2021高考数学新高考版一轮习题：专题9 阶段滚动检测(六) (含解析)

专题9.4双曲线练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）AB C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）则a =（）B．4C．2D．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a a=，解得12a =，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 60c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩ ，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a 2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y =2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.故答案为：3练提升1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为()53C．22【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c==PO a∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅e 3∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（）A B ．53C D ．103【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即3c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．233C D ．33【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)3P x x ±，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为3y x =±，可令00(,)3P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)3F P x =+± ，200(2,)3F P x x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a=D ．若M 为直线2a xc =（c ）上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t --∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMN S = 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||3AC R =，1(31)(||||)22R a AC BC -=-=，31==+c e a ．故答案为：31+练真题1.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B 132C 7D 13【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -OP |=（）A．222B．4105C．710【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（）B．C．2D．【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（）A．324B．2C．D．【答案】A 【解析】由2,a b c ===．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上，113322224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=．。

2021年高考数学一轮复习单元滚动检测六数列理新人教B 版考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·福州质检)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 2＋a 4＝6，则S 5等于( ) A ．10 B ．12 C ．15 D ．302．数列{}a n 为等差数列，a 1，a 2，a 3为等比数列，a 5＝1，则a 10等于( )A ．5B ．－1C ．0D ．13．若数列{}a n 满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{}a n 的前n 项和最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．94．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或126．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8.则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－77．已知{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N ＋)的取值范围是( )A ．[12,16]B ．[8，323]C ．[8，323)D ．[163，323]8．(xx·运城期中)数列{}a n 满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N ＋都满足a n ＋1＝a n3a n ＋1，则数列{}a n a n ＋1的前n 项和为()A.13n ＋1 B.n 3n ＋1 C.13n －2 D.n 3n －29．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．11010．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．约瑟夫规则：将1,2,3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1,3,5,7，….当n ＝65时，剩余的一个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．812．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.nn ＋1 B.4n n ＋1 C.3n n ＋1 D.5nn ＋1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知S n 是数列{}a n 的前n 项和，且点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，则S 5S 3＝________. 14．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{}a n 的通项公式是a n ＝________.15．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．16．对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为____________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(xx·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和.18.(12分)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，请说明理由．19.(12分)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N ＋，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .20.(12分)(xx·宜昌调研)已知数列{}a n 满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N ＋，n ≥2)，数列{}b n 满足关系式b n ＝1a n(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{}b n 为等差数列； (2)求数列{}a n 的通项公式.21.(12分)(xx·银川教学质量检测)已知数列{}a n 中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＜12.22.(12分)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝3n,数列{}b n 满足b 1＝－1,b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)．(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{}b n 的通项公式； (3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{}c n 的前n 项和T n .答案精析1．C [由等差数列的性质可得a 2＋a 4＝a 1＋a 5，所以S 5＝5a 1＋a 52＝15.]2．D [由题意得a 22＝a 1a 3＝(a 2－d )(a 2＋d )＝a 22－d 2， 所以d ＝0，a 10＝a 5＝1.] 3．B [∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{}a n 是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0.∴193≤k ≤223. ∵k ∈N ＋，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.]4．C [由题意知，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由等差数列的前n 项和公式知，S m ＝m a 1＋a m2＝0，解得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5.]5．C [当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求；当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 11－q 31－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或q ＝－12.]6．D [由题意，根据等比数列的性质得a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，设a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.解得a 1＋a 10＝－7.]7．C [因为{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 21－q 2n1－q2＝323(1－q 2n)∈[8，323)，故选C.]8．B [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1，得1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝ 3. 又∵a 1＝1，∴1a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以3为公差的等差数列，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2. a n a n ＋1＝13n －23n ＋1＝13(13n －2－13n ＋1)，∴数列{}a n a n ＋1的前n 项和为13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1)＝13(1－13n ＋1)＝n3n ＋1.故选B.]9．D [通过a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2， 所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8， 所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110，故选D.]10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12a 1＋a 2n －112b 1＋b 2n －1＝122n －1a 1＋a 2n －1122n －1b 1＋b 2n －1＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1 (n ∈N ＋)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a n b n为整数． 即正整数n 的个数是5.]11．B [将1,2,3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为1,3,5,7，…，65(删除33个，剩余32个)；然后循环，删除的数的个数分别为16,8,4,2,1，最后剩余2，故选B.] 12．B [∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4(1n －1n ＋1)，∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1.] 13.317解析 由点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，得2a n －S n －2＝0，即S n ＝2(a n －1)，所以当n ≥2时，S n －1＝2(a n －1－1)，两式相减可得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，所以数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n，S 5S 3＝21－251－221－231－2＝25－123－1＝317.14．(－2)n －1解析 ∵S n ＝23a n ＋13，①∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a na n －1＝－2.∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{}a n 是以1为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n ＝(－2)n －1.15．1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×10＋2342＝1 830.16．a n ＝2n ＋12n解析 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n n ＋22，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n －1n ＋12(n ≥2)，②①－②得na n ＝n n ＋22－n －1n ＋12＝2n ＋12(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋12n (n ≥2)．又H 1＝1a 1＝23，所以a 1＝32，也满足a n ＝2n ＋12n .综上，a n ＝2n ＋12n(n ∈N ＋)．17．解 (1)设{a n }的公差为d ，根据已知有7＋21d ＝28， 解得d ＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n .所以b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. (2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.18．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n . 显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋4n －2]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，且n 的最小值为41. 19．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N ＋)． (2)对m ∈N ＋，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1，因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m－148＝72m ＋1－748. 20．(1)证明 ∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{}b n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知数列{}b n 的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝12n －1.21．证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1， ∴1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，∴S n ＝12n －1. 13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －12n ＋1＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＜12. 22．解 (1)∵S n ＝3n， ∴S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3(n ≥2)．以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝n －11＋2n －32＝(n －1)2(n ≥2)．∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n (n ≥2)，且b 1＝－1也满足b n ＝n 2－2n ， ∴b n ＝n 2－2n (n ∈N ＋)．(3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2n －2×3n －1，n ≥2.当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1，∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n.实用文档 相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n . ∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1) ＝(n －2)×3n －3n －32＝2n －53n＋32. ∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，n ＝1，2n －53n ＋32，n ≥2.∴T n ＝2n －53n ＋32(n ∈N ＋)．。

