(完整word)上海高考数学填选难题解析

2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z = ．2．（4分）双曲线2219x y -=的实轴长为 ．3．（4分）函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 ． 4．（4分）已知a R ∈，行列式1||32a 的值与行列式0||41a 的值相等，则a = ． 5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ． 6．（4分）0x y -，10x y +-，求2z x y =+的最小值 ．7．（5分）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n = ．8．（5分）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为 ．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．10．（5分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，若50S =，则(0i S i =，1，2，⋯，100)中不同的数值有 个．11．（5分）若平面向量||||||a b c λ===，且满足0a b ⋅=，2a c ⋅=，1b c ⋅=，则λ= ．12．（5分）设函数()f x 满足1()()1f x f x=+对任意[0,)x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为 ．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项. 13．（5分）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = )A ．{2-，1-，0，1}B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{1}-14．（5分）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是( ) A．a b +>B．a b +<C．22ab +> D．22ab +< 15．（5分）如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，联结1A S ，1B D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为( )A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q16．（5分）设集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈， ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧； ②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上；( ) A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC ∆，O 为AC 边中点，且PO ⊥底面ABC ，2AP AC ==． （1）求三棱锥体积P ABC V -；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC 所成角大小．18．（14分）33()log ()log (6)f x a x x =++-．（1）若将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a ，m 的值． （2）若3a >-且0a ≠，求解不等式()(6)f x f x -．19．（14分）在如图所示的五边形中，6AD BC ==，20AB =，O 为AB 中点，曲线CD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称，MO AB ⊥； （1）若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小；（2）P 在何位置，求五边形MQABP 面积S 的最大值．20．（16分）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，直线:420l x y +-=，Γ下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(2,0)F -、2(2,0)F ．（1）2a =，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM ∆中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值．21．（18分）数列{}n a 对任意*n N ∈且2n ，均存在正整数[1,1]i n ∈-，满足12n n i a a a +=-，11a =，23a =． （1）求4a 可能值； （2）命题p ：若1a ，2a ，，8a 成等差数列，则930a <，证明p 为真，同时写出p 逆命题q ，并判断命题q 是真是假，说明理由；（3）若23m m a =，*()m N ∈成立，求数列{}n a 的通项公式．2022年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z = 22i - ． 【解析】1z i =+，则1z i =-，所以222z i =-．故答案为：22i -． 【评注】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（4分）双曲线2219x y -=的实轴长为 6 ．【解析】由双曲线2219x y -=，可知：3a =，所以双曲线的实轴长26a =．故答案为：6．【评注】本题考查双曲线的性质，是基础题．3．（4分）函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 π ．【解析】2222222()cos sin 1cos sin cos sin 2cos cos21f x x x x x x x x x =-+=-++==+，22T ππ==． 故答案为：π．【评注】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．4．（4分）已知a R ∈，行列式1||32a 的值与行列式0||41a 的值相等，则a = 3 ． 【解析】因为1||2332a a =-，0||41a a =，所以23a a -=，解得3a =．故答案为：3． 【评注】本题考查了行列式表示的值，属于基础题．5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 24π． ．【解析】因为圆柱的底面积为9π，即29R ππ=，所以3R =，所以224S Rh ππ==侧．故答案为：24π． 【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题． 6．（4分）0x y -，10x y +-，求2z x y =+的最小值 32． 【解析】如图所示：由0x y -，10x y +-，可知行域为直线0x y -=的左上方和10x y +-=的右上方的公共部分， 联立010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即图中点11(,)22A ，当目标函数2z x y =+沿着与正方向向量(1,2)a =的相反向量平移时，离开区间时取最小值， 即目标函数2z x y =+过点11(,)22A 时，取最小值：1132222+⨯=．故答案为：32．【评注】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题． 7．（5分）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n = 10 ．【解析】二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，即220353n n n n C C -⨯=⨯，即(1)592n n -=⨯，10n ∴=，故答案为：10．【评注】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．8．（5分）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为 1 ．【解析】函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(1)(1)f f ∴-=-，21(1)a a ∴--=-+，即(1)0a a -=，求得0a =或1a =． 当0a =时，1,0()0,0,0x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，不是奇函数，故0a ≠；当1a =时，1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，是奇函数，故满足条件，综上，1a =，故答案为：1．【评注】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为37． 【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有112121134134C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅种，而所有的抽取方法共有48C 种，故每一类都被抽到的概率为11212113413448303707C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅==，故答案为：37．【评注】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．10．（5分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，若50S =，则(0i S i =，1，2，⋯，100)中不同的数值有 98 个．【解析】等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，50S =，∴5154502S a d ⨯=+=，解得12a d =-， 21(1)(1)2(5)222n n n n n dS na d nd d n n --∴=+=-+=-， 0d ≠，(0i S i ∴=，1，2，100)中050S S ==，233S S d ==-，142S S d ==-，其余各项均不相等，(0i S i ∴=，1，2，100)中不同的数值有：101398-=．故答案为：98．【评注】本题考查等差数列的前n 项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 11．（5分）若平面向量||||||a b c λ===，且满足0a b ⋅=，2a c ⋅=，1b c ⋅=，则λ【解析】由题意，有0a b ⋅=，则a b ⊥，设,a c θ<>=， 21a c b c ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2,1,2a c cos b c cos θπθ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩①② 则②①得，1tan 2θ=，由同角三角函数的基本关系得：cos θ=，则||||cos 2a c a c θλλ⋅==⋅=，2λ=λ=． 【评注】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．12．（5分）设函数()f x 满足1()()1f x f x=+对任意[0,)x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为)+∞ ． 【解析】法一：令11x x =+，解得x =，当1x ∈时，2111x x =∈+，当1)x ∈+∞时，2111x x =∈+，且当1)x ∈+∞时，总存在2111x x =∈+，使得12()()f x f x =，故51{|(),0}2fy y f x x A -==，若a <易得{}|(),0f y y f x x a ∉=，所以512a -，即实数a 的取值范围为)+∞； 法二：原命题等价于任意10,()()1a f x a f x a >+=++，所以11(1)1a x a x a a⇒-+++恒成立，即1(1)0a a -+恒成立，又0a >，所以512a -，即实数a的取值范围为)+∞． 故答案为：)+∞． 【评注】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题． 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项. 13．（5分）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = )A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{1}-【解析】[1A =-，2)，B Z =，{1,0,1}A B ∴=-，故选：B ．【评注】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．14．（5分）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是( ) A．a b +>B．a b +<C．22ab +> D ．22ab +< 【解析】因为0a b >>，所以2a b ab+，当且仅当a b =时取等号， 又0a b >>，所以a b+>A 正确，B 错误，22222a a b b +⨯=22a b =，即4a b =时取等号，故CD 错误，故选：A ． 【评注】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．15．（5分）如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，联结1A S ，1B D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为( )A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q【解析】线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，即直线MN 与线段1A S 、1B D 不相交， 因此所求与1D 可视的点，即求哪条线段不与线段1A S 、1B D 相交，对A 选项，如图，连接1A P 、PS 、1D S ，因为P 、S 分别为AB 、CD 的中点，∴易证11//A D PS ，故1A 、1D 、P 、S 四点共面，1D P ∴与1A S 相交，A ∴错误；对B 、C 选项，如图，连接1D B 、DB ，易证1D 、1B 、B 、D 四点共面， 故1D B 、1D R 都与1B D 相交，B ∴、C 错误；对D 选项，连接1D Q ，由A 选项分析知1A 、1D 、P 、S 四点共面记为平面11A D PS ，1D ∈平面11A D PS ，Q ∉平面11A D PS ，且1A S ⊂平面11A D PS ，点11D A S ∉，1D Q ∴与1A S 为异面直线，同理由B ，C 选项的分析知1D 、1B 、B 、D 四点共面记为平面11D B BD ，1D ∈平面11D B BD ，Q ∉平面11D B BD ，且1B D ⊂平面11D B BD ，点11D B D ∉，1D Q ∴与1B D 为异面直线，故1D Q 与1A S ，1B D 都没有公共点，D ∴选项正确．故选：D ．【评注】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题． 16．（5分）设集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈， ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧； ②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上；( ) A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立【解析】当0k =时，集合222{(,)|()()4||,}{(0,0)}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈=， 当0k >时，集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈，表示圆心为2(,)k k ，半径为r =2y x =上，半径()r f k ==相邻两个圆的圆心距d =，相邻两个圆的半径之和为l =，因为d l >有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当0k <时，同0k >的情况，故存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧，故①正确， 若直线l 斜率不存在，显然不成立，设直线:l y mx n =+，若考虑直线l 与圆222()()4||x k y k k -+-=的焦点个数，2d =，r = 给定m ，n ，当k 足够大时，均有d r >，故直线l 只与有限个圆相交，②错误．故选：B ． 【评注】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC ∆，O 为AC 边中点，且PO ⊥底面ABC ，2AP AC ==． （1）求三棱锥体积P ABC V -；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC 所成角大小．【解析】（1）在三棱锥P ABC -中，因为PO ⊥底面ABC ，所以PO AC ⊥，又O 为AC 边中点，所以PAC ∆为等腰三角形，又2AP AC ==．所以PAC ∆是边长为2的为等边三角形，PO ∴=，三棱锥体积2112133P ABC ABC V S PO -∆=⋅==，（2）以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P，B ，(0,1,0)C，1,0)2M，31(,22PM =， 平面PAC 的法向量(3,0,0)OB =，设直线PM 与平面PAC 所成角为θ， 则直线PM 与平面PAC所成角的正弦值为3sin ||||||3PM OBPM OB θ⋅==⋅ 所以PM 与面PAC 所成角大小为 【评注】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）33()log ()log (6)f x a x x =++-．（1）若将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a ，m 的值． （2）若3a >-且0a ≠，求解不等式()(6)f x f x -． 【解析】（1）因为函数33()log ()log (6)f x a x x =++-，将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，得33()log ()log (6)y f x m a x x m =-=++--的图像， 由函数图像经过点(3,0)和(5,0)，所以33log (3)10log (5)00a m a m ++-=⎧⎨++-=⎩，解得2a =-，1m =．（2）3a >-且0a ≠时，不等式()(6)f x f x -可化为3333log ()log (6)log (6)log a x x a x x ++-+-+， 等价于060600()(6)(6)a x x a x x a x x x a x +>⎧⎪->⎪⎪+->⎨⎪>⎪+-+-⎪⎩，解得660(3)0x ax x a x a x >-⎧⎪<⎪⎪<+⎨⎪>⎪-⎪⎩，当30a -<<时，03a <-<，366a <+<，解不等式得3a x -<， 当0a >时，0a -<，66a +>，解不等式得36x <；综上知，30a -<<时，不等式()(6)f x f x -的解集是(,3]a -，0a >时，不等式()(6)f x f x -的解集是[3,6)．【评注】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题． 19．（14分）在如图所示的五边形中，6AD BC ==，20AB =，O 为AB 中点，曲线CD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称，MO AB ⊥； （1）若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小；（2）P 在何位置，求五边形MQABP 面积S 的最大值．【解析】（1）点P 与点C 重合，由题意可得10OB =，6BC =，120ABC ∠=︒， 由余弦定理可得22212cos 361002610()1962OP OB BC OB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以14OP =，在OBP ∆中，由正弦定理得sin120sin OP BPPOB=︒∠，6sin POB=∠，解得sin POB ∠POB ∠的大小为；（2）如图，连结QA ，PB ，OQ ，OP ，曲线CMD 上任意一点到O 距离相等，14OP OQ OM OC ∴====，P ，Q 关于OM 对称，P ∴点在劣弧CM 中点或劣弧DM 的中点位置，QOM POM S S α∆∆==，则2BOP AOQ BOP S πα∆∠=∠==-，则五边形面积112()2[sin()sin ]196sin 140cos 222AOQ QOM S S S OQ OA OQ OM παααα∆∆=+=⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=+)αϕ=+，其中5tan 7ϕ=，当sin()1αϕ+=时，MQABP S 五边形取最大值，∴五边形MQABP 面积S 的最大值为．【评注】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．20．（16分）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，直线:0l x y +-，Γ下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(F 、2F ．（1）2a =，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM ∆中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】（1）由题意可得2,a b c ==22:1,(0,42x y A Γ+=，AM 的中点在x 轴上，M ∴0x y +-=得M ．（2）由直线方程可知B ，①若3cos 5BAM ∠=，则4tan 3BAM ∠=，即24tan 3OAF ∠=，∴234OA OF ==∴b =②若3cos 5BMA ∠=，则4sin 5BMA ∠=，4MBA π∠=，∴34cos()55MBA AMB ∠+∠=∴cos BAM ∠=tan 7BAM ∴∠=．即2tan 7OAF ∠=，∴OA ，∴b ，综上b =．（3）设(cos ,sin )P a b θθ62a =-，很明显椭圆在直线的左下方，则62a =-，即)θϕ+=，222a b =+，∴)θϕ+=-，据此可得)22a θϕ+=-，|sin()|1θϕ+=，整理可得(1)(35)0a a --，即513a，从而58626233d a =--⨯=．即d 的最小值为83．【评注】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．21．（18分）数列{}n a 对任意*n N ∈且2n ，均存在正整数[1i ∈，1]n -，满足12n n i a a a +=-，11a =，23a =． （1）求4a 可能值； （2）命题p ：若1a ，2a ，，8a 成等差数列，则930a <，证明p 为真，同时写出p 逆命题q ，并判断命题q 是真是假，说明理由；（3）若23m m a =，*()m N ∈成立，求数列{}n a 的通项公式． 【解析】（1）32125a a a =-=，43227a a a =-=或43129a a a =-=．（2）1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，8a 为等差数列，∴*2,21([1,8],)n d a n n n N ==-∈∈， 9823030i i a a a a =-=-<．逆命题q ：若930a <，则1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，8a 为等差数列是假命题，举例： 11a =，23a =，35a =，47a =，59a =，611a =，713a =，875217a a a =-=，987221a a a =-=．（3）23m m a =，∴12222213,2(2)m m m m i a a a a i m ++++==-，2122(21)m m j a a a j m +=--， 22242m m j i a a a a +∴=--，∴12222244333m m m j i m m m a a a a a +++=-=⨯-==，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明1n n a a +>恒成立： 当1n =，21a a >明显成立，假设n k =时命题成立，即11210k k k a a a a a -->>>>>>，则120k k k i k k i a a a a a a a +-=--=->，则1k k a a +>，命题得证． 回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1．若2j =1m -，则2212122m j i m i m i a a a a a a a --=+=+>-矛盾， 2．若2j =2m -，则13m j a -=，∴1323m m i j a a -=-=，22i m ∴=-， 此时11212223353m m m m m j a a a --+=-=⨯-=⨯，∴3*2*2115321,32,n n nn a n k k N n k k N -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩， 3．若2j <2m -，则1223m j a -<⨯，∴1323m m i j a a -=->，21j m ∴=-，2221212m m m a a a ++-∴=-（由（2）知对任意m 成立），6532a a a =-，事实上：6522a a a =-矛盾． 综上可得3*2*2115321,32,n n nn a n k k N n k k N -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩． 【评注】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．。

