第13课时 整式的乘除2

第13章整式的乘除§13.1 幂的运算1、同底数幂的乘法教学目的1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程.2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算.3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想.4．会逆用公式a m a n＝a m+n.教学重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算.教学难点：对法则推导过程的理解及逆用法则.教学过程一、复习活动，1．填空.(1)2×2×2×2×2＝（），a·a·…·a＝( )m个(2)指出各部分名称.二、探索，概括.1．下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出23×25＝( )，36×37＝( )，由此可发现什么规律?(1)23×22＝( )×( )＝2( )，(2)53×52＝( )×( )＝5( )，(3)a3a4＝( )×( )＝a( ).2．如果把a3×a4中指数3和4分别换成字母m和n(m、n为正整数)，你能写出a m a n的结果吗?你写的是否正确?(让学生猜想，并验证.)即a m·a n＝a m＋n(m、n为正整数)让学生用文字语言表述法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.三、举例及应用.1．例1 计算：（1）103×104 （2）a·a3（3）a·a3·a5解（1） 103×104＝103+4＝107．（2）a·a3＝a1+3＝a4．（3）a·a3·a5＝a4·a5＝a92、练习第19页练习第1题.3、提问：通过以上练习，你对同底数是如何理解的？在应用同底数幂的运算法则中，应注意什么？四、拓展延伸. 由a m a n＝a m＋n，可得a m＋n＝a m a n（m、n为正整数.）例2 已知a m＝3，a m＝8，则a m＋n＝( )五、巩固练习. P19 1.2.六、课堂小结. 1．在运用同底数幂的乘法法则解题时，必须知道运算依据.2．“同底数”可以是单项式，也可以是多项式.3．不是同底数时，首先要化成同底数.七、布置作业. 课本第23页习题13.1第1题的1、2、幂的乘方教学目的1．熟记幂的乘方的运算法则，知道幂的乘方性质是根据乘方的童义和同底数幂的乘法性质推导出来的.2．能熟练地进行幂的乘方的运算.3．在双向应用幂的乘方运算公式中，培养学生思维的灵活性.教学重点：理解幂的乘方的意义，掌握幂的乘方法则.教学难点：注意与同底数幂的乘法的区别.教学过程一、复习活动.1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少?2．计算： (1)a4·a4·a4； (2)x3·x3·x3·x3.3．你会计算(a4)3与(x3)5吗?二、新授.1．x3表示什么意义? 2．如果把x换成a4，那么(a4)3表示什么意义?3．怎样把a2·a2·a2·a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式? 4．由此你会计算(a4)5吗?5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.(1) (23)2＝23×23＝2( )； (2) (32)3＝( )×( )×( )＝3( )；(3) (a3)5＝a3×( )×( )×( )×( )＝a( ).6．用同样的方法计算：(a3)4；(a11)9；(b3)n(n为正整数).这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3＋3＋ 3＋3＝12，教师应多举几例.教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错.此时应让学生思考，有没有简捷的方法?引导学生认真思考，并得到：(23)2＝23×2＝26； (32)3＝32×3＝36； (a11)9＝a11×9＝a99 (b3)n＝b3×n＝b3n(现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)怎样说明你的猜想是正确的?即(a m)n＝a m·a n(m、n是正整数).这就是幂的乘方法则. 你能用语言叙述这个法则吗? 幂的乘方，底数不变，指数相乘.三、举例及应用.1.例1 计算：(1) (103)5； (2)(b3)4.解（1）（105）5＝103×5＝1015． (2)（b3）4＝b3×4＝b12．2．练习.课本第20页练习第2题.3．例2 下列计算过程是否正确?(1)x2·x6·x3＋x5·x4·x＝x ll＋x10＝x2l. (2)(x4)2＋(x5)3＝x8＋x15＝x23(3) a2·a·a5＋a3·a2·a3＝a8＋a8＝2a8. (4)(a2)3＋a3·a3＝a6＋a6＝2a6.说明.(1)要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错.(2)进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系.4．练习. 课本第20页练习的第1题.5．例3 填空.(1) a12＝(a3)( )＝(a2)( )＝a3·a( )＝(a( ))2；(2) 93＝3( )； (3) 32×9n＝32×3( )＝3( ).(此题要求学生会逆用幂的乘方和同底数幂的乘法公式，灵活、简捷地解题.)四、巩固练习. 补充习题.五、课堂小结.1．(a m)n＝a m·n(m、n是正整数)，这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数.2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它们的联系与区别.在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆(如：a m·a n＝a mn(a m)n＝a m＋n).并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯.六、布置作业. 课本第23页习题第2题.3、积的乘方教学目的1.能说出积的乘方性质并会用式子表示.2.使学生理解并掌握积的乘方的法则.3.使学生能灵活地运用积的乘方的法则进行计算.4.通过法则的推导过程培养学生分析问题、解决问题的能力.教学重点：探索积的乘方法则的形成过程.教学难点：积的乘方公式的推导及公式的逆用.教学准备学生：4张正方形硬纸片、若干张边长为a的小正方形纸片.教学过程一、提问.1.a2·a3＝a5，也就是说：( ). 即a m·a n＝a m＋n(m、n为正整数).(让学生明白所用到的运算法则及运算律.)2.(a3)7＝a( )，也就是说：( ). 即(a m)n＝a m·n(m、n为正整数.)(让学生明白同底数幂的乘法与幂的乘方法则的区别.)二、引导观察.1.计算.22×32＝4×9＝36. (2×3)2＝(2×3)(2×3)＝6×6＝36.从而得到：(2×3)2＝22×32＝36.进而猜想：(ab)2与a2b2是否相等?2.探索，概括.于是我们得到了积的乘方法则：(ab)n＝a n b n(n是正整数).这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积.教师应一步一步地引导学生，得出结论(因为指数是用字母表示的，就学生的思维状况来说是个难点).然后让学生自己对照公式总结，自己叙述出法则.3．引导学生剖析积的乘方法则.问题:三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质?(1)(abc)n＝(ab)n c n＝a n b n c n.即(abc)n＝a n b n c n(n为正整数).三、举例及应用.1．例1 计算：(1)(2b)3； (2)(2×a3)2； (3)(－a)3； (4)(－3x)4.解（1）（2b）3＝23b3＝8b3．（2）（2×a3）2＝22×（a3）2＝4×a6．（3）（－a）3＝（－1）3·a3＝－a3．（4）（－3x）4＝（－3）4·x4＝81x4(第(1)题由学生回答，教师板演，并要求学生说出每一步的根据是什么；第(2)、(3)、(4)题由学生完成，根据学生完成的情况，提醒学生注意：①系数的乘方；②因数中若有幂的形式，要注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方.)2．练习. 课本第21页练习的第1题.五、拓展延伸.因为(ab)n＝a n b n，所以a n b n＝(ab)n.逆用性质进行计算：(1)24×44×0.1254＝(2×4×0.125)4. (2)(－4)×(0.25)＝?六、看谁做的又快又正确?1．(－5ab)2＝( ) 2．(xy2)3＝( ) 3．(－2xy3)4＝( )；4．(－2×103)＝( )； 5．(－3a)3＝( ).七、开放性练习.准备若干张边长为a的小正方形纸片，让学生前后位四人一组，动手拼图形.现有若干个边长为a的小正方形纸片，你能拼出一个新的正方形吗?多少个小正方形才能拼成一个新的正方形?并用不同的表示方法表示新正方形的面积.从不同的表示法中，你发现了什么?八、课堂小结.这节课你有什么收获?学到了什么?还有哪些需要老师帮你解决的问题?请注意：积的乘方要将每一因式(特别是系数)都要乘方.九、布置作业. 课本第23页习题13.1第4题13.2同底数幂的除法教学目的：1、能说出同底数幂相除的法则，并正确地进行同底数幂的除法运算；2、理解任何不等于零的数的零次幂都等于1；3、能正确进行有关同底数幂的乘除混合运算。