北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.2．(2020·河北衡水三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据抛物线的定义，知|FA →|，|FB →|，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.3．(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512m B ．256 mC.95m D ．185m解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为x 2＝－2py ，p ＞0，因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p ，可得p ＝185，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m ．故选D.4．(2020·河南安阳三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C.过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23C.23D ．223解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |， 所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1， 因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)，所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |， 得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.答案：47．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33. 答案：338．(一题多解)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：29．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.10．(2020·河北衡水二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l 0，证明：过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．解：(1)由抛物线的定义可知，|MF |＝m ＋p2＝2，①又M (2，m )在抛物线上，所以2pm ＝4，② 由①②解得p ＝2，m ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：①当x 0＝0，即点P 为原点时，显然符合； ②x 0≠0，即点P 不在原点时， 由(1)得，x 2＝4y ，则y ′＝12x ，所以抛物线在点P 处的切线的斜率为12x 0，所以抛物线在点P 处的切线l 0的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，又x 20＝4y 0，所以y －y 0＝12x 0(x －x 0)可化为y ＝12x 0x －y 0.又过点F 且与切线l 0垂直的方程为y －1＝－2x 0x .联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －y 0，y －1＝－2x 0x ，消去x ，得y ＝－14(y －1)x 20－y 0.(*)因为x 20＝4y 0，所以(*)可化为y ＝－yy 0，即(y 0＋1)y ＝0， 由y 0＞0，可知y ＝0，即垂足必在x 轴上． 综上，过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．[综合题组练]1．(2020·陕西西安一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选B.抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＝3|BF |， 所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，所以x 1＝3x 2＋3，因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8.故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ． 2 C.322D ．2 2解析：选C.由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， 所以x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4，所以y 2＝－2，x 2＝12，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322，故选C.3．(2020·江西九江二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．163解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由抛物线定义得y 1＋y 2＋2＝|AF |＋|BF |， 因为y 1＋y 22＝|AB |－1，所以|AF |＋|BF |＝2|AB |，所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝3（|AF |2＋|BF |2）－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |≥6|AF |·|BF |－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |＝12，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号．所以当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形， 联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－43x －4＝0， 所以x 1＋x 3＝43，所以y 1＋y 3＝3(x 1＋x 3)＋2＝14. 所以|AD |＝16. 故选C.4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)． 因为CA ⊥CB ，所以CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0， 所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以y 1·y 2＝p 24， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33. 6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， 因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ， 所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1p（x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。

2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：在答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。

回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.(5分) 设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A。

{2} B。

{2,3} C。

{3,4} D。

{2,3,4}2.(5分) 已知z=2-i，则|z-3i|=（）A。

6-2i B。

4-2i C。

6+2i D。

4+2i3.(5分) 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2 B。

4 C。

4√2 D。

2√24.(5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin(x)单调递增的区间是（）A。

(0,π/2) B。

(π/2,π) C。

(π,3π/2) D。

(3π/2,2π)5.(5分) 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A。

13 B。

12 C。

9 D。

66.(5分) 若tanθ=-2，则cos2θ=（）A。

-3/5 B。

-4/5 C。

-24/25 D。

-7/257.(5分) 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）XXX<a B。

ea<b C。

0<a<eb D。

0<b<ea8.(5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“两次取到的数字和为偶数”，乙表示事件“两次取到的数字都是奇数”，则P(甲∪乙)=（）A。