全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学（理工农医类） 全解全析一 填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0 的x 的取值范围是 . 【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线3y x a=+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。

2020年全国统一高考数学试卷（上海秋季卷）一、填空题：本题共15小题，1-6题4分，7-12题5分，共54分。

1．已知集合，，求 ．={124}A ，，={234}B ，，=A B 【答案】：{24}，【解析】： 与取交集，共有元素为和.A B 242．计算： ．1lim31n n n →∞+=-【答案】：13【解析】： .11111lim lim lim 1131333()33n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===---3．已知复数（为虚数单位），则 ．12i z=-i z =【解析】：z ==4．已知行列式，则行列式 ．126300a cd b =a cd b=【答案】：2【解析】：因为 .126300a cd b =所以.11300622a c c ad b b d⋅-⋅+=故.2a cd b=5．已知，则 ．()3f x x =()1fx -=【答案】：13x()x ∈R 【解析】： 考察反函数知识点，由 可得，注意.3x y =13y x =x ∈R 6．已知、、1、2的中位数为，平均数为，则 ．a b 34ab =【答案】：36【解析】：由平均数为，可得，由中位数为，可知和中有一个是413a b +=3a b 4，另一个是.97．已知，则的最大值为 ．20230x y y x y +⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤2z y x =-【答案】：1-【解析】：画出可行域，带入点.()11，8．为不等于零的等差数列，且，求.{}n a 1109a a a +=12910+a a a a ++= 【答案】：278【解析】：在等差数列中由，得，所以：1109a a a +=1a d =-.1291101+93627+98a a a a d a a d +++==9．从个人中选个人值班，第一天641个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法 .【答案】：180【解析】：.112654C C C 180=10．已知椭圆：，第二象限有一点，点与右焦点22143y x +=P P F所在直线与椭圆交于一点，，且点与点关于轴对称，求Q 1PF FQ ⊥Q 1Q x PQ 的直线方程 .【答案】：1y x=-【解析】：，且点与点关于轴对称，知斜率为，所以1PF FQ ⊥Q 1Q x PF 1-PF方程为.1y x =-11．设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或a ∈R R ()f x 0x ∈R 0()f x 20x 0x ”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为 x ()f x a =a 【答案】：且0a ≠1a ≠【解析】：题目转换为是否存在实数，使得存在函数满足“对于任意，a ()f x 0x ∈R 0()f x 的值为或”又满足“关于的方程无实数解”构造函数：20x 0x x ()f x a =，则方程，只有0,1两个实数解.2,(),x x af x x x a ≠⎧=⎨=⎩()f x a =12．设，已知平面向量两两不相同，，且对于任意的k ∈*N 1212,,,, k a a b b b 12||1a a -=，及,,求的最大值 1,2i =1,2,,j k = }{1,2i j a b -∈k 【答案】：6【解析】：设，这，因为，所以对于任意的1122,OA a OA a == 12||1A A =}{1,2i j a b -∈有，做，则我们有1,2,,j k = }{11,2j a b -∈ }{21,2j a b -∈ j j OB b = 1j A B 等于1或者2，且等于1或者2，所以点在以，2j A B ,(1,2,,)j B j k = i A ()1,2i =为圆心半径为1或者2的圆上，如图所示，总共有6个点满足条件.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022上海高考真题—数学（文）解析版（纯word 版） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．运算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，第一将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = . 【答案】 1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<经<1，因此，B A =1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，第一分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。

3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .【答案】π【解析】依照韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+ 【点评】本题要紧考查行列式的差不多运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求把握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα. 【点评】本题要紧考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情形一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】π6【解析】依照该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，因此该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题要紧考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是 .【答案】3log 2 【解析】依照方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.因此原方程的解为3log 2 .【点评】本题要紧考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题要紧考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】20-【解析】依照所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，确实是333461C ()20T x x=-=- . 【点评】本题要紧考查二项式定理.关于二项式的展开式要清晰，专门注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，因此有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题要紧考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，因此有)()(x f x f -=-那个条件的运用，平常要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 【答案】2-【解析】依照题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数能够化成z x y +=，z 的最小值确实是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，现在2min -=z .【点评】本题要紧考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清晰当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，现在2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，因此依照古典概型得到此种情形下的概率为32 . 【点评】本题要紧考查排列组合概率问题、古典概型.要分清差不多事件数和差不多事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范畴是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，因此(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，依照题意，22x b -=，因此2(,1),(2,).2xAN x AM →→-== 因此123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，因此41231≤+≤x ， 即→→≤•≤41AN AM .【点评】本题要紧考查平面向量的差不多运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .【答案】41 【解析】依照题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 因此围成的面积为41)22(21212210=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，因此围成的图形的面积为41 .【点评】本题要紧考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出表达数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，同时)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】本题要紧考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.明白得条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 【答案】 D【解析】依照实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，因此b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题要紧考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对差不多知识和差不多技巧的考查，复习时要专门注意.16.关于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩因此，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，依照该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.因此答案选择B.【点评】本题要紧考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的明白得.依照方程的组成特点，能够明白常数n m ,的取值情形.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，因此C 为钝角，因此该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题要紧考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.要紧抓住宅给式子的结构来选择定理，假如显现了角度的正弦值就选择正弦定理，假如显现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若2sin sin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，能够找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题要紧考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目动身能够看出来相邻的14项的和为0，这确实是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分）[解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分 三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分 （2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，因此∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，因此∠ADE =43arccos . 因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分 【点评】本题要紧考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易显现找错角的情形，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范畴；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数PA BCDPA BCDE)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，因此1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分 由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，因此所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题要紧考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练把握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船动身t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若现在两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，通过t 小时追上失事船，现在位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，因此22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 【点评】本题要紧考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，因此223||22=+=x MF ，得26=x .因此)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，因此2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，因此OP ⊥OQ . ……16分 【点评】本题要紧考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．专门要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最专门的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，同时相互垂直，这些性质的运用能够大大节约解题时刻，本题属于中档题 ．23．关于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的操纵数列.如1,3,2,5,5的操纵数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的操纵数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的操纵数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的操纵数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ， 因此k k b b ≥+1. ……6分 因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，因此011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分 因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，因此0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a .又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分 【点评】本题要紧考查数列的通项公式、等差、等比数列的差不多性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“操纵”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的差不多运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

13．下列等式恒成立的是 ( )
A． a2 b2 2ab
B． a2 b2 2ab
C． a b 2 | ab |
D． a2 b2 2ab
14．已知直线方程 3x 4 y 1 0 的一个参数方程可以是 ( )
A．
x 1 3t y 1 4t
(t
为参数）
B．
x
y
1 4t 1 3t
135( 1) x, 0 3
x
40
．
k(x 40) 85, 40 x 80
（1）若交通流量 v 95 ，求道路密度 x 的取值范围；
（2）已知道路密度 x 80 ，交通流量 v 50 ，求车辆密度 q 的最大值．
20．（16
分）已知双曲线 1 :
x2 4
y2 b2
1与圆 2
: x2
y2
4 b2 (b 0) 交于点 A(xA ， yA ) （第
B ．∵(a b)2 0 ， a2 b2 2ab 0 ， a2 b2 2ab ，故 B 正确；
C ．显然当 a 0 ， b 0 时，不等式 a b 2 | ab | 不成立，故 C 错误；
D ．显然当 a 0 ， b 0 时，不等式 a2 b2 2ab 不成立，故 D 错误．
（3）若{an} 是 1，2，3， ，m 的一个排列 (m 4) ，{bn} 符合 bk ak1(k 1，2， ，m 1) ， {an} 、{bn} 都具有性质 P ，求所有满足条件的数列{an} ．
参考答案
1．{2 ， 4}
【解析】因为 A {1 ，2， 3} ， B {2 ，4， 5} ，则 A∩B {2 ， 4} ．故答案为：{2 ， 4} ．
所以 ab 36 ，故答案为：36．

