江苏省泰州中学高二数学下学期期中试题 理(扫描版)

江苏省泰州中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、填空题。

1.若矩阵14A⎡=⎢⎣11-⎤⎥⎦，1,2B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则=AB_____.【答案】1 6 -⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：.考点：矩阵与矩阵的乘法.2.总体由编号为01,02,19,20⋅⋅⋅的20个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取6个个体，选取方法是从所给的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为 _________.【答案】05【解析】【分析】根据随机数表的规则，依次读取在编号内的号码，取出第6个编号即为所求，重复的只算一次.【详解】解：由随机数表第1行的第5列和第6列数字组合成的两位数为65，从65开始由左到右依次选取两个数字，将在01,02,19,20⋅⋅⋅内的编号依次取出，重复的只算一次，即依次选取个体的编号为08,02,14,07,11,05,⋅⋅⋅，因此第6个个体的编号为05.【点睛】本题考查了利用随机数表进行抽样的问题，读懂抽样规则是解题的关键.3.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是_________. 【答案】23【解析】试题分析：甲、乙、丙三人站成一排，共有3216⨯⨯=种排法，其中甲、乙相邻共有2214⨯⨯=种排法，因此所求概率为42.63= 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的计算方法 (1)列举法：此法适合于较简单的试验．(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求． (3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便． (4)排列、组合数公式法．4.若()9x y +按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且1,0x y xy +=<，则x 的取值范围是_______.【答案】()1,+∞ 【解析】 【分析】列出二项展开式的通项公式，根据第二项不大于第三项和,x y 的关系构造不等式组，解不等式组可求得x 的范围. 【详解】()9x y +二项展开式的通项公式是：919r r rr T C x y -+=⋅⋅依题意，有19129229910C x y C x y x y xy --⎧⋅⋅≤⋅⋅⎪+=⎨⎪<⎩，由此得：()()()22141010x x x x x x ⎧---≤⎪⎨-<⎪⎩解得：1>x ，即x取值范围为()1,+∞本题正确结果：()1,+∞【点睛】本题考查二项式定理的应用问题，属于基础题.5.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是_______（用分数表示） 【答案】13【解析】 【分析】求出三张卡片全排列和满足条件的事件的种数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片全排列，共有336A =种结果 满足条件的事件共有2种结果 根据古典概型概率公式得到：2163P == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.6.已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，标准差是2，则xy =________. 【答案】96 【解析】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=-7.方程22361414x x x C C --=的解为________. 【答案】2,3,4x = 【解析】试题分析：220{360x x x -≥-≥，2x ∴≥，由题意得或，解得2,3,4x =.考点：组合.8.(2017·江苏，4)如图是一个算法流程图，若输入x的值为161，则输出y 的值是____.【答案】－2 【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．9.直线325:415x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）上与点()2,1P -距离为5，且在点P 下方的点的坐标为____. 【答案】()1,5-- 【解析】 试题分析：2234[(2)2][(1)1]555t t +-+-++=，5t ∴=，Q 在点P 下方，5t ∴=-，1x ∴=-，5y =-，所以所求点的坐标为.考点：参数方程.10.口袋中有个()*n n N∈白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ，若()7230P X ==，则n 的值为______ . 【答案】7 【解析】 【分析】首先确定第一次取出红球，第二次取出白球的取法种数；再确定取2次的所有取球方法数；根据古典概型概率公式可构造出关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】2X =说明第一次取出的是红球，第二次取出的白球，取球方法数为113n A A ⋅ 取2次的所有取球方法数23n A +利用()()()113233723230n n A A n P X A n n +⋅∴====++，即()()7670n n --= *N n ∈Θ 7n ∴=本题正确结果：7【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用问题，关键是能够确定符合题意的取法种数，属于基础题.11.在极坐标中，点1,,2,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，动点P 满足12PA PB =，则动点P 轨迹的极坐标方程为___________ . 【答案】34cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】 试题分析：(1,)3A Q π，(2,)3B π，1(2A ∴，B ，设),(y x P ，由12PA PB =得22203x y x y +-=，2cos 3ρθθ∴=，则34cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.考点：极坐标与普通方程的转化.【易错点晴】本题主要考查了极坐标与普通方程的转化、平面解析法求点的轨迹、两角差的余弦公式.极坐标问题转化为普通方程来解决是极坐标题常用的方法，要求学生熟练极坐标与普通方程的互化公式.用平面解析法求点的轨迹也是本题的另一个考点，该方法也是研究轨迹的常用方法.本题难度不大，属于中档题.12.如图，在小地图中，一机器人从点()0,0A 出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点，已知每次向上移动1格的概率是23，向右移动1格的概率是13，则该机器人6秒后到达点()4,2B 的概率为__________.【答案】24320【解析】 【分析】首先确定6秒内向右移动4次，向上移动2次；从而可根据二项分布概率公式求得结果. 【详解】由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次则所求概率为：4246122033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：24320 【点睛】本题考查二项分布概率公式的应用，属于基础题.13.5123x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是__________ . 【答案】1683- 【解析】 【分析】将原式变为5123x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，列出二项展开式的通项公式；再列出512rx x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式，从而可知当520r k --=时为常数项；根据,r k 的取值范围可求得,r k ，代入通项公式可常数项的各个构成部分，作和得到常数项.【详解】由题意知：55112323x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦则展开式通项公式为：()55123rrr C x x -⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭又512rx x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()555255122kr kkk r k r krr Cx C x x --------⎛⎫= ⎪⎝⎭∴当520r k --=时，该项为展开式的常数项又[]0,5r ∈，[]0,5k ∈，且,k r Z ∈12r k =⎧∴⎨=⎩或31r k =⎧⎨=⎩或50r k =⎧⎨=⎩则展开式常数项为：()()()35122311554525232331683C C C C C ⋅⋅-+⋅⋅-+⋅-=-本题正确结果：1683-【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，对于多项的展开式，可进行拆分，变为两项之间的关系再展开，得通项公式后，再次利用二项式定理展开，从而变为二元一次方程，通过讨论可得结果.14.已知数列{}n a 为()0123,,,,,n a a a a a n N ⋅⋅⋅∈01230nn i n i b a a a a a a ===++++⋅⋅⋅+∑，i N ∈.若数列{}n a 为等差数列()2n a n n N =∈，则()1ni i n i b C =∑________.【答案】22(3)2n n n -+⋅【解析】试题分析：02,nn n i i a n b a ===∑Q ，()02421n b n n n =++++=+L()01221nn n n n n n x C C x C x C x L +=++++两边同乘以x ，则有()0122311nn n n n n n x x C x C x C x C x ++=++++L ，两边求导，左边=()()111n n x nx x -+++，右边=()0122231n nn n n n C C x C x n C x ++++L ，即()()()1012211231n n n nn n n n x nx x C C x C x n C x L -+++=+++++（*）， 对（*）式两边再求导， 得()()()()121232121112?1?3?2?4?3?1n n n n n n n n n x n n x x C C x C x n nC x ---++-+=+++++L取x=1，则有()()22123321?2?2?3?3?4?1n nn n n n n n C C C n n C -+=+++++L∴()221(3)2nin ini b C nn -=∴=+⋅∑考点：数列的求和二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人外出比赛，分别求出下列情形有多少种选派方法？