2/3 B。

5/9 C。

7/9 D。

2018届高三数学训练题：阶段滚动检测试题（六）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |－2≤x <0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |－3<x ≤－2}D ．{x |x ≤－3}2．(2016·重庆第一次诊断)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( )AB ．2 CD ．53．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数1ln1x y x-=+是奇函数，则下列命题为假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(⌝p 2) C ．p 1∨p 2 D ．p 1∧(⌝p 2)4．,x y 满足约束条件020320x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩目标函数2z x y =+，则z 的取值范围是（ ）A ．[]33－，B ．[]32－，C ．[)2∞，＋D ．[)3，＋∞ 5．将函数()2sin()4f x x π=+的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移(0)ϕϕ>个单位后得到的图象关于直线2x π=对称，则ϕ的最小值是( ) A ．4π B ．3π C ．34π D ．38π 6．已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( )A ．1 024B ．2 012C ．2 026D ．2 0367．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( )A ．180π B ．150π C ．120π D ．90π 8．设随机变量16,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(3)P X =等于（ ） A ．516 B ．316 C ．58 D ．389．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βB ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β10．如图，设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )A ．25 B ．－25C D ． 11．设a ＝ʃ (sin x ＋cos x )d x ，则6()a x x -6的展开式中的常数项是( ) A ．160B ．－160C ．26D ．－26 12．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63二、填空题 13．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________．14．假设你家订了一盒牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：30之间把牛奶送到你家，你离开家去学校的时间在早上7：00~8：00之间，则你在离开家前能得到牛奶的概率是________15．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上，且AB ⊥x 轴，AC ∥x轴，则|AC |⋅|AB ||BC |2的最大值为________．16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号)①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．三、解答题17．若函数f (x )＝sin 2ax ax ·cos ax －12(a >0)的图象与直线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列． (1)求a ，b 的值；(2)若x 0∈[0,]2π，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在00[,]2x x π+上的单调增区间．18．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的111,,236.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．19．如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 交 AC 于点 M ，EA ⊥平面ABC ，FC//EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1．（1）证明：EM ⊥BF ；（2）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．20．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且n ∈N *)，若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列．(1)求实数λ；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设11nn i i S a ==∑，求证：32n S <. 21．已知函数f (x )＝ax ＋ln(x －1)，其中a 为常数．(1)试讨论f (x )的单调区间；(2)当a ＝11e-时，存在x 使得不等式2ln ()12e x bx f x e x +-≤-成立，求b 的取值范围． 22．如图，直线l ：y ＝x ＋b (b >0)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，已知点P (2，2)在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l的距离的最小值为4.(1)求直线l及抛物线C的方程；(2)过点Q(2,1)的任一直线(不经过点P)与抛物线C交于A，B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线P A，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．A【解析】由题意，得2{|20}{|(2)(1)0}[2,1]A x x x x x x =+-≤=+-≤=-， 22{|log (3),}{|log (3),[2,1]}[0,2]B y y x x A y y x x ==+∈==+∈-=，则(,0)(2,)U C B =-∞⋃+∞，()[2,0)U A C B ⋃=-；故选A.2．C【解析】由(i)(1i)3i a b +-=+，得(1)(1)i)3i a a b ++-=+，则131a a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，则i 2i a b +=-=；故选C.3．D【解析】函数ln(1)(1)y x x =-+]的定义域是(1,1)-且是偶函数，即命题1p 为真命题；函数1ln 1x y x-=+的定义域是(1,1)-且是奇函数，即命题2p 是真命题，故命题12p p ∧， 1212(),p p p p ∨⌝∨均为真命题，只有命题12()p p ∧⌝为假命题；故选D ．4．C【分析】由线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线的形式，在图中平移，找出最优解，最终代入目标函数，求出最值.【详解】由线性约束条件画出可行域，目标函数化为：2y x z =-+，如图：由图像可知，点A 处取得最优，解得：0,2x y ==，所以：2z =为最小值，所以2z ≥. 故选C.【点睛】本题考查线性规划问题，运用数形结合的方法求出最值即可得到目标函数取值范围，注意可行域不一定为封闭区域.5．D【解析】 将函数π()2sin()4f x x =+的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，再向右平移ϕ个单位，得到π2sin(22)4y x ϕ=-+的图象，此图象关于直线π2x =对称，故πππ22π(Z)242k k ϕ⨯-+=+∈，解得3ππ,(Z)82k k ϕ=-∈，又0ϕ>，故min 3π8ϕ=；故选D. 点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误”，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量x 而言，如：将sin (0)y A x ωω=>的图象将左平移(0)ϕϕ>个单位时得到函数sin[()]y A x ωϕ=+的图象，而不是sin()y A x ωϕ=+的图象.6．C【解析】由1223(1)2log 3log 4log (2)log (2),Z n n a a a n n k k +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+=∈，得 0222016k n <=-≤，即222018k <<，解得110k <≤，所以所有“优数”之和为292310112(12)(22)(22)(22)182********--+-+⋅⋅⋅+-=-=-=-；故选C. 7．C【解析】屋子的体积为54360⨯⨯=立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为314ππ13832⨯⨯⨯=立方米，由几何概型的概率公式，得苍蝇被捕捉的概率是ππ260120P ==；故选C. 8．A【分析】 由随机变量1(6,)2X B ~，根据独立重复试验的概率的计算公式，即可求解.【详解】 由题意，随机变量1(6,)2X B ~，所以3336115(3)()(1)2216P X C ==-=，故选A . 【点睛】本题主要考查了二项分布的概率的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．B【解析】对于A ，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确；故选B ．10．D【解析】等轴双曲线222x y a -=的两条渐近线方程为y x =±，所以(,),(,)M a a N a a --，则2222||()5AN a a a a =++=，2222|,|8AM a MN a ==，则222cos MAN ∠== D. 11．B【解析】因为ππ00(sin cos )d (cos sin )|2a x x x x x =+=-+=⎰，所以116622((2)x x-=-的展开式的通项公式为6316(1)2k k k k k T C x --+=-⋅⋅⋅， 令30k ，得3k =，即展开式中的常数项是33636(1)2160C --⋅⋅=-；故选B.12．B【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B. 考点：程序框图.13．4【解析】∵函数()1f x +是奇函数 ∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则()()2f x f x -=-. 又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=-- ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示：∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为4. 点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 14．