全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间20分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z 满足(1)1z i i +=-(i 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ ． 2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且A B R =，则实数a 的取值范围是________．3．若行列式4513789xx 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________．4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是 ．5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）． 6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ ．7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）． 8．已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________．9．已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一个点，且21PF PF ⊥．若△21F PF 的面积为9，则b = ． 10．在极坐标系中，由三条直线0,,cos sin 13πθθρθρθ==+=围成圆形的面积是 ．11．当0≤x ≤1时，不等式sin2xkx π≥成立，则实数k 的取值范围是 ．12．已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ． 13．某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4）， （-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短． 14．将函数2642--+=x x y （]6,0[∈x ）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θαθ≤≤0，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．“22≤≤-a ”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的 （ ）（A ）必要不充分条件． （B ）充分不必要条件． （C ）充要条件．（D ）既不充分也不必要条件．16．若事件E 与F 相互独立，且41)()(==F P E P ，则)(F E P 的值等于（ ） （A ）0．（B ）161． （C ）41． （D ）21．17．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4． （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0． （C ）丙地：中位数为2，众数为3．（D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3．18．过圆1)1()1(:22=-+-y x C 的圆心，作直线分别交 x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分（如图）．若这四部分图形面积满足ⅢⅡⅣⅠS S S S +=+，则 这样的直线AB 有 （ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AB BC AA ，AB ⊥BC ，求二面角111C C A B --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．有时可用函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤-+=6,44.4,6,ln 151.0)(x x x x xa a x f描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数)(*N ∈x ，)(x f 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．（1）证明：当7≥x 时，掌握程度的增长量)()1(x f x f -+总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(](](]133,127,127,121,121,115．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．21．（本题满分16分）本题共有12个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知双曲线,12:22=-y x C 设过点)0,23(-A 的直线l 的方向向量),1(k =． （1）当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 距离； （2）证明：当22>k 时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为.6 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知函数)()(1x f y x fy ==-是的反函数，定义：若对给定的实数)0(≠a a ，函数)(')(1a x f y a x f y +=+=-与互为反函数，则称)(x f y =满足“a 和性质”；若函数)(ax f y =与)(1ax fy -=互为反函数，则称)(x f y =满足“a 积性质”．（1）判断函数)0(1)(2>+=x x x g 是否满足“1和性质”，并说明理由； （2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数)0)((>=x x f y 对任何0>a ，满足“a 积性质”．求)(x f y =表达式． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知}{n a 是公差为d 的等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列．（1）若13+=n a n ，是否存在k m m a a a N k m =+∈+*1,,有？说明理由；（2）找出所有数列}{n a 和}{n b ，使对一切n nn b a a N n =∈+*1,，并说明理由； （3）若3,4,511====q b d a ，试确定所有的p ，使数列}{n a 中存在某个连续p 项的和是数列}{n b 中的一项，请证明．全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案及解读一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． i .【解读与点评】由(1)1z i i +=-，得11iz i i-==-+，从而z i =，故答案为：i . 点评：熟记一些常用的复数运算，如2211(1)2,(1)2,,1i i i i i i i i i ++=-=-=-=-，11i ii-=-+等．2． (,1]-∞．【解读与点评】利用数形结合的方法，易知实数a 的取值范围是1a ≤，故答案为：(,1]-∞．3． 8(,)3+∞．【解读与点评】依题意可知元素4的代数余子式为 38 9x ，即为898303x x -⨯>⇒>，故答案为：8(,)3+∞．4． 2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩．【解读与点评】依题意，可知程序框的判定语句，当1x >时，是将2x -赋予y ，否则1x ≤时，2x赋予y ． 从而可知输出量y 与输入量x 满足的关系式是：2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩．5． ．【解读与点评】解析：因为11//A D AD ，所以直线11A D 与1BD 所成的角即为异面直线1BD 与AD 所成角因为正四棱柱底面边长为2，高为4，所以在11Rt A D B ∆中，112A D =，1A B ==所以11111tan A BD A B D A ∠==11D A B arc ∠=arc6．1-．【解读与点评】解析：依题意有22cos sin 21cos 2sin 2)14y x x x x x π=+=++=++当2242x k πππ+=-，即3,8x k k Z ππ=-∈时，sin(2)14x π+=-，此时有函数22cos sin 2y x x =+的最小值是：1，故答案为：1-7．47．【解读与点评】依题意可知随机变量ξ值可为0,1,2, 252710(0)21C P C ξ===，11522710(1)21C C P C ξ===，22271(2)21C P C ξ===． 所以10101124012212121217E ξ=⨯+⨯+⨯==，故答案为：47． 8．=．【解读与点评】依题意可知2221122334,4,4S R S R S R πππ===，从而123R R R =12323R R R +=， 23= 9． 3．【解读与点评】解法一：由已知条件可设12,PF m PF n ==,则9,22,mnm n a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩则22222212()24364m n m n mn a F F c +=+-=-==, 得2229b a c =-=,∴3b =．解法二：利用结论：122212tan 2PF F b S F PF ∆=∠，从而有1222212991tan 2PF F b b S F PF ∆==⇒=∠，又0b >，所以3b =，故答案为：3． ．【解读与点评】解析：方法一：依题意，因为cos sin 1ρθρθ+=，从而方法二：依题意在极坐标系中三条直线0,,cos sin 13πθθρθρθ==+=，转化为直角坐标系方程即为：0y =，,1y x y =+=，在直角坐标系画出图象如图所示：可知1AB =，3CAB π∠=，4ABC π∠=，从而512ACB π∠=，由正弦定理得：sin 1554sin sin sin 124124AB AC AB AC ππππ=⇒===三条直线所围成的图形的面积为113sin 1)123224S AC AB π=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：34-． 11． (,1]-∞．【解读与点评】方法一：当0x =时,不等式sin2x kx π≥恒成立；当0x ≠时,不等式sin2x kx π≥恒成立,等价于sin2xk xπ≤((0,1]x ∈),令sin2()xf x x π=,则2cossin222()x x xf x x πππ-'=, ∵(0,1)x ∈时,(0,)22x ππ∈, tan 22x x ππ>,即可得cos sin 0222x x x πππ-<,从而()0f x '<,又(1)0f '<,∴()f x 在(0,1]x ∈上为减函数, 即可得()(1)1f x f ==最小值,∴1k ≤．故答案为：(,1]-∞． 方法二：利用性质：当[0,]2πα∈，2sin 1απα≤≤．所以当0≤x ≤1，[0,]22xππ∈，所以不等式sin 2x kx π≥恒成立,等价于sin sin2222x xk xxππππ≤=，又当[0,]22x ππ∈时，sin222x x πππ的最小值为1，所以1k ≤， 故答案为：(,1]-∞．12． 14．【解读与点评】依题意可知：函数()sin tan f x x x =+为(,)22ππ-上的奇函数且单调递增,又(0)0f =,且等差数列{n a a }满足1227()()()0f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则必有127226325,,,a a a a a a =-=-=-⋅⋅⋅且140a =, 即得14k =时,14()0f a =． 故答案为：14．13． (3,3)．【解读与点评】设零售点坐标为(x ,y ),则6个零售点沿街道到发行站之间的路程为(|2||2|)(|2||3|)(|3||1|)(|3||4|)(|4||5|)(|6||6|)x y x y x y x y x y x y ++-+++-+-+-+-+-+-+-+-+-即为2|2|2|3||4||6||1||2||3||4||5||6|x x x x y y y y y y ++-+-+-+-+-+-+-+-+-， 不难知横坐标(2,4)x ∈时,横坐标差的绝对值之和较小,纵坐标[3,4]y ∈时,纵坐标差的绝对值之和较小,去掉绝对值可得142|3|8|3||4|x y y +-++-+-,当3x =时,去掉不可取的零售点(3,4)外可取3y =,此时最小路程为23, 故可以确定(3,3)为发行站． 故答案为：(3,3)． 14． 2tan3arc ．【解读与点评】将函数变形为方程可得 22(3)(2)13x y -++=, [0,6],0x y ∈≥,其图象如右图所示,过点O 作该圆的切线OA,将该函数的图象绕原点逆时针旋转时,其最大的旋转角为AOy ∠，此时曲线C 都是一个函数的图象（理解好函数的概念：一个x 值只能对应一个y 的值） ∵132OA OC k k =-=, ∴12tan 3OA AOy k ∠==, ∴其最大的角α的为2tan3arc ．故答案为：2tan 3arc ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15． A ．【解读与点评】由实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根,可得240a ∆=-<, 即可得(2,2)a ∈-,∵(2,2)[2,2]-⊆-, ∴“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的必要不充分条件, 故应选A ．16． B ．【解读与点评】∵事件E 与F 相互独立, ∴1()()()16P E F P E P F =⨯=, 故应选B ．17． D ．【解读与点评】甲地取0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,该组数据均值为3,中位数为4,显然不符合该该标志；乙地取0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,该组数据均值为1,总体方差大于0,显然也不符合该标志； 丙地取0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,该组数据中位数为2,众数为3,显然也不符合该标志； 丁地的均值为2,则样本总和为20,由于总体方差为3,可知该组每一个数据与2的差的平方和为30,若该组数据中有一个超过7则,其方差必大于3,于是可得丁地一定符合该标志, 故应选D ．18． B ．【解读与点评】解析：如右图所示,设圆与两坐标轴的切点分别为E ，F ,BAO α∠=,((0,)2πα∈),则11tan ,1tan OB OA αα=+=+, 由S Ⅰ+S Ⅳ12AOB S ∆=，可得111112(1t a n)(1)2t a n 222tanπαπααπα+⋅+⨯=⨯⨯++, 整理可知得1tan 22tan απαα-=-+,(0,)2πα∈,此方程可化为(22)sin 22cos 20πααα-++=, 令()(22)sin 22cos 2f απααα=-++,(0,)2πα∈,由(0)20,()202f f π=>=-<，可知函数()f x 与x 轴必有一个交点,即上述上程必有一解,所以这样的直线AB 有1条, 故应选B ．三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．【解读与点评】如图，建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2）， B 1（0，0，2），C 1`（0，2，2），设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A AC,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x C A n x B A n令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴， 设法向量与的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．111||1cos |cos |,.23||||.3n BM n BM B AC C πθφθπ⋅====⋅∴--解得二面角的大小为20．【解读与点评】证明：（1）当.)4)(3(4.0)()1(,7--=-+≥x x x f x f x 时而当)4)(3(,7--=≥x x y x 函数时单调递增，且.0)4)(3(>--x x故)()1(x f x f -+单调递减．7≥∴x 当，掌握程度的增长量)()1(x f x f -+总是下降．解（2）由题意知.85.06ln151.0=-+a a整理得05.06c a a =-，解得(]127,1210.123,0.123650.206135.035.0∈=⨯≈⋅-=e e a 由此可知，该学科是乙学科． 21．【解读与点评】（1）双曲线C 的渐近线02,02:=±=±y x y x m 即l 直线∴的方程,0232=+±y x l 直线∴与m 的距离.62123=+=d（2）证法一：设过原点且平行于l 的直线,0:=-y kx b则直线l 与b 的距离21||23k k d +=，当.6,22>>d k 时 又双曲线C 的渐近为 .02=±y x ∴ 双曲线C 右支在直线D 的右下方∴双曲线右支上的任意点到l 的距离大于6．故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l． [证法二] 假设双曲线C 右支上存在点),.(00y x Q 到直线l 的距离为.6则⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-)2(,22)1(,61|23|2020200y x k k y kx 由（1）得2001623k k kx y +⋅±+=设21623k k t +⋅±=,当22>k 时， 016232>+⋅+=k k t , .01312616232222>++-⨯=+⋅-=k k k k k t将t kx y +=00代入（2）得 0)1(24)21(20202=+---t ktx x k （*）0,22>>t k ， .0)1(2,04,02122<+-<-<-∴t kt k∴方程（*）不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l．22．【解读与点评】（1）函数)0(1)(2>+=x x x g 的反函数是)1(1)(1>-=-x x x g)0()1(1>=+∴-x x x g ．而)1(1)1()1(2->++=+x x x g ， 其反函数为)1(11>--=x x y , 故函数)0(1)(2>+=x x x g 不满足“1和性质” ．（2）设函数)()(R x b kx x f ∈+=满足“2和性质”，0≠k ， )()(1R x k b x x f ∈-=∴-， ∴k bx x f -+=+-2)2(1．而)()2()2(R x b x k x f ∈++=+，得反函数k kb x y 2--= ,由“2和性质”定义可知k kb x k b x 22----+对R x ∈恒成立．R b k ∈-=∴,1，即所求一次函数为)()(R b b x x f ∈+-=．（3）设0,00>>x a ，且点),(00y x 在)(ax f y =在图像上，则),(00x y 在函数)(1ax f y -=图像上， 故⎩⎨⎧==-,)(,)(00100x ay f y ax f可得),()(000ax af x f ay ==令x ax -0， 则0x xa =， )()(00x f x xx f =∴， 即.)()(00xx f x x f =综上所述，)0()(≠=k x kx f ，此时ax kax f =)(，其反函数就是,ax ky =而,)(1ax kax f =-故)()(1ax f y ax f y --==与互为反函数．23．【解读与点评】（1）由k m m a a a =++1，得,1356+=+k m 整理后，可得,342=-m k,,*N k m ∈ m k 2-∴为整数，*,N k m ∈∴不存在，使等式成立．（2）解法一：若n n n b a a =+1，即1111)1(-=-+-n q b dn a nd a （*）（i ）若0=d ，则.111n n b q b ==-当}{n a 为非零常数列，}{n b 为恒等于1的常数列，满足要求．（ii ）若0≠d ，（*）式等号左边取极限和1)1(lim 11=-+∞→d n a nda a ，（*）式等号右边的极限只有当1=q 时，才可能等于1，此时等号左边是常数，,0=∴d 矛盾．综上所述，只有当}{n a 为非零常数列，}{n b 为恒等于1的常数列，满足要求 10分 解法二：设,c nd a n +=若n n n b a a =+1， 对*N n ∈都成立，且}{n b 为等比数列， 则q a a a a nn n n =+++112/，对*N n ∈都成立，即212++=n n n qa a a ． *2)()2)((N n c d dn q c d dn c dn ∈++-+++∴对都成立，22qd d =∴．（i ）若0=d ，则0≠=c a n ，*,1N n b n ∈=∴． （ii ）若0≠d ，则,1=q m b n =∴（常数），即m c dn c d dn =+++，则0=d ，矛盾． 综上所述，有1,0=≠=n n b c a ，使对一切n nn b a a N n =∈+1*,． （3）*,3,14N n b n a n n n ∈=+=设.,,,3*21N m N k p b a a a k k p m m m ∈∈==++++++ ,321)(41)1(4k p p m m =+++++ 93324k p m =++∴． N p N k p ∈=∴∈δδ,3,,* ,取03)14(2)14(33234,232222≥--⨯--=-⨯-=+=+-s s s s m s k ．由二项展开式可得正整数M 1、M 2，使得,114)14(22+=-+M s,2)1(8)14(22s N M -+=-⨯ 2)1)1(()2(4421+---=∴s M M m ，∴存在整数m 满足要求．故当且仅当N s p s∈=,3时，命题成立．说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若p 为偶数，则p m m m a a a ++++++ 21为偶数，但k 3为奇数，故此等式不成立，∴p 一定为奇数．当1=p 时，则k m b a =+1，即k m 354=+．而kk )14(3-=当k 为偶数时，存在m ，使k m 354=+成立．当3=p 时， 则k m m m b a a a =+++++321，即k m b a -+23也即k m 3)94(3=+， 1135)1(4,394--=++=+∴k k m m由已证可知，当1-k 为偶数即k 为奇数时，存在k m m 394,=+成立．当5=p 时， 则k m m m b a a a =++++++521 ，即k m b a =+35 也即，而k 3不是5的倍数， ∴当5=p 时，所要求的m 不存在．故不是所有奇数都成立试卷综合解读与评析——上海秋季高考数学试卷评析：基础与能力是立足点上海秋季高考数学卷立足于科学性，考查考生对基本数学思想和基本数学方法的掌握程度，鼓励中学数学教学围绕基本内容，提高对数学概念的本质认识，提高学生分析问题的能力．试卷保持了2007、2008年的风格，从宏观上看基本上是稳定的，即“在稳定中前行，在变化中发展”，这是今年高考的特点．试卷的题型结构不变，在题量、背景、方法、思维方式上有一些变化．难易梯度上保持循序渐进，基础题1—10题比较容易，但整卷有三个波浪：理科数学选择题后四题、填空题后两题难度较大，解答题后三题坡度比较高．今年数学卷的基本特点是：1．题型变化大．本卷共23道试题，填空题改为14道是意料之外的变化，解答题5道是在意料之中．也许填空题若设置5分一道，对考生压力较大，再加上《考试说明》中对“主客观题的分值约为1:1”的规定，因而增加了三道填空题，将减少一道解答题的分值分散在2～3道填空题中．2．知识点覆盖全．上海高考坚持能力立意以来，对知识点的考查不再求全．但本试卷较全面地考查了知识点，尤其是新增内容，基本都涉及到了，部分试题要求较高，如行列式、算法、期望、独立事件、旋转体、统计初步、矩阵等．3．新题数量较多．填空题中第12、13、14题，选择题中第17、18题，解答题中第20、22、23题给人耳目一新的感觉．有些问题的表述比较陌生，考生需要较强的数学理解和化归能力，有些试题的提问方式新颖，对考生的综合数学能力要求较高．4．提倡理性思维，强化数学思想的考查要求．数学科学的特点之一就是理性思维，在高考考试目标中对理科考生尤其如此．理性思维要求考生在问题解决中，运用所学的基本知识和基本概念，会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，会正确而简明地表述推理过程，而不是都以算为手段，用算解决问题．例如理科第17、20题，依据统计中的有关基本概念、函数单调性的概念等对问题作出判断．如果只是用计算器将所有情形算一遍，虽然得分不低，但可能损失时间，不利于考生的整体发挥．又如理科第21（2）题，将含有点的方程代入双曲线方程，由演绎推理得到所设方程不成立即可，如果用判别式和韦达定理则要大算一通，这道题考查对于数学思想方法本质的理解．本卷较多地考查了对数形结合思想．不仅有代数对应几何图形的准确快速作图要求，还有对图形变化以及图形中代数性质概括的要求，如第10、11、13、14、18、21等．第10题，将三条直线围成的图形做出后，就转化为一个解斜三角形的问题，若无较强的平面几何知识，按部就班计算，问题变得复杂．第13、14题作为提高区分度试题，要求很高，要想完全弄清题意，给出充分解释，并非易事．第17题，选项中同时出现了均值、中位数、众数、方差等概念，而且需要对选项逐一检验．四个选项，无论是肯定还是否定，学生都不容易，再加上大多少学生对上述统计量并没有深刻理解，因而，猜的成份更大．第18题，需要将图形从静止到运动，才能体会其中的关系．第21(2)题的解答表述比较困难，从图形分析，学生容易理解，但难以说清楚，对考生的表达能力要求较高．第23(3)题，需要考生有一定的数论整除知识．对大多少的考生甚至教师而言，都非常欠缺数论知识．5．源于教材，注重过程．试卷没有一道题目直接来自教材，但从教材改编的题目很多．这些源于教材，又不同于教材的题目，目的在于鼓励师生钻研教材，不远离课本，减轻学生负担．例如理科第13题，源于高三的“统计案例”一章，教材分析了在一维条件下到有限点距离最短的结论，试题在此基础上，利用它的思想方法考查学生在二维条件下的结论是什么．由于这里横坐标、纵坐标可以独立考虑，因此并不需除教材例题之外的方法．又如理科第17题，源于高三统计基本方法一章，教材对具体数学对象中的中位数、众数和平均值作了详尽的说明，试题结合社会实际现象，设计的问题落在考查准确把握上述统计内容中的基本概念，以及如何解释它的实际意义上．再如理科第20题，源于高一（二）对数函数例3“学习曲线”的描述，第（2）题的问题是要验证参数的区间，相当于对模型的应用和检验．由于每年的应用题得分率都不高，失分大多是因为未能建立数学模型，今年的应用题（理科第20题）改编自课本，题目给出了数学模型，从某种意义上说扫清了“拦路虎”．由上述3题考试目标的阐述可见数学教学应注重学习过程，准确把握基本概念内涵，要从“教题”转化到“教书”，而不是从“题型”出发，把学生淹没在题海中．有些试题考生可能第一眼看上去像新面孔，但分析一下会有“他乡遇故知”的感觉．6．体现“二期”课改理念和要求．今年在全面推行“二期”课改的前提下，试卷体现了“二期”课改的理念和要求：一，注重过程与方法；二，体现新增内容的基本要求，如代数余子式、框图、球、独立事件等均要考查知识和基本技能，立体几何以向量为工具解决问题．7．夯实基础，着眼能力．从理科试卷的几个能力型问题考查目标分析，尽管试题体现了一定的能力要求，但落脚点都在基础知识上．如理科第14题，将一个函数图像旋转以后仍然是函数的图像，关键是对函数基本定义的理解，即对任何自变量，函数值必须是唯一的．又如第22（3）题，虽然是一个自主学习能力的试题，但是考查的重点还是反函数的概念和互为反函数的图像是关于对称的基本要求．再如第23（3）题，它有一定深度的探究能力，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，对p的开始几个值上的试探，即可获得这小题的部分分值是我们对不少考生的期望．对比往年的数学试题，今年的知识点较多，没有“挖陷阱”的题目．但拿到题目时不要计算器当家，应有所分析，让大脑指挥手．只要对题目给出的提示信息获取充分，试题本身并不难．8．导向良好：教会学生思考．上海市高考理科数学，不少学生说题目难．因为许多题目都是“新面孔”，所以不会做．“新面孔”题目比例的提升，传递出一个信号：高考越来越注重对学生能力的考察，应试教育下的“条件反射”日渐失灵．在今年的试卷面前，考生的能力高下很容易区分．对于能力强的考生来说，有些题目第一眼看上去像“新面孔”，但分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉，落脚点还是在基础知识上．如理科第14题，将一个函数图像旋转以后仍然是函数的图像，关键是对函数基本定义的理解，即对任何自变量，函数值必须是唯一的．中学教学过程中有一个误区：学理科归根到底就是做题目．老师、学生一起苦战“题海”，以机械操练代替对数学基本概念、基本原理的理解，甚至有学生认为学习概念浪费时间，不如多做几道题痛快，这是舍本求末的表现．还有学生学习时往往看一遍题目，再翻到答案部分看一遍解法就“懂了”，如此囫囵吞枣，跳过对解题思路的琢磨，只能就题论题，无法举一反三．如果靠大量简单重复训练形成条件反射，在未来的高考中可能会事倍功半．同时，学习时不但要重视解题，更应重视概念的形成、论证过程，解题思路的探究过程．教师在教学过程中，不应简单把学生淹没在题海中，而是要考虑中学数学教育如何从“教题”（教会学生做题）回归到“教书”“教思考”，掌握数学的本质，培养更多“有想法”的学生．对于高中数学教学的导向，体现在“品、做、悟”．要学会品数学，所谓“品”，就是从不同角度欣赏她的美感，就会热爱她，热爱她就会关注她，就能够极大地激发学生学习数学的兴趣、主动性．第二，在多思指导下的精练，不是多做，更不是背．第三要“悟”，学会归纳、发现、创新，以数学的目光看问题能不能变化，能不能发展，能不能进行总结，能不能发现新的规律．全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间20分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数1)(3+=x x f 的反函数)(1x f -＝ _____________．2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且AB R =，则实数a 的取值范围是______________________ ． 3．若行列式4513789x x中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________ ． 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是_____________ ．5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）．6． 若球O 1、O 2表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =_____________． 7． 已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数2Z x y =-的最小值是___________．8． 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 ．9． 过点(1,0)A 作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则 MN = ．10． 函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 ．11． 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）． 12．已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一个点，且 21PF PF ⊥．若△21F PF 的面积为9，则b = ．13． 已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ．14． 某地街道呈现东—西、南—北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则K 得值是（ ）（A ） 1或3 （B ）1或5 （C ）3或5 （D ）1或216．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是4 4 4 3 3 4 45 (D)(C) (B) (A)17． 点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ）（A ）22(2)(1)1x y -++= （B ）22(2)(1)4x y -++=（C ）22(4)(2)4x y ++-= （D ）22(2)(1)1x y ++-=18． 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”． 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ）（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 ．（B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 ．（C ）丙地：中位数为2，众数为3 ．（D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3 ．三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分14分）已知复数z a bi =+（a 、b R +∈）(I 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根 ． 复数3w u i =+（u R ∈）满足w z -< u 的取值范围 ．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- ．（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；（2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C = 3π，求ΔABC 的面积 ． 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 ．有时可用函数 0.115ln ,6,() 4.4,64a x a x f x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩ 描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x。

