =⋅=，sin sin a c C C A =⋅=，则)b c B C B A B +=+=+B =+1sin 2B B ⎫+⎪⎪⎝⎭，化简得：6b c B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；因为2032B ππ<-<，02B π<<，所以2363B πππ<+<，sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭b c <+≤ D. 11.B 解：如图作出简图，由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，因为06x πω=-，则40077210443T x x x ππωω+=+⋅==，500223226x x T x ππωω=+=+⋅=，结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236ππω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选B.12.D 解：设函数()()x f x h x e =，则()()()xf x f x h x e '-'=，因为()()xf x f x e '-=，则()1h x '=，设()h x x C =+，则(1)(1)10f h C e==+=，所以1C =-，即()1h x x =-，()(1)x f x x e =-，()x f x xe '=，则()f x 在[)1,0-单调递减，在[0,)+∞单调递增，min ()(0)1f x f ==-，要使函数()()g x f x t =-有两个零点，等价于曲线()y f x =与y t =有两个交点，所以实数t 的取值范围为21,e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，2(1)f e-=-，故选D. 13.12 解：11(1)122i z a i a i i ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，因为其虚部为零，所以102a -=，110,22a a -==.答案为12.14.4 解：因为23(sin cos )12sin cos 4θθθθ+=+=，所以12sin cos 04θθ=-<，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0θ>，cos 0θ<，结合22sin cos 1θθ+=，解得sin θ=，所以cos sin 2πθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭15.52解：令ln x t =，因为(]1,x e ∈，所以(0,1]t ∈，ln 22142ln 22x t t x t t ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，令142()t t t g ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，由对勾函数的性质易知，()g t 在(]0,1单调递减，即min 5()(1)2g t g ==，所以函数()f x 在(]1,e 上的最小值为52.故答案为52. 16.5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭解：作出函数()f x 的简图如图，令()f x t =，要使关于x 的方程2[()]()10f x af x ++=()a ∈R 有且仅有12个不同的实根，则方程210t at ++=有两个不同的实数根1t ，2t ，且由图知12,(0,2)t t ∈，设2()1g t t at =++，则有(0)0(2)00022g g a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆>⎪⎪<-<⎪⎩，解得5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故答案为5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 17.解：（1）由题意得sin α=，1cos 2α=，所以22212sin 22sin cos 222cos sin 2cos sin 1222ααααααα===--⎛⨯- ⎝⎭（2）1cos cos cos cos cos cos 322πβϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得cos cos 3πβϕϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，因为02πϕ<<，所以633πππϕ-<-<，1sin 23πϕ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，3cos cos 2βϕ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 18.解：（1）要使1x =为函数()f x 的零点，即有(1)ln(33)0f a =-=，解得43a =. （2）令2()(21)2(1)(2)g x ax a x ax x =+--=-+，①当0a =时，函数()f x 的定义域为(,2)-∞-，()ln(2)f x x =--，因为()2g x x =--在(,2)-∞-单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在(,2)-∞-上单调递减； ②当0a ≠时，由()0g x =解得11x a=，22x =-， （i ）当102a -<<时，函数()f x 的定义域为1,2a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，因为()f x 在11,12a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在11,12a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,22a ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递减；（ii ）当12a <-时，函数()f x 的定义域为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()g x 在12,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在111,2aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在12,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在111,2aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减； （iii ）当12a =-时，()0g x ≤ ，不满足题意，()f x 无意义； （iv ）当0a >时，函数()f x 的定义域为1(,2),a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，因为()g x 在(,2)-∞-单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在(,2)-∞-单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.19.解：（1）由题意得()f x 的最大值为2，最小值为-2，设函数()f x 的最小正周期为T ，则=12T =，所以26T ππω==，()2sin 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象过点()1,2，所以(1)2sin f =26πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2()62k k ππϕπ+=+∈Z ，因为||2πϕ<，所以3πϕ=，()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x =的图象，所以()2sin 33g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当[3,5]x ∈时，4,2333x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，则2sin [2,0]33x ππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 因为不等式()2122g x t t ≥+在[3,5]x ∈上有解，即有21202t t +≤，解得40t -≤≤，所以实数t 的取值范围为[]4,0-.20.