（以数字作答）()1男3名，女2名； ()2队长至少有1人参加； ()3至少1名女运动员；()4既要有队长，又要有女运动员.【答案】（1）3264120C C =种选法．（2）1423324146464646246C C C C C C C C +++=种选法． （3）196种选法．（4）444985()191C C C +-=种．【解析】第一问中，要确定所有的选法由题意知本题是一个分步计数问题， 首先选3名男运动员，有36C 种选法． 再选2名女运动员，有24C C42种选法第二问中，（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”． 从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种． 第三问中，“只有男队长”的选法为48C 种； “只有女队长”的选法为48C 种； “男、女队长都入选”的选法为38C 种；第四问中当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法． 不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法． 其中不含女运动员的选法有45C 种，解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题， 首先选3名男运动员，有36C 种选法． 再选2名女运动员，有24C C42种选法．共有3264120C C =种选法．（3分）（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有1423324146464646246C C C C C C C C +++=种选法．法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”． 从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员选法有56C 种． 所以“至少有1名女运动员”的选法有510C -56C =246种． （4分） （3）“只有男队长”的选法为48C 种；“只有女队长”的选法为48C 种； “男、女队长都入选”的选法为38C 种； ∴共有248C +38C =196种．∴“至少1名队长”的选法有C105-C85=196种选法． （4分） （4）当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法． 不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法． 其中不含女运动员的选法有45C 种， ∴不选女队长时共有48C -45C 种选法．既有队长又有女运动员的选法共有444985()191C C C +-=种． （4分）16.已知圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=直线l 的极坐标方程：sin 324πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()1求圆心C 到直线l 的距离； ()2若直线l 在矩阵10M ⎡=⎢⎣24⎤⎥⎦的交换下得到直线m ，求直线m 的直角坐标方程. 【答案】（1）522；（2）43240x y -+=. 【解析】试题分析：（1）求得圆C 的普通方程为()2211x y +-=，直线l 的普通方程为60x y -+=，由点到直线的距离公式可求得距离522d =；（2）22]44x x y y y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，2{4x x yy y=+∴=''，12{14x x y y y ''-∴='=，116024x y y -''+'-=，∴43240x y -+=. 试题解析：圆()22:11C x y +-=，直线.（1）0155222d -+==（2）43240x y -+=考点：极坐标与普通方程的转化、点到直线的距离公式、矩阵的运算.17.如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD V V 都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=.()1当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值； ()2当CF 与平面ACD 15时，求λ的值. 【答案】（1）2856（2）12λ=【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互补得结果，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面ACD 的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果，详解：连接CE ， 以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴， 建立如图空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,,1,0,0A B C D -， 因为F 为线段AB 上一动点，且BFBAλ=，则(()=BF BA λλλ=-=-u u u v u u u v ，所以()1F λ-． （1）当13λ=时，2,0,33F ⎛ ⎝⎭，()5,0,,1,33DF CB ⎛== ⎝⎭u u u v u u u v ， 所以5cos ,DF CB ==u u u v u u u v．（2）()1,CF λ=-u u u v，设平面ACD 的一个法向量为n v=(),,x y z由n v DA ⊥,n v DC⊥得()(()(),,0,,0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取n v)1,1=--设CF 与平面ACD 所成角为θ，则sin cos ,10CF n θ===u u u v v解得12λ=或2λ=（舍去），所以12λ=． 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32 和43，假设两人射击是否击中目标相互直线没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.()1求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；()2求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；()3假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击，问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？ 【答案】（Ⅰ）6581（Ⅱ）18（Ⅲ）451024 【解析】（1）甲至少一次未击中目标的概率1P 是401444442165(1)(2)(3)(4)1(0)1()()3381P P P P P P =+++=-=-⋅= （2）甲射击4次恰击中2次的概率为22224218()()3327P C =⋅=，乙射击4次恰击中3次的概率为33343127()4464P C =⋅=， 由乘法公式，所求概率23827127648P P P ==⨯=。

江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知35C =C n n ，则2A =n （ ）A ．28B ．30C ．56D ．722．已知点M 在平面ABC 内，并且对于空间任意一点O ，都有1163OM xOA OB OC =-+u u u u r u u u r u u u r u u u r，则x 的值是( ) A ．13B ．12C ．23D ．563．正十二边形的对角线的条数是（ ） A ．56B ．54C ．48D ．444．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是310的事件为（ ） A ．恰有1个是坏的 B ．4个全是好的 C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的5．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量(),Y B n p ~，当n 充分大时，二项随机变量Y 可以由正态随机变量X 来近似地替代，且正态随机变量X 的期望和方差与二项随机变量Y 的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗()16671754-在1733年证明了12p =时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯()17491827-在1812年证明了这个结论对任意的实数(]0,1p ∈都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）(附：若()2,X N μσ:，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-+≈-+≈剟剟，()330.9973)P X μσμσ-+≈剟A ．0.97725B ．0.84135C ．0.65865D ．0.022756．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，若1B C 和1BC 相交于点M .则AM =u u u u r（ ）AB ．2CD 7．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ，B 存在如下关系：()()()()P A P B A P A B P B =.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A ．4951000B ．9951000C ．1011D ．21228．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数()0122k a a a a ⋯(*k N ∈）对应的十进制数记为k m ，即1001122...22k k k k k m a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯，其中01a =， {}01123i a i k ∈=⋯，（，，，，），则在0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数0182(...)a a a 对应的十进制数的总和为（ ） A ．1910B ．1990C ．12252D ．12523二、多选题9．已知平面α过点()M ，其法向量)m =u r，则下列点不在平面α内的是（ ）A ．()2,0,0SB ．()2,0,4QC ．(RD ．()T -10．关于二项式522x⎛⎝的展开式，下列说法正确的有（ ）A ．含5x 的项的系数为80-B ．二项式系数和为32C ．常数项为10D ．只有第3项的二项式系数最大11．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）A ．