山东大学《高等数学》期末复习参考题 (9)
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山东大学《数学分析III 》期末复习参考题
1、设f (x )在[0,4]上连续，且D ：x 2+y 2≤4则()
d xdy y x
f D
⎰⎰+22
在极坐标系下先对r 积
分的二次积分为_____________.
2、函数z xy =arcsin 在点（1，
1
3
）沿x 轴正向的方向导数是_____________. 3、函数z xe y
y =2在点（2，1）沿{}
a =12,方向的方向导数是_____________.
4、设f (x ,y )是连续函数，则二次积分
()dx y x f dy y
y
⎰
⎰,,10
交换积分次序后为
______________.
5、设平面薄片占有平面区域D ，其上点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，如果μ(x ,y )在D 上连续，则薄片的质量m =__________________.
二、选择题（共 10 小题，40 分）
1、设z xye xy =-，则z x x x '
(,)-=（ ）
(A) -+2122x x e x () (B) 2122
x x e x ()- (C) --x x e x ()122
(D) -+x x e x ()122
2、设曲线C 是由极坐标方程r =r (θ)(θ1≤θ≤θ2)给出，则
( )
3、设u x bxy cy =-+2
2
2，
∂∂∂∂u x
u y
(,)
(,)
,
212160==，则22y
u
∂∂=( )
(A) 4 (B) －4 (C) 2 (D) －2
4、设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f (x ,y ,z )在Ω3上可积，则
的充要条件是( )
(A) f (x ,y ,z )在Ω4上是奇函数
(B) f (x ,y ,z )≡0, (x ,y ,z )∈Ω4 (C) Ω4=∅空集 (D) ()0,,4
=⎰⎰⎰Ωdv z y x f
5、设f (x ,y )是连续函数，则二次积分
( )
6、设z x y x
=则
∂∂z
x
=( ) (A)y x x y
x -1
(B)y x y x x ln ln +
⎡⎣
⎢⎤⎦
⎥1 (C) y x x y x x
y x
ln ln +
⎡
⎣
⎢⎤⎦
⎥1
(D) y x
x x x
y x
ln +⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥1 7、设u =f (t )是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x |≤1;|y |≤1;|z |≤1. I =
a ,
b ,
c 为常数，则( )
(A) I >0 (B) I <0
(C) I =0 (D) I 的符号由a ,b ,c 确定
8、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的( ) (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。
9、设
，则I 满足( )
10、设C 为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x )及ψ(y )为连续函数，则的值( )
(A)与C 有关
(B)等于0 (C)与ϕ(x )、ψ(x )形式有关
(D)2π
三、计算题（共 3 小题，20 分）
1、设a 为常矢量，r 为矢径(r =x i +y j +z k ),r =|r |.求：(1) div(r a ). (2) div(r 3a ).
2、计算曲线积分，式中L 是从O (0，0)沿曲线至
点B (2，0)的上半椭圆。
3、求函数z x xy y y =-+-22222在闭域D x y :,0202≤≤≤≤上的最小值和最大值。
四、证明题（共 2 小题，20 分）
1、试验证：其中P 为任意一条有向的光滑封闭曲线。
2、设f x y Ax Bxy Cy Dx Ey F (,)=+++++22222，且A B AC >-<002
,，证明存在一点(,)x y 00，使得f x y (,)00为极小值。
《数学分析III 》期末试卷09答案与评分标准
一、填空题（共 5 小题，20 分）
1、
2、
122
3、-
35
e 4、d x
f (x ,y )d y .
5、
μ(x ,y )d σ(或
μ(x ,y )d x d y ).
二、选择题（共 10 小题，40 分）
DABDCCCAAB
三、计算题（共 3小题，20 分）
1、解：div a =0.grad r =
. （3分）
(1). div(r a )=r div a +grad r ·a =
·a （6分）
(2). div(r 3a )=r 3div a +grad r 3·a =0+3r 2grad r ·a
=3r r ·a （10分）
2、解：y P x sin e =，y Q x cos e =。
x
Q y y P
x ∂∂=
=∂∂cos e ，故原积分与路径无关。
（5分）
⎰
+L
x x y y x y d cos e d sin e
)0,3()
0,0()sin (e )
sin d(e
y y x
L x
==
⎰
0=
（10分）
3、解：由⎩⎨⎧=-+-==-=0242022y x z y x z y x ，得D 内驻点（1，1）
且 z (,)11
1=-
（3分）
在边界x =0上，()z y y y 12
2202=-≤≤
'=-=z y 1420，得驻点y =
1
2
2121,4
)2(,0)0(111-=⎪⎭
⎫
⎝⎛==z z z
在边界x =2上，z y y y 2226402=-+≤≤()
'=-=z y 2460，得驻点y =
32
z z z 2220420
3212
(),(),==⎛⎝ ⎫
⎭⎪=-（6分） 在边界y =0上，()z x x 3202=≤≤
'=≥z x 320 z z 3300
24(),()==
在边界y =2上，z x x x 424402=-+≤≤()
'=-≤==z x z z 44424004
20,(),()
（8分）
比较后可知，函数z 在点(,)11
处取最小值z (,)111=- 在点(,),(,)0220处取最大值z z (,)(,)02204==。
（10分）
四、证明题（共 2 小题，20 分）
1、证明：
（5分）
（10分）
2、证明：由⎩⎨⎧=++==++=0
2220
222E Cy Bx f D By Ax f y x ，得驻点),(00y x P
其中x BE CD AC B y BD AE
AC B
0202
=--=--,
（4分）
D f f f f A B B C
xx xy yx
yy
=
=
2222
D P AC B f P A xx ()(),()=->=>40
202
（8分） 故函数f x y (,)在点P x y (,)00处取极小值f x y (,)00。
（10分）。
