八年级数学下册第一章直角三角形1.4角平分线的性质第2课时角平分线的性质定理的逆定理导学课件(新版)湘教

(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.

求证 : P 点在∠BAC 的角平分线 B 上.
A
ND
P
M F
EC
证明 : ∵BM 是△ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM 上 ,
且 PD⊥AB , PE⊥BC , 垂足分别为 D , E ,
∴PD = PE〔角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等〕.
A
同理 : PE = PF. ∴PD = PE = PF.
三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等．
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
12.2 三角形全等的判定(ASA AAS)
复习
1.什么是全等三角形 ？ 2.判定两个三角形全等方式有哪些?
边边边 :
三边対应相等的两个三角形全等。
边角边 :
有两边和它们夹角対应相等的两个
复习引入
1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么 条件?
边边边 : 三边対应相等的两个 三角形全等。
边角边 : 有两边和它们夹角対应
创设情景
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了 , 如下图 , 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 ？能恢复三角形 的原貌吗 ？
2
部相交于点C.
〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢!
已知 : 平角∠AOB. 求作 : 平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论 : 作平角的平分线的方式就是过直线上一点作这条直 线的垂线的方式.
二 角平分线的性质 实验 : OC是∠AOB的平分线 , 点P是射线OC上的

角平分线性质的原理角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的线段。

角平分线有以下几个重要的性质：性质一：角平分线上的所有点到角的两边的距离相等。

这个性质可以通过几何推理证明。

假设有一个角ABC，角平分线AD将角分成两个大小相等的角∠BAD和∠DAC。

我们需要证明，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即AD = BD = CD。

证明如下：首先，连接AC。

假设∠BAD = ∠DAC = x。

由于∠BAD和∠DAC大小相等，因此四边形ABCD可以分成两个等腰三角形∆ABD和∆ACD。

根据等腰三角形的性质，AD = BD，AD = CD。

所以，角平分线上的点到角的两边的距离相等。

性质二：角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。

内切点是指和角的另一条边相切于一个点的线。

角的角平分线正好满足这个条件，因此角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。

证明如下：仍以角ABC为例，设∠BAD和∠DAC是由角平分线AD分出的两个大小相等的角。

连接AC并延长到点D，假设角∠ADC是由角平分线AD分出的较大的角。

根据性质一，AD = CD。

又根据角度和定理，∠A + ∠BAD + ∠DAC + ∠ADC = 180。

由于∠BAD = ∠DAC，所以∠A + 2∠BAD + ∠ADC = 180。

进一步化简得到∠A + ∠BAD + ∠BAD + ∠ADC = 180。

由于∠BAD + ∠ADC = 180（补角关系），所以∠A + ∠BAD + ∠BAD + 180 - ∠BAD = 180。

整理得到∠A + ∠BAD = 180，即∠BAD + ∠DAC = 180。

这说明∠BAD和∠DAC 构成的直线与延长线AC重合于点D，所以角平分线和角的另一条边相交于角的内切点。

性质三：角的内切线平分角的大小。

内切线是指从角的内切点到角的顶点的线段，它平分了角的大小。

证明如下：再以角ABC为例，连接内切点D和角的顶点A，假设角∠BAC的内切线为AD。

AO BO, OM ON，
∴Rt△BOM≌Rt△AON(HL)，∴AN=BM.
【学霸提醒】 应用角平分线的性质的两点注意
1.应用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的 点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角 平分线上的点到角两边任意点距离相等.
2.由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等， 这是证线段相等的一个简便方法.
(1)求∠ABD的度数. (2)求证：AO平分∠BAC. (3)判断BM与AN之间的数量关系，并说明理由.
【自主解答】(1)∵在△ABC中，∠C=90°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， 又∵BD是角平分线，∴∠ABD的度数为22.5°. (2)∵OB平分∠CBA，OM⊥BC，OP⊥AB， ∴OM=OP，
1.4 角平分线的性质
【知识再现】 1.角的平分线：在角的内部，把角分成两个相等角的 ___射__线____叫作角的平分线. 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ___相__等____，对应角___相__等____.
3.三角形全等的判定方法：(1)___S_S_S___； (2)___S_A_S___；(3)___A_S_A___； (4)AAS；(5)HL.
【自主解答】略
【学霸提醒】 证明角平分线的“两种方法”
1.定义法：应用角平分线的定义. 2.定理法：应用“角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满 足两个条件：“垂直”和“相等”.
【题组训练】 1.如图，在△ABC中，∠B=42°， AD⊥BC于点D，点E是BD上一点， EF⊥AB于点F，若ED=EF，则∠AEC的度数为( D ) A.60° B.62° C.64° D.66°
【新知预习】阅读教材P22-24，归纳结论： 1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将 三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE 的大小关系，写出结论为___P_D_=_P_E___.