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是35B ．第二次取到1号球的概率12C ．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D ．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种三、填空题12．已知离散型随机变量X 服从两点分布，且()()0341P X P X ==-=，则随机变量X 的标准差为．13．()622x x -+展开式中3x 的系数为.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，PC PD ⊥，PC PD =，点O 是CD 的中点，则线段PB 上的动点E 到直线AO 的距离的最小值为.四、解答题15．2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)男、女相间的站法有多少种?(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种?16．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，已知第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为6514,,7615，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售． (1)求审核过程中只进行两道程序就停止审核的概率；(2)现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X ，求X 的分布列及数学期望．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，已知11,1,23BCC BC AB C C π∠====，点E 是棱1CC 的中点.(1)求平面1AB E 与平面11A B E 夹角的余弦值.(2)在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E ？若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由. 18．为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X （单位：nm ）．(1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm 的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm 的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望()E ξ；(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为34，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差；(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径()10,0.04X N :，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm 的概率．参考数据：若()2,X N μσ:，则()0.6827P X μσ-≤≈，()20.9545P X μσ-≤≈，()30.9973P X μσ-≤≈，100.977250.7944≈，100.95450.6277≈．19．已知函数()()20121nn n n f x x a a x a x a x λ=+=++++L ，其中R λ∈，n ∈N ．(1)若n ＝8，71024a =，求()0,1,2,3,8i a i =L 的最大值； (2)若2λ=，求0nr r ra =∑；（用n 表示）(3)若1λ=-，求证：()0C nkknn k k k x f x x n-==∑．。

2022-2023学年江苏省泰州中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．若4名学生报名参加数学，计算机、航模兴趣小组．每人选报1项．则不同的报名方式有 （ ） A ．34种B ．43种C ．3×2×1种D ．4×3×2种2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100接力比赛，记事件A 为“甲同学跑第一棒”，事件B 为“乙同学跑第二棒”，则P （B |A ）的值为（ ） A ．14B ．13C ．34D ．123．若(x −√a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知三个正态分布密度函数Φi （x ）=1√2πσi−(x−μi )22σi2(x ∈R ，i =1，2，3)的图象如图所示的图象如图所示，则（ ）A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ35．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 36．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知P （3，﹣4，1），且平面OAB 的法向量为n →=(2，−2，3)，则P 到平面OAB 的距离等于（ ） A ．2√3B ．4C ．√17D ．3√27．学校每天安排四项社团活动供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项社团活动；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：若某学生在一周内共选择了足球、篮球、书法3项，则不同的选择方案共有（ ） A ．36 种B ．39 种C ．42 种D ．50 种8．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，线段B 1D 1上有两个动点E ，F （E 在F 的左边），且EF =√2．下列说法正确的是（ ）A ．当E ，F 运动时，存在点E ，F 使得AE ⊥CFB ．当E ，F 运动时，存在点E ，F 使得AE ∥BFC ．当E 运动时，二面角E ﹣AB ﹣C 的最小值为45°D ．当E ，F 运动时，二面角A ﹣EF ﹣B 的余弦值为定值13二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A ．若向量{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →+2b →，a →−b →，c →}也是空间的一个基底B ．若a →⋅b →＜0，则a →，b →的夹角是钝角C ．已知a →=(−1，1，2)，b →=(0，2，3)，若ka →+b →与2a →−b →垂直，则k =−3D ．已知A 、B 、C 是空间中不共线的三个点，若点O 满足OA →+2OB →+3OC →=0→，则点O 是唯一的，且一定与A 、B 、C 共面 10．下列说法正确的是（ ）A ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强B ．若ξ～N （μ，σ2），若函数f （x ）＝P （x ≤ξ≤x +1）为偶函数，则μ=12C ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，依据α＝0.05的独立性检验（X 0.05＝3.841 ），可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05D ．已知0＜P （M ）＜1，0＜P （N ）＜1，若P(M|N)+P(M)=1，则P （N |M ）＝P （N ）11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现：如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列结论中正确的是（ ）A ．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第3个数是45B ．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，⋯，则此数列的前21项和为240C ．存在正整数r ，n 且r ＜n ﹣3，使得C n r ，C n r+1，C n r+2，C n r+3成等差数列D ．在“杨辉三角”中，第n 行所有数字的平方和恰好是第2n 行的中间一项的数字12．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为14，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记玩家第n 次抽盲盒，抽中奖品的概率为P n ，则下列结论中正确的是（ ） A ．P 2=56B ．数列{P n −37}为等比数列 C ．P n ≤1124D ．当n ≥2时，n 越大，P n 越小三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．若C24x=C243x−8，则x＝．14．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程y=b x+a，其中b=7，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为万元；15．若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a10(x+1)10，则a1+a2+⋯+a10＝．16．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中直线CD1与平面AB1D所成角的正弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站成一排分别有多少种不同站法？（1）甲不站右端也不站左端；（2）甲，乙站在两端；（3）甲不站左端，乙不站右端．18．（12分）小家电指除大功率、大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，如表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1～5．（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的经验回归方程（系数精确到0.01）．参考数据：：y =1.32，∑ 5i=1x i y i =21.4，√∑ 5i=1(y i −y)2≈0.55，√10≈3.16；参考公式：相关系数r =∑(x i −x)ni=1(y −y)√∑ i=1(x i −x)2√∑ i=1(y i −y)2，回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①第5项的系数与第3项的系数之比是56：3； ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③C n+12−C n n−2=10．已知在(√x2−1√x3)n 的展开式中，____． