探究重点模型“一线三等角”

相似三角形基本模型——一线三等角模型 模型解读： “一线三等角模型”图谱 (1)点P在线段AB上 锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 以上有：△ACP∽△BPD (2)点P在线段AB延长线上 锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 以上有：△ACP∽△BPD 模型分析 三个相等的角的顶点在同一直线上，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形。 典型示例 例1.如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4

，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG＝45°,AC与MG的延长线相交于点F (1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对 (2)联结结EG，当AE＝3时，求EG的长 (3)证明：△MEG∽△AEM 例2.已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=12，tanC=4 3 ，AM∥DC，E、F分别是线段AD、AM上的动点(点E与A、D不重合)且∠FEM=∠AMB，设DE=x，MF=y. (1)求证：AM=DM； (2)求y与x的函数关系式并写出定义域； (3)若点E在边AD上移动时，△EFM为等腰三角形，求x的值 热搜精练 1.在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为( ) A9 B12 C15 D18 2.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( ) A.90 B.100 C.110 D.121 3.矩形ABCD中，把AD沿DQ对折，使A与BC边上的点P重合，若AD=10,AB=8,求PQ的长。 4.如图所示，四边形OABC是一张在直角坐标系中的矩形纸片，点A在X轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处，已知折痕CE=55 ， 且tan∠ADE=3 4 CAPBDCAPBDCAPBDCAPBDCAPBDCAPBD

"一线三等角" 全等 模型及其变形

何为“一线三等角”

顾名思义：“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的图形。

该图形的几何结构是：两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的 同侧或异侧，第三

个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该第三角的两

边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组三角形，若该组三角形

中有一组对应边相等则构成全等三角形。（本质上这组三角形是相似三角形，因初学全等的同

学并没有学习该知识点，故本文不涉及。）

基本模型

首先由等角的大小不同，分为“锐角、直角和钝角”型。再由第三角的顶点所处位置不同，造

成一组三角形的位置不同，分为“同侧和异侧”两种；

约定：相等两角顶点为 、，第三角顶点为 ,假设已知 .

、 在线段 上

1.

锐角型（同侧

）

2.

直角型（同侧）

3.

钝角型（同侧）

、 在线段 的延长线上4.

锐角型（异侧）5.

直角型（异侧）

6.

钝

角型（异侧）

基本处理办法

也

可

以理解为“一线三等角”模型中对应三角形的全等判定方法。

判定三角形全等必须先有一组对应边（已知或者间接证得），所以余下的条件对于“一线三等

角”模型就是找到两个角，其中一组角为模型已知的等角，那么另一组角就是利用 “三角形内

角和或者外角等于不相邻两内角和” 或者 “平角直角定义” 等导角。从而构成“”或

“”型全等。

例如 图形 1 中：

利用外角定理：（）

又

利用平角和三角形内角和（）：

又

例如 图形 5 中

根据互余：

其它基本模型的情况相同，大家可以自己完成。基本型的变形

若一个三角形沿着AB平移，图形就会发生变化，但全等关系依旧成立。

1.

锐角型（同侧）变形

若一个三角形沿着AB平移，图形就会发生变化，但全等关系依旧成立

。

此时 ，易证 ，

从

而

得

到全等。

2.

直角型（同侧）变形

如果补全外部的边框，则就变成正方形中经典的“十字架”模型

3.

直角型（异侧）变形

如果把基本模型5（异侧直角型）的外

专题05 一线三等角（K型图）模型（从全等到相似）

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知

识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注

重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角

模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K型图）模型（全等模型）

【模型解读】

在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全

等。

【常见模型及证法】

同侧型一线三等角（常见）：

锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等

角

条件：ACEDB

+ CE=DE

证明思路：

,ABCBED+任一边相等BEDACE



异侧型一线三等角：

锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角

条件：FACABDCED

+ 任意一边相等

证明思路：

,ABCBED+任一边相等BEDACE



1

．（2022·

湖南湘潭·

中考真

题）在ABC

中，90BAC

，ABAC

，直线l经过点

A，过

点

B、C

分别作l的垂线，垂足分别为点D、E

． (1)

特例体验：如图①

，若直线lBC

∥

，

2ABAC，分别求出线段BD、CE

和DE的长；

(2)

规律探究：①

如图②

，若直线l从图①

状态开始绕点

A旋转

045



，请探究线

段BD、CE

和DE的数量关系并说明理由；②

如图③

，若直线l从图①

状态开始绕点A

顺

时针旋转

4590



，与线段BC相交于点

H，请再探线段BD、CE

和DE的数量关系

并说明理由；

(3)

尝试应用：在图③

中，延长线段BD交线段AC于点F，若3CE

，1DE，求

BFCS

△．

【答案】(1)BD=1

；CE=1

；DE=2

(2)①DE=CE+BD

；理由见解析；②BD=CE+DE

；理由见解析 (3)25

8

BFCS



1《一线三等角模型》

一、教材分析

“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不

与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等

角和钝角一线三等角.

“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现

形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，

通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这

些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、

综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图

形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形

的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.

二、核心素养分析

2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学

抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学

模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本

图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.

三、学情分析

本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与

判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.

本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分

知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效