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正比例函数

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正比例函数

学习目标

1.

理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；

2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．

要点梳理

知识点一、正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.

2、正比例函数的等价形式

（1）、是的正比例函数；

（2）、（为常数且≠0）；

（3）、若与成正比例；

（4）、（为常数且≠0）.

知识点二、正比例函数的图象与性质

正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.

知识点三、待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.

典型例题

类型一、正比例函数的定义

1、已知，当为何值时，是的正比例函数？ 举一反三

B组 正比例函数的定义

1、若函数是关于的正比例函数，求、的值.

2、设有三个变量、、，其中是的正比例函数，是的正比例函数

（1）求证：是的正比例函数；

（2）如果＝1，＝4时，求出关于的函数关系式.

举一反三

类型二、正比函数的图象和性质

2、已知正比例函数的函数值随着的增大而减小，则大致图象为（ ）

A. B. C. D.

答案与解析

3、若正比例函数中，随的增大而增大，则的值为________.

举一反三

4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、

的图象

分别为、、、，则下列关系中正确的是（ ）

A．＜＜＜ B．＜＜＜ C．＜＜＜ D．＜＜＜

答案与解析 【变式】已知正比例函数的图象上一点（，），且＜0，＋＞0，那么的取值范围是（ ）

A. ＜ B．＞ C．＜或＞ D．不确定

类型三、正比函数应用

5、如图所示，射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（ ）．

A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定

答案与解析 举一反三

B组 正比函数应用

4、已知正比例函数的图像上有一点P(,)和一点A(6，0)，O为坐标原点，且△PAO的面积等于12，你能求出P点坐标吗？

【答案与解析】

解：依题意：

∵O（0，0），A（6，0）∴OA＝6

∴

；

【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.

巩固练习

一.选择题

1. 直线过点（0，0）和点（ ）

A.（－1，－3） B.（1，3） C.（1，－3） D.（3，－1）

2. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A．

B． C． D．

3．正比例函数的图象经过（ ）．

A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限

4. 如图所示，直线的函数解析式是（ ）．

A． B． C． D．

5. 结合函数的图象回答，当＜－1时，的取值范围（ ）

A．＜2 B．＞2 C. ≥ D. ≤

6．点A（–5，）和B（–2，）都在直线上，则与的关系是（ ）

A. ≤ B. ＝ C. ＜ D. ＞

二.填空题

7．若直线经过点A（－4，3），则＝______．如果这条直线上点A的横坐标＝4，那么它的纵坐标＝______．

8. 已知三角形底边长为4，高为，三角形的面积为，则与的函数关系式为_______________.

9. －2与＋1成正比例，比例系数为－2，将表示成的函数为：___________.

10. 正比例函数，当 _______时，随的增大而增大.

11. 若函数是正比例函数，那么＝______,图象经过第_______象限.

12. 已知与成正比例，且当＝1时，＝2，那么当＝3时，＝_______.

三.解答题

13. 蜡烛点燃后缩短长度（）与燃烧时间（分钟）之间的关系为，已知长为21的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛缩短了3.6，求：

（1）与之间的函数解析式；

（2）此蜡烛几分钟燃烧完.

14. 已知＋2与－1成正比例，且＝3时＝4.

（1）求与之间的函数关系式；

（2）当＝1时，求的值。

15.若正比例函数的图像经过点A（－5，3），

（1）求的值；

（2）判断随的增大如何变化；

（3）如果这条直线上点B的横坐标＝4，那么它的纵坐标的值是多少？

【答案与解析】巩固练习

一.选择题

1．下列说法中，不正确的是（ ）．

A．在中，是的正比例函数 B．在中，是的正比例函数

C．在＝3中，是的正比例函数 D．正方形的边长与周长为正比例关系

2. （，），（，）是正比例函数图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）

A．＞ B．＜ C．当＜时，＞ D．当＜时，＜

3. 函数＝－2的图象一定经过下列四个点中的（ ）

A．点（1，2） B．点（－2，1） C．点 D．点

4．正比例函数的图象过点和点，且当时，，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D．

5. 正比例函数（≠0），下列结论正确的是（ ）

A．＞0 B．随的增大而增大

C．＜0 D．随的增大而减小

6. 已知正比例函数（≠0）的图象如图所示，则在下列选项中值可能是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二.填空题

7．若，是函数的一组对应值，则＝______，并且当≥5时，______；

当＜－2时，____________．

8．如图所示，直线、、的解析式分别为，，，则、、三个数的大小

关系是________．

9. 若函数是正比例函数，则＝________，图象过第______象限.

10. 已知函数（为常数）为正比例函数，则＝____．此函数图象经过第______象限； 随的增大而__________．

11. 已知函数，当＝______时，正比例函数随的增大而减小？

12. 已知点A（1，－2），若A，B两点关于轴对称，则B点的坐标为______,若点（3，）在函数的图象上，则＝_______.

三.解答题

13.已知与成正比例，当时，，

（1）求与的函数关系式；

（2）求当时的函数值；

（3）如果的取值范围是，求的取值范围。

14. 若正比例函数的图像经过点A（－5，3），

（1）求的值；

（2）判断随的增大如何变化；

（3）如果这条直线上点B的横坐标＝4，那么它的纵坐标的值是多少？

15. 有一长方形AOBC纸片放在如图所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA：AC＝2：1.