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含x 5的项．20．（12分）2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军．这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕．为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表．（1）将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？（2）从观众中任选一人，A 表示事件“选中的观众为男性”，B 表示事件“不喜欢篮球运动”．P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是性别对运动热爱程度的一项度量指标，记该指标为R ．①证明：R =P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；②利用男观众的数据统计，给出P （A |B ），P(A|B)的估计值，并求出R 的估计值．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，AD ∥BC ，AF ∥BE ．DA ⊥平面ABEF ，AB ⊥AF ，AD ＝AB ＝2BC ＝2BE ＝2．（1）已知点G 为AF 上一点，且BG =2√2，试判断BG 是否与平面DCE 平行，并说明理由； （2）已知直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为4√1339，求该多面体ABCDEF 的体积．22．（12分）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k ﹣1（k ∈N +）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p （0＜p ＜1），各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为p k （例如：p 2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率：p 3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若每个元件正常工作的概率p =34．当k ＝2时，求控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列和期望；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为13，每件高端产品的利润是2元．请用p k 表示出设备升级后单位时间内的利润y （单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．2022-2023学年江苏省泰州中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．若4名学生报名参加数学，计算机、航模兴趣小组．每人选报1项．则不同的报名方式有 （ ） A ．34种B ．43种C ．3×2×1种D ．4×3×2种解：每个学生报名的方法都有3种，由乘法原理可得报名方法有34． 故选：A ．2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100接力比赛，记事件A 为“甲同学跑第一棒”，事件B 为“乙同学跑第二棒”，则P （B |A ）的值为（ ） A ．14B ．13C ．34D ．12解：甲同学跑第一棒，则跑第二棒有：乙、丙、丁三种可能，故P （B |A ）=13， 故选：B ． 3．若(x −√a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8解：∵(x −√a x2)6展开式的通项公式为T r +1=C 6r •(−√a)r •x6﹣3r，令6﹣3r ＝0，求得r ＝2，可得它的常数项为C 62•a ＝60，∴a ＝4，故选：B ．4．已知三个正态分布密度函数Φi （x ）=12πσi−(x−μi )22σi2(x ∈R ，i =1，2，3)的图象如图所示的图象如图所示，则（ ）A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解：∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等， 只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小， 故选：D ．5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3解：由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r 1接近于1，r 2接近于﹣1， 由此可得r 2＜r 4＜r 3＜r 1． 故选：A ．6．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知P （3，﹣4，1），且平面OAB 的法向量为n →=(2，−2，3)，则P 到平面OAB 的距离等于（ ） A ．2√3B ．4C ．√17D ．3√2解：∵P （3，﹣4，1），O （0，0，0），∴OP →=(3，−4，1)，又易知平面OAB 的法向量为n →=(2，−2，3)， ∴点P 到平面OAB 的距离d =|OP →⋅n →||n →|=|3×2+(−4)×(−2)+1×3|√2+(−2)2+3=√17．故选：C ．7．学校每天安排四项社团活动供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项社团活动；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：若某学生在一周内共选择了足球、篮球、书法3项，则不同的选择方案共有（ ） A ．36 种B ．39 种C ．42 种D ．50 种解：由题意得足球周一至周五均有，篮球周一，周三，周四，周五有，书法周一，周二，周四，周五有， 若周三选择篮球，则书法和足球可从剩余的四天中进行选择，选择方案有A 42=12种，若周一，周四，周五三天中有1天选择篮球，不妨周一选择篮球，则书法从周二，周四，周五三天中选择1天，再从剩余3天中选择1天选择足球，故有A 31A 31A 31=27种方案，故不同的选择方案共有12+27＝39． 故选：B ．8．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，线段B 1D 1上有两个动点E ，F （E 在F 的左边），且EF =√2．下列说法正确的是（ ）A ．当E ，F 运动时，存在点E ，F 使得AE ⊥CFB ．当E ，F 运动时，存在点E ，F 使得AE ∥BFC ．当E 运动时，二面角E ﹣AB ﹣C 的最小值为45°D ．当E ，F 运动时，二面角A ﹣EF ﹣B 的余弦值为定值13解：对于A ，以C 为坐标原点，CD ，CB ，CC 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （2，2，0），B （0，2，0），C （0，0，0），D （2，0，0），D 1（2，0，2）， 由于EF =√2，设E （t ，2﹣t ，2），F （t ﹣1，3﹣t ，2），（1≤t ≤2）， 则AE →=(t −2，−t ，2)，CF →=(t −1，3−t ，2)， 则AE →⋅CF →=2t 2−6t +6=2(t −32)2+32＞0，所以当E ，F 运动时，故存在点E ，F 使得AE ⊥CF ，故A 错误；对于B ，若AE ∥BF ，则A ，B ，B 1，D 1四点共面，与AB 与B 1D 1是异面直线矛盾，故B 错误； 对于C ，m →=(x ，y ，z)为设平面ABE 的法向量，又AB →=(−2，0，0)， 故{AB →⋅m →=−2x =0AE →⋅m →=(t −2)x −ty +2z =0，令y ＝2，则设平面ABE 的法向量m →=(0，2，t)， 平面ABC 的法向量可取为n →=(0，0，1)，故cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=t √t +4=1√1+4t2，∵1≤t ≤2，且函数y =√1+4t 2在[1，2]上单调递降，所以√55≤√1+4t2≤√22，当且仅当t ＝2时，√1+4t2取到最大值，设二面角E ﹣AB ﹣C 的平面角为θ，0°≤θ≤90°，则cos θ最大值为√22，即二面角E ﹣AB ﹣C 的最小值为45°，故C 正确；对于D ，连接BD ，AD 1，AB 1，平面EFB 即为平面BDD 1B 1，平面AEF 即为平面AB 1D 1， 平面BDD 1B 1的法向量可取为CA →=(2，2，0)，设t →=(a ，b ，c)为平面AB 1D 1的法向量，又AB 1→=(−2，0，2)，D 1B 1→=(−2，2，0)，故{AB 1→⋅t →=0D 1B 1→⋅t →=0，即{−2a +2c =0−2a +2b =0，令a ＝1，则平面AB 1D 1的法向量t →=(1，1，1)， 故cos〈CA →，t →〉=CA →⋅t→|CA →||t →|=22×3=√63， 由图知二面角A ﹣EF ﹣B 为锐角， 则二面角A ﹣EF ﹣B 的余弦值为定值√63，故D 错误． 故选：C ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A ．若向量{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →+2b →，a →−b →，c →}也是空间的一个基底B ．若a →⋅b →＜0，则a →，b →的夹角是钝角C ．已知a →=(−1，1，2)，b →=(0，2，3)，若ka →+b →与2a →−b →垂直，则k =−34D ．已知A 、B 、C 是空间中不共线的三个点，若点O 满足OA →+2OB →+3OC →=0→，则点O 是唯一的，且一定与A 、B 、C 共面解：对于选项A ，∵向量{a →，b →，c →}是空间的一个基底，∴a →，b →，c →不共面，∴a →+2b →，a →−b →，c →也不共面，∴{a →+2b →，a →−b →，c →}也可以作为空间的一个基底，故A 正确； 对于选项B ，当a →与b →的夹角为180°时，也满足a →⋅b →＜0，故B 错误； 对于选项C ，∵a →=(−1，1，2)，b →=(0，2，3)， ∴ka →+b →=(−k ，k +2，2k +3)，2a →−b →=(−2，0，1)， 又∵ka →+b →与2a →−b →垂直，∴(ka →+b →)⋅(2a →−b →)=0， 即﹣k （﹣2）+2k +3＝0，解得k =−34，故C 正确；对于选项D ，∵OA →+2OB →+3OC →=0→，∴OA →=−2OB →−3OC →，∴OA →，OB →，OC →共面， ∴O ，A ，B ，C 四点共面，如图，取AC 中点为D ，取BC 中点为E ，∴OA →+OC →=2OD →，OB →+OC →=2OE →，又∵OA →+2OB →+3OC →=0→，∴OA →+OC →=−2OB →−2OC →=−2(OB →+OC →)， 即OD →=−2OE →，即满足此关系的点O 只有一个，所以点O 唯一，且与A ，B ，C 共面，故D 正确． 