植树问题专题2
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植树问题2
一、学习目标
1.了解植树问题；
2.会用植树问题模型解决实际问题.二、知识点讲解
植树问题
概念
为使其更直观，用图示法来说明.树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样
就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段
数之间的关系问题.
植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题.公式
两端都植：距离÷间隔长+1=棵数
间隔长×(棵数-1)=全长
只植一端：距离÷间隔长=棵数
两端都不植：距离÷间隔长－1=棵数专题分析
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形.
1.如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵
数=间隔数+1.
2.如果植树的线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵
数=间隔数.
3.如果植树的线路两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数
=间隔数－1.
4.如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再
乘二，即：棵树=段数+1再乘二.
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数.
三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树.则棵数=（每边的棵数-1）
×边数.
四、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
1.如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（株数－1）
株距=全长÷（株数－1）2.如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数典型例题、植树问题
1.题干：直线场地：在一条公路的两旁植树，每隔3米植一棵，植到头还剩3
棵；每隔2.5米植一棵，植到头还缺少37棵，求这条公路的长度.个人分析：植树问题的解题方法是_______.
答案：
解：
解法一：（代数解法）
设一共有x棵树.
[(x-3)/2-1]X3=[(x+37)/2-1]X2.5
x=205
公路长:[(205-3)/2-1]×3=300
答：公路长度为300米.解法二：（算术解法）
这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑：
首先，我们在两边起点处各栽下一棵树，这两棵树与路长没有关系，以后每栽下
一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线（不是路）就增加一个间距，为了简单起
见，我们按单侧植树来考虑.
当按3米的间距植树时，最后剩下3棵，也就是说植树的路线要比路长出3个
间距，
3×3=9米，
当按2.5米的间距植树时，最后还缺37棵树，也就是说植树的路线比路短了37
个间距，
2.5×37=92.5米，
两次相差9+92.5=101.5米，
两次植树的间距相差是3-2.5=0.5米，
据此可以求出树的棵数：（不包括起点的2棵）
101.5÷0.5=203（个）
知道了树的棵数，就可以求出植树路线的长度了：
3×(203-3)=600（米）或2.5×(203+37)=600（米）
因为是双侧植树，所以路长为：
600÷2=300（米）
综合算式为：
3×[(3×3+2.5×37)÷(3-2.5)-3]÷2=300（米）
或2.5×[(3×3+2.5×37)÷(3-2.5)+37]÷2=300（米）
答：公路长度为300米.解析：
在线段上的植树问题可以分为以下三种情形.
1.如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵
数=间隔数+1.
2.如果植树的线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵
数=间隔数.
3.如果植树的线路两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数
=间隔数－1.
4.如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再
乘二，即：棵树=段数+1再乘二.错因分析：______
A.没有理解清楚定义
B.看错条件了
C.题目没读懂改正方法：
___________________练习
1.题干：圆形场地：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米.如果在花坛周围每
隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花.可
栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米？个人分析：植树问题的解题方法是_______.
答案：
解：
根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：
120÷6=20（株）
由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间
的间隔数相等.
因此，可栽月季花：
2×20=40（株）
由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2
株月季花分为3等份.
因此紧相邻2株月季花之间距离为：
6÷3=2（米）
答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米.解析：
1.在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数.
2.在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树.则棵数=（每边的棵数－1）×
边数.非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（株数－1）
株距=全长÷（株数－1）
⑵如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数错因分析：______
A.没有理解清楚定义
B.看错条件了
C.题目没读懂改正方法：
___________________应用植树问题解决实际问题
简介
这类应用题是以“植树”为内容.凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量
关系的应用题，叫做植树问题.知识概要
植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分
成若干段，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的段数和植树的
棵树之间的关系就不同.
植树问题中的情境不限于植树，生活中的爬楼梯、锯木头、插红旗、安
装路灯、敲钟等都可以按照植树问题的思路解答.解题关键
解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是
沿周长植树，然后按基本公式进行计算.解题规律
1.沿线段植树
棵树=段数+1棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷（棵树-1）总路程=株距×（棵树-1）
2.沿周长植树
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树3.不封闭路段，单侧“两端都植树”的问题
根据“间隔数=总距离÷株距，棵数=间隔数+1”可求.
4.不封闭路段两端都植树的问题
这是“两端都植树”的问题.求棵数，可以根据“间隔数=总距离÷株距”可求
棵数，再根据“棵数=间隔数+1”可求.
5.不封闭路段两端都不载植树的问题
根据“间隔数=总距离÷株距”和“棵数=间隔数-1“来求解.
6.不封闭路段一端栽的问题
”一端栽一端不栽的植树问题“可以根据“间隔数=总距离÷株距”和“棵数=
间隔数”来求解.
7.封闭图形的植树问题
根据圆的周长公式：c=πd，把数据代入公式求出圆的周长，封闭图形的植树问
题中“棵数=间隔数”
8.一端种一端不种
在这类问题当中，一端种一端不种的情况是最容易解决的.我们可以将
一棵树搭配一个间距来看，棵数=间隔数，这时我们可以用总距离÷间
距求出间隔数，即棵数.9.两端都种
在植树问题当中，两端都种的情况是最常见的，例如：排队、爬楼梯等
实际情况.我们同样可以将一棵树搭配一个间距来看，可知这时还会多
出一棵树来，所以棵数=间隔数+1.
10.两端都不种
两端都不种的情况常见于在两栋楼之间的道路栽树、锯木头等实际问题
当中.当我们将一棵树搭配一个间距来看，最后会少一棵树，这时棵数=
间隔数-1.典型例题、应用植树问题解决实际问题
1.题干：有一条长800米的公路，在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树，
需多少棵杨树苗?个人分析：植树问题解决方法是_______.
答案：
解：800÷20+1=41（棵）
答：在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树，需41棵杨树苗.解析：
不封闭路段，单侧“两端都植树”的问题.根据“间隔数=总距离÷株距，棵数=
间隔数+1”可求.错因分析：______
A.没有理解清楚定义
B.看错条件了
C.题目没读懂改正方法：
___________________练习
1.题干：公园大门前的公路长80米，要在公路两边栽上白杨树，每两棵树相距
8米（两端也要种）.园林工人共需要准备多少棵树？个人分析：植树问题解决方法是_______.
答案：
解：一边：80÷8+1=11（棵）
两边：11×2=22（棵）
答：园林工人共需要准备22棵树.解析：
不封闭路段两端都植树的问题，这是“两端都植树”的问题.求棵数，可以根据
“间隔数=总距离÷株距”可求棵数，再根据“棵数=间隔数+1”可求.错因分析：______
A.没有理解清楚定义
B.看错条件了
C.题目没读懂改正方法：
___________________2.题干：两座楼房之间相距56米，每隔4米栽雪松一棵，一行能栽多少棵?
个人分析：植树问题解决方法是_______.
答案：
解：56÷4-1=13(棵)
答：一行能栽13棵.解析：
不封闭路段两端都不载植树的问题，两座楼房之间栽雪松，两端都不需要栽.根
据“间隔数=总距离÷株距”和“棵数=间隔数-1“来求解.错因分析：______
A.没有理解清楚定义
B.看错条件了
C.题目没读懂改正方法：
___________________