解：（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2001004402x x λλ=---+，[4,8]x ∈. （2）要使对任意[]4,8x ∈万元时，该销售商才能不亏损，即有0p ≥，变形得(10)(2)25x x xλ++≥在[4,8]x ∈上恒成立，而2(10)(2)12202012x x x x x x x x++++==++， 设20()12f x x x =++，220()1f x x'=-，令()0f x '=，解得x =±，所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，{}max ()max (4),(8)f x f f =，因为(4)21(8)22.5f f =<=，所以有2522.5λ≥，解得0.9λ≥，即当λ满足[0.9,1]λ∈时，该销售商才能不亏损.21.解：（1）因为()(1)sin (1)cos f x a x x a x x =---++，所以()()(sin cos )f x x a x x '=+-， 因为函数()f x 在,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为12π+，所以1222f a πππ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，解得1a =.（2）由（1）知，()()(sin cos )f x x a x x '=+-，[0,]x π∈令()0f x '=，解得1x a =-，12,4x a x π=-=，①当0a ≥时，0x a +≥ ，在0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上，sin cos 0x x -<，所以()0f x '≤，()f x 单调递减；在,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin cos 0x x -≥，所以()0f x '≥，()f x 单调递增；要使任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，即有min ()11042424f x f a a πππ⎛⎫⎫⎫==---++≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得4a π≤-，不满足；②当04a π-<<时，在[0,)x a ∈-上，0x a +<，sin cos 0x x -< ，所以()0f x '>，()f x 单调递增；在,4x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦上，0x a +>，sin cos 0x x ->，所以()0f x '>，()f x 单调递增；要使任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，即有(0)004f f π≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1a ≤-，不满足； ③当4a ππ-≤≤-时，结合②易知，()f x 在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增；在,4a π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；在(,]a π-单调递增；要使任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，即有(0)0()0f f a ≥⎧⎨-≥⎩，解得1a π-≤≤-，所以[,1]a π∈--，满足；④当a π<-时，()f x 在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增；在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；要使任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，即有()0(0)0f f π≥⎧⎨≥⎩，解得11a π--≤≤-，所以[1,)a ππ∈---，满足；综上：a 的取值范围为[1,1]π---.22.解：（1）因为曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()222222(2)))8sin cos 8x y αααα+=+=+=，整理得22182x y +=； 因为直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 22ρθρθ+=sin cos 4ρθρθ+=即40x y +-=.（2）由（1）得直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，则设点)P αα，[0,2)απ∈，则点P 到直线40x y +-=的距离d ==其中tan 2ϕ=， 当sin()1αϕ+=时，min d ==23.解：（1）13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， ①当12x <-时，32x x --≥+，解得52x ≤-，所以52x ≤-； ②122x -≤≤时，312x x -≥+ ，解得32x ≥，所以322x ≤≤； ③2x >时，32x x +≥+ ，解得x ∈R ，所以2x >；综上：不等式()2f x x ≥+的解集为53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）由（1）知，min 15()22f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为1()2f x t ≥--对一切实数x 均成立，即有5122t -≥--，解得3t ≥或2t ≤-， 所以t 的取值范围为(][,2,)3-∞-+∞.。

2022届高三一轮复习联考（一）新高考卷数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1i z =+，则i3iz z +=-（）A .34i 55-+ B.34i 55+ C.41i5+ D.41i 5-【答案】A2.已知集合{}2120A x x x =--<，{}3B x x =∈<Z ，则A B = （）A.{2,1,0}--B.{0,1,2}C.{2,1,0,1,2}--D.{3,2,1,0,1,2}---【答案】C3.命题“0x ∀>，31sin 6x x x >-+”的否定是（）A.0x ∀>，31sin 6x x x ≤-+ B.0x ∀≤，31sin 6x x x >-+C.00x ∃>，30001sin 6x x x ≤-+ D.00x ∃≤，30001sin 6x x x ≤-+【答案】C4.sin160cos 40cos 20cos50︒︒+︒︒=（）A.2B.12C.12-D.2【答案】A 5.已知函数25()11f x x =-+的定义域是[,]m n （m ，n 为整数），值域是[0,4]，则满足条件的整数对(,)m n 的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】D6.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（）A.21600cmB.23200cmC.23350cmD.24800cm 【答案】D 7.函数()||cos x x xf x e⋅=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D8.