故选：ACD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强B ．若ξ～N （μ，σ2），若函数f （x ）＝P （x ≤ξ≤x +1）为偶函数，则μ=12C ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，依据α＝0.05的独立性检验（X 0.05＝3.841 ），可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05D ．已知0＜P （M ）＜1，0＜P （N ）＜1，若P(M|N)+P(M)=1，则P （N |M ）＝P （N ） 解：对于A ，相关系数|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大， 反之两个变量的线性相关性越弱，A 错误；对于B ，函数f （x ）＝P （x ≤ξ≤x +1）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ）， 即P （﹣x ≤ξ≤﹣x +1）＝P （x ≤ξ≤x +1），又ξ～N （μ，σ2），故区间[﹣x ，﹣x +1]与[x ，x +1]关于x ＝μ对称， 所以μ=−x+x+12=12，B 正确； 对于C ，因为χ2＝3.937＞3.841＝X 0.05，故可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05，C 正确； 对于D ，由0＜P （M ）＜1，0＜P （N ）＜1，P(M|N)+P(M)=1， 可得P(M|N)=1−P(M)=P(M)，故P(M|N)=P(MN)P(N)=P(M)， 则P （MN ）＝P （M ）P （N ），则P(N|M)=P(MN)P(M)=P(M)P(N)P(M)=P(N)，D 正确．故选：BCD ．11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现：如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列结论中正确的是（ ）A ．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第3个数是45B ．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，⋯，则此数列的前21项和为240C ．存在正整数r ，n 且r ＜n ﹣3，使得C n r ，C n r+1，C n r+2，C n r+3成等差数列D ．在“杨辉三角”中，第n 行所有数字的平方和恰好是第2n 行的中间一项的数字解：对于A ，在“杨辉三角”第10行中，从左到右第3个数是C 102=10!2!(10−2)!=10×92×1=45，故A 正确；对于C ，若有r ，n 且r ＜n ﹣3，使得C n r ，C n r+1，C n r+2，C n r+3成等差数列，则2C nr+1=C nr +C n r+2，2C nr+2=C nr+1+C nr+3，即2n!(r+1)!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!+n!(r+2)!(n−r−2)!，2n!(r+2)!(n−r−2)!=n!(r+1)!(n−r−1)!+n!(r+3)!(n−r−3)!，所以2(r+1)(n−r−1)=1(n−r−1)(n−r)+1(r+1)(r+2)，2(r+2)(n−r−2)=1(n−r−2)(n−r−1)+1(r+2)(r+3)，整理，得n 2﹣（4r +5）n +4r （r +2）+2＝0，n 2﹣（4r +9）n +4（r +1）（r +3）+2＝0，两式相减， 得n ＝2r +3，所以C 2r+3r ，C 2r+3r+1，C 2r+3r+2，C 2r+3r+3成等差数列，由二项式系数的性质知，C 2r+3r =C 2r+3r+3＜C 2r+3r+1=C 2r+3r+2，这与等差数列的性质矛盾，故C 错误；对于B ，杨辉三角的第n 行的和为2n，（n ＝0，1，2，⋯），故前n 行的和为S n =1−2n1−2=2n −1，每一行的个数为1，2，3，⋯可以看成以1为首项，公差为1的等差数列， 则T n =(1+n)n2，去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，…，要求此数列的前21项和，令其杨辉三角中第n 行中的数满足要求，则n(n+1)2−2n +1=21，即n 2﹣3n ﹣40＝0，得n ＝8或n＝﹣5（舍），所以数列的前21项和为S 8−15=28−1−15=240，故B 正确；对于D ，在“杨辉三角”中，第n 行所有数字的平方和恰好是第2n 行的中间一项的数字，即(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n ，所以(1+x)2n =(1+x)n (1+x)n =(C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n x n )(C n n x n +C n n−1x n−1+C n n−2x n−2+⋯+C n 0)， 对应相乘可得x n 的系数为(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2， 而二项式（1+x ）2n 展开式的通项公式T r+1=C 2n r x r ，r ≤2n ，r ∈N ， 令r ＝n ，则T r+1=C 2n n x n ，所以x n 的系数为C 2n n ，所以(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n ，故D 正确．故选：ABD ．12．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为14，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记玩家第n 次抽盲盒，抽中奖品的概率为P n ，则下列结论中正确的是（ ） A ．P 2=56 B ．数列{P n −37}为等比数列 C ．P n ≤1124D ．当n ≥2时，n 越大，P n 越小解：对于A ，P 2=14×13+34×12=1124，A 错误；对于B ，∵P n =13P n−1+12(1−P n−1)=−16P n−1+12，∴P n −37=−16(P n−1−37)， 又P 1−37=−528，∴数列{P n −37}是以−528为首项，−16为公比的等比数列，B 正确； 对于C ，由B 得：P n −37=−528⋅(−16)n−1，∴P n =37−528⋅(−16)n−1； 当n 为奇数时，528×(−16)n−1=528×(16)n−1＞0，∴P n ＜37；当n 为偶数时，P n =37−528×(−16)n−1=37+528×(16)n−1≤37+528×16=1124； ∵1124＞37，∴P n ≤1124，C 正确；对于D ，∵P 2=37+528×16，P 4=37+528×1216，∴P 4−P 2=528×(1216−16)＜0， 即P 4＜P 2，D 错误． 故选：BC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．若C24x=C243x−8，则x＝4或8．解：因为C24x=C243x−8，由组合数的性质可知，x＝3x﹣8或x+（3x﹣8）＝24，所以x＝4或8．故答案为：4或8．14．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程y=b x+a，其中b=7，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为85万元；解：由题意可得：x=2+4+5+6+85=5，y=30+40+50+60+705=50，线性回归方程过样本中心点，则：50=7×5+a，∴a=15，线性回归方程为：y=7x+15，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为y=7×10+15=85万元．故答案为：85．15．若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a10(x+1)10，则a1+a2+⋯+a10＝0．解：令x＝0，得a0+a1+a2+a3+⋯⋯+a10＝1①，再令x＝﹣1，可得a0＝1②，由①﹣②可得a1+a2+⋯+a10＝0．故答案为：0．16．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中直线CD1与平面AB1D所成角的正弦值为4√5 15．解：设上底面圆心为O ′，下底面圆心为O ，连接OO ′，OC ，OB ， 建立以O 为原点的空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示：则C （1，0，0），A （0，2，0），B 1（0，1，2），D 1（2，0，2）， ∴CD 1→=(1，0，2)，AB 1→=(0，−1，2)，DA →=(−2，2，0)， 设平面AB 1D 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=0n →⋅DA →=0，即{−y +2z =0−2x +2y =0，取x ＝1，则y ＝1，z =12， ∴平面AB 1D 的一个法向量为n →=(1，1，12)， 设直线CD 1与平面AB 1D 所成角为θ， 则sinθ=|cos ＜CD 1→，n →＞|=|CD 1→⋅n →||CD 1→||AB 1→|=2√5×32=4√515， ∴直线CD 1与平面AB 1D 所成角的正弦值为4√515．故答案为：4√515． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站成一排分别有多少种不同站法？ （1）甲不站右端也不站左端； （2）甲，乙站在两端； （3）甲不站左端，乙不站右端． 解：（1）因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的4个人中任选两人站在两端，有A 42=12种站法， 再让剩下三个人站中间三个位置上，有A 33=6种站法，由分步乘法计数原理知， 共有12×6＝72种站法；（2）首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A 22=2种站法， 再让其他3个人在中间3个位置全排列，有A 33=6种站法， 根据分步乘法计数原理，共有2×6＝12种站法；（3）甲在左端的站法有A 44=24种，乙在右端的站法有A 44=24种，而甲在左端且乙在右端的站法有A 33=6种，故共有A 55−2A 44+A 33=120−2×24+6=78种站法．18．（12分）小家电指除大功率、大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，如表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1～5．（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的经验回归方程（系数精确到0.01）．参考数据：：y =1.32，∑ 5i=1x i y i =21.4，√∑ 5i=1(y i −y)2≈0.55，√10≈3.16；参考公式：相关系数r =∑(x i −x)ni=1(y −y)√∑ i=1(x i −x)2√∑ i=1(y i −y)2，回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．