上海市2021届高三一模考试客观题难题解析数学2020.12一､(宝山区)11.设函数f(x)=a·sin2x+b·cos2x(a,b ∈R),给出下列结论: (1)当a=0,b=1时,f(x)为偶函数 (2)当a=1,b=0时,f(2x)在区间(0,)4π上是单调函数;(3)当3,1a b ==-时,(||)2xf 在区间(-2π,2π),上恰有3个零点; (4)当3,1a b ==时,设f(x)在区间[,]()4t t t R π+∈上的最大值为φ(t),最小值为()t ψ,则()()22t t ϕψ-≤，则所有正确结论的序号是___.12.若定义在N 上的函数f(x),g(x)满足:存在0,x N ∈使得00()()f x g x <成立,则称f(x)与g(x)在N 上具有性质P(f,g).设函数1()2x a f x -=与3(),g x x =其中a>0,已知f(x)与g(x)在N 上不具有性质P(f,g),将a 的最小值记为0,a 设有穷数列{}n b 足*1101,1(,504),][n n b b b n N n a +==+∈≤⨯这里0[]a 表示不超过0a 的最大正整数｡若去掉{}n b 中的一项t b 后,剩下的所有项之和恰可表示为2*(),m m N ∈则t b m +的值为___. 16.下列结论中错误的是() (A)存在实数x,y 满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)>9成立;(B)存在实数x,y 满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)=7成立:(C)满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)=-9成立的实数v x 不存在;(D)满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩且使得4(x+1)(y+1)<-9成立的实数x,y 不存在.二、崇明区)11.已知函数y=f(x),对任意x ∈R,都有f(x+2)f(x)=k(k 为常数),且当x ∈[0,2]时,则f(2021)=___.12.已知点D 为圆O 22:4x y +=的弦MN 的中点,点A 的坐标为(1,0),且1,AM AN ⋅=则OA OD ⋅的最大值为___.16.设函数y=f(x)的定义域是R,对于下面四个命题: (1)若函数y=f(x)是奇函数,则函数y=f(f(x))是奇函数; (2)若函数y=f(x)是周期函数,则函数y=f(f(x))是周期函数; (3)若函数y=f(x)是单调减函数,则函数y=f(f(x))是单调减函数; (4)若函数y=f(x)存在反函数1(),y f x -=且函数1()()y f x f x -=-有零点,则函数y=f(x)-x 也有零点;其中正确的命题共有() A.1个B.2个C.3个D.4个三､[虹口区)11.若a,b 分别是正数p,q 的算术平均数和几何平均数,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则P+q+pq 的值形成的集合是____. 12.已知数列{}n a 满足132,2n n a S a n =-=+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和),f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(2-x)=f(x),则,2021()f a =___.16.在空间,已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A,B,过直线l 做平面α,使得点A,B,到平α的距离相等,则这样的平面α的个数不可能是() A.1个B.2个C.3个D.无数四､(闵行区)11.已知平面向量,,,a b c 对任意实数t,都有||||,|||b ta b a b tc -≥--≥|b c -成立.若||3,||2,||7,a c a c ==-=则||b =___.12.已知函数1()||,f x x x=+给出下列命题: ①存在实数a,使得函数y=f(x)+f(x-a)为奇函数;②对任意实数a,均存在实数m 使得函数y=f(x)+f(x-a)关于x=m 对称;③若对任意非零实数a,使得f(x)+f(x-a)≥k 都成立,则实数k 的取值范围为(-∞,4]; ④存在实数k,使得函数y=f(x)+f(x-a)-k 对任意非零实数a 均存在6个零点. 其中的真命题是_____.(写出所有真命题的序号)15.已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点,点12,F F 分别为双曲线的左右焦点,点I 是12PF F ∆的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有1212IPF IPF IF F S S ∆∆∆-=,则双曲线的渐近线方程是()A.y=±x.2B y x =± .C y =.3D y x =±16.如图,正四棱锥P-ABCD 的底面边长和高均为2,M 是侧棱PC 的中点,若过作该正四棱锥的截面,分别交棱PB ､PD 于点E ､F(可与端点重合),则四棱锥P-AEMF 的体积的取值范围是()1.[,1]2A14.[,]23B4.[1,]3C8.[,1]9D五､[普陀区)11.如图所示,在直角梯形ABCD 中,已知AD//BC,∠ABC=AB=AD=1,BC=2,M 为BD 的中点设P ､Q 分别为线段AB ､CD.上的动点,若P ､M ､Q 三点共线,则AQ CP ⋅的最大值为____.12.设b,c 均为实数,若函数()bf x x c x=++在区间[1,+∞)上有零点,则22b c +的取值范围是___. 16.设b ､c 均为实数,关于x 的方程2||0x b x c ++= 复数集C 上给出下列两个结论:(1)存在b ､c,使得该方程仅有两个共轭虚根. (2)存在b ､c,使得该方程最多有6个互不相等的根. 其中正确的是() (A)①与②均正确(B)①正确,②不正确(C)①不正确,②正确 (D)①与②均不正确六､[青浦区)11.记m a 为数列{3}n在区间*(0,]()m n ∈N 中的项的个数,则数列{}m a 的前100项的和100S =___.12.已知向量e 的模长为1,平面向量,m n 满足:|2|2,||1,m e n e -=-=则m n ⋅的取值范围是___. 七､[徐汇区)11.己知函数f(x)=ax+b(其中a,b ∈R),对任意x ∈[0,1],f(x)≤1则(2a+1)(2b+1)的最小值为___.12.已知双曲线Γ：22145x y -=的左右焦点分别为F 1､F 2,直线与Γ的左右支分别交于点P ､Q(P ､Q 均在x 轴上方).若直线12,PF QF 的斜率均为k,且四边形21PQF F的面积为则k=___.16.设T 是平面直角坐标系xOy 上以A((0,2),(1),1)B C --为顶点的正三角形,考虑以下五种平面上的变换:①绕原点作120°的逆时针旋转;②绕原点作240°的逆时针旋转;③关于直线OA 的对称:④关于直线OB 的对称;⑤关于直线OC 的对称.任选三种变换(可以相同)共有125种变换方式若要使得T 变回起始位置(即点A,B,C 分别都在原有位置),共有() 种变换方式. A.12B.6C.20D.24八､[长宁区)11.设O 为坐标原点,从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的元素x ､y,组成A ､B 两点的坐标(x,y)､(y,x),则12arctan 3AOB ∠=的概率为___.12.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若数列{}n a 满足:存在三个不同的正整数r,s,t,使得,,r s t a a a 成等比数列,222,,r s t a a a 也成等比数列,则1990nnS S a +的最小值为___.16.设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---,其中常数k>0,123,,b b b ∈R .若函数y=f(x)的图像如图所示,则数组123(,,)b b b 的一组值可以是().(3,1,1);A -.(1,2,1);B -- .(1,2,2);C - .(1,3,1).D -九､[嘉定区)11.设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 首项10,a >公差d<0,若对任意的*,n N ∈总存*,k N ∈使21(21).k n S k S -=-则k-3n 的最小值为___.12.已知函数f(x)=x|x-a|+3x,若存在a ∈[-3,4],使得关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,则实数t 的取值范围是___.16.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是该正方体棱上一点.若满足1||||(0)PB PC m m +=>的点的个数为4,则m 的取值范围是()4]A.[4,2B + .[4,C .[2D +十､[金山区]11.关于x 的方程230(,)x ax b a b R ++-=∈在上有实根,则22(4)a b +-的最小值为___.12.若f(x)=|x+1|+|x+2|+...+|x+2020|+|x-1|+|x-2+...+|x-2020|,x ∈R,且2(32)(1)f a a f a -+=-)则满足条件的所有整数a 的和是____.16.已知△ABC 的外接圆圆心为O,∠A=120°,若(,)AO x AB y AC x y R =+∈,则x+y 的最小值为()1.2A2.3B3.2C D.2十一､[浦东新区) 11.设函数2()||,f x x a a x=--+若关于x 的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根,则实数a 的取值构成的集合为____.12.对于任意的正实数a ､b,___.16.已知函数2,(),()()x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数.则下列4个命题:①f(x)是偶函数;②f(x)在[0,+∞)上是增函数; ③f(x)的值域为R;④对于任意的正有理数a ，g(x)=f(x)-a 存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为() A.0B.1C.2D.3十二､[杨浦区)11.如图所示矩形ABCD 中,AB=2,AD=1,分别将边BC 与DC 等分成8份,并将等分点自下而上依次记作127,,,,E E E 自左至右依次记作127,,F F F 满足2,j i AE AF ⋅≤(其中*,,1,7i j N i j ∈≤≤)的有序数对(i,j)共有___对.12.已知函数y=f(x)在定义域R 上是单调函数,值域为(-∞,0),满足1(1),3f -=-对于任意x,y ∈R ,都有f(x+y)=-f(x)f(y)，y=f(x)的反函数为1(),y f x -=将y=kf(x)(其中常数k>0)的反函数的图像向上平移1个单位,将得到函数1()y fx -=的图像,则实数k 的值为___.16.设集合{|,0}xA y y a x ==>(其中常数a>0,a≠1),{|,}kB y y x x A ==∈(其中常数k ∈Q),则"k<0"是"A B ⋂=∅"的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件十三､(松江区)11.已知向量||||||1,a b c ===若1,2a b ⋅=且,c xa yb =+则x+y 的最大值为___. 12.对于定义城为D 的函数f(x),若存在12,x x D ∈且12,x x ≠使得221212()()2()f x f x f x x ==+,则称函数f(x)具有性质M.若函数2()|log 1|g x x =-x ∈(0,a]具有性质M,则实数a 的最小值为___.16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知点(,)n n a 在直线y=10-2x 上､若有且只有两个正整数n 满足,n S k ≥则实数k 的取值范围是() (A)(8,14](B)(14,18](C)(18,20]81()(18,)4D 十四､[奉贤区)11在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段B ､1BD (不包括端点)上的动点,且线段12P P 平行于平面11A ADD 则四面体121PP AB 的体积的最大值___.12､已知y=f(x)是奇函数,定义域为[-1,1],当x>0时, 211()|()2|1x a f x x --=-(a>0,a ∈Q),当函数g(x)=f(x)-t 有3个零点I 时,则实数t 的取值范围是___.16.是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出,在高等数学的应用,其定义黎曼函数R(x)为:当(,q x p p =q 为正整数,是既约真分数)时1()R x p=,当x=0或x=1或x 为[0,1]上的无理数时R(x)=0.已知a,b,a+b 都是区间[0,1]内的实数,则下列不等式一定正确的是() A.R(a+b)≥R(a)+R(b) B.R(a·b)≥R(a)·R(b)C.R(a+b)≤R(a)+R(b)D.R(a·b)≤R(a)·R(b)答案一、宝山区11.12.16.二、崇明区11.12.16.三、虹口区11.12.16.四、闵行区11.12.15.16.五、普陀区11.12.16.六、青浦区11.12.七、徐汇区11.12.16.八、长宁区11.16.九、嘉定区11.16.十、金山区11.12.16.十一、浦东新区11.12.16.十二、杨浦区11.12.16.十三、松江区11.12.16.十四、奉贤区11.12.16.。