（1）求直线OC的解析式；

（2）求出＝－5时，函数的值；

（3）求出＝－5时，自变量的值；

（4）画这个函数的图象；

（5）根据图象回答，当从2减小到－3时，的值是如何变化的？ 【答案与解析】

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正比例函数增大而增大

正比例函数增大而增大

正比例函数增大而增大

1. 什么是正比例函数？

正比例函数是数学中的一个概念，它是指两个变量之间存在着一

种直接的比例关系，当其中一个变量增加或减少时，另一个变量也会

相应地增加或减少。这种关系可以用一个公式来表示，通常的形式为

y=kx，其中x和y是两个变量，k是常数，表示这两个变量之间的比例

关系。

2. 正比例函数的性质

正比例函数具有以下几种基本性质：

- y=kx中，当k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随

着x的增大而减小；当k=0时，y保持不变。

- x=0时，y=0，也就是由原点出发的直线。

- y/x=k，即斜率为k。

3. 如何确定正比例函数的k值？

确定正比例函数的k值需要知道两个变量之间的比例关系，通常

可以从问题中得到两个已知数据，然后通过应用正比例函数的公式来

计算k值。比如，假设有一项任务可以由10个人在2个小时内完成，

那么每个人每小时完成的任务量就是y/x=10/(2*1)=5，从而得到正比

例函数为y=5x。 4. 正比例函数的图像特征

正比例函数图像是一个经过原点的直线，斜率为k。当k越大时，

直线越陡峭，反之亦然。当k小于0时，图像在x轴和y轴之间翻转。

当k=0时，图像是一条水平直线，也就是y值保持不变。

5. 正比例函数的应用

正比例函数在我们的日常生活中有很多应用，比如：

- 计算工作量：比如要完成一项任务需要的工作量与完成时间

之间存在正比例关系，可以通过正比例函数来计算每个人或每个小时

完成的任务量。

- 制作液体配方：比如某种液体的成分与量之间存在正比例关

系，可以通过正比例函数来计算每个成分所需的比例和总量。

- 预测人口增长：比如某个地区的人口与时间之间存在正比例

关系，可以通过正比例函数来预测未来的人口增长趋势等。

6. 总结

正比例函数是一种直接的比例关系，可以用公式y=kx来表示。它

具有一些基本的性质，如斜率为常数k，图像为一条直线等。我们可以

正比例函数平移规律

正比例函数平移规律

正比例函数平移规律

正比例函数是函数中最常用的函数之一，它有一个明显的特点，那就是当横坐标发生变化时，纵坐标也会相应的发生变化。因此，正比例函数也就可以通过平移来调整其在函数图形中的位置。

平移正比例函数的规律是，如果横坐标向左移动a个单位，则纵坐标向右移动a个单位；如果横坐标向右移动a个单位，则纵坐标向左移动a个单位。可以看出，横坐标的变动是成反比的，而纵坐标的变动是成正比的。

正比例函数的平移也可以用方程的形式表达。若原函数为y=kx，其中k为常数，则平移a个单位后的函数表达式为：

y = k(x-a)

拉格朗日乘法，平移a个单位后的函数表达式为：

y=kx+ka

可以看出，当横坐标发生变化时，纵坐标也会成正比的发生变化。

正比例函数的平移规律也可以用函数图形的形式来理解。即当横坐标偏移a个单位后，函数图形整体向右移动a个单位，而纵坐标则向左移动a个单位。可以看出，正比例函数的平移规律与拉格朗日乘法是完全一致的。

正比例函数的总结

正比例函数的总结

正比例函数的总结

正比例函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学必学的内容之一。在学习正比例函数时，我们需要掌握其定义、性质以及在实际生活中的应用。本文将对正比例函数进行总结，希望能帮助读者更好地理解和应用正比例函数。

1. 正比例函数的定义

正比例函数是指函数的函数图像是一条通过原点的直线。具体地，设变量x和y之间存在着一种关系，若y与x成正比，即存在一个常数k（k≠0），使得y=kx，则称y是x的正比例函数。

正比例函数的数学表达式可以写为：y = kx，其中k为常数。

2. 正比例函数的性质

正比例函数具有以下几个性质：

• 函数图像通过原点：正比例函数的特点是通过原点，即函数的纵截距为0。

• 函数图像是直线：由于正比例函数通过原点，所以其函数图像是一条直线。

• 斜率相等：对于不同的x值，函数的斜率保持不变。

• 函数值的比例相等：对于正比例函数中的任意两个不等于0的x值，其对应的y值之间的比例保持不变。

3. 正比例函数的应用

正比例函数在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的例子：

• 速度与时间：当物体匀速运动时，速度与时间之间的关系满足正比例函数。例如，在一辆以恒定速度行驶的汽车中，车速与行驶所花费的时间成正比。

• 周长与半径：在一个圆中，周长与半径之间的关系是正比例函数。根据圆的定义，周长等于半径乘以2π，因此当半径增加时，周长也会相应增加。

• 距离与时间：当以恒定速度行驶的车辆中，行驶的距离与行驶所花费的时间成正比。这可以用来计算两个地点之间的距离，以及行驶一段路程所需要的时间。

除了上述例子外，正比例函数还可以应用于许多其他领域，例如物理学、经济学等。 4. 总结

正比例函数作为数学中的一个重要概念，在高中数学中被广泛学习和应用。通过学习正比例函数，我们可以了解到正比例函数的定义与性质，并结合实际生活中的应用进行讨论。

正比例函数的定义非常简单，即y=kx，其中k为常数。其函数图像是一条通过原点的直线，具有线性的特点。此外，正比例函数还具有斜率相等和函数值的比例相等的性质。

数学：成正比与正比例函数

数学：成正比与正比例函数

一、成正比 和成正比例是同一个概念 。

原因：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。且一种量随着另一种量的增大而增大。如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，我们就称这两个变量成正比例。 用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示： y/x=k(一定)。

正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变。

二、正比例函数

一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数

y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数） 当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大． 当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．