解：（1）由已知得x =1+2+3+4+55=3，y =1.32，∑ 5i=1(x i −x)2=10，√∑ 5i=1(y i −y)2≈0.55， ∑(x i −x)5i=1(y i −y)=∑ 5i=1x i y i −5x ⋅y =21.4−5×3×1.32=1.6∴r ≈ 1.63.16×0.55≈0.92． 因为y 与x 的相关系数近似为0.92，说明y 与x 的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题可得，∑ 5i=1x i y i =21.4，∑ 5i=1x i 2=12+22+32+42+52=55， b =∑(x i−x)5i=1(y i −y)∑ 5i=1x i 2−5x2=1.655−5×32=0.16，a =y −b x =1.32−0.16×3=0.84， 故y 关于x 的经验回归方程为y =0.16x +0.84．19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①第5项的系数与第3项的系数之比是56：3； ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③C n+12−C n n−2=10．已知在(√x2−1√x3)n 的展开式中，____．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含x 5的项． 解：方案一：选条件① （1）T r+1=C n r (√x 2)n−r(−1√x3)r=C n r (12)n−r(−1)r x3n−5r 6，由题知，C n4(12)n−4(−1)4C n 2(12)n−2(−1)2=563，∴n!4!(n−4)!⋅24−nn!2!(n−2)!=n!4!(n−4)!⋅22⋅2!(n−2)!n!=(n−2)(n−3)3=563，整理得（n ﹣3）（n ﹣2）＝56，即n 2﹣5n ﹣50＝0，解得n ＝10或n ＝﹣5（舍去）， ∴n ＝10，∴展开式共有11项， 其中二项式系数最大的项是第6项，T 6=C 105(12)5(−1)5x 56=−638x 56，∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，T 6=−638x 56，（2）由（1）知，n ＝10，∴T r+1=C 10r(12)10−r (−1)r x30−5x 6，令30−5r 6=5，解得r =0，T 1=C 100(12)10(−1)0x 5=11024x 5， ∴展开式中含x 的项是第1项，T 1=11024x 5； 方案二：选条件②（1）由题意得，C n 1+C n n−2=n 2+n 2=55，整理得n 2+n ﹣110＝0， 解得n ＝10或n ＝﹣11（舍），∴n ＝10，∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，T 6=C 105(12)5(−1)5×56=−638x 56，∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，T 6=−638x 56； （2）同方案一（2） 方案三：选条件③（1）C n+12−C n n−2=C n+12−C n 2=C n 1=10，∴n ＝10，∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，T 6=C 105(12)5(−1)5x 56=−638x 56，∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，T 6=−638x 56；（2）同方案一（2）．20．（12分）2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军．这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕．为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表．（1）将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？（2）从观众中任选一人，A表示事件“选中的观众为男性”，B表示事件“不喜欢篮球运动”．P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是性别对运动热爱程度的一项度量指标，记该指标为R．①证明：R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；②利用男观众的数据统计，给出P（A|B），P(A|B)的估计值，并求出R的估计值．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．解：（1）由题意进行数据分析，得到2×2列联表如下：计算χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(30×40−10×20)50×50×40×60=503≈16.667＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关．（2）①证明：R=P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)=P(AB)P(AB)P(AB)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)=P(A|B)P(A|B)P(A|B)，②P(A|B)=2020+40=13，P(A|B)=3030+10=34，R =P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)=P(A|B)1−P(A|B)⋅1−P(A|B)P(A|B)=13×1423×34=16．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，AD ∥BC ，AF ∥BE ．DA ⊥平面ABEF ，AB ⊥AF ，AD ＝AB ＝2BC ＝2BE ＝2．（1）已知点G 为AF 上一点，且BG =2√2，试判断BG 是否与平面DCE 平行，并说明理由； （2）已知直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为4√1339，求该多面体ABCDEF 的体积．解：（1）BG 与平面DCE 不平行，理由如下： ∵DA ⊥平面ABEF ，AB ，AF ⊂平面ABEF ，∴DA ⊥AB ，DA ⊥AF ，又AB ⊥AF ，BG =2√2，∴AG ＝2， ∴以AF ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建系如图，则B （0，2，0），E （1，2，0），C （0，2，1），D （0，0，2），G （2，0，0）， ∴EC →=(−1，0，1)，ED →=(−1，−2，2)，BG →=(2，−2，0)， 设平面DCE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅EC →=−x +z =0n →⋅ED →=−x −2y +2z =0，取n →=(2，1，2)， ∴n →⋅BG →=2×2+1×(−2)=2≠0，第21页（共22页）∴n →与BG →不垂直，∴BG 是与平面DCE 不平行；（2）设AF ＝a （a ＞0且a ≠1），则F （a ，0，0），∴BF →=(a ，−2，0)， ∵直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为4√1339， ∴|cos ＜BF →，n →＞|=|BF →⋅n →||BF →||n →|=√a 2+4×3=4√1339，∴9a 2﹣26a ﹣3＝0，解得a ＝3或a =−19（舍去）， ∵AD ∥BC ，DA ⊥平面ABEF ，∴BC ⊥平面ABEF ， 又AB ，BE ⊂平面ABEF ，∴BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，又AB ⊥AF ，AF ∥BE ，∴AB ⊥BE ，而BC ∩BE ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCE ， ∴AB ⊥平面BCE ， 又S △BCE =12×1×1=12，∴V D−BCE =13AB ⋅S △BCE =13×2×12=13， 又S ABEF =12(1+3)×2=4，∴V D−ABEF =13AD ⋅S ABEF =13×2×4=83， ∴V ABCDEF ＝V D ﹣BCE +V D ﹣ABEF ＝3， 即多面体ABCDEF 的体积为3．22．（12分）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k ﹣1（k ∈N +）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p （0＜p ＜1），各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为p k （例如：p 2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率：p 3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若每个元件正常工作的概率p =34．当k ＝2时，求控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列和期望；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为13，每件高端产品的利润是2元．请用p k 表示出设备升级后单位时间内的利润y （单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润． 解：（1）因为k ＝2，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的可能取值为0，1，2，3； 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为p =23， 所以X ∼B(3，34)，第22页（共22页）所以P(X =0)=C 30(34)0(1−34)3=164，P(X =1)=C 31(34)1(1−34)2=964P(X =2)=C 32(34)2(1−34)1=2764，P(X =3)=C 33(34)3(1−34)0=2764，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为E(X)=3×34=94； （2）升级改造后单位时间内产量的分布列为所以升级改造后单位时间内产量的期望为3ap k ； 所以设备升级后单位时间内的利润为 y ＝2ap k +2ap k ＝4ap k ，即y ＝4ap k ．因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有k +1个元件正常工作，其概率为p 1=p k −C 2k−1k p k (1−p)k−1；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为p 2=C 2k−2k p k (1−p)k−1⋅[1−(1−p)2]=C 2k−2k p k+1(1−p)k−1(2−p)；第三类：原系统中有k ﹣1个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为p 3=C 2k−1k−1p k−1(1−p)k ⋅p 2=C 2k−1k−1p k+1(1−p)k ；所以p k+1=p k −C 2k−1k p k (1−p)k−1+C 2k−1k p k+1(1−p)k−1(2−p)+C 2k−1k−1p k+1(1−p)k =p k +C 2k−1k p k (1−p)k (2p −1)， 即p k+1−p k =C 2k−1k p k (1−p)k (2p −1)，所以当p ＞12时，p k +1﹣p k ＞0，当p ≤12时，p k +1﹣p k ≤0，又因为y ＝4ap k ，所以当p ＞12时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润； 当p ≤12时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．。