已知0x >，y ∈R ，()222()ln 2x y x x y -+-+-的最小值为（）A.B.2C.433D.163【答案】B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各命题中，p 是q 的充分不必要条件的是（）A .p<:ln ln q x y>B.已知a ∈R ，p ：直线230x ay ++=与直线860ax y ++=平行，:4q a =或4-C.已知a ∈R ，:22p a -<<，2:()224q f x x ax a =-++没有零点D.已知0a >，0b >，:6p a b +>，:3q a >且3b >【答案】BC10.已知奇函数()f x 的定义域为R ，且在(0,)+∞上单调递减，若1(2)12f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则下列命题中正确的是（）A.()f x 有两个零点B.(1)1f ->-C.(3)1f -<D.1(2)2f f ⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】BD11.已知ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.AG BG CG+=-B.若2133AE AB AC =+ ，则EAC 的面积是ABC 面积的13C.若2AB AC ==，3BC =，则76AB AG ⋅=D.若2AB AC ==，3BC =，则当EA EB ⋅取得最小值时，||2EA =【答案】AC12.已知0a >，0b >，ln ln(32)ln 23a b a +==，则下列说法错误的是（）A.2b a = B.332a b b += C.2ln log 3ln(1)ba =+ D.ln 3bae =【答案】ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数321,0,()1211,0,2xx x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎛⎫--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则[(2)]f f -=___________.【答案】1114.已知sin π133α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【答案】79-15.在矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，E 为CD 的中点，若2EF FB = ，AF AB AD λμ=+，则λμ+=___________.【答案】7616.已知关于x 的不等式22ln 20x ax x +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(],2-∞四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明步骤或演算步骤.17.已知平面向量a 与b 满足2a b ⋅=- ，已知a 方向上的单位向量为e，向量b 在向量a 方向上的投影向量为e - .（1）若2a b + 与a b -垂直，求b 的大小；（2）若a 与b的夹角为34π，求向量b 与23a b + 夹角的余弦值.【答案】（1）1b||=（2）518.随着我国经济发展､医疗消费需求增长､人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x 台，需另投入成本()G x 万元，且()2280,040,36002012100,40100,x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润()W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()22120300,040,36001800,40100.x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎛⎫-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.19.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（*N ω∈，π2ϕ<）的图象关于5π12x =-对称，且在区间5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若π02f ⎛⎫<⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图象.当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.【答案】（1）()πsin 12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎣.20.已知函数23()(23)2ln 2f x ax a x x =-++，a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）极大值为282ln 33-，极小值为72-（2）答案见解析21.如图，在ABC 中，5cos 27ABC ∠=-，10AC =，3BC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且2AD DB =，BE BC ⊥，BE 与CD 交于点F .求：（1）ABC 的面积；（2）CF 的长.【答案】（1）；（222.已知函数e ()2e xx f x x a a-=--，0a ≠.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若2()()e 2e x x h x f x a -=++的两个极值点分别为1x ，()212x x x <，求()()12h x h x +的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,ln 2)-∞，单调递减区间为(ln 2,)+∞（2）(,3ln 2)-∞--。

高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数()212i z =-，则1z -=（ ）A ．20B ．C ．32D ．2．已知集合{}6A x x =<，()(){}350B x x x =+-<，则A B ⋂=（ ） A ．{}36x x -<< B ．{}56x x << C ．{}35x x -<< D ．{}356x x x <-<<或 3．某校高—年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下：则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（ ）A ．在[]90,100内B ．在(]100,110内C ．在(]110,120内D ．在(]120,130内 4．等差数列{}32n -的前4项和等于该数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 5．已知双曲线22:4640C x y -+=的两个焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，若P 为C 上异干顶点的任意一点，则1POF △与2POF △的周长之差为（ ）A ．8B ．16C ．8-或8D ．16-或166．已知a ，b 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若αβ⊥，//a α，//b β，则a b ⊥B ．若//αβ，则b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥C ．若a α⊥，//αβ，//b β，则//a bD ．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则a 与b 异面7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+图象的两个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω的值可能是（ ） A ．6- B ．2 C ．4 D ．58．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x =（ ）A ．