2023年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为　（1，3）　．【答案】（1，3）．【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．2．（4分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝　4　．【答案】4．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），∴•＝﹣2×1+3×2＝4．故答案为：4．3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S n，则S6＝　189　．【答案】189．【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．故答案为：189．4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝　﹣　．【答案】﹣．【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α＝＝＝﹣．故答案为：﹣．5．（4分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为　[1，+∞）　．【答案】[1，+∞）．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．【答案】．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．7．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　﹣3　．【答案】﹣3．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝ ．【答案】．【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cos A＝＝＝，又∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴sin A＝＝＝．故答案为：．9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为　946（亿元）　．【答案】946（亿元）．【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，∵中位数与平均数相同，∴，∴x+y＝473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．故答案为：946（亿元）．10．（5分）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k＜0，则k的最大值为　49　．【答案】49．【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为＝•2023r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，二项式（2023﹣x）100的通项为＝•2023100﹣r•（﹣1）r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，∴a k＝+＝[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，若a k＜0，则k为奇数，此时a k＝（2023k﹣2023100﹣k），∴2023k﹣2023100﹣k＜0，∴k＜100﹣k，∴k＜50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　arccos　．【答案】arccos．【解答】解：斜坡的长度为l＝，上坡所消耗的总体力y＝×（1.025﹣cosθ）＝，函数的导数y′＝＝，由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ＝，θ＝arccos，由f′（x）＞0时cosθ＜，即arccos＜θ＜时，函数单调递增，由f′（x）＜0时cosθ＞，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减，即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ＝arccos．12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有　9　种．【答案】9．【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为D、E，当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3＝9种情况．故答案为：9．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（ ）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3}【答案】A【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（ ）A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关【答案】C【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：C．15．（5分）已知a∈R，记y＝sin x在[a，2a]的最小值为s a，在[2a，3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是（ ）A．s a＞0，t a＞0B．s a＜0，t a＜0C．s a＞0，t a＜0D．s a＜0，t a＞0【答案】D【解答】解：由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．取a＝，则[a，2a]＝[]，区间[2a，3a]＝[]，可知s a＞0，t a＞0，故A可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＞0，t a＜0，故C可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＜0，t a＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是s a＜0，t a＞0．故选：D．16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q 使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【答案】B【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．【答案】（1）证明见解答；（2）arctan．【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，且AB∩AA1＝A，∴可得平面A1ABB1∥平面DCC1D1，又直线A1B⊂平面A1ABB1，∴直线A1B∥平面DCC1D1；（2）设AA1＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为＝36，∴h＝4，∵A1A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E，则A1E在底面ABCD内的射影为AE，∴根据三垂线定理可得BD⊥A1E，故∠A1EA即为所求，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD＝＝，∴AE＝＝＝，又A1A＝h＝4，∴tan∠A1EA＝＝＝，∴二面角A1﹣BD﹣A的大小为arctan．18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x）＝．（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数．（2）（，）∪（，+∞）．【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）＝＝x++1，要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，∵y＝x+是奇函数，y＝1是偶函数，∴函数f（x）＝x++1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．（2）若函数过点（1，3），则f（1）＝＝＝3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，此时f（x）＝，若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，即f（x）＝＝0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点，设g（x）＝x2+（3a+1）x+1，则，得，得，即a＞，若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根，则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a＝或a＝﹣1，则实数a的取值范围是a＞且a≠且a≠﹣1，即（，）∪（，+∞）．19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．【答案】（1）P（A）＝，P（B）＝．P（B|A）＝．事件A和事件B不独立．（2）EX＝277（元）．【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A）＝＝，若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）＝＝＝．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB）＝，则P（B|A）＝＝＝＝．∵P（A）P（B）＝＝≠，∴P（A）P（B）≠P（AB），即事件A和事件B不独立．（2）由题意知X＝600，300，150，则外观和内饰均为同色的概率P＝＝＝，外观和内饰都异色的概率P＝＝，仅外观或仅内饰同色的概率P＝1﹣﹣＝，∵＞＞，∴P（X＝150）＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝600）＝，则X的分布列为：X150300600P则EX＝150×+300×+600×＝277（元）．20．（18分）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a ＞0）．（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）（0，2]．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），解得；（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），设B（b，0），则AB的中点为，由题意可得，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），则，由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，所以原点O到直线AB的距离为；（3）如图，设，则，故直线AP的方程为，令x＝﹣3，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．故实数a的取值范围为（0，2]．21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f （x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至a m≤0停止，由这些项构成数列{a n}．（1）设a m（m≥2）属于数列{a n}，证明：a m＝lna m﹣1﹣1；（2）试比较a m与a m﹣1﹣2的大小关系；（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、a k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a m≤a m﹣1﹣2；（3）k＝3．【解答】解：（1）证明：，则过点（a m﹣1，f（a m﹣1））的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令x＝0，可得y＝lna m﹣1﹣1，根据题意可知，a m＝lna m﹣1﹣1，即得证；（2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0），设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则，易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）可知，a m＝lna m﹣1﹣1≤a m﹣1﹣1﹣1＝a m﹣1﹣2；（3）假设存在这样的k符合要求，由（2）可知，数列{a n}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k，由（1）可知，公差d＝a n﹣a n﹣1＝lna n﹣1﹣a n﹣1﹣1，2≤n≤k，先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则，易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个a n﹣1，使得g（a n﹣1）＝d，若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3，当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1，由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0，则存在，使得h（x0）＝0，于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列．综上，k＝3．。