江苏省泰州重点中学2022~2023学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟；总分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报一项，则不同的报名方式有（）A.43种 B.34种C.321⨯⨯种D.432⨯⨯种2.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4100⨯接力比赛，记事件A 为“甲同学跑第一棒”，事件B 为“乙同学跑第二棒”，则()P B A 的值为（）A.14B.13C.12D.343.若62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60，则实数a 的值为（）A.2B.4C.6D.84.已知三个随机变量的正态密度函数()()()222,=1,2,3i i x i f x e x i μσ-=∈R 的图像如图所示，则（）A.123μμμ<=，123σσσ=>B.123μμμ>=，123σσσ=<C.123μμμ=<，123σσσ<= D.123μμμ<=，123σσσ=<5.对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（）A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<< D.24130r r r r <<<<6.在空间直角坐标系o xyz -中，己知()3,4,1P -，且平面OAB 的法向量为()2,2,3n =-，则P 到平面OAB 的距离等于（）A. B.4C.D.7.学校每天安排四项社团活动供学生自愿选择参加.学校规定：（1）每位学生每天最多选择若某学生在一周内共选择了足球、篮球、书法3项，则不同的选择方案共有（）A.36种B.39种C.42种D.50种8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点E ，F （E 在F 的左边），且EF =下列说法正确的是（）A.当E ，F 运动时，存在点E ，F 使得AE CF ⊥B.当E ，F 运动时，存在点E ，F 使得AE BF ∥C.当E 运动时，二面角E AB C --的最小值为45︒D.当E ，F 运动时，二面角A EF B --的余弦值为定值13二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则{}2,,a b a b c +-也是空间的一个基底B.若0a b ⋅<，则每片的夹角是钝角C.已知()1,1,2a =- ，()0,2,3b = ，若ka b + 与2a b - 垂直，则34k =-D.已知A 、B 、C 是空间中不共线的三个点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则点O 是唯一的，且一定与A 、B 、C 共面10.下列说法正确的是（）A.线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强B.若()2,N ξμσ，若函数()()1f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则12μ=C.根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到23.937χ=，依据0.05α=的独立性检验（0.05 3.841X =）,可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05D.已知()01P M <<，()01P N <<，若()()1P M N P M +=，则()()P N M P N =11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现：如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列结论中正确的是（）A.在“杨辉三角”第10行中，从左到右第3个数是45B.若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，…，则此数列的前21项和为240C.存在正整数r ，n 且3r n <-，使得rn C ，1r n C +，2r nC +，3r n C +成等差数列D.在“杨辉三角”中，第n 行所有数字的平方和恰好是第2n 行的中间一项的数字12.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.己知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为14，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13.记玩家第n 次抽盲盒，抽中奖品的概率为n P ，则下列结论中正确的是（）A.256P =B.数列37n P ⎧⎫-⎨⎩⎭为等比数列C.1124n P ≤D.当2n ≥时，n 越大，n P 越小三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13.382424xx C C -=，则x 的值为________.14.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：x 24568y 3040506070根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，计算得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为________万元.15.若()()()()102100121021111x a a x a x a x +=+++++++ ，则1210a a a +++= ________.16.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中直线1CD 与平面1AB D 所成角的正弦值为________.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站成一排分别有多少种不同站法？（1）甲不站右端也不站左端；（2）甲，乙站在两端；（3）甲不站左端，乙不站右端.18.小家电指除大功率、大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.年份代码x 12345市场规模y0.91.21.51.41.6（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的经验回归方程（系数精确到0.01）.参考数据： 1.32y =，5121.4iii x y==∑0.55≈， 3.16≈；参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆni ii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.19.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比是56：3②第2项与倒数第3项的三项式系数之和为55③22110n n nC C-+-=已知在2n⎛⎫⎝的展开式中，________.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含5x 的项.20.2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表.男女合计喜爱3040不喜爱4060合计50100（1）将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？（2）从观众中任选一人，A 表示事件“选中的观众为男性”，B 表示事件“不喜欢篮球运动”.()()P B A P B A 与()()P B AP B A 的比值是性别对运动热爱程度的一项度量指标，记该指标为R .①证明：()()()()P A BP A B R P A B P A B=⋅②利用男观众的数据统计，给出()P A B ，()P A B 的估计值，并求出R 的估计值.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P x χ≥0.0100.0050.0010x 6.6357.87910.82821.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，AD BC ∥，AFBE ∥.DA ⊥平面ABEF ，AB AF ⊥，222AD AB BC BE ====.（1）己知点G 为AF 上一点，且BG =，试判断BG 是否与平面DCE 平行，并说明理由；（2）已知直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为41339，求该多面体ABCDEF 的体积.22.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由()21k k N +-∈相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为()01p p <<，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为k p （例如：2p 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率：3p 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.（1）若每个元件正常工作的概率34p =.当2k =时，求控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列和期望；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为13，每件高端产品的利润是2元.请用k p 表示出设备升级后单位时间内的利润y（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.