整式的乘除第13章（二）整式的乘法：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，•n是指数①同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：a m×a n＝a m+n（m、n都是正整数）.（都是正整数）使用同底数幂的乘法法则时，应注意：（1）公式中的字母a既可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；（2）当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则仍成立，即（m，n，p都是正整数）；（3）只有“同底数”的幂相乘才能用这个法则.底数是相反数的幂相乘时，应先化为同底数幂的形式，再用同底数幂的乘法法则，转化时要注意符号问题。

-a2n+1与（-a）2n+1：-a2n 与（-a）2n 的区别（4）注意逆用公式:（m，n都是正整数）.②幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：（a m）n＝a mn（m、n都是正整数）．③积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方的积．即：（ab）n=a n·b n（是正整数）幂的运算有四个重要公式：①a m a n=a m+ n② (a m)n=a m n③( a b)n=a n b n ④a m÷a n=a m－n。

逆用幂的运算性质（m、n是自然数）：①a m+ n = a m a n②③a n b n=( a b) n ④a m-n= a m÷a n。

相同点幂运算种类指数运算种类公式诊断幂运算的“弊病”①用错同底数幂乘法法则；a m a n=a m+ n②用错幂的乘方法则；a m n= (a m)n③用错积的乘方法则；( a b)n=a n b n④用错同底数幂除法法则；a m÷a n=a m-n⑤错误地逆用法则。

