相面解图

7-4 相 轨 迹一、相轨迹的概念设二阶系统可以用下列常微分方程描述),(x x f x= 或),(xx f dtxd = 式中),(xx f 一般是x 和x 的非线性函数。

该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。

也可把时间t 作为参变量，用x 与x之间的关系曲线来表示。

下面以线性二阶系统为例加以说明。

设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。

即可把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，xx -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。

从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。

显然，如果把方程),(x x f x=看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。

用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速度）来表示该质点的运动。

在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。

在自动控制理论中，把具有直角坐标xx -的平面称为相平面。

相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态，这个点就称为相点。

相点随时间t 的变化在xx -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。

对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。

对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。

对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。

相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。

首先把二阶常微分运动方程),(x x f x= 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =∙则有12212(,)dx x dt dx f x x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 (,)dxx dtdx f x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （7-20）用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得xx x f dx xd ),(1= （7-21）解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。

§4-3 相平面法相平面法是一种直观的几何方法, 它适用于系统的一维运动. 以位置x 、 速度x为坐标建立坐标系, 通常也称此坐标平面为相平面 (广义相平面). 相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态, 称为相点. 相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程, 称为相轨道 (简称轨线), 这种图形也称相图.一、相轨道方程一维系统的运动微分方程一般可写成),(x x f x= 这时f 中不显含时间t , 这种情况的系统称为自治系统. 下面仅讨论自治系统.为了便于数值计算, 必须把1个二阶常微分方程化为2个一阶方程,==),(y x f y y x 2式相除即得相轨道方程y y x f x y ),(d d =尤其当原方程求解析解有困难时, 若能利用上述方程近似求出相轨道, 就可对系统的运动进行几何的、 定性的研究.二、轨线的作法不管系统是保守的还是耗散的, 运用计算机进行数值计算作相轨线是一种普遍使用的方法.对保守系统, 可利用势能曲线作相图. 这种情况, 相点的运动微分方程可写为−===x V y x f y y x d d ),( 其中V 为单位质量的势能, 系统能量守恒E x V y =+)(212 式中E 为单位质量的总能量, 而T V E =−为单位质量的动能. 于是))((2x V E y x−±== 下面说明如何利用势能曲线作出相轨道. 上图为势能曲线图, 下图为与之对应的相图.在势能曲线的图上作一条高度等于总能E 的水平线,此线与势能曲线的交点确定了质点的运动范围[]21,x x ,x 处的势能)(x V 可从图上求出, 进而求得)(x V E −和相应的两个y 值, 得到对x 轴对称的两个相点. 其他相点可同样得出. 连接所有相点得到与总能E 对应的轨线. 与此势能曲线对应的轨线是一条闭合曲线. 改变总能量的取值, 可得不同的轨线.例题1 求简谐振动的相图.解 这种情况, 相图可以解析地得出, 由于势能函数已知, 能量守恒方程为E kx x m =+222121 可直接得出相轨道方程1222222= + k E x m E x相轨道是闭合的椭圆, 运动是周期性的. 相应于质点在势阱中运动. 一条相轨道是一条等能线.例题2 求线性阻尼振动相图.解 相轨道方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ由于系统是耗散的, 能量随时间不断减少, 所以它的相轨道应是不断向内收缩的螺旋形状的曲线, 最后趋近于原点. 用数值计算方法求出的相图如图所示.三、轨线的普遍性质1. 对于自治系统, 轨线不随时间改变, 互不相交. 若相轨道是一条闭合曲线, 则系统做周期运动.2. 轨线的方向即相点沿轨线运动的方向, 由相点位置确定, 若相点处于相平面的上半部, 即相点的纵坐标,0>=xy 则运动方向向右; 若相点处于相平面的下半部, 则运动方向向左. 3.),(y x是相点运动速度矢量v 的两个分量.在相平面上各点作出这个速度矢量, 就构成速度场, 因此可以把相平面想像为流体力学中的流场, 故把相点的运动称为相流.对于保守系统, 由相点的运动微分方程−===x V y x f y y x d d ),( 可知这个速度场的散度为0=∂∂+∂∂=⋅∇=yy x x v v div表明在流动过程中相体积 (对于二维情况, 体积退化为面积) 守恒, 如图所示, 在相同时间内流过的面积 (如abcd 和d c b a ′′′′所围面积) 保持不变.对于耗散系统, 我们以线性阻尼振动为例说明它的相体积是不断减少的,相点运动微分方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ 速度场的散度为β2−=∂∂+∂∂=yy x x v div 这个结论是普遍正确的.四、奇点及其附近的轨线在相平面上, 满足0,0==y x的点称为奇点, 对此点有,00d d =x y 即相轨道方向是不确定的.从力学角度看, 奇点即平衡点, 表明系统处于平衡态, 故又称不动点.了解奇点的性质 (类型) 及奇点附近相轨道的情况, 就可以了解系统在平衡点受微扰后的发展情况.对于保守系统, 奇点有3种类型. 奇点的条件除要求速度为零外, 还要求加速度为零, 即要求,0d d =x V 因而奇点必与势能曲线的极大点、 极小点和拐点3种情况对应, 分别形成奇点的3种类型. 常见的是前两种, 根据势能曲线情况容易作出这两种奇点附近的轨线, 如图所示. 与势能极小值相应的奇点称为中心, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后仍在平衡位置附近围绕它做周期运动, 则此平衡为稳定的; 与势能极大值相应的奇点称为鞍点, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后最终将偏离平衡点很远, 则此平衡为不稳定的.利用相图对非线性系统行为进行研究是很重要的, 相图给出轨线形态的类型及其拓扑结构的稳定性[赵凯华. 从单摆到混沌. 现代物理知识, 1993,5(4):14].。