78【分析】先设牛奶送达的时间为x ，我离开家的时间为y ，建立样本样本空间对应的x,y 所满足的不等式组，在离开家前能得到牛奶的对应的不等式组，利用作图方法，利用面积比值可得所求概率． 【详解】设牛奶送达的时间为x 我离开家的时间为y ，则样本空间 6.57.5(,)78x x y y ⎧⎫≤≤⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤≤⎩⎪⎪⎩⎭，在离开家前能得到牛奶的事件 6.57.5(,)78x A x y y y x ⎧⎫≤≤⎧⎪⎪⎪=≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，作图如下，可得所求概率11172221118P ⨯⨯=-=⨯．【点晴】本题考查导数的几何概型，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等题型. 15．12 【解析】试题分析：设点A 的坐标为(x 0,y 0),(x 0>0,y 0>0)，则由椭圆的对称性知，B(x 0,−y 0),C(−x 0,y 0) 所以，|AC|⋅|AB||BC|200(2√x 0+y 0)2=x 0y 0x 02+y 02≤12，当且仅当x 0=y 0=√a 2+b 2时等号成立．所以答案应填：12．考点：1、椭圆的标准方程与几何性质；2、基本不等式的应用． 16．② 【解析】根据题意，得2()log 0f x x ->且是唯一的值，设2()log t f x x =-，则2()log f x t x =+，又()3f t =，所以23log t t =+，此方程有唯一解2t =， 所以2()2log f x x =+，方程()()2f x f x '-=，即方程21log 0ln 2x x -=， 设21()log ln 2h x x x =-，则该函数为(0,)+∞上的增函数． 又11(1)0,(2)10ln 22ln 2h h =-=-， 所以方程()()2f x f x '-=的解在区间(1,2)内．点睛：本题考查导数的运算法则、函数的零点；解决本题的关键是判断出2()log f x x -是一个定值，再利用转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来研究，大大降低了解题的难度和运算量.17．（1）2,11a b ==或－；（2）0524x π=时，增区间为5[,]243ππ和717[,]1224ππ，01124x π=时，增区间为75[,]126ππ. 【解析】试题分析：(1)先利用二倍角公式和配角公式将函数解析式进行化简，再利用直线和曲线相切、等差数列进行求解；（2）先通过解三角方程得到0x 值，再利用三角函数的单调性进行求解.试题解析：(1)f(x)＝sin2ax－sin ax·cos ax－＝－sin 2ax－＝－sin，∵y＝f(x)的图象与直线y＝b相切，∴b为f(x)的最大值或最小值，即b＝－1或b＝1.∵切点的横坐标依次成公差为的等差数列，∴f(x)的最小正周期为，即T＝＝，a>0，∴a＝2，即f(x)＝－sin.(2)由题意知sin＝0，则4x0＋＝kπ (k∈Z)，∴x0＝－(k∈Z)，由0≤－≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此x0＝或x0＝.当x0＝时，y＝f(x)的单调递增区间为和；当x0＝时，y＝f(x)的单调递增区间为.18．(1)16；（2）分布列见解析，均值为2.【解析】试题分析：(1)利用相互独立事件同时发生的概率公式进行求解；（2）先由题意判定该变量服从二项分布，再利用二项分布的有关公式和线性变量的性质进行求解.试题解析：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i，B i，C i，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，A i，B j，C k(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(A i)＝，P(B i)＝，P(C i)＝.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P＝3！·P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B，且ξ＝3－η.所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C3＝，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2×＝，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××2＝，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3＝.故ξ的分布列是ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.19．（1）见解析（2）二面角的余弦值为√22【解析】解：（1）∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE而EM⊂平面ACFE∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90∘．又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2√3，BC=2，AM=3,CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC//EA，FCEA =GCGA=13，∴FC⊥平面ABCD．∴ΔEAM与ΔFCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．6分（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连结FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∴BG⊥平面FCH，∴FC⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．10分在∴∠FHC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴BM=AB⋅sin30∘=√3．由FCEA =GCGA=13，得AC=4．∵BG=√BM2+MG2=2√3．又∵ΔGCH~ΔGBM，∴GCBG =CHBM，则CH=GC⋅BMBG=√32√3=1．∴ΔFCH是等腰直角三角形，∠BAC=30°．∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为√22．1420．（1）13λ=-或3λ=-；（2）31(3)83nn na=-；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用新数列为等比数列和递推公式，通过待定系数法进行求解；（2）利用（1）结论得到关于1,n n a a -的方程组进行求解；（3）利用放缩法和等比数列的求和公式进行求解. 试题解析：(1)由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0， ∵a n ＋1－a n ＋a n －1＝0，∴∴λ＝－或λ＝－3.(2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－时， a n －a n －1＝3n －1，① n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝.②由①②可得a n ＝(n ≥2)，当n ＝1时，也符合．∴a n ＝ (3n －)，n ∈N *. (3)证明 由(2)知， a n ＝>0，∵a n －3a n －1＝，∴a n >3a n －1，∴<·(n ≥2)．∴S n <＋＝＋－<＋S n .∴S n <.21．（1）当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1,1－1a )，单调递减区间为(1－1a ，＋∞)；（2）22ln(1)b e e≥--- 【解析】试题分析：(1)求导，通过讨论a 的符号研究导函数的符号变换得到函数的单调区间；（2）先由（1）得到函数的最值，再分离参数，将问题转化为函数的求值问题，再通过求导进行求解.试题解析：(1)由已知得函数f (x )的定义域为{x |x >1}，f ′(x )＝a ＋＝.当a ≥0时，f ′(x )>0在定义域内恒成立，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝1－>1， 当x ∈时，f ′(x )>0； 当x ∈时，f ′(x )<0，f (x )的单调递增区间为， 单调递减区间为.综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1,1－)，单调递减区间为(1－，＋∞)． (2)由(1)知当a ＝时，f (x )的单调递增区间为(1，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． 所以f (x )max ＝f (e)＝＋ln(e －1)<0，所以|f (x )|≥－f (e)＝－ln(e －1)恒成立，当且仅当x ＝e 时取等号． 令g (x )＝，则g ′(x )＝，当1<x <e 时，g ′(x )>0； 当x >e 时，g ′(x )<0，从而g (x )在(1，e)上单调递增， 在(e ，＋∞)上单调递减， 所以g (x )max ＝g (e)＝＋， 所以存在x 使得不等式|f (x )|－≤成立，只需－ln(e －1)－≤＋，即b ≥－－2ln(e －1)．点睛：本题考查导数在函数中、不等式中的应用；研究不等式时，要正确区分“恒成立”和“存在性”的区别，如：()f x k ≥恒成立min ()f x k ⇔≥，存在实数x ，使()f x k≥max ()f x k ⇔≥.22．（1）直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线C 的方程为y 2＝2x .；（2）存在，且λ=2. 【解析】试题分析：(1)设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和点到直线的距离公式进行求解；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到等量关系，再联立两直线方程得到另一等量关系，两者结合即可证明.试题解析：(1)∵点P(2,2)在抛物线C上，∴p＝1.设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′的方程为y＝x＋m，由得x2＋(2m－2)x＋m2＝0，Δ＝(2m－2)2－4m2＝4－8m，由Δ＝0，得m＝，则直线l′的方程为y＝x＋.两直线l，l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，有＝，解得b＝2或b＝－1(舍去)．∴直线l的方程为y＝x＋2，抛物线C的方程为y2＝2x.(2)∵直线AB的斜率存在，且k≠0，∴设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)(k≠0)，即y＝kx－2k＋1.联立得ky2－2y－4k＋2＝0(k≠0)，设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝(k≠0)，y1y2＝(k≠0)．∵k1＝＝＝，k2＝，∴k1＋k2＝＋＝＝＝(k≠0)．联立得x M＝，y M＝，∴k3＝＝，∴k1＋k2＝2k3.∴存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，且λ＝2.。