2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知11z i =+，223z i =+，求12z z += ． 2．（4分）已知{|21}A x x =，{1,0,1}B =-，则AB = ．3．（4分）若22240x y x y +--=，求圆心坐标为 ． 4．（4分）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅= ．5．（4分）已知3()2f x x=+，则1(1)f -= ． 6．（4分）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a = ． 7．（5分）已知3220380x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩，z x y =-，则z 的最大值为 ．8．（5分）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为 ． 9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为 ．10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A ，B ，C ，D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．11．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的A ，B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为 ．12．（5分）已知*(1i a N i ∈=，2，⋯，9)对任意的*(28)k N k ∈，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则19a a +⋯+的最小值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( ) A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3x y =14．（5分）已知参数方程323421x t ty t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，[1,1]t ∈-，以下哪个图符合该方程( )A ．B ．C ．D ．15．（5分）已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，则下列选项中，θ可能的值是( ) A ．35πB ．45π C ．65π D ．75π 16．（5分）已知两两不相等的1x ，1y ，2x ，2y ，3x ，3y ，同时满足①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③1133222x y x y x y +=，以下哪个选项恒成立( )A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x < D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =． （1）若P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积； （2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小．18．（14分）在ABC ∆中，已知3a =，2b c =． （1）若23A π=，求ABC S ∆． （2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20．（16分）已知22:12x y Γ+=，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(,0)(2)P m m -，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅=，且原点O 到直线l l 的方程；（3）证明：对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．21．（18分）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的． （1）判断和证明()21f x x =-是否在[0,)+∞关联？是否有[0,1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0,3]x ∈时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ． （3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”．2021年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知11z i =+，223z i =+，求12z z += 34i + ．【解析】因为11z i =+，223z i =+，所以1234z z i +=+．故答案为：34i +． 【评注】本题考查了复数的加法运算，属基础题． 2．（4分）已知{|21}A x x =，{1,0,1}B =-，则A B = {1,0}- ．【解析】因为1{|21}{|}2A x x x x==，{1,0,1}B =-，所以{1,0}A B =-．故答案为：{1,0}-．【评注】本题考查了交集及其运算，属基础题．3．（4分）若22240x y x y +--=，求圆心坐标为 (1,2) ．【解析】由22240x y x y +--=，可得圆的标准方程为22(1)(2)5x y -+-=，所以圆心坐标为(1,2)． 故答案为：(1,2)．【评注】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题． 4．（4分）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅= 9 ．【解析】由数量积的定义，可得cos AB AC AB AC BAC ⋅=⨯⨯∠，因为cos AB AC BAC =⨯∠，所以29AB AC AB ⋅==．故答案为：9．【评注】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题． 5．（4分）已知3()2f x x=+，则1(1)f -= 3- ． 【解析】因为3()2f x x =+，令()1f x =，即321x+=，解得3x =-，故1(1)3f -=-．故答案为：3-． 【评注】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题．6．（4分）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a = 2 ．【解析】5()x a +的展开式的通项公式为515r r r r T C x a -+=，所以2x 的系数为33580C a =，解得2a =．故答案为：2．【评注】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题． 7．（5分）已知3220380x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩，z x y =-，则z 的最大值为 4 ．【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y x z =-，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距的相反数， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B 处取得最大值， 联立直线方程：3380x x y =⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：(3,1)B -，据此可知目标函数的最大值为：3(1)4max z =--=．故答案为：4．【评注】本题主要考查线性规划的应用，利用线性规划求最值的方法等知识，属于中档题．8．（5分）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为185． 【解析】设{}n a 的公比为q ，由13a =，n a 的各项和为9，可得391q =-，解得23q =，所以123()3n n a -=⨯，21223()3n n n b a -==⨯，可得数列{}n b 是首项为2，公比为49的等比数列，则数列{}n b 的各项和为2184519=-． 故答案为：185． 【评注】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为．【解析】如图1，上底面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABC S AB CM ∆=⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABC S ∆的大小随着CM 的长短变化而变化，如图2所示，当点M 与点O 重合时，CM OC ==ABC S ∆取得最大值为122⨯；如图3所示，当点M 与点B 重合，CM 取最小值2，此时ABC S ∆取得最小值为12222⨯⨯=．综上所述，ABC S ∆的取值范围为．故答案为：．【评注】本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM 的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A ，B ，C ，D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为23． 【解析】甲选2个去参观，有246C =种，乙选2个去参观，有246C =种，共有6636⨯=种， 若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有144C =种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有236A =种，共有4624⨯=种，则对应概率242363P ==，故答案为：23． 【评注】本题主要考查概率的计算，利用古典概型的概率公式是解决本题的关键，是基础题．11．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的A ，B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为． 【解析】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于点D ，AE BD ⊥于点E ，由抛物线的定义，可得2AC AF ==，4BD BF ==，∴422,BE AE =-===∴直线AB 的斜率tan AB AE k ABE BE =∠==． 【评注】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．12．（5分）已知*(1i a N i ∈=，2，⋯，9)对任意的*(28)k N k ∈，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则19a a +⋯+的最小值为 31 ． 【解析】设1k k k b a a +=-，由题意可得，k b ，1k b -恰有一个为1， 如果135791b b b b b =====，那么16a =，27a =，31a ，4312a a =+， 同样也有，51a ，6512a a =+，71a ，8712a a =+， 全部加起来至少是67121212931++++++++=； 如果24681b b b b ====，那么88a =，21a ，3212a a =+， 同样也有，41a ，52a ，61a ，72a ，全部加起来至少是61212128932++++++++=， 综上所述，最小应该是31．故答案为：31．【评注】本题考查了数列的概念的理解和应用，递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( ) A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3x y =【解析】3y x =-在R 上单调递减且为奇函数，A 符合题意；因为3y x =在R 上是增函数，B 不符合题意；3log y x =，3x y =为非奇非偶函数，C 不符合题意；故选：A ．【评注】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．14．（5分）已知参数方程3342x t ty ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，[1,1]t ∈-，以下哪个图符合该方程( )A ．B ．C ．D ．【解析】利用特殊值法进行排除，当0y =时，0t =，1，1-， 当0t =时，0x =， 当1t =时，1x =-， 当1t =-时，1x =，故当0y =时，0x =或1或1-，即图象经过(1,0)-，(0,0)，(1,0)三个点， 对照四个选项中的图象，只有选项B 符合要求．故选：B ．【评注】本题考查了函数图象的识别问题，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．15．（5分）已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，则下列选项中，θ可能的值是( ) A ．35πB ．45π C ．65π D ．75π 【解析】1[0,]2x π∈，1sin [0,1]x ∴∈，1()[2,5]f x ∴∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，2()0min f x θ∴+，23()2maxf x θ+， ()3sin 2f x x =+，∴22sin()3min x θ+-，21sin()6max x θ+-，sin y x =在3[,]22x ππ∈上单调递减，当35πθ=时，2311[,]510x ππθ+∈，∴21171sin()sin sin 1062x ππθ+=>=-，故A 选项错误， 当45πθ=时，2413[,]510x ππθ+∈，∴21352sin()sinsin 1043min x ππθ+=<=-， 24sin()sin 05max x πθ+=>，故B 选项正确，当65πθ=时，2617[,]510x ππθ+∈，26131sin()sinsin 5126max x ππθ+=<<-，故C 选项错误， 当75πθ=时，2719[,]510x ππθ+∈，219231sin()sinsin 10126max x ππθ+=<=<-，故D 选项错误． 故选：B ．【评注】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题． 16．（5分）已知两两不相等的1x ，1y ，2x ，2y ，3x ，3y ，同时满足①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③1133222x y x y x y +=，以下哪个选项恒成立( )A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x < D ．2213x x x > 【解析】设1122332x y x y x y m +=+=+=，11x m a y m a =-⎧⎨=+⎩，22x m b y m b =-⎧⎨=+⎩，33x m cy m c =-⎧⎨=+⎩，根据题意，应该有,,0a b c a b c ≠≠⎧⎨>⎩，且2222222()0m a m c m b -+-=->，则有222222a c b m b ⎧+=⎨>⎩， 则1322()()2()2()x x x m a m c m b b a c +-=-+---=-+，因为22222(2)()2()()0b a c a c a c -+=+-+>，所以13222()0x x x b a c +-=-+>，所以A 项正确，B 错误．2222132()()()()(2)(2)2a c x x x m a m c mb b ac m ac b b a c m --=----=--+-=---，而上面已证(2)0b a c -->，因为不知道m 的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：A ．【评注】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =． （1）若P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积；（2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小．【解析】（1）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112322332C PAD PAD C PAD V S h -∆-⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭平面；（2）连接1111AC B D O =，AB BC =，∴四边形1111A B C D 为正方形，则11OB OA ⊥，又11AA OB ⊥，111OA AA A =，1OB ∴⊥平面11ACC A ，∴直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为1OAB ∠，∴111sin OB OAB AB ∠===．∴直线1AB 与平面11ACC A所成的角为．【评注】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题． 18．（14分）在ABC ∆中，已知3a =，2b c =． （1）若23A π=，求ABC S ∆． （2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．【解析】（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21sin 22ABC S bc A c ∆∴==； （2）2b c =，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -=，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sin C B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，cos C ∴=． 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a =，2b c =，2294c c ∴=+-，得：2390c -+=，解得：c =当c =时，b =3ABC C ∆=+；当c =时，b =3ABC C ∆=+． 【评注】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%． （1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项1 1.1a =，公差0.05d =， 20120(201)2020 1.110190.0531.52S a d -∴=+=⨯+⨯⨯=，即营业额前20季度的和为31.5亿元． （2）法一：假设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润首次超过该季度营业额的18%， 则0.16(14%)(1.10.05)18%n n ⨯+>+⋅，令()0.16(14%)(1.10.05)18%n f n n =⨯+-+⋅，*()n N ∈，即要解()0f n >， 则当2n 时，1()(1)0.0064(14%)0.009n f n f n ---=⋅+-， 令()(1)0f n f n -->，解得：10n ，即当19n 时，()f n 递减；当10n 时，()f n 递增， 由于(1)0f <，因此()0f n >的解只能在10n 时取得， 经检验，(24)0f <，(25)0f >，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%． 法二：设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润与该季度营业额的比为n a ， 则1 1.04(1.050.05) 1.04261.0410.04(1)1.10.052222n n a n a n n n++==-=+-+++， ∴数列{}n a 满足1234567a a a a a a a >>>=<<<⋯⋯，注意到，250.178a =⋯，260.181a =⋯，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．【评注】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．20．（16分）已知22:12x y Γ+=，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(,0)(2)P m m -，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅=，且原点O 到直线ll 的方程；（3）证明：对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．【解析】（1）因为Γ的方程：2212x y +=，所以22a =，21b =，所以2221c a b =-=，所以1(1,0)F -，2(1,0)F ，若B 为Γ的上顶点，则(0,1)B ，所以1||BF ==1||1PF m =--，又11||||BF PF =，所以1m =- （2）设点,sin )A θθ，则222121(21)sin 2cos 1sin 3F A F Aθθθθθ⋅=+-+=-+=，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cos θ=，故(A ， 设直线l的方程为0)y kx k =+>，由原点O 到直线l则d +==，化简可得231030k k -+=，解得3k =或13k =，故直线l的方程为13y x =3y x =（舍去，无法满足m <，所以直线l 的方程为13y x =+（3）联立方程组2212y kx km x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=， 设11(),A x y ，22(),B x y ，则222121222422,1212k m k m x x x x k k -+==++， 因为12//F A F B ，所以2112(1)(1)x y x y-=+，又y kxkm =-，故化简为122212x x k-=-+， 又1222||||12x x k -===-+， 两边同时平方可得，2224210k k m -+=，整理可得22142k m =--，当m <221042k m=->-， 因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解， 故对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．【评注】本题考查了平面向量与圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．21．（18分）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的． （1）判断和证明()21f x x =-是否在[0,)+∞关联？是否有[0,1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0,3]x ∈时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ． （3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”． 【解析】（1）()f x 在[0,)+∞关联，在[0,1]不关联，任取12[0,)x x -∈+∞，则1212()()2()[0,)f x f x x x -=-∈+∞，()f x ∴在[0,)+∞关联； 取11x =，20x =，则121[0,1]x x -=∈，1212()()2()2[0,1]f x f x x x -=-=∉，()f x ∴在[0,1]不关联；（2）()f x 在{3}关联，∴对于任意123x x -=，都有12()()3f x f x -=，∴对任意x ，都有(3)()3f x f x +-=，由[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，得()f x 在[0,3)x ∈的值域为[1,3)-，()f x ∴在[3,6)x ∈的值域为[2,6)， 2()3f x ∴仅在[0,3)x ∈或[3,6)x ∈上有解，[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，令2223x x -13x <，[3,6)x ∈时，2()(3)3818f x f x x x =-+=-+，令228183x x -+，解得35x ，∴不等式2()3f x 的解为1,5]，（3）证明：①先证明：()f x 是在{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的()f x ⇒在[1,2]是关联的， 由已知条件可得，(1)()1f x f x +=+，()()f x n f x n ∴+=+，n Z ∈， 又()f x 是在[0,)+∞关联的，∴任意21x x >，21()()f x f x >成立，若2112x x -，12112x x x ∴++，121(1)()(2)f x f x f x ∴++，即121()1()()2f x f x f x ++， 211()()2f x f x ∴-，()f x ∴是[1,2]关联，②再证明：()f x 在[1,2]是关联的()f x ⇒是在{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的， ()f x 在[1,2]是关联的，∴任取12[1,2]x x -∈，都有12()()[1,2]f x f x -∈成立，即满足1212x x -，都有121()()2f x f x -， 下面用反证法证明(1)()1f x f x +-=，若(1)()1f x f x +->，则(2)()(2)(1)(1)()2f x f x f x f x f x f x +-=+-+++->，与()f x 在[1,2]是关联的矛盾，若(1)()1f x f x +-<，而()f x 在[1,2]是关联的，则(1)()1f x f x +-，矛盾， (1)()1f x f x ∴+-=成立，即()f x 是在{1}关联的，再证明()f x 是在[0,)+∞关联的，任取12[,)()x x n n N -∈+∞∈，则存在n N ∈，使得任取12[,1]()x x n n n N -∈+∈， 121(1)2x n x ---，1212[(1)]()()(1)()[1,2]f x n f x f x n f x ∴---=---∈， 12()()[,1][0,)f x f x n n ∴-⊆+⊆+∞，()f x ∴是在[0,)+∞关联的；综上所述，()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”，故得证． 【评注】该题考查了函数求解析式，解不等式，函数恒成立的知识，对学生逻辑推理能力提出了很高的要求，属于难题．。