相面八步法：相面的核心技巧（图版解说）一直以来相面都是周易预测学属于实战性很强的一种预测，那么到底如何学会相面，其实这是有很好的规律可循，香港易经联合研究院吴宽之老师近日将相面的八大步骤详细裂解，以飨预测爱好者。

一、发型代表智慧此发型代表你记忆力很强，智力发达，聪明伶俐，智慧超群，对于事物总能以辨证的眼光去看待、分析，领悟力与感受性很强，能解决一些较棘手的问题。

此发型代表你善于处理实际事物，智能一般，不会突出自己，但，你很懂得勤能补拙这个道理，往往会将一些不能解释的问题进行长久的思索，直到解答为止。

此发型代表你感觉敏锐，思虑缜密，冷静沉着兼作风稳健，观察力和独创力很强，富有创意及独特构思，会以不同的角度去考虑问题，思考力惊人，感受很有深度。

此发型代表你考虑事情总是会冷静分析，抓住重点来研究，并且有耐心，甘愿吃苦，进行自我的智能、精神训练，从而达到一定的高度。

是对事物问题契而不舍的典型。

此发型代表你的头脑蛮灵活的，有些小小的奸滑哦，主意很多，但有时要注意，不要用一些歪理来左右你的言行，多多把你的智慧用在思考上吧，这个会比较重要哦。

此发型代表你的智能非常卓越，推理能力特别强，能够注意和考虑到别人不加留心的问题，思想新颖，有超前的审时度势的能力。

对于一些事情，会用层层推理判断，使问题得到较为妥善的解决，并且答案深具圆满性。

此发型代表你思考问题，会终究一个点，进行绕圈，而不能将眼光放开，去思索更长远的事情，这是你的欠缺。

不过，你很懂得凡事都有辨证的原理，所以，对待事物的解决办法，还是颇为可取的。

二、眉距代表胸怀这种代表你为人较聪明，任何事情都能把握，游刃有余，说话直爽，胸怀坦荡，具有包容心，对于一些事情，能够采取宽宏的态度，富有同情心。

经常会路见不平，拔刀相助。

侠义心肠浓厚。

是一个强者。

这种代表凡事都容易操之过急，往往会招来措手不及的失败。

由于肚量不够宽大，会经常把一些小事放在心上，造成精神上的忧患，情绪容易紧张。

正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。

口诀：需背诵
正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141）
中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231）
中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222)
中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）
“田”“凹”应弃之
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。

口诀：中间四个面，上下各一面（上下面随便放）
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。

口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的）
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。

口诀：中间二个面，楼梯天天见
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。

中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）。

7.2 相平面法相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法。

它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。

相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析。

7.2.1 相平面的基本概念图7-8 相轨迹291ξ=292293294295296297图7-11 确定相轨迹切线方向的方向场及相平面上的一条相轨迹7.2.3 非线性系统的相平面分析1. 利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统例7-3 试确定下列方程的奇点及其类型，画出相平面图的大致图形。

（1）0sgn =++x x x （2）0||=+x x解 （1）系统方程可写为系统的奇点Ⅰ：1-=I e x Ⅱ：1=II e x系统特征方程为012=+s ，特征根j s ±=2,1，奇点为中心点。