221n2 2*2021 届高三数学滚动测试题(2021.10.05)C.D .若y =f （x），y =g（x ）均为奇函数，则y=f（g（x））为奇函数一、单项选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1. 已知复数z 满足：i ⋅z =a+i ，其中i 是虚数单位，则“ -1<a <0”是“在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限”的（）8. 设F1，F2 分别是椭圆C：x+y2=的左，右焦点，过点F1 的直线交椭圆C 于M，N 两点，若a2 b4A.充要条件B. 充分不必要条件MF1= 3F1N ，且cos ∠MNF2 =5，则椭圆C 的离心率为（）C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件2.已知lg a＋lg b＝2，则a＋b 的最小值为（）A.22B. 33C. 2 -12D. 2 -13A.2B. 4C. 10D. 20 二、多项选择题（本大题共 4 小题，共20.0 分）9. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的有：（）3.已知函数f（x）=x2，g（x）=ln x，若有f（a）=g（b），则b 的取值范围是（）A. [0，+∞）B. （0，+∞）C. [1，+∞）D. （1，+∞）4.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是5π米，“弓”所在圆的半径为 1.25 米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距8离约为（参考数据：≈1.414，3≈1.732 ）( )A.若sin A＞sin B，则A＞B；B.若sin2A＝sin2B，则△ABC 一定为等腰三角形；C.若cos2 A +cos2 B -c os2 C =1，则△ABC 为直角三角形；D.若△ABC 为锐角三角形，则sin A<cos B．10. 数列的前项和为，若，a n+1 = 2S (n ∈N ) ，则有A. 1.012 米B. 1.768 米C. 2.043 米D. 2.945 米5.在边长为4 的等边△ABC 中，M，N 分别为BC，AC 的中点，则AM ⋅MN =（）A.SnC. a=3n-1=2⋅3n-1B. 为等比数列D.A. -6B. 6C. 0D. -32 6.若实数x，y 满足21- y -x +1 = 0 ，则y 关于x 的图象大致是（）n11.由函数f（x）＝sin x 的图象得到函数g(x) = cos(π31-2x) 的图象的过程中，下列表述正确的是（）πA.先将f (x) 的图象上各点横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），再向左平移12个单位长度B.先将f (x)1 π个单位长度A. B.C.先将f (x)的图象上各点横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），再向左平移6π 1的图象向左平移6个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）2D.先将f (x) 的图象向左平移π1C. D.12个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）12.已知A, B,C 三点均在球的表面上，AB=BC =C A =2 ，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的1，37.若函数y=f（x），y=g（x）的定义域均为R，且都不恒为零，则（）A.若y=f（g（x））为偶函数，则y=g（x）为偶函数B.若y=f（g（x））为周期函数，则y=g（x）为周期函数则下列结论正确的是（）A. 球O 的半径为32C. 球O 的内接正方体的棱长为B. 球O 的表面积为6πD. 球O 的外切正方体的棱长为266n n n n n a三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量a =(2,1),b = (-1, 2) ，则向量b 在向量c = a - b方向上的投影为 ．14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为 S n ，且 S 13＝6，则 3a 9-2a 10＝ ．20. 已知向量a = (2 cos x ,1), b = (2sin(x + π), -1) ，设函数 f (x ) = a ⋅b .6（1）求函数 f (x ) 在 x ∈(-3,3) 上的单调递增区间;（2）若sin 2 x + af (x + π ) +1 > 6 cos 4 x 对任意 x ∈ (- π , π) 恒成立，求实数 a 的取值范围.15. 某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系 y = e kx +b 为自然对 64 4数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时,在22℃的保鲜时间是48 小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时.16. 定义域为 R 的可导函数 y = f (x ) 的导函数是 f '(x ) ，且满足 f (x ) >1- f '(x )，f (0) = 0 ，则不等式e xf (x ) > e x -1 的解集为 _．四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）已知数列{a }满足：a =1， a = 6a n - 9 （nN *）21. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处，已知 AB =AC =6km ，现计划在17.1n 1 ⎧ 1 ⎫ n +1 ∈ nBC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站．记 P 到三个村庄的距离之和为 y ．（ ）求证：数列⎨ a - 3⎬ 是等差数列；(1) 设∠PBO =α，把 y 表示成 α 的函数关系式； ⎩ n⎭（2）求数列{lg a n }的前 999 项和．18. 已知数列{a }的前n 项和为S ，且S =2n 2+ n， ，数列{b }满足a （1）求 ；（2）求数的前 项．19.在△ABC 中，D 为 BC 上一点，AD =CD ，BA =7，BC =8.= 4 l ogb + 3， ．22.已知函数 f （x ）=e x ，g （x ）=kx +1，且直线 y =g （x ）和函数 y =f （x ）的图象相切．（1）求实数 k 的值；(1)若 B =60°，求△ABC 外接圆的半径 R ； (2)设∠CAB - ∠ACB = θ ，若sin θ =3 3，求△ABC 面积.14（2）设 h (x ) = f (x ) - g (x ) ，若不等式 (m - x )h '(x ) < x +1 对任意 x ∈（0，+∞）恒成立,（m ∈Z ， h '(x ) 为 h (x ) 的导函数），求 m 的最大值.n 21.