123B ．133C ．143D ．1539．函数()f x =的定义域为（ ）A ．10,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(]0,9 D ．[)9,+∞10．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A ．42-B ．2C ．22 D11．已知函数()()2cos 2144f x x ax ax =+++只有一个零点，则a =（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．412．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，以A 为球心的球A 与线段11A C 交于点E ，设BE 与底面ABCD 所成角为θ，且球A 的表面积为24π，则cos 2θ=（ ）A ．13- B ．35- C ．23- D ．45- 二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡的相应位置．13．函数()()321f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______．14．9名志愿者到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排3名志愿者，则不同的安排方法共有______种．15．已知等比数列{}n a 的前3项和为3，且34a =，则{}n a 的前n 项和n S =______．16．已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点()(),00P m m >且交C 于A ，B 两点．过点A 和C 的顶点O 的直线交C 的准线于点D ，若BD 与C 的对称轴平行，则m =______．三、解答题：本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 8A B +=，2b a =． （1）求cos A ．（2）若D 是AB 边上一点，且ACD △2，证明：AD CD =． 18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=． （1）求C 的方程．（2）直线l 与y 轴平行，且与C 交于P ，Q 两点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．直线AP 与BQ 交于点G ，证明：点P 与点G 的横坐标的乘积为定值．19．如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为侧棱PD ，PB 的中点，且24PA AD AB ===．（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ．（2）若PC 是平面α的一个法向量，求α与平面AEF 所成锐二面角的余弦值．20．现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为()01p p <<．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 取得最大值．（1）求0p ；（2）设0p p =，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X 万元，求X 的分布列及其数学期望．21．已知函数()()e ln 0x f x a x a =≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0,1x ∀∈，()2ln f x x x a <+，求a 的取值范围． （二）选考题：请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修44-：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123cos ρθ=+． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于M ，N 两点，()1,0P ，求11PM PN+的值． 23．【选修45-：不等式选讲】已知函数()211f x x x =-++．（1）求()f x 的值域；（2）若()f x 的最小值为m ，且22a b m +=，求221221a b ++的最小值． 高三数学试卷参考答案（理科）1．【答案】D【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力．【解答】解：因为34i z =--，所以144i z -=+，则1z -== 故选D ．2．【答案】D【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力．【解答】解：因为()(){}{}35035B x x x x x x =+->=<->或， 所以{}356A B x x x ⋂=<-<<或．故选D ．3．【答案】B【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力．【解答】解：由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[]90,100内有40人，在(]100,110内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(]100,110内．故选B ．4．【答案】C【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力．【解答】解：等差数列{}32n -的前4项和为1471022+++=，由3222n -=，得8n =．故选C ．5．【答案】D【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想．【解答】解：C 的方程可化为2216416y x -=，所以8a =， 易知1POF △与2POF △周长差的绝对值为216a =，故1POF △与2POF △的周长之差为16-或16．故选D ．6．【答案】B【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力．【解答】解：对于选项A ，当a ，b 都平行于α与β的交线时，//a b ，所以A 为假命题．对于选项B ，b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥，所以B 为真命题．若a α⊥，//αβ，则a β⊥，由//b β，可得a b ⊥，所以C 为假命题．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则//a b ，所以D 为假命题．故选B ．7．【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力．【解答】解：设()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ， 则()262kT k ππ-=∈Z ，2T πω=，则()3k k ω=∈Z ． 故选A ．8．【答案】C【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养．【解答】解：∵2y x =，2z y =，∵247s x x x x =++=， 由算法的功能可知，输出的10011437x ==． 故选C ．9．【答案】B 【解析】本题考查函数的定义域与对数运算，考查运算求解能力．【解答】解：由()243log 12log log 120x +⋅≥， 得24212243log 121log log 12log 3log 3log log 129x ≥-=-⋅=-=，则19x ≥． 故选B ．10．【答案】D【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素养．【解答】解：连接63A A ，14A A ，72A A 且6314A A A A B ⋂=，在14A A 上取一点C ，使得176AC A A =，则716A A A C =． 设3BA m =，则(63722A A A A m m m ==+=， 由图可知，)6471646672722222mA A A A A A A C AB A A A A ++=+===⋅故λ=D ．