高二数学参考答案（考试时间：120分钟；总分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上）题号12345678答案ABBDACBC二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）题号9101112答案ACDBCDABDBC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13.4或814.8515.016.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：（1）因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的4个人中任选两人站在两端，有2412A =种站法，再让剩下三个人站中间三个位置上，有336A =种站法，由分步乘法计数原理知，共有12672⨯=种站法.（2）首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有222A =种站法；再让其他3个人在中间3个位置全排列，有336A =种站法，根据分步乘法计数原理，共有2612⨯=种站法.（3）甲在左端的站法有4424A =种，乙在右端的站法有4424A =种，而甲在左端且乙在右端的站法有336A =种，故共有5435432120224678A A A -+=-⨯+=种站法.18.解（1）由己知得1234535x ++++==， 1.32y =，()52110i i x x=-=∑，0.55≈，()()5511521.4531.32 1.6i ii ii i x xy y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑1.60.923.160.55r ∴≈≈⨯因为y 与x 的相关系数近似为0.92，说明y 与x 的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.6分（2）由题可得，5121.4i ii x y==∑，522222211234555i i x ==++++=∑()()5152211.6ˆ0.1655535iii i i x x y y bx x==--===-⨯-∑∑，ˆˆ 1.320.1630.84a y bx =-=-⨯=故y 关于x 的经验回归方程为ˆˆ0.160.84yx =+.19.方案一：选条件①（1）()35611122n rrn rn r rrr r n n T C C x---+⎛⎫⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭，由题知，()()444222115623112n nn n C C --⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()()()()()42!24!4!2!2!23!562!4!4!!332!2!nn n n n n n n n n n -⋅----∴=⋅⋅==--，整理得()()3256n n --=，即25500n n --=，解得10n =或5n =-（舍去）.10n ∴=，由题知,方案二：选条件②由题意得，212552n nnn n C C-++==，整理得21100n n +-=，解得10n =或11n =-（舍），10n ∴=，方案三：选条件③（l ）222211110n n nn n n C C C C C -++-=-==，10n ∴=（1）∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，()5555566610163128T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566638T x =-（2）由（1）知，10n =，()103056110112rr rr r T C x--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令30556r -=，解得0r =，()1005511011121024T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴展开式中含5x 的项是第1项，5111024T x =.20.（1）由题意进行数据分析，得到2×2列联表如下：男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100计算()()()()()()222100304010205016.66710.828505040603n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）①证明：()()()()()()()()()()()()()()()()P ABP AB P B A P A P AB P B A P A P AB R P B A P AB P AB P AB P AB P B A P A P A =⋅=⋅=⋅()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P AB P AB P AB P AB P A B P B P B P A B P B P B P AB P AB P AB P AB P A B P A B P B P B P B P B =⋅==⋅②()13P A B =，()34P A B =，()()()()()()()()111134236134P A BP A BP A B P A B R P A B P A B P A B P A B ⨯-=⋅===-⨯21.（1）BG 与平面DCE 不垂直.证明：因为DA ⊥平面ABEF ，AB ，AF ⊂平面ABEF ，所以DA AB ⊥、DA AF ⊥，又AB AF ⊥，因为BG =，所以2AG =如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0B 、()1,2,0E 、()0,2,1C 、()0,0,2D 、()2,0,0G ，所以()1,0,1EC =- ，()1,2,2ED =-- ，()2,2,0BG =-，设平面DCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0220n EC x z n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令2x =，则2z =，1y =，所以()2,1,2n =，因为()221220n BG ⋅=⨯+⨯-=≠ ，BG 与n不垂直，所以BG 与平面DCE 不垂直.（其他方法参照给分）（2）解：设AF a =（0a >且1a ≠），则(),0,0F a ，所以(),2,0BF a =-，∵直线BF 与平面DCE所成角的正弦值为39，∴cos ,39BF n BF n BF n⋅====⋅化简得292630a a --=，解得3a =或19a =-（舍去），因为AD BC ∥，DA ⊥平面ABEF ，所以BC ⊥平面ABEF ，又AB ⊂平面ABEF ，BE ⊂平面ABEF ，所以BC AB ⊥，BC BE ⊥，又AB AF ⊥，AF BE ∥，所以AB BE ⊥，BC BE B = ，BC ，BE ⊂平面BCE ，所以AB ⊥平面BCE ，又111122BCE S =⨯⨯= ，所以111123323D BCE BCE V AB S -=⋅=⨯⨯= ，()113242ABEF S =+⨯=，所以11824333D ABEF ABEF V AD S -=⋅=⨯⨯=，所以，3ABCDEF D BCE D ABEF V V V --=+=，即多面体ABCDEF 的体积为3.22.（1）（i ）因为2k =，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的可能取值为0，i ，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为23p =，所以33,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0303331014464P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()12133********P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21233327214464P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3333327314464P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以控制系统汇总正常工作的元件个数X 的分布列为X 0123P16496427642764控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为()39344E X =⨯=；（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为产量3a设备运行概率k p 1kp -所以升级改造后单位时间内产量的期望为4k ap ；所以产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）kap 2kap 利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为224k k k y ap ap ap =+=，即4k y ap =.因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有1k +个元件正常工作，其概率为()()12111k kkk k p p C pp --=--；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为()()()()()12112222211112k k kkk k k k p C pp p C p p p --+--⎡⎤=-⋅--=--⎣⎦；第三类：原系统中有1k -个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为()()()112112121311kkk k k k k k p C p p p C pp ---+--=-⋅=-；所以()()()()1111112121211121k k kk kk k k k k k k k k p p C pp C p p p C p p --+-++---=--+--+-()()21121kk kk k p C p p p -=+--，即()()121121kk kk k k p p C p p p +--=--，所以当12p >时，10k k p p +->，k p 单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当12p ≤时，10k k p p +-≤，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为5k y ap =，所以当12p >时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当12p ≤时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润。