第一讲 集合及集合的表示

第一讲集合与集合的表示方法第一课时集合的概念[学习目标]1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的两个特性.3.记住常用数集的表示符号并会应用.[知识链接]1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.2.在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.3.解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数合在一起称为这个不等式的解集.4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.[预习导引]1.元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.(3)集合元素的特性：确定性、互异性.2.元素与集合的关系(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合.②无限集：含有无限个元素的集合.4.常用数集的表示符号要点一集合的基本概念例1 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体.解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x ＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合.规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________.(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生.答案(1)(4)解析例2 所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N *；④|－3|∉N *.A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 －12是实数，2是无理数，∴①②正确.N *表示正整数集，∴③和④不正确.规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立.2.符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.3.“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合.跟踪演练2 设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M答案 B解析 本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x ＜0的解即可，当x ＝0时，3－2x ＝3＞0，所以0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1＜0，所以2∈M .要点三 集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值. 解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.规律方法 1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.跟踪演练3 已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________. 答案 1解析∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1(舍)，∴a＝1.此时，A＝{2,0}，符合题意.1.下列能构成集合的是( )A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼答案 C解析A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.2.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( )A.0∈AB.a∉AC.a∈AD.a＝A答案 C解析 由题意知A 中只有一个元素a ，∴a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，因为0是否属于A 不确定，故选C.3.设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A ；广州________A (填∈或∉). 答案 ∉ ∈解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.4.已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________.答案 3解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的. 5.已知1∈{a 2，a }，则a ＝________. 答案 －1解析 当a 2＝1时，a ＝±1，但a ＝1时，a 2＝a ，由元素的互异性知a ＝－1.第二课时 集合的表示方法[学习目标]1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. [知识链接]1.质数又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他正整数整除的数.2.函数y ＝x 2－2x －1的图象与x 轴有2个交点，函数y ＝x 2－2x ＋1的图象与x 轴有1个交点，函数y ＝x 2－x ＋1的图象与x 轴没有交点. [预习导引] 1.列举法把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.2.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.(2)特征性质描述法集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I 中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.典型例题要点一用列举法表示集合例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.规律方法对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.跟踪演练1 用列举法表示下列集合：(1)我国现有的所有直辖市；(2)绝对值小于3的整数的集合；(3)一次函数y＝x－1与y＝－23x＋43的图象交点组成的集合.解(1){北京，上海，天津，重庆}；(2){－2，－1,0,1,2}；(3)方程组⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－23x ＋43的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.要点二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}.规律方法 用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ；②“竖线”不可省略；③p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一. 跟踪演练2 用描述法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集； (3)集合{－2，－1,0,1,2}. 解 (1){x |x ＝5n ，n ∈Z }； (2){x |6x 2－5x ＋1＝0}； (3){x ∈Z ||x |≤2}.要点三 列举法与描述法的综合运用例3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .解 (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2，此时A ＝{2}.(2)当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素， ∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根. 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}. 综上所述，实数k 的值为0或1. 当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}.规律方法 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解.(2)kx 2－8x ＋16＝0的二次项系数k 不确定，需分k ＝0和k ≠0展开讨论，从而做到不重不漏.2.解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点.跟踪演练3 把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合.解 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等实根. ∴⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1，且k ≠0.所以k 取值范围的集合为{k |k ＜1，且k ≠0}.1.集合{x ∈N *|x －3＜2}用列举法可表示为( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}答案 B解析{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1,2,3,4}.2.已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有( )A.－1∈AB.0∈AC.3∈AD.2∈A答案 B解析∵0∈N且－3≤0≤3，∴0∈A.3.用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________.答案{x|x＜－3 2 }解析∵x＜－x－3，∴x＜－3 2 .∴解集为{x|x＜－32 }.4.已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________. 答案{1}解析由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.又x∈N，∴x＝1.5.用适当的方法表示下列集合.(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3)不等式x－2＞6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.解(1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；(2){x|x＝2n＋1，且x＜1 000，n∈N}；(3){x|x＞8}；(4){1,2,3,4,5,6}.。

第1讲集合的概念和关系一．集合的概念集合没有确切定义，是一个基本概念。

对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。

符号表示为{}，表示的意思为全体。

这些对象我们称之为元素。

集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述。

（2）集合是一个“整体。

（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的。

例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数；（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

【典例分析】1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。

集合的概念及表示含答案知识梳理1、集合的概念：一般的我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。

2、集合的3个性质：⎪⎩⎪⎨⎧的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素3、元素与集合的表示：我们通常用 来表示集合，用 来表示元素。

4、元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作：A a ∈②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：注意：属于或不属于（∉∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上。