11．【答案】B【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想．【解答】解：令21x t +=，则()f x 有且只有一个零点等价于()()2cos 1g t t a t =+-只有一个零点，因为()g t 是偶函数，所以()g t 的图象必过坐标原点，所以()010g a =-=，故1a =．故选B ．12．【答案】A【解析】本题考查立体几何中的线面角问题、球体的表面积以及三角恒等变换，考查运算求解能力与空间想象能力．【解答】解：设球O 的半径为r ，则2424r ππ=，解得r =因为1AA ⊥平面1111A B C D ，所以11AA A E ⊥， 因为6AE =，所以21622A E =-=，所以E 为11A C 的中点，则1BEB θ=∠，且cos3θ==，故21cos 22cos 13θθ=-=-．故选A ．13．【答案】81【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为()()()32213212f x x x x '=+++⨯， 所以()1275481f '=+=．故答案为：81．14．【答案】1680【解析】本题考查计数原理的应用，考查运算求解能力与应用意识．【解答】解：依题意可得，不同的安排方法种数为3396C C 1680=． 故答案为：1680．15．【答案】()123n-- 【解析】本题考查等比数列的性质与前n 项和，考查运算求解能力． 【解答】解：设{}n a 的公比为q ，则324443S q q =++=，解得2q =-， 则11a =，()123n n S --=．故答案为：()123n--．16．【答案】2【解析】本题考查直线与抛物线，考查抽象概括能力与运算求解能力．【解答】解：设()2000,08y A y y ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则直线OA 的方程为08y x y =， 由02,8,x y x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩得016D y y =-．又直线AP 的方程为()02088y y x m y m=--， 由()02028,88,y y x m y m y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩得08B m y y =-，因为BD 与C 的对称轴平行，所以B D y y =，故2m =． 故答案为：2．17．【答案】（1）解：∵2b a =，∵sin 2sin B A =，又sin sin A B +=，∵sin A = ∵2b a =，∴a b <，A B <，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故7cos 8A ==． （2）证明：∵21sin 21628ACD S b AD A AD =⋅=⋅=△，∵47AD b =． 由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅222447427787b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵47CD b =，故AD CD =． 【评分细则】【1】第（1）问中，没有推理得到0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而直接得到7cos 8A =±，扣2分．若只得到A B <，而未写0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不扣分． 【2】第（2）问中，未写2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅，直接得到2222447427787CD b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不扣分．18．【答案】（1）解：因为以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=，所以24a =．因为12c e a ==，所以21c =，2223b a c =-=， 故C 的方程为22143x y +=． （2）证明：设直线l 的方程为()0x m m =≠，(),P m n ， 则(),Q m n -，22m -<<，且0m ≠，直线AP 的方程为()22ny x m =++， 直线BQ 的方程为()22ny x m =---，()()2,22,2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=--⎪-⎩将两式相除得22122m x m x -+-⋅=+-， 解得4x m =，即4G x m =，故44P G x x m m⋅=⨯=为定值． 【评分细则】【1】第（1）问中，根据圆的方程得到2a =同样给2分． 【2】第（2）问中，未写22m -<<，且0m ≠，扣1分． 19．【答案】（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥． 在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，因为AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥． 因为PA AD =，E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥， 又CD PD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD ．因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PCD ．（2）解：以A 为坐标原点，AP 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()4,0,0P ，()2,0,2E ，()2,1,0F ，()0,2,4C ．()2,0,2AE =，()2,1,0AF =，()4,2,4PC =-．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0n AE n AF ⋅=⋅=，即220,20,x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，得()1,2,1n =--．所以cos ,PC n ==，故a 与平面AEF 【评分细则】【1】第（1）问解析第二行未写AD PA A ⋂=，但写了AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，不扣分．第五行未写CD PD D ⋂=，要扣1分．【2】第（2）问解析中得到平面AEF 的一个法向量只要与()1,2,1n =--共线即可得分． 20．【答案】解：（1）()()()222224C 161f p p p p p =-=-，()()2222116624f p p p p ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为01p <<，所以当12p =时，()f p 取得最大值，则012p =． （2）因为012p p ==，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍， 所以每场球赛甲队输的概率为13，两队平局的概率为16． 当甲连赢两场时，10X =，且()11110224P X ==⨯=， 当甲赢一场平一场时，5X =，且()11152266P X ==⨯⨯=， 当甲赢一场输一场或两队连平两场时，0X =，且()11111302236636P X ==⨯⨯+⨯=，当甲输一场平一场时，5X =-，且()11152369P X =-=⨯⨯=， 当甲连输两场时，10X =-，且()11110339P X =-=⨯=． 所以X 的分布列为故10551046993EX =⨯+⨯-⨯-⨯=． 【评分细则】【1】第（1）问还可以借助导数的方法求0p ，其步骤如下：()()()()()226212112112f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，当102p <<时，()0f p '>，当112p <<时，()0f p '<． 