1-2行列式的性质和计算

行列式的几种计算方法

行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。

一、按定义式计算行列式：

按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：

det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}

σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。

按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。我们通常会采用其他方法来计算行列式。

计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。

利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。

对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。

三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：

对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。即

M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})

其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。

行列式的计算技巧总结

行列式是线性代数中的重要概念，它在计算中有着广泛的应用，如矩阵求逆、解线性方程组、判断矩阵的线性无关性等。行列式的计算可以通过展开定理、性质和转置等多种方法进行。下面是行列式计算的一些常见技巧总结。

1.行列式的定义和性质

行列式是一个标量，用来描述一个矩阵的一些特性。对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或∆。行列式具有以下性质：

(1) det(A) = det(A^T) //行列互换，行列式不变

(2) det(A·B) = det(A)·det(B) //两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积

(3) 若矩阵A的其中一行（列）全为0，则det(A) = 0

(4) 若矩阵A的两行（列）相同，则det(A) = 0

(5) 若矩阵A的其中一行（列）成比例，即全部为c倍关系，则det(A) = c^n·det(A')

(6) 若矩阵A的其中一行（列）都是两个矩阵B和C对应行（列）的和，则det(A) = det(B) + det(C)

2.二阶和三阶行列式的计算

二阶行列式的计算可以直接进行运算，即ad-bc。三阶行列式的计算可以通过对角线和副对角线元素的乘积之和减去反对角线和主对角线元素的乘积之和，即a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)。其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是矩阵A的元素。

3.行列式的展开

行列式的展开定理是行列式计算的重要工具。对于n阶行列式，可以通过对任意一行（列）展开来计算行列式的值。展开的时候，可以选择展开到其他行（列）上，也可以选择展开到其他元素，具体选择哪一行（列）或元素展开要根据实际情况决定。展开后的行列式可以继续进行展开，直到变为二阶行列式，然后通过二阶行列式的计算结果反推回原行列式。

4.行列式的转置

行列式的转置是行列式计算的另一个常用方法。对于n阶行列式A，可以将其转置为A^T，然后利用性质(1) det(A) = det(A^T)进行计算。这种方法适用于行列式A有规律的结构，如上三角、下三角、对称等特殊矩阵。

线性代数练习册

学号 姓名

1 习题1.2 行列式的性质与计算

一、计算下列4阶行列式：

⑴3021130252233121；

(2)dcba100110011001；

解答：

（1）32-2003404-1-4-6147544-1-4-614075404-1-4-03121原式

（2）按第一列展开原式dcdcbadcba1011001101101100110011001

1111110111cdadababcdcdadcdabdcddcba

(3)333322221111dcbadcbadcba.

解答：此行列式为4阶范德蒙行列式

dcdbcbdacaba原式

二、计算下列n阶各行列式

（1）nD=aa11（其中对角线上的元素都是a，未写出的元素都是0）；

解答：按第1列展开得：

阶注：此处行列式为1n111aaaaaDnn

11)1(222111aaaaaaannnnnn 线性代数练习册

学号 姓名

2 （2）xnxx11111112111111111111.

解答：把第一行乘以1加到后面每一行，有

21120000001000000111111nxxxxnxxn原式

1 章节 第一章 行列式

教学内容 行列式的概念；全排列及其逆序数；对换

n阶行列式的定义,行列式的性质，行列式的计算，克拉默法则

教学目标 1：使学生理解和掌握行列式的定义

2：掌握行列式的性质和行列式的计算

3：理解和掌握克拉默法则

教学重点 利用行列式的性质计算行列式和行列式的几种计算方法，克拉默法则

教学难点 行列式的性质，行列式的计算，克拉默法则

讲 授 内 容 备 注

一， 二阶行列式的引入

用消元法解二元线性方程组

11112212112222 1. 2axaxbaxaxb（）（）

2211221122221221212211122222121:,2:,aaaxaaxbaaaaxaaxba

当112212210aaaa时，从上面两式解得

122122111221221baabxaaaa 112121211221221abbaxaaaa

其中分母11221221aaaa有方程组的四个系数确定，因此我们定义如下

定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表

11122122

aaaa

表达式21122211aaaa称为表所确定的二阶行列式，并记作

22211211aaaa

即2112221122211211aaaaaaaaD

二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，如图所示，把11a到12a的实连线称为主对角线，12a到21a带箭头的联系称为副对角线，于是二阶行列式是

2 主对角线上的两个元素之积减去副对角线上两元素之积的差

因此利用 二阶行列式的概念，我们可以把1x，2x的系数二阶行列式的形式，记

112112212222baDbaabba 111221121212122aaDabbaaa