第6节 函数的图像问题

【教学目标】
本节主要包括2个知识点：
1.函数的图象；
2.函数图象的应用问题.
突破点(一)函数的图象
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1.利用描点法画函数图象的流程
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换：
y＝f(x)――――――――――→
a>0，右移a个单位
a<0，左移|a|个单位y＝f(x－a)；
y＝f(x)―――――――――――→
b>0，上移b个单位
b<0，下移|b|个单位y＝f(x)＋b.
（2）伸缩变换
2020高三
数学学案
第6期
课题：函数的图像问题
第6课时
第二部分函数、导数及其应用
y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍
0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝ ．
(3)对称变换：
y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称 y ＝ ； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称
y ＝ ； y ＝f (x )―――――――→关于原点对称 y ＝ ． (4)翻折变换：
y ＝f (x )――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝ ； y ＝f (x )―――――――――――――――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝ . 【考点一】作函数的图像
[例1] 作出下列函数的图象：
（1）x
y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21
[解] 作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的图
象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图中实线部分．
(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1
x －1
[解] (2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图．
(3)因为y ＝
2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1
x
的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．
(4)y ＝x 2－2|x |－1.
[解] 因为y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x －1，x ≥0，
x 2
＋2x －1，x <0且函数为偶函数，
先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出 (－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．
【方法技巧】函数图像的画法
【考点二】函数图像的识别
[例2] (1)(2016·广西第一次质量检测)函数()
x
x x y 23⋅-=的图象大致是
( )
[解析] 易判断函数为奇函数，由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0，故选B. [答案] B
【方法技巧】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路 (1)由解析式确定函数图象的判断技巧：
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1. (2016·滨州模拟)函数x
x
y sin =
，()()ππ,00,⋃-∈x 的图象大致是（ ）
解析：函数y ＝
sin x
x
，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，又当x →π时，y ＝sin x
x →0，故选A. 答案：A
2． 函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭
⎫x －1
x 的图象是 ( )
解析：自变量x 满足x －1x ＝x 2－1
x >0，当x >0时，可得x >1，当x <0时，可得－1<x <0，即
函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D.函数y ＝x －1
x 单调递增，故函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭
⎫x －1
x 在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B. 答案：B
【考点二】变式1:
解：
【考点二】变式2:
函数x x x y sin cos +=的图像大致为（ ）
【考点二】变式3:
函数x
x x f --=
11ln )(的图像大致为（ ）
突破点(二) 函数图象的应用问题
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.)
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 【考点一】利用函数图象研究函数的性质
[例1] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【考点二】利用函数图象解决方程根的问题
[例2] 已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg x |，x >0，
2|x |，x ≤0，则方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解的个数为________．
[解析] 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝1
2或f (x )＝1.作出y
＝f (x ) 的图象，由图象知直线y ＝1
2与函数y ＝f (x )的图象有2个公共
点；直线y ＝1与函数y ＝f (x )的图象有3个公共点．故方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0有5个解． [答案] 5
【方法技巧】利用函数的图象解决方程根问题的思路
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程
f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x 轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
解析：因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数；
由y ＝lg x ―――――――――――――→图象向左平移1个单位长度
y ＝lg(x ＋1)
――――――――――――――――――――――――――――――――→
去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧图象的对称图象
y ＝lg(|x |＋1)―――――――――――――→图象向右平移2个单位长度
y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．答案：B 2．[考点三]设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为 ( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0可化为f (x )
x <0，即xf (x )<0，f (x )的大致
图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)． 答案：D
3．[考点二]已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为 ( )
A.0
B. 1
C.2
D.3
解析：由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点． 答案：C
4．[考点二]直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．
解析：y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x <0，
作出图象，如图所示．此曲线与y 轴
交于点(0，a )，最小值为a －1
4，要使y ＝1与其有四个交点，只需a
－14<1<a ，∴1<a <5
4. 答案：⎝⎛⎭⎫1，5
4。