故当12p =时，()f p 取得最大值，则012p =． 第（1）问还可以借助基本不等式求0p ，其步骤如下：因为()()421361628p p f p p p +-⎛⎫=-≤=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当且仅当1p p =-，即12p =时，等号成立，所以012p =． 【2】第（2）问，严格按照步骤给分．21．【答案】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1e ln xf x a x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭． 设函数()1ln g x x x =+，则()21x g x x-'=．当01x <<时，()0g x '<； 当1x >时，()0g x '>． 故()()11g x g ≥=，从而1ln 0x x+>． 当0a >时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减． （2）由题意可知0a >．由2ln e ln xx x a a x +>，得ln ln e x x a xa x+>，即ln e ln ln e x x a x a x +>， 即()ln eln e xxa x x a <对()0,1x ∈恒成立．令()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x ∈时，()()10h x h <=．由()ln eln e xxa x x a <，得()()e xh x ha <，所以e xx a <，所以e xxa >对()0,1x ∈恒成立． 设()e x x m x =，()0,1x ∈，则()10exxm x -'=>， 所以()m x 在()0,1上单调递增，所以1e a ≥，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【评分细则】【1】第（1）问中，未写定义域，直接得到()1e ln xf x a x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭不扣分． 【2】第（2）问中，写到1e a ≥，但未写a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，不扣分． 22．【答案】解：（1）l 的普通方程为10x y +-=．由22123cos ρθ=+，得2223cos 12ρρθ+=，则()222312x y x ++=， 即C 的直角坐标方程为22134x y +=． （2）由题意，l的参数方程为1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），· 代入22134x y +=，得27160t --=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则127t t +=，12167t t =-， 则121212122711371627t t t t PM PN t t t t +-+=====．【评分细则】【1】第（1）问中，得到C 的直角坐标方程为224312x y +=，不扣分．【2】第（2）问得到27160t --=后，可以直接求出1t ，2t ，其步骤如下：设M ，N 对应的参数分别为1t ，()212t t t <，则1t =，2t =则12111172431122PM PN t t ⨯+=+===． 23．【答案】解：（1）当1x ≤-时，()33f x x =-≥；当112x -<≤时，()32,32f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭； 当12x >时，()332f x x =>． 综上，()32f x ≥． 故()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由（1）知，32m =，2232a b +=，则22122a b ++=， 所以222222221211111111212222a b a b a a b b ⎛⎫⎪⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎪++⎝⎭ ()2222111222221222b a a b ⎛⎫+ ⎪=++≥+= ⎪ ⎪+⎝⎭， 当且仅当22221212b a ab +=+，即21a =，212b =时，等号成立， 故221221a b ++的最小值为2．【评分细则】【1】第（1）问中，未写“综上，()32f x ≥”，直接得出“()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭”，不扣分．【2】第（2）问未写取等条件，直接得出“221221a b ++的最小值为2”扣1分．。

浙江省2020〜2021学年高三百校12月联考数学注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式24S R π=V Sh=球的体积公式其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高343V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径()1213V h S S =++锥体的体积公式其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}04P x x =∈≤≤R ，集合{}220Q x x x =∈-<R ，则P Q ⋂=（）A.{}02x x ≤≤ B.{}02x x << C.{}04x x ≤≤ D.{}24x x ≤≤2.已知a ∈R ，若2i3i 1ia +=++，则a =（）A.2B.2-C.3D.43.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥S ABCD-为阳马，SD⊥底面ABCD，其三视图如图所示，正视图是等腰直角三角形，其直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该阳马的表面积为（）正视图侧视图俯视图A.8B.4C.8D.834.若实数x，y满足约束条件40,3540,5340,x yx yx y-+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y=+的最大值为（）A.5-B.1C.2D.55.已知函数()22logf x x x=⋅，其图象可能是（）A B C D6.已知,a b∈R，条件p：a b>，条件q：lg lg1a b>+，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设1F，2F分别是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，P是的一个公共点，且12PF PF<，线段1PF的垂直平分线经过点2F，若1C和2C的离心率分别为1e，2e，则1211e e+的值为（）A.2B.3C.32D.528.已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*n ∈N ，都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A.[]6,5-- B.()6,5-- C.[]5,4-- D.()5,4--9.已知函数()()()22210,e e 0x ax x xf x ax x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A.(),e +∞ B.()2e ,+∞C.()20,eD.()0,e 10.在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，P 为线段MB 上的动点（包括端点），记PN 与CD 所成角的最小值为α，PN 与平面BCD 所成角的最大值为β，则（）A.αβ= B.αβ> C.αβ< D.2παβ+=第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分）11.