5、集合的分类： （集合含有有限个元素）；无限集（集合含有 个元素）；空集（不含任何元素的集合，用记号 表示）。

6、常用集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。

注意：（这些特定集合外面不用加{}）7、集合的表示：（1） ：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。

注意：一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正整数集合｛1，2，3，4，…｝．（2） ：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

例：{}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。

（3） ：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

知识典例题型一 基本概念例1 下列各组对象中能构成集合的是（ ）A ．充分接近3的实数的全体B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品【答案】C 巩固练习1、判断下面例子能否组成集合？（1）大于3小于12的所有偶数； （2）我国的小河流。

2、判断下面例子能否组成集合？中国的直辖市； （2）身材较高的人3、已知元素2x 在集合｛1，0，x ｝内，求实数x 的值4、集合｛a ，b ，c ｝中元素是三角形三边，则这个三角形不可能是 三角形．题型二 元素与集合的关系例 2 用符号“∈”或“∉”填空：（1）2_____N ；（2）33______Q ；（3）13______Z ；（4）3.14______R ；（5）3-______N ；（6）9_____Q .【答案】∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈巩固练习1、用符号“∈”或“∉”填空（1）N __0 （2）Z _____14.3 （3）Q______π （4）N _____14.3 2、下列写法正确的是（ ）A ．∅∉{}0B ．0∉∅C ．{}0∅∈D ．0∈∅【答案】B题型三 元素的性质应用例 3 已知{}31,2,A x=，且x A ∈，则实数x 的取值集合是______．【答案】{}1,0,2- 巩固练习1、已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1-或2-D ．2-或3- 【答案】C2、已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.【答案】2题型四 集合的表示例 4 用适当的方法表示下列集合：（1）英语单词mathematics （数学）中的所有英文字母组成的集合；（2）方程27x y +=的所有解组成的集合；（3）绝对值小于0的所有实数组成的集合.【答案】（1）{},,,,,,,m a t h e i c s ；（2）{(,)|27}x y x y +=；（3）{|||0}x x <或∅. 巩固练习1、用适当的方法表示下列集合：（1）方程(1)0-=x x 的所有解组成的集合A ；（2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .【答案】（1）{0,1}；（2）{(,)|0,0}x y x y >>题型五 集合的分类例 5 在下列集合中，哪些是非空的有限集合？哪些是无限集合？哪些是空集？ （1）小于100的全体素数组成的集合；（2）线段AB 内包含AB 中点M 的所有线段组成的集合；（3）{|||10}A x x =+=；（4）{(,)|21}A x y y x ==+.【答案】（1）非空的有限集合；（2）无限集；（3）空集；（4）无限集.巩固练习用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈【答案】（1）集合{A =点}P PA PB =，无限集；（2）集合{}21B x x =>，无限集；（3）集合{}2,C x x k k Z ==∈，无限集；（4）集合{}51,D x x k k Z ==+∈，无限集；（5）集合{}2,3,5,7,11,13,17,19E =，有限集；（6）集合()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F =，有限集；巩固提升1、下列几组对象可以构成集合的是（ ）A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7m 以上的人【答案】D2、若{}22111a a ∈++，，，则a =（ ） A ．2B ．1或－1C ．1D ．－1 【答案】D3、已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3 【答案】B4、含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +，20142015a b +=______. 【答案】15、已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______．【答案】3或-16、若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}7、下列说法：①集合{x∈N|x 3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；③方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为{x ＝1，y ＝2}． 其中正确的有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】D8、集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4} 【答案】D9、已知{}A x x x R =≤∈，a =，b =( )A ．a A ∈且b A ∉B ．a A ∉且b A ∈C ．a A ∈且b A ∈D ．a A ∉且b A ∉ 【答案】B10、设集合{1,1,2}A =-，集合{|B x x A =∈且2}x A -∉，则B =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,2} 【答案】C11、已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______； 【答案】98a ≤ 12、方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 【答案】()(){}2,2,2,2--13、集合{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈是指（ ）A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点 【答案】D14、用符号“∈”或“∉”填空：①{}2|0A x x x =-=，则1_______A ，1-______A ；②(1,2)______{(,)|1}x y y x =+. 【答案】∈ ∉ ∈15、已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．9 【答案】B课堂检测（每小题5分，共25分）1、集合{|23}A x Z x =∈-<<的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D2、直线2y x =与3y x 的交点组成的集合是（ ） A ．{}3,6B ．36,C ．3,6x y ==D ．{}(3,6) 【答案】D3、设集合{|4},M x x a =≥=，则下列关系中正确的是（ ） A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉【答案】B4、已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 等于（ ） A ．-1B ．23-C ．32-D ．32-或-1 【答案】C 5、方程的解集为{}2|2320x R x x ∈--=，用列举法表示为____________. 【答案】1{,2}2-.。