上海高考数学选择题解题技巧总结：技巧与方法并重在2023年上海高考数学卷中，选择题部分常见的解题技巧包括：
1.排除法：通过观察题目给出的选项，可以排除一些明显不正确或与题目不
符的选项，从而降低解题的难度。

2.数形结合法：对于一些涉及几何图形或函数的题目，可以通过画出图形或
图像来直观地理解问题，从而得出正确的答案。

3.代入法：对于一些涉及方程或不等式的题目，可以通过代入具体的数值或
数值范围来验证选项的正确性，从而得到答案。

4.反证法：对于一些涉及证明的题目，可以通过反证法来推翻某个选项，从
而排除它。

5.分析法：对于一些涉及复杂计算的题目，可以通过分析问题的条件和结论，
找出其中的关键点和突破口，从而快速解决问题。

6.整体法：在处理解析几何中的问题时，有时不必关注点的坐标，而是将几
何图形作为整体来处理，从而简化计算。

7.特殊值法：对于一些涉及函数、数列或不等式的问题，可以通过取一些特
殊的数值或情况来快速解决问题。

8.转化法：对于一些看似复杂的问题，可以通过转化思路或问题形式来简化
问题，从而快速找到答案。

9.构造法：在解决一些涉及方程或不等式的问题时，可以通过构造辅助函数
或方程来解决问题。

10.类比法：对于一些涉及相似或类比的问题，可以通过比较已知条件和结论
之间的相似性来快速解决问题。

以上解题技巧并非孤立的，考生在解题时应该根据具体问题的特点选择合适的技巧和方法。

同时，考生还需要注意仔细审题、理解题意、正确计算和规范答题等基本问题。

2021年上海市夏季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分） 1、已知121i,23i z z =+=+（其中i 为虚数单位）,则12z z += ． 2、已知{}{}21,1,0,1,A x x B =≤=-则 AB =3、若22240x y x y +--=,则圆心坐标为4、如图边长为3的正方形,ABCD 则AB AC ⋅=5、已知3()2,f x x=+则1(1)f -= 6.已知二项式()5x a +的展开式中,2x 的系数为80,则a =________．7、已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤0830223y x y x x ,目标函数y x z -=,则z 的最大值为8、已知无穷递缩等比数列123,,n n a b a =={}n a 的各项和为9,则数列{}n b 的各项和为 9、在圆柱底面半径为1,高为2,AB 为上底底面的直径,点C 是下底底面圆弧上的一个动点,点C 绕着下底底面旋转一周,则ABC ∆面积的范围10.甲、乙两人在花博会的A 、B 、C 、D 不同展馆中各选2个去参观,则两人选择中恰有一个馆相同的概率为________．11、已知抛物线22(0)y px p =>,若第一象限的点、A B 在抛物线上,抛物线焦点为,F2,4,3,AF BF AB ===则直线AB 的斜率为12.已知*(1,2,9)i a i ∈=⋯N ,且对任意()*28k k ∈≤≤N 都有11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立,16a =,99a =,则91a a ++的最小值为________．二、选择题（本大题共有4题,每题5分,满分20分） 13、以下哪个函数既是奇函数,又是减函数（ ）A.()3f x x =-B. 3()f x x =C.3()log xf x = D.()3x f x = 14、已知参数方程3234[1,1])21x t tt y t t⎧=-⎪∈-⎨=+-⎪⎩,以下哪个图像是该方程的图像 （ ）15.已知()3sin 2f x x =+,对于任意的20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都存在10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得 ()()12+23f x f x θ+=成立,则下列选项中,θ可能的值是（ ）.A 35π .B 45π .C 65π .D 75π16、已知两两不同的312312,,,,,x y x y x y 满足112233x y x y x y +=+=+,且11x y <,22x y <,33x y <,31122302x y x y x y =>+,则下列选项中恒成立的是（ ）.A 2132x x x <+ .B 2132x x x >+ .C 2213x x x < .D 2213x x x >三、解答题（本大题共有5题,满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17、如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,12,3AB BC AA === （1)若P 是边11A D 的动点,求三棱锥P ADC -的体积； （2)求1AB 与平面11ACC A 所成的角的大小. 18、在ΔABC 中,已知3,2a b c == （1)若2,3A π∠=求ΔABC 的面积；（2)若2sinB sinC 1-=,求ΔABC 的周长.19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元,以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一季度多0.05亿元,该企业第一季度是利润为0.16亿元,以后每一季度的利润都比前一季度增长4%.（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20、已知2212:1,2、x y F F Γ+=是其左右焦点,(,0)(2)P m m <-,直线l 过点P 交Γ于、A B 两点,且A 在线段BP 上.（1)若B 是上顶点,11,BF PF =求m 的值； （2)若121,3F A F A ⋅=且原点O 到直线l 415求直线l 的方程； （3)证明：证明：对于任意2,m <-总存在唯一一条直线使得12//F A F B .21、如果对任意12,x x ∈使得12x x S -∈都有12()()f x f x S -∈,则称()f x 是S 关联的.（1)判断并证明()21f x x =-是否是[0,)+∞关联？是否是[0,1]关联？ （2)()f x 是{}3关联的,在[0,3)上有2()2f x x x =-,解不等式2()3f x ≤≤； （3)“()f x 是{}3关联的,且是[0,)+∞关联”当且仅当“()f x 是[1,2]关联的”．2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分） 1.已知121i,23i z z =+=+（其中i 为虚数单位）,则12z z += ． 【思路分析】复数实部和虚部分别相加 【解析】：1234z z i +=+【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算,属于基础题． 2、已知{}{}21,1,0,1,A x x B =≤=-则 A B =【思路分析】求出集合A,再求出A B【解析】：{}1212A x x x x ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭,所以{}1,0A B =-【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题． 3、若22240x y x y +--=,则圆心坐标为 【思路分析】将圆一般方程化为标准方程,直接读取圆心坐标【解析】：22240x y x y +--=可以化为22125x y -+-=（）（）所以圆心为(1,2) 【归纳总结】本题主要考查了圆的方程,属于基础题．4、如图边长为3的正方形,ABCD 则AB AC ⋅= 【思路分析】利用向量投影转化到边上. 【解析】方法一：2=9AB AC AB ⋅=方法二：由已知||3AB =,||32AC =,4AC AB π<>=,则233292AB AC ⋅=⨯=； 【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题； 5、已知3()2,f x x=+则1(1)f -= 【思路分析】利用反函数定义求解.【解析】由题意,得原函数的定义域为：(,0)(0,)-∞+∞,结合反函数的定义,得312x=+, 解得3x =-,所以,1(1)3f -=-；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用,属于基础题． 6.已知二项式()5x a +的展开式中,2x 的系数为80,则a =________．【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.【解析】5331553,80,2r r r r T C a x r C a a -+=⇒===【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂运算；基础题。