【答案】B2021 届高三数学滚动测试题答案和解析若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，则a＜0，则“-1＜a＜0”是“在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限”的充分不必要条件，故选：B．2.【答案】D【解析】解：因为lg a＋lg b＝2，即，所以可得ab=100，且a>0,b>0,所以a＋b ，当且仅当a=b=10 时，等号成立，所以(a＋b)min=20.故答案为D.3.【答案】C【解析】解：∵f（a）=a2≥0，∴g（b）=lg b≥0，∴b≥1；故选：C．4.【答案】B【解析】解：根据题意作出下图，其中OC⊥AB 于D，则弧的长为米所以（米），故选B.5.【答案】A【解析】解：由图可知|=||=4，=8，（=，【解析】解：由21-y-|x+1|＝0，可得y＝1-log2|x+1|，通过对数函数的图象与性质可知，只有图象 A 大致符合．故选A.7.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若y=f（g（x））为偶函数，则可能g（x）为奇函数，而f（x）为偶函数，如f（x）=cos x，g（x）=sin x，A 错误；对于D，若y=f（x），y=g（x）均为奇函数，对于y=f（g（x）），有f（g（-x））=f（-g（x））=-f （g（x）），为奇函数，D 正确；故选：D．8.【答案】A【解析】解：设|NF1|=m，因，所以|MF1|=3m，由椭圆的定义可得|MF2|=2a-3m，|NF2|=2a-m，在△MNF2 中，由余弦定理可得9.【答案】AC【解析】解：选项A：中，若sin A＞sin B，则a＞b，即,则A 正确,选项B:.若s in2A＝s in2B，则,故三角形不一定为等腰三角形,故B 错误.选项C:中，由可得：可得，由正弦定理可得,故为直角三角形，故C 正确.选项D:.为锐角三角形,，，即sin A>cos B,故D 错误.故选AC.10.【答案】ABD【解析】解，∴当n≥2时，，两式相减得，，即，当n=1 时，∴数从第二项起为公比为3 的等比数列，∴ ,故C 错误，D 正确，由当n≥2时，，所以，又满足上式，所为等比数列；故A，B 正确，故选ABD.11.【答案】AC【解析】解：g(x)= -2x)= )= )，方式一：先将x 的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) ，再向左平移个单位长度；方式二：先将x 的图象向左平个单位长度，再将横坐标缩短到原来(纵坐标不变)，根据选项A，C 正确. 故选AC.12.【答案】BD【解析】解：设球的半径为，△的外接圆圆心为，半径为.可，因为球心到平面的距离等于球半径，所，，，故A 不正确；所以球的表面，故B 正确；球的内接正方体的棱长满，解得，故C 不正确；球的外切正方体的棱长满足，故D 正确.故选BD.13.14.【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d．由S13＝6，得13a7＝6，解，所．故答案.15.【答案】24【解析】解：由题意得=, ,当x=33 时= = 192= 192=24(小时).故答案为24.16.【答案】【解析】解：设,则,∵f'(x)>1-f(x),∴f(x)+f'(x)-1>0,∴g'(x)>0,∴y=g(x)在定义域上单调递增，∵,∴g(x)>-1,又=-1,∴g(x)>g(0),∴x>0,∴不等式的解集，故答案为.17.【答案】解：（1）数列{a n}满足，故=，所以（常数），故是为首项为公差的等差数列．………………5分（2）由（1）得，解之得：；所以=lg3+lg（n+1）-lg n．………………7分则：T n=（lg3+lg2-lg1）+（lg3+lg3-lg2）+…+（lg3+lg（n+1）-lg n），=n lg3+lg（n+1），T999=3+999lg3 ………………10 分18.【答案】解：（1）因，当n＝1 时，当时，所，，，得，；………………6分（2）由（1），，所，，两式相减得，所，．………………12分解得；，解得；∴△ABC 外接圆的半径R 为…………4分（2）由AD=CD，所以∠DCA=∠DAC，所以θ=∠CAB-∠ACB=∠BAD；由，；…………6分设BD=x，则DC=8-x，DA=8-x，在△ABD ，由余弦定理，解得x=3；所以BD=3，DA=5；…………8分由正弦定，，解；…………10分所，即△ABC 的面积为10 ．…………12分20.【答案】解：（1）由题意，可得，= 2x+2 x-1= 2x+ 2x=2 )由+2k 2x+ +2k ,k Z 得+k +k ,k Z又x (-3,3), f(x)在x (-3,3)上的单调增区间为],[- , ,3)………………6分(2)由题意(- , ),f(x+ (2x+ 2x >0原不等式等价于a 2 2x>6 x- x-1,即恒成立………………8分令== x+1( x ) ………………10分因为x (- , ),所以x=0, x=1 时,g(x)的最大值. 因此………………12分21.【答案】解：（1）在中，所以，,由题意知.………………2分所以点P 到A,B,C 的距离之和为故所求函数关系式..………………6分（2）由（1），..………………7分令,，，从...………………8分当时；时．所以时取得最小值，………………10 分此（km），即点P 在OA 上距O km 处．答：变电站建于距O km 处时，它到三个小区的距离之和最小．………………12分22.【答案】解：（1）设切点的坐标为（t，e t），由f（x）=e x 求导得f′（x）=e x，∴切线方程为y-e t=e t（x-t），即y=e t x+（1-t）e t，由已知y=e t x+（1-t）e t 和y=kx+1 为同一条直线，∴e t=k，（1-t）e t=1，令r（x）=（1-x）e x，则r′（x）=-xe x，当x∈（-∞，0）时，r′（x）＞0，r（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单调递减，∴r（x）≤r（0）=1，当且仅当x=0 时等号成立，∴t=0，k=1，..………………6 分（2）由于k=1，∴（m-x）h′（x）＜x+1⇔（m-x）（e x-1）＜x+1，∵x＞0，∴e x-1＞0，∴m＜+x，令+x，∴m＜φ（x）min，φ′（x）=，令t（x）=e x-x-2，∵x＞0，∴t′（x）=e x-1＞0，∴t（x）在（0，+∞）单调递增，且t（1）＜0，t（2）＞0，∴t（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x0，且x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，φ′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，φ′（x）＞0，∴φ（x）min=φ（x0）=+x0，由=x0+2，∴φ（x0）=x0+1∈（2，3），又∵m＜φ（x0），m∈Z，∴m 的最大值为2．..………………12 分。