已知5sin 5x =，且 0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan x =，sin 21cos 2sin sin 24x xx x ππ++=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.已知()()4234501234512x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则3a =，024a a a ++=.13.抛物线24y x =-的焦点在直线l ：210x my ++=上，则m =，若焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线与直线l 平行，则双曲线的离心率为.14.一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是，若ξ表示取到黄球球的个数，则()E ξ=.15.若实数x ，y 满足条件222x y -=，且2122yM x x+<，则M 的最小值为.060816.已知平面向量a r ，b r ，c r ，d u r 满足1a b ==r r ，2c =r ，0a b ⋅=r r ，1c d -=r u r ，则2a b d ++r r u r的取值范围为.17.已知1a >，若对于任意的1,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a 的最小值为.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18.（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin A C bB C a c-=-+.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC △为锐角三角形，且2a =，求ABC △周长的取值范围.19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=︒，4PB PD BC CD ====，6AP =.（Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()121n n a S n ++=+∈N ，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=⋅且()12211n n c c c b λ+++≥-+L 对任意n +∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.21.（本小题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于P ，Q 两个不同的点，且0OP OQ ⋅=uu u r uuu r，O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使得PQ OP OQ λ=⋅uu u r uu u r uuu r恒成立？若存在，请求出实数λ，若不存在，请说明理由.22.（本小题满分15分）已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-.（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当12a ≤<时，证明：函数()f x 有2个零点.2020〜2021学年高三百校12月联考数学参考答案1.B 由题意可得{}02Q x x =<<，{}02P Q x x ⋂=<<.故选B.2.D由题意可得()()2i 3i 1i 24i a +=++=+，4a =.故选D.3.A 由本题三视图知，该阳马是底面为正方形的四棱锥，两个侧面是等腰直角三角形，另外两个侧面是直角三角形，2248S =++=.故选A.4.C可如图所示，数形结合可知，当直线2z x y =+经过点()2,2-时，max 2z =.故选C.5.A 根据题意，函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，有两个零点为1x =±，排除B 和C ，同时利用二次函数2y x =和对数函数2log y x =对图象在x →+∞的趋势影响，可知答案选A.6.B由题意可得，若lg lg 1a b >+，则100a b >>，故a b >；反之，若a b >，当其中有负数时，q 不成立.故选B.7.A根据题意，设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，焦点()2,0F c ，则2122PF F F c ==，122PF c a =-，121122c a a e e c c-+=+=.故选A.8.D根据题意，1n a n a =+-，111n n n n a b a a +==+，有511n a a ≥对任意*n ∈N 成立.因此数列{}n a 单调递增且50a <，60a >，所以56510,610,a a a a =+-<⎧⎨=+->⎩故54a -<<-.故选D.9.B当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.当0x >时，()0f x =等价于2e e x a x +=，令()2e e x g x x +=，()22e e e x x x g x x --'=，得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)e g x g ==，()2e g x ≥.因为()f x 有2个零点，所以2e a >.故选B.10.C 最小角、最大角定理，PN 与CD 所成最小角为CD 与平面BCM 所成的角，即DCM ∠，PN与平面BCD 所成最大角为二面角M BC D --，在正四面体中，易得tan tan 3DCM α∠==，tan tan 2DNM β∠==，则αβ<.故选C.11.1212.16113.1614.9106515.2原式()2222121122244x y y y y x x x x -⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，令y t x =，有2222x x t -=，则22201x t =≥-，因此()1,1t ∈-，则原式2112244t t =-++<，M 的最小值为2.16.3⎡⎤+⎣⎦令()1,0a =r ，()0,1b =r ，(),c x y =r，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='u r，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---r r u r u r 表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++r r u r的取值范围为3⎡⎤+⎣⎦.17.3e()()4ln 3e ln 3ln 3e ln x x x x a a x x a a x-≤-⇔-≤--()()3ln 3e ln e x x x x a a ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x'-=-=，∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∴[)3,e 1,xx a ∈+∞，∴33e exx xx a a ⇔≤⇔≤恒成立，只需max ()a g x ≥.令()3e x x g x =，()33e xxg x -'=，∴当1x =时，()g x 的最大值为3e，∴3e a ≥，∴a 的最小值为3e.18.解：（Ⅰ）由sin sin sin sin A C b B C a c -=-+，利用正弦定理可得a c bb c a c-=-+，化为222b c a bc +-=.由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，()0,A π∈，所以3A π=.（Ⅱ）在ABC △中由正弦定理得sin sin sin3a b cB Cπ==，又2a =，所以sin 3b B =，43432sin sin 333c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故434324333sin sin cos 4sin 3333226b c B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为02B π<<且()3B b c π≠≠，且B ，C 都是锐角，从而62B ππ<<且3B π≠，故2363B πππ<+<且62B ππ+≠，所以3sin 126B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，()b c +∈，故周长a b c ++的取值范围是()2+.19.