①a m+ n= a m a n②③a n b n=( a b) n ④a m-n= a m÷a n。

整式乘法的几何意义一、正确理解单项式乘以单项式的运算法则观察图1可知，大长方形是由9个形状、大小相同的小长方形组成，其面积为3a×3b＝9ab，可见两个单项式3a与3b相乘，只要把这两个单项式的系数3与3相乘，再把这两个单项式的字母a与b相乘.从而验证了单项式与单项式相乘的法则.二、正确理解单项式乘以多项式的运算法则观察图2可知，大长方形是由三个小长方形组成，其长是b+c+d，宽是a，那么其面积为a（b+c+d），又这三个小长方形的面积和是ab+ac+ad，则有a（b+c+d）＝ab+ac+ad，可见这个结果是运用乘法的分配律即可得到.从而验证了单项式与多项式相乘的法则.三、正确理解多项式乘以多项式的运算法则观察图3可知，大长方形是由四个小长方形组成，其长是a+b，宽是c+d，那么其面积为（a+b）（c+d），又这四个小长方形的面积和是ac+ad+bc+bd，则有（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，可见这个结果是把a+b（或c+d）看成一个整体，利用单项式乘以多项式的法则得到的.从而验证了多项式与多项式相乘的法则④单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘单项式的运算步骤是：①系数相乘为积的系数；②相同字母因式，利用同底数幂的乘法相乘，作为积的因式；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；④单项式与单项式相乘，积仍是一个单项式；⑤单项式乘法法则，对于三个以上的单项式相乘也适用．（都是正整数）⑤单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即其中，可以表示一个数、一个字母，也可以是一个代数式．2．利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：（1）多项式每一项都包括前面的符号，运用法则计算时，一定要强调积的符号．（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项．因此，单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．（3）对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果如有同类项要合并，从而得出最简结果．3﹒根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号，来确定乘积每一项的符号；4﹒非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍然是多项式；积的项数与所乘多项式的项数相等；5﹒对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目，要注意运算顺序；也要注意合并同类项，得出最简结果．⑥多项式与多项式相乘1．多项式乘法法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式每一项，再把所得的积相加。

解 : 原式 (2x)3 (3y)3 (5x)3 (6 y)3 8x3 27 y3 125x3 216y3 243y3 117x3
2. 己知10m=4 , 10n=5 , 求103m+2n 的值。
解 10 m 4 10 n 5 10 3m2n 10 3m 10 2n (10 m )3 (10 n )2 43 52 1600
解 : 原式 a12 a10 a (a23 ) a 46
(4). ( x2 y6 )n 3(xy 3 )2n 2(xn y3n )2 解 : 原式 x2n y6n 3x2n y6n 2x2n y6n
6x2n y6n
(5). (0.125 )5 218
解 原式 (a2 1)(a2 1)(a4 1) (a4 1)(a4 1) (a4 )2 1 a8 1
14. 计算：(2a-b)2(b+2a)2
解 原式 [(2a b)(2a b)]2 [4a2 b2 ]2 16a4 8a2b2 b4
(11). (x 4 y 6z)(x 4 y 6z)
解 : 原式 [x (4y 6z)][x (4y 6z)]
x2 (4 y 6z)2 x2 16y2 48yz 36z2
(12). (x2 32 )2 (x 3)2 (x 3)2
解
:
原式

(
1 23
)5

218


1 215

218

8
(6). (0.6a2b)2 5ab3 (0.3ab3 ) (5a2b)2
解 : 原式 0.36a4b2 5ab3 0.3ab3 25a4b2

(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ba+ b2 =a2+2ab+b2
完全平方公式
(a＋b)2= a2＋2ab＋b2
两数和的平方,等于它们 的平方和加上它们乘积的2倍 .
你能用自己的话叙述 一下上面的公式吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算: (x+2y)2
(x + 3 )2
( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
(1)（3x+2y)2=99xx22+12xy+4y2
(2)(5m-4n)2=25m2-40mn+16n2
(3)(4a+3b) 2=16a2+24ab+9b2
(4)(2x-8y)2=4x2-32xy +64y2 13
(1) (2x2+3y2)2=4x4+ 12x2y2+9y4 (2) (2x2+ y )2= 4x4+4x2y+y2 (3) (3x+ 2 )2= 9x2 +12x+ 4
1
帮帮国王
很久很久以前,有一个国家的田地都要求是 正方形的,有一天这个国家的公主被妖怪抓到了 森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪 救出了公主。国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各 有一块边长为a米的地, 第一个农夫就对国王说：“ 您可不可以再给我一块边长为b米的呢？”国王答 应了他，国王问第二个农夫：“你是不是 要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把 我原来的那块地的边长增加b米就好了。
18
要给一边长为 a 厘米的正方形桌 子铺上桌布，四周均留出５厘米宽，问 桌布面积需要多大？