八年级数学下册电子版教案

第十六章 二次根式

16．1 二次根式

第1课时 二次根式的概念和性质

1．二次根式的概念和应用．

2．二次根式的非负性．

重点

二次根式的概念．

难点

二次根式的非负性．

一、情景导入

师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔．

电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝2Rh(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？

由学生计算、讨论后得出结果，并提问．

生：半径之比为2Rh12Rh2，暂时我们还不会对它进行化简．

师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．

二、新课教授

活动1：知识迁移，归纳概念

(多媒体演示)用含根号的式子填空．

(1)17的算术平方根是________；

(2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm；

(3)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________；

(4)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．

【答案】(1)17 (2)65 (4)3 a(5)h5

活动2：二次根式的非负性

(多媒体展示)

(1)式子a表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子a才有意义？

(2)当a＞0时，a________0；当a＝0时，a________0；二次根式是一个________．

【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数 (2)＞ ＝ 非负数

老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性．

当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此a＞0；

当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0.

也就是说，当a≥0时，a≥0.

三、例题讲解 【例】当x是怎样的实数时，x－2在实数范围内有意义？

解：由x－2≥0，得x≥2.

所以当x≥2时，x－2在实数范围内有意义．

四、巩固练习

1．已知a－2＋b＋12＝0，求－a2b的值．

【答案】a－2≥0，b＋12≥0，又∵它们的和为0，∴a－2＝0且b＋12＝0，解得a＝2，b＝－12.

∴－a2b＝－22×(－12)＝2.

2．若x，y使x－1＋1－x－y＝3有意义，求2x＋y的值．

【答案】－1

五、课堂小结

1．本节课主要学习了二次根式的概念．形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．

2．二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？a(a≥0)又是什么数？

第2课时 二次根式的化简

1．理解(a)2＝a(a≥0)，并能利用它进行计算和化简．

2．通过具体数据的解答，探究a2＝a(a≥0)，并利用这个结论解决具体问题．

重点

理解并掌握(a)2＝a(a≥0)，a2＝a(a≥0)以及它们的运用．

难点

探究结论．

一、复习导入

教师复习口述上节课的重要内容，并板书：

1．形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

2.a(a≥0)是一个非负数．

那么，当a≥0时，(a)2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题．

二、新课教授

活动1：

(多媒体演示)根据算术平方根的意义填空：

(4)2＝________；(2)2＝________；

(13)2＝________；(52)2＝________；

(0.01)2＝________；(0)2＝________．

由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评．

老师点评：

4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此(4)2＝4.

同理：(2)2＝2；(13)2＝13；(52)2＝52；(0.01)2＝0.01；(0)2＝0.

所以归纳出：(a)2＝a(a≥0)．

【例1】教材第3页例2

活动2：

(多媒体展示)填空：

22＝________；0.12＝________；

（13）2＝________；（37）2＝________；

（212）2＝________；02＝________．

教师点评：

根据算术平方根的意义，我们可以得到：

22＝2；0.12＝0.1；（13）2＝13；

（37）2＝37；（212）2＝212；02＝0.

所以归纳出：a2＝a(a≥0)．

【例2】教材第4页例3

教师点评：

当a≥0时，a2＝a；

当a≤0时，a2＝－a.

三、课堂小结

本节课应理解并掌握(a)2＝a(a≥0)和a2＝a(a≥0)及其运用，同时应理解a2＝－a(a≤0)．

16.2

二次根式的乘除

第1课时 二次根式的乘法

理解并掌握a·b＝ab(a≥0，b≥0)，a·b＝a·b(a≥0，b≥0)，会利用它们进行计算和化简．

重点

a·b＝ab(a≥0，b≥0)，a·b＝a·b(a≥0，b≥0)及它们的运用．

难点

利用逆向思维，导出a·b＝a·b(a≥0，b≥0)．

一、创设情境，导入新课

活动1：发现探究

(多媒体展示)填空：（1）4×9＝4×9＝____6___；（2）25×16＝25×16＝20

生：(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)25×16＝20，25×16＝20；试一试，参考上面的结果，比较二组等式的大小关系．

生：上面各组中两个算式的结果相等．

二、新课教授

活动2：总结规律

结合刚才的计算，学生分组讨论，教师提问部分学生，最后教师综合学生的答案，加以点评，归纳出二次根式的乘法法则．

教师点评：

1．被开方数都是非负数．

2．两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根．

一般地，二次根式的乘法法则为：

a·b＝ab(a≥0，b≥0)

由等式的对称性，反过来：

ab＝a·b(a≥0，b≥0)

活动3：讲练结合

教材第6～7页例题

三、巩固练习

完成课本第7页的练习．

【答案】

课本练习第1题：(1)10；(2)6；(3)23；(4)2.

第2题：(1)77；(2)15；(3)2y；(4)4bcac.

第3题：45.

四、课堂小结

本节课应掌握：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)及其应用．

第2课时 二次根式的除法

理解ab＝ab(a≥0，b＞0)和ab＝ab(a≥0，b＞0)，会利用它们进行计算和化简．

重点

理解并掌握ab＝ab(a≥0，b＞0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)，利用它们进行计算和化简．

难点

归纳二次根式的除法法则．

一、复习导入

活动1：

1．由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式．

2．填空(多媒体展示)．

(1)925＝________，925＝________； (2)164＝________，164＝________；

(3)8149＝________，8149＝________； (4)3664＝________，3664＝________．

二、新课教授

活动2：

先由学生对上面的结果进行比较，观察每组两个算式结果的大小关系，并总结规律． 教师点评：

一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根，等于它们商的算术平方根．

一般地，二次根式的除法法则是：

ab＝ab(a≥0，b＞0)由等式的对称性，反过来：ab＝ab(a≥0，b＞0)

【例】教材第8～9页例题

三、巩固练习

课本第10页练习第1题．

【答案】(1)3 (2)23

(3)33 (4)2a

四、课堂小结

本节课应掌握ab＝ab(a≥0，b＞0)和ab＝ab

(a≥0，b＞0)及其应用．

第3课时 最简二次根式

最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算．

重点

最简二次根式的运用．

难点

会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

一、复习导入

(学习活动)请同学们完成下列各题．(请四位同学上台板书)

计算：(1)23；(2)2618；(3)82a；(4)x3x2y.

教师点评：

(1)23＝63；(2)2618＝233；(3)82a＝2aa；(4)x3x2y＝xyy.

二、新课教授

教师点评：上面这些式子的结果具有如下两个特点：

1．被开方数不含分母．

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

师：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(教师板书)

教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式．

【例1】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？

(1)3xy12x；(2)25a3a3；(3)1x；(4)0.2a.

解：(1)被开方数中有因数12，因此它不是最简二次根式；(2)被开方数中有开得尽方的因式a2，因此它不是最简二次根式；(3)被开方数中有分母，因此它不是最简二次根式；(4)被开方数中有因数0.2，它不是整数，所以它不是最简二次根式．

【例2】化简：

(1)278；(2)12x2y3(x≥0)；(3)a2b4＋a4b2(ab≥0)．