高考上海真题数学答案解析在中国的高中教育体系中，高考是一项举足轻重的考试。

考生们通常会参加多次模拟考试以及做许多历年真题来备战这一关键的考试。

本文将围绕上海地区的高考数学真题展开解析，帮助考生更好地理解各种题型和解题思路。

第一道题是关于方程的题目。

题目中给出了一个方程，并要求求出满足条件的实数x的取值范围。

首先，我们可以将方程进行化简，将其转化为一个一次方程。

然后，我们可以根据方程中的条件，利用代数方法求解出方程的解。

同时，我们要注意到方程中可能存在的特殊情况，比如分母为零的情况，以及求解的解是否符合原方程中的条件等。

第二道题是一道几何题。

题目给出了一个图形，要求计算图形的周长。

首先，我们要明确图形的几何属性，确定它是一个什么形状。

然后，我们可以利用已知信息，如图形的规律和性质，来计算出各个边的长度。

最后，将各边的长度相加，得到图形的周长。

第三道题是一道概率题。

题目给出了一个实际问题，要求计算某种情况出现的概率。

在处理这类问题时，我们需要明确问题的条件和约束，并利用概率的概念和公式来计算出所需的概率。

同时，我们还可以利用统计学的方法，通过实际数据来估计概率的大小。

第四道题是一道函数题。

题目给出了一个函数的定义，并要求计算函数的值。

在处理这类问题时，我们需要根据函数的定义，将给定的自变量代入函数中，计算出对应的函数值。

同时，我们还要注意函数的定义域和值域，以确保函数的值的合理性和可求性。

第五道题是一道解析几何题。

题目给出了一个平面图形，并要求计算这个图形的面积。

在处理这类问题时，我们可以利用解析几何的知识，将图形转化为一些已知的几何图形，然后计算出所需的面积。

同时，我们还要注意到特殊情况的处理，比如图形是否存在重叠等。

以上是对上海地区高考数学真题的一些例子的简单解析。

在解答这些题目时，我们需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

同时，我们还要培养良好的思维能力和逻辑推理能力，以更好地理解和解决各种数学问题。

绝密★启用前2023年上海市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知P={1,2}，Q={2,3}，若M={x|x∈P,x∉Q}，则M=( )A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2,3}2.根据所示的散点图，下列说法正确的是( )A. 身高越大，体重越大B. 身高越大，体重越小C. 身高和体重成正相关D. 身高和体重成负相关3.已知a∈R，记y=sinx在[a,2a]的最小值为s a，在[2a,3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是( )A. s a>0，t a>0B. s a<0，t a<0C. s a>0，t a<0D. s a<0，t a>04.已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|⋅|MQ|=1，则称曲线Γ是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则( )A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立第II卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.不等式|x −2|<1的解集为______ ．6.已知向量a ⃗=(−2,3)，b ⃗⃗=(1,2)，则a ⃗⋅b⃗⃗= ______ ． 7.已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n 项和为S n ，则S 6= ______ ．8.已知tanα=3，则tan2α= ______ ．9.已知函数f(x)={1,x ≤0,2x ,x >0，则函数f(x)的值域为______ ． 10.已知复数z =1−i(i 为虚数单位)，则|1+iz|= ______ ．11.已知圆x 2+y 2−4x −m =0的面积为π，则m = ______ ．12.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a =4，b =5，c =6，则sinA = ______ ．13.现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP 为232(亿元)，第四季度GDP 为241(亿元)，四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为______ ．14.已知(1+2023x)100+(2023−x)100=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 99x 99+a 100x 100，若存在k ∈{0,1,2,⋯,100}使得a k <0，则k 的最大值为______ ．15.某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ.行人每沿着斜坡向上走1m 消耗的体力为(1.025−cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ= ______ ．16.空间中有三个点A 、B 、C ，且AB =BC =CA =1，在空间中任取2个不同的点，使得它们与A 、B 、C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______ 种.三、解答题：本题共5小题，共78分。

.
x 2 y 3≤0
a a a
答
8.已知an是公差不为零的等差数列，且 a 1 a10 a ，9 则 1
2
a10
9
.
9.从 6 人中挑选 4 人去值班，每人值班 1 天，第一天需要 1 人，第二天需要 1 人，第三
天需要 2 人，则有
种排法.
题
10.椭圆 x2 y2 1 ，过右焦点F 作直线 l 交椭圆于P 、 Q 两点， P 在第二象限已知 43
性质 p . （1）判断数列 3，2，5，1 和 4，3，2，5，1 是否具有性质 p ，请说明理由. （2）若 a1 1 ，公比为q 的等比数列，项数为 10，具有性质 p ，求 q 的取值范围.
（3）若 an 是 1，2，…， m 的一个排列m≥4， bk ak1 k 1, 2 m 1 ，an， bn，都具有性质 p ，求所有满足条件的an .
PF1 8 ，求∠F1PF2 ；
（3）过点 S
0, 2
b2 2
且斜率为
b的直线l 2
交曲线 于 M
、N
两点，用 b
的代数式
表示OM ON，并求出OM ON的取值范围。
21.有限数列an，若满足 a1 a2 ≤ a1 a3 ≤≤ a1 an ， m 是项数，则称an满足
数学试卷 第 3 页（共 4 页）
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18.【答案】（1）
1， 2
x
x∣x
3
4k或x
5
3
4k
,
k
Z；
（2）
1 2
,
0
19.【答案】（1）
x
0,
80 3
；
（2）
x

上海市2019届秋季高考数学考试卷、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分)1. 已知集合A ,3、B 2, ，则AB _______________________ .12. 已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z3. 已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________ .54. 已知二项式 2x 1 ，则展开式中含X 2项的系数为 ______________ .x 05. 已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 ____________________ .x y 236. 已知函数f x 周期为1，且当0 x 1， f x log 2x ，则f(?) ______________________ .7. 若x 、y R ，且-2y 3，则y 的最大值为 ______________________ .xx8. 已知数列a n 前n 项和为S n,且满足S na n 2，则S 5_______ .229. 过y 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2 OB ，贝y ________ .10. 某三位数密码锁，每位数字在0 9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是2 211. 已知数列a n满足a na n 1 ( n N ), R n,a n 在双曲线 x y1上，则6 2limP n P n 1n12. 已知f x2 ax 1,a 0，若 a a 0 , f x 与 x 轴交点为 A , f x 为曲x 1线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q ( P 异于A )使得AP AQ 且AP AQ ，则a 。

________________4题，每题5分，共20分)y c 0的一个方向向量d 可以是((2,1) C. ( 1,2) D.1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得x ，存在常数a R ，使得f x a 为偶函D. —5①对，②错； D. ①错，②对;14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 到的两个圆锥的体积之比为()A. 1B. 2 C .4 D. 815. 已知 R ，函数 f x2x 6sin数, 则 可能的值为()A.2B.3C.4 16. 已知 tan tantan().①存在 在第一象限， 角在第三象限；②存在 在第二象限， 角 在第四象限;二.选择题(本大题共 13.已知直线方程2x A. (2, 1) B.)(1,2)A.①②均正确；B.①②均错误；C.三•解答题（本大题共 5题，共76分）17.（本题满分 14分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为BB ,上一点，已知BM 2，AD 4，CD 3，AAA 5.（1） 求直线AQ 与平面ABCD 的夹角； （2） 求点A 到平面AMC 的距离.19.（本题满分14分）如图，A B C 为海岸线，AB 为线段，B C 为四分之一圆弧, BD 39.2km ，BDC 22°， CBD 68°， BDA 58o .（1） 求Be 长度； （2） 若AB 40km ，求D 到海岸线 ABC 的最短距离.（精确到0.001km ）椭圆于A 、B 两点. （1 ）若AB 垂直于x 轴时，（2 ）当 F 1AB 90° 时，（3）若直线AF 1交y 轴于M 直线BF 1交y 轴于N 是否存在直线I 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分18分）数列4有100项，a 1 a ，对任意n 2,100 ,存在a n q d,i 1,n 1，若a k 与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质P . （1 ）若a 1 1，求a 4可能的值；（2）若a n 不为等差数列，求证： a n 中存在满足性质 P ；18.（本题满分14分）已知f x（1 ）当a 1时，求不等式f x 1 f x 1的解集； （2）若x 1,2时，f x 有零点，求a 的范围.ax—(aR).16分） 2已知椭圆—（本题满分 2—1 , F 1, F 2 为左、4右焦点，直线I 过F 2交AB ；A 在x 轴上方时，求A,B 的坐标;，使S A F 1AB S A F 1MN ,20.(3)右a n 中恰有二项具有性质 P ，这二项和为C ，使用a, d, c 表示a ia ? La ioo.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54 分) 1.已知集合A ,3、B 2, ，则A B _______________________.【思路分析】然后根据交集定义得结果. 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.12.已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z【思路分析】解复数方程即可求解结果.5 i 5 1 .i (5 i)(5 i) 26 26【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础.. ° r r3.已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________1【解析】：—【思路分析】根据夹角运算公式cosab 求解【解析】：cos 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础.5 4.已知二项式 2x 1 ，则展开式中含x 2项的系数为 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含【解析】：T r 1 C 5r (2x)5 r 1r C 5r 25 r x 5 r 令 5 r 2，则 r 3, x 2 系数为 C ； 22 40.2 x 项的的项，再求系数. 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用， x 0 5.已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 x y 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值， 当x 0 , yZ min 6.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3 log 2x ，则 £) _ 6.已知函数f x 周期为1,且当0 x 1 , f x 比较基础. J •2时， n3 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转2到已知范围0 x 1内，代入函数解析式即可. 2.，3 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题. 7.若x 、y R ，且丄2y 3，则-的最大值为 x x 【解析】：f (-) f (-) log 2- 1 2 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 y的式子求解x【解析】：法一:1 1 y 3 ；2y 2 x2y 」；3 22 1 法二：由一3x 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题.8.已知数列a n 前n 项和为S n ,且满足S n a n 2，则S【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列S n a n 21【解析】：由 n n得：a n一 a n 1 ( n 2)S n 1 a n 12( n 2) n2 n1 V丿2y , - (3 2y) y 2y 2 x 3y ( 0 9 ； 8-)，求二次最值2y xmaxa 。