浅谈数学中的“开放型题”
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浅谈数学中的“开放型题”
中学数学课程新标准指出:以素质教育为中心，突出以学生发展为本，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强应用意识，培养学生的创新精神和创新能力。
现代认知结构理论认为，学习不是单一的由教师向学生传递知识，而是学生自己建构知识的过程。而开放性问题其核心是培养学生的思维的发散性、灵活性及创新意识和创造能力，教学中实施开放性问题教学，能促使不同的学生从中获得不同层次的知识和能力，更是在教学过程中为学生提供了广阔的交流空间。本文就“开放型题”研究现状、“开放型题”的类型及其研究价值进行一些讨论。
一、内外对“开放型题”的研究现状
在国外，上世纪60年代后，随着“新数运动”的衰落，数学“回到基础”迅速成为70年代的主题，数学开放题应运而生。1971年，日本学者岛田茂、桥本吉彦、泽田利夫等27人率先研究“开放式结尾(pone一neded)问题”，并发表了名为《算术、数学课的开放式问题》的报告文集。“问题解决”便成为数学教育的主题，在此背景下，开放性问题迅速成为数学教育的一面旗帜。
在国内，数学开放题从理论的引入到教学的实验递至大面积进入数学考试，大体上经历了以下几个阶段:
（一）放题理论的引入阶段
1980年，《外国教育》(第4期)发表了泽田利夫关于数学开放题的研究成果，其内容包括开放题的涵义、开放题的举例以及开放题教学的优缺点等问题.也正是该文，拉开了我国研究数学开放题的序幕。
（二）数学开放题进入测试阶段
1993年，戴再平教授分别在浙江省五所中学运用数学开放题进行教学试验，试验发现:①在中学有必要适当的增加开放题。②开放题所包含的事件应为学生所熟悉，通过学生现有的知识能够解决。④开放题能使学生获得各不相同的各种水平的解答。⑤开放题应体现学生的主体地位。⑥开放题应注重学生的探索过程。
于此，数学开放题教学试验开始广泛进行。
（三）数学开放题进入系统研究阶段
1993年全国高考数学科命题组指出：“要考察一些开放型问题”，1996年2月，“开放题—一数学教学的新模式”立项(1997年获得批准)为全国教育科学“九五”规划重点课题。1998年，课题组在上海召开“数学开放题及其教学学术研讨会”，在此次会议上对“开放型题”形成了一些理论认识。并发表了一些有关文章。这表明数学开放题的研究进入了有计划有组织的研究阶段。
二、开放型题”的概念
数学开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是指能引起学生发散性思维的一种数学试题。其在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索。
三、开放型题”的类型 目前，国内外学者已分别依据开放题的解题条件、开放度、答案结构等不同的标准，对数学开放题的类型进行了多种划分。划分开放题类型的根本目的，对学生而言，在于帮助他们更好地解决有关开放性问题。
（一）探求条件型
开放题1. .A1B1C1D1-ABCD中（如图1），当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形1998高考卷第18题）．
这类题型的明确特征是缺少确定的条件，只需找到能使结论成立的一个充分条件即可，而不必去寻找结论成立的充要条件．这类问题的要求并不高，可考虑特殊值或极端情形，从而找出充分条件．这一点，学生一开始往往不习惯．
（二）探求结论型
开放题2。 (2006年青岛市)如图2所示, ∠BAC =30°,AB =10.现请你给定线段BC的长, 使构成△ABC能唯一确定.你认为BC的长
可以是此类问题的基本特征是有条件无结论，缺少确定的结果，或者结论正确与否常需要进一步的证明确定，或在给定的条件下结论不唯一，解决此类问题的一般方法是研究特殊情况。并对不同的情形进行分类讨论。
（三）猜想型开放题
开放题3。知数列{bn}是等差数列,b1＋b2＋……＋bｎ＝145， b1=1．①求数列{bn}的通项bn；②设数列{an}的通项an= 其中a＞0且a≠1），sn是数列{an}的前n项和，试比较sn与的大小
(1998高考理科第25题)．
这类开放题，考察学生的观察、分析、比较、概括、归纳, 猜想等综合能力。解决此类题目的一般的规律：先对具体问题的特殊解从宏观上作出估算，再作严密的数学证明。
④．新颖信息型开放题4. 记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即，则两边含有运算符合“*”和“+”，且对于任意3个实数都成立的一个等式可以是该类型通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型，创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，去实现信息的迁移和构造，达到灵活解题的目的。
四、数学开放题的意义
数学开放题的主要目的是培养学生的创新意识与创新能力，核心是灵活地运用数学思想方法解决问题。对学生而言，数学开放题的价值主要表现在:开放题有利于激发学生的好奇心和求知欲，引发学生主动学习，解决开放题没有现成的固定模式，需要学生运用所学知识，独立的进行探索，从而为培养学生的主体性创造条件；开放型题答案多样性，给学生提供了较多寻求新颖、独特解题方法的机会；开放题具有层次性，让所有学生真正参与教学活动中，即使学习困难的学生也能做出一种或几种答案，让学生体验成功，树立信心。
数学开放题，需要依靠多人的力量和智慧分工合作进行。从而培养学生的团队合作精神。就教师方面而言，数学开放题的价值主要表现在: 开放题有利于促进教师观念和角色的转变。开放题引入课堂后，应倡导以学生为中心的启发式教学。即在教学过程中，教师不再是教学活动的主角，而是 “导演”；不再是知识的单纯传授者，而是教学内容和教学活动的设计者、促进者、示范者、组织者、调控者。教师的注意力应集中到设计问题、引导学生“建构”知识、调节教学程序、评判学习活动等方面上。
参考文献： 【1】朱文芳.中学数学教学心理学.北京:北京教育出版社，2000；
【2】数学教育改革论.长沙:湖南大学出版社，2003；
【3】中学数学教学创新.北京:科学出版社，2002；
【4】开放题—数学教学的新模式.上海:华东师范大学出版社，2003；
【5】A?恩格尔著.解决问题的策略.舒五昌 冯志刚译.上海：上海教育出版社, 2005。
