第3章(2)概率论与数理统计

学院 交通 学号1126002026 姓名 吕立正三．多维随机变量及其分布1.二维随机变量1.设随机试验E 的样本空间为：{}()(),S e X e Y e =、 为定义在S 上的随机变量，由它们构成一个随机向量 ()X Y 、,叫二维随机向量或二维随机变量.2.定义：设二维随机变量()X Y 、，对任意实数x y 、,二元函数{}(),F X Y P X xY y =≤≤,,称为()X Y 、的(联合)概率分布函数. 二维随机变量分布函数的性质：（1）(),F x y 是变量x 和y 的不减函数，即对任意固定的y ，当21x x >时()2,F x y ≥()1,F x y ;对于任意固定的x ，当21y y >时()2,F x y ≥()1,F x y .（2）()0,1F x y ≤≤，且对于任意固定的y ，(),0F y -∞=，对于任意固定的x ,(),0F x -∞=,(),0F -∞-∞=,(), 1.F ∞∞=(3) (),F x y =()0,F x y +，(),F x y =(),0F x y +，即(),F xy 关于x 右连续，关于y 也右连续.(4) 对于任意()11,x y ，()22,x y ，21x x >，21y y >，下述不等式成立: ()()()()22211112,,,,0F x y F x y F x y F x y -+-≥.如果二维随机变量(,)X Y 全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称(,)X Y 是离散型的随机变量.3. 对于二维随机变量(),X Y 的分布函数(),F x y .如果存在非负的函数(),f x y 使对于任意()X Y 、有()(),,y xF x y f d d μυμυ-∞-∞=⎰⎰,则称(),X Y 是连续型的二维随机变量，函数(),f x y 称为二维随机变量(),X Y 的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度. 概率密度(),f x y 具有以下性质： （1）(,)0f x y ≥ （2） (,)(,)1f x y dxdy F ∞∞-∞-∞=∞∞=⎰⎰(3) 设G 是xOy 平面上的区域，点()X Y 、落在G 内的概率为{}(,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰(4) 若(),f x y 在点()X Y 、连续 则有2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂ 4. 两个常用的分布（1）均匀分布：定义设D 为闭区域面积为A ，若随机变量()X Y 、 的(联合)密度为： 则称: ()X Y 、服从D 上的均匀分布.(2)二维正态分布：若二维随机变量 ()X Y 、的概率密度为： 则称: ()X Y 、服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布.其中σ1>0，σ2>0，|ρ|≤1是常数.记为：()X Y 、~N (μ1、μ2、σ12、σ22、ρ) .⎩⎨⎧∈=其它),(/1),(D y x Ay x f 21222112222211221(,)211()()()()exp 22(1);f x y x x y y x y πσσρμμμμρρσσσσ=⋅-⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪-+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭-∞<<+∞-∞<<+∞2.边缘分布1.二维随机变量(),X Y 作为一个整体，具有分布函数(),F x y ，而X 和Y 都是随机变量，也有也有分布函数，将他们分别记为()X F x ，()Y F y ，依次称为二维随机变量(),X Y 关于X 和Y 的边缘分布函数。

pi j 0, p 1 i j ij
Y X y1 y2
1 11 12
分布列 X 和Y 的 联合分布列 可表示为 表格形式
… yj p1j p2j . . . pij . . .
P ( X xj ) p j
pj 0; p 1 . j j
y
规范性) 0 F( x, y)1 且 ) (, ) 0lim (, y ) 20 (非负性) 即,对任意固定的 y,F(,x, y F是单调不减函数F ( x ,) 1; x, F 对任意固定的 x,F( x, x,)F ( x,) 0, y, F (, y ) 0. y 是单调不减函数, 30 (右连续性)
2. 二维随机变量的分布函数 定义1设(X, Y)是二维随机变量,
x , y R , 二元函数
F ( x,) y ) P{ ( X x ) (Y y ) } P ( X x ,)Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，也称为随机变量 X 与 Y 的 联合分布.
0.375 0.3875 0.2000
3
pi
0.0375
0.3750
0
0.3875
0
0.2000
0
0.0375
0.0375
三、二维连续型随机变量
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y) 随机变量X 的分布函数F(x) 类比 若 f ( x ) 0 若 f ( x, y ) 0 x (-, +) 实数 x, y P87 定义4
xi x y j y { X {iX i }j {Y{ j )i } {Y j } P( , Y } X } P( Y j X i ) P( X i ) F(2, 2) pij

P ( X Y 1) 1 2dxdy . 2 D
x y 1
y=x G D O 1 x+y=1 x

f ( x, y )dxdy
(2)
P(Y X )
2
dx
0
1
x
2
x
2dy 1 / 3 .
y 1 0
y = x2
y=x G
1 x
(3) P(| X | 0.3) P(0.3 X 0.3)
pij P( X xi ) P(Y y j X xi ) .
例3.1.1 设随机变量X在1,2,3三个整数中等可能取值，另一个随机 变量Y在1~X中等可能地取一整数值，求(X,Y)的概率分布。
解：由假设，随机变量X的可能取值为1,2,3. 而Y≤X，故Y 的可能取值范围也 为1,2,3. 首先，当 j>i 时，{X=i,Y=j} 为不可能事件，故 P(X=i,Y=j)=0，j>i. 当 j≤i 时，根据概率的乘法公式，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)•P(Y=j | X=i) =1/i • 1/3，i=1,2,3. 由此得(X, Y)的概率分布如下：
3.2 边缘分布
二维随机变量的联合分布是把(X，Y)看作一个整体的 分布。其中分量X和Y都是一维随机变量，也有各自的 分布，分别称X和Y的分布为二维随机变量(X，Y)关于 X和Y的边缘分布。 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，分别记 关于X和Y的边缘分布函数为Fx(x)和Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数F(x，y)来确定。

欢迎阅读内容串讲第一章 随机事件及其概率1． 事件的关系与运算必然事件：Ω—随机试验全部结果构成的集合。

不可能事件：φ 一般事件A ：A φ⊂⊂Ω若A 若A 11111,,nnni i i i i i i i A A A A ∞=====等等。

例1 2（1（2（3（4（5）)()()(AB P A P B A P -=-（6）若n A A A ,,21两两互不相容，则∑===ni i ni i A P A P 11)()(（7）若n A A A ,,21相互独立，则例2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(===AB P B P A P则5.0)()()(1)(1)(=+--=⋃-=⋃AB P B P A P B A P B A P3．古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A 的概率为例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A ：取到两个白球；B ：一白一红球，求)(),(B P A P（1）无放回抽样：（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次［注］：若设X 为两次有放回取球中取到白球数，则X ～)52,2(B ，从而)(=P A P 4（1（2例103 （3，j i j i ,,≠)(i B（4例5 某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有)4,3,2,1(=i i 个次品的概率如下（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有i 个次品的概率。

)4,3,2,1(=i解：（1）设事件i B 是恰有i 个次品的一批产品)4,3,2,1(=i ，则由题设设事件A 是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有1)(0=B A P由全概率公式，即得8142.0)()()(40≈=∑=i i i B A P B P A P（2）由Bayes 公式，所求概率分别为5．事件的独立性（1）定义：A 、B 相互独立等价于)()()(B P A P B A P ⋅=（2）若n A A A ,,,21 相互独立，则有)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。