解：（Ⅰ）因为60APB APD ∠∠==︒，PD PB =，所以APB APD ≌△△，所以AD AB =.取BD 的中点E ，连接AE ，PE ，所以AE BD ⊥，PE BD ⊥，所以BD ⊥平面PAE .又AP ⊂平面PAE ，所以AP BD ⊥.（Ⅱ）解法1（几何法）：在APB △中，根据余弦定理得2222cos 6028AB AP PB AP PB =+-⋅⋅⋅︒=，所以AB =.又因为2BE =，所以AE =，PE =，所以222AP AE PE =+，即AE PE ⊥.设点C 到平面PAD 的距离为h ，PC 与平面PAD 所成角为θ，因为C PAD P ACD V V --=，即1133PAD ACD h S PE S ⋅=⋅⋅△△，所以23ACD PADPE S h S ⋅==△△，所以22sin 6h PC θ+==，所以PC 与平面PAD 所成角的正弦值为226+.解法2（坐标法）：在APB △中，根据余弦定理得2222cos 6028AB AP PB AP PB =+-⋅⋅⋅︒=，所以AB =.又因为2BE =，所以AE =，PE =，所以222AP AE PE =+，即AE PE ⊥.又因为PE DB ⊥，AE DB E ⋂=，AE ，DB ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD .如图，以E 为原点，分别以ED ，EA ，EP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则()A ，()2,0,0D，(P，()0,C -，()2,AD =-uuu r，(DP =-uu u r，(0,PC =--uu u r.0608设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，则0,0,n AD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r即20,20,x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则x =，z =，所以n =r.设PC 与平面PAD 所成角为θ，22sin cos ,6PC n θ+==uu u r r ，所以PC 与平面PAD所成角的正弦值为26+.20.解：（Ⅰ），∵11a =，()121n n a S n ++=+∈N ，∴()121,2n n a S n n -+=+∈≥N ，∴()112n n n n a a S S +--=-，即12n n n a a a +-=，∴()13,2n n a a n n ++=∈≥N ，而21213a a =+=，∴213a a =，∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴()13n n a n -+=∈N .∵113n n n b b -+=+，∴()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L ()0112303133133311132n n n n ----⨯-+=++++=+=-L .（Ⅱ）()()11111134311231313131313122n n n n n n n n n n n n a c b b -----+⋅⎛⎫====- ⎪⋅++⎛⎫⎛⎫++++⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令123n n T c c c c =++++L ，则011211111112313131313131n n n T -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L112231n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2131n =-+，∵()211n n T b λ≥-+对任意n +∈N 恒成立，∴12311211312n n λ-⎛⎫+-≥⨯-⋅+ ⎪+⎝⎭对任意n +∈N 恒成立，∴只需()1min2313n n λ-⎛⎫ ⎪- ⎪+⋅⎝⎭即可.()()211122313333n n n n y ----=-=+⋅⋅+，令131n t -=≥，则223y t t -=+，在1t =，即当1n =时取到最小值12-，∴12λ≤-.21.解：（Ⅰ）由题意可知2a =，c =2221b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）∵0OP OQ ⋅=uu u r uuu r，故OPQ △为直角三角形，设原点到直线l 的距离为d ，由1122OPQ S PQ d OP OQ =⋅⋅=⋅⋅uu u r uu u r uuu r △，要求实数λ，使得PQ OP OQ λ=⋅uu u r uu u r uuu r 恒成立，即1dλ=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩∴()222148440k x kmx m +++-=，∴12221228,1444,14km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩()()22222(8)41444014km k m m k ∆=-+->⇒<+.∴()22222222222212121222448441414m k k k m m k m k m y y k x x km x x m k k --++-+⋅=+++==++，∵0OP OQ ⋅=uu u r uuu r ，∴2222212122224445440141414m k m m k x x y y k k k --+--+=+==+++，∴22544m k =+，d =，∴222415m d k ==+，∴152d λ==.22.解：（Ⅰ）当2a =时，()e 2sin 1x f x x x =-+-，则()e 2cos x f x x =-+'，可得()e sin x f x x ='-'.当(],0x ∈-∞时，可得e 1x ≤，所以()1cos 0f x x ≤-+≤'，所以()f x 在(],0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，e 1x >，所以()1sin 0f x x >-'≥'，所以()f x '在()0,+∞单调递增，所以()()00f x f ''>=，所以()f x 在()0,+∞单调递增.综上可得，()f x 在(],0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增.（Ⅱ）当0x =时，()00e 01sin 00f =--+=，所以0x =是()f x 的一个零点，由()e cos x f x a x =-+'，令()e cos x g x a x =-+，可得()e sin x g x x '=-.因为12a ≤<，①当()0,x ∈+∞时，()0e sin e sin 0x g x x x >-'=-≥，()f x '在()0,+∞单调递增，则()()020f x f a >=-'>'，()f x 在()0,+∞单调递增，()()00f x f >=，所以()f x 在()0,+∞无零点.②当(],x π∈-∞-时，ax π-≥，有()e sin 10x f x x π≥++->，所以()f x '在(],π-∞-无零点.③当(),0x π∈-时，sin 0x <，()0g x '>，()f x '在(),0π-单调递增，又()020f a ='->，()e 10f a ππ-'-=--<，所以存在唯一()0,0x π∈-，使得()00f x '=.当()0,x x π∈-时，()0f x '<，()f x 在()0,x π-单调递减，当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,0x 单调递增，又()e 10f a πππ--=+->，()()000f x f <=，所以()f x 在(),0π-有1个零点.综上，当12a ≤<时，()f x 有2个零点.。