画出系统的相平面图如图2987-12所示。

x 轴是两部分相轨迹的分界线，称之为“开关线”。

上、下两半平面的相轨迹分别是以各自奇点I e x 和II e x 为中心的圆，两部分相轨迹相互连接成为相轨迹图。

由图可见，系统的自由响应运动最终会收敛到)1,1(-之间。

奇点在)1,1(-之间连成一条线，称之为奇线。

图7-12 相轨迹图 图7-13 相轨迹图（2）系统方程可写为特征方程、特征根和奇点为Ⅰ：012=+s ，j s ±=2,1， 奇点0=eI x （中心点） Ⅱ：012=-s , 12,1±=s ， 奇点0=eII x (鞍点)画出系统的相平面图如图7-13所示。

x轴是开关线，左半平面相轨迹由鞍点决定，右半平面相轨迹由中心点确定。

由图可见，系统的自由响应总是会向x 轴负方向发散，系统不稳定。

2. 非线性系统相平面分析大多数非线性控制系统所含有的非线性特性是分段线性的，或者可以用分段线性特性来近似。

用相平面法分析这类系统时，一般采用“分区一衔接”的方法。

首先，根据非线性特性的线性分段情况，用几条分界线(开关线)把相平面分成几个线性区域，在各个线性区域内，各自用一个线性微分方程来描述。

常微分方程中的相平面分析及其应用常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是数学中十分重要的一类方程，它描述的是一个未知函数的导数与某些已知函数的关系，常常出现在物理、工程、经济等领域中。

在解决ODE问题的过程中，相平面分析是一种重要的方法，通过画出相平面图，可以直观地理解ODE的行为，为解题提供了有力的工具。

本文将介绍相平面分析的基本思想及其应用。

一、相平面分析的基本思路相平面分析的基本思路是将ODE转化为相平面上的动力学问题。

具体地说，在ODE描述的函数空间中，选择一对函数变量，例如x1和x2，然后将ODE写成如下形式：dx_1/dt = f_1(x_1, x_2, t)dx_2/dt = f_2(x_1, x_2, t)其中f1和f2是已知函数。

将上述方程看作二维平面上的向量场，即使它在三维空间中，我们可以将其中一个变量t看做参数，得到一个二维平面上的向量场。

然后，在相平面上选择初值点，并以此为基础，在这个平面上跟踪ODE解的轨迹。

这些轨迹放在相平面上就构成了相平面分析的基本对象-相轨。

通过分析相轨的性质，可以对ODE的行为进行深入理解。

例如，相轨是否收敛到某一个点，如果是，那么该点就是ODE解的稳定平衡点。

相轨的形状、大小和数量等特征都可以揭示解的行为，这使得相平面分析成为一种非常有用的数学工具。

二、相平面分析在ODE求解中的应用1. 稳定性分析相平面分析最常见的应用之一是稳定性分析。

稳定性是指ODE 解的行为对初值点的选取是否敏感。

换句话说，如果一个ODE的解对初值点的微小扰动非常敏感，那么我们可以说该ODE是不稳定的。

如果初始条件发生微小变化时，ODE解的行为发生了显著改变，解的稳定性就不存在。

相反，如果初始条件变化很小，而ODE解的行为差异很小，我们就说ODE是稳定的。

假设ODE有一个稳定点x*，那么我们需要知道该ODE解是如何接近x*的。

相面坐标系
相面坐标系是一种用于分析和识别面相的系统。

在中医相面学中，人的面相被认为可以反映出一个人的身体状况、性格特征和运势等信息。

相面坐标系将人的脸部划分成不同的区域，并将每个区域与人体的不同器官或功能联系起来。

相面坐标系通常将人的脸部划分为上、中、下三个区域，每个区域都有不同的含义和对应的器官或功能。

具体的划分方式可以有所差异，以下是一个常见的相面坐标系划分：
1. 上区：包括额头、眉毛和眼睛。

这个区域与人的智力、思维、注意力和视力等相关。

额头可以反映一个人的智力和思考能力，眉毛可以反映一个人的性格特征，眼睛可以反映一个人的精神状态和视力健康。

2. 中区：包括鼻子、脸颊和口鼻部分。

这个区域与人的呼吸系统、消化系统和情感状态等相关。

鼻子可以反映一个人的呼吸和消化功能，脸颊可以反映一个人的血液循环和情感状态，口鼻部分可以反映一个人的嘴唇、牙齿和呼吸道健康。

3. 下区：包括下巴、嘴唇和颈部。

这个区域与人的消化系统、生殖系统和身体能量等相关。

下巴可以反映一个人的消化功能和代谢情况，嘴唇可以反映一个人的口腔健康和性格特征，颈部可以反映一个人的身体能量和免疫系统状况。

相面坐标系的目的是通过观察和分析不同区域的面相
特征，来推测一个人的身体状况和性格特征。

然而，需要注意的是，相面学并非科学证实的医学方法，仅供参考和娱乐，并不能替代正规医学诊断和治疗。