第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A5.有限集：含有有限个元素的集合。

6.无限集：含有无限个元素的集合。

7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。

二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

通常元素个数较少时用列举法。

2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。

即：B A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意 记作：A B B A ⊇⊆或；读作：A 包含于B 或B 包含A ；注意:B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合 2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1．例2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．B ．C ．M ∉-4D ．M ∈4 例3.用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3．14______Q ； (3)13______Z ；(4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N ．例4.已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值．例5.已知},0,1{2x x ∈，求实数x 的值．例6.已知集合S 的三个元素a ．、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例7.设A 为实数集，且满足条件：若a ．∈A ，则a-11∈A (a ．≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明．例8.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点 （4）例3.用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈-例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{ 例6.已知集合，用列举法分别表示集合B A 、例7.设∇是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意A b a ∈,，有A b a ∈∇，则称A 对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 考点三：集合之间的关系例1．已知A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A B =C ．B A ⊆D ．A ∈B例2.已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值例3.已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．例4.定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为例5.设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆例6.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例7.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．例8.若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．例9.已知，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★ 【答案】B ≠⊂A例10.已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m 的取值范围是【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是 A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数,,a b c ，则代数式a b ca b c++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}- C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．C ．A φ∈D ．A φ⊆10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合(){}21320A x m x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数m =______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合(){}lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则A ___________B .(填“⊂”､“”､“”或“”) 16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______． 17．（2020·上海高一专题练习）用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N ，N ，N （2）12-_____,Q π______Q（3）________{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈18．（2020·上海高一专题练习）集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 19．（2020·上海高一专题练习）1∈{a 2−a −1，a ，−1}，则a 的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R=++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k 的取值范围是___； 21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，设集合{1,23}P =，，{2,4,6,8}Q =，则集合P Q ⨯中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合{}2|1,||2,A y y x x x Z ==+∈，用列举法表示为________． 26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合A 的个数为____________个. 27．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题： ①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A 不包含于B ⇔AB =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B ④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x |ax −6=0}，B={x |3x 2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a =____ 29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M 共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个． 三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合. （1）Welcome 中的所有字母组成的集合； （2）所有正偶数组成的集合； （3）二元二次方程组的解集； （4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合 （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合. （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A ={x |x <2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且BA ，求m 的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |}，B ={x |25x -≤≤}，若AB ，求实数m 的取值范围．。

1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。

司马红丽高中数学必修一第一讲集合的概念【实用版】目录1.集合的定义2.集合的表示方法3.集合的运算4.集合的关系5.集合的应用正文一、集合的定义集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

集合的元素可以是数字、字母、符号，甚至可以是其他集合。

集合的元素具有确定性、互异性和无序性三个基本特性。

二、集合的表示方法集合可以用大写字母表示，如 A、B 等。

集合的元素可以用列举法或描述法表示。

1.列举法：将集合的元素一一列出。

例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由 1、2、3、4、5 这五个元素组成的集合。

2.描述法：用一定的条件来描述集合的元素。

例如，集合{x | x > 0}表示由所有大于 0 的实数 x 组成的集合。

三、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集。

1.并集：两个集合的所有元素组成的集合。

例如，A ∪ B 表示集合 A 和集合 B 的并集。

2.交集：两个集合共有的元素组成的集合。

例如，A ∩ B 表示集合 A 和集合 B 的交集。

3.差集：一个集合中除去另一个集合的元素后组成的集合。

例如，A -B 表示集合 A 与集合 B 的差集。

4.补集：一个集合中除去另一个集合的所有元素后组成的集合。

例如，A"表示集合 A 的补集。

四、集合的关系集合之间的关系包括包含关系、相等关系和真包含关系。

1.包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，但另一个集合可能还有其他元素。

例如，A B 表示集合 A 包含于集合 B。

2.相等关系：两个集合的元素完全相同。

例如，A = B 表示集合 A 与集合 B 相等。

3.真包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，且另一个集合还有其他元素。

例如，A B 表示集合 A 真包含集合 B。

五、集合的应用集合在数学中有广泛的应用，如在数论、代数、几何等领域。

同时，集合论也是计算机科学、信息论和编码理论等学科的基础。

第一章：集合的表示方法1集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2集合中元素的三个特性：（1）元素的确定性；对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

（3）元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3集合的表示：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}4常见的数集有：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；除零以外所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+（“+”标在右下角）；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。

全体实数和虚数组成的复数的集合称为复数集，记作C：5集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合记作φ二集合之间的基本关系1“包含”关系—子集：若集合A中任意元素都是集合B中的元素，那么就可以说是集合A是集合B的子集，即：A⊆B。

（读作“A包含于B”或“B包含A”或“A是B的子集”2“相等”关系：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B三、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B={x|x∈A，A，且x∈B}．2并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。