姓名，年级：时间：单元质检卷六 数列（A ）(时间:45分钟 满分：100分)一、单项选择题(本题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019北京海淀一模,3)已知等差数列{a n }满足4a 3=3a 2,则{a n }中一定为零的项是（ )A 。

a 6 B.a 8 C.a 10 D.a 124a 3=3a 2,∴4a 1+8d=3a 1+3d ,则a 1+5d=0，即a 6=0。

2.等比数列{a n }中,若a 4·a 5·a 6=8,且a 5与2a 6的等差中项为2,则公比q=( ） A.2 B .12 C.—2D.-12,等比数列{a n ｝中,若a 4·a 5·a 6=8,则(a 5)3=8，解得a 5=2，又由a 5与2a 6的等差中项为2,则a 5+2a 6=4，解得a 6=1,则q=a 6a 5=12.故选B 。

3.已知等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ,若2a 6=a 8+6,则S 7=（ )A.49 B 。

42 C .35 D.24{a n }的公差为d ，∵2a 6=a 8+6,∴2（a 1+5d )=a 1+7d+6，∴a 1+3d=6,即46由等差数列的性质可得a 1+a 7=2a 4。

∴S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=42.故选B .4.(2019湖南湘潭二模)已知数列｛a n }为等比数列，首项a 1=2，数列{b n }满足b n =log 2a n ，且b 2+b 3+b 4=9，则a 5=( ） A 。

8 B.16 C 。

32 D 。

64{a n}的公比为q，已知首项a1=2，所以a n=2q n—1，所以b n=log2a n=1+(n-1）log2q，所以数列{b n｝是等差数列.因为b2+b3+b4=9,所以3b3=9，解得b3=3，所以a3=23=2×q2,解得q2=4,所以a5=2×24=32。

2021年高三数学一轮复习滚动测试九理一、选择题（本大题共12小题。

每小题5分，共60分．1．设∈Z，集合A为偶数集，若命题：∈Z ，2∈A,则A．∈Z ，2A B．Z ，2∈AC．∈Z ，2∈A D．∈Z ，2A2．设直线、和平面、,下列四个命题中，正确的是A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，，则3．已知幂函数的图象过点（，），则的值为A．B．－ C．－1 D．14．在△ABC中，内角A、B的对边分别是、，若，则△ABC为A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形5．若当∈R时，函数且）满足≤1，则函数的图像大致为6．已知，给出下列四个结论：①②③④其中正确结论的序号是A．①②B．②④C．②③D．③④7．等差数列{}的前20项和为300，则+++++等于A．60 B．80 C．90 D．1208．已知函数（R），若函数在R上有两个零点，则的取值范围是A．B．C．D．9．已知数列{}的前项和为，且+=2（∈N*），则下列数列中一定是等比数列的是A．{} B．{－1} C．{－2} D．{+2}10．已知函数（）的最小正周期为，将函数的图象向右平移（>0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为A．B．C． D．11．设函数，对任意，若，则下列式子成立的是A ．B ．C ．D ．12．不等式≤0对于任意及恒成立，则实数的取值范围是A ．≤B ．≥C ．≥D ．≥第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 .14．若，则 .15．已知一元二次不等式的解集为{，则的解集为 。

16．给出下列命题：①若是奇函数，则的图象关于轴对称；②若函数对任意∈R 满足，则8是函数的一个周期；③若，则；④若在上是增函数，则≤1。

其中正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）已知全集U=R ，集合A={}，B={|}。

单元测试【满分：100分 时间：90分钟】一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共48分)1．（广东省惠州一中2019届模拟）点(3，4)在直线l ：ax －y ＋1＝0上，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°【答案】C【解析】由题意可知3a －4＋1＝0，即a ＝3，设直线的倾斜角为α，则ta n α＝3，又α∈[0°，180°)，∴α＝60°，故选C.2．（陕西省宝鸡一中2019届模拟）“a ＜－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则ta n θ＝－a ，因为直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4，所以－a ＞1或－a ＜0，解得a ＜－1或a ＞0，所以“a ＜－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的充分不必要条件．3．（ 甘肃省白银一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0【答案】D【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则ta n α＝12，所以直线l 的斜率k ＝ta n 2α＝2ta n α1－ta n 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.4．（云南省曲靖一中2019届质检）已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A ．2x ＋3y ＋5＝0B ．3x －2y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋5＝0D ．2x －3y ＋5＝0【答案】B【解析】设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎨⎧x 02－y 02＋1＝0，y0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1,1)．设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB ＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.故选B ．5．（四川省资阳一中2019届模拟）已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27【答案】C【解析】设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝2＋22＋－1－12＝2 5.故选C.6．（海南省三亚一中2019届模拟）若直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 【答案】B【解析】∵l 1，l 2有交点，∴k ≠±1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ＋1，ky －x ＝2k ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1，即直线l 1，l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，∵交点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧kk －1＜0，2k －1k －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜k ＜1，k ＜12或k ＞1，∴0＜k ＜12，故选B ．7．(贵州贵阳一中2019届质检)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝8B ．(x －1)2＋(y －2)2＝8C ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝8D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝8 【答案】A【解析】设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b ＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.8．（甘肃省庆阳一中2019届质检）若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2【答案】D【解析】由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 9．（贵州省安顺一中2019届模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D ．⎝⎛⎭⎫0，125 【答案】A【解析】因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1，设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上。

2021年高考数学滚动检测06第一章到第八章综合同步单元双基双测A卷理一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知命题:“方程有实根”，且为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】考点：简易逻辑．2. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由1117 [,1],()[5,] 22x f x∈∴∈；因为2[2,3],()[4,8]x g x a a∈∴∈++,由若，，使得得,故选A.考点：函数的单调性.3. 双曲线的离心率为（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】 试题分析：双曲线方程中222221222c a b c a b c e a==∴=+=∴=∴== 考点：双曲线方程及性质4. 【xx 河南漯河高级中学四模】设和为双曲线的两个焦点，若， ， 是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D.【答案】C故选：C ．5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为3214181142323πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选C. 6. 已知实数、满足02010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考点：线性规划．7. 【xx 河南豫南豫北联考】已知圆，点，若过两点的动抛物线的准线始终与圆相切，则该抛物线的焦点的轨迹是（ ）的一部分.A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】B【解析】画出抛物线的大致图象如下：过A,O,B分别作抛物线准线的垂线，根据抛物线的定义知A，B两点到焦点P的距离和等于A，B两点到准线距离的和，而A，B两点到准线的距离和等于O到准线距离的2倍，∴。

2021届高考数学一轮复习题组层级快练9含答案解 2021届高考数学一轮复习题组层级快练9含答案解问题小组级快速练习（9）1．下列函数中值域为正实数的是()a．y＝－5xb．y＝(11－x3)c、 y＝1x－1d．y＝3|x|二答案b分析了该方法的取值范围∵ 1-x∈ R、 y=（1x3）是一个正实数，∴y＝(11－x3)的值范围是一个正实数2．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于()a．5b．7c．9d．11答案B解析∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3.∴f(2a)＝22a＋2－2a＝（2a＋2－a）2－2＝9－2＝7.3.当x>0时，函数f（x）=（A2）－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()a．12d．|a|<2答案c4．(2021成都二诊)若函数f(x)＝(a＋1EX-1）cosx是一个奇数函数，那么常数a的值等于（a.-1b.1c.-12d.12d） 5．(2021唐山一中模拟)函数y＝(12)X+1的图像相对于直线y=X近似对称())1回答a1x解析函数y＝()＋1的图像如图所示，关于y＝x对称的图像大致为a选项对应图像．二6．若函数f(x)＝aa．f(－4)>f(1)c．f(－4)解析由题意知a>1，∴f(－4)＝a，f(1)＝a，由单调性知a>a，∴f(－4)>f(1)．7．函数f(x)＝34－2在x∈[0，＋∞)上的最小值是()1a．－12c．2答案c解析设t＝2，∵x∈[0，＋∞)，∴t≥1.∵y＝3t－t(t≥1)的最小值为2，∴函数f(x)的最小值为2.8．(2021山东师大附中)集合a＝{(x，y)|y＝a}，集合b＝{(x，y)|y＝b＋1，b>0，b≠1}，若集合x23232|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是()b．f(－4)＝f(1)d．不能确定xxb．0d．10xa∩b只有一个子集，则实数a的取值范围是()a．(－∞，1)c．(1，＋∞)答案b9．在同一个坐标系中画出函数y＝a，y＝sinax的部分图像，其中a>0且a≠1，则下列所给图像中可能正确的是()xb．(－∞，1]d．r答案d2πxx解析若a>1，则y＝a是增函数，且y＝sinax的周期t＝<2π；若0a22π且y＝sinax的周期t＝>2π.a3610．(2021四川绵阳一诊)计算：23×1.5×12＝________.答案61111111111131－＋＋－＋解析原式＝2×32×()3×126＝2×32×33×23×36×23＝2×3236×233＝6.2111．若指数函数f(x)＝a在[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a＝________.213答案或22xaa3x2解析当a>1时，y＝a是增函数，∴a－a＝，∴a＝.22a1x2当02212．已知a＝答案m解析由于0f(n)知m14．若0解析∵logb(x－3)>0，∴0答案[2，＋∞)112解析f(1)＝a＝，a＝，93|2x－4|－x＋15－1x，函数f(x)＝a，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．2＋m的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．1(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是9??f(x)＝???13132x－4，x≥2，，x<2.4－2x2x∴单调递减区间为[2，＋∞)．16．是否存在实数a，使函数y＝a＋2a－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值是14?1答案a＝3或a＝3解析令t＝a，则y＝t＋2t－1.3x2x。

姓名，年级：时间：单元质检卷九统计与统计案例及计数原理（时间:100分钟满分:150分）一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分）1。

从6个盒子中选出3个来装东西,则甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A.16种B.18种C。

22种D。

37种6个盒子中选出3个来装东西,有C63种选法,甲、乙都未被选中的情况有C43种，所以甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有C63−C43=20—4=16种，故选A. 2。

总体由编号为01,02，03，…，49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为(）66 67 40 67 1464 05 71 95 8611 05 65 09 6876 83 20 37 9057 16 00 11 6614 90 84 45 1175 73 88 05 9052 83 20 37 90A。

05 B.09 C.11 D。

201行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,符合条件的编号有14，05，11,05，09，因为05出现了两次,所以选出来的第4个个体的编号为09.3.（2019吉林白山模拟,7)x4+1x2+2x5的展开式中含x5项的系数为（）A。

160 B。

210C。

120 D。

252答案D解析∵x4+1x2+2x5=x2+1x10，∴T r+1=C10r（x2)10-r1xr=C10r x20-3r,当r=5时,T6=C105x5=252x5